Funções Matemáticas

Cuiabá , 2010

LICENCIATURA PLENA EM CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA - UAB - UFMT

Fu n ç õ e s M at e M át i c a s

Instituto de FísicaAv. Fernando Correa da Costa, s/nº

Campus UniversitárioCuiabá, MT - CEP.: 78060-900

Tel.: (65) 3615-8737www.fisica.ufmt.br/ead

Fu n ç õ e s M at e M át i c a s

Autores

Eduardo Augusto Campos Cur vo

Sandro Guedes de O liveira

Corpo Editorial

• DeniseVargas• CarlosRinaldi• IramaiaJorgeCabraldePaulo• MariaLuciaCavalliNeder

ProjetoGráfico:PauLo H. Z. Arruda / Eduardo H. Z. Arruda / Everton Botan Revisão:Denise Vargas Secretária(o):Neuza Maria Jorge Cabral / Felipe Fortes

C o P y R I g h T © 2010 UAB

FICHA CATALOGRÁFICA

Curvo, Eduardo Augusto Campos. Funções Matemáticas./ Eduardo Augusto CamposCurvo, Sandro Guedes de Oliveira. - - Cuiabá: UFMT/UAB, 2010.

1.Matemática. 2.Funções Matemáticas.I.Oliveira, Sandro Guedes de. II.Título.

CDU 51

C978f

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22

22

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Vii

conceito de função é corretamente considerado como um dos mais impor-tantes em toda matemática. Sendo assim é natural que seja usado como

princípio central e unificador na organização dos cursos elementares de matemá-tica. O conceito parece representar um guia natural e efetivo para a seleção e de-senvolvimento do material de textos de matemática. Enfim, é inquestionável que quanto antes se familiarize um estudante com o conceito de função, tanto melhor para a sua formação matemática. Neste fascículo apresentamos a evolução históri-ca do conceito de função, suas definições e aplicações no dia-a-dia. Apresentamos assim uma ferramenta matemática importantíssima para a descrição da natureza que nos rodeia.

P r e Fá c i o

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s u M á r i o

iXUAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas |

1. co M o s u r g i r a M a s F u n ç õ e s?

2 . D e F i n i n D o a s F u n ç õ e s

3. a l é M D a s F u n ç õ e s

r e F e r ê n c i a s B i B l i o g r á F i c a s

11

17

49

53

UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 11

co M o s u r g i r a M a s Fu n ç õ e s

1

conceito de função, tal qual o conhecemos hoje, deve-se principalmente a avanços realizados durante o século XIX. Antes disso pode-se falar de noções de funcionalidade. Os Babilônios, por

exemplo, possuíam tábuas matemáticas de quadrados, raízes quadradas, cubos e raízes cúbicas.

Tábua de argila da babilônia com anoTações. a diagonal apresenTa uma aproximação da raíz quadrada de 2 em quaTro figuras sexagesimais. 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...

fonTe: © 2007 sT. lawrence universiTy

O

© A. Aaboe© West Semitic Research/Reprodução

12 | Ciências Naturais e Matemática | UAB

numerais babilônicosfonTe: hTTp://www-hisTory.mcs.sT-andrews.ac.uk/hisTTopics/babylonian_nume-rals.hTml

O número 60 tem a vantagem de ter muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60), com o que se facilita o cálculo de frações. É importante notar que 60 é o menor número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Ao contrário da maioria dos demais sistemas de numeração, o sexage-simal não se usa muito em computação ou em lógica, mas sim na medida de ângulos e coordenadas geométricas. A unidade padrão em sexagesimal é o grau. Uma circunferência se divide em 360 graus. As divisões sucessivas do grau dão lugar aos minutos de arco (1/60 do grau) e segundos de arco (1/60 do minuto).

Como no caso do sistema decimal sua origem remonta a uma maneira de contagem baseada nos dedos das mãos. Na antiguidade os habitantes do chamado Crescente Fértil contavam marcando com o dedo polegar da mão di-reita cada uma das 3 falanges dos dedos restantes da mesma mão, começando pelo dedo mindinho. Assim podiam contar até 12. Para seguir com números maiores cada vez que se realizava essa operação se levantava um dedo da mão esquerda, até completar 60 unidades (12 x 5 = 60). Por esse motivo o número 60 foi considerado um “número redondo”, transformando-se em uma referência ha-bitual em transações e medidas. O mesmo aconteceu também com os números 12 (uma mão direita) e alguns de seus múltiplos como o 24, 180 e 360. Logo, o sistema sexagesimal (base 60) se assemelha em suas raízes históricas com o sistema duodecimal (base 12).

o s M e s o P o tâ M i c o s u s aVa M u M s i s t e M a M at e M át i c o s e X a g e s i M a l

(B a s e a D o n o n ú M e r o 6 0). Q u a i s s ã o a s Va n ta g e n s?


Nessa direção pode-se considerar também as tábuas trigonométricas do livro O Almagesto, de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.), como precur-soras do conceito de função. O Almagesto apresenta uma tabela com as cordas dos arcos de 1/2º a 180º em intervalos de 1/2º. Esses valores são importantes quando se realiza cálculos de movimentos complexos realizados por estrelas e planetas. Provêm assim a possibilidade de prever a ocorrência de eclipses solares e lunares.

Durante a idade média não aconteceram avanços significativos no conceito de função. Entre os motivos que levaram a essa falta de desenvolvimento encontram--se a não existência da álgebra literal (método pelo qual as quantidades conhecidas e desconhecidas são expres-sas por letras do alfabeto) e a postura vigente da ciência frente a descrição dos fenômenos da natureza. Os Ba-bilônios desenvolveram um tipo de álgebra numérica. Após isso os Gregos desenvolveram a álgebra geomé-trica. O terceiro estágio de desenvolvimento da álge-bra começou nos primeiros séculos depois de Cristo e prolongou-se até a virada do século XVII. Seu começo foi marcado com a introdução do simbolismo literal de Diofanto de Alexandria, e seu fim com a criação do cál-culo literal nos trabalhos de François Viète (1540-1603) e René Descartes (1596-1650). Foi só então que a álgebra adquiriu uma linguagem distinta, a qual usamos hoje. Na idade média a ciência ainda não havia escolhido a descrição quantitativa dos fenô-menos como uma condição sine qua non para seu desenvolvimento. Isso só aconteceu no Renascimento, devido principalmente a Galileu Galilei (1564-1642).

O início de uma noção de função como uma entidade matemática individua-lizada pode ser traçada desde o início do cálculo infinitesimal. Descartes claramen-te disse que uma equação de duas variáveis, geometricamente representadas por uma curva, indica uma dependência entre quantidades variáveis. A ideia de derivada surgiu como uma maneira de encontrar a tangente a cada ponto dessa curva.

Isaac Newton (1642-1727) foi um dos primeiros matemáticos a demonstrar como funções podem ser expandidas em séries de potência infinita, permitindo assim a intervenção do processo infinito. Ele utilizava o termo “fluent” para designar variáveis independentes, “relata quantitas” para indicar variáveis dependentes e “genita” para se referir a quantidades obtidas de outras utilizando-se as quatro operações matemáticas fundamentais.

Foi Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quem primeiramente utilizou o termo “função” em 1673. O termo função para Leibniz designava, em termos gerais,

Almagesto é a forma Latina do nome Arábico (يطسجملا باتكلا, al-kitabu-

-l-mijisti, em Português O Grande Livro) de um tratado matemático e astronômico que

propôs os movimentos complexos de caminhos descritos por estrelas e planetas. Foi original-mente escrito em Grego como Μαθηματικἠ Σύνταξις (Mathematikē Sýntaxis, Tratado Ma-temático; depois intitulado Hē Megálē Sýntaxis, O Grande Tratado) por Ptolomeu de Alexandria (90-168), no Egito durante o século II. Seu modelo geocêntrico foi aceito como correto por mais de mil anos em sociedades Islâmicas e Europeias, através da Idade Média e do iní-cio do Renascimento. O Almagesto é a fonte mais importante de informação sobre astrono-mia Grega antiga. É também valorizado por documentar o trabalho do matemático grego antigo Hiparco (190-120 a.C.), que foi perdi-do. Hiparco escreveu sobre trigonometria, mas como seus trabalhos foram perdidos, matemá-ticos usam o livro de Ptolomeu como referência a seu trabalho e a trigonometria grega antiga em geral.

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(B a s e a D o n o n ú M e r o 6 0). Q u a i s s ã o a s Va n ta g e n s?


a dependência de quantidades geométricas como subtangentes e subnormais na forma da curva. Ele também introduziu os termos “constante”, “variável” e “parâmetro”.

