Fundamentos Da Matemática AP Parte 1 Doc

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1) Potenciao Quando dizemos que um nmero qualquer est "elevado potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este nmero ser multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:

54 = 5 5 5 5 = 625Genericamente podemos representar uma potncia:

1.2 Propriedades OperatriasQuando estivermos operando uma equao, diversas vezes encontraremos potncias envolvidas no meio do clculo.

Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potncias. Observe: 1.2.1 MULTIPLICAO DE POTNCIAS DE MESMA BASEResolvendo: ( Esta a operao que queremos efetuar. Abrindo as potncias: (5.5.5.5) . (5.5.5)Podemos afirmar que: (5.5.5.5) . (5.5.5) = 57 ou ainda que: 54 . 53 = 54+3 = 57Generalizando podemos afirmar que:

Xa . Xb = Xa+bOnde X nmero qualquer

Podemos ento dizer:

A multiplicao de duas potncias de mesma base,

conserva-se a base e soma-se os expoentes.

1.2.2 DIVISO DE POTNCIAS DE MESMA BASE

O mesmo raciocnio mostrado para a multiplicao pode ser aplicado para a diviso.

O exemplo ser 126 divididos por 122:

Abrindo as potncias: Simplificando: Podemos afirmar que: (12.12.12.12.12.12) / (12.12) = 124 ou ainda que: 126 / 122 = 126-2= 124Generalizando podemos afirmar que:

Xa / Xb = Xa-bOnde X nmero qualquer

Podemos ento dizer:

A diviso de duas potncias de mesma base,

conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

1.2.3 MULTIPLICAO DE POTNCIAS DE MESMO EXPOENTE

Neste caso temos o mesmo expoente

Abrindo as potncias

(6.6.6.6.6) . (9.9.9.9.9)

Pela propriedade comutativa (a ordem dos fatores no altera a multiplicao) temos:

6.9.6.9.6.9.6.9.6.9 ( observamos que 6.9 aparecem cinco vezes, ento podemos afirmar que:

65. 95 = (6.9)5Ou seja: Conserva-se o expoente e multiplica-se a base. Generalizando:

Xa .Ya = ( X.Y)a

1.2.4 DIVISO DE POTNCIAS DE MESMO EXPOENTE

O mesmo raciocnio mostrado para a multiplicao, pode ser aplicado para a diviso.

O exemplo ser 84 divididos por 54: , abrindo as potncias. , separando as fraes

Generalizando, ( Conserva-se o expoente e divide-se as bases. 1.2.5 POTNCIA DE POTNCIA

Abrindo a potncia dentro do parnteses(42)3 = (4.4)3Abrindo a potncia fora do parnteses

(4.4).(4.4).(4.4) , que resulta em:

4.4.4.4.4.4 = 46, logo podemos afirmar que

(42)3 = 42.3 = 46Generaliando:

(Xa)b = Xa.b ( Potncia de potncia, multiplica-se os expoentes. 1.2.6 OBSERVAO

Quando tivermos um nmero negativo elevado numa potncia, devemos tomar a seguinte precauo:

1) Se o expoente for PAR

(-5)2 = (-5) (-5) = +25(-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = +16

O resultado positivo, pois na multiplicao "menos com menos d mais":

Se "k" for PAR (-X)k=Xk

2) Se o expoente for MPAR

(-5)3=(-5)(-5)(-5) = - 125

O resultado negativo, pois na multiplicao "menos com mais d menos":

Se "k" for MPAR (-X)k= - Xk

3) (-5)2 totalmente diferente de -52, pois:

(-5)2 = (-5) . (-5) = + 25 ( neste caso (-5) est elevado ao quadrado

- 52 = - (5.5) = -25 ( neste caso apenas o 5 est elevado ao quadrado PEGA-RATO

1.2.7 ALGUMAS PROPRIEDADES INTERESSANTESa) a0 = 1

Qualquer nmero elevado potncia ZERO resulta 1. S no pode ser 00, pois este no existe!

Ex.: 20 = 1 , (-2,3)0 = 1 , , b) a1 = aA potncia 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 nica vez. Portanto, o prprio "a".

Ex.: 231 = 23 , (-234)1 = -243 , , c) 1n = 1 A potncia "n" indica quantas vezes o nmero 1 ser multiplicado por ele mesmo, e no interessa quantas vezes seja, sempre ser 1.

Ex.: 14 = 1 , , 1(-47) = 1

d) 0n = 0Idem ao de cima. No interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre ser zero.

Lembre-se que no pode ser 00, pois no existe!

Ex.: 02 = 0 , 0-21 = 0e) Expoente negativo Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da frao para de baixo da frao.

Ex.: 3-2 = , ,

f) Expoente negativo no denominador A regra acima tambm vale ao contrrio. Se tivermos uma potncia negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potncia.

