Funções de Várias Variáveis Com Resolução Exercicios

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    PROFº JÚNIOR – CÁLCULO III

    FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

    Bem, de novo, vamos lembrar o que é uma função de uma variável:

    Uma função que relaciona um número  a outro número ()

    () 

    Veja:

     ()  

    Agora não é difícil de você entender que uma função de duas variáveis relaciona dois números: () aoutro número ( )

    () 

    Observe o exemplo abaixo:

     ( )  

    Alguns valores:

    E o gráfico dessa função será uma superfície ( ) 

    E, na prática, teremos uma superfície que já estudamos.

    Em resumo, estamos dizendo que:

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    Exemplo 01)

     ( )  

    ( ) 

    Observe que se

    ()   ()   ()   ()  

    Essa superfície é um paraboloide circular.

     

    É só isso, mesmo! Não tem mistério nenhum.

    Exemplo 02)

     

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    Da mesma forma, uma função de três variáveis associa três números  a um único número ()

    Por exemplo:

     ()  

    No caso de funções com três variáveis não existe gráfico, pois nosso mundo tem três dimensões e ográfico de funções de três variáveis estaria em quatro dimensões (profundo, não?)

    Pense assim:

      Função de uma variável – gráfico é uma curva (1 dimensão) – coordenadas cartesianas em 2D(x,y)

      Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície (2 dimensões) – coordenadas cartesianas em3D (x,y,z).

    Entendeu a analogia? É só isso!

    Para fixar bem esta ideia, eu irei apresentar a vocês mais algumas funções envolvendo duas variáveis.

    Consideremos os seguintes enunciados :

    1 ) O volume V de um cilindro é dado por V =   r2h , onde r : raio e h : altura.

    2 ) A equação de estado de um gás é dada porV 

    T r n P 

      ..

      , onde temos :

    P : Pressão

    V : Volume

    n : Massa gasosa em moles

    r : Constante molar do gás

    T : Temperatura

    Numa breve análise destes enunciados, verificamos que as funções envolvidas requerem o uso de duas oumais variáveis independentes.

    1 ) Temos V : V(r, h) =   r2h

    2 ) Temos P : P(n, T, V) =V T r n

      ..

      ( Lembrar que r é constante )

    Graficamente temos:

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    1.  DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO COM DUAS VARIÁVEIS

    Como determinarmos e esboçarmos o domínio de uma função de duas variáveis?

    Lembra que para uma variável bastava ver as restrições da função? Então, para duas, vale o mesmoprocesso:

      Nas frações o denominador não pode valer zero;

      dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;

      valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

    Vamos pegar um exemplo pra provar como é exatamente a mesma coisa que sempre fizemos:

    Encontre e esboce o domínio da função.

    Exemplo 01)Determinar o domínio da função e desenhar o seu gráfico  ( ) √   

    Solução:

    O que é necessário para a função exista?

    Como temos uma raiz quadrada, a condição é que ela seja maior ou igual a zero, isto é,

     

     

     

    A expressão acima, representa uma equação de circunferência de raio igual a 5.

    Veja abaixo o esboço gráfico referente ao domínio da função.

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    Exemplo 2:) Ache o domínio da função ( ) √ 

     

    Solução:

    Observe que temos uma função em forma de fração e com raiz. Não existe fração dividida por zero e nemraiz negativa, diante disso podemos afirmar que:

         

    Esboço gráfico da região.

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    EXERCÍCIOS BÁSICOS 1

    Determinar o domínio das seguintes funções e esboçar os seus respectivos gráficos.

    1) z = xy 2) w =222

    1

     z  y x    

    3) z =22

    1

     y x  

      4) z =1

    2 y

     x 

    5) z = 122  y x   6) z = ln ( 224   y x    )

    7) z = e  y

     x

      8)  y x y x  f     510),(    

    09) Para cada uma das funções abaixo, determinar o seu domínio. (revisão sobre domínio com uma variável) .

    10) Determinar o domínio da função:

     xy xy

     senxy y x y x f  

    273

    5),(

    2

    2

     

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    2. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA F(X, Y)

    Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x, y e y = f(x).

    Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera umasuperfície no espaço R3.

    Exemplo 01) A função é z = f(x, y) = 5

    A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.

    Exemplo 02) A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y. 

    Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos

    onde este plano intercepta os eixos, é só fazer :a) x = 0 e y = 0 → z = 6 

    b) x = 0 e z = 0 → y = 2  

    c) y = 0 e z = 0 → x = 3 

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    3. DIFERENÇAS ENTRE 2D E 3D 

    y=2x+1 z=2x+2y+1

    2 4 6 8 10

    5

    10

    15

    20

    0

    2

    4

    6

    8

    10  0

    2

    4

    6

    8

    10

    0

    10

    20

    30

    40

    0

    2

    4

    6

    8

    y = 5 z = 5 

    2 4 6 8 10

    2

    4

    6

    8

    10

    2

    4

    6

    8

    100

    2

    4

    6

    8

    10

    0

    2.5

    5

    7.5

    10

    2

    4

    6

    8

    y = f(x) z = f(x, y) 

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    GRÁFICOS 3D (SUPERFÍCIES) DE ALGUMAS FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS

    (Exemplo 01) f(x, y) = x + 2y - 1, com x e y variando de – 4 a 4.

