Funções racionais

FUNÇÕES RACIONAIS Síntese teórica sobre as funções

racionais. Muitos exercícios com soluções.

Abílio Vitorino

Matemática: Texto orientado + exercícios do tema − FUNÇÕES II − 11 Ano

1

Conceito de função:

Uma função é uma aplicação do conjunto A para o conjunto B.

Numa aplicação a todos os elementos do conjunto A faz corresponder um e um só elemento no conjunto B.

Chama-se de DOMÍNIO da aplicação ao conjunto constituído por todos os elementos do conjunto A.

Chama-se de CONJUNTO DE CHEGADA da aplicação ao conjunto constituído por todos os elementos do conjunto B, que pelo menos um deles tem que ser recetor dos elementos do domínio, não existindo dois deles que sejam recetores de um só elemento do domínio.

Chama-se de CONTRADOMÍNIO da aplicação ao conjunto constituído por todos os elementos do conjunto B que é recetor de um elemento do conjunto A.

Assim, podemos definir como função uma correspondência UNIVOCA do conjunto A no conjunto B.

x ( )f x

Para cada um dos gráficos apresentados, indique quais os que são funções.

Para cada um desses efetue o estudo da função indicando:

o domínio;

o contradomínio;

os zeros;

os objetos para os quais a função é positiva;

os objetos para os quais a função é negativa;

os objetos para os quais a função é crescente;

os objetos para os quais a função é decrescente;

os máximos e mínimos absolutos e relativos, bem como, os respetivos maximizantes e minimizantes;

a paridade;

a injetividade

u

y

x O


2

Função Racional:

1. Uma função racional é o quociente entre duas funções polinomiais em que, pelo menos um zero do denominador, não é zero do numerador.

2. Simbolicamente:

( ) ( )( ) ( ){ }: 0f

p xf x D x q x

q x= ∧ = ∈ℜ ≠

Resolução de uma equação fracionária:

Para se resolver uma equação fracionária, o segundo membro

deve ser zero. Sendo ( ) ( )( )

p xf x

q x=

então, ( ) ( )( )

0 0p x

f xq x

⇔= = ⇔

( ) ( )0 0p x q x= ∧ ≠⇔

Resolução de uma inequação fracionária:

Para se resolver uma inequação fracionária, deve-se aplicar o seguinte método:

1. O 2.º membro tem de ser zero;

2. Devemos operacionar todos os termos do 1.º membro para obtermos um só termo.

3. Em cálculos auxiliares devemos determinar os zeros dos polinómios do numerador e do denominador e estudar o sinal destes.

4. Desenhar uma tabela de sinais desses polinómios e identificar o conjunto solução da inequação.

Exemplo de resolução de uma equação fracionária:

Resolva a equação 2 1 11

xx x+

=−

.

Resolução:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 2

22

2 1 1 2 1 1 01 1

2 1 1 12 1 1 0 01 1 1

2 1 2 10 01 1 1

2 1 0 2 1 0 1 01

2 2 0 12 2

x x

x xx x x x

x x xxx x x x x x

x x x x x xx x x x x x

x x x xx x

x x x x

−

+ += ⇔ − = ⇔

− −+ ++

⇔ − = ⇔ − = ⇔− − −

+ + + − −⇔ − = ⇔ = ⇔

− − −

−⇔ = ⇔ − = ∧ − ≠ ⇔

−

⇔ = − ∨ = + ∧ ≠ ∧ ≠

Assim, as soluções da equação são: 2 2,2 2

− + e o

conjunto solução da equação é: 2 2,2 2

A = − +

.

Exemplo de resolução de uma inequação fracionária:

Resolva a inequação 2 1 11

xx x+

≥−

.

Resolução:

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

1

2 2

2(1)

2 1 1 2 1 1 01 1

2 1 1 12 1 1 0 01 1 1

2 1 2 10 01 1 1

2 1 01

x x

x xx x x x

x x xxx x x x x x

x x x x x xx x x x x x

xx x

−

+ +≥ ⇔ − ≥ ⇔

− −+ ++

⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔− − −

+ + + − −⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔

− − −

−⇔ ≥ ⇔

−


3

A partir deste momento, em cálculos auxiliares (C.A.), determinamos os zeros da expressão algébrica do numerador e os zeros da expressão algébrica do denominador, estudando o sinal de cada uma destas expressões.

Assim, temos:

C.A.

2 2 2: 2 12 2

N x x x− ⇔ = − ∨ =

Estudar o sinal do numerador:

Verificamos que o numerador tem sinal negativo entre os seus zeros e fora destes tem sinal positivo.

( ): 1 0 0 1 0 0 1D x x x x x x− = ⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =

Verificamos que o denominador tem sinal negativo entre os seus zeros e fora destes tem sinal positivo.