Ex.: , , 1.3 EXERCCIOS1) Efetue, observando as definies e propriedades:a) (-2)b) 120c) 5001d) 1000e) 03f) 00g) 5-1

h) 2-3i) (- 3)4j) (0,5)3l) 151m) 900n) 020o) (1/2) -1

p) (2/3)-2q) (4/5)3r) 23s) (0,2)4t) (0,1)3

2) (Fuvest) O valor de , 3) (Fei) O valor da expresso (-2) + (-3)(-2)-1 : (-3)1 :4) (UECE) O valor de :

5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expresso , obtm-se:6) Calcule as expresses:a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3 - 2) . 2 - 5] . 4}b) ( 3 - 2) . 3 - 2 + 2 . 4

c) ( 2 - 3) . (2 - 2 )d) [2 . (10 - 4 : 2) + 6] : ( 2 - 2)

e) (18 4 . 2) . 3 + 2 . 3 - 3 . ( 5 2)f) 4 . [2 : ( 10 2 + 8 ) ] + 2

g) [( 4 + 2 . 3) + ( 16 : 8) - 35] + 1 - 10h) 13 + ( 10 8 + (7 4)) i) (10 . 4 + 18 ( 2 . 3 +6))

j) 7 . ( 74 ( 4 + 7 . 10))k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 10))

l) (( 2 + 2) . 3 -4) + 3m) 3 + 2 . ((3- 2) + ( 5 - 2)) + 1

n) 4- 10 + (2 - 5)o) 30 (2 + 1)+ 2

p) 30 + [6 : ( 5 3) + 1 ]q) 20 [6 4 x( 10 - 3) + 1]

r) 50 + [ 3 : ( 1 + 2) + 4 x 3]s) 100 [ 5 : (10 5 ) + 2 x 1 ]

t) [ 4 + ( 5 3)] : ( 9 7)u) 7+ 2 x[(3 + 1) - 4 x 1]

v) 25 + { 3 : 9 +[ 3 x 5 3 x (2- 5)]}

2) RADICIAO Radiciao o inverso da potenciao.

Por exemplo, se elevarmos um nmero X quinta potncia e depois tirarmos a raiz quinta do resultado, voltaremos ao nmero X original.

Exemplo:Para acharmos a raiz cbica de oito , devemos nos perguntar qual o nmero que, multiplicado por ele mesmo trs vezes, resulta 8.

Ou seja, qual o nmero que elevado na potncia 3 resulta 8?.

A resposta 2, pois 23=222=8

Nomenclatura: Podemos transformar uma raiz em uma potncia, desta forma podemos utilizar as mesmas propriedades de potenciao. 2.1 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE RADICIAO:Isto acontece pois ZERO vezes ZERO sempre ser zero, no importa quantas "n" vezes ele aparecer.

Mesma coisa, um vezes um sempre 1

Se colocarmos esta raiz na forma de potncia temos:

( como ( ento

2.2 PROPRIEDADES OPERATRIAS

Ao transformarmos as razes da multiplicao em potenciao, utilizamos a propriedade de multiplicao de potncias de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Se transformarmos a multiplicao de razes em multiplicao de potncias, podemos utilizar a propriedade de multiplicao de dois nmeros na mesma potncia.

Novamente se transformarmos a raiz em potncia, teremos: ( Agora o que devemos fazer voltar de potncia para raiz:

2.3 RACIONALIZAO DE FRAES Por conveno no representamos fraes com denominadores com razes, para contornar este problema racionalizamos as fraes, que nada mais do que um artifcio matemtico.

Observe1) Sabemos que o elemento neutro da multiplicao 1 (um) , ou seja, qualquer nmero multiplicado por um ele mesmo ( 32 x 1 = 1).2) Uma frao cujo numerador e numerador so iguais igual a um, a) Razes quadradas

Diante destes dados podemos fazer:

b) Razes quaisquer Considerando o que fizemos anteriormente, devemos escolher uma frao que equivale a um e que retire a raiz do denominador.

Sabemos que:

para que o expoente seja 1, devemos fazer: ( b+c = xConsiderando o exemplo:

para eliminar a raiz do denominador devemos multiplicar por uma frao, equivalente a um, que tenha o mesmo ndice, observe:

ento podemos afirmar que: logo:

2.4 EXERCCIOS1) Escreva simplificadamente:

a) b) c)

2) Efetue as operaes, escrevendo de forma mais simplificadaa) b)

3) Racionalize os denominadoresa) b) c) d) e)

4) Calcule as potnciasa)

b)

c)

d)

5) Calcule o valor da expresso para

6) Calcule o valor das expresses a)

b)

c)

7) Efetue as divisesa)

b)

c)

d)

8) Racionalize o denominador de cada fraoa) b) c) d) e) f)

g) h) i) j) k) l)

m) n) o) p) q) r)

s) t) u) v) w) x)

3) PRODUTOS NOTVEISrecordando a propriedade distributiva: a) (a+b).(a+b) = a+ab+ab+b = a+2ab+b

b) (a-b).(a-b) = a-ab-ab+b = a-2ab+b

c) (a+b+c).(a+b+c)=a+ab+ac+ab+b+bc+ac+bc+cSomando os termos semelhantes: a+b+c+2ab+2bc+2ac

Observe: Pela propriedade distributiva multiplicamos todos os termos (no se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.Mas existem casos que podemos agilizar estes clculos aplicando produtos notveis.