Em 1718 Johann Bernoulli (1667-1748) publicou um artigo, que teve grande disseminação, no qual definiu a função de uma variável como “uma quantidade que é composta de alguma maneira daquela variável e de constantes”. Pouco tempo depois Leonhard Paul Euler (1707-1783), que foi previamente aluno de Bernoulli, considerou uma função como “uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e cons-tantes”. Entretanto, essa definição de Euler leva a incoerências. Isto porque a mesma função pode ser representada por muitas expressões analíticas diferentes. Utilizando a terminologia dos dias atuais pode-se dizer que a definição de Euler incluía apenas as funções analíticas, um subconjunto restrito da já pequena classe de funções contínuas. A identificação de funções com expressões analíticas permaneceu inalterada por todo o século XVIII.

No século XIX contudo, a noção de função sofreu sucessivas expansões e cla-rificações que mudaram profundamente sua natureza e seu significado. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) por exemplo, trabalhava com o problema de fluxo de calor em corpos materiais. Fourier considerava a temperatura como função de duas variáveis, o tempo e o espaço. Em algum momento ele conjecturou que seria possível obter o desenvolvimento de qualquer função em termos de séries trigonométricas. Essas séries envolvem uma forma de relação mais geral entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas anteriormente. Fourier, contudo, nunca deu prova matemática de sua asser-ção. Posteriormente o problema foi estudado por Johann Peter Gustav Lejeune Diri-chlet (1805-1859) que formulou condições suficientes para que uma função pudesse ser representada por uma série de Fourier. Para isso Dirichlet precisava separar o con-ceito de função de sua representação analítica. Ele realizou isso em 1837, enunciando o conceito de função em termos de uma correspondência arbitrária entre variáveis representando conjuntos numéricos. Uma função então tornou-se a correspondência entre duas variáveis, de forma que cada valor da variável independente associa-se um e somente um valor da variável dependente (caso se tenha uma função unívoca). Ou, de forma mais elaborada: Uma variável é um símbolo que representa qualquer um dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribuí um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função. A definição de função de Dirichlet é ampla, e não implica a necessidade de acomodar a relação que há entre x e y em uma expressão analítica. Essa definição acentua a ideia de relação entre dois conjuntos de números.


Séries são somas de números. Uma função pode ser expressa como uma série, por exemplo, a função seno(x) pode ser escrita como:

( )!( )

! !...sen x

nx x x x

2 11

3 5

n

n

n

0

2 13 5

=+

-= - + -

3

=

+/

( ) ( ) ( )cos sinf x a a nx b nx21

n

n

n

n

0

1 1

= + +3 3

= =

/ /

( ) ( )cosan

f x nx dx1n

n

n

=-

# ( ) ( )sinbn

f x nx dx1n

n

n

=-

#

Uma série trigonométrica pode ser expressa como:

Quando os coeficientes an e bn são da forma:

tem-se a chamada Série de Fourier. Uma das grandes aplicações da Série de Fou-rier é decompor funções periódicas complexas em uma soma de funções periódicas simples, isto é, em senos e cossenos. As séries de Fourier são aplicadas em enge-nharia elétrica, análise vibracional, acústica, ótica, processamento de sinal, proces-samento de imagem, mecânica quântica, econometria, etc.

s é r i e s tr i g o n o M é t r i c a s e s é r i e s D e Fo u r i e r :

1

12

-1

0,5

0,51 ,5

- 0,5

XL

1

12

-1

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- 0,5

XL

1

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0,2

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0,4

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XL

1

1 2

0,2

0,8

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0,4

0,6

XL

Onda Dente De Serra

Semicírculo

Onda Quadrada

Onda Triangular


Com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, iniciada por Georg Cantor (1845-1918), a noção de função continuou a evoluir. No século XX o conceito de função foi estendido para incluir relações entre dois conjuntos de elementos quaisquer, sejam eles numéricos ou não numéricos.

Em seu começo a noção de função foi utilizada para designar corres-pondências entre entidades geométricas. Então, através de sua associação com o estudo de expressões analíticas, as funções criaram seu lugar junto ao pensamento matemático. Para indicar esse papel histórico, Youschkevitch (1976) comenta: “Foi o método analítico de introduzir as funções que revo-lucionou a matemática e, devido a sua eficiência extraordinária, assegurou um papel central para a noção de função em todas as ciências exatas”. Essa associação entre expressões analíticas e objetos geométricos se revelou tão frutífera, que ainda permeia o atual desenvolvimento da matemática.

george ferdinand ludwig phi-lipp canTor (são peTersburgo, 3 de março de 1845 — halle, 6 de Janeiro de 1918) foi um maTe-máTico russo de origem alemã.fonTe: wikipédia.


D e F i n i n D o a s Fu n ç õ e s

2

conceito de função é extremamente complexo e precisa ser introduzido aos poucos desde a pré-escola, passando pelos anos iniciais do ensino fundamental. Nos anos finais do ensino fun-

damental, tema desta obra, a formalização matemática do conceito de função deve ser iniciada para pos-teriormente, no ensino médio, ser completada. Ao final do ensino médio, o aluno deverá ter seus conhe-cimentos sobre funções já solidificados e deve estar preparado para o estudo destas funções através do cálculo diferencial e integral.

Um caminho viável para a formalização do conceito de função nos anos finais do ensino fundamental é a partir de exemplos. Comecemos com uma primeira definição de função:

A função descreve uma regra ou uma lei, pela qual um número fica determinado a partir de outro.

Esta não é uma definição formal, mas podemos começar a trabalhar a partir dela. Consideremos os exemplos abaixo:

e X e M P l o 1:Um determinado tipo de automóvel possui um tanque com capacidade para 50 litros de

combustível. O proprietário do veículo enche o tanque com etanol, para o qual o consumo médio é de 10 quilômetros rodados para cada litro. A informação da sentença anterior descreve uma regra pela qual o combustível é consumido. A partir desta regra podemos determinar quantos litros são consumidos em fun-ção dos quilômetros rodados. Podemos também dizer quantos litros ainda restam no tanque. Colocando em números:

Quilômetros rodados 10 100 200 300 400 500

Combustível gasto 1 10 20 30 40 50Combustível restante 49 40 30 20 10 0

O


A equação acima descreve genericamente a lei de consumo de combustível. O símbolo x é a representação simbólica do conjunto contendo todos os valores possíveis de quilômetros rodados. Substituindo valores de quilômetros rodados no lugar de x ou, em outras palavras, variando o valor de x, encontramos diferentes valores de y, que também pode ser visto como a representação simbólica do conjunto contendo todos os valores de combustível consumido. Neste problema, x e y são variáveis, respectiva-mente representando quilômetros rodados e combustível consumido.

As variáveis são representações simbólicas para os conjuntos. A vantagem do uso de variáveis é que elas permitem generalizações. Neste exemplo, o uso de variáveis per-mitiu que escrevêssemos matematicamente a lei de consumo de combustível, a partir

( )( ) ( )

10 ( )ykm rodados

litro consumido km rodadoslitros consumidos linha b

101 100#

= =

A primeira coluna numérica representa a solução do seguinte problema específico: qual a quantidade combustível gasto (linha b) depois de o automóvel ter percorrido a distância de 10 km (linha a)? Quanto combustível ainda resta no tanque (linha c)?

Este problema pode ser facilmente resolvido pelo aluno com as informações for-necidas. Da mesma forma para as outras colunas. A tabela acima poderia ter sido pre-enchida pela solução do problema de se determinar o combustível gasto e o combustível restante.

Passo a passo, a solução deste problema seria, por exemplo, para a segunda coluna numérica:

1 litro consumido ---------------- 10 km rodadosy litros consumidos -------------- 100 km rodados

Que resulta em:

Na linha c teríamos

z = (quantidade inicial de combustível) - (quantidade consumida) = 50 - 10 = 40 litros restantes

Este é um bom momento para introduzir o conceito de variável. Na solução apre-sentada, o problema é resolvido para cada coluna. Ao invés disto, poderíamos substituir o número correspondente aos quilômetros rodados por um símbolo, por exemplo, x. Refazendo a solução:1 litro consumido ---------------- 10 km rodadosy litros consumidos ------------- x km rodados

Que resulta em:

( )( )

ykm rodados

litro consumido xou y x

101

101#

= = ( 1 )


dos quilômetros rodados. Desta forma, y fica determinado a partir dos valores de x. Mais matematicamente, y é uma função de x. O valor para a variável y depende do va-lor da variável x, portanto y é a variável dependente enquanto x é a variável independente. O diagrama de flechas abaixo mostra esquematicamente esta relação:

figura 1 – diagrama de flechas para o problema de se deTerminar o consumo de combusTível.