Tabela dos sinais

x −∞ 22

− 0 22

1 +∞

N + 0 − − − 0 + + +

D + + + 0 − − − 0 +

Q + 0 − S/S + 0 − S/S +

Desta forma e de (1), obtemos o conjunto solução da inequação:

] [2 2, 0, 1,2 2

A

= −∞ − +∞


4

Simplificação de expressões fracionárias

Estratégia de resolução:

1.º Determinar o domínio da expressão dada.

2.º Averiguar se o(s) zero(s) do denominador é zero do numerador.

3.º Se, pelo menos um dos zeros do denominador for zero do numerador, a expressão fracionária é simplificável.

4.º Fatorizar os termos do numerador e os termos do denominador, sempre que se verifique 3.º. E simplificar os fatores iguais.

5.º Se a expressão dada tiver mais do que um termo fracionário, deve-se identificar o seu domínio, determinar o mínimo múltiplo comum entre os termos constantes no denominador de cada um dos termos fracionários e obter um só termo fracionário após reduzir os termos semelhantes dos numeradores. E, a partir daí, aplicar a estratégia desde 2.º até 4.º.

Exemplo:

2

1 11

xx x x x− +

− −

{ } { }2: 0 1 0 0 \ 0,1D x x x x x= ∈ℜ ≠ ∧ − ≠ ∧ − ≠ =ℜ

( ) ( ) ( )( )( )

( )

21 1

1 1 1 11 1 1

1 1 1 1 11

x x

x xx x x x x x x x

x x x x xx x

−

− + = − + =− − − −

− − + − −= =

−x+

( )1

1x

x x−

=− ( )1x x −

{ }1 , em \ 0,1x

= ℜ

Exercícios.

1. Simplifique cada uma das seguintes frações e indique o domínio em que é válida a simplificação:

• ( )2

2

3 16 6

xx−−

. Resposta: { }1 , \ 1,12 2xx−

ℜ −+

• 2

2

5 64

x xx− +−

. Resposta: { }3 , \ 2, 22

xx−

ℜ −+

• 3 2

2

2 8 42 24

x x xx x− − ++ −

. Resposta: { }22 1, \ 6, 4

6xx

−ℜ −

+

• ( ) ( )2 2

2

3 44 28 49x x

x x− − −

− +. Resposta: 1 7, \

2 7 2x ℜ −


5

• ( )2

3

3 5 918 8x

x x+ −−

. Resposta: 2

3 8 2 2, \ ,0,6 4 3 3

xx x

+ ℜ − −

• 2 2

2 2

4 44

x xy yx y− +

−. Resposta: ( ) 22 , , :

2 2 2x y y yx y x xx y− ∈ℜ ≠ ∧ ≠ − +

• 2 2

2 2

3 22

x ax ax ax a− ++ −

. Resposta: ( ){ }22 , , : 22

x a x a x a x ax a−

∈ℜ ≠ ∧ ≠+

2. Efetue cada uma das seguintes operações tornando-a, sempre que possível, irredutível e indique o domínio de validade do resultado:

• 2 2

4 3 14 9 4 12 9 2 3

xx x x x

− +− + + −

. Resposta: 2

3 2

2 29 21 3 3, \ ,8 12 18 27 2 2

x xx x x− + + ℜ − + − −

• 2 2

4 2

164

x xx x x−

⋅+

. Resposta: { }3

4 , \ 4,0xx−

ℜ −

• 2

2

2 3 1 12 10 2

x x xx x x

− + −÷

− − +. Resposta: 2 1 5, \ 2,1,

2 5 2xx− ℜ − −

• ( )2

1 1 39

xx

− ÷ +

. Resposta: { }2

3 , \ 3,09

xx−

ℜ −

• 31 1

x xxx x

− ÷ + + − . Resposta: { }1, \ 1,0,1

1xx−

ℜ −+

• 2

2

1 142

1 12

xxx

x

− −÷

+. Resposta:

( ){ }

2

2 , \ 2,0, 22

xx

− ℜ −+

3. Resolva, em ℜ , cada uma das seguintes equações.

• 53x +

. Resposta: impossível

• 2

1 1 54 4x x x

+ =+ +

. Resposta: 12

• 2

3 2 12 2 4

xx x x+

+ =− − −

. Resposta: impossível

• 2

1 111

x xx x x x

+− = −

+ +. Resposta: 3−


6

4. Defina, em extensão, os seguintes conjuntos.

• 21:

1 1xB x x

x x

= ∈ℜ + = − − Resposta: B =∅

• ( ) ( ){ }2: 3 3 0C x x x= ∈ℜ + − + = Resposta: { }4, 3, 2C = − − −

5. Resolva, em ℜ ,cada um dos seguintes conjuntos.

• 3 02 3x

≥+

. Resposta: 3 ,2 +∞

• 2 5 0

2 3x

x+

<−

. Resposta: 2 ,3 +∞

• 2

2

25 05

xx−

≥+

. Resposta: ] ] [ [, 5 5,−∞ − +∞

• 1 xx> . Resposta: ] [ ] [, 1 0,1−∞ −

• ( )5

2 4

10

3xx x+

≥−

. Resposta: [ [, 3 0,1 0, 3 −∞ −

6. Represente, com intervalos de números reais, o conjunto das soluções das condições.

• 1 03

xx−

≥−

. Resposta: ] ] ] [3,1 3,− +∞

• 1 3

04

xx+ −

≤−

. Resposta: ] ] [ [, 4 2,4−∞ −

• 24 03

xx−

≥+

. Resposta: [ ]2,2−

• 2

03 5x

x≤

− −. Resposta: ] [2,8−


7

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES:

Função Soma: …………. ( )( ) ( ) ( ) ( ), f gf gxf g f x g x D D D++ = + =

Função Diferença: ……. ( )( ) ( ) ( ) ( ), f gf gxf g f x g x D D D−− = − =

Função Produto: ……… ( )( ) ( ) ( ) ( ), f gf gxf g f x g x D D D×× = × =

Função Quociente: …… ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, : 0f gf gxf g f x g x D D D x g x×÷ = ÷ = ∈ ≠

Função Composta: …… ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }, : g ff gxf g f g x D x x D g x D= = ∈ ∈ ∧ ∈

Mais exercícios.

1. Para que as expressões seguintes representem uma função, determine o domínio de cada uma:

1.1. 1 2

21

xyx

=−

R: { }( )\ 1,1D =ℜ −

1.2. 2 2

12 2

xyx+

=−

R: { }( )\ 1,1D =ℜ −

1.3. 3 2

44

xyx

=+

R: ( )D =ℜ

1.4. 4 2

22 3

yx x

−=

− − R: { }( )\ 1,3D =ℜ −

1.5. 5 2

xyx x

=−

R: ] [ ] [( )1,1 1,D = − +∞

1.6. 26 4y x= − R: ] ] [ [( ), 2 2,D = −∞ − +∞

1.7. 72

5xy

x=

+ R: ] [ [ [( ), 5 0,D = −∞ − +∞

1.8. 3

8 3xy

x=

+ R: ] [( )3,D = − +∞

1.9. 3

9 2 1xy

x=− −

R: ( )D =ℜ

1.10. 3

101

1 2xy

x−

=− −

R: { }( )\ 1,3D =ℜ −


8

2. Simplifique, no domínio de validade, cada uma das expressões fracionárias:

2.1. 2

2

3 32 3

xx x

−− −

R: { } ( )3 1\ 1,3 ,

3x

emx−

ℜ − −

2.2. 2

2

3 102

x xx x+ −−

R: { } 5\ 0,2 , xemx+ ℜ

2.3. ( )

2

24

3 1x

x−

− − R: { } 2\ 2,4 ,

4xemx+ ℜ −

2.4. 3

2

83 2

xx x

−− +

R: { }2 2 4\ 1,2 ,

1x xem

x + +

ℜ −

2.5. 3 2

13 3 1

xx x x

−− + −

R: { }( )2

1\ 1 ,1

emx

ℜ

−

3. Efetue e simplifique as operações indicando o domínio onde é válida a simplificação:

3.1. 2

2 4 21 1

x xx x− −

−+ −

R: { } 2\ 1,1 ,1

xemx− ℜ − −

3.2. 2

1 2 1 21 1

x xx x x

−+ +

− − R: { } ( )

