Fundamentos Da Cinemática - Parte 2

Aula 1 Fundamentos da Cinemtica

Parte 2

Prof.: Ricardo Humberto de Oliveira Filho

FUNDAMENTOS DA CINEMTICA

Nmero de Sntese

O termo nmero de sntese tem sido usado para indicar a determinao da

quantidade e da ordem dos elos e juntas necessrios para produzir movimento

em um GDL particular.

A ordem do elo, refere-se quantidade de ns (binrio, tercirio, quatercirio,

etc.).

O valor do nmero de sntese permite determinar todas as combinaes

possveis de elos de vrias ordens que resultaro em qualquer GDL escolhido.

Com tal dado, o projetista identifica elos que resolvero uma variedade de

problemas de controle de movimento.


Como exemplo, derivaremos todas as possveis combinaes de at 8 elos para

gerar 1 GDL. Utilizar ordem de elos at hexagonais.

Para simplificar, considere que os elos sero unidos por juntas de rotao

pura (juntas completas).

Dica: Todos os nmeros pares inteiros podem ser denotados por 2m ou 2n, e

todos os mpares por 2m-1 ou 2n-1, sendo m e n qualquer inteiro positivo.

Tipos de elos: binrio; tercirio; quaternrio; pentagonal e hexagonal.


Sendo: L = n de elos; J = n de juntas; M = GDL

Reescrevendo a equao de Gruebler, isolando J:

Substituindo M=2m, e L=2n (no exemplo, qualquer nmero par para ambos)

Que no resulta em J inteiro positivo como desejado...

Tentar M=2m-1 e L=2n-1 (no exemplo, qualquer nmero mpar para ambos)

Que tambm no resulta em J inteiro positivo...

3

3 1 2 12 2

MM L J J L

3 2 32 1 3

2 2 2

mJ n J n m

2 13 5

2 1 1 32 2 2

mJ n J n m


Tentar M=2m-1 e L=2n (mpar e par respectivamente)

J um inteiro positivo para e

Tentar M=2m e L=2n-1 (par e mpar respectivamente)

J um inteiro positivo para e

2 13

2 1 3 22 2

mJ n J n m

3 2

2 1 1 3 32 2

mJ n J n m

1m 2n

1m 2n


Ento, para o exemplo de um mecanismo com 1 GDL (M mpar), vamos considerar

somente combinaes com L= 2, 4, 6 ou 8 elos. Fazendo com que a ordem dos elos seja

representada por:

B = n de elos binrios; T = n de elos tercirios; Q = n de elos quaternrios; P = n de elos

pentagonais; H = n de elos hexagonais

O total de elos ser:

L = B + T + Q + P + H (1)

Sendo necessrios 2 ns de elos para se fazer uma junta: (2)

E ainda: ns = ordem do elo x nmero de elos daquela ordem (3)

Ento:

(4)

2

nsJ

2 3 4 5 62

B T Q P HJ


Para se determinar todas as combinaes possveis deve-se combinar a equao de

Gruebler onde J foi isolado, com a equao (4):

Resultando em:

(5)

Substituindo B = L-( T + Q + P + H), da equao (1) na equao (5), resulta em:

(6)3 2 3 4L M T Q P H

23 3

1 12 2

3 4 5 6

22 2

B T Q PL

HMJ

ML

3 3 2 3 4 5 6L M B T Q P H


Vamos agora resolver as equaes (1) e (6) simultaneamente, por substituio

progressiva, para determinar todas as combinaes compatveis de elos para GDL=1,

at oito elos (L=8).

A estratgia aqui definida ser comear com o menor n de elos, at o elo de maior ordem

possvel com aquele n, eliminando as combinaes impossveis.

Mas como o exemplo pede GDL=1, a equao (6) pode ser simplificada:

Obtendo:

Ento usaremos para o desenvolvimento do problema as equaes abaixo:

3 2 3 4L M T Q P H

3 2 3 41L T Q P H

4 2 3 4L T Q P H L = B + T + Q + P + H


Caso 1: L=2

Que requer um nmero negativo de elos de algum tipo, o que impossvel;

Caso 2: L=4

No possvel que a quantidade de elos seja negativa, ento: T=Q=P=H=0.

