Funções

Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função.

Por exemplo, um taxista abastece seu carro no posto de combustível e sabe que o preço (variável y) que irá pagar depende diretamente do preço da gasolina e do número de litros (variável x) que irá colocar no tanque de seu carro.

Se, num determinado posto, a gasolina está a R$ 2,50 o litro, podemos criar uma tabela, como segue:

Volume (x) em litros 1 2 3 4 5

Preço (y) em reais 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50

Logo, o preço a ser pago é função do número de litros, onde matematicamente fica: y = 2,50 x

E através da função y = 2,5 x podemos calcular o valor de qualquer volume, em litros. Dizemos que y é a variável dependente e x a independente, porque o valor pago depende do volume em litros que o carro é abastecido.

Outro exemplo: Uma formiga, próxima a uma trena de 10 metros, encontra-se na posição

2,45 m e desloca-se na direção da posição 10 m paralelamente à trena. Um observador mede o tempo que a formiga leva para ir da posição 2,45 m até a posição 7,85 m. Esse tempo foi de 3 segundos. Dividindo o deslocamento (7,85 – 2,45=) pelo tempo 3s, obtém-se a velocidade média ( ) da formiga. Ou seja,

( )

( )

Se considerarmos que a posição inicial 2,45 m e a velocidade média 1,8 m/s são valores fixos podemos escrever a função:

y = 2,45 + 1,8 t onde y é a posição da formiga num determinado tempo e t é o instante em que a formiga encontra-se em determinada posição. Assim, temos uma função matemática onde podemos estudar o movimento da formiga, sendo y a variável dependente de t. Chamamos t de variável independente. Se quisermos saber onde chegaria a formiga ao completar 5 s de movimento, bastaria

fazermos y = 2,45 + 1,8 (5) y = 11,45 m. Não precisamos ficar olhando o deslocamento da formiga, ao lado de uma trena. A função matemática nos dá a resposta.

EXERCÍCIOS

a) Uma torneira vazando, além de desperdiçar água, pode aumentar muito a conta a ser paga no final do mês. Suponha uma situação em que a quantidade de água desperdiçada por uma torneira gotejando pode ser obtida pela fórmula (ou função) Q = 2,4 t, onde Q é a quantidade de água, em litros e t é o tempo, em horas. Pede-se: a) construir uma tabela indicando a quantidade de água desperdiçada por essa torneira a

cada intervalo de 1 hora, de 1 a 10 horas.

b) quantos litros de água essa torneira desperdiçará em: b.1) 1 dia? b.2) 1 mês (30 dias)? b.3) 1 ano (365 dias)?

b) Dê outros exemplos de funções presentes no nosso cotidiano, ou seja criativo e imagine situações, que possam ser resolvidas por funções matemáticas.

Algumas definições para melhor compreender uma função

Produto Cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, não vazios, é dado pelos conjuntos de pares ordenados (x,y), sendo que x pertence a A e y pertence a B. A simbologia de produto cartesiano é A x B, onde lemos produto cartesiano de A por B.

A x B = { (x,y)| x ϵ A e y ϵ B} O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B) Exemplo: Sejam os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = { -2, 3}, então: A x B = {(3, -2), (3, 3), (5, -2), (5, 3), (7, -2), (7, 3)} Observe que o número de elementos (pares ordenados) do conjunto A x B é 6, ou seja, 3 x 2.

O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B).

Relação Denominamos relação R de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.

Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = { 3, 5, 7, 9}, dizemos que a relação R de A em B é

definida pela função y = x +2, sendo x ϵ A e y ϵ B, pois: Sendo

x =1 y = x +2 y = 1 +2 y = 3

x =3 y = x +2 y = 3 +2 y = 5

x =5 y = x +2 y = 5 +2 y = 7 Assim, A relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} Essa relação pode ser representada por um diagrama de flechas.

A B

. 1

. 3

. 5

. 3

. 5

. 7

. 9

Plano Cartesiano Ortogonal Uma relação pode ser representada num plano cartesiano que consiste em dois eixos x e y que se cruzam perpendicularmente. b (a,b)

a

Vamos usar o exemplo anterior e localizar os pares ordenados da relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} no plano cartesiano.