22 2 1\ 1,0,1 ,1

x xemx x

+ +ℜ − +

3.3. 2 2

2 4 3 31 4

x xx x+ −

×− −

R: { } 2

6\ 2, 1,1,2 ,2

emx x

ℜ − − − −

3.4. 2

2 1 23 6 2

xx x x x

+ ÷ − − R: { } 6\ 0,3 , xem

x− ℜ

3.5. 1 1 1 1x y y x

+ ÷ −

R: 0, 0, x yquando x y

x y +

≠ ≠ −

3.6. 2

2 1 15 5x

x x x+

÷− −

R: { }( )2\ 0,5 , 2em x xℜ +

3.7. 2

5 5 21 1x x x − ÷ + −

R: { } 5 5\ 1,0,1 ,2

xemx

− ℜ −

4. Resolva, em ℜ , cada uma das seguintes equações fracionárias:

4.1. 2

1 1 32 4 4x x x x

−− =

− − R: { } { }( ), \ 0, 2, 4D =ℜ


9

4.2. 2 2

1 1 22 2 4

x xx x x x

+− =

− + − R: { }1 , \ 2,0, 2

2D − = ℜ −

4.3. 2

2

3 11 1 1

x xx x x

+− =

+ − − R: { } { }( )4 , \ 1,1D =ℜ −

4.4. 7 842 1 2 1

xx x

+ =+ −

R: 11 1 1, \ ,6 2 2

D = ℜ −

4.5. 2

1 10 13 9 3y y y

−+ =

− − + R: { } { }( )5 , \ 3,3D =ℜ −

4.6. 2

1 4 32 6 3y y y y

−− =

− + − + R: { }7 , \ 3, 2

4D = ℜ −

5. Resolva, em ℜ , cada uma das seguintes inequações fracionárias

5.1. 1 23x

− ≥+

R: 7 , 32

− −

5.2. 23 02x

− <+

R: 42,3

− −

5.3. 2 1xx

< R: ] [( )0,1

5.4. 1 2xx

− > − R: ( )1 2,0 1 2, − − − + +∞

5.5. 111

xx

− + ≥−

R: ( ), 2 1, 2 −∞ − −

5.6. 2

3 51 1

xx x

−≤

− + R: ] [( )1,1−

5.7. 4 14

xx−

≥+

R: ] [( ), 4−∞

5.8. 2

3 1 11

xx−

≥+

R: [ ]( )1,2

5.9. 2

2

4 02

xx x

−<

+ − R: ] [( )1,2

5.10. 1 21 1 3

x xx x x

−≥ −

− − − R: ] [ ] [5,1 1, 3,

2 −∞ +∞

5.11. ( )22 33

3x −

≤ R: [ ]( )0,3

5.12. 5 2 61 3

xx

−<

+ R: 1 1, ,

3 20 − −∞ − +∞


10

6. Determine os valores reais de m e n que verificam cada uma das condições:

6.1. 2

5 1 , 3 12 3 1 3

x m n com x xx x x x

−= + ≠ − ∧ ≠

+ − − + R: ( )1; 4m n= =

6.2. 2

5 4 2, 13 5 2 1 3 2 3

x m n com x xx x x x

−= + ≠ ∧ ≠

− + − − R: ( )1; 2m n= =

7. Considere a função f, definida em { }\ 1, 2ℜ , por ( )2

22 6 4x xf x

x x−

=− +

.

7.1. Simplifique a expressão dada por f. { }: , \ 1,22 4

xR emx

ℜ −

7.2. Escreva, caso existam, equações das assintotas do gráfico de f. 1: 2;2

R x y = =

7.3. Determine o conjunto dos valores de x que verificam a condição ( ) 0f x ≥ . ] ] [ [( ): ;0 2,R −∞ +∞

8. Considere as funções f e g, definidas por ( ) { }4 2 , \ 33xf x D

x+

= =ℜ −+

e

( ) { }2

2 , \ 3,03

g x Dx x

= =ℜ −+

.

8.1. Determine o conjunto de valores de x que verificam a condição ( ) ( )f x g x≤ . ] ] 1: 3; 1 0,2

R − −

8.2. Caracterize a função inversa 1f − . ( ) { } { }11 1

3 2: , \ 4 \ 34 f f

xR f x D e Dx

−− −

− ′= =ℜ =ℜ − −

8.3. Caracterize a função ( )f g+ . { }2

24 2 2: : \ 3,0

3x xR f g com xx x

+ + + ℜ − →ℜ → +

9. Sejam, f, g e h funções reais de variável real.

9.1. A figura representa parte do gráfico da função f.

9.2. As funções g e h são definidas, respetivamente,

por ( ) 1 5, \2 5 2xg x Dx− = = ℜ −

e

( ) [ [5, 5,h x x D= + = − +∞ .

