Funcoes gaia

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FUNFUNÇÇÕESÕES

P

x

y

O

y

x

P(x, y)

abscissa do ponto P

ordenado do ponto P

No caso, x e y são as coordenadas de P.

xO

y

E

A

F

B

C D

E (x, 0)

A (+, +)

C (0, y)

B (–, +)

C (–, –)

D (+, –)

FUNFUNÇÇÃOÃODEFINIDEFINIÇÇÃOÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma rela çção R de A ão R de A em B, essa relaem B, essa rela çção serão ser áá chamada de funchamada de fun çção quando ão quando para para todotodo e qualquer elemento de A estiver associado a e qualquer elemento de A estiver associado a um um úúniconicoelemento em B.elemento em B.

A relaA rela çção binão bin áária h = {(x;y)| x > y}ria h = {(x;y)| x > y}

y>x

A B2

4

1

3

5

h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}

A relaA rela çção binão bin áária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}

3xy +=

2

4

1

3

5

g: {(2;5)}g: {(2;5)}

A B

NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃO NÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO

c) A relac) A rela çção binão bin áária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}

1+= xy

A B2

4

1

3

5

f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}

f f éé uma funuma fun çção de A em B, pois ão de A em B, pois todotodoelemento de A estelemento de A est áá associado a associado a um um úúniconico elemento em Belemento em B

ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUN ÇÇÃO: f: A ÃO: f: A →→→→→→→→ BB

DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

x

y

0 1 2 3 4

Não é função

Não é função

x

y

0 1 2 3 4

É função

Considere a funConsidere a fun çção f: A ão f: A →→→→→→→→ B definida por B definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode --se se afirmar que o conjunto imagem de f afirmar que o conjunto imagem de f éé::

23 += xy

A B 23 += xy521.3 =+=y1

2

3

58

11

15

17

822.3 =+=y

1123.3 =+=y

23)( += xxf

→→→

5)1( =f

8)2( =f

11)3( =f

}11,8,5{)Im( =∴ f

GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: A ÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2

Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}

1 2 3

11

8

5

x

y

1 2 3

11

8

5

x

y

GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2

x

y

0

2

4 10

8

D = [4, 10[

Im = [2, 8[

D = {x ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/4 ≤≤≤≤ x < 10}

Im = {y ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ/2 ≤≤≤≤ x < 8}

Domínio

Imagem

Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 308. para x = 0, tem-se y = 216. para x = - 3, tem-se y = 032. A função é decrescente em todo seu domínio

VV

(3,3) ou f(3) = 3

(0,2) ou f(0) = 2

(-3,2) ou f(-3) = 2

VVFF


FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 1ÃO POLINOMIAL DO 1 ºº GRAUGRAU

y = f(x) = ax + b

a > 0

yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ

FUNÇÃO CRESCENTE

(0, b)

x

y

(0, b)

x

FUNÇÃO DECRESCENTE

a < 0

Raiz ou zero da funçãoy = 0

y = x – 2

y

(0, -2)

x2 3

1

4

2

5

3

y = 3x – 6 y

(0, -6)

x2 3

3

4

6

5

9

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO

∆x∆y

a =

Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).

f(3) = 5

f(-1) = -3

(3, 5)

(-1, -3)

y = ax + b

5 = a(3) + b

-3 = a(-1) + b

=+=+

3- b a-

5 b 3a

a = 2 b = - 1

f(x) = ax + b

f(x) = 2x – 1

Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15

Sabe-se que o valor de um carro novo é R$ 30 000,00 e, com 4 anos de uso, passa a ser R$ 20 000,00. Considerando o decrescimento li near, obtenha o valor desse carro depois de 8 anos de uso.

x(anos)

y(reais)

0 4

30 000

20 000

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,30000)

P2(4,20000)

30000 = a.0 + b

b = 30000

20000 = a. 4 + 30000

a = -2500

f(x) = a.x+ b

f(x) = -2500x+ 30000

f(8) = -2500.8+ 30000f(8)f(8) = = 10 00010 000

Portanto após 8 anos o valor do carro será R$ 10000,00

y = a.x+ b

y = a.x+ b

O valor de uma máquina decresce linearmente com o t empo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:

x(anos)

y(reais)

0 5

160

800


f(x) = a.x+ b

P1(0,800)

P2(5,160)

800 = a.0 + b

b = 800

160 = a. 5 + 800

-640 = 5a

a = -128

f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800

f(3) = -128.3+ 800f(3)f(3) = = 416416Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00

A semi-reta representada no gráfico seguinte expres sa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.

