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Fundamentos da Matemática Elementar I Flávia Cristina Figueiredo Coura Judith de Paula Araújo José do Carmo de Toledo MATEMÁTICA Graduação

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Fundamentos da Matemática

Elementar IFlávia Cristina Figueiredo Coura

Judith de Paula AraújoJosé do Carmo de Toledo

MATEMÁTICAGraduação

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Flávia Cristina Figueiredo CouraJosé do Carmo Toledo Judith de Paula Araújo

Fundamentos da Matemática Elementar I

2011

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C858f Coura, Flávia Cristina Figueiredo Fundamentos da matemática elementar I / Flávia Cristina Figueiredo Coura ; Judith de Paula Araújo ; José do Carmo de Toledo . – São João del-Rei, MG : UFSJ, 2011. 163p.

Graduação em Matemática.

1. Matemática I. Araújo, Judith de Paula II. Toledo, José do Carmo III. Título.

CDU: 510.2

Reitor Helvécio Luiz Reis

Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio Gonçalves

Comissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos Flávia Cristina Figueiredo Coura Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva José do Carmo Toledo José Luiz de Oliveira Leonardo Cristian Rocha Maria Amélia Cesari Quaglia Maria do Carmo Santos Neta Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo Maria Rita Rocha do Carmo (Presidenta) Marise Maria Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Terezinha Lombello Ferreira

Edição Núcleo de Educação a Distância Comissão Editorial - NEAD-UFSJ

Capa Eduardo Henrique de Oliveira Gaio

Diagramação Luciano Alexandre Pinto

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SUMÁRIO

PRA COMEÇO DE CONVERSA.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05

UNIDADE 1 – TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE 2 – NÚMEROS COMPLEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

UNIDADE 3 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

PARA FINAL DE CONVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

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PARA COMEÇO DE CONVERSA...

Prezado(a) aluno(a): É com alegria que estamos iniciando o estudo da disciplina Fundamentos da Matemática Elementar I, do curso de Licenciatura em Matemática, na modalidade a distância da UFSJ. É muito bom estar com você nesta caminhada. Vamos aproveitá-la da melhor forma possível, a fim de que você possa enriquecer seus conhecimentos, revisando alguns conceitos e conhecendo outros. Embora você já tenha, de algum modo, estudado a maioria dos conceitos que serão trabalhados nesta disciplina, certamente, a maneira como os verá será diferente. Por se tratar de um texto direcionado ao futuro professor de Matemática, consideramos ser imprescindível apresentar os conteúdos da trigonometria, dos números complexos e das equações polinomiais com o rigor que é próprio dos conteúdos matemáticos. Os conteúdos que abordaremos, nesta disciplina, são distribuídos em três unidades. O tempo que você terá para cursar esta disciplina será de 60 dias e você deverá estudar os seguintes tópicos:

Funções trigonométricas. Identidades fundamentais.

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unidade Equações trigonométricas Representações algébrica e geométrica dos números complexos. Equações trigonométricas. Polinômios. Equações polinomiais de grau 1, 2, 3 e n. Propriedades relacionadas às equações polinomiais.

Atenção! Organize-se e procure se dedicar, da melhor forma possível, ao estudo desta disciplina. É muito importante, em cada unidade, você realizar as tarefas no tempo estipulado para isso. Se você tiver dificuldade para tal, procure trocar ideias com colegas que estão cursando a disciplina, com o tutor presencial, com o tutor a distância ou com o professor responsável.

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unidade 1

UNIDADE 1

TRIGONOMETRIA

Objetivos

Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões de semelhança e as relações entre elas;

Resolver problemas que envolvam as razões trigonométricas: seno, cosseno e tangente;

Reconhecer no círculo trigonométrico a variação de sinais, crescimento e decrescimento das funções seno, cosseno e tangente;

Identificar o gráfico das funções seno, cosseno e tangente; Resolver problemas que envolvam a Lei dos senos; Resolver problemas que envolvam a Lei dos cossenos; Demonstrar identidades trigonométricas.

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unidade 6

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TRIGONOMETRIA

Na Unidade 1, estudamos conceitos e resultados correspondentes à medição de ângulos que são importantes para o estudo da Trigonometria que, segundo Carvalho (2005), quer dizer medida dos ângulos de um triângulo e é uma palavra que herdamos do matemático Bartolomeu Pitisco (1561-1613). Nesta unidade, focalizaremos os conceitos e propriedades da Trigonometria, começando pelos ângulos agudos no triângulo retângulo até a generalização para ângulos quaisquer do ciclo trigonométrico. Estudaremos, ainda, a Lei dos Senos, muito útil para estabelecer relação entre as medidas dos lados de um triângulo e os valores dos senos de ângulos e a Lei dos Cossenos, da qual temos o Teorema de Pitágoras como caso particular. Concluímos a unidade, estudando algumas identidades trigonométricas. Iniciamos com o resultado, a seguir. Iniciamos este texto com a definição de ângulo – tal como enunciada na Unidade 1 – como a figura formada por duas semirretas que têm mesma origem O . Essas semirretas são chamadas de lados do ângulo, e a origem é chamada de vértice do

ângulo. Já sabemos, também da Unidade 1, que qualquer ângulo pode ser expresso por sua medida em graus. Essa informação é importante para estudarmos as funções

trigonométricas do ângulo agudo.