9.3. Calcule:

9.3.1. ( )( )3g f

− . ( ): 1R

9.3.2. ( )( )1h f

− . ( ): 5R

9.4. Resolva a inequação ( )( ) 0f g x× > . ] [ ] [ 5: ,2 1,1 ,2

R −∞ − +∞


11

9.5. Caracterize a função inversa de g. 1 1 5 1: : \2 2 1

xR g com xx

− − ℜ →ℜ → −

9.6. Resolva a equação ( ) 2h x x= . 5:4

R

10. Considere as funções reais de variável real f, g e h definidas por:

10.1. ( ) { }2 \ 44

xf x com xx

−= ∈ℜ

−; ( ) { }3 1 \ 0,1

1g x com x

x x= − ∈ℜ

− e

( ) 11 1 2 ,2

h x x com x = − + − ∈ −∞

10.2. Resolva analiticamente a condição ( )h x x= . ( ): 0R x=

10.3. Determine o domínio e a expressão simplificada de ( )2 x

f g×

. ( )( ) { }2 3: , \ 0,1,4

1 4xR em

x x

− ℜ − −

10.4. Resolva a inequação ( ) ( )2 1

4xf x

x x+

≥−

. ] ] ] ] ] [( ): ,1 0,1 4,R −∞ +∞

10.5. Calcule:

10.5.1. ( )( )1f g

−+ . ( ): 0R

10.5.2. ( )( )0f g . ( ): 0R

11. Considere as funções reais de variável real f, g e h definidas por:

11.1. ( ) { }2

1 , \ 0,1xf x definida emx x−

= ℜ−

, ( ) 2 ,g x x definida em= − ℜ e

( ) ] ]2 , , 2h x x definida em= − −∞

11.2. Relativamente à função f e à função h, determine o contradomínio. { } [ [( ): \ 0,1 0,f hR D e D′ ′=ℜ = +∞

11.3. Resolva a equação ( ) ( )h x g x= . { }( ): 1,2R

11.4. Determine o conjunto solução da condição ( )( ) 0x

f g× ≥ . ] [( ): 0,2R

11.5. Calcule o valor de:

11.5.1. ( )( )2f g+ . 1:

2R

11.5.2. ( )( )2h g+ . ( )4: 2R

12. Considere as funções f, g e h, assim definidas:

{ }: \ 0

12

fxx

x

ℜ →ℜ

− +

{ }

2

2

: \ 1,1

1

g

xxx

ℜ − →ℜ

−

] ]: ;5

1 5

h

x x

−∞ → ℜ

− + −


12

12.1. Caracterize a função f g× . { }: \ 1,0,1:

2 2

f gR

xxx

× ℜ − →ℜ →

+

12.2. Caracterize a função f g . { }

2

: \ 1,0,1:

12

f gR

xx

ℜ − →ℜ →

12.3. Determine o contradomínio de h. [ [( ): 1,fR D′ = +∞

12.4. Determine, em extensão, o conjunto ( ){ }:A x h x x= ∈ℜ = . { }( ): 1R A=

13. Considere as seguintes funções reais de variável real, definidas por:

{ }: \ 8

38

fxx

x

ℜ →ℜ

−

; :

5gx x

ℜ → ℜ

− −

e :

3 12 5 1

hx x

xx x

ℜ → ℜ

+ ∧ <− + ∧ ≥

13.1. Caracterize a função 1f − , inversa de f. { }1: \ 8:

88

fR

xxx

− ℜ →ℜ →

−

13.2. Caracterize a função ( ) ( )( )xi x g h= − .

:2 8 5

: 2 5 13 1

g hx x

R x xx x

− ℜ→ℜ − − ⇐ ≤− → ⇐− < < ⇐ ≥

14. Diga, justificando, se são idênticas as funções definidas por:

( ) 2 9f x x= − e ( ) 3 3g x x x= − × + . ( ):R Não porque têm domínios diferentes

15. Considere as seguintes funções reais de variável real, definidas por:

{ }: \ 3

23

fxx

x

ℜ →ℜ

−

; :

5 10gx x

ℜ → ℜ

− −

e h, definida pelo gráfico ao lado.

15.1. Caracterize a função 1f − , inversa de f. { }1: \ 2:

32

fR

xxx

− ℜ →ℜ →

−

15.2. Caracterize a função ( ) ( ) 3i x g x x= − + . :

4 7 3: 6 13 3 2

4 7 2

ix x

R x x xx x

ℜ→ℜ − − ⇐ <− → − − ⇐ − ≤ ≤− + ⇐ >−

15.3. Determine o domínio da função definida por: ( ) ( )2

1xj x

h x−

=−

. { }( ): \ 1jR D =ℜ


13

15.4. Calcule ( )( )2h g

− . ( ): 0R

15.5. Estude quanto à existência de assintotas a função ( ) ( )1m x

h x= . { }( ): . . 0; . . 1; \ 0,2R a v x a h y D→ = → = =ℜ

16. Considere as funções f, g e h, assim definidas:

{ }: \ 1

21

fxx

x

ℜ →ℜ

−−

→

{ }2

: \ 0

1

g

xxx

ℜ →ℜ

−→

] ]: ;5

1 5

h

x x

−∞ →ℜ

− −→

16.1. Determine, analiticamente, os valores de x, para os quais ( ) ( )1g x h≤ . ] [( ): 0,R +∞

16.2. Caracterize a função f g× . { }

( )( )

: \ 0,1:

2 1

f gR

x xx

x

× ℜ →ℜ − +

→

16.3. Determine o contradomínio de h. ] ]( ): ,1R D′= −∞

16.4. Caracterize a função f h . ] [: ,5:

1 55

f gR

xxx

−∞ →ℜ + − → − −

16.5. Determine, analiticamente, os valores de x, para os quais ( ) 4h x x= − + . ( ): 4R

17. Considere a função ( ) 2 11

xf xx

− −=

−, definida em { }\ 1ℜ e a função real de variável real ( ) 1g x x= − + .

