FUNÇÕES 4
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EXERCCIO (I) - FUNO QUADRTICA
1) As seguintes funes so definidas em IR. Verifique quais delas so funes quadrticas e
identifique em cada uma delas o valor de a, b e c:
a) f(x) = 2x(3x 1)
b) f(x) = (x + 2)(x 2) 4
c) f(x) = (1 + x)(1 x) + x2
d) f(x) = (x + 2)2 - x(x+1)
e) f(x) = (x + 1)2 2(x + 1)
f) f(x) = 2(x + 1)2
2) Dada a funo quadrtica f(x) = 3x2 4x + 1, determine:
a) f(1) e)f (-2)
b) f(2) f) f(h + 1)
c) f(0) g) x de modo que f(x) = 1
d) f( 2 ) h) x de modo que f(x) = -1
3) Seja f(x) = 2x2 3x + 1. Calcule
3
2f .
SOLUO:
9
2913
9
929412
9
412
9
221
3
23
3
22
3
22
f
4) Para que valores reais de m a funo f(x) = (m 1)x2 4x 1 no admite zeros(razes) reais?
SOLUO: Devemos ter < 0, isto , b2 4ac < 0 (-4)2 4.(m 1).(-1) < 0
16 + [-4m + 4].(-1) < 0
16 + 4m 4 < 0
4m + 12 < 0
4
12m
m < - 3
-
5) Verifique quais dos seguintes pontos pertencem parbola que representa graficamente a
funo f(x) = x2 5x + 6:
a)A(2, 0) b) B(4, 2) c) C(-1, 10)
SOLUO:
a) testando o ponto A (2,0)
f(2) = 22 5.2 + 6
0 = 0. Logo A f(x)
b) testando o ponto B(4,2)
f(4) = 42 5.4 + 6
2 = 16 20 + 6
2 = 2. Logo B f(x)
c) testando o ponto C(-1, 10)
f(-1) = (-1)2 5.(-1) + 6
10 = 1 + 5 + 6
10 12. Logo C f(x)
6) Qual deve ser o valor de k para que a parbola quer representa graficamente a funo
f(x) = x2 2x + k passe pelo ponto P(2, 5) ?
SOLUO :
Para q essa parbola passe por esse ponto devemos ter: f(2) = 22 2.2 + k
5 = 4 - 4 + k
K = 5.
7) Qual o maior valor que a funo f(x) = - 3x2 x + 1 pode assumir para qualquer x IR?
SOLUO:
yv = 12
11
12
11
12
)11(
12
)121(
)3.(4
)1).3.(4)1((
4
)4(
4
22
a
acb
a
-
8) Qual a funo quadrtica cuja parbola passa pelos pontos (3, -2), (0, 4) e tem vrtice V(2, -4) ?
SOLUO: c = 4, pois (0, 4) ponto do grfico.
Do ponto (3, -2) = (3, f(3)) temos: f(3) = a.32 + b.3 + 4. Como f(3)=-2 ficamos com -2 = a.32 + b.3 + 4
9a + 3b = -6.
Do ponto (2, -4) = (2, f(2)) temos: f(2) = a.22 + b.2 + 4. Como f(2) = -4 ficamos com -4 = a.22 + b.2 +
4 4a + 2b = -8.
Da resolvendo o sistema abaixo obtemos a e b.
42
23
42
23
824
639
ba
ba
ba
ba
ba
baresolvendo o sistema obtemos a = 2 e b = - 8.
Portanto a funo f(x) = 2x2 -8x + 4.
9) Determine o valor de k para que a funo f(x) = (2-k)x2 5x + 3 admita valor mximo.
SOLUO: Para a funo ter valor mximo devemos ter: a < 0.
Da, 2 k < 0 2 < k k > 2.
Portanto, devemos ter: kIR | k > 2.
10) Qual o valor de m para que a funo f(x) = (4m + 1)x2 x + 6 admita valor mnimo?
SOLUO: Para a funo ter valor mnimo devemos ter: a > 0.
Da, 4m + 1 > 0 4m > -1 m > -1/4.
Portanto, devemos ter: mIR | m > -1/4.
11) Para que valor de k o valor mnimo da funo f(x) = x2 6x + 3k 3 ?
SOLUO: Valor mnimo yv = a
acb
a 4
)4(
4
2
. Da substituindo os valores de a, b, c e yv
ficamos com:
3 = .4481212123612)1236(1.4
)3.1.4)6(( 2
kkkk
k
12) A reta, grfico da funo f(x) = 3x 1, e a parbola, grfico da funo g(x) = x2 x + 2, tm
pontos comuns? Se tiverem, descubra quais so.
SOLUO: Devemos igualar as duas funes e determina o valor de x que torna f(x) = g(x), isto ,
-
3x 1 = x2 x + 2
x2 x 3x + 1 + 2 = 0
x2 4x + 3 = 0
3''
1'
x
x
Substituindo os valores de x em qualquer uma das funes, obteremos os valores de y
correspondentes. Tais pontos sero os comuns. Da:
f(1) = 3.1 1 = 2 Note que, g(1) = 2
f(3) = 3.3 1 = 8 Note que, g(3) = 8
Portanto os pontos comuns so (1, 2) e (3, 8).
I