Consideremos, então, o ângulo 1ˆAOA , 0º < τ < 90º e sejam 1AA , 1BB e 1CC

perpendiculares à semirreta 1OC (FIG. 5.1). Podemos afirmar que os triângulos 1AOA ,

1BOB e 1COC são semelhantes por terem ângulos correspondentes congruentes (Caso

ângulo-ângulo-ângulo).

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unidade 1

unidade 6

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TRIGONOMETRIA

Na Unidade 1, estudamos conceitos e resultados correspondentes à medição de ângulos que são importantes para o estudo da Trigonometria que, segundo Carvalho (2005), quer dizer medida dos ângulos de um triângulo e é uma palavra que herdamos do matemático Bartolomeu Pitisco (1561-1613). Nesta unidade, focalizaremos os conceitos e propriedades da Trigonometria, começando pelos ângulos agudos no triângulo retângulo até a generalização para ângulos quaisquer do ciclo trigonométrico. Estudaremos, ainda, a Lei dos Senos, muito útil para estabelecer relação entre as medidas dos lados de um triângulo e os valores dos senos de ângulos e a Lei dos Cossenos, da qual temos o Teorema de Pitágoras como caso particular. Concluímos a unidade, estudando algumas identidades trigonométricas. Iniciamos com o resultado, a seguir. Iniciamos este texto com a definição de ângulo – tal como enunciada na Unidade 1 – como a figura formada por duas semirretas que têm mesma origem O . Essas semirretas são chamadas de lados do ângulo, e a origem é chamada de vértice do

ângulo. Já sabemos, também da Unidade 1, que qualquer ângulo pode ser expresso por sua medida em graus. Essa informação é importante para estudarmos as funções

trigonométricas do ângulo agudo.

Consideremos, então, o ângulo 1ˆAOA , 0º < τ < 90º e sejam 1AA , 1BB e 1CC

perpendiculares à semirreta 1OC (FIG. 5.1). Podemos afirmar que os triângulos 1AOA ,

1BOB e 1COC são semelhantes por terem ângulos correspondentes congruentes (Caso

ângulo-ângulo-ângulo).

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FIG. 6.1

Podemos, portanto, estabelecer as seguintes igualdades:

OCCC

OBBB

OAAA 111

(6.1)

OCOC

OBOB

OAOA 111

(6.2)

1

1

1

1

1

1

OCCC

OBBB

OAAA

(6.3)

Como podemos observar, essas relações dependem apenas do ângulo τ e não das

medidas dos segmentos envolvidos. Esse fato é muito importante – e por muito tempo foi muito útil – pelo fato de podermos utilizar triângulos pequenos, cujos lados temos acesso para medir, para calcularmos as medidas dos lados de um triângulo maior, cuja medida dos lados seja operacionalmente muito difícil, ou de um triângulo ao qual não temos acesso aos lados para realizar a medida. Um exemplo dessa utilidade é o cálculo do raio da Terra, realizado por Eratóstenes no século III a.C., usualmente relatado nos livros didáticos de Matemática. As relações (6.1), (6.2) e (6.3) definem, respectivamente, as funções seno, cosseno e tangente do ângulo agudo τ. Como os triângulos representados na FIGURA 6.1 são retângulos, podemos chamar qualquer um dos lados opostos aos ângulos retos de hipotenusa, e aos outros dois lados, de catetos. Sendo assim, podemos reescrever as relações anteriores da seguinte forma:

unidade 6

123

hipotenusaaopostocatetosen (6.1)

hipotenusaaadjacentecateto cos (6.2)

aadjacentecateto

aopostocatetotg (6.3)

Vamos utilizar essas relações para expressar seno, cosseno e tangente do ângulo

agudo C

do ΔABC (FIG. 6.2), retângulo em A, em função das medidas dos lados.

FIG. 6.2

acCsen

abC

cos

bcCtg

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unidade 1unidade 6

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hipotenusaaopostocatetosen (6.1)

hipotenusaaadjacentecateto cos (6.2)

aadjacentecateto

aopostocatetotg (6.3)

Vamos utilizar essas relações para expressar seno, cosseno e tangente do ângulo

agudo C

do ΔABC (FIG. 6.2), retângulo em A, em função das medidas dos lados.