17.1. Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f com os eixos

coordenados. ( )1: ,0 0,12

R e −

17.2. Indique as equações das assintotas do gráfico de f . ( ): . . 1; . . 2R a v x a h y→ = → =−

17.3. Determine o conjunto solução da condição ( ) ( )g x f x= . { }( ): 0,4R A=

17.4. Calcule ( )( )2f g−

+ . ( )( )2: 2R f g −

+ =

17.5. Caracterize a função: 1fg

÷ . { }1 : \ 1

:2 1

fg

Rx x

÷ ℜ →ℜ → +

17.6. Caracterize a função f g . { }: \ 0:

2 3

f gR

xxx

ℜ →ℜ

− + →

17.7. Determine o conjunto solução da condição ( ) 0f x < . ] [1: , 1,2

R −∞ − +∞

18. Determine o conjunto solução da equação: 3 3 22 4 2x x x− − = − . { }( ): 2,2R A= −


14

19. O custo, em milhares de euros, para despoluir uma parte p (em %) de um rio, é dado por:

( ) 1750 , 0 100100

pC p pp

= ≤ <−

19.1. Determine o custo para remover 20% da poluição do rio. ( ): O custo é de 43,75 milhares de eurosR

19.2. Determine p, sabendo que se gastaram 100 000 milhares de euros para despoluir o rio.

( ): Para o custo é de 100 000 milhares de euros despolui-se 98,28% do rioR

19.3. Escreva uma equação para a assintota vertical e explique o seu significado no contexto do

problema. ( ): A. V. x=100. Para um custo muito, muito elevado, despoluia-se aproximadamente 100% do rioR

20. Em relação a um certo tipo de peças produzidas por uma fábrica, foi feito um estudo do qual

resultaram as seguintes conclusões:

Para uma produção de x peças, o custo médio por peça, C, em euros, é dado pela expressão:

( ) 521

C xx

= ++

.

Na parte de comercialização, sendo x o número de peças vendidas e V o preço médio de venda em

euros, por peça, este é dado pela expressão: ( ) 771

V xx

= −+

.

Num determinado período de tempo, foram produzidas 15 peças. Determine:

20.1. O custo de produção das 15 peças. ( ): O custo das 15 peças é de 34,6875 eurosR

20.2. O valor apurado na venda das 15 peças. ( ): O valor apurado na venda das 15 peças é de 98,4375 eurosR

20.3. À medida que o número de peças produzidas aumenta, o custo médio por peça aumenta ou

diminui? Para que valor tende esse custo? Justifique. ( ): Diminui e aproxima-se do valor de 2 eurosR

20.4. À medida que o número de peças vendidas aumenta, o custo médio de venda por peça aumento

ou diminui? Para que valor tende esse custo? Justifique. ( ): Aumenta e aproxima-se do valor de 7 eurosR

21. Carlos Altis, um atleta que está a começar a sua carreira no salto em altura, arranjou um treinador. Este,

depois de lhe fazer alguns exames e experiências, declarou que a altura a que conseguiria saltar-se

seguisse cuidadosamente o seu novo método de treino, evoluiria de acordo com a seguinte função:

( ) 11 605 33

xA xx+

=+

em que A é a altura em metros e x é o tempo em semanas.

21.1. Que altura salta o Carlos no momento em que começa o treino?

Apresente a resposta com aproximação a duas casas decimais.

( ): Ao iniciar os treinos Carlos Altis salta 1,81 metrosR


15

21.2. O grande objectivo do Carlos é bater o recorde nacional, que é de 2,16 metros. Conseguirá?

Quando? O recorde do mundo está nos 2,30 metros. Conseguirá o Carlos chegar lá?

( ): Carlos Altis salta 2,16 metros ao fim de 57 semanas de treino. E nunca baterá o recorde mundial, pois nunca ultrapassará os 2,20 metrosR

22. Segundo os testes de um laboratório técnico, a eficiência das pilhas N’ergy, quando são usadas num

walkman, pode ser expresso pela função:

( ) 780 108

tE tt−

=+

em que E é a eficiência em percentagem e t o tempo em horas de utilização.