Na Figura 1, as setas representam o papel desempenhado pela equação (1), que é relacionar valores do conjunto dos quilômetros rodados a valores no conjunto do com-bustível consumido. A equação (1) é uma função. Outra forma de escrever a equação (1) seria

( )y x x101=

( )f x x101=

50z x101= -

Na equação acima, y(x) deve ser lido como “y de x”, para expressar o fato de que y é uma função de x. É ainda usual a notação y = f (x), que se lê “y é igual a f de x”, para novamente expressar que y é uma função de x. A equação (1) poderia ser novamente reescrita como:

Voltando para o nosso problema, podemos ainda encontrar a representação mate-mática para a regra que descreve a quantidade de combustível restante no tanque:

Substituindo a equação para y:

z = (quantidade inicial de combustível) - (quantidade consumida) = 50 - y

Esta equação nos permite prever a quantidade de combustível restante no tanque como uma função dos quilômetros rodados. Neste caso, z é uma função de x. Portanto z é a variável dependente, representando o combustível restante no tanque e x é a va-riável independente, novamente representando os quilômetros rodados. Também aqui podemos escrever

x, Km rodados

y, consumo

( 2 )

( 3 )

( 4 )


Cabe aqui um comentário sobre os símbolos escolhidos para representar variáveis. Normalmente, a primeira escolha para variáveis é o par (x,y) e f(x) é usada para expres-sar que y é uma função de x. Porém, quando há mais de uma função no problema, as variáveis adicionais são representadas por “z”, “w”, “u” e para a função de f(x), usa-se g(x), h(x), j(x). Isto não é uma regra rígida. Qualquer letra pode ser usada para repre-sentar variáveis, desde que o seu significado seja claramente definido. Em problemas de aplicação prática, os símbolos escolhidos para as variáveis normalmente remetem ao seu significado. Por exemplo, para a variável tempo, a escolha mais comum é o t; para a variável distância escolhe-se x ou d; para a variável altura escolhe-se y ou h; para uma variável representando a quantidade de algo, escolhe-se n e assim por diante.

Estamos prontos para a introdução de um conceito mais formal de função:

Uma função de um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento em R a cada elemento em D.

D é o domínio da função, no nosso exemplo, o conjunto dos valores de quilô-metros rodados, qualquer valor entre 0 e 500 km. R é o contradomínio da função, que é o mais amplo possível. No nosso exemplo, o conjunto de todos os valores possíveis de combustível consumido. Há ainda outro conjunto importante, a imagem. A imagem é um subconjunto de R e é obtido aplicando a função a todo o domínio. Neste exemplo específico a imagem coincide com o contradomínio porque a este é imposta uma limi-tação física, o volume do tanque. Estes conjuntos estão representados na figura abaixo.

( ) 50z x x101= -

( ) 50g x x101= -

Também podemos escrever que z = g(x), também expressando que z é uma função de x. O uso da letra “g” ao invés de “ f ” decorre do fato de que as duas funções repre-sentadas neste problema são formalmente diferentes. Assim,

figura 2 – domínio, conTradomínio e imagem.Domínio

Imagem

Contradomínio

( 5 )

( 6 )


Outra imagem bastante útil na apresentação de função é um esquema de má-quina, onde a variável x é inserida. A função aplica as regras definidas e produz um valor na imagem da função.

figura 3 – diagrama de máquina para a represenTação de função.

A Figura 4 mostra esquematicamente exemplos de relações que não se caracteri-zam como funções

figura 4 – exemplos de relações que não são funções.

e X e M P l o 2: D o M í n i o , c o n t r a D o M í n i o e i M a g e M .

O goleiro de um time de futebol pega a bola e imediatamente dá um chutão para frente. Observando o movimento da bola, vemos que ela sobe até uma altura máxi-ma e depois começa a descer até atingir o solo (ou outro jogador) a uma distância de algumas dezenas de metros. A trajetória está mostrada na Figura 5.

Observe que a altura da bola, y, está relacionada à sua distância a partir do goleiro, x. Portanto, conhecendo a distância que a bola já viajou, a sua altura fica determinada. A trajetória da bola é uma função. Vejamos:

O domínio, D, desta função é o conjunto dos valores de desde a posição do goleiro até a posição onde a bola toca o solo;

O contradomínio, R, é limitado inferiormente pelo solo (y = 0), mas não há barreira que limite superiormente a trajetó-ria da bola. Portanto, o contradomínio é o intervalo de valores de y que vai de zero até o infinito (ver Quadro II). A imagem, I, da função é o conjunto dos valores de altura encontrados quando os valores de x são variados. Observando a Figura 5, vemos que associados aos valores de x, estão valores de y que vão de zero até a altura máxima.

figura 5 – TraJeTória da bola chuTada pelo go-leiro.

Matéria-prima(domínio)

xf

f(x)

Produto(imagem)

(a) (b)Não é função Não é função

0

y

x1 2

1

x


Tendo estabelecido, domínio, contradomínio e imagem podemos parafrasear a definição de função para o nosso exemplo:

A função y(x), altura em função da distância a partir do goleiro, estabelece para cada valor de distância (elemento de D), um único valor de altura (elemento de R).

e X e M P l o 3: n ã o é F u n ç ã o

A órbita da Terra ao redor do Sol é uma elipse. Para servir ao nosso exemplo, va-mos desenhar um par de eixos, x e y, onde mediremos as coordenadas da Terra na sua trajetória ao redor do Sol. Este arranjo está mostrado na Figura 6(a).

(a) (b)

figura 6 – TraJeTória da Terra ao redor do sol.

Analisemos esta situação:

• O domínio está limitado pelos valores de x onde a aproximação da Terra em relação ao Sol é máxima e mínima.

• O contradomínio não é limitado, portanto vai do infinito para valores negati-vos de y até o infinito para valores positivos de y.

• A imagem é delimitada pelos valores de ymax e ymin, mostrados na figura.

Diferentemente do caso anterior, porém, não podemos parafrasear a definição de função. Ela não se aplica porque para cada valor no domínio, há dois valores na ima-gem. Este é o caso mostrado na Figura 4 (b). Por exemplo, para x = 0 encontramos para y os valores ymin e ymax. Portanto, a trajetória da Terra ao redor do Sol não define uma fun-ção. Intuitivamente, porém, parece claro que a trajetória do sol fica determinada pela curva mostrada na figura. Esta aparente dificuldade pode ser resolvida dividindo-se a

y

x

ymáx

Terra

Sol

ymi n

ymáxFunção 1

Função 2

Terra

Sol

ymi n


imagem em valores positivos e valores negativos de y. Desta forma, precisamos de duas funções para descrever a trajetória da Terra ao redor do Sol (Figura 6 (b)).

e X e M P l o 4: Fu n ç ã o i n j e t o r a , s o B r e j e t o r a e B i j e t o r a

Nos exemplos anteriores, discutiu-se a definição de função e ensinou-se como uma função pode ser reconhecida. Porém, numa análise mais detalhada das funções vemos que elas apresentam características que as diferenciam umas das outras. Nos dois últimos exemplos, vemos que, tanto para a trajetória da bola como para cada uma das funções definindo a trajetória da Terra, para cada valor de y há dois valores de x e que o domínio e a imagem são diferentes nos dois casos. Já no primeiro exemplo, do consumo de combustível, cada valor de quilômetros rodados, x, está relacionado a somente um valor de combustível consumido, y. Outra peculiaridade deste exemplo é que o contradomínio (limitado pela capacidade do tanque) é igual à imagem (valores gerados pela função).

Tendo reconhecido que há diferenças entre as funções, é conveniente atribuir-lhes nomes ou classificá-las de acordo com as suas características. Assim, por exemplo, ao invés de dizer que a função que descreve o consumo de combustível associa um único valor de quilômetros rodados (x) a um único valor de combustível consumido (y), dize-mos simplesmente que ela é injetora. É conveniente passar às definições:

Função injetora: Função onde cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento no domínio. Neste caso, o número de elementos no contradomínio é maior ou igual ao número de elementos na imagem. A função que descreve o consumo de com-bustível é injetora. Já a função que descreve a trajetória da bola não é injetora porque há duas distâncias (elementos do domínio) onde a bola terá a mesma altura (elemento da imagem).

Função sobrejetora: Função onde o conjunto imagem coincide com o conjunto contra-domínio. Este é novamente o caso do exemplo do consumo de combustível. Quando o tanque está cheio, a imagem (valores de combustível consumido) coincide com o con-tradomínio (volume do tanque).

Vamos considerar o caso do motorista que nunca enche o tanque. Vamos supor que ele sempre abastece o tanque até a metade da sua capacidade. Com esta condição, o contradomínio (volume do tanque) será sempre maior que a imagem (volume máximo de combustível no tanque) e a função que descreve o consumo não é sobrejetora.