FIG. 6.2

acCsen

abC

cos

bcCtg

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Usando essas igualdades podemos demonstrar algumas relações trigonométricas importantes, tais como:

1cos22 CCsen

(6.4) e

CCsenCtg

cos (6.5)

Para demonstrar (6.4), chamada de relação fundamental, usaremos o Teorema de Pitágoras )( 222 acb , de fato:

1cos 2

2

2

222222

aa

abc

ab

acCCsen

e

Ctgbc

ab

ac

CCsen

cos

Proposição 6.1

Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então, cossen (o cosseno

de um ângulo é igual ao seno do seu complemento) e tgtg 1 .

Demonstração

No ΔABC (FIG. 6.2), temos que B e C são ângulos complementares e, aplicando as relações (6.1), (6.2) e (6.3) ao ΔABC (FIG. 6.2), temos

CabBsen ˆcosˆ

e

Ctgbcc

bBtg ˆ11ˆ

unidade 6

125

Com esses resultados, conseguimos encontrar os valores das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos valores das funções trigonométricas do seu complemento.

ATENÇÃO Seno, cosseno e tangente também são chamados razões trigonométricas por serem razões entre números que expressam as medidas dos lados dos triângulos. Como são razões entre grandezas de mesma espécie, não vêm acompanhados de unidade. Contudo, no cálculo desses números, as medidas dos lados precisam estar na mesma unidade de medida.

Proposição 6.2

a) Se ºº 450 então cos..22 sensen

b) Se ºº 900 então 2cos1

2

sen .

Exercícios 6.3

1) Demonstre a Proposição 6.2.

Sugestão: Utilize um triângulo isósceles ABC, com 2ˆ A , cujos lados congruentes AB e AC medem 1, traçando a altura relativa ao lado BC, que

também é bissetriz do ângulo A e a altura relativa ao lado AC. Em seguida, calcule a área do triângulo ABC.

2) Calcule as funções trigonométricas dos ângulos º18 , º30 , º45 , º60 .

Sugestão para o cálculo relativo ao ângulo de 18º: Considere um triângulo ABC,

com 1 ACAB , 72,36º CBA

. Em seguida, trace a bissetriz CD do ângulo

C

.

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unidade 1unidade 6

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Com esses resultados, conseguimos encontrar os valores das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos valores das funções trigonométricas do seu complemento.

ATENÇÃO Seno, cosseno e tangente também são chamados razões trigonométricas por serem razões entre números que expressam as medidas dos lados dos triângulos. Como são razões entre grandezas de mesma espécie, não vêm acompanhados de unidade. Contudo, no cálculo desses números, as medidas dos lados precisam estar na mesma unidade de medida.

Proposição 6.2

a) Se ºº 450 então cos..22 sensen

b) Se ºº 900 então 2cos1

2

sen .

Exercícios 6.3

1) Demonstre a Proposição 6.2.

Sugestão: Utilize um triângulo isósceles ABC, com 2ˆ A , cujos lados congruentes AB e AC medem 1, traçando a altura relativa ao lado BC, que

também é bissetriz do ângulo A e a altura relativa ao lado AC. Em seguida, calcule a área do triângulo ABC.

2) Calcule as funções trigonométricas dos ângulos º18 , º30 , º45 , º60 .

Sugestão para o cálculo relativo ao ângulo de 18º: Considere um triângulo ABC,

com 1 ACAB , 72,36º CBA

. Em seguida, trace a bissetriz CD do ângulo

C

.

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Até aqui, utilizamos o grau como unidade de medida para se medir ângulos. Em vários textos, é comum expressões como arco de 60°. De acordo com Carmo, Morgado e Wagner (2005), devemos entender essa expressão como arco que subentende um

ângulo central de 60°, como o que está representado pelo arco DE, na FIGURA 6.3.

FIG. 6.3

A seguir, introduziremos a unidade de medida de um ângulo a partir da medida do arco que o determina, que é a medida do ângulo em radianos. Inicialmente, como estudamos na Unidade 5, consideraremos que todo círculo de raio R tem um comprimento C, que é calculado pela expressão 2πR. Para tratarmos da medida do arco (em radianos) determinado por um ângulo central, utilizaremos dois resultados, que consideramos sem prova. São eles: (1) arcos de

círculos que subentendem um mesmo ângulo central são semelhantes e (2) a razão de

semelhança é a razão entre os raios desses círculos (LIMA, 1991) Para utilizarmos esses resultados (FIG. 6.3), inicialmente, designaremos s para representar o comprimento do arco DE contido no círculo de centro O cuja medida do raio denotaremos por R. Consideremos, então, os pontos D’ e E’, pertencentes às semirretas OD e OE, que determinam o arco D’E’, de comprimento s’ contido em um círculo de centro O e de raio medindo R’. Como DE e D’E’ são arcos determinados pelo

unidade 6

127

mesmo ângulo central – 60'' EODEOD

- podemos usar (1) e (2). Desse modo, temos

'' RR

ss

ou seja, RsRs '.'.

ou ainda,

''

Rs

Rs

Essa mesma propriedade que analisamos para o ângulo de 60º, vale para qualquer ângulo central. Em outras palavras, a medida do arco determinado por um ângulo

central é igual à razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um

círculo cujo centro é o vértice do ângulo e a medida do raio do círculo. Essa razão é constante e é a medida do ângulo central – ou do arco – em radianos.

