FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS · Neste tópico, introduziremos o conceito de função...

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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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Gil da Costa Marques

5FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS

5.1 Introdução5.2 Funções vetoriais de duas variáveis5.3 Representação gráfica de funções vetoriais5.4 Funções vetoriais de três variáveis5.5 Funções vetoriais de várias variáveis5.6 Operações com funções vetoriais5.7 Domínios 5.8 Limite e continuidade de funções vetoriais5.9 Descontinuidade de funções vetoriais

69

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

5.1 IntroduçãoNeste tópico, introduziremos o conceito de função vetorial de várias variáveis. Trata-se

da extensão do conceito apresentado no tópico “Introdução ao Cálculo Vetorial”, quando

tratamos de funções vetoriais de uma variável. Assim, uma função vetorial é, essencialmente,

uma grandeza vetorial cujas componentes são funções de várias variáveis.

Essas funções são essenciais no estudo do movimento dos fluidos, no Eletromagnetismo,

na Astronomia, na Astrofísica, na Gravitação, na Mecânica Quântica e na Cosmologia, dentre

outras áreas do conhecimento.

Quando uma função desse tipo depende das coordenadas ou do tempo, ou de ambas, ela é

denominada campo.

Como no caso das funções de muitas variáveis, cada uma das componentes das funções

vetoriais pode ser representadas numericamente (utilizando uma tabela, por exemplo), alge-

bricamente, por meio de fórmulas (o que é mais usual), ou graficamente (quando utilizamos

o gráfico da função).

No caso das Ciências Atmosféricas, buscamos uma representação numérica para a função ve-

torial associada à velocidade das massas de ar em cada ponto da atmosfera terrestre (ou parte dela).

Tais dados resultam de cálculos numéricos muito complexos.

5.2 Funções vetoriais de duas variáveisA forma mais geral de uma função vetorial de duas variáveis é:

5.1

onde os versores i

, j→

e k

formam uma base de vetores de módulo unitário, que são perpendi-

culares entre si. Ademais, tais vetores são constantes. Eles se constituem em uma generalização

do referencial cartesiano.

( ) ( ) ( )( , ) , , ,x y zV x y V x y i V x y j V x y k= + +

70

TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis


As funções

5.2

são denominadas funções componentes do vetor da função vetorial V

(x, y). Uma função vetorial de duas variáveis da forma 5.1 é uma aplicação que associa, mediante

uma regra, um ponto no espaço 2 (pertencente ao domínio da função) a um ponto, e apenas

um ponto, no espaço tridimensional 3:

5.3

5.3 Representação gráfica de funções vetoriaisUma forma muito útil de representar graficamente uma função vetorial é aquela na qual

apresentamos o vetor associado a cada ponto do espaço bidimensional. O que emerge dessa

representação é um conjunto de vetores como é possível visualizar na Figura 5.1.

Vx(x, y), Vy(x, y) e Vz(x, y)

( ) ( ( ) ( ) ( ))x y zx,y V x,y ,V x,y ,V x,y

Figura 5.1: Representação gráfica de uma função vetorial

71



Exemplos

•ExEmplo 1O campo

5.4

Introduzindo a notação matricial, onde vetores são representados por matrizes linhas, escrevemos:

5.5

é tal que tem módulo sempre igual e tem a direção de retas que partem da origem . É dito um campo radial. Ele pode ser representado grafica-mente pela Figura 5.2.

• ExEmplo 2O campo

5.6

Ou, na notação matricial

5.7

tem sempre a direção tangencial a circunferências concêntricas cujos raios representam distâncias até a origem do sistema de coordenadas. É um vetor de módulo constante e perpendicular ao vetor V

(x, y). Isso se pode verificar a partir do produto escalar entre eles, dado por:

5.8

A representação gráfica da função vetorial 5.6 é dada pela Figura 5.3.

Figura 5.2. Em cada ponto o campo pode ser diferente. Quer seja, em relação à sua orientação, como nesse caso, ou seu módulo (o que não é o caso considerado).