Veja:

EXERCÍCIOS

1. Dados os conjuntos A = { -2, 0, 2} , B = { 0, 1, 3} e C = {3, 4}, represente por meio de conjuntos de pares ordenados:

a) A x B b) A x C c) B x A

d) C x A e) B x C f) C x B

2. Determine o número de elementos de A x B, sabendo que A = { 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}

3. Para cada item construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados da relação. a) R = {(-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4), (3,6)} b) S = { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)} c) T = {(0,-1), (1,0), (2,3), (-1,0)} d) U = {(5,0), (6,1), (7,2), (4, -1)}

4. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {0, 1, 2, 4, 6}, represente por meio de conjunto de

pares ordenados e de diagramas de flechas as relações: a) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x -1} b) R2 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2} c) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2 - x}

x

y Chamamos o eixo x de eixo das abscissas, o eixo y de eixo das coordenadas e o par ordenado (a,b) são as coordenadas de um ponto no gráfico.

1º quadrante

4º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

eixo das abscissas

eixo das ordenadas

x

y Os eixos x e y se cruzam num ponto O, chamado origem do sistema cartesiano. Esses eixos dividem o plano em 4 quadrantes, conforme desenho ao lado.

x

y

(1,3)

(3,5)

(5,7)

1 2 31

4 5 6

1 2 3 4 5

6 7 8

Definindo Funções

Dados dois conjuntos A e B, chamamos função a toda relação f: A B na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B.

Exemplos: 1) 2) 3) Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em B, ou seja, nenhuma função de A em B terão seus elementos com dois ou mais correspondentes em B e ainda, poderão sobrar elementos em B, mas nunca sobram elementos em A sem um parceiro em B.

Domínio (D), contradomínio (CD) e imagem(Im)

O conjunto A é chamado de domínio (D) e B de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im) da função. Exemplo1 : Dado o diagrama abaixo, podemos determinar que:

D = A = {-1, 1,2, 3} CD = B = {1, 4, 6, 8, 9} Im = {1, 4, 9}

Exemplo2 :

Dados A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f: A B definida por f = {(x, y) x ϵ A X B| y = 2x+1}, obtenha a imagem dessa função.

x ϵ A y = 2x+1

0 y = 2(0)+1 y =1

1 y = 2(1)+1 y =3

2 y = 2(2)+1 y =5

f= {(0,1), (1,3), (2,5)} então, Im = {1, 3, 5}

Observe que o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados e a imagem, pelos segundos elementos.

A B A B A B

B

1

-1

1

2

3

4

9 8

A

6

6

B 0 1

1

2

3

5 4

A

2

0

Gráfico de uma função

Da mesma forma que uma relação, uma função pode ser representada em gráficos. O mais comum é representarmos num plano cartesiano onde o eixo das abscissas conterá o domínio e o eixo das coordenadas, o contradomínio.

Exemplos

1. Dada a função f(x) =2x +1, construa o gráfico num sistema de coordenadas cartesianas.

NOTA: Caso não seja dado o domínio, atribui-se alguns valores reais ao x e calculamos as respectivas imagens, formando uma tabela. A partir da tabela se constrói o gráfico. x y (x,y)

-1 0 (-1,0)

0 1 (0,1)

1 3 (1,3)

2 5 (2,5)

2. Seja a função y = - x2, construa o gráfico para o domínio ]-2,2[ e, em seguida, escreva a imagem dessa função

NOTA: Neste caso, foi dado o domínio na forma de intervalo. Logo, espera-se a imagem na forma de intervalo. x y

-2 -4

-1 -1

0 0

1 -1

2 -4

EXERCÍCIOS

1. Refaça o exemplo anterior para a função y = (-x)2.

2. Construa o gráfico da função f: A R, dada por y = x + 3, onde A = { 0, 1, 2, 3}.

3. Construa os gráficos das funções f: R R, dadas por: a) f(x) = 3x b) g(x) = 2 – 5x c) y = x2 d) f(x) = x2 – 4 e) y = 1/x

f) g(x) = x2 - 3x g) f(x) = x h) y = 2x + 3x i) y = -2x + 1

Cálculos: Se f(x) =2x +1 então y =2x +1

Se x = -1 y =2(-1) +1 y = -1

Se x = 0 y =2(0) +1 y = 1

Se x = 1 y =2(1) +1 y = 3

Se x = 2 y =2(2) +1 y = 5

4

-1 1 2 3

0 -1 -2

1

2

3

5

x

y

1 2 -1 -2

x

y

-1

-2

-3

-4

Im = ] -4,0]

Im = { y ϵ R|-4 < y 0}

Raiz de uma função Denominamos de raiz ou zero de uma função aos valores de x para y =0. Assim, as raízes de

uma função são os valores em que gráfico corta o eixo das abscissas. Para calcularmos a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação. Exemplos: 1. Seja a função f(x) = 3x - 12. Calcular a sua raiz.