Retomando o nosso exemplo do ângulo 60EOD

, temos que o comprimento do arco correspondente é dado por 62 Rs (lembre-se que 60° é a sexta parte de 360°).

Assim, a medida do arco determinado pelo ângulo central de 60° é dada, em radianos, por

RR

Rs 6260º

ou seja,

rad3

60º

Façamos o mesmo raciocínio para um semicírculo de raio R:

radRR

Rs

22180º

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mesmo ângulo central – 60'' EODEOD

- podemos usar (1) e (2). Desse modo, temos

'' RR

ss

ou seja, RsRs '.'.

ou ainda,

''

Rs

Rs

Essa mesma propriedade que analisamos para o ângulo de 60º, vale para qualquer ângulo central. Em outras palavras, a medida do arco determinado por um ângulo

central é igual à razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um

círculo cujo centro é o vértice do ângulo e a medida do raio do círculo. Essa razão é constante e é a medida do ângulo central – ou do arco – em radianos.

Retomando o nosso exemplo do ângulo 60EOD

, temos que o comprimento do arco correspondente é dado por 62 Rs (lembre-se que 60° é a sexta parte de 360°).

Assim, a medida do arco determinado pelo ângulo central de 60° é dada, em radianos, por

RR

Rs 6260º

ou seja,

rad3

60º

Façamos o mesmo raciocínio para um semicírculo de raio R:

radRR

Rs

22180º

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Com esses exemplos foi possível verificar que a relação entre as medidas de um arco,

em radianos, e a do ângulo central que o determina, em graus, não depende do raio da

circunferência e, assim, não varia em circunferências de raios com medidas diferentes. Isso quer dizer que, por exemplo, que o ângulo central cuja medida é 60° determinará

sempre um arco de radianos3 . Assim, para qualquer círculo de raio R vale a relação

180° = π radianos

Assim, temos que

57...141592,3

1801801º

radiano

FIG. 6.4

Fonte: PESSOAL SERCOMTEL, 2010 Esse resultado nos permite identificar, em um círculo orientado (vide Definição 6.4), de

raio R=1, com uma origem definida, arcos e ângulos correspondentes.

unidade 6

129

Definição 6.4

O ciclo trigonométrico (C1) é um círculo orientado cujo sentido positivo é o anti-horário, de raio unitário, que tem como origem de todos os arcos um ponto A (FIG 6.5).

FIG. 6.5

Definição 6.5

Medida algébrica de um arco AB desse círculo é o comprimento desse arco, associado a um sinal positivo, se o sentido de A para B for anti-horário, e, negativo, em caso contrário. Essa medida será denotada por mAB. Assim, podemos afirmar que a medida algébrica do arco que representa uma volta

completa no ciclo trigonométrico é igual a 360° ou 2π rad.

A vantagem de trabalharmos no ciclo trigonométrico (C1) é que podemos representar quaisquer ângulos/arcos, incluindo aqueles das voltas negativas (-510° ou

4 , por exemplo) e os que são maiores que uma volta positiva (780° e 3π, entre

outros). Isso é possível porque, para qualquer arco de comprimento α, podemos associar um número inteiro k de voltas negativas ou positivas. Vamos tomar como exemplo o arco AB (FIG. 6.6).

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Definição 6.4

O ciclo trigonométrico (C1) é um círculo orientado cujo sentido positivo é o anti-horário, de raio unitário, que tem como origem de todos os arcos um ponto A (FIG 6.5).

FIG. 6.5

Definição 6.5

Medida algébrica de um arco AB desse círculo é o comprimento desse arco, associado a um sinal positivo, se o sentido de A para B for anti-horário, e, negativo, em caso contrário. Essa medida será denotada por mAB. Assim, podemos afirmar que a medida algébrica do arco que representa uma volta

completa no ciclo trigonométrico é igual a 360° ou 2π rad.

A vantagem de trabalharmos no ciclo trigonométrico (C1) é que podemos representar quaisquer ângulos/arcos, incluindo aqueles das voltas negativas (-510° ou

4 , por exemplo) e os que são maiores que uma volta positiva (780° e 3π, entre

outros). Isso é possível porque, para qualquer arco de comprimento α, podemos associar um número inteiro k de voltas negativas ou positivas. Vamos tomar como exemplo o arco AB (FIG. 6.6).

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FIG. 6.6

O arco AB determina em C1 o ponto B, tal que mAB = radianos3 . Agora, vamos

considerar alguns arcos cuja extremidade também é o ponto B, mas que não estão na primeira volta positiva (um arco α é da primeira volta positiva se 20 ).

