Função do 1º grau

A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas

situações distintas.

• Sua temperatura varia com o tempo de maneira

uniforme, aumentando 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 40 50 60 70 80

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 + 10.t

• Sua temperatura varia com o tempo de maneira

uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 – 10.t

Veja os gráficos cartesianos das duas funções

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

t(min) T(oC)

0 30

1 40

2 50

3 60

4 70

5 8020

40

60

80

5T = 30 + 10.t

Veja os gráficos cartesianos das duas funções

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

t(min) T(oC)

0 30

1 20

2 10

3 0

4 –10

5 –20–20

–40

20

40

5

T = 30 – 10.t

60

Função de 1º grau é toda função do tipo

y = f(x) = ax + b

Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.

Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função

linear.

Exemplos

• y = f(x) = 5x – 3

é uma função do 1º grau com a = 5 e b = –3.

• y = f(x) = –2x

é uma função do 1º grau, com a = –2 e b = 0

Nesse caso a função é chamada de linear.

Características da função do 1º grau y = ax + b.

• A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não.

• Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear.

• A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

Características da função do 1º grau y = ax + b.

• A constante real b é o coeficiente linear.

• Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0).

• O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

Crescimento e decrescimento.

a > 0 função crescente reta ascendente (sobe da esquerda p/

direita)

a < 0 função decrescente reta descendente (desce da esquerda p/

direita)

Exemplos • Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = x

y = x/2

y = 2xa > 0

Exemplos

• Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –x

y = –x/2

y = –2x

a < 0

A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b. Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo, de acordo com o valor da constante b.

Exemplos

• Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = x

a > 0

y = x – 3

y = x + 2

Exemplos

• Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –2x + 4

y = –2x

a < 0

y = –2x – 3

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções do

tipo y = ax + b.

• Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y?

b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).

Construir o gráfico da função y = 2x + 3.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = 2x + 3

x y = 2x + 3

0 y = 2.0 + 3 = 3

1 y = 2.1 + 3 = 5

Construir o gráfico da função y = –2x – 2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = –2x – 2

x y = –2x – 2

0 y = –2.0 – 2 = –2

1 y = –2.1 – 2 = –4

Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.

Exemplos

• A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de

reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês.

a) Escrever y em função de x.b) Obter a despesa na produção

de 76 t.c) Obter o número de toneladas

produzidas, para uma despesa de 93 mil reais.

x

y

0 20 3010

20

40

40

60

Despesa (milhares de reais)

Produção (t)

Exemplos

• Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.

x

y

0 2

4

A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).

Para x = 0 temos y = 4

Para x = 2 temos y = 0, substituindo em y = ax + b, temos

0 = a.2 + 4 –2a = 4

a = –2

y = –2x + 4

b = 4.

Exemplos

• Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.

A função é do tipo y = ax + b, com a e b reais (a ≠ 0).

Para x = 0 temos y = 1

Para x = –2 temos y = –1, substituindo em y = ax + b, temos

–1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2

a = 1

y = x + 1

b = 1.

x

y

0–2

1

–1