Voltando ento equao (1): L = B + T + Q + P + H

L=B+0=4 ento B=4

O mecanismo mais simples com 1GDL formado por 4 elos binrios.

4 2 3 4 4 2 3 4 2 2 3 42L T Q P H T Q P H T Q P H

4 2 3 4 0 2 3 4L T Q P H T Q P H


Caso 3: L=6

Desta forma, elos da forma P ou H so impossveis (seriam necessrios 3 e 4 de cada), pois

algum outro elo deveria ter quantidade negativa.

T pode ser igual a 0, 1 ou 2; Q pode ser somente igual a 0 ou 1;

Caso Q=0: ento T=2, aplicando os valores na equao (1):

L=B+2+0=6 ento B=4

Caso Q=1: ento T=0, aplicando os valores na equao (1):

L=B+0+1=6 ento B=5

Note que agora existem 2 combinaes possveis: T=2 e B=4 ou Q=1 e B=5

4 2 3 4 2 2 3 4L T Q P H T Q P H


Caso 4: L=8

Com tantos elos, monta-se um fluxograma:

L-4=T+2Q+3P+4H=4

B+T+Q+P+H=8

H=1 H=0

B=7, T=0

Q=0, P=0

T+2Q+3P=4

B+T+Q+P=8

P=0 P=1

T+2Q=1

B+T+Q=7

T+2Q=4

B+T+Q=8

T=1 B=6

Q=0 Q=1 Q=2

T=0 B=6T=2 B=5T=4 B=4

Q=0


Para melhor visualizao:


Paradoxos

O fato do critrio de Gruebler no considerar o comprimento e a forma dos elos pode levar

a resultados enganosos, tendo em vista configuraes geomtricas nicas.

A estrutura mostrada em (a) chamada mecanismo quinteto-E com GDL=0. Sua

montagem condiz com o imposto pelo critrio de Gruebler.

J a montagem em (b) outro tipo de

construo do mesmo mecanismo,

mas agora com GDL=1,

contradizendo o critrio de Gruebler.

Desta forma, deve-se tomar cuidado

ao se utilizar o mtodo, sempre

avaliando a possibilidade de algum

tipo de movimento.

1 23 1 2M L J J


Transformao de Mecanismos

Existem vrias tcnicas ou regras para transformao de mecanismos bsicos em outros

mais teis:

1. Juntas de revoluo podem ser trocadas por juntas prismticas sem mudar o GDL do

mecanismo. A figura mostra uma montagem de 4 barras manivela-seguidor

transformada em uma biela-manivela trocando-se o elo 4 por um bloco deslizante.


2. Qualquer junta completa pode ser trocada por uma meia junta, resultando no aumento

de 1 GDL.

3. A remoo de 1 elo reduz o GDL de 1.

4. A combinao das regras 2 e 3 no alteram o GDL. A figura mostra um mecanismo de

4 barras transformado em um came-seguidor pela remoo do elo 3, e substituio de

uma meia junta por uma completa entre os elos 2 e 4. O mecanismo continua com 1

GDL.


5. Qualquer elo tercirio ou de ordem maior pode ser parcialmente encolhido para um elo

de ordem menor, fundindo os ns. Isso cria uma junta mltipla, mas no altera o GDL.

A figura mostra um mecanismo de 6

barras de Stephenson transformado pelo

encolhimento parcial do elo tercirio 6

para criar uma junta mltipla, ainda um

sistema de GDL=1.


6. O completo encolhimento de um elo de ordem maior equivalente sua remoo. Uma

junta mltipla ser criada e o GDL reduzido.

A figura mostra um mecanismo de 6

barras de Stephenson transformado pelo

encolhimento completo do elo tercirio 6

para criar uma junta mltipla, resultando

em um sistema de GDL=0.