1 2 2( , ) xi yjV x y

x y+

=+

1 ( ; ) = ,² ² ² ²x yV x y

x y x y + +

2 02 2 2( , ) xi yjV x y V

x y+

=+

2 02( ; ) = ,² ² ² ²y xV x y V

x y x y − + +

1 2 1 2 1 2

02 2 2 2 2 2 2 2 2

( , ) ( , )

0

x x y yV x y V x y V V V V

xy yxVx y x y x y x y

= + =

−= + =

+ + + +

Figura 5.3: Representação do campo vetorial 5.5.

72



• ExEmplo 3A velocidade dos ventos (uma grandeza vetorial, portanto) varia tanto de direção e sentido, quanto de magnitude. Numa região próxima do olho de um furacão podemos representar o campo de velocidades por meio da expressão:

5.9

Sua representação gráfica é dada pela Figura 5.4.

5.4 Funções vetoriais de três variáveisUma função vetorial de três variáveis independentes x, y e z (por exemplo, as coordenadas

cartesianas de um ponto no espaço) tem a forma geral, no referencial cartesiano, dada por:

5.10

onde as funções Vx(x, y, z), Vy(x, y, z) e Vz(x, y, z) são denominadas componentes da função

vetorial V

(x, y, z).

2 2 2 2( , ) x y x yV x y i jx y x y+ −

= − ++ +

Figura 5.4 Campo de velocidades no olho do furacão

( ) ( ) ( )( , , ) , , , , , ,x y zV x y z V x y z i V x y z j V x y z k= + +

73



Uma função vetorial de três variáveis da forma 5.10 é uma aplicação que associa, mediante

uma regra, um ponto no espaço 3 (pertencente ao seu domínio) a um ponto, e apenas um

ponto, no espaço tridimensional 3:

5.11

Exemplos

• ExEmplo 4De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton uma partícula de massa M ou, mais geral-mente, um corpo esférico de mesma massa, gera no espaço ao seu redor um campo denominado campo gravitacional. Adotando-se um referencial com origem no campo, este num ponto P cujas coordenadas são x, y e z é dado por:

5.12

onde G é a Constante Universal da Gravitação.As componentes do campo gravitacional são, portanto, dadas por:

5.13

• ExEmplo 5:De acordo com a Lei fundamental da eletrostática, descoberta por Coulomb, o campo elétrico produzido por uma carga Q localizada na origem, num ponto de coordenadas (x, y, z), é dado por:

5.14

Onde 4πε0 é uma constante fundamental no sistema MKS. Suas componentes são

5.15

( ) ( ( ) ( ); ( ))x y zx,y,z V x,y,z ; V x,y,z V x,y,z

( )3 22 2 2( , , ) xi yj zkg x y z MG

x y z

+ += −

+ +

( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2 , , x y z

x y zg MG g MG g MGx y z x y z x y z

= − = − = −+ + + + + +

( )3 22 2 20

( , , )4

Q xi yj zkg x y zx y z

+ +=

πε + +

( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0

, , 4 4 4x y z

Q x Q y Q zE E Ex y z x y z x y z

= = =πε πε πε+ + + + + +

74



5.5 Funções vetoriais de várias variáveisGeralmente, uma função vetorial dependente de n variáveis (x1, x2, ......, xn) pode ser escrita

sob a forma:

5.16

As funções vetoriais de maior interesse nas ciências, aquelas sob a forma da expressão 5.16,

são aplicações que associam, mediante uma regra, um ponto no espaço n (pertencente ao

domínio da função) a um ponto, e apenas um ponto, no espaço tridimensional 3.Isto é,

5.17

Dados dois pontos P1 e P2 no espaço n, cujas coordenadas são, respectivamente (x1, x2, ......, xn) e (y1, y2, ......, yn), pertencentes ao domínio D(A

) da função vetorial , definimos a distância entre

esses pontos como sendo dada por:

5.18

A distância entre os seus pontos imagens no espaço tridimensional é dada por:

5.19

Os casos de maior interesse são os campos vetoriais dependentes de quatro variáveis.