22.1. Qual a eficiência das pilhas quando são colocadas no walkman? ( ): A eficiência das pilhas é de 97,5%R

22.2. O walkman só funciona em boas condições enquanto a eficiência das pilhas se mantiver acima

dos 40%. Quanto tempo podemos usar as pilhas? Apresente a sua resposta em horas e minutos.

( ): Ao fim das 9h 12m a eficiência das pilhas é de 40%R

22.3. Se mantivermos o aparelho a funcionar mesmo em más condições, as pilhas continuam a dar

energia até se esgotarem. Quando acontecerá isso? ( ): As pilhas esgotam-se ao fim das 78hR

23. Uma empresa tem um serviço de entregas de encomendas por mensageiros em motorizada dentro da

cidade do Porto. Os preços constam da seguinte tabela:

até 1 kg → 2,5 €.

Mais de 1 kg e até 5 kg → 5 €.

Mais de 5 e até 10 kg → 7,5 €.

23.1. Qual é o domínio da função peso - preço? E o contradomínio? [ ] { }( ): 0,10 ; 2,5;5;7,5R D D′= =

23.2. Defina a função graficamente. R:

23.3. Defina a função analiticamente. ( )

2,5 0 1: 5 1 5

7,5 5 10P

pR P p

p

⇐ ≤ ≤ = ⇐ < ≤ ⇐ < ≤

24. No parque aquático há uma torre com um enorme escorrega, pelo qual se desce a grande

velocidade até se “aterrar” na água. Um dia fizemos uma observação cuidadosa de

um banhista que subiu até lá cima e imediatamente se lançou pelo escorrega.

Se chamarmos t ao tempo em segundos decorridos desde o momento em que ele iniciou

a subida, chegamos à conclusão que a altura A (em metros) a que se encontrava do


16

chão evoluiu de acordo com as seguintes expressões:

• 0,45t enquanto subiu até ao cimo da torre.

• 20 92647

tt−−

durante a descida.

24.1. Qual é o domínio da função no contexto do problema? [ ]( ): 0;46,3R D=

24.2. Quanto tempo durou a subida? ( ): A subida durou 40 segundosR

24.3. Qual é a altura da torre? ( ): A altura da torre é de 18 metrosR

25. Uma avaria na central nuclear de Viladávila fez disparar o sistema de alarme.

Os técnicos imediatamente ativaram os procedimentos de emergência. Supõe que a temperatura da

água do sistema de refrigeração do núcleo da central evoluiu a partir daí de acordo com a função:

( )24 8 88

1x xT x

x+ +

=+

em que T é a temperatura em C° e x é o tempo decorrido em horas.

25.1. Qual era a temperatura da água quando se iniciou o procedimento de emergência?

( ): A temperatura da água era de 88º/CR

25.2. A sirene de alarme toca enquanto a temperatura for superior a 50 C° . Quando é que a sirene

deixou de tocar? ( ): A sirene deixou de tocar ao fim de uma horaR

25.3. No entanto, a temperatura não desce sempre. A certa altura recomeça a subir. Voltará a

ultrapassar os 50 ? Justifique analiticamente a sua resposta. ( ): A sirene voltou a tocar a partir de 9,5 horasR

25.4. O sistema de refrigeração explode se a água atingir os 100 . Se os técnicos não fizerem mais

nada, quando é que isso acontecerá? Aproxime a resposta a hora e minutos. ( ): 23h 7 47R ′ ′′≈

26. Uma empresa de fabrico de computadores conclui que, em média, um novo empregado, após t dias de

prática, pode montar, por dia, um número N de certos componentes, sendo:

( ) 20 , 02tN t t

t= ≥

+

26.1. Com 40 dias de experiência, quantos componentes consegue o novo empregado montar por dia?

( ): O novo funcionário monta 19 computadores ao fim de 40 dias de trabalhoR

26.2. Determine, caso existam no contexto do problema, as equações das assintotas

vertical e horizontal do gráfico de N. ( ): A.V. não tem. A.H. y=20R

26.3. Faça um esboço do gráfico da função N e interprete o valor obtido quando t →+∞ .

( ): Quando t + , o empregado monta no máximo 20 computadores R → ∞


17

27. A função custo de uma empresa é dada por ( ) 1000 25C x x= + e o custo médio C de produção de

uma peça é dado por: ( ) 1000 25xC xx+

= sendo C e C em euros e x o número de peças produzidas.