Movimento Intermitente

uma sequncia de movimentos e tempos de espera. Sendo o tempo de espera um

perodo no qual a pea de sada se mantm em estado estacionrio, enquanto a pea de

entrada continua em movimento.

Mecanismo de Genebra

Amanivela tem um pino que entra em uma das

fendas radias da roda de Genebra e faz com

que a roda gire durante um trecho de uma

revoluo. Quando o pino deixa o canal, a roda

de Genebra se mantm parada at que o pino

entre no prximo canal.


Mecanismo Linear de Genebra


Mecanismo de Catraca e Lingueta

O brao gira ao redor do centro da

catraca e movido de um lado para o

outro. A lingueta de conduo gira a

catraca no sentido anti-horrio e no faz

nada no retorno. A lingueta de

travamento evita que a catraca inverta a

direo enquanto a lingueta de conduo

retorna. As molas pressionam as

linguetas para manter o contato com a

catraca.


Mecanismo de Inverso

Uma inverso criada pelo fato de se fixar um elo diferente na cadeia cinemtica.

Assim, existem tantas inverses quanto o nmero de peas do mecanismo.

1. A partir do mecanismo cursor-manivela, que possui a pea 1 fixa e a pea 4 em

translao pura, pode-se obter inverses fixando a manivela ou as demais peas

mveis, obtendo-se um movimento complexo. Uma aplicao desta inverso no

mecanismo Whitworth que apresenta retorno rpido.


2. Outra inverso possvel quando a biela a pea fixa, dando um movimento de

rotao pura. Esta inverso empregada em mquinas a vapor auxiliares e tambm

a base do mecanismo da plaina limadora.

3. A terceira inverso, onde o cursor a pea fixa, usada em operaes manuais,

como em bombas de poo.

Mecanismo clssico Inverso 1 Inverso 2 Inverso 3


A Condio de Grashof

Os mecanismos planos de quatro barras que possuem apenas pares rotativos so divididos

em classes.

A classe 1 inclui todos os mecanismos em que um elo, o de menor dimenso, poder

realizar uma rotao completa em relao aos outros trs;

J quando nenhum elo pode realizar uma rotao completa em relao aos outros trs,

chamado de mecanismo de classe 2.

A lei de Grashof utilizada para verificar a classe destes tipos de mecanismos, esta lei diz

que:

A soma dos comprimentos do elo menor e do elo maior, devem ser menor ou igual soma

dos comprimentos dos elos restantes, para que um ou mais elos consigam realizar uma

rotao completa (360 graus ou movimento circular contnuo).


Ento se:

onde: S = comprimento do elo menor; L = comprimento do elo maior; P e Q =

comprimento dos elos restantes.

A montagem atende condio de Grashof se pelo menos 1 dos elos consegue fazer uma

revoluo completa em torno do elo de referncia.

Os movimentos possveis para o mecanismo de 4 barras vai depender da condio de

Grashof e da inverso escolhida, sendo as inverses definidas de acordo com o elo menor.

S L P Q


Para o caso da Classe I, S+L


Fixando o elo menor, obtm-se a dupla manivela, na qual ambos os elos, motor e

conduzido, giraro totalmente de acordo com o acoplador.

Fixando o elo oposto ao menor, obtm-se o duplo seguidor, onde ambos elos, motor e

conduzido, oscilaro e apenas o acoplador girar totalmente.


Para o caso da Classe II, S+L>P+Q

Todas as inverses so triplo seguidores, nas quais nenhum elo conseguir girar

totalmente.


Existe ainda um caso particular, conhecido como Classe III, S+L=P+Q

Tratado como caso especial de Grashof, todas as configuraes sero dupla manivela ou

manivela seguidor, mas tero 2 pontos de mudana para cada revoluo da manivela de

entrada quando os elos ficarem colineares.

Neste ponto, o comportamento da mudana ser indeterminado, sendo classificada como

configurao incerta.

O movimento deve ser limitado para se evitar chegar aos pontos de mudanas ou em um

elo adicional fora de fase, fornecido para garantir a passagem por esses pontos de

mudana.

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