Três variáveis são associadas às coordenadas de um ponto no espaço (x, y, z) e a quarta variável

é o tempo. Assim, um campo vetorial é função das coordenadas (x, y, z, t ). Mais geralmente, um

campo vetorial se escreve como:

5.20

1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )n x n y n z nA x x x A x x x i A x x x j A x x x k⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅

1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ))n x n y n z nx x x A x x x A x x x A x x x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ → ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

( ) ( ) ( )22 21 2 1 1 2 2( , ) n nd P P x y x y x y= − + − + ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ + −

( ) ( ) ( )1 2( ( ), ( ))2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )1 1 1 1 1 1d A P A P A x x A y y A x x A y y A x x A y yz zx n x n y n y n n n→ →

= ⋅⋅⋅ − ⋅⋅ + ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅

( ) ( ) ( )( , , , ) , , , , , , , , ,x y zB x y z t B x y z t i B x y z t j B x y z t k= + +

75



Exemplos

• ExEmplo 6:Um campo magnético em uma onda eletromagnética plana e que se propaga ao longo do eixo z pode ser expresso como:

5.21

onde B0 é o módulo do campo magnético. De fato tomando o produto escalar:

5.22

5.6 Operações com funções vetoriais

Podemos introduzir as mesmas operações com funções vetoriais como o fazemos para os

vetores. Assim, a soma de duas funções vetoriais V

1(x, y, z) e V

2(x, y, z) é outra função vetorial

V

(x, y, z) definida por:

5.23

onde,

5.24

de modo que o vetor soma tem suas componentes dadas por:

5.25

( ) ( )0 0( , , , ) cos senB x y z t B kz t i B kz t j= −ω + −ω

( ) ( )2 2 2 2 20 0 0( , , , ) ( , , , ) cosx x y yB x y z t B x y z t B B B B B kz t B sen kz t B= + = − ω + − ω =

1 2( , , ) ( , , ) ( , , )V x y z V x y z V x y z= +

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1

2 2 2 2

( , , ) , , , , , , , ,

( , , ) , , , , , , , ,

( , , ) , , , , , , , ,

x y z

x y z

x y z

V x y z V x y z V x y z V x y z



=

=

=

1 2

1 2

1 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

x x x

y y y

z z z

V x y z V x y z V x y zV x y z V x y z V x y zV x y z V x y z V x y z

= += +

= +

76



De uma forma análoga à subtração de dois vetores, definimos

5.26

tomando, agora a diferença entre as componentes de V

1(x, y, z) e V

2(x, y, z).O produto de um escalar C por um vetor é outro vetor; V

(x, y, z) é definido por:

5.27

de modo que as componentes são dadas por:

5.28

Lembramos ainda que, a partir de dois campos vetoriais (ou de um só), podemos gerar uma

função escalar. Para isso devemos fazer uso do produto escalar de duas funções vetoriais V

1(x, y, z) e V

2(x, y, z). O produto escalar de duas funções vetoriais de três variáveis é definido como:

5.29

O módulo de uma funçao vetorial é uma função escalar definida por:

5.30

Por exemplo, a densidade de energia numa região na qual existe um material elétrico carac-

terizado por uma permitividade ε e um campo elétrico E

(x, y, z) é dada por:

5.31

1 2( , , ) ( , , ) ( , , )V x y z V x y z V x y z= −

( , , ) ( , , )V x y z CV x y z′ =

( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , )x x y y z zV x y z CV x y z V x y z CV x y z V x y z CV x y z′ ′ ′= = =

( ) 1 2 1 2 1 2 1 2, , ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x x y y z zu x y z V x y z V x y z V x y z V x y z V x y z V x y z V x y z V x y z= = ⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )22 21 1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zV x y z V x y z V x y z V x y z V x y z V x y z= = + +

