Funções Hiperbólicas das aplicações às definições
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Funções Hiperbólicas
das aplicações às definições
Juliana Zys Magro
Karen Maria Jung
Lucas Backes
Rene Baltazar
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Educação Matemática e Tecnologia (MAT01074)
Profº Marcus Basso
MotivaçãoAo observar um fio usado para transporte de
energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso
do mesmo faz com que ele fique um pouco arredondado,
dando a impressão de que o gráfico formado pela curva
representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o
gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a
catenária (do latim catena=cadeia), pois foi através de uma
corrente metálica formada por elos (cadeias) que se
observou primeiramente tal curva.
Problemas
Um paraquedista salta, com velocidade inicial nula, a partir de
uma altura h acima do solo, e atua sobre ele uma resistência do
ar Newtoniana, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade.
Escolhendo “para cima” como sentido positivo, podemos
escrever:
0)0(
;2
v
kvmgdt
dvm
Problemas
Esta equação diferencial é do tipo a variáveis separáveis e o
problema de valor inicial acima tem solução:
onde . Observamos que, quando t tende ao infinito,
v(t) tende à velocidade limite . Na verdade, esta
velocidade não é atingida, porque o paraquedista atinge o solo
em algum instante de tempo finito.
,1
1)(
2/1
At
At
e
e
k
mgtv
2/1
2
m
gkA
2/1
k
mgv
Problemas
A solução pode ser reescrita fazendo uso de tangente
hiperbólica, pois:
.2
tanh)(
)(
1
12/2/2/
2/2/2/
At
eee
eee
e
eAtAtAt
AtAtAt
At
At
Um exemplo com números:
,/10
;/.21,0
;120
2
22
smg
msNk
kgm
leva ao gráfico para :)(tv
Problemas
Também encontramos problemas que envolvem funções hiperbólicas relacionados à
Combinatória, por exemplo:
Encontrar o número de r-seqüências quaternárias que contém somente um número par
de zeros.
Para resolvermos uma parte desse problema, encontramos a função geradora para o
dígito zero, que é:
Podemos ver que neste caso encontramos a expressão cosh(x).
).cosh()(2
1...
!6!4!21
642
xeexxx xx
Definição
sinh(t)=
tanh(t)=
cosh(t)=
2
tt ee
2
tt ee tt
tt
ee
ee
Por que o nome
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS?
Lembra-se das funções circulares?
sen(x) - cos(x) - tg(x) - sec(x) - cosec(x) - cotg(x)
Por que elas têm este nome?
Pois a partir de uma combinação de sen(x) e cos(x) pode-se “gerar” uma circunferência. Veja:
Esta circunferência é dada pela equação paramétrica
(x,y) = (cos(t), sen(t)), com 0 ≤ t ≤ 2pi.
Vamos nos convencer construindo-a usando o software Winplot.
x
y
Vá até o ícone Equação/Paramétrica
Faça f(t)=cos(t) e g(t)=sin(t)
Para mudar a cor, a espessura da linha do gráfico basta ir até o ícone
desejado e mudar;
Após feitas as escolhas bastar clicar em ok
Será que estas funções ditas hiperbólicas tem este nome porque através destas é possível “gerar” uma hipérbole? SIM, verificaremos isto fazendo os gráficos.
Primeiro faremos o gráfico da hipérbole dita unitária
Para isto vamos até o ícone Equação/Implícita e abrirá a seguinte janela:
122 yx
No campo maior digitamos a equação da
hipérbole da seguinte forma:
X^2-y^2=1
Para melhor visualização do gráfico
mudaremos sua cor para amarelo (para
isto basta ir até o ícone cor e escolher a
cor amarelo) e mudaremos sua
espessura para 5
Agora faremos os gráficos de:
(x,y)=(cosh(t), sinh(t))
(x,y)=(cosh(t), -sinh(t))
(x,y)=(-cosh(t), sinh(t))
(x,y)=(-cosh(t), -sinh(t))
Para isto basta ir até o ícone Equação/Paramétrica e digitar as
equações acima (uma de cada vez) e, para melhor
visualização dos resultados, mude a cor do gráfico para preto
com espessura da linha 1;
Vejamos os resultados obtidos:
A que conclusão podemos chegamos?
Principais Identidades
• Trigonometria circularx² + y² = 1
cos²(t) + sen²(t) = 1tg(t) = sen(t)/cos(t)cot(t) = cos(t)/sen(t)
sec(t) = 1/cos(t)csc(t) = 1/sen(t)
sen(2t)=2sen(t)cos(t)cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))
• Trigonometria hiperbólicax² - y² = 1
cosh²(t) - senh²(t) = 1tgh(t) = senh(t)/cosh(t)coth(t) = cosh(t)/senh(t)
sech(t) = 1/cosh(t)csch(t) = 1/senh(t)
senh(2t)=2senh(t)cosh(t)cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))
Referências:
• Anton, Howard. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 1 v.
• Santos, Jose Plinio de Oliveira. Introdução à análise combinatória. 3. ed. rev. Campinas, SP: Editora UNICAMP, c2002. x, 297 p. : il.
• Contribuição da professora Maria Cristina Varriale no primeiro problema .