C(reais)

x(quilogramas)0 20

80

180

Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?


f(x) = a.x+ b

P1(0,80)

P2(20,180)

80 = a.0 + b

b = 80

180 = a. 20 + 80

20a = 100

a = 5

f(x) = a.x+ b

f(x) = 5.x+ 80

f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85

R$ 85 ⇔ 100%

R$102 ⇔ x

x = 120%

LUCRO DE 20%

Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:

x(anos)

y(reais)

0 6

500

860


f(x) = a.x+ b

A(0,860)

B(6,500)

860 = a.0 + b

b = 860

500 = a. 6 + 860

-360 = 6a

a = -60

f(x) = a.x+ b

f(x) = -60.x+ 860

a) f(3) = -60.3+ 860f(3) = 680

A

B

F

b) f(9) = -60.9+ 860f(9) = 320

F

c) f(7) = -60.7+ 860f(7) = 440

F

d) - 60x + 860 < 200-60x < -660

x > 11anos

F

e) f(13) = -60.13+ 860f(13) = 440f(13) = 80

V

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma fu nção afim (função do 1 o

grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as tempera turas 0 oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 2 70 ml do mercú rio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é

ml

temperatura0 100

20

270


f(x) = a.x+ b

P1(0,20)

P2(100,270)

20 = a.0 + b

b = 20

270 = a. 100 + 20

100a = 250

a = 2,5

f(x) = a.x+ b

f(x) = 2,5.x+ 20

y = 2,5x + 20

112,5 = 2,5x + 20

92,5=2,5x

37°C = x


FUNFUNÇÇÃO POLINOMIAL DO 2ÃO POLINOMIAL DO 2 ºº GRAUGRAU

y = f(x) = ax2 + bx + c

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

y

x x

y

a > 0 a < 0

RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22

ax2 + bx + c = 0 2 4V V

bx e y

a a

− −∆= =

RESUMO GRÁFICO

∆∆∆∆ > 0

x1 ≠≠≠≠ x2

x1 x2

y

x

∆∆∆∆ = 0

x1 = x2

x1 = x2 x

y

∆∆∆∆ < 0

x1, x2 ∉∉∉∉ R

x

y

Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t 2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir.

l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m.ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s.lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20].lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima.Todas as afirmações corretas estão em:

a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV

ACAFE – SC PUC – PR

O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) = L(x) = -- xx22 + 8+ 8x x -- 77, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente:

A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00

UFSC – SC

Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2) , onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a:

UFSC – SC

O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x 2. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos?

UFSC - SC

Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

GABARITO: 11

UFSC – SC

GABARITO: 1/2


PARIDADE DE FUNPARIDADE DE FUN ÇÇÕESÕES

FUNFUNÇÇÃO PAR OU ÃO PAR OU ÍÍMPARMPAR

FUNÇÃO PAR

VALORES SIMÉTRICOS DE XIMAGENS IGUAIS

f(x) = x 2 – 4 f(-3) = (-3)2 – 4 =

f(3) = (3)2 – 4 =

5

5

FUNÇÃO ÍMPAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS SIMÉTRICAS

f(x) = x 3

f(-4) = (-4)3 =

f(4) = 43 =

- 64

64

f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)

FUNÇÃO PAR

VALORES SIMÉTRICOS DE XIMAGENS IGUAIS

FUNÇÃO ÍMPAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS SIMÉTRICAS

f(-x) = f(x)

f(-x) = - f(x)

FUNFUNÇÇÃO PAR OU ÃO PAR OU ÍÍMPAR?MPAR?