Voltemos ao exemplo da trajetória da bola. Porém, desta vez vamos mudar o local da partida para um estádio coberto. Em relação ao estádio descoberto, houve uma mu-dança de contradomínio. A altura máxima que a bola pode alcançar é o teto do estádio. Portanto, o contradomínio agora é o conjunto de todos os valores de altura desde zero (o solo) até a altura da cobertura. O goleiro chuta a bola para frente. Desta vez, ela vai tão alto que, na sua altura máxima, tangencia a cobertura do estádio. A imagem da função que descreve a trajetória da bola (valores de altura da bola ao longo da sua


trajetória) é formada também por valores de zero até a altura do teto, uma vez que a bola tangenciou a cobertura. Neste caso imagem e domínio coincidem e a função que descreve a trajetória da bola após o chute do goleiro é uma função sobrejetora, mesmo sem ser injetora. Note que, se o goleiro tivesse lançado a bola a uma altura menor, a função que descreve a trajetória da bola não seria sobrejetora porque os valores de altura da bola (imagem) formam um conjunto menor que o conjunto dos valores possíveis, limitados pela altura da cobertura do estádio (contradomínio)

Função bijetora: Função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Dos exemplos anteriores, somente a função que descreve o consumo de combustível (quando o tan-que está inicialmente cheio) é uma função bijetora: associa a cada valor de combustível consumido um valor de quilômetros rodados (injetora) e os valores de combustível con-sumido (imagem) coincidem com os valores possíveis, limitados pelo volume do tanque (contradomínio). A trajetória da bola no estádio descoberto não é injetora nem sobreje-tora. Já a trajetória da bola no estádio coberto pode ser sobrejetora, mas não é injetora.

e X e M P l o 6: co M P o s i ç ã o D e F u n ç õ e s

Se o preço do litro do etanol é R$ 1,50, o gasto do motorista pode ser calculado como:

Gasto = (preço do etanol) x (combustível consumido).

A equação acima define uma função:

g(x) = 1,50x

Nesta função o gasto com combustível, g(x), é uma função do combustível con-sumido, x. Do exemplo 1, sabemos como calcular o combustível consumido. Naquele exemplo chamamos à variável representando o combustível consumido de y ou f (x). Trocando x por f (x) na equação 7:

g(f (x)) = 1,50 f (x)

A equação acima é uma função de outra função. O gasto com combustível é uma função do combustível consumido, que por sua vez é uma função da quantidade de quilômetros rodados. Ou seja, para chegar ao gasto com combustível, primeiro apli-cou-se a regra f a x e depois a regra g a f. Para chegar ao resultado final, foi preciso fazer uma composição de funções. A função resultante é chamada de função composta, a qual pode ser representada como:

g(f (x)) = g f (x)

( 7 )

( 8 )

( 9 )


Neste exemplo,

g f (x) = 1,50 f (x) = 101 x` j = 0,15x

A composição de funções pode ser feita com mais funções. Se definíssemos uma função h(x) = x2, poderíamos fazer a composição:

h g f (x) = h(g(f (x))) = (0,15 x)2

A regra vale para tantas funções quantas se queiram compor. No entanto, a composição da equação (11) somente será possível se o contradomínio de f (x) estiver contido no domínio de g(x) e o contradomínio de g(x) estiver contido no domínio de h(x). Em um diagrama de máquinas:

figura 7 – diagrama de máquina para função composTa.

e X e M P l o 7: Fu n ç ã o c o M P o s ta

Um biólogo observou, em um período de 7 anos, que a população de um deter-minado tipo de pássaro diminuía anualmente. Desde que iniciou a observação, sempre na época do ano em que a população de pássaros era maior, o biólogo fazia a contagem das aves em uma área específica. O resultado de dez anos de pesquisa está resumido na tabela abaixo:

População 650 550 450 350 250 150 50Ano de Observação 1 2 3 4 5 6 7

Analisando os resultados, o biólogo chegou à conclusão que os seus dados po-deriam ser descritos por uma função que relaciona o número de pássaros na época de maior população no ano, Np, com o tempo decorrido desde que começou a observar, t:

Np = 750 - 100t

O biólogo observou também, que o número de insetos, que serviam de alimento para os pássaros cresceu muito rapidamente. Ele notou que o número de insetos, Ni, podia ser representado por uma função exponencial (ver página 41) do número de pássaros:

Ni = 10.000e-Np/300 = 10.000e(-750+100t)/300

xg f

g(x) f(g(x))

( 1 0 )

( 1 1 )

( 1 2 )

( 1 3 )


A equação 13 é uma função composta. Neste exemplo específico, não há como escreve--la de forma mais simples. Ela aparece explicitamente como a composição de duas outras funções. Funções como estas, mesmo quando não são o resultado de uma com-posição explícita como a deste exemplo são sempre chamadas de funções compostas.

e X e M P l o 8: Fu n ç ã o i n V e r s a

Voltando ao exemplo 1 podemos mudar a pergunta: quantos km o carro precisa rodar para consumir 10 litros de combustível? A resposta já está na equação (1). Basta resolvê-la para x (km rodados):

x = 10y

A resposta é que é preciso rodar 100 km para que 10 litros de combustível sejam consumidos. Note que nesta equação os papéis das variáveis x e y se inverteram. Agora x é a variável dependente e y a variável independente. A função descrita pela equação (14) é a inversa da função descrita pela equação (1). Para definir mais precisamente a função inversa, vamos trocar y por x e usar a notação definida na equação (3):

g(x) = 10x

Embora tenhamos redefinido as variáveis, a equação (15) ainda produz a mesma informação da equação (14). Por outro lado, podemos também olhar as equações (3) e (15) apenas como funções, sem tentar atribuir significado aos símbolos. Façamos com-posição destas duas funções:

( ( )) 10f g x x x101= =

Outra forma de fazer a composição seria:

( ( )) 10g f x x x101= =

Note que o resultado obtido é o mesmo, x. Esta é precisamente a definição de função inversa: duas funções, injetoras, f e g são inversas se e somente se f (g(x))= g(f(x))= x. Note que há uma restrição importante: uma função precisa ser injetora para ter inversa. Esta restrição se faz necessária porque a função que não é injetora apresenta dois valo-res de x (domínio) podem levar ao mesmo valor de f (x) (imagem). Quando a função é invertida os conjuntos domínio e imagem trocam os seus papéis. Assim, a função in-versa de uma função que não é injetora levará um valor no domínio em dois na imagem e, portanto, não pode ser classificada como função. Contudo, este problema pode ser contornado se restringimos o domínio da função a um conjunto onde ela é injetora. A função inversa de f (x) também pode ser denotada como f -1(x).

( 1 4 )

( 1 5 )

( 1 6 )

( 1 7 )


Para se chegar a esta equação usou-se o fato de que ln(x) é a função inversa de ex. Se, na equação (20) f -1(x) for substituída por t e x por Ni, temos uma função que descreve o instante do tempo quando a população de insetos é Ni. Este é exatamente o problema inverso do proposto no exemplo (7).

a r e ta

Nesta seção, apresentamos definições sobre funções. Na seção seguinte, são as funções mais usuais com exemplos. Porém, antes de passarmos adiante, é preciso uma discussão mais detalhada sobre a função mais básica de todas: a reta. Básica não sig-nifica mais fácil. Significa que um entendimento completo das funções depende de se entender a reta e suas propriedades.

A reta descreve variações lineares. No exemplo 1, as funções dadas pelas equa-ções (2) e (5) representam respectivamente a quantidade de combustível consumido e a quantidade de combustível restante no tanque. Note que nos casos a variação é constante, ou seja, a mesma quantidade de combustível é consumida por km rodado, 10 km/l, independentemente se já rodamos 100 ou 200 km. A mesma quantidade de combustível será consumida se vamos do quilômetro 100 ao 200 ou do 200 ao 300. Tentemos generalizar: indo do quilômetro 100, x1, quando foram consumidos 10 l, y1, até o quilômetro 200, x2, quando foram consumidos, 20 l, y2, notamos que houve uma variação (incremento) na quantidade combustível devido a um incremento na distância percorrida. Se dividirmos um incremento pelo outro, teremos o consumo médio de combustível, m:

/mxy

x xy y

km l20 10

200 100 102 1

2 1

D

D= =

--

=-- =

Podemos fazer um exercício com a função descrita pela equação (13) do exemplo 7. Qual é a inversa desta função. Vamos reescrever a função trocando as vari-áveis dependente e independente para f (x) e x, respectivamente:

( ) 10.000f x e ( )/x750 100 300= - -

Aplicando a definição de função inversa:

( ( )) 10.000f f x e x750 100 ( ) /f x1 3001

= =- - - -^ h

Resolvendo esta equação para f -1 (x):

( ) 30010.000

750lnf x x10011

= -- ` j

(18)

(19)

(20)

(21)


figura 8 – incremenTo e coeficienTe angular.