O arco determinado pelo ângulo de 420° corresponde a uma volta completa no sentido positivo ( º3601 ) mais 60°. Assim, marcamos sua extremidade em C1,

na segunda volta positiva e podemos representá-lo por k23 . Nesse caso,

k=1. O arco determinado pelo ângulo de 1140° corresponde a três voltas completas

no sentido positivo ( º3603 ) mais 60°. Então, marcamos sua extremidade em

C1, na quarta volta positiva, e podemos representar esse arco por k23 , em

que k=3. O arco determinado pelo ângulo de –660° corresponde a duas voltas completas

no sentido negativo ( º3602 ) mais 60° (no sentido positivo) e também tem extremidade no ponto B. Então, marcamos sua extremidade em C1, na segunda

volta negativa, e podemos representar esse arco por k23 . Assim, temos k=

- 2.

unidade 6

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Resumindo, um arco qualquer cuja extremidade seja o ponto B (Fig. 6.6) pode ser representado pela expressão Zkk ,23 (Z representa o Conjunto dos números

inteiros) que é a expressão geral dos arcos côngruos a 3 .

Definição 6.6 A expressão geral de todos os arcos côngruos a x, tal que 20 x , é dada por

Zkkx ,2 .

Agora que sabemos como expressar qualquer ângulo ou arco, podemos associar qualquer número real x, que representa um arco de comprimento x a um ponto de C1, o que é imprescindível para estender a todos os ângulos/arcos as relações que estudamos para os ângulos agudos. Definição 6.7 Sejam R o Conjunto dos números reais e 1C o círculo trigonométrico da Definição 6.4. Definimos a função 1: CRE , tal que, para cada Rx associa o ponto E(x) sobre 1C , percorrido, a partir da origem A, um comprimento igual a x, no sentido positivo, se x>0, e no sentido negativo, se x<0. De acordo com a definição anterior, E(x) é o ponto de 1C atingido. Desse modo, o ponto P de 1C é a imagem da função E(x) do arco de comprimento x.

Definição 6.8

Ao associarmos ao ciclo trigonométrico (C1) um sistema de coordenadas cuja origem é o centro de C1 e sendo A(1,0) (FIG. 6.7), podemos definir

cos x = abscissa de P

sen x = ordenada de P

xsenxtgxcos

, se 0cos x

Na FIG. 6.7, podemos observar o ponto P determinado pelo arco cujo ângulo central é θ e por suas coordenadas P(cos θ, sen θ). Ainda é possível verificar que as definições de

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unidade 1unidade 6

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Resumindo, um arco qualquer cuja extremidade seja o ponto B (Fig. 6.6) pode ser representado pela expressão Zkk ,23 (Z representa o Conjunto dos números

inteiros) que é a expressão geral dos arcos côngruos a 3 .

Definição 6.6 A expressão geral de todos os arcos côngruos a x, tal que 20 x , é dada por

Zkkx ,2 .

Agora que sabemos como expressar qualquer ângulo ou arco, podemos associar qualquer número real x, que representa um arco de comprimento x a um ponto de C1, o que é imprescindível para estender a todos os ângulos/arcos as relações que estudamos para os ângulos agudos. Definição 6.7 Sejam R o Conjunto dos números reais e 1C o círculo trigonométrico da Definição 6.4. Definimos a função 1: CRE , tal que, para cada Rx associa o ponto E(x) sobre 1C , percorrido, a partir da origem A, um comprimento igual a x, no sentido positivo, se x>0, e no sentido negativo, se x<0. De acordo com a definição anterior, E(x) é o ponto de 1C atingido. Desse modo, o ponto P de 1C é a imagem da função E(x) do arco de comprimento x.

Definição 6.8

Ao associarmos ao ciclo trigonométrico (C1) um sistema de coordenadas cuja origem é o centro de C1 e sendo A(1,0) (FIG. 6.7), podemos definir

cos x = abscissa de P

sen x = ordenada de P

xsenxtgxcos

, se 0cos x

Na FIG. 6.7, podemos observar o ponto P determinado pelo arco cujo ângulo central é θ e por suas coordenadas P(cos θ, sen θ). Ainda é possível verificar que as definições de

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seno, cosseno e tangente coincidem com aquelas que estudamos anteriormente, no triângulo retângulo, para ângulos agudos.

FIG. 6.7

Da definição anterior decorre que cos 0 = 1 e que sen 0 =0 (quando P = A) e que

02

cos e 1

2

sen (quando é reto). Podemos observar, ainda, que a relação

fundamental (6.4) se mantém, pois como todo ponto P(cos θ, sen θ) está a uma distância 1 da origem, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que 1cos22 sen . Além disso, a tangente continua sendo calculada por (6.5), embora não seja definida

para Zkkx ,2

, já que, para esses arcos, o cosseno é igual a zero. Portanto, a

definição 6.8 – relativa a qualquer ângulo/arco – amplia as relações que já estudamos para os ângulos agudos. Retomando as funções trigonométricas, temos que para todo k inteiro e para todo x real