Resolução: Fazemos f(x) = 0 (zero), ou seja, 3x – 12 = 0 e resolvemos a equação. 3x – 12 = 0 3x = 12 X = 4 Logo, a raiz dessa função é 4

2. Seja a função g(x) = x2 – 3x +2, qual a(s) sua(s) raiz(es)? Resolução: Fazemos x2 – 3x +2 = 0 e, usando Báscara determinamos suas raízes.

√

√( ) ( )( )

( )

e Logo, as raízes dessa função são 1 e 2.

EXERCÍCIOS

Determine, se existir, as raízes das seguintes funções:

a) f(x) = 3x + 42 b) f(x) = x2 – 49 c) g(x) = 3x + 42 d) g(x) = x2 – 5x e) y = 5 x2 – 7x + 3 f) y = x(x – 2) g) f(x) = 3x – 2 h) f(x) = 40x -200

1. Dada a função f(x) = 2 x + k, determine o valor de k para que sua raiz seja -3

2. Calcule m para que a função:

a) f(x) = m2x – 9 tenha 1 como raiz b) f(x) = x – m2 tenha 2 como raiz c) f(x) = = 2x + m2 tenha -2 como raiz d) f(x) = mx2 + 2 mx + 4 tenha -1 como raiz

e) f(x) =

tenha 3 como raiz

3. Extraia a raiz de cada função abaixo e, em seguida, construa o gráfico

correspondente: a) ( ) b) ( )

c) ( )

d)

A inversa de uma função

Dada a relação R de A em B, denominamos relação inversa R-1 de B em A a relação definida por:

R-1 = {(y,x)|(x,y) R} Por exemplo, se R = {(1,3), (2,6), (3,9)}, então R-1 = {(3,1), (6,2), (9,3)} Assim, podemos determinar a função inversa (Fx

-1) de uma função dada, usando o seguinte artifício: 1º) Dada uma função qualquer, troca-se o x por y e o y por x; 2º) Em seguida, isala-se o y, obtendo-se assim a inversa da função dada. Exemplo: Dado: ( ) Trocamos y por x e x por y Fica:

Logo: ( )

OBSERVAÇÃO: Obtêm-se função inversa apenas de função bijetiva (ou bijetora), ou seja, aquela que tem uma correspondência biunívoca, na relação A e B.

EXERCÍCIOS

Determine as inversas das funções abaixo:

1. ( ) 2. ( ) 3. ( )

4. ( )

5. ( )

6. ( )

7. ( )

8. ( )

9. ( ) 10. ( )

Gráfico e Raiz(es) de uma função

Para construir um gráfico, a partir de qualquer função, é preciso atribuir valores a variável x que consta na função. Resolvendo a expressão numérica encontrada, acha-se o valor de y correspondente àquele valor de x, ou seja, temos um par ordenado (x, y). Esse par ordenado é que forma o ponto no gráfico, ou seja, são as coordenadas do gráfico. NOTA: Nunca esqueça que cada eixo x e y, que formam o plano cartesiano, deve ser dividido, a partir do zero, de forma proporcional. Somente assim, o gráfico terá sua forma correta:

Exemplo: Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, a variável x pode ser substituída por qualquer valor e a partir dele se determina o valor de y.

Observe que, nesta função, se escolhermos 6 para a variável x e substituirmos na função dada, temos:

f(x) = x2 – 19x + 84

y = (6)2 – 19(6) + 84

y = 36 – 114 + 84 y = 6

E assim, vamos escolhendo outros valores para x e formando os diversos pares ordenados, necessários para formar o gráfico. Se usamos x = 6, então, y = 6 Se fizermos x = 7, então y = (7)

2 – 19(7) + 84 e, y = 0

Se fizermos x = 8, então y = (8)2 – 19(8) + 84 e, y = -4

Se fizermos x = 9, então y = (9)2 – 19(9) + 84 e, y = -6

Se fizermos x = 10, então y = (10)2 – 19(10) + 84 e, y = -6

Se fizermos x = 11, então y = (11)2 – 19(11) + 84 e, y = -4

Se fizermos x = 12, então y = (12)2 – 19(12) + 84 e, y = 0

Se fizermos x = 13, então y = (13)2 – 19(13) + 84 e, y = 6

Os valores encontrados formam a tabela ao lado:

NOTA: Lembre-se que a função dada é uma equação do 2º grau. Logo, são necessário, no mínimo, 6 pares ordenados

para que se obtenha a curva característica de uma equação do 2º grau. Se fosse uma equação do 1º grau, bastariam 2 pontos,

porque a função do 1º grau é sempre representada por uma reta e para traçar uma reta, dois pontos são suficientes.