A equação (21), à parte dos valores do exemplo, é a definição do coeficiente angu-lar, m. Esta quantidade é uma medida da inclinação da reta. No nosso exemplo, m é o consumo de combustível. Se o consumo (m) for maior, mais combustível será consumi-do (a inclinação da reta será maior). No caso da equação (5) a variação é negativa, ou seja, a quantidade de combustível restante no tanque diminui. Neste caso, o coeficiente angular precisa ser negativo.

Se duas retas possuem mesmo coeficiente angular, elas apresentam a mesma variação e, portanto, são paralelas. Na Figura 9 as possibilidades de coeficientes angu-lares são mostradas.

O entendimento das propriedades das retas permitirá ao aluno no futuro entender mais facilmente o conceito de derivada que, por sua vez, permitirá o estudo de funções. Mesmo que o aluno opte por uma área de biológicas ou humanas, o conhecimento das funções e das suas variações pode vir a ser de grande valia. Qualquer desenvolvimento quantitativo depende de se conseguir formular o problema através de funções. E a va-riação das funções permitirá entender a dinâmica do problema. Por exemplo, quando analisamos pesquisas de opinião para uma eleição. É importante conhecer os percen-tuais de cada candidato no período de poucos dias em que a pesquisa foi realizada.

xx1

y1

2

y2

y

x

figura 9 – (a) reTa decrescenTe. (b) reTa crescenTe. (c) reTas paralelas.

(a) (b) (c)

xx1

y1

2

y2

y m > 0

L

x xx1

y1

2

y2

y m < 0

L

xxx1

y1

2

y2

y m > 0

L

x

Graficamente:


Entretanto, para uma análise da situação eleitoral é mais importante saber como estes percentuais estão variando ou, dito de outra forma, qual a tendência do eleitorado. O exemplo 7, do biólogo, também nos ajuda a mostrar a utilidade do estudo das funções e a sua conexão com as retas. Na Figura 10, está desenhada a curva da equação (13) e duas retas, as quais são tangentes à curva em t = 3 anos (R1) e t = 5 anos (R2). O co-eficiente angular em R1 é menor que o coeficiente angular em R2. Podemos concluir que a curva em R1 varia mais lentamente que a curva em R2. Se o biólogo consegue reconhecer esta característica, ele vai perceber, que não só o número de insetos está aumentando, como a taxa em que isto está ocorrendo também está aumentando.

figura 10 – variação da quanTidade de inseTos como função do Tempo.

2

R1

2R

0 4 6 8 10

5000

10000

15000

20000

25000

Núm

eros

de

inse

tos n

a ár

ea d

e co

ntro

le

Tempo em anos

Função: Uma função de um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento em R a cada elemento em D.

Função injetora: Função onde cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento no domínio.

Função sobrejetora: Função onde o conjunto imagem coincide com o conjunto contradomínio.

Função bijetora: Função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.Função composta: Função resultante da aplicação sucessiva de duas ou mais

funções.Função inversa: duas funções, injetoras, f e g são inversas se e somente se f (g(x))=

g(f(x))= x.

quadro 1 – definições:


O infinito é uma noção relacionada, sobretudo à ausência de limites e é nor-malmente representado pelo símbolo ∞. Uma curva é infinita se não tem pontos de começo e fim. Uma superfície é infinita se não há bordas limitando esta super-fície. Um volume é infinito se não há uma superfície limitando este volume. Em problemas mais práticos, infinito é uma quantidade muito maior que a conside-rada no problema. Por exemplo, se comparado às distâncias que percorremos no nosso cotidiano, o raio da terra pode ser considerado infinito. A idade da Terra pode ser considerada infinita se comparada à nossa expectativa de vida que, por sua vez pode ser considerada infinita se comparada com a expectativa de vida de um inseto.

Realizar operações com o infinito nos ajuda a pensar sobre o seu significado. Se somarmos um número qualquer ao infinito, o resultado será infinito. Se tirar-mos um número qualquer do infinito, o resultado também será infinito. O infinito dividido por qualquer número continua sendo infinito. Ou seja, o infinito é tão grande quanto queiramos que ele seja. Assim, se dividirmos qualquer número, por números sucessivamente maiores, os resultados serão números sucessivamente menores. Se fizermos o denominador tão grande quanto queiramos, ou seja, se o denominador se aproxima sucessivamente do infinito, o resultado da divisão se aproximará sucessivamente de zero. Quando o denominador tende para o infinito, o resultado da divisão tende a zero.

Na teoria dos conjuntos, o infinito é mais complicado. Sequências como {0,1,2,3,...} são potencialmente infinitas porque podem continuar indefinidamen-te. De uma forma mais geral, se de um subconjunto S tirado um conjunto A e se entre A e S pode-se estabelecer uma função bijetora, então A é um conjunto infinito. Georg Cantor, no final do século XIX (~1873), trabalhando com conjun-tos infinitos, observou que estes conjuntos podem ter tamanhos diferentes. Se o conjunto tem o mesmo número de elementos dos números naturais ou de algum subconjunto deste, ele é chamado enumerável ou contável. Caso contrário ele é dito não-enumerável ou não-contável. Para saber se um conjunto é enumerável é preciso tentar colocá-lo em uma sequência. Se isso for possível, o conjunto é enumerável. Por exemplo, a imagem da função f (x) = x2, no intervalo de 0 a ∞ é enumerável, pois podemos escrevê-lo como {0,1,4,9,25,...}, que é um subconjunto dos números naturais. Já o conjunto dos números reais não é enumerável porque tem mais elementos que o conjunto dos números naturais.

quadro 2 – infiniTo:


e X e r c í c i o s

1. (a) Quais destas curvas são funções? (b) Quais são injetoras e quais são bije-toras? (c) Para quais delas é possível encontrar uma função inversa? Justifique a sua resposta em todos os itens. (D) Quando possível, faça um esboço da função inversa.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

2. Um tijolo cai de uma altura de 50 m. (a) Sabendo que altura em que o tijolo se encontra depende do quadrado do tempo multiplicado por 10, encontre a função que descreve a altura em que o tijolo se encontra. (b) Determine domínio, imagem e contradomínio para esta função. (c) Encontre a função inversa a partir da definição e encontre o tempo que o tijolo leva para cair 40 m.

3. (a) Para cada função abaixo, defina o domínio da função, no qual ela pode ser

invertida. (b) Encontre as funções inversas correspondentes a partir da definição.

(A) xxf += 3)((B) 2)( xxxg +=(C) xexh 2)( =(D) xxj += 5)(

4. Com as funções da questão 3, faça as seguintes composições:

(A) g f (x) (B) h f (x) (C) g j(x) (D) h j(x) (E) j h(x)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x


Fu n ç õ e s M at e M át i c a s n o D i a-a- D i a:

É importante no âmbito das ciências naturais o conhecimento do comporta-mento gráfico das funções, as quais descrevem os fenômenos do dia a dia. Tal conheci-mento permite uma melhor compreensão sobre o mundo e como os fenômenos de um modo geral se processam.

Fu n ç õ e s Fu n D a M e n ta i s :

Algumas funções são particularmente importantes, pois expressam as maneiras fundamentais que uma variável depende de outra. Tais funções são:

a) Fu n ç õ e s l i n e a r e s :

5. (a) Para a função abaixo, encontre os intervalos onde o coeficiente angular da reta tangente é positivo, negativo e zero. (b) Em que intervalos a função é crescente e em que intervalos a função é decrescente? (c) Há outra possibilidade? Discuta a partir dos coeficientes angulares.

y

x

y

Y = X

x

5

5

10

10

15

15

20

20

-20

-20

-15

-15

-10

-10-5

-5

y

Y = -X

x

5

5

10

10

15

15

20

20

-20

-20

-15

-15

-10

-10-5

-5


a l g u M a s a P l i c a ç õ e s :• Dilatação térmica:O comprimento de uma barra de metal é uma função linear da temperatura. A

variação do comprimento (ΔL) pode ser descrito por:

ΔL/L0 = α ΔT

onde L0 é o comprimento da barra na temperatura T0, α é o coeficiente de expansão linear do metal e ΔT é a variação da temperatura (T – T0). α está associado a carac-terísticas intrínsecas do material, ou seja, cada metal possui seu próprio coeficiente de expansão. A Tabela 1 apresenta alguns coeficientes de expansão linear a temperatura de 20ºC.

Material α (10-6 ºC)Chumbo 29Alumínio 23

Prata 19Cobre 17Ouro 14Ferro 12

Tabela 1 – alguns coeficienTes de expansão linear.

A temperatura de 20ºC tem-se uma barra de ferro cujo comprimento é de 10 metros. Caso se esteja em um dia quente onde a temperatura é de 45°C, qual será o comprimento da barra? Contrariamente, caso a temperatura caia de 20°C para 0°C, qual será o comprimento da barra?