1) f(x) = 4x 3 + xGRÁFICO SIMÉTRICO AO EIXO Y

GRÁFICO SIMÉTRICO EM RELAÇÃO A ORIGEM

2) f(x) = 3x 4 + 5x2

3) f(x) = 5x 4 + 2x3

4) f(x) = sen x

5) f(x) = cos x

6) f(x) = tg x

ÍÍMPARMPAR f(-x) = - f(x)f(-2) = - f(2)

PARPAR f(-x) = f(x)f(-3) = f(3)

SEM SEM PARIDADEPARIDADE

ÍÍMPARMPAR sen(-x) = - sen(x)sen(-30°) = - sen(30°)

PARPAR cos(-x) = cos(x)cos(-30°) = cos(30°)

ÍÍMPARMPAR tg(-x) = - tg(x)tg(-30°) = - tg(30°)

UFSC 2013 UFSC 2013

f f éé uma funuma fun çção ão ÍÍMPAR?MPAR?

NÃO, POIS f(NÃO, POIS f( --2) 2) ≠≠ --f(2)f(2)

Observe o gráfico da função cujo dom ínio é o conjunto D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4} e analise as afirmações a seguir.

ACAFE 2013.1 ACAFE 2013.1

l. A função é par.ll. A função possui 3 raízes reais.lll. No intervalo A=[1,3] a função édecrescente.IV. A funç ão pode ser representada por y = x³ - 3x² - x +3, sendo D={x∈∈∈∈ R/- 2 < x < 4}

Todas as afirmações corretas estão em:a) I - II - IIIb) II - IVc) II - III - IVd) III - IV


FUNFUNÇÇÃO COMPOSTAÃO COMPOSTA

( ) 34xxg −= ( ) 12xxf +=

A B C


f(g(x)) = fog (x)g(f(x) ) = gof (x)f(f(x) ) = fof(x)g(g(x) ) = gog(x)

NOTANOTAÇÇÕESÕES

2 5 11

( ) 5-8xg(x)f =

f(x) = 2x + 1

f(…) = 2(…) + 1

f(g(x)) = 2g(x) + 1f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1

CCÁÁLCULO de f(g(x))LCULO de f(g(x))

f(g(x)) = 8x – 5


Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. Calcule f(g(h(3))

f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1

h(3) = 3.3 – 1h(3) = 9 – 1 h(3) = 8

g(8) = 8 – 5 g(8) = 3

f(3) = 2.3 + 3f(3) = 6 + 3f(3) = 9

Portanto f(g(h(3)) = 9

O número N de caminhões produzidos em uma montadora dura nte um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t – t 2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se p roduzir N caminhões seja dado por C(N) = 50 + 30N.

a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de o peração da montadora.

b) Em que instante t, de um dia de produção, o cust o alcançará o valor de 2300 milhares de reais?

UFPR UFPR –– 2013 2013 –– SEGUNDA FASESEGUNDA FASE

UFSC UFSC –– VERDADEIRO OU FALSOVERDADEIRO OU FALSO

Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = sen x e g(x) = x 2 + 1. Então (fog)(x) = (fog)(– x) para todo x real.

UFSC 2012UFSC 2012

VV

Sejam h e k, duas funções, dadas por h(x) = 2x - 1 e k(x) = 3x + 2. Então h(k(1)) é igual a 9.

UFSC 2002UFSC 2002

VV

UFSC 2006UFSC 2006

UFSC UFSC –– QUESTÃO ABERTAQUESTÃO ABERTA


FUNFUNÇÇÃO INJETORA SOBREJETORA ÃO INJETORA SOBREJETORA E BIJETORAE BIJETORA

FUNFUNÇÇÃO INJETORAÃO INJETORA

GRÁFICO ESTRITAMENTE CRESCENTE OU ESTRITAMENTE DEC RESCENTE

FUNFUNÇÇÃO SOBREJETORAÃO SOBREJETORA

FUNFUNÇÇÃO BIJETORAÃO BIJETORA

UFSC 2013 UFSC 2013

f f éé uma funuma fun çção INJETORA?ão INJETORA?

NÃO, POIS f(2,3) = NÃO, POIS f(2,3) = f(2,7)f(2,7)

FUNFUNÇÇÃO INVERSAÃO INVERSA

3x 1-2x

f(x)−

=

Encontre a inversa da função

3x1-2x

f(x)−

=

x = 312

−−

y

y

x(y – 3) = 2y – 1

xy – 3x = 2y – 1

xy – 2y = 3x – 1

xy – 2y = 3x – 1

y(x – 2) = 3x – 1

y = 213

−−

x

x

2x13x

(x)f 1

−−=−

GABARITO: 27

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