)()2( xsenkxsen e )cos()2cos( xkx , já que PxEkxE )()2( . Explicando

melhor, temos que o seno de todos os arcos cuja extremidade seja o P tem o mesmo valor, o que também se aplica aos cossenos. Com isso, podemos afirmar que as funções

unidade 6

133

seno e cosseno são periódicas de período 2π. Esse fato nos permite restringir o estudo dessas funções ao intervalo [0,2π], que corresponde ao estudo das coordenadas de um ponto que percorre o ciclo trigonométrico na primeira volta positiva. Outra consideração importante a respeito do seno e do cosseno se refere aos seus valores. Analisando a FIG. 6.8, e relembrando que o ciclo trigonométrico tem raio

unitário, podemos verificar que essas funções estão compreendidas no intervalo [-1,1] e assumem valores positivos ou negativos, dependendo do quadrante em que se encontra o ponto do qual são coordenadas. O seno – associado ao eixo das ordenadas, vertical - assume valores positivos, no 1º e no 2º quadrantes e, negativos, no 3º e no 4º. O cosseno – associado ao eixo das abscissas, horizontal – assume valores maiores que zero, no 1º e no 4º quadrantes, e menores que zero, quando o ponto está situado, no 2º ou no 3º quadrantes.

FIG. 6.8

Agora, vamos mostrar como determinar os valores das funções seno e cosseno, em qualquer quadrante, conhecidos seus valores no primeiro quadrante. Para tanto, consideraremos os casos em que a extremidade de um arco está no segundo, terceiro ou quarto quadrante.

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21

unidade 1unidade 6

133

seno e cosseno são periódicas de período 2π. Esse fato nos permite restringir o estudo dessas funções ao intervalo [0,2π], que corresponde ao estudo das coordenadas de um ponto que percorre o ciclo trigonométrico na primeira volta positiva. Outra consideração importante a respeito do seno e do cosseno se refere aos seus valores. Analisando a FIG. 6.8, e relembrando que o ciclo trigonométrico tem raio

unitário, podemos verificar que essas funções estão compreendidas no intervalo [-1,1] e assumem valores positivos ou negativos, dependendo do quadrante em que se encontra o ponto do qual são coordenadas. O seno – associado ao eixo das ordenadas, vertical - assume valores positivos, no 1º e no 2º quadrantes e, negativos, no 3º e no 4º. O cosseno – associado ao eixo das abscissas, horizontal – assume valores maiores que zero, no 1º e no 4º quadrantes, e menores que zero, quando o ponto está situado, no 2º ou no 3º quadrantes.

FIG. 6.8

Agora, vamos mostrar como determinar os valores das funções seno e cosseno, em qualquer quadrante, conhecidos seus valores no primeiro quadrante. Para tanto, consideraremos os casos em que a extremidade de um arco está no segundo, terceiro ou quarto quadrante.

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22134

FIG. 6.9

Considerando que o ponto P determina o arco AP que, por sua vez, está associado a um ângulo central, que chamaremos de α, temos que P(cos α, sen α). Por semelhança de triângulos, temos que

P2, imagem do arco AP2, está relacionado ao ângulo (180° α).

P3, imagem do arco AP3, está relacionado ao ângulo (180° + α).

P4, imagem do arco AP4, está relacionado ao ângulo (360° α).

Com isso, ainda usando a semelhança de triângulos e lembrando que P(cos α, sen α), temos que,

no 2º quadrante,

sen (180°° α) = sen (α ) e cos (180°° α) = cos(α), então, P2 (( cos α, sen α).

No 3º quadrante,

sen (180°+α) = sen(α ) e cos (180°+α)= cos(α), então, P3 (( cos α, sen α).

No 4º quadrante,

sen (360°° α) = sen(α ) e cos (360°° α)=cos(α), então, P4 (cos α, sen α).

unidade 6

135

Usando esse processo, conseguimos verificar que os valores absolutos das funções

trigonométricas seno e cosseno podem ser determinados pelos valores dessas funções, no

primeiro quadrante.

Os gráficos das funções seno e cosseno no intervalo [0,2π] estão representados nas FIG. 6.10 e 6.11, respectivamente.

x

y

FIG. 6.10

x

y

FIG. 6.11

Como já sabemos que as duas funções são periódicas de período 2π, podemos, então, representar os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, as representações de parte dos conjuntos de pontos (x, sen x) e (x, cos x), como se pode ver nas FIG. 6.12 e 6.13, respectivamente.

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unidade 1unidade 6

135

Usando esse processo, conseguimos verificar que os valores absolutos das funções

trigonométricas seno e cosseno podem ser determinados pelos valores dessas funções, no

primeiro quadrante.

Os gráficos das funções seno e cosseno no intervalo [0,2π] estão representados nas FIG. 6.10 e 6.11, respectivamente.

x

y

FIG. 6.10

x

y

FIG. 6.11

Como já sabemos que as duas funções são periódicas de período 2π, podemos, então, representar os gráficos das funções seno e cosseno, isto é, as representações de parte dos conjuntos de pontos (x, sen x) e (x, cos x), como se pode ver nas FIG. 6.12 e 6.13, respectivamente.