Outra coisa que podemos perguntar é: Consideremos uma barra de 1 metro de cada um dos metais citados na Tabela 1, todas à temperatura de 20ºC. Caso eleve-se a temperatura para 40ºC qual das barras sofrerá a maior expansão? E a menor? A Figura 11 mostra variações do comprimento dessas barras para diferentes temperaturas.

figura 11 – variação do comprimenTo (Δl) de barras de 1 meTro, inicialmenTe a 20°c, de diferenTes meTais. os coeficienTes de expansão linear uTilizados foram os apre-senTados na Tabela 1.

-1 10 20 30 40 50 60

-0,0010

-0,0008

-0,0006

-0,0004

-0,0002

0,0000

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,0010

0,0012

0,0014

L

Pb Al Ag Cu Au Fe

010

T(°C)


• Conversão entre escalas termométricas:Usualmente medimos temperaturas utilizando as escalas termométricas graus

Celsius (ºC), graus Fahrenheit (ºF) e Kelvin (K). Há também outros sistemas ter-mométricos menos utilizados como: graus Rankine (ºRa), graus Rømer (ºRø), graus Newton (ºN), graus Delisle (°D) e graus Réamur (°Ré). Os diferentes sistemas podem ser traduzidos de um para o outro utilizando-se equações lineares. Isso pode ser feito pois cada unidade aumentada em um sistema de medida corresponde a um aumento constante em outro sistema. Para os sistemas mais utilizados a conversão se dá através da equação:

C/5 = (F-32)/9 = K-273

Po n t o D e F u s ã o D o Dna:

A estrutura em dupla hélice do DNA é mantida coesa através de ligações químicas chamadas de “pontes de hidrogênio” entre as bases nitrogenadas. Es-pecificamente, as bases de adenina (a) se ligam a bases de timina (t) e bases de guanina (g) se ligam a bases de citosina (c). Ao se aquecer o DNA a ligação entre essas bases é quebrada, o que desconecta as duas hélices, desnaturando o DNA. A ligação entre guanina e citosina é formada por três pontes de hidrogênio, já a ligação entre adenina e timina é formada por duas pontes de hidrogênio. Assim, é necessário mais energia (temperatura) para desnaturar um DNA que possua mais ligações do tipo g-c (3 pontes de hidrogênio por ligação) do que um DNA mais rico em ligações a-t (2 pontes de hidrogênio por ligação). Há uma relação linear entre a quantidade de guanina e citosina em uma molécula de DNA (conteúdo GC) e a temperatura na qual a dupla hélice se desnatura. Essa temperatura de

desnaturação é chamada de temperatura de fusão do DNA. Ou seja, pode-se dizer que o conteúdo GC é diretamente proporcional à temperatura de fusão do DNA e que o conteúdo AT é inversa-mente proporcional à essa temperatura de fusão.

A Figura CC apresenta temperaturas de fu-são do DNA genômico de diferentes organismos, como função do conteúdo de AT, variando des-de 33% AT (Deinococcus radiodurans) até 75% AT (Ureaplasma urealyticum).

figura 12 – TemperaTura de fusão do dna genômico para diferenTes organismos. (exTraída do arTigo “dna denaTuraTion”, d.w. ussery, 2001).

*

*

Deinococcus radioduransMycobacterium lepraeEscherichia cole

Bacillus subtilisSaccharomyces cereviviae

Ureaplasma urealyticum

Temperatura de fusão do DNA em váios microrganismos

70

75

80

85

90

95

100

30 40 50 60 70 80% A: T conteúdo do genoma

Tem

pera

tura

de

fusã

o (°C

)


at i V i D a D e

Ponto de fusão do DNA:Uma equação que pode ser utilizada para se estimar a temperatura de fusão (Tm

medido em °C) do DNA é (Bolton and McCarthy, 1962):

Tm = 81,5 + 16,6 (log10([Na+])) + 0,41*(%GC) - 600/length

Onde: [Na+] é a concentração molar de íons de sódio do meio no qual o DNA está imerso (M, Molar), %GC é a percentagem de conteúdo GC do DNA e length é o comprimento da cadeia de DNA em pares de base (pb).

Assumindo uma concentração molar de [Na+] = 0,1M, podemos reescrever a equação acima como:

Tm = 64,9 + 0,41*(%GC) - 600/length

Dessa maneira podemos nos questionar:1) Qual é a temperatura (°C) de fusão de uma molécula de DNA com compri-

mento de 500 pb e com conteúdo GC de 50%?2) Qual é o conteúdo GC (%GC) de uma molécula de DNA com 600pb e tem-

peratura de fusão de 70°C?3) Qual é a temperatura máxima de fusão de uma molé-

cula de DNA com 400pb de comprimento?4) O DNA da árvore Quaresmeira possui cerca de

340.106 pb de comprimento (Da Quaresmeira ao Jerivá, Revista Pesquisa Fapesp, Setembro 2005). Caso se tenha agora seu DNA imerso em uma so-lução com concentração molar de íons de sódio de 1M, qual seria a temperatura de dissolução do DNA assumindo-se uma percentagem de conteú-do AT (%AT) de 60%?


B) Fu n ç õ e s P o t ê n c i a :

a l g u M a s a P l i c a ç õ e s :• Lançamento de projéteis:A trajetória descrita pela bola chutada pelo goleiro no Exemplo 2 da secção “De-

finindo as funções” é uma parábola. Essa parábola é descrita pela equação: y = -x2. Da mesma forma, a trajetória descrita por projéteis, sejam eles pedras disparadas por uma catapulta ou bombas por um obus, é também uma parábola.

Fo r ç a s Fu n D a M e n ta i s :Em física existem quatro forças fundamentais que descrevem as interações da na-

tureza. São elas: Força Gravitacional, Força Nuclear Fraca, Força Eletromagnética e Força Nuclear Forte. Outros tipos de força podem ser explicados em termos das quatro forças funda-

mentais. A força de atrito experimentada por um pneu, por exemplo, é uma interação eletromagnética entre os átomos do pneu e os átomos do asfalto. A Força Gravitacional é uma força de longa distância e sempre atrativa, que surge com a existência da matéria. A Força Nuclear Fraca é uma força de curto alcance envolvida em alguns processos de decaimento radioativo. A Força Eletromagnética é uma força de longa distância, atrativa ou repulsiva, que surge da interação entre cargas elétricas (paradas e/ou em movimento) e de campos provenientes dessas cargas (elétrico e/ou magnético). A Força Nuclear Forte é uma força de curto alcance (alcance da ordem do tamanho do núcleo atômico, 10-15m) e a res-ponsável pela coesão do núcleo. A “intensidade” das forças é: Força Gravitacional (mais fraca), Força Nuclear Fraca, Força Eletromagnética, Força Nuclear Forte (mais forte). A intensidade das forças eletromagnética e gravitacional diminui com o inverso da distância ao quadrado (1/r2) (Figura NN).

• Proteção Radiológica:A quantidade de radiação que uma pessoa recebe depende da distância entre a

pessoa e a fonte de radiação. Fontes pontuais de raios-X e raios gama seguem a lei do inverso do quadrado da distância (1/r2) (Figura 13). Ou seja, se a 1 metro da fonte a pessoa recebe hipoteticamente 100% da radiação, a 2 metros de distância ela receberá o equivalente a 25%.

y

x

100

5

120

10

40

20

60

80

-10 -5

x5 10-10 -5

y

-100

-120

-40

-20

-60

-80

y

x

500

5

1000

10

1500

2000

-2000

-1500

-1000

-10-500

-5

y=x2 y=-x2 y=x3


figura 13 – lei do inverso do quadrado da disTância.

c) Fu n ç õ e s P e r i ó D i c a s :

a l g u M a s a P l i c a ç õ e s :• Clima:Funções periódicas podem ser utilizadas para descrever ciclos. A Teoria de Mi-

lankovitch (Milutin Milankovitch, 1879-1958), por exemplo, diz que a medida que a Terra viaja através do espaço ao redor do Sol, variações cíclicas da excentricidade orbi-tal da Terra (a forma da órbita ao redor do Sol) (Figura 14 a), obliquidade ou inclinação axial (ângulo que o eixo da Terra faz com o plano da órbita) (Figura 14 b) e precessão (mudança de direção do eixo da Terra) (Figura 14 c), se combinam de diferentes for-mas, alterando assim o clima. Os períodos desses movimentos orbitais são conhecidos como Ciclos de Milankovitch.

1,0

0,5

0,0

0 1 2 3 4 5

1,5

1/r2

r

y

x

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2

y=cos(x)

y

x

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2

y=sen(x)

y

x

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2

y=cos(2x)

y

x

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2

y=sen(2x)

y

x

0,5

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2 22

1

y=cos(x/2)

y

x

0,5

1

1,5

-1,5

-1

-0,5 222 2 22

y=sen(x/3)

22.1°

Variação na Excentricidade Orbital

Variação da Obliquidade Axial

Precessão

Excentricidade = 0

a

b

c

Excentricidade = 5

24.5°

» Excentricidade:Mudanças na excentricidade orbital afetam a distância Sol-Terra.