( ), , ( , , ) ( , , )2E x y z E x y z E x y zε

ρ =

77



Exemplos

• ExEmplo 7Determine o módulo da função vetorial definida por

5.32

→ Solução:Tendo em vista que o módulo de uma funçao vetorial é definida em termos de suas componentes de acordo com a expressão 5.30, obtemos:

5.33

Finalmente, lembramos que, a partir de duas funções vetoriais, podemos definir uma nova função vetorial. Para isso devemos fazer uso do produto vetorial de duas funções vetoriais e V

2(x, y, z). Tal produto é uma nova função vetorial (V

(x, y, z)) de três variáveis e é definido como:

5.34

onde as componentes do vetor V

(x, y, z) podem ser obtidas, em termos das componentes de V

1(x, y, z) e V

2(x, y, z), a partir da expressão 5.20.

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2

cos sen( , , ) x y y z y zV x y z i j kx y x y x y

+= + +

+ + +

( ) ( ) ( )cos sen( , , ) , ,

² ² ² ² ² ² ² ² ²x y y z y zV x y z

x y x y x y +

= + + +

ou

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

22 21 1 1

2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 222 2

2 222 2

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

cos sen =

1 cos sen

1

x y zV x y z V x y z V x y z V x y z

x y y z y z

x y x y x y

x y y z y zx y

x y yx y

≡ + +

+ + + + + +

= + + ++

= + ++

1 2( , , ) ( , , ) ( , , )V x y z V x y z V x y z= ×

78



5.7 Domínios Como discutido no tópico “Introdução ao Cálculo Vetorial”, a questão do domínio e do

conjunto imagem dos campos vetoriais deve ser analisada, considerando-se o domínio e o

conjunto imagem das funções componentes do campo vetorial, ou seja, devemos considerar o

domínio à luz dos domínios das componentes dos campos vetoriais, e o conjunto imagem à luz

dos conjuntos imagens das componentes dos campos vetoriais.

Se as componentes dependem de três variáveis, um domínio pos-

sível para as componentes seria o paralelepípedo obtido pelo produto

cartesiano de três intervalos abertos, fechados ou semiabertos. Por

exemplo, se as três variáveis x, y e z são tais que:

5.35

o domínio do campo considerado é:

5.36

Assim, o domínio das componentes de uma função vetorial de mais de uma variável é, como

regra geral:

• uma região do plano 2 como um retângulo, quando se trata de componentes que sejam

funções de duas variáveis, cada variável definida num intervalo;

• uma região do espaço 3, como um paralelepípedo, tratando-se de componentes que

sejam funções de três variáveis;

• uma hiper-região do espaço n quando se trata de componentes funções dependentes de

n variáveis.

Como já mencionado, tratando-se de componentes que dependam de duas variáveis,

dependendo da natureza do problema, o domínio não é necessariamente um retângulo.

No caso tridimensional o domínio poderá ser um cubo, uma esfera etc.

Figura 5.5: Paralelepípedo

000

x ay bz c

≤ ≤≤ ≤≤ ≤

x x[0, ] [0, ] [0, ]a b c

79



Assim, de modo geral, o domínio D(A

) da função vetorial A

tanto pode ser o espaço n

como um todo.

5.8 Limite e continuidade de funções vetoriaisNo que tange às suas componentes, os conceitos de limite e continuidade de funções

vetoriais são definidos em plena analogia com o caso de funções muitas variáveis.