27.1. Determine o custo médio da produção de uma peça se foram produzidas 20. E se forem

produzidas 100 peças? Se forem produzidas 20 peças, cada uma custa, em média, 75 € : e no caso das 100 peças, o custo médio é de 35€ por peça. R

27.2. Determine a equação da assintota horizontal de gráfico da função ( )C x e interprete o seu

significado no contexto da situação descrita. y=25. Quantas mais peças se produzirem, menor será o custo médio, : sendo sempre superior a 25 €. R

28. Seja A o ponto de coordenadas ( )1,1 e P um ponto do eixo Ox, com abcissa superior a 1.

C é o ponto do eixo Oy que pertence à recta AP.

Designando por b a ordenada do ponto C e por a a abcissa do ponto

P, ou seja, ( )0,C b , ( )1,1A e ( ),0P a , verifique sucessivamente

que:

28.1. O declive da PC, calculado a partir dos pontos A e P é dado por:

11

ma

= −−

.

28.2. O declive da recta PC calculado a partir dos pontos A e C é dado por 1m b= − .

28.3. Como 111

ba

− = −−

então as coordenadas de C são: 0,1

aa

−

.

28.4. Prove que, designando por x a abcissa do ponto P, a área do triângulo [ ]OPC é dada, em função

de x, por ( )2

2 2xA xx

=−

.

28.5. Use a calculadora gráfica para:

28.5.1. determinar x tal que ( ) 3,6A x ≤ .

28.5.2. verificar que o triângulo de área mínima é isósceles.

29. Duas torneiras A e B são usadas para encher uma piscina. A torneira A, sozinha, enche a piscina em

seis horas e trinta minutos. Seja t o tempo, em horas, necessário para a torneira B, sozinha, encher a

piscina. (Considere o caudal das torneiras constante ao longo do tempo de enchimento.)

29.1. Escreva uma expressão algébrica que indique a fração (parte) da capacidade da piscina que fica

com água se as duas torneiras estiverem abertas durante uma hora. 6,5: ,t>0 6,5

tRt

+

29.2. Escreva T em função de t, sendo T o tempo necessário para encher a piscina

com as duas torneiras abertas. ( ) 6,5: T = 6,5

tR tt

+


18

29.3. Determine t, sabendo que as duas torneiras abertas levaram mais do que quatro horas para encher

a piscina. Interprete o resultado no contexto da situação descrita. t>10,4. A torneira B, sózinha, leva mais : de 10,4 horas para encher a piscina R

30. Um estudo sobre audiências televisivas revelou que o número de telespectadores de determinado canal

de televisão variou, entre as 22 horas e as 24 horas de determinado dia, de acordo com a função:

( ) 2

201000,001 1,6

tN tt

= ++

, sendo N o número de telespectadores, em milhares, e t o tempo, em

minutos, decorrido após as 22 horas.

30.1. Qual era o número de telespectadores às 22 horas? ( ): O número de espectadores é de 100 000R

30.2. Recorra à calculadora gráfica para determinar a hora a que o número de telespectadores foi

máximo. ( ): Às 22h 40mR

30.3. Durante um determinado período de tempo o número de espectadores ultrapassou os 300

milhares. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora determine o intervalo de tempo –

hora inicial e hora final – em que tal facto se verificou. Apresente o resultado em horas e minutos

e indique, sumariamente, como procedeu. ( ): Entre as 22h 20m e as 23h 20mR

31. O número N de bicicletas vendidas por um comerciante, está relacionado com o montante x, em

milhares de euros, gasto em publicidade, por: ( ) 5801205xN x

x= +

+.

31.1. Que quantia terá o comerciante de investir em publicidade para vender 350 bicicletas? ( ): 3285€R

31.2. Quantas bicicletas serão vendidas se o comerciante nada investir em publicidade? E se investir 5

mil euros? E se gastar 24 mil euros em publicidade? ( ): 120 ;410 ;600 R bicicletas bicicletas bicicletas

31.3. Se, sem despesas de publicidade, o comerciante tiver um lucro de 50 € por bicicleta, compensará

gastar 5000 € em publicidade? E será que compensa gastar 24000 €? Justifique as respostas

apresentando os cálculos convenientes. com 5000 € investidos em publicidade terá um lucro de 15 500 €.: se investir 24 000 € em publicidade o lucro será apenas de 6 000 € R

31.4. Considere a expressão: ( ) ( )0,05L x N x x= × − .

31.4.1. Justifique que, no contexto da situação apresentada, ( )L x é o lucro obtido, em milhares de

euros, com venda de N bicicletas após o investimento de x milhares de euros em

publicidade.

31.4.2. Utilize a calculadora para determinar o montante, em milhares de euros, que deve ser

investido em publicidade para que o lucro obtido na venda de bicicletas seja

máximo. Apresente o resultado aproximado às unidades. Explique

como procedeu apresentando, na sua resposta, o gráfico e outros

elementos recolhidos na utilização da calculadora. ( ): 7R milhares de euros

Funções racionais

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