3.1 QUADRADO DE UM BINMIO SOMA. O quadrado de um binmio soma igual ao quadrado do primeiro termo mais o dobro do produto entre o primeiro e o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.

(x + y )2 (x + y). ( x + y) x2 + xy + xy + y2 x2 + 2xy +y2Logo podemos afirmar que: ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2Ou ainda, de acordo com a regra de multiplicao de polinmios:

Ex 1: (2x + 3)2 (2x)2 + 2(2x)(3) + (3)2 4x2 + 12x + 9

Ex 2: (3x + 5y2)2 (3x)2 + 2(3x)(5y2) + (5y2)2 9x2 + 30 xy2 + 25y4 3.2 QUADRADO DE UM BINMIO DIFERENA. O quadrado de um binmio diferena igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto entre o primeiro e o segundo termo mais o quadrado do segundo termo.(x y)2 (x y)( x y) x2 xy xy + y2 x2 2xy + y2

ou ( x - y )2 = x2 - 2xy + y2Ex 3 : (7x -4)2 (7x)2 2(7x)(4) + (4)2 49x2 56x + 16

Ex 4 : (6x2 y3)2 (6x2)2 2(6x2)(y3) + (y3)2 36x4 12x2y3 + y63.3 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA DE DOIS TERMOS. O produto da soma pela diferena igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

(x + y) . (x y) x2 + xy xy y2 x2 y2

ou ( x + y ) ( x - y ) = x2 - y2Ex 5: (5x + 2y)(5x -2y) (5x)2 (2y)2 25x2 4y2Ex 6: (8a2b + 9).(8a2b 9) (8a2b)2 (9)2 64a4b2 - 81 Existem muitas outras frmulas:

( a + b ) = a + 3 a b + 3ab + b

(a b ) = a 3 ab + 3ab b (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(a b c)2 = a2 + b2 + c2 2ab 2bc 2ac No frequentemente usadas:

Para estes casos podemos aplicar o tringulo de pascal 1

1 1

1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1Para determinarmos a potncia de uma soma, utilizando o tringulo de Pascal fazemos:

(a+b)5 = a5b0 + 5 a4b1 + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 a1b4 + a0b5

3.4 PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENA DE DOIS TERMOS. O produto da soma pela diferena igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

(x + y) . (x y) x2 + xy xy y2 x2 y2

ou ( x + y ) ( x - y ) = x2 - y2Ex 5: (5x + 2y)(5x -2y) (5x)2 (2y)2 25x2 4y2Ex 6: (8a2b + 9).(8a2b 9) (8a2b)2 (9)2 64a4b2 - 81 3.5 QUADRADO DE UM TRINMIO. O quadrado de um trinmio igual a soma dos quadrados de cada um dos trs termos mais o dobro da soma dos produtos dos trs termos tomados dois a dois.(x + y + z)2 [(x+y) +z]2 (x + y)2 + 2(x + y)z + z2 x2 + 2xy + y2 + 2xz + 2yz + z2

x2 + z2 + y2 + 2(xy+xz +yz)

( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yzEx 13 : (2a + b + 3c)2 (2a)2 + b2 + (3c)2 + 2 (2ab + (2a)(3c) + b(3c)) 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 6bcEx 14 : ( a 2b + 5c)2 (a)2 + (-2b)2 + (5c)2 + 2[a(-2b) +(a)(5c) + (-2b)(5c)]

a2 + 4b2 + 25c2 -4ab + 10ac -20bc3.6 EXERCCIOS1 - Efetue os quadrados dos binmiosa) (3x + 1)2 b) (112b3 + 7)2c) (-t + 8)2

d) (4x2 - 9y)2e) f) (5ab - 7)2

g) (2x3 - 3y2)2h) (x2m - x3m)2i) (-mp - 2)2

j) k) l) (2m + 5)2

2 - Efetue os produtos de um binmio por seu conjugadoa) (2x + 1) (2x 1)b) (6ab + 1) ( 6ab 1)c) (5x3 + 2 ) (2 5x3)

d) e) f) (3x2 4) (3x2 + 4)

g) (xm x4m) (xm + x4m)h) i) (m2 + p3) (m2 p3)

3 - Efetue os cubos dos binmiosa) (3x + 2 )3b) (4x2 3y)3c) ( m + 5)3

d) (5ab 1)3e) (a2b3 + 2)3f) (m2m p3m)

4 - Efetue os quadrados dos trinmiosa) (x + 2y + z)2b) (m + p - 2q)2a) (2 + 3b + 5)2c) (4x2 5y + 2)2

5 - Efetuea) (x + 2y)2 + (2x y)2b) 2(m 2)2 + (2x y

c) (a + b + c )2 (a2 + b2 + c2)d) (2a -3b)2 (a 5b) (a + 2b)

e) (m - 5y + 2)2 ( m + 5y 2)2f) (3m2 2p)3 - (2m2 3p)3

6) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para encontrarmos o cubo de x - 3 ?

