CURSO DE EXTENSO 2011

Funes polinomiais de 1 e 2 graus: uma abordagem computacional

Nome: _____________________________________________________________________

Campus:_______________ Curso: _______________________________________________

Unidade ABC1. Introduo ao GEOGEBRA; 2. Funo Polinomial do 1 grau; 3. Funo Polinomial do 2 grau.

Organizao: Profa. Ms. Diana Maia de Lima

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Conhecendo o GEOGEBRAO GEOGEBRA possui um diferencial dentre os existentes programas de Geometria Dinmica. Cito como exemplo: inserir comandos tanto por botes quanto pelo campo entrada, este localizado logo abaixo no programa.

Barra de Ferramentas Localizada na parte superior da tela inicial. Cada um dos botes por sua vez possui uma janela com mais opes de comandos. Esto separados por categorias.

Boto direito do Mouse Quando clicamos com o boto direito do mouse em uma rea em branco da janela onde se encontra os eixos o seguinte menu aparecer: Eixos: Exibe os eixos; Malha: Exibe a malha; Zoom: Amplia ou reduz a tela de visualizao; EixoX:EixoY: Insere uma proporo de visualizao; Exibir todos os objetos: Torna visveis os objetos ocultos; Visualizao Padro: Retorna posio inicial da escala; Janela de Visualizao: Altera as propriedades iniciais de configuraes.

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Campo de Entrada Localizado no rodap do programa e atravs dele possvel inserir comando escritos do que se quer construir.

Por exemplo, digite A=(2,3), isso far um ponto. Digite B=(1,5), isso far outro ponto. Finalizando insira o comando reta [A, B]. O que vai gerar uma reta passando pelos pontos A e B conforme mostra seguinte tela:

A mesma reta poderia ser obtida diretamente atravs dos botes localizados na barra de tarefas com o comando Reta Definida por Dois Pontos.

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FunoDefinio: Dados dois conjuntos A e B ( ), no vazios, uma relao f de A em B recebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x A existem um s

y B tal que ( x, y ) f . y B tal que

Notao: y = f(x) expressa a lei mediante a qual, dado x A , determina-se

( x, y ) f , ento f {( x, y ) | x A, y B e y f ( x )}

Vriveis visuis e uniddes simbolics significtivsUtilizaremos o procedimento de interpretao global das propriedades figurais, no qual possvel distinguir variveis visuais e unidades simblicas significativas referentes s funes. A distino das unidades significativas prprias a uma expresso algbrica relativamente evidente. So elas: os smbolos relacionais (,=,...); os smbolos de operaes ou sinal (+, -, ...); os smbolos de variveis; os smbolos de coeficiente e constante. Em uma expresso algbrica cada smbolo corresponde a uma unidade significativa. H, contudo unidades significativas cujos smbolos so omitidos: o coeficiente 1, o caractere + na frente dos coeficientes maiores que zero. Assim no se escreve y 1x , em contrapartida escreve-se y 3x . A recordao dessa trivialidade 2

importante quando se trata de corresponder as variveis visuais relevantes do grfico e as unidades significativas da escrita algbrica. A distino das propriedades figurais de uma representao grfica em contrapartida, menos evidente. importante ressaltar que Duval (1988) explica que a compreenso em matemtica implica a capacidade de mudar de registro, pois, passar de um registro de representao a outro no somente mudar o modo de tratamento, mas tambm saber explicar propriedades de um mesmo objeto. E, isto est intimamente ligado ao fato de dispor ao menos de dois registros diferentes. A partir destas ideias faremos, ento, nossas anlises das funes polinomiais de 1 e 2 graus.

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Funo Polinomil do Primeiro GruTambm chamada de Funo Afim. O intuito desse trabalho , partindo dos grficos feitos pelo computador, explorar as diferentes possibilidades, para, ao final, estabelecer concluses e fatos gerais. Iniciaremos com a funo ( ) e logo partiremos para analisar o formato mais geral ( )

Construindo as funes no GEOGEBRA- A TIVIDADE 01 No campo de entrada digite as funes abaixo: a) b) c) d) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. O que se pode concluir a partir da anlise dos grficos obtidos? 2. H pontos em comum? ( ) sim ( ) no. Por qu?_____________________________________ 3. Ponto de interseco com o eixo x: a) _______ b) _______ c) _______ d) _______ e) _______ 4. Ponto de interseco com o eixo y: a) _______ b) _______ c) _______ d) _______ e) _______ 5. Para quais valores de x, cada funo assume valores positivos, negativos ou zero? - A TIVIDADE 02 No campo de entrada digite as seguintes funes: a) b) c) d) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )

)

1. Qual o ponto de interseco com o eixo x? E com o eixo y? _______________________________ 2. O que acontece com o grfico, quando o valor do coeficiente de x maior do que 1? E quando esse coeficiente est entre 0 e 1? ______________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

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- A TIVIDADE 03 No campo de entrada digite as seguintes funes: a) b) ( ) ( )

1. Comparando os dois grficos, a que concluses possvel chegar? __________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ - A TIVIDADE 04 Repita a atividade 02 multiplicando o coeficiente angular por -1.