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24136

x

y

FIG. 6.12

x

y

FIG. 6.13

As duas curvas (FIG. 6.12 e 6.13) são idênticas e são chamadas de senoide. O gráfico da

função cosseno é apenas o resultado da translação da senoide de 2 para a esquerda

em relação ao gráfico da função seno.

Já definimos a função tangente por xsenxtgx cos para 2 kx , ou seja, a

tangente é uma função que não está definida apenas quando 0cos x . A exemplo do que foi feito em relação ao seno e ao cosseno, usando a FIG. 6.14, mostraremos a tangente como medida algébrica de um segmento (tg x = mAT).

unidade 6

137

FIG. 6.14

Da relação (6.5), temos que xsenxtgx cos . Utilizando os dados da figura anterior,

temos:

"'

cos MMMM

xsenxtgx

Como os triângulos OMM’ e OTA são semelhantes (pelo Caso AAA), podemos considerar que:

ATmATOAAT

MMMM

xsenxtgx

1"'

cos

As demonstrações para ângulos dos outros quadrantes seguem o mesmo raciocínio e ficam como exercício.

A função tangente também tem um gráfico, que é o conjunto dos pontos (x, tg x), para todo x real e diferente de k2 , em que k é um número inteiro. Os arcos da forma

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25

unidade 1unidade 6

137

FIG. 6.14

Da relação (6.5), temos que xsenxtgx cos . Utilizando os dados da figura anterior,

temos:

"'

cos MMMM

xsenxtgx

Como os triângulos OMM’ e OTA são semelhantes (pelo Caso AAA), podemos considerar que:

ATmATOAAT

MMMM

xsenxtgx

1"'

cos

As demonstrações para ângulos dos outros quadrantes seguem o mesmo raciocínio e ficam como exercício.

A função tangente também tem um gráfico, que é o conjunto dos pontos (x, tg x), para todo x real e diferente de k2 , em que k é um número inteiro. Os arcos da forma

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26138

k2 são aqueles cuja extremidade estão em pontos de abscissa (cosseno) zero. A

FIG. 6.15 representa uma parte do gráfico da função tangente.

x

y

FIG. 6.15

Analisando a FIG. 6.15, podemos observar que os gráficos nos intervalos [2,2] e

[23,2] são iguais. Isso acontece porque a função tangente é periódica com período π, o que nos permite afirmar que

tg (x)= tg (x+π) .

Ainda focalizando o gráfico anterior, podemos observar que a função torna-se maior tanto quanto se aproxima de 2 , por valores menores que 2 e fica menor à medida

que se aproxima de 2 , por valores maiores que 2 , sem, contudo, ter um ponto

definido, quando 2x , arco para o qual a função tangente não está definida. A reta

2x é denominada assíntota do gráfico da função. Essas considerações se aplicam a

qualquer ponto do tipo kx 2 , em que k é um número inteiro.

A partir das funções seno, cosseno e tangente, podemos definir outras funções que indicamos, a seguir, e que, em algumas referências, são denominadas como suas recíprocas:

unidade 6

139

senx1

xcos1

tgx1

Definição 6.9

As funções recíprocas das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, respectivamente, são cossecante, secante e cotangente e são definidas por:

Cossecante de x

senxecx 1cos , se 0senx

Secante de x

xx

cos1sec , se 0cos x

Cotangente de x

tgxctgx 1

, se 0tgx

Os gráficos das funções cossecante, secante e cotangente podem ser obtidos, a partir dos gráficos das três primeiras funções que estudamos, conforme se pode ver nas FIG. 6.16, 6.17 e 6.18, respectivamente.

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unidade 1unidade 6

139

senx1

xcos1

tgx1

Definição 6.9

As funções recíprocas das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, respectivamente, são cossecante, secante e cotangente e são definidas por:

Cossecante de x

senxecx 1cos , se 0senx

Secante de x

xx

cos1sec , se 0cos x

Cotangente de x

tgxctgx 1

, se 0tgx

Os gráficos das funções cossecante, secante e cotangente podem ser obtidos, a partir dos gráficos das três primeiras funções que estudamos, conforme se pode ver nas FIG. 6.16, 6.17 e 6.18, respectivamente.

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28140

x

y

FIG. 6.16

x

y

FIG. 6.17

x

yy = cos(x)/sin(x)

FIG. 6.18

unidade 6

141

EXERCÍCIOS 6.10

1) A que quadrantes pode pertencer θ, se:

a)81

sen

b)22cos

c) 27tg

2) Calcule: a) sen 315° b) cos 240° c) tg 150°

3) Para que valores de θ, em radianos e em graus, da primeira volta positiva, se tem:

a)23

sen

b)22cos

c) 1tg

4) Calcule: a) 1500tg b) )1035cos(

c)2

7sen

d)

49tg

5) Determine a menor solução positiva da equação 03

5

xsen .