7) Determine a quarta parte da diferena entre os quadrados dos polinmios x2 +2x - 1 e x2 - 2x+1

8) Determine a diferena entre o cubo e o quadrado do polinmio 2x2 3

9) Se A = 5x2 - 2 , determine o valor de A2 - 3A + 1

4) FATORAOFatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vrios casos de fatorao como:

4.1 FATOR COMUM EM EVIDNCIAQuando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinmio:ax + ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia.

Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)b) 2x2 -4xy = 2x(x 2y)

c) 12ax2z + 24axz2 12a2xz = 12axz(x + 2z a)

d) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e) x3 + 2x2 x = x ( x2 + 2x -1)4.2 FATORAO POR AGRUPAMENTOConsiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais.

Como por exemplo:ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia:

(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:a) x2 3x + ax 3a = x ( x 3) + a (x 3) = ( x - 3) ( x + a) x fator a fator (x-3) fator comum Forma comum comum fatoradab) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 = b2(2 + a) + c3 (2 + a) = ( 2 + a) ( b2 + c3)

b2 fator c3 fator (2+a) fator Forma comum comum comum fatorada

4.3 FATORAO POR DIFERENA DE QUADRADOS:Consiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim: x2 9 = (x + 3)(x 3)

Exs: Fatore:

a) a2 b2 = ( a+ b)(a b)

b) 16a2 -1 = (4a + 1)(4a 1)

c) 1 16x4 = (1 + 4x2)(1 4x2) = (1 + 4x2)(1+ 2x)(1-2x)

Note que possvel fatorar a expresso duas vezes

4.4 FATORAO DO TRINMIO QUADRADO PERFEITO:O trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinmios (a2 +2ab + b2) e (a2 -2ab + b2) so quadrados perfeitos porque so obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2

Assim:

Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito, e podemos reescrev-lo na forma fatorada como:

(2x-3y)2Se calcularmos o produto notvel voltaremos ao trinmio inicial, verifique.

Observe:

Ex: a) x2 10x + 25 = (x 5)2b) 16x2 + 24xy + 9y2= (4x + 3y)2Observao:

Quando fatoramos uma expresso algbrica, devemos fator-la por completo:Ex:a) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x +1) = 3 (x+1)2b) 25a4 - 100b2 = 25 (a4 + 4b2) = 25 ( a2 + 2b) (a2 2b)4.5 OUTROS CASOS DE FATORAO:1) x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)

2) x3 y3 = ( x y) (x2 + xy + y2)3) x2 + y2 = (x2 + 2xy + y2) 2xy = ( x + y )2 2xy = (x + y - ) ( x + y +

4.6 Exercicios

1) Fatore as seguintes expresses

a) 312a b) x x + x c) ab ab d) x25

e) x + 4x + 4 f) a + 6ab + 9b g) 144x1 h) 4a 4

i) xy xy j) x + 16x + 64

2) Fatore completamente as expresses: a) 5x2 5y2= b) 2a2 18 = c) 16a4 b4= d) 3a2 + 18a + 27 =e) x3 2x2y + xy2=

3) Simplifique as expresses a seguir:a) b) c) d)

4) p(x) = x2 - 50x + A, onde A um nmero real. Para que o polinmio P(x) torne-se um trinmio quadrado perfeito, o valor de A :a) 25 b) 125 c) 225 d) 625 e) 1025

5) Fatore colocando em evidnciaa) x2 xyb) 12x3y4 18x2y3 + 6x4yc) 6x3 12x2 +36

d) a3 a2b e) 32m7p10 + 96m5p6 - 128m4p8f) 17am+1 b2n+3 51am+2 b2n-1 34am b2n+1

6) Fatore os trinmios quadrados perfeitosa) x2 + 14x + 49b) 4a2 + 12ax + 9x2c) 9a4b2 + 130a2bc3 + 25 c6

d) 4q-2n + 36q-np-2 + 81p-4e) x8 28x4 + 196f) y6 38y4 + 361y2

g) m-2 2(mp)-1 p-2h) (a b)2 8(a b) + 16

7)- Fatore as diferenas entre quadradosa) 64a2 25b2b) 196m4p6 - 121q2c) 16x4 - y4

d) (2x y)2 9z2e) (2 + b)2 (3b a)2f) 2xy x2 y2 + 1

8) Fatore por agrupamento a) cm + dm cn - dnb) 2mx + 3nx 3ny -2myc) a2 b2 + a + b

d) 2x3 + x2 6x - 3e) 14yz 28zx + 6y 12xf) a2 4ab + 4b2 + 3a 6b

9) Fatore as expresses algbricas a) 16x4 - 1b) x2 (a + 1)2c) x3 -6x2 + 12x - 8

d) m8 y8e) a12 a6 - 20f) 4a4 a2 + 2a - 1

g) x2 4a2 + 6x + 12ah) a2 4b2 + 8a+ 12b + 7i) a4 + a2 + 1

j) 4a4 + 8a2b2 + 9b4 k) 4a4 a a3 + 4a2l) x4 3x2 + 9

6 EQUAOConsideremos as trs igualdades abaixo:

1) 2 + 3 = 52) 2 + 1 = 53) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades so sentenas matemticas fechadas, pois so definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira sempre verdadeira e a segunda sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade uma sentena matemtica aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribudo letra x. No caso, verdadeira quando atribumos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribudo a x diferente de 3. Sentenas matemticas desse tipo so chamadas de equaes; a letra x a varivel da equao, o nmero 3 a raiz ou soluo da equao e o conjunto S = {3} o conjunto soluo da equao, tambm chamado de conjunto verdade.