Atualmente, uma diferença de apenas 3% (5 milhões de km) existe entre maior aproximação (periélio), que ocorre próximo ao dia 3 de Janeiro, e o maior afastamento (afélio), que ocorre por volta do dia 4 de Julho. Essa diferença em distância representa um aumento por volta de 6% na radiação solar que alcança a Terra entre Julho e Janeiro. A forma da órbita da Terra muda de elíptica (alta excentricidade) para circular (baixa excentricidade) em um ciclo que dura algo entre 90.000 e 100.000 anos. Quando a órbita é altamente elíptica a quantidade de radiação solar que alcança a Terra no periélio é da ordem de 20% a 30% maior que a quantidade recebida durante o afélio, o que resulta em um clima substancialmente diferente do que experimentamos hoje.

» Obliquidade (inclinação do eixo):A medida que a inclinação do eixo da Terra com relação ao plano

da órbita ao redor do Sol aumenta, o contraste entre as estações do ano também aumenta. Assim, invernos são mais frios e verões mais quen-tes em ambos os hemisférios. Hoje o eixo da Terra possui uma incli-nação de 23,5 graus. Entretanto esse ângulo muda. Dentro de um ciclo que dura cerca de 40.000 anos o eixo de inclinação varia entre 22,1º e 24,5º. Como dito anteriormente, quanto maior o ângulo de inclinação do eixo mais severas são as estações do ano. Menos inclinação significa verões mais suaves e invernos mais amenos. Verões suaves propiciam a acumulação de neve e gelo ano após ano em latitudes elevadas. Essa acumulação aumenta a quantidade de luz refletida pela Terra (o branco reflete a luz enquanto que a cor preta a absorve) aumentado assim o efeito de resfriamento e conduzindo a glaciações.

» Precessão:Mudanças na precessão axial alteram as datas do periélio e afélio,

aumentando assim o contraste entre as estações do ano em um hemis-fério e o diminuindo no outro. Este ciclo dura cerca de 23.000 anos.

c i c l o s D e M i l a n k o V i t c h :

figura 14 – (a) excenTricidade orbiTal. (b) obliquidade ou inclinação axial. (c) precessão.


Somando-se os diferentes ciclos reconhecidos por Milankovitch pode-se entender o caráter rítmico das glaciações (Figura 15 e Figura 16). A ideia é similar a apresentada no boxe “Séries Trigonométricas e Séries de Fourier” apresentado na secção “Como surgiram as funções?”.

figura 15 – ciclos de precessão, obliquidade e excenTricidade. somados, conduzem a um ciclo de quanTidade de radiação solar recebida pela Terra que influencia nas esTações do ano.

figura 16 – regisTro de glaciações obTido aTravés da medida de isóTo-pos de oxigênio para os úlTimos 800.000 anos.

0,04

0,00

200 400 600 8000

-0,04

Milhares de anos antes do presente

Precessão

24,0

23,0

200 400 600 8000

22,0


Excentricidade

0,06

0,04

200 400 600 80000,00

0,02


Obliquidade

480

440

200 400 600 8000

400

Insolação (65N)


0 600200 8004003

2

1

-1

-2

-3

0

18O

/16O

Milhões de anos antes do presente

Glaciais

Interglaciais

Menos gelo

Mais gelo


• Geradores elétricos:Nossa maior fonte de energia elétrica é obtida através da utilização da chamada

Lei de Faraday. A Lei de Faraday diz que uma variação do fluxo magnético (ver quadro “Fluxo Magnético”) gera uma força eletromotriz induzida (ε) a qual está associada uma corrente elétrica. Dessa forma, nossas usinas hidroelétricas, termoelétricas, nucleares ou eólicas giram um circuito imerso dentro de um campo magnético (Figura 17) de onde surge uma corrente elétrica alternada. É essa corrente que utilizamos para que funcionem a gama de aparelhos eletrônicos que nos cercam. A função que descreve o comportamento do fluxo magnético é a função periódica cosseno, já a força eletromo-triz produzida (e consequentemente a corrente elétrica) é descrita pela função periódica seno.

figura 17 – obTenção de força eleTromoTriz (ε) a parTir da variação do fluxo magnéTico aTravés de um cir-cuiTo.

Copyright © Addison Wesley Longman, Inc.(a) (b)

Fluxo magnético:O campo magnético, juntamente com o campo elétrico, são as entidades básicas

utilizadas na descrição dos fenômenos eletromagnéticos da natureza. Campos são regi-ões do espaço que apresentam características especiais. Por exemplo, um próton gera um campo elétrico ao seu redor, sendo que a intensidade desse campo diminui conforme nos afastamos da partícula. Por sua vez, um ímã possui um campo magnético ao seu redor. A variação do fluxo magnético é a variação da quantidade de campo magnético que passa através de uma área (como a área compreendida pelo circuito da Figura 17).


Uma demonstração prática da Lei da Indução de Faraday pode ser vista em (Apli-cação da Lei de Indução de Faraday (Geração de Energia Elétrica)):

http://www.youtube.com/watch?v=bSgdN5bSM2Y&feature=fvstJá um vídeo explicativo sobre geradores elétricos pode ser visto em (Novo Tele-

curso - Ciências - Aula 53 (2 de 2)):http://www.youtube.com/watch?v=f9aaCCH0MKk

D) Fu n ç õ e s e X P o n e n c i a i s :

y

x

5

5

6

10

7

1

2

3

4

-15 -10 -5

y

x

5

5

6

10

7

1

2

3

4

15-10 -5

y

x

0,5

-0,55

1

-1

10

2

-2

15 20-10 -5

Onde e é uma constante irracional com valor de aproximadamente 2,718281828459045235. A função inversa da função exponencial é a função logarít-mica natural (ln(x)). Por essa razão a função exponencial foi também conhecida por função “anti-logarítmica”.

a l g u M a s a P l i c a ç õ e s :

• Física: » Decaimento Radioativo

Três anos após a descoberta da radioatividade em 1896 foi notado que a razão de decaimento de uma substância radioativa diminui com o tempo de acordo com uma lei exponencial. Alguns anos depois entendeu-se também que a radioatividade representa a mudança de átomos individuais e não da amostra como um todo. A radioatividade natural pode ser entendida como uma transmutação de um núcleo atômico em outro, sendo que o que incita essa transformação é a busca do núcleo por um estado energético mais estável. O decaimento é estatístico em natureza, dessa forma é impossível prever qual átomo, e quando, sofrerá a transmutação. Ou seja, a probabilidade de decaimento do átomo é constante, independente de sua idade (átomos novos e velhos de um mesmo elemento químico decaem com a mesma probabilidade). A lei de decaimento radioativo pode ser escrita como:

y = ekx y = e-kx y = 1 – e-kx


figura 18 – diferenTes possibilidades para Junção de massas de urânio (áreas ha-churadas) em uma massa críTica (proJeTo manhaTTan – The los alamos primer).

• Computação:A Lei de Moore (proposta em 1965 por Gordon Earle Moore, co-fundador da In-

tel) diz que o número de transistores que podem ser colocados em um circuito integra-do dobra aproximadamente a cada dois anos (Figura 19). Transistores são componentes eletrônicos utilizados como chaves lógicas (0 ou 1, sim ou não), e os responsáveis pela habilidade de computar dos computadores. Diferentemente dos tubos de vácuo utiliza-dos nos primeiros computadores, transistores permitiram a fabricação de computadores bem menores, mais confiáveis e mais velozes. Dessa forma, a evolução da velocidade de processamento (processadores) e capacidade de armazenamento (memória) aumenta de forma exponencial. Entretanto, o próprio Moore prevê que no futuro o tamanho do

• Biologia:O número de microorganismos em uma cultura de células cresce exponencial-

mente enquanto há abundância de alimento. Ou seja, uma célula mãe sofre divisão se transformando em duas células filhas, que por sua vez dão origem a quatro novas células e assim por diante.

( )N t N e0t

=m-

Onde N0 representa o número inicial de átomos, N(t) representa o número de átomos restantes após um determinado tempo t, e λ é a constante de decaimento, que repre-senta a probabilidade (no tempo) com que ocorre o decaimento.