Funes com parmetrosVamos construir dois parmetros. Clique no boto Seletor. Aparecer a seguinte tela:

Min: Este ser o valor mnimo do seletor; Max: Este ser o valor mximo do seletor; Incremento: Passo dado do mnimo ao mximo ou vice-versa. Obs.: Para esse exemplo vamos deixar os valores pr-configurados. Com tudo chegaremos a dois parmetros, a e b, iniciados com o nmero 1, conforme a figura a seguir.

Agora na caixa de entrada, digite o seguinte comando ( )

. O que aconteceu?

Tecle esc, para voltar ao comando mover do cone Altere os valores de a e b nos seletores. Clique sobre os pontos e os arraste, direita e esquerda, com o mouse.

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PERGUNTAS 1. O que acontece com a reta quando trocamos os valores numricos de a? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 2. O que acontece com a reta quando mudamos o valor de b? _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 3. O que acontece com o grfico da funo se _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 4. O que acontece com o grfico da funo se _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 5. O que acontece com o grfico da funo se _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 6. O que acontece com o grfico da funo se _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 7. Analise o grfico quando _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________

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Funo crescente ou decrescente Uma funo crescente em um intervalo [a, b] se para quaisquer ento ( ) ( ). Uma funo decrescente em um intervalo [a, b] se para quaisquer ento ( ) ( ). - A TIVIDADE 05 Repetir os passos do item: funes com parmetros;

e e

em [a, b], se em [a, b], se

1. Criar texto com a ferramenta . Digite CRESCENTE e outro texto DECRESCENTE; 2. Clicar com o boto direito do mouse em cima do primeiro texto, v a propriedades... 3. Na aba avanado digite em condio para mostrar o objeto a > 0, conforme ilustra a figura a seguir.

4. Para o texto DECRESCENTE repita o passo anterior, porm digite a < 0 em condio para mostrar o objeto; 5. Mova o seletor a e veja o que acontece com os textos criados; 6. Altere as propriedades dos objetos, tais como cor, espessura, posio na tela, etc. PARA REFLETIR Como seria o grfico da funo ( ) ?

Funes com domnioEm alguns casos precisamos digitar uma funo com o domnio restrito. Isso pode ser feito atravs [ ] Por exemplo, digite o do comando comando Funo[2x+1, -1, 2] o resultado est representado na figura a seguir:

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- A TIVIDADE 06 Quais so as expresses algbricas de cada uma das representaes das funes utilizadas, bem como o seus domnios?4.0 3.0 2.0 1.0 x -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 y

f(x) = _______________ Domf [ ____; _____ ] g(x) = _______________ Domf [ ____; _____ ] h(x) = _______________ Domf [ ____; _____ ] p(x) = _______________ Domf [ ____; _____ ]

1. Construa o desenho abaixo em um plano cartesiano e escreva quais so as expresses algbricas de cada uma das representaes das funes utilizadas, bem como o seus domnios.

Comandos usados no GeoGebra para o desenho acima: Vermelho Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ] Azul Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Funo [ _____________ , _________ , _________ ]

Verde

Funo [ ______________ , _________ , _________ ] Funo [ ______________ , _________ , _________ ]

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Quadro 1 Resumo da funo de 1 grau

Variveis Visuais

Valores

Unidade simblica correspondente

ATIVIDADE EXTRA ( PARA ENVIAR POR E-MAIL)Crie um desenho, no plano cartesiano, utilizando apenas funes polinomiais do 1 grau, e escreva quais foram as expresses algbricas de cada uma das representaes das funes utilizadas, bem como o seus domnios.

Funo QudrticUma aplicao f de IR em IR recebe o nome de funo quadrtica ou do 2 grau quando axxocia a cada x iR o elemento ( ax2

bx c ) IR , em que a, b, c so nmeros reais e a 0 .f ( x ) ax 2 bx c (a 0)

O grfico da funo de 2 grau uma parbola. Costumamos construir o grfico desta funo com o auxlio de uma tabela de valores x e y, tornando o trabalho s vezes impreciso, pois na tabela atribumos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que em determinda funo quadrtica os valores de abscissa (valores de x), em que a parbola intercepta o eixo x ou a abscissa do ponto da parbola de maior ou menor ordenada, no so inteiros. Por meio de algumas atividades faremos um estudo analtico mais detalhado da funo quadrtica, utilizando uma forma mais conveniente chamada forma cannica.

ATIVIDADE 07 No campo de entrada digite as funes abaixo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1) O que possvel concluir a respeito do coeficiente de x2 ser um nmero maior que zero. 2) O que possvel concluir a respeito do coeficiente de x2 ser um nmero menor que zero. 3) Os grficos possuem algum ponto em comum? Por qu?

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4) O que garante em termos do grfico de cada funo, o fato do coeficiente de x2 ser um nmero positivo? E de ser um nmero negativo?

ATIVIDADE 08 No campo de entrada digite as funes abaixo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. O que acontece com os grficos em relao funo ( )

2. Quais so as coordenadas do vrtice da parbola em cada um dos casos?

ATIVIDADE 09 No campo de entrada digite as funes abaixo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. O que acontece com os grficos em relao funo ( )

2. Quais so as coordenadas do vrtice da parbola em cada um dos casos ?

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Funes com parmetrosFORMATO ( )

1. 2. 3. 4.

Construir um seletor a com a ferramenta ; No campo de entrada digite ( ) ; Movimente o seletor com o mouse. O que voc pde perceber em relao ao movimento do grfico? ( )

FORMATO ( ) 1. 2. 3. 4.

Construir dois seletores a e n com a ferramenta ; ( ) ; No campo de entrada digite ( ) Movimente os seletores com o mouse. O que voc pde perceber em relao ao movimento do grfico?

FORMATO ( ) 1. 2. 3. 4. Construir dois seletores a e m com a ferramenta ; No campo de entrada digite ( ) ; Movimente os seletores com o mouse. O que voc pde perceber em relao ao movimento do grfico? ( )

FORMATO ( )

1. Construir trs seletores a, m e n com a ferramenta ; 2. No campo de entrada digite ( ) ( ) 3. Movimente os seletores com o mouse e responda as questes a seguir.Quadro 2. Resumo da funo quadrtica

Variveis Visuais

Valores

Unidade simblica correspondente

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ATIVIDADE 10 Construa as figuras a seguir e d suas expresses algbricas e seus respectivos domnios.

5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

y

x-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

y

x-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

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Razes da funo quadrticaConstrua o grfico ( ) .

1. No campo de entrada, digite o comando RAIZ[f]; 2. Note que iro aparecer os pontos A e B; 3. Quais so as razes dessa funo? S = { _____ ; _____ }

ATIVIDADE 11 1. 2. 3. 4. Crie trs seletores (a, b, c); No campo de entrada digite ( ) No campo de entrada digite delta = b^2-4*a*c; No campo de entrada, digite o comando RAIZ[f];

5. Clique no boto ative a caixa FRMULA LATEX e digite o texto com a sintaxe \Delta = + delta. 6. Altere o tamanho do texto. Clique com o boto direito do mouse e v em propriedades; 7. Mova os seletores e responda as questes a seguir. a) Altere os valores de a, b ou c de forma que o grfico intercepte o EixoX. Qual o sinal do

b) Fazendo a = 4, b = -4 e c = 2, o que acontece com o grfico? Qual o sinal do

c) Fazendo a = 1, b = -4 e c = 3, o que acontece com o grfico? Qual o sinal do

d) Se e) Se f) Se

, o grfico ______________________________ o eixo x. (intercepta ou no intercepta) , o grfico ______________________________ o eixo x. (intercepta ou no intercepta) , o grfico ______________________________ o eixo x. ATIVIDADE 12

1. Construa um grfico com as seguintes propriedades. Escreva a funo f(x) = ___________________

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Vrtice da parbola1. 2. 3. 4. Crie trs seletores (a, b, c); No campo de entrada digite, exatamente, No campo de entrada, digite o comando V = VRTICE[d]; Mova apenas o seletor a e responda as questes a seguir.

a) O ponto V ser ponto de mnimo se _______ ( b) O ponto V ser ponto de mximo se _______ ( ATIVIDADE 13

) )

Faa o seguinte exerccio com os trs seletores j criados e, apenas, troque seus valores para chegarem s funes que se pedem a seguir: 1. Construa as funes: ( ) ( ) Para cada uma delas, determine: a) O ponto onde intercepta o eixo Y. b) Se intercepta o eixo y em sua parte crescente ou decrescente. c) Analise a concavidade. d) Encontre o . e) Encontre as razes, caso existam. f) Encontre o vrtice das parbolas.

g) Determine o mximo e/ou mnimo. h) Em qual intervalo a funo crescente? E decrescente? i) Estude o sinal da funo. Ou seja, onde ( ) ( )

Responda os itens acima completando a tabela abaixo. a) ( ) b) c) d) e) f) g) h) i)

( )

ATIVIDADE 14 Compare a forma cannica da funo quadrtica com a forma desenvolvida, no que diz respeito construo do grfico, vrtice e razes.

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ATIVIDADE EXTRA ( PARA ENVIAR POR E -MAIL) Crie um desenho, no plano cartesiano, utilizando apenas funes polinomiais do 2 grau, e escreva quais foram as expresses algbricas de cada uma das representaes das funes utilizadas, bem como o seus domnios.

Curso de extenso 2011 Essa apostila destinada aos participantes do curso de extenso da Universidade Bandeirante Brasil e foi elaborada pela professora Ms. Diana Maia de Lima com a contribuio do professor Esp. Izaias Cordeiro Nri. A reproduo da mesma est autorizada desde que os nomes dos autores sejam preservados bem como o seu contedo. contato: prof-diana@hotmail.com