Tendo em vista que os versores i

, j→

e k

são constantes, e sendo (x1, y1) um ponto pertencente ao

domínio das componentes Vx, Vy, Vz da função vetorial ( ) ( ) ( )( )( , ) , , , , ,x y zV x y V x y V x y V x y=

,

dizer que 1 1

1 1( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y x yV x y V x y

→=

é equivalente a dizer que

5.37

Escrevendo V

(x, y) como combinação linear dos versores i

, j→

, k

, isto é, em termos de suas

componentes temos:

5.38

A extensão do conceito de limite para funções de mais de duas variáveis é simples. Assim,

quando escrevemos, por exemplo, que

5.39

1 1

1 1

1 1

1 1( , ) ( , )

1 1( , ) ( , )

1 1( , ) ( , )

lim ( , ) ( , )

elim ( , ) ( , )

elim ( , ) ( , )

x xx y x y

y yx y x y

z zx y x y

V x y V x y

V x y V x y

V x y V x y

→

→

→

=

=

=

( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1

lim ( , ) lim , lim , lim ,

( , ) ( , ) ( , )

x y zx x x x x x x xy y y y y y y y

x y z

V x y V x y i V x y j V x y k

V x y i V x y j V x y k

→ → → →→ → → →

= + +

= + +

11

1

1 1 1lim ( , , ) ( , , )x xy yz z

B x y z B x y z→→→

=

80



isso significa que, quando um tal limite existir, os limites das componentes existem e

5.40

Dizemos que um campo vetorial é contínuo num ponto de coordenadas (x1, y1) pertencente

ao seu domínio D se o limite da função nesse ponto existe e é dado pela expressão 5.38.

Geralmente, dizemos que uma função vetorial é continua no sentido de Lipschitz ,se para

quaisquer dois pontos pertencentes ao seu domínio, existe uma constante C tal que:

5.41

ou seja, se a função é tal que a distância entre os pontos imagens podem ser limitadas pelas

distâncias dos respectivos pontos do domínio da função.

Exemplos

• ExEmplo 8Determine o limite da função vetorial definida no exemplo 5.31, quando nos aproximamos (esse é o sentido de limite) do ponto do espaço cujas coordenadas são dadas por (0, 1, π).→ Solução:Tendo em vista que

5.42

11

1

11

1

11

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

lim ( , , ) ( , , )

lim ( , , ) ( , , )

lim ( , , ) ( , , )

x xx xy yz z

y yx xy yz z

z zx xy yz z

B x y z B x y z

B x y z B x y z

B x y z B x y z

→→→

→→→

→→→

=

=

=

1 2 1 2( ), ( ) . ( , )d V P V P C d P P→ →

≤

( )

( )

( )

20 0 2 21 1

20 2 21

20 0 2 21 1

lim ( , , ) lim 1

coslim ( , , ) lim 1cos 1

senlim ( , , ) lim 1sen 0

xx xy yz z

yxyz

zx xy yz z

x yV x y zx y

y zV x y zx y

y zV x y zx y

→ →→ →→π →π

→→→π

→ →→ →→π →π

+= =

+

= = π = −+

= = π =+

81



concluímos que:

5.43

5.9 Descontinuidade de funções vetoriaisNem todos os campos relevantes na física são contínuos. Por exemplo, na superfície de um

condutor, o campo elétrico passa por uma descontinuidade. De acordo com a primeira equação

de Maxwell, essa descontinuidade é proporcional à densidade de cargas na superfície do condutor.

Como regra geral, dizemos que, sempre que há uma distribuição de cargas numa superfície,

o campo é descontínuo. Escrevemos:

5.44

onde En é a componente normal do campo elétrico na superfície. Assim, numa superfície

dotadas de carga elétrica, o campo elétrico exibe direções opostas em cada um dos lados dela.

O campo elétrico do lado de um condutor é igual a zero (vide Figura 5.6). Assim, a desconti-

nuidade do campo elétrico na superfície do condutor nos permite estabelecer uma relação entre a

normal do campo elétrico (a única nesse caso) e a densidade de carga na superfície dele. Obtemos:

5.45

( ) ( )2 22 20 0 2 2 2 21 1

cos senlim ( , , ) lim (1, 1,0)x xy yz z

x y y z y zV x y z i j k i jx y x y x y→ →

→ →→π →π

+ = + + = − = − + + +

( )acima abaixo

0n nE E σ

− =ε

fora

superfície0

nE σ=ε

Figura 5.6: Descontinuidade do campo elétrico na superfície de um condutor

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