» Reação nuclear em cadeia

Uma reação nuclear em cadeia ocorre quando, por exemplo, um nêutron inicial induz a fissão de um átomo de urânio 235 com a qual mais nêutrons são liberados. A princípio cada novo nêutron criado tem a possibilidade de iniciar novas reações em cadeia. Usinas nucleares operam controlando a razão com a qual reações nucleares em cadeia acontecem. Para isso são utilizados dispositivos como moderadores de nêutrons (substâncias que tem grande probabilidade de absorver nêutrons sem contudo liberar novos nêutrons no processo), que são aproximados ou afastados do local onde ocorrem as reações em cadeia (núcleo do reator). O combustível radioativo utilizado em reatores nucleares (urânio 235 ou plutônio 239) não possui a “massa crítica” necessária para ge-rar uma explosão nuclear. Por outro lado, armas nucleares são planejadas de forma que a reação em cadeia, uma vez iniciada, aumente de forma exponencial e sem controle. A massa crítica (quantidade mínima de material físsil para que a reação em cadeia seja mantida) necessária para se construir armas nucleares foi estudada no Projeto Manhat-tan durante a 2ª Guerra Mundial. Na Figura 18 são apresentadas algumas possibili-dades consideradas pelo Projeto Manhattan em 1942 para unir diferentes massas de urânio, alcançando assim a massa crítica.


transistor alcançará proporções atômicas (10-10m), o que será uma barreira natural para o seu desenvolvimento. Quando essa barreira for alcançada a Lei de Moore deixará de caráter exponencial, e será necessária uma tecnologia diferente da dos transistores para que a capacidade computacional continue aumentando.

Contagem de transistores de CPUs 1971-2008 e a Lei de Moore

2.000.000.0001.000.000.000

100.000.000

10.000.000

1.000.000

100.000

10.000

2.300

1971 1980 1990 2000 2008

Con

tage

m d

e tra

nsist

ores

Data de introdução

A curva mostra a “lei de Moore”: a contagem de transistores dobra a cada dois anos.

4004 8006

8080

8088

256

386

486

Pentium K5

PII PIII

K6-III K7

K8

K10 G80 RV770

GT200

Quad-Core Itanium Tukwila Dual-Core Itanium 2

POWER6

Cell Corel 2 Duo Corel 2 Quad

P4 AtomBarton

Itanium 2

Itanium 2 com 9MB cache

K6

figura 19 - evolução do número de TransisTores em processadores com o passar do Tempo. é imporTanTe noTar que o eixo y é apresenTado de logaríTmica.

• Economia:O chamado “marketing viral” funciona de forma análoga a uma epidemia. Um

anúncio, propagado por exemplo via e-mail, “infecta” um usuário que por sua vez pro-paga essa informação para outros usuários. Desde que cada usuário infectado divida a ideia (anúncio) com mais de um usuário suscetível, o transporte da informação cresce de forma exponencial.

Fu n ç õ e s co M P o s ta s :

Algumas funções são mais complexas, pois são composições das funções básicas, mas que também expressam fenômenos naturais importantes. O traçado qualitativo dos respectivos gráficos é importante para a compreensão desses fenômenos, e pode ser feito seguindo-se algumas regras, as quais vamos chamar regras de comportamento assintótico::


1) y x e kx2= -

Pela regra 1, quando x tende a infinito (x → ∞), o comportamento da função corresponde à função exponencial e kx- . Já pela regra 2, quando x tende a zero (x → 0), y → x2. Os gráficos da função exponencial e da função x2 são apresentados em con-junto no gráfico abaixo,

Desta forma, o grafico de y x e kx2= - fica:

r e g r a s D e c o M P o r ta M e n t o a s s i n t ó t i c o :1) Para x tendendo a infinito o comportamento da função composta é dominado

pela função exponencial.2) Para x tendendo a zero a função exponencial pode ser aproximada a 1.3) Para x tendendo a zero pode-se desprezar as potências maiores de x, numa

soma ou subtração, permanecendo a de menor potência.4) Para x tendendo a infinito pode-se desprezar as potências menores de x, numa

soma ou subtração, permanecendo a de maior potência.5) No gráfico da função composta, há uma barreira vertical intransponível nas

singularidades da função (denominador igual a zero).6) As funções seno e cosseno introduzem periodicidades na função composta,

que são moduladas pelas funções que as multiplicam.Como exemplo da aplicação dessas regras, temos:

y

x

2,5

2

3

4

3,5

0,5

1

1,5

2

6-2

y

x

2,5

2

3

4

3,5

0,5

1

1,5

2

6-2

y e kx= -

g x2=


2) ( )cos kxy e kx= -

Pela regra 6, temos o gráfico da função exponencial decrescente, mas com uma oscilação:

3) xyx 2

1=--

Pelas regras 3 e 4, temos que, para x → 0, y x 2x 1=-- , ou seja y fica constante

igual a ½, cujo gráfico é uma rela horizontal em y = ½.Já para x → ∞, y

xx 1" = , uma reta horizontal em y = 1.

Além disso, pela regra 5, há uma singularidade em x = 2. Traçando os gráficos de y = ½, y = 1 e uma reta vertical na singularidade,

2

y

x

0,5

4

1

05

2

6 71-0,5

3

podemos traçar o gráfico da função y x 2x 1=-- :

1

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

4

4,5

2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1

y

x

1234567

-2 2 3-1 1-1-2-3-4-5

( )cosY e x( )x= -


4) 12xxy

x

2

=--

Neste caso, temos:

Para x → 0, y x x12 2=

-- =

Para x → ∞, yxx x2

= =

Com uma singularidade em x = 1.Os gráficos de y = 2x, y = x e da singularidade são:

O que nos permite traçar o gráfico da função y x 1x 2x2

=-- :

5) ( )( )x x

xy x1 2

3 23 2=

+ --

Neste caso, temos:

Para x → 0, ( )( )

y x x1 2

2 22

=-

- =

Para x → ∞, ( )( )

yx xx x3 33

= =

2

y

x

2

4

4

0 5

6

6 71

8

10

3

1

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

4

2 3 4 5-4 -3 -2 -1

-3,5


Com singularidades em x = -1 e +2.Nesse caso, vamos analisar apenas o que acontece entre x = -1 e +2. Deixemos de

considerar o comportamento assintótico em x → ∞. Deve-se considerar também que, em x = 2/3, a função se anula, ou seja tem-se um zero de função.

O gráfico de y = x2, com as singularidades e o ponto de zero da função, é:

-1

y

x

2

1

4

-3 2

6

3-2

8

10

11

4-4 0

Enquanto que o gráfico da função y (x 1)(x 2)3x 2x3 2

=+ -

- ,

0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

0,4 0,6 0,8 1,21-0,6 -0,4 -0,2

Você sabia que há softwares especializados em calcular e desenhar funções?

Um desses softwares é chamado “Mathematica”. Acesse o site http://functions.wolfram.com/visualizations.html

e veja inúmeros gráficos de funções desenhados via o Mathematica.


a l é M D a s Fu n ç õ e s

3

Para fins de conhecimento geral optamos por apresentar também o conceito de fractal, que é uma descrição matemática de estruturas “autossimilares” presentes na natureza.

Fr a c ta i s

Estruturas desordenadas ou processos randômicos que apresentam autossimilaridade em escala espa-cial ou temporal são muito comuns na natureza. Eles podem ser encontrados em escalas grandes ou peque-nas, como em galáxias e paisagens, terremotos e fraturas, vidros e polímeros, proteínas e outras moléculas. Devido a grande ocorrência de autossimilaridade na natureza, a comunidade científica interessada nesse fenômeno é extensa, englobando por exemplo: físicos, matemáticos, biólogos e economistas. A geometria fractal é uma linguagem matemática usada para descrever formas complexas. Ela é particularmente ade-quada para computadores, pois se dá através da repetição de processos (interações). O termo “fractal” (do adjetivo em latim: fractus, que significa quebrado ou fraturado) foi cunhado por Benoît B. Mandelbrot, em 1975.

Estruturas complexas podem ser quantitativamente caracterizadas utilizando-se a ideia de “dimen-são fractal”. Essa dimensão corresponde à forma geométrica estudada, e é geralmente um número não inteiro. Essa definição foi possível após o reconhecimento que muitas estruturas randômicas obedecem uma simetria, como obedecido também por estruturas regulares. Essa “simetria de escala” implica que os fractais apresentam o mesmo tipo de forma em diferentes escalas de observação. Nas Figuras 20 e 21 são mostrados um cristal de neve e uma couve-flor. Nelas pode-se ver que as pequenas partes comportam-se da mesma forma que o todo.

Estruturas que lembram fractais foram também representadas na arte na forma de redemoinhos e ondas, como mostrado na “Grande Onda” de Katsushika Hokusai (1760-1849) (Figura21) e no “Deluge” de Leonardo Da Vinci (1452–1519) (Figura 23).

figura 20 – crisTal de neve.

figura 21 – couve-flor.

figura 22 – grande onda – kaTsushika hokusai (1760-1849)


figura 23 – deluge – leonardo da vinci (1452-1519)

figura 24 – conJunTo de mandelbroT.


r e F e r ê n c i a s B i B l i o g r á F i c a s

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