Exemplos:1) 2x + 1 = 73 a nica raiz, ento S = {3}

2) 3x 5 = 21 a nica raiz, ento S = {1}

6.1 EQUAO PRIMEIRO GRAU

Chamamos deequao do 1 grau as equaes do tipo: ax + b = 0 , onde a e b so nmeros conhecidos com a 0.

Exemplo:3x 5 = 0 (a = 3 e b = 5)

Para resolvermos uma equao do 1 grau, devemos determinar o valor da varivel para que a sentena seja verdadeira.

Exemplo:3x 5 = 0

3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x = 5

Assim: 6.2 EXERCCIOS1) Existem trs nmeros inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que nmeros so esses?2) Resolva as equaes a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) 4x (x + 6) - x2 = 5x2f) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

3) Determine um nmero real "a" para que as expresses (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.4) Resolver as seguintes equaes (na incgnita x):a. 5/x - 2 = 1/4 (x 0)b. 3bx + 6bc = 7bx + 3bc 7 FUNO 1. GRAUChama-se funo do 1. grau funo de R em R que a cada x faz corresponder o valor de ax + b.

Uma funo do 1 grau pode ser chamada de funo afim.Para que uma funo seja considerada afim ela ter que assumir certas caractersticas, como:Toda funo do 1 grau deve ser dos reais para os reais, Definida pela frmula f(x) = ax + b, onde a 0 e a R e que b R sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais. Ento, podemos dizer que a definio de funo do 1 grau :

Veja alguns exemplos de Funo afimf(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1 f(x) = - 5x 1 ; a = -5 e b = -1 f(x) = x ; a = 1 e b = 0 f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5 2 2 Observaes:a) Quando b = 0 ( funo linear y = ax

b) Quando a = 0 ( funo constante y = b, associa a cada valor de x a mesma imagem b

Toda funo a do 1 grau tambm ter domnio, imagem e contradomnio. Considerando a funo do 1 grau f(x) = 2x 3 que pode tambm ser representada por y = 2x 3. Para acharmos o seu domnio e contradomnio, devemos em primeiro estipular valores para x.Observe:x =-2 x = - 1x = 0x = 1

y = 2 . (-2) 3y = 2 . (-1) 3y = 2 . 0 - 3 y = 2 . 1 3

y = - 4 3y = -2 3y = -3y = 2 3

y = - 7y = - 5 y = -1

Os valores de x so o domnio e a imagem e o contradomnio so os valores de y. Ento, podemos dizer que Im = R.

Exemplo

Numa loja, o salrio fixo mensal de um vendedor 500 reais. Alm disso, ele recebe de comisso 50 reais por produto vendido.a) Escreva uma equao que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em funo do nmero x de produto vendido.

y=salrio fixo + comissoy=500 + 50x

b) Quanto ele ganhar no final do ms se vendeu 4 produtos?

y=500+50x , onde x=4

y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do ms recebeu 1000 reais?

y=500+50x , onde y=10001000=500+50x 50x=1000-500 50x=500 x=10

7.1GRFICO DA FUNO DO 1 GRAU:

O grfico gerado por uma funo de primeiro grau de R em R uma reta.Exemplo:

1) Construa o grfico da funo determinada por f(x)=x+1:

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Analisando o grfico construdo podemos verificar que a funo crescente, ou seja, quando os valores de x aumentam os valores de y respectivos tambm aumentam. Observe a tabela construda

Neste caso o valor do coeficiente de x positivo, y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1 ( Funo crescente

2) Construa o grfico da funo determinada por f(x)=-x+1.Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Analisando o grfico construdo podemos verificar que a funo crescente, ou seja, quando os valores de x aumentam os valores de y respectivos diminuem. . Observe a tabela construda.