O gráfico fica:

Raiz (ou raízes) de uma função são os valores de x para que y seja igual a zero. No gráfico acima, esses valores são x = 7 e x = 12.

TABELA

X y (x,y) Ponto

6 6 (6,6) A

7 0 (7,0) B

8 -4 (8,-4) C

9 -6 (9,-6) D

10 -6 (10,-6) E

11 -4 (11,-4) F

12 0 (12,0) G

13 6 (13,6) H

x

y

6

4

2

-2

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-4

A

B

D E

G

H

REPENSANDO GRÁFICOS E RAÍZES DE UMA FUNÇÃO

Como calcular as raízes de uma função, sem fazer o gráfico?

Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, as raízes da função são obtidas igualando essa função a zero e determinando o valor de x. Veja:

O(s) valor(es) que corta(m) o eixo do x, ou seja, quando y é igual a zero, pode(m) ser obtido(s) pela resolução da equação obtida. No caso,

x2 – 19x + 84 = 0

√

√( ) ( )( )

( )

√

√

I - Calcule a(s) raiz(es), se houver(em), de cada função:

1) f(x) = x2 + 13x + 30

2) f(x) = 7x – 56

3) g(x) = x

2 – 3x – 54

4) h(x) = 26 – 13x

5) g(x) = x

2 – 144

6) h(x) = 9x

2 + 4x

7) y = 9 – 4(x – 2)

8) y = 3(x – 2) – 5

9) f(x) = 4 – 2 x + 15

10) f(x) = 3x

2 – 5x + 7

II – Escolha 3 funções acima e construa o gráfico correspondente.

“Quando você for construir o gráfico de uma função qualquer, calcular antes a(s) raíz(es) da função facilita o processo porque já fica determinado um par ordenado.” Justifique essa afirmação, com um exemplo.

1. Extraia a raiz das funções abaixo: a) f(x) = 2x -26 b) g(x) = x

2 – 81 c) y = 3 - x

2. Construa o gráfico, apresentando também a tabela com os pares ordenados de cada função abaixo:

a) f(x) = x -2 b) g(x) = 2x c) y = x2

3. Determine a(s) raiz(es) de cada função representada nos gráficos abaixo: a) b) c)

EXERCÍCIOS ADICIONAIS

y

x -10

-4 x 27 9

y

x 11

3

y

4. Classifique em crescente, decrescente ou constante cada função abaixo:

a) b) c)

5. Determine a inversa de cada função abaixo:

a) f(x) = x - 5 b) f(x) =

c) f(x)= 3x – 1

y

x -6

25

y

x -5

8

y

x

2

4

Função Exponencial

Recordando potenciação e suas propriedades: Sabemos que: = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 Identificamos o 3 como a base da potência, o 4 como o expoente da potência e o 81 o resultado da

potenciação indicada. Calcule:

1)

2)

3)

4) (

)

5)

6)

7)

8) ( )

9) √

10)

11) =

12)

13) (

)

14)

15) (

)

Propriedades da Potenciação Propriedade 1: Propriedade 2: para Propriedade 3: ( ) Propriedade 4: para Propriedade 5: ( )

Efetue:

1)

2)

3) (

)

( ) =

4)

5) (

)

(

) =

3 4

Determinando a raiz de uma função exponencial

Toda função (equação) que contém incógnita no expoente é chamada de função (equação) exponencial. Exemplos:

a) b) c)

Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências

de mesma base. Aplicamos as definições e propriedades da potenciação, sempre se > 0, 1 , sendo a incógnita, para toda equação do tipo onde .

Exemplos:

1) Transformamos ambos os membros para potência de mesma base. Fatorando 4 fica e fatorando 512 temos . Então: ( ) 2 =9

Logo, a raiz dessa equação é

.

Ou ainda, o conjunto verdade é V ={

}