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Funes de vrias variveis

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Derivadas Parciais de ordens superiores Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funes j derivadas. Essas derivadas so derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. Exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da funo f(x,y) = 2x 3.e 5y. Temos que:

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Funes de vrias variveis Portanto, a segunda derivada, em relao a x : E a segunda derivada, em relao a y :

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Funes de vrias variveis Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial em relao a y, calculada agora em relao a x: E a segunda derivada da derivada parcial em relao a x, calculada agora em relao a y:

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Funes de vrias variveis Derivadas Parciais de ordens superiores As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima so chamadas de puras ; As duas ltimas so chamadas de mistas.

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Funes de vrias variveis Notao Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notaes de acordo com as expresses abaixo:

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Funes de vrias variveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas ltimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto no coincidncia. A igualdade ocorre desde certas condies sejam satisfeitas.

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Funes de vrias variveis Derivadas Parciais de ordens superiores Em nosso exemplo as duas ltimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto no coincidncia. A igualdade ocorre desde certas condies sejam satisfeitas. Proposio Se f(x,y) est definida numa certa vizinhana de (x 0,y 0 ) e tal que as derivadas existem e so contnuas nessa vizinhana, ento.

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Funes de vrias variveis Regra da Cadeia A regra da cadeia para funes de vrias variveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funes compostas de vrias variveis. Suponha que a funo P = p(x,y) com derivadas parciais contnuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matrias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).

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Funes de vrias variveis A quantidade produzida expressa-se como funo do tempo, de acordo com a seguinte expresso: P = p(x(t), y(t)) = P(t) A regra da cadeia para a composio desta natureza dada por:

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Funes de vrias variveis Exemplo Considere uma firma cuja receita expressa-se atravs da funo R(x,y) = xy 2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funes x = 4k + 3l e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relao ao capital e ao trabalho, como funes de tais variveis. Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes derivadas parciais:.

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Funes de vrias variveis Exemplo

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Funes de vrias variveis Exemplo Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

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Funes de vrias variveis Aplicao A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no plano XY dada por: T = 10.(x 2 + y 2 ) 2. Determine a taxa de variao de T em relao distncia no ponto (-1, 2) e na direo de do eixo Y; Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direo do eixo X a temperatura aumenta ou diminui?

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Funes de vrias variveis Soluo

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Funes de vrias variveis Curvas de nvel Para traduzir um grfico de z = f(x,y) em curvas de nvel, basta esboar as curvas-interseco de f(x,y) com z = c, para diferentes valores de c. Exemplo-1 Reconhecer e representar graficamente o grfico da funo z = f(x,y) = x 2 + y 2. Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equao: x 2 +y 2 =c. Isto significa que a projeo no plano xy da curva-interseco do plano horizontal z = c com o grfico da funo possui tal equao. Essa projeo a circunferncia de centro na origem e raio. Como o corte z = c um crculo, o grfico desta funo um parabolide de revoluo obtido pela rotao da parbola z = x 2 em torno do eixo z.

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Funes de vrias variveis Exemplo 1

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Funes de vrias variveis Exemplo 1

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Funes de vrias variveis Exemplos de outras curvas

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Funes de vrias variveis Exemplos de outras curvas

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Funes de vrias variveis Gradiente de uma funo O gradiente de uma funo f(x,y) num ponto (x 0,y 0 ), designado por f(x 0,y 0 ) ou grad f(x 0,y 0 ), o vetor livre cujas coordenadas so: e

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Funes de vrias variveis Simbolicamente: Exemplo 2 Calcule o gradiente da funo f(x,y) = 3x 2 y-x 2/3.y 2 no ponto (1,3).

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Funes de vrias variveis Resoluo Calculemos a derivada parcial da funo f(x,y) em relao a x e y: No ponto (1,3): Portanto, o gradiente da funo f(x,y) no ponto (1,3) o vetor f(1,3)=[12,-3].

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Funes de vrias variveis Gradiente de uma funo Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relao ao qual se calcula o gradiente.

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Funes de vrias variveis Gradiente de uma funo Dessas consideraes possvel pensar num campo de vetores gradiente de uma funo, que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funo.

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Funes de vrias variveis Relao entre Gradiente Curvas de Nvel Dizemos que um vetor u ortogonal a uma curva plana, dada pelas equaes paramtricas x = x(t) e y = y(t), se ele ortogonal ao vetor [x(t), y(t)], que o vetor tangente curva. Teorema O gradiente de uma funo f(x,y) no ponto (x 0,y 0 ) ortogonal curva de nvel da funo que passa por esse ponto.

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Funes de vrias variveis Prova Os pontos (x,y) sobre uma curva de nvel podem ser parametrizados por uma varivel t: x = x(t) e y = y(t); Como f(x 0,y 0 ) = C, ento, f(x(t),y(t)) = C; Derivando ambos os membros da igualdade em relao a t, obtemos, pela regra da cadeia:

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Funes de vrias variveis Prova O primeiro membro dessa igualdade o produto escalar dos vetores f(x(t),y(t)) e [x(t),y(t)]; Mas, [x(t),y(t)] o vetor tangente curva de nvel no ponto (x(t),y(t)); Portanto, o gradiente da funo f no ponto (x,y) ortogonal ao vetor tangente curva de nvel no ponto (x,y).