Neste caso o valor do coeficiente de x (no exemplo a) negativo, y = -x+1 ( a 0);a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x negativo (a < 0);

Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

7.3 SINAL DE UMA FUNO DE 1 GRAU:Observe os grficos:

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da funo). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x0 e f(x) m = - 1 / 5

como y2 y1= m . (x2 x1) e considerando o ponto A, teremos:

y 2 = - 1/5 . (x 1)

y = -x/5 + 1/5 + 2

y = -x/5 + 11/5 (equao da reta)c) por sistemas

como y = ax + bConsiderando A(1,2) e B( -4 ,3)

podemos substituir os pontos dados Substituindo3 = -4 .(2-b) + b 3 = -8 + 4b + b b = 11/5

Substituindoa = 2 b a = 2 11/5 a = - 1/5desta forma

y = -x/5 + 11/5 (equao da reta)7.7 Exerccios Funes 1 grau

1. Dada funo do 1 grau F(x) = (1 - 5x). Determinar:

a. F(0)b. F(-1)c. F(1/5)d. F(-1/5)

2. Considere a Funo do 1 Grau F(x) = -3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha:

a. F(x) = 0b. F(x) = 11c. F(x) = -1/2

3. Dada a funo F(x) = (ax + 2), determine o valor de a para que se tenha F(4) = 22

4. Dada a funo F(x) = ax + b e sabendo-se que F(3) = 5 e F(-2) = -5 calcule F(1/2)

5. Um vendedor recebe mensalmente um salrio composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de $ 1.000,00 e uma parte varivel que corresponde a uma comisso de 18% do total de vendas que ele fez durante o ms.

a. Expressar a funo que representa seu salrio mensal.

b. Calcular o salrio do vendedor durante um ms, sabendo-se que vendeu $ 10.000,00 em produtos.

6. Representar graficamente as retas dadas por:

a. y = 2x 4,b. y = 6,c. y = 10 2x,d) y = 6 + 2x

7. Determinar o coeficiente angular, coeficiente linear e a equao da reta esboando o grfico dos seguintes pontos.a. (2,-3) (-4,3)b. (5, 2) (-2,-3)c. (-1,4) (-6, 4)d. (3, 1) (-5, 4)e. (-3, 0) (4, 0)

f. (3, -5) (1, -2)g. (1, 3) (2, -2)h. (0, 0) (2, 4)i. (0, 3) (8, 3)

8. Escrever a equao da reta que contm o ponto P e tem a declividade a.a. P = (0, 0) a = 3b. P = (3, 5) a = 0,5c. P = (0, 5) a = -0,2d. P = (0, 20) a = 2e. P = (8, 8) a = -1

f. P = (-2, 1) a = 5

9. Calcular o ponto de interseco das retas e represent-las num mesmo sistema de coordenadas:

a. y = 2x + 5 e y = 3xb. y = 5 e y = 4x, x > 0c. f(x) = 1 + x e f(x) = 4

d. f(x) = 3 e f(x) = 2x + 1e. f(x) = 1/2x e f(x) = 2x 3f. f(x) = 4 x e f(x) = 2x 2 e f(x) = x + 1

h. f(x) = 3x + 4 e f(x) = 2x + 6g. f(x) = 4x e f(x) = 8 4x e f(x) = 2x 4

10. Encontre os interceptos e esboce o grfico das seguintes funes:

a. f(x) = 2x + 5b. f(x) = 2x 1c. f(x) = 3d. f(x) = 3x + 1e. f(x) = -1/2x 4

f. f(x) = -2x + 3g. f(x) = h. f(x) = 9x + 3i. f(x) = -1/2x -1j. f(x) = 5

k. f(x) = 14l. f(x) = -1/4x + 3m. f(x) = 6x 4

11. A cetesb detectou uma certa companhia jogando cido sulfrico no Rio Tiete, multou-a em $ 125.000,00, mais $ 1.000,00 por dia at que a companhia se ajustasse s normas legais que regulamentam os ndices de poluio. Expresse o total de multa como funo em numero de dias em que a companhia continuou violando as normas.

12. Em algumas cidades voc pode alugar um carro $ 154 por dia mais um adicional de $ 16,00 por km. Determine a funo por um dia e esboce no grfico. Calcule o preo para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km.

13. Uma companhia de gs ir pagar para um proprietrio de terra $ 15.000,00 pelo direito de perfurar a terra para encontrar gs natural, e $ 0,3 para cada mil ps cbicos de gs extrado. Expresse o total que o proprietrio ir receber com funo da quantidade de gs extrado. Esboar o grfico.

14. Em 1998, um paciente pagou $ 300,00 por um dia em um quarto de hospital semiprivativo e $ 1.500,00 por uma operao de apndice. Expresse o total pago pela cirurgia como funo do nmero de dias em que o paciente ficou internado.

15. O preo a ser pago por uma corrida de txi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 5,50 e cada quilmetro rodado custa R$ 0,90, calcule:

a. o preo de uma corrida de 10 km.

b. a distncia percorrida por um passageiro que pagou R$ 19,00 pela corrida.

16. As funes consumo e poupana de um operrio de renda varivel y so, respectivamente, C = 100 + 0,6y e S = 0,4y 100.

a. Qual o seu consumo e sua poupana se ele ganhar R$ 480,00?

b. Qual o seu consumo se sua renda for nula? Como voc explica a existncia de consumo com uma renda nula?

c. Qual a sua poupana se sua renda for nula? Como voc explica a existncia de poupana negativa?