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29

unidade 1unidade 6

141

EXERCÍCIOS 6.10

1) A que quadrantes pode pertencer θ, se:

a)81

sen

b)22cos

c) 27tg

2) Calcule: a) sen 315° b) cos 240° c) tg 150°

3) Para que valores de θ, em radianos e em graus, da primeira volta positiva, se tem:

a)23

sen

b)22cos

c) 1tg

4) Calcule: a) 1500tg b) )1035cos(

c)2

7sen

d)

49tg

5) Determine a menor solução positiva da equação 03

5

xsen .

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30142

6) Encontre o conjunto dos números reais x, tais que:

a) 02

3cos

x

b) 02

3

xsen

c) 02

3

xtg

7) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais

21

senx .

8) Sabendo que a mAP = x, verifique que ctg x = BD, sec x = OS e que cossec x = OC. Para

isso, observe as FIG. 6.19, 6.20 e 6.21, respectivamente, sabendo que d é paralelo a reta AA’.

FIG. 6.19

FIG. 6.20

unidade 6

143

FIG. 6.21

9) Determine o Conjunto Imagem das funções cotangente, secante e cossecante.

10)Prove as relações

(a)

Zk

kx

kxtgxctgx ,

2,0

,1

(b) xtgx 22 1sec

(c) xctgx 22 1seccos

SUGESTÃO: Utilize a FIG. 6.22.

FIG. 6.22

Fonte: PT. WIKIBOOKS .ORG, 2010

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unidade 1unidade 6

143

FIG. 6.21

9) Determine o Conjunto Imagem das funções cotangente, secante e cossecante.

10)Prove as relações

(a)

Zk

kx

kxtgxctgx ,

2,0

,1

(b) xtgx 22 1sec

(c) xctgx 22 1seccos

SUGESTÃO: Utilize a FIG. 6.22.

FIG. 6.22

Fonte: PT. WIKIBOOKS .ORG, 2010

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32144

11) Consideremos duas funções f(x) e g(x), de domínios Df e Dg. A sentença f(x) = g(x) é chamada uma identidade, se for verdadeira para todo x que pertença aos dois domínios. Assim, a identidade trigonométrica é uma igualdade que é válida

para quaisquer elementos pertencentes ao domínio de cada uma das funções

envolvidas. Desse modo, verificar se uma igualdade é uma identidade trigonométrica consiste em provar que a relação é verdadeira para qualquer elemento que pertença ao domínio de cada uma das funções que a compõe. Existem inúmeros métodos que podemos utilizar para verificar se uma igualdade é uma identidade, dentre os quais destacamos: - Partir de um dos membros para chegar ao outro. - Transformar dois membros separadamente em uma mesma expressão. - Estabelecer a diferença entre os dois membros e provar que essa diferença é igual a zero. - Partir de uma identidade conhecida e chegar à identidade desejada. Para exercitar, demonstre as identidades, a seguir. a) 12)cos)(cos( 2 xsenxsenxxsenx

b) xsenx

xx

senx seccos2cos1cos1

c) 1sec

seccos1

222

x

xtgxx

xsen

d) xxxxsen 6426 coscos3cos31

12)Demonstre as seguintes identidades: a) senbsenababa .cos.cos)cos( b) senbsenababa .cos.cos)cos( c) asenbbsenabasen cos.cos.)( d) asenbbsenabasen coscos.)(

e)tgbtgatgbtgabatg.1

)(

unidade 6

145

f)tgbtgatgbtgabatg.1

)(

Eis a demonstração do item (a). Consideremos os pontos P(cos a, sen a) e Q (cos b, sen b). Calculando a distância d entre P e Q, temos:

221

221 )()( yyxxd

Fazendo o cálculo com as coordenadas de P e Q, temos:

222 )()cos(cos senbsenabad

Desenvolvendo os quadrados e usando 1cos22 xxsen , obtemos,

).cos.(cos222 senbsenabad

Mudando o sistema de ordenadas, fazendo uma rotação dos eixos de um ângulo b em torno da origem, temos no novo sistema, que Q(1,0) e P(cos(a-b),sen(a-b)). Calculando novamente a distância entre os pontos P e Q, temos

222 ))(0())cos(1( basenbad ,

ou seja,

)cos(222 bad

Igualando os valores de 2d , temos:

senbsenababa .cos.cos)cos(

como queríamos verificar!

Até este ponto do texto, nossos estudos focalizaram o triângulo retângulo a partir do qual calculamos as funções trigonométricas de um ângulo. Agora, estudaremos relações envolvendo senos e cossenos e que são válidas para quaisquer triângulos, retângulos ou não.

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unidade 1unidade 6

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f)tgbtgatgbtgabatg.1

)(

Eis a demonstração do item (a). Consideremos os pontos P(cos a, sen a) e Q (cos b, sen b). Calculando a distância