    Exemplo 02) f(x, y) = sen (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.

    -4

    -2

    0

    2

    4-4

    -2

    0

    2

    4

    -10

    0

    10

    4

    -2

    0

    2

    -4

    -2

    0

    2

    4-4

    -2

    0

    2

    4

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    4

    -2

    0

    2

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    Exemplo 03) f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

    EXERCÍCIOS BÁSICOS.

    Esboçar o gráfico das funções envolvendo duas variáveis.

    Utilize o software da Unesp para conferir seus cálculos - Applets em Flash

    www.calculo.iq.unesp.br/calculo2-2009_applets.html

    11) ( )  12)  ( )  

    13)  ( )  

    14)  ( )  

    15) ( )  

    16) ( )  

    17) ( )  

    -4

    -2

    0

    2

    4  -4

    -2

    0

    2

    4

    70

    80

    90

    100

    4

    -2

    0

    2

    http://www.calculo.iq.unesp.br/calculo2-2009_applets.htmlhttp://www.calculo.iq.unesp.br/calculo2-2009_applets.html

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     A RESOLUÇÃO DESSE TÓPICO ESTÁ EM AULA ON LINE

    REVISÃO DE DERIVADAS – REGRA DA CADEIA.

    Esta seção é de grande importância para que você tenha sucesso em derivadas parciais.

    Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

    18)  x x y   42

     

    19) 2

    2

     x x f      

    20)2

    3

    2

    3 x x

     y    

    21) 3  x y    

    22) ( ) 

    23) ( ) 

    24)  

    25) () 

    26)  

    27)  

    28)  

    29)  

    30) () 

    31) ( ) 

    32) () 

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    4. DERIVADAS PARCIAIS

    Nesta seção, vamos introduzir o conceito de derivada para funções de mais de uma variável. No

    entanto, vamos primeiro analisar um problema em que se calcula taxas de variação de uma função de duas

    variáveis. Investimento em produção. Considere que você tenha uma empresa cuja produção possa ser modelada

    pela seguinte função de Cobb-Douglas: P(K, L) = 10K0,4  L0,6  , onde P(K, L) é o valor da produção (medido em

    milhares de reais), P(K,L) é o investimento feito em infra-estrutura e K maquinário e L é o investimento feito em

    mão de-obra (ambos medidos em milhares de reais).

    A característica dessa função é que a produção de sua empresa depende mais da mão-de-obra do que

    da infra-estrutura e maquinário. No momento, você tem R$ 100.000 investidos em infra-estrutura e maquinário e

    R$ 200.000 investidos em mão-de-obra. Existe a possibilidade de investir mais R$ 10.000 em infra-estrutura ou em

    mão-de-obra, mas não em ambas simultaneamente e não deve haver parcelamento do investimento nessas duas

    áreas.

    Em qual das duas áreas o investimento deverá ser feito? A resposta pode ser obtida se calcularmos oquanto a produção deve variar caso seja feito o investimento em uma determinada área: infra-estrutura ou mão-

    de-obra. Para isto, devemos calcular a variação da função produção com relação a uma variação no capital

    investido em infra-estrutura e maquinário e a variação da função produção com relação a uma variação no gasto

    com mão -de-obra.

    Para compreender e chegar a uma solução, utilizamos conceitos matemáticos como o de derivadas

    parcais. 

    Quando temos uma função de várias variáveis, temos que derivar em relação a uma das vaiáveis, daí o

    nome “parcial”.

    Na prática é só derivar em relação à variável em questão, pensando que as outras variáveis são

    constantes. Só isso!

    Notações de derivadas parciais.

    Seja z = f (x,y) :

     y y y

     x x x

     f   z  y x f   y z 

     f   z  y x f   x

     z 

    ),(

    ),(

     

    Exemplo 01) Calcule as derivadas parciais da função ( )  

    (a) Vamos derivar em relação à , para isso considere  como uma constante, ou seja,

     ( )  

     ( )  

       

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    (b) Vamos derivar em relação à , para isso considere  como uma constante, ou seja,

     ( )  

     ( )  

       

    Interpretação geométrica da derivada parcial. Neste caso para .

    Veja mais alguns exemplos, para  genérico.

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    EXERCÍCIOS BÁSICOS.

    33)  Calcule x

     z 

     e

     y

     z 

     para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y².

    34) Calcule as derivadas parciais da função ( )   443  y x  

    35)  Calcular as derivadas parciais da função  ( ) ( ) 

    35)  Determinar as derivadas parciais de ( )

    36) Calcule as derivadas parciais de:

    a)  Z = 3x – y +2

    b)  Z = 8xc)  Z = 9

    d)  Z = ax + by + c

    e)  Z = 4x3 – 4y2 + 10

    f)  Z = 3xy

    g)  Z = 2x3 – 5yx + y3 

    Referências:

    PINTO, D. e MORGADO, M.C.F.; Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis, GUIDORIZZI, H.L.;

    Um curso de cálculo. Vol. 2.