17. Na revelao de um filme, uma ptica calcula o preo a ser cobrado usando a frmula P = 12,00 + 0,65n, onde P o preo,em reais, a ser cobrado e n o nmero de fotos reveladas do filme.

a. Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?

b. Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelao, qual o total de fotos reveladas?18. O preo a ser pago por uma corrida de txi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilmetro rodado custa R$ 0,86, calcule:

a. o preo de uma corrida de 11 km;

b. a distncia percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

19. Um fabricante usa como poltica de vendas, colocar seu produto ao incio de janeiro ao preo p e aumentar mensalmente esse preo de 3,00. Em 1 de setembro esse preo passou a R$ 54,00. Nestas condies determinar:

a. O preo inicial em janeiro

b. Qual ser o preo em dezembro

c. Esboar o grfico da funo que rege o preo do produto8 INEQUAO 1. GRAUQuando comparamos dois nmeros reais a e b, somente uma das trs afirmaes verdadeira: a < b ou a = b ou a > b

Se os nmeros a e b forem distintos, ento a < b ou a > b e dizemos que a e b so desiguais, isto , existe entre eles uma desigualdade.

Observe os exemplos de desigualdades:4 menor que 7 ( 4 < 7

32 maior que 11 ( 32 > 11

- 12 menor que 0 ( - 12 < 0

7/2 maior que 2/3 ( 7/2 > 2/3

Vejamos agora algumas sentenas abertas representadas por desigualdades:

O dobro de um nmero maior que 8 ( 2x > 8

O consecutivo do triplo de um nmero menor que menos 14 ( 3x + 1 < - 14

A metade do triplo de um nmero no maior que 5. Se o nmero no maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco ( O qudruplo de um nmero adicionado a sua metade no menor que 0. Se a expresso no menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero ( Inequao uma sentena aberta expressa por uma desigualdade entre duas expresses algbricasUma inequao do 1 grau na incgnita x qualquer expresso do 1 grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: (onde a, b so nmeros reais com a 0).

ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b 0;ax + b 0.

Exemplos:

2x 7 0

8.1 RESOLVENDO UMA INEQUAO DE 1 GRAUUma maneira simples de resolver uma equao do 1 grau isolarmos a incgnita x em um dos membros da desigualdade. Observe.

Resolva as inequaes1) -2x + 70.

-2x -7 Multiplicando por (-1)

2x 7x 7/2

Portanto a soluo da inequao x 7/2.

2) 2x 6 < 0.2x < 6x < 6/2x < 3

Portanto a soluo da inequao e x < 3

Pode-se resolver qualquer inequao do 1 grau por meio do estudo do sinal de uma funo do 1 grau, da seguinte forma:

1. Iguala-se a expresso ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x;3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

Resolvendo os exemplos anteriores pelo estudo de sinais:

1) -2x + 7 > 0-2x + 7 = 0x = 7/2fazendo o estudo do sinal:

2) 2x 6 < 0

2x 6 = 0

x = 3fazendo o estudo de sinal:

8.2 INEQUAO PRODUTO

Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes do tipo

f(x) . g(x) > 0 ; f(x) . g(x) < 0 ; f(x) . g(x) 0 ; f(x) . g(x) 0 ;

so denominadas inequaes produto

Para resolver inequaes produto, fazemos o estudo de sinal de cada funo e ento determinamos o conjunto soluo, observe:

Exemplo: Resolva em R a inequao:

(5x 10)( 5 x) > 0

Considerando:

Fazendo o produto das funes

8.3 INEQUAO QUOCIENTE

Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes do tipo

f(x) / g(x) > 0 ; f(x) / g(x) < 0 ; f(x) / g(x) 0 ; f(x) / g(x) 0 ;

so denominadas inequaes quociente

O processo para resolver inequaes quociente anlogo ao de inequaes produto.

8.4 EXERCCIOS1) Determinar o conjunto soluo de cada uma das seguintes inequaes. Fazer a representao linear do conjunto soluo

a) 2x 8 > 0b) c) d)

e) f) g) h)

i) j)

2) Determinar o conjunto soluo de cada uma das seguintes inequaes.a) (x + 3) (2x 10) > 0b) (x + 5 )( 1 x) > 0c) (2 x)(5 x) 0d) (3x 5)( 2 3x) 0

e) f) g) h)

i) j)

9 FUNO 2. GRAU

Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c so nmeros reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funo quadrticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0

5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

9.1 Aplicaes prticas das parbolas

Dentre as dezenas de aplicaes da parbola a situaes da vida, as mais importantes so:

faris de carros

Se colocarmos uma lmpada no foco de um espelho com a superfcie parablica e esta lmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parablico do farol, os raios refletidos sairo todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vrtice da superfcie parablica. Esta uma propriedade geomtrica importante ligada tica, que permite valorizar bastante o conceito de parbola no mbito do Ensino Fundamental. antenas parablicas

Se um satlite artificial colocado em uma rbita geoestacionria emite um conjunto de ondas eletromagnticas, estas podero ser captadas pela sua antena parablica , uma vez que o feixe de raios atingir a sua antena que tem formato parablico e ocorrer a reflexo desses raios exatamente para um nico lugar, denominado o foco da parbola, onde estar um aparelho de receptor que converter as ondas eletromagnticas em um sinal que a sua TV poder transformar em ondas que por sua vez significaro filmes, jornais e outros programas que voc assiste normalmente. radares Os radares usam as propriedades ticas da parbola, similares s citadas anteriormente para a antena parablica e para os faris. lanamentos de projteis

