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Fun¸ c˜oesHiperb´ olicas: algumas aplica¸ c˜oes em Geometria Diferencial Dulce Mary de Almeida & Bruno Tadeu Pereira Jacob Faculdade de Matem´ atica, FAMAT, UFU Faculdade de Engenharia Mecˆ anica, FEMEC, UFU 38400-902 Campus Santa Mˆ onica, Uberlˆ andia, MG 38400-902 Campus Santa Mˆ onica, Uberlˆ andia, MG E-mail: [email protected] E-mail: [email protected] Palavras-chave: Tractriz,Caten´aria,Fun¸ c˜oesHiperb´olicas,Pseudoesfera,Caten´oide. Resumo Asfun¸c˜ oes hiperb´ olicas representam um poderoso instrumento de c´ alculo e aparecem em diversos problemas aplicados ` a engenharia, f´ ısica e matem´ atica. O objetivo do nosso trabalho ´ e estudaraplica¸c˜ oes dessas fun¸ c˜ oes em dois modelos importantes da Geometria Diferencial: o ca- ten´ oide e a pseudoesfera, chamando a aten¸c˜ ao para aspectos que usualmente n˜ ao s˜ ao explorados no ensino de gradua¸c˜ ao, como por exemplo o parentesco entre suas respectivas curvas geratrizes: a caten´ aria e a tractriz. Inicialmente estudamos a caten´ aria (Fig. 1) motivados pelo cl´ assico problema do cabo sus- penso, que consiste em determinar a curva descrita por uma corda ou corrente flex´ ıvel, n˜ ao el´ astica, homogˆ enea, suspensa em suas extremidades e sujeita apenas ` a a¸ c˜ ao do seu pr´ oprio peso. Problema este que foi resolvido pelo matem´ atico e f´ ısico holandˆ es Christiaan Huygens, que mos- trou que a curva solu¸ c˜ ao ´ e a caten´ aria, ou seja, o gr´ afico do cosseno hiperb´ olico y = k cosh(x/k), [3]. Neste trabalho, analisamos a solu¸c˜ ao deste problema e exploramos tamb´ em, do ponto de vista da Geometria Diferencial, a superf´ ıcie obtida pela revolu¸c˜ ao da caten´ aria em torno do eixo-x (denominada caten´ oide, Fig. 2), chamando a aten¸c˜ ao para uma s´ erie de propriedades e curvas especiais desta superf´ ıcie, principalmente ` aquelas associadas ` asfun¸c˜ oes hiperb´ olicas. Provamos tamb´ em que o caten´ oide ´ ea´ unica superf´ ıcie m´ ınima de revolu¸c˜ ao. (a) Figura 1: caten´ aria (b) Figura 2: caten´ oide Na sequˆ encia estudamos a tractriz (Fig. 3), curva que soluciona o seguinte problema proposto por Leibniz: qual ´ e a trajet´ oria de um objeto, come¸ cando com um deslocamento horizontal, quando ´ e arrastado por uma corda de comprimento constante, sendo puxado por uma linha 572 ISSN 2317-3300
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Funcoes Hiperbolicas: algumas aplicacoesem Geometria Diferencial
Dulce Mary de Almeida & Bruno Tadeu Pereira JacobFaculdade de Matematica, FAMAT, UFU Faculdade de Engenharia Mecanica, FEMEC, UFU
38400-902 Campus Santa Monica, Uberlandia, MG 38400-902 Campus Santa Monica, Uberlandia, MG
E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
Palavras-chave: Tractriz, Catenaria, Funcoes Hiperbolicas, Pseudoesfera, Catenoide.
Resumo
As funcoes hiperbolicas representam um poderoso instrumento de calculo e aparecem emdiversos problemas aplicados a engenharia, fısica e matematica. O objetivo do nosso trabalho eestudar aplicacoes dessas funcoes em dois modelos importantes da Geometria Diferencial: o ca-tenoide e a pseudoesfera, chamando a atencao para aspectos que usualmente nao sao exploradosno ensino de graduacao, como por exemplo o parentesco entre suas respectivas curvas geratrizes:a catenaria e a tractriz.
Inicialmente estudamos a catenaria (Fig. 1) motivados pelo classico problema do cabo sus-penso, que consiste em determinar a curva descrita por uma corda ou corrente flexıvel, naoelastica, homogenea, suspensa em suas extremidades e sujeita apenas a acao do seu proprio peso.Problema este que foi resolvido pelo matematico e fısico holandes Christiaan Huygens, que mos-trou que a curva solucao e a catenaria, ou seja, o grafico do cosseno hiperbolico y = k cosh(x/k),[3]. Neste trabalho, analisamos a solucao deste problema e exploramos tambem, do ponto devista da Geometria Diferencial, a superfıcie obtida pela revolucao da catenaria em torno doeixo-x (denominada catenoide, Fig. 2), chamando a atencao para uma serie de propriedadese curvas especiais desta superfıcie, principalmente aquelas associadas as funcoes hiperbolicas.Provamos tambem que o catenoide e a unica superfıcie mınima de revolucao.
(a) Figura 1: catenaria (b) Figura 2: catenoide
Na sequencia estudamos a tractriz (Fig. 3), curva que soluciona o seguinte problema propostopor Leibniz: qual e a trajetoria de um objeto, comecando com um deslocamento horizontal,quando e arrastado por uma corda de comprimento constante, sendo puxado por uma linha
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reta vertical r? Neste trabalho, apresentamos a solucao deste problema e estudamos tambem asuperfıcie obtida pela revolucao da tractriz em torno da reta r, denominada pseudoesfera (Fig.4). Mostramos, por exemplo, que essa superfıcie possui curvatura gaussiana constante dadapor −1/a2, onde a e o comprimento constante da corda, sendo portanto um modelo para aGeometria Hiperbolica.
(c) Figura 3: tractriz (d) Figura 4: pseudoesfera
Um outro aspecto destas duas curvas pouco explorado e analisado nesse trabalho e a proprie-dade da tractriz como involuta da catenaria, ou seja, a tractriz e a curva cujo traco e a trajetoriadescrita por um ponto de um fio quando o mesmo e desenrolado do traco da catenaria, perma-necendo tenso durante o movimento.
E importante enfatizar que utilizamos tecnicas de Geometria Diferencial, Algebra Lineare Equacoes Diferenciais, que possibilitaram a demonstracao dos resultados estudados; utiliza-mos tambem os softwares Geogebra e Mathematica para ilustracao grafica e investigacao daspropriedades das curvas e superfıcies analisadas no trabalho, [1, 2].
Referencias
[1] M. P. DO CARMO, “Geometria diferencial de curvas e superfıcies”, Colecao Textos Uni-versitarios, Sociedade Brasileira de Matematica (SBM), Rio de Janeiro, 2005.
[2] A. GRAY, E. ABBENA, S. SALAMON, “Modern differential geometry of curves and sur-faces with Mathematica”, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006.
[3] P. R. RUFFINO, O problema da corda suspensa, Matematica Universitaria, 24/25 (1998)2-9.
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