    Dada as funções abaixo, encontrar as suas derivadas parciais.

    37) ( )   ) ( )  

    ) ( )   41) 3334),(   y xy y x f      

    39) 3 23 3),(     sr  sr  f     41 )22

    ),( y x

     xy y x f  

     

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    5. VETOR GRADIENTE.

    O Vetor gradiente de uma função é simplesmente um vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais

    dessa função. Simples né!

    Isso vale para funções de 2 e 3 variáveis. (ou mais, mas só veremos aqui nesse caso).

    A notação é a seguinte.

    Veja um exemplo.

    Então o vetor gradiente da função é dado por:

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    TEXTO COMPLEMENTAR:

    PARA QUE SERVE AO VETOR GRADIENTE.

    Vetores são muito utilizados nas disciplinas que envolvem estudos de forças internas que atuam num

    sistema. Disciplinas como estruturas isostáticas por exemplo, ou mecânica dos sólidos, ou cálculo estrutural.

    As forças são grandezas vetoriais, por esse motivo é imprescindível utilizar a linguagem vetorial nesses

    tipos de problemas. Quando um engenheiro calcula um torque gerado por um sistema ele deve conhecer as

    propriedades vetoriais da força que gera aquele torque, para poder calcular corretamente.

    Assim como na Engenharia Civil, outras engenharias também têm como objeto de estudo grandezas

    físicas vetoriais, por isso vetor é importante em todas essas áreas.

    Gradiente é uma propriedade de um campo vetorial (um espaço formado por vetores) o gradiente pode

    indicar a taxa de variação de um vetor, seja ela positiva ou negativa. O gradiente fornece informações importantes

    sobre como um vetor varia com a posição, dessa forma pode-se realizar previsões sobre aumento de força por

    exemplo.

    Para calcular um gradiente tomamos a derivada parcial em um campo vetorial nas três dimensões x,y e z,

    e cada derivada parcial representa a taxa de variação daquele vetor naquela direção. Dessa forma podemos saber

    se um vetor força, por exemplo, está aumentando em uma direção e diminuindo em outra.

    O gradiente pode apresentar aplicações no campo da hidrostática e hidrodinâmica (fenômenos de

    transportes na engenharia)

    Em resumo, é o vetor que indica a direção de maior crescimento de uma função em um determinado

    ponto. Sempre é perpendicular às curvas de nível.

    EXERCÍCIOS BÁSICOS.

    Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po   plano R2.

    42)  z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ).

    Resolução :

     x

     z 

     = 0

    10

    100.22

    22)1,0(22 

      x

     z 

     y x

     x  

     )1,0(z = ( 0, 2 )

     y

     z 

     = 2

    1

    2

    10

    1.2222)1,0(22

     

      y

     z 

     y x

     y 

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    43 ) z = x.sen y em Po ( 1,2

      

     ).

    Resolução :

     x

     z 

     = 1

    2sensen0.sen.1

    2,1

     

      

     

      

      

     x

     z  y x y  

      

      

       

    2,1

    z = ( 1, 0 )

     y

     z 

     = 0

    2cos

    2cos.1cos.cos.sen.0

    2,1

     

      

     

        

      

     y

     z  y x y x y  

    44 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) .

    45) Idem para z =32

    22

     y x

     y x

      em Po ( -1, 1 ) .

    Para cada função abaixo, encontre () 

    46) ( ) ( )  

    ) ( )  

    48)( )

     

    49) ( )  

    LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS.Encontrar as derivadas pedidas abaixo:

    50) f(x,y) = 6x + 3y - 7; f x e f y 

    51) f(x,y) = xy2 - 5y + 6; f x e f y 

    52) f(x,y) =22

     x y

     y x

    ; f x e f y 

    53) u(x,y,z) = 222  z  y x   , f x e f y 

    54) f(x,y) = exy + senx; f x e f y 

    55) Se S é a área superficial (em m2) do corpo humano, então a formula que dá um valor aproximado para S é:

    S = 2.W0,4.H0,7,

    Onde: H (em m) é a altura e W (em kg) é o peso. Se uma pessoa tem w = 70 kg e H = 1,80 m, achar a sua área

    superficial. Se outra pessoa tem w = 90 kg e H = 1,60 m, achar também a sua área superficial. Quem tem maior

    área superficial, a primeira ou a segunda pessoa. O que determinou a maior área superficial, H ou w?

    Resumindo: Se w = 70 kg e H = 1,80 m, acharW 

     e

     H 

    . Interpretar os resultados

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    RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

    LISTA COMPLEMENTAR SOBRE

    DERIVADAS PARCIAIS

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    MATERIAL EM AULA ON LINE

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    LISTA COMPLEMENTAR DE DERIVADAS PARCIAIS  – atividade complementar

    ) ( )

     

    ) ( ) ( ) 

    ) ( )  

    )( ) ( ) 

    ) √   

    ) √   

    )

     

    ) ( )

     

    ) ( ) 

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    RESPOSTA DA LISTA COMPLEMENTAR

     A RESOLUÇÃO SERÁ FEITA EM AULA ON LINE.