9.2 Clculo das razes

So os valores de x para qual a funo vale zero, ou seja so os valores de x em que a parbola "corta" o eixo das abcissas (ou eixo x). Observe a figura a seguir:

Para calcular as razes desta funo do segundo grau, utilizamos frmula de Bhaskara:

Onde cada letra desta frmula representa os coeficientes da funo do segundo grau que queremos resolver. Basta substituir e achar os valores. Observe o seguinte exemplo

f(x) = 2x2 6x - 20Neste exemplo temos os coeficientes, a=2, b= -6 e c= -20 (Muita ateno para os sinais)Agora substituindo na frmula de Bhaskara: = = = Agora chegamos no momento crucial do clculo das razes.

Exerccios

Calcule as razes das funes abaixo: a) g(x) = x2 -1x -132b) h(x) = 10x2 -29x +10c) f(x) = x2 + 13x -168

d) q(x) = 5x2 + 2x -16e) q(x) = x2 -49

9.3 Construo do Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2 grau, y = ax2 + bx + c, com , uma curva chamada parbola.

Exemplo:

Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x: Primeiro calculamos as razes da funo , em seguida atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.xy

-3

6

-2

2

-1

0

0

0

1

2

2

6

9.4 Estudo dos coeficientes9.4.1 Coeficiente a

O coeficiente "a" desempenha no grfico a propriedade de concavidade da parbola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parbola ter concavidade para cima (boca sorridente) e se este fosse negativo (a0)e quando for negativo ( 0 Duas Razes REAIS Com o discriminante positivo as razes so REAIS, ento existem dois pontos em que o grfico "corta" o eixo X. O grfico pode ser destes dois tipos:

ou Note que, nos dois exemplos, h dois pontos de "corte".

= 0 Duas Razes Reais e IDNTICAS Com o =0 teremos duas razes idnticas. Neste caso o grfico, a parbola ir apenas "tocar" no eixo X, no atravessando para o outro lado.

Veja os desenhos abaixo:

ou

BASE

EXPOENTE OU POTNCIA

Bases Iguais

Bases Iguais

Expoentes Iguais

Expoentes Iguais

Expoente 2 pertence a base 4

Expoente 3 pertence a base 42

radicando

radical

Equivale a um

simplificando

Somando termos semelhantes

Multiplicando

usando a

distributiva

reescrevendo

2x

3y

note que igual ao segundo termo de 4x2 12xy +9y2

2 . 2x.3y = 12xy

Sinal positivo

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Sinal negativo

4x2 12xy + 9y2 = (2x 3y)2

xy= f(x)= x + 1-2-1-10011223

xy=f(x)=-x+1-23-1201102-1

a0

+

-

x

x

y

M

s

b

hipotenusa

A

c

Cateto oposto a

C

a

Cateto adjacente a

B

A

s

B

y

QUOTE A

x

QUOTE A

QUOTE A

QUOTE A

C

A

s

B

y

QUOTE A

x

QUOTE A

QUOTE A

QUOTE A

Considerando o tringulo ABC formado pelas coordenadas dos pontos A e B

450

y

s

x

O

1250

y

s

x

O

900

y

s

x

O

y

s

x

O

Observe:

coeficiente angular negativo funo decrescente

+

3

-

Observe:

coeficiente angular positivo funo crescente

g(x) = 5 x

fazendo o estudo de sinal

calculando a raiz

5 x = 0 ( x = 5

Traando o esboo

5

+

-

f(x) = 5x 10

fazendo o estudo de sinal

calculando a raiz

5x 10 = 0 ( x = 2

Traando o esboo

2

+

-

2

5

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

- -

- -

- -

- -

S = f(x) . g(x)

g(x)

f(x)

A inequao dada

(5x 10)( 5 x) > 0

Como a desigualdade para valores positivos ( > 0), observando a soluo podemos afirmar que:

S = { x R / 2 < x < 5 }

Quando se lana um objeto no espao (dardo, pedra, tiro de canho) visando alcanar a maior distncia possvel tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto aproximadamente uma parbola, se considerarmos que a resistncia do ar no existe ou pequena. Sob estas circunstncias o ngulo de maior alcance horizontal de 45 graus.

x2

x1

x

y

Pontos x1 e x2 so as razes.

Observe que so os pontos em que a curva corta o eixo x

Portanto as duas razes da funo f(x) = 2x2 6x - 20 so:

5 e -2.

Neste caso, o "b" negativo (b 0razes REAIS;

< 0razes complexas NO REAIS.

12

_1392919554.unknown

_1392919558.unknown

_1392919560.unknown

_1392919562.unknown

_1392919563.unknown

_1392919561.unknown

_1392919559.unknown

_1392919556.unknown

_1392919557.unknown

_1392919555.unknown

_1392919552.unknown

_1392919553.unknown

_1392919551.unknown