Instituto Federal Fluminense

Clculo II Engenharia de Controle e Automao Industrial

Funes Hiperblicas

Autora:Daniele Nogueira de Souza

Definio As funes hiperblicas tm como caracterstica uma relao com as exponenciais ex e e x, atravs das expresses na figura abaixo, que so respectivamente as funes seno e cosseno hiperblico de x. Atravs da anlise dessas funes faz-se uma analogia com as funes trigonomtricas. As funes hiperblicas so essencialmente exponenciais.

Seno e Cosseno hiperblicos A funo seno hiperblico(senh), definida por:

A funo cosseno hiperblico (cosh) definida por:

O fato destas funes serem resultantes da soma e subtrao de uma exponencial crescente ex e uma exponencial decrescente e x lhes conferem propriedades nicas

Grficos

(a)seno hiperblico (b)cosseno hiperblico

Tangente,Secante,Cotangente e Cossecante hiperblicas Da mesma forma que no caso trigonomtrico as outras quatro funes hiperblicas podem ser definidas em termos de seno e cosseno hiperblicos. A funo tangente hiperblica (tgh) definida por: ou

A funo secante hiperblica (sech) definida por:

ou

Tangente,Secante,Cotangente e Cossecante hiperblicas A funo cotangente hiperblica (cotgh) definida por:

ou

A funo cossente hiperblica (cosech) definida por:

ou

Grficos

(a)Tangente hiperblica (b)Cotangente hiperblica

Grficos

(c)Secante hiperblica(d)Cossecante hiperblica

Frmulas hiperblicas

Frmulas hiperblicas

sh=senh ch=cosh Th=tgh

Funes hiperblicas inversas As funes hiperblicas inversas esto ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua anlise excencialmente exponencial, como a anlise das funes hiperblicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a anlises de estruturas no lineares. Embora as funes hiperblicas sejam semelhantes s trigonomtricas, estas funes se baseiam em ngulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonomtricos por isso utilizamos a nomeclatura de argfunch(x), pois no podemos classificar os ngulos hiperblicos como arcos.

Funo inversa do seno hiperblico Chama-se argumento seno hiperblico e denota-se por y = arg senh(x). Resolvendo a expresso em relao a y(levando em conta que , e y > 0 ) obtemos a expresso analtica da funo:

Portanto:

Grfico

Esse grfico obtido fazendo uma reflexo do grfico da funo senh sobre a reta y x.

Funo inversa do cosseno hiperblico A inversa chama-se argumento cosseno hiperblico e denota-se por y = arg cosh(x)

.

Resolvendo a expresso em relao y (e levando em conta que a funo exponencial e y crescente) obtemos a expresso analtica da funo :

Portanto:

|x|>1

Grfico

Inversas das funes tangente e cotangente hiperblicas. A inversa de tgh chama-se argumento tangente hiperblico e denota-se por y = arg tgh(x) e a inversa de cotgh chama-se argumento cotangente hiperblico e denota-se y= arg cotg(x). Resolvendo as expresses de tgh e cotgh em relao y obtemos respectivamente as expresses analticas das funes:

Portanto: |x|1

Grficos

Inversas das funes secante e cossecante hiperblicas. A inversa de sech chama-se argumento secante hiperblico e denota-se por y = arg sech(x) e a inversa de cosech chama-se argumento cossecante hiperblico e denota-se y= arg cosech(x). Resolvendo as expresses de sech e cosech em relao y obtemos respectivamente as expresses analticas das funes:

Portanto: 0