Funções Polinomiais - Teoria (PDF)

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Funes Polinomiais Dada uma funo polinomial e raiz de se e somente se um fator de (esta seria a principal caracterstica da funo polinomial) sendo e o grau do polinmio

(esta conveno importante para no recairmos em contradies, por exemplo, no momento de dividirmos polinmios) Observe que

(esta uma forma bem usual de desenvolvermos a identidade acima para chegarmos a um polinmio) Note que (esta uma outra forma de expressarmos um polinmio) Substituindo no lugar de o valor e podemos calcular agora temos: .

Calculando a diferena entre

Este resultado sugere que Hiptese raiz, portanto

. Vamos ento demonstr-lo:

um fator de Hiptese raiz

Consequncias do fato de toda funo polinomial possui poder ser escrita da forma Toda funo polinomial de grau n se anula em, no mximo, n pontos. Quando escrevemos uma funo polinomial na forma reduzindo o grau do polinmio original. Suponha que tenhamos encontrado um determinado valor que o polinmio se anula. Chamemos este valor de podemos reescrever o polinmio dado na forma: Suponha, novamente, que consigamos encontrar um novo valor que anule o polinmio . Ento poderemos reescrever o polinmio dado na forma: Fazendo este procedimento repetidamente poderamos escrever o polinmio original at encontrarmos um nmero de valores que anulam o polinmio identicamente igual ao seu prprio grau. Em notao teramos: . Chamemos este valor de . Logo , de certa maneira, estamos

sendo que

no mximo seria uma constante e no poderia mais ser fatorado.

Para que um polinmio se anule, todos os coeficientes de seus termos devem ser iguais a zero, ou seja, Se um polinmio possui todos os coeficientes de seus termos iguais a zero, independente do valor de x seu valor numrico ser igual a zero. Seja .. Calculando temos:

Temos que provar que um polinmio que se anula para todo valor de devero ser iguais a zero. Um polinmio de grau deste tipo possui sempre

os coeficientes de seus termos necessariamente

nunca pode possuir infinitos valores onde se anula, pois, como j vimos um polinmio

valores onde se anula. Logo para que haja algum polinmio que se anule em infinitos valores o

nico polinmio que nos resta o polinmio nulo. Para que dois polinmios sejam identicamente iguais os coeficientes do primeiro devem ser iguais aos respectivos coeficientes do segundo, ou seja, Podemos chamar a diferena Logo para que de . Utilizando o resultado anterior sabemos que devero ser o mesmo dos respectivos coeficientes de . nico. .

ocorra os coeficientes de

Determinao de um polinmio a partir de seus valores Um polinmio de grau utilizaremos o seguinte resultado: Dados nmeros reais distintos , tal que que assume valores pr-fixados em pontos distintos e fixados arbitrariamente os valores , existe um, e somente um, polinmio , de grau dado quando se conhecem seus coeficientes. Para determinar este polinmio

Para provar que existe o polinmio de grau utilizaremos a chamada frmula de interpolao de Lagrange. Para polinmios de grau 1 (caso

) a frmula de interpolao de Lagrange :

enquanto que para polinmios de grau 2 (caso

) a frmula citada :

No caso geral temos:

Exemplo: Determine o polinmio

de menor grau possvel tal que

,

,

e

.

Substituindo os valores temos:

Grficos de Funes Polinomiais Os grficos de funes polinomiais no so bem estruturados como os das funes afins ou quadrticas. Vamos analisar primeiramente o grfico de uma funes polinomial de grau PAR. 1 Exemplo) Seja a funo definida por . . O grfico desta funo possui SIMETRIA em relao ao eixo Oy. O VALOR MNIMO desta funo ocorre em

(ATENO! Este lugar geomtrico NO UMA PARBOLA, pois os pontos que pertencem a ele no satisfazem as condies referentes ao foco e reta diretriz). Agora analisaremos o grfico de uma funo polinomial de grau MPAR. 2 Exemplo). Seja a funo definida por . . O aspecto do grfico desta funo possui um tipo de SIMETRIA em relao ao a funo identidade

3 Exemplo) Esboce o grfico da funo

definida por

.

O grfico desta funo no simplesmente translaes do grfico das funes elementares. O Paulo Czar P. Carvalho afirma no vdeo que necessrio utilizarmos softwares para que o aluno perceba semelhanas entre o grfico solicitado e os grficos das funes elementares. Inicialmente ele mostra no vdeo que observando o grfico da funo num intervalo pequeno ] 30, + 30 [ possui o seguinte aspecto.

Porm ao observarmos o mesmo grfico num intervalo maior ] 250, + 250 [ o aspecto do grfico vai assemelhando-se ao grfico da funo elementar .

Isto ocorre pois o termo de maior grau acaba dominando os demais termos quando os valores vo aumentando. Os demais termos vo alterar os valores mais prximos da origem do grfico.

(ATENO! Isto uma caracterstica de uma funo polinomial de grau PAR).

Determinao das Razes (Zeros) de Funes Polinomiais 1 Exemplo) Determine as razes do polinmio .

Mais uma vez o Paulo Cezar utiliza no vdeo a utilizao de softwares para determinar as razes da equao. Neste caso ele utilizou o Microsoft Excel para inserir em uma clula o valor da funo e em outra coluna estimou alguns valores para os valores de x. Porm ele vai cercando as razes de maneira experimental. A tabela obtida pelo software a seguinte: x 1 1,2 1,1 1,13 1,14 1,145 p(x) -2 0,8576 -0,7429 -0,30084 -0,14641 -0,06784

1,15 0,011631

Em seguida ele mostra uma maneira otimizada de encontrar uma raiz utilizando o chamado Mtodo de Newton. Na terceira coluna ele insere na clula a derivada da funo. Para os prximos valores de x ele utiliza o valor anterior corrigido pela razo entre o valor da funo no ponto e o valor de sua derivada. Encontra-se a seguinte tabela. x 1 1,181818182 1,150429349 1,149273335 1,149271804 1,149271804 p(x) -2 0,539034219 0,018498199 2,44368E-05 4,28351E-11 0 p'(x) 11 17,1728024 16,00170551 15,9594379 15,95938196 15,95938196

O Mtodo de Newton Vamos atribuir um valor Calculado o valor da funo em Podemos interpretar a razo entre do ponto , ou seja, . para determinar uma das razes da funo polinomial temos e . A derivada da funo no ponto a que chamaremos e . de .

dada pela reta tangente ao grfico que

determina no eixo Ox um novo valor que chamaremos

. Chamemos a distncia entre os valores

como sendo a taxa de variao da reta tangente, ou seja, a derivada da funo

Em smbolos temos:

Portanto o valor de

dado por:

Utilizando o Mtodo de Newton para encontrar razes na calculadora Quando utilizamos uma calculadora para determinar o valor de funo polinomial definida por Utilizando o mtodo de Newton temos: na realidade estamos determinando as razes da .

. A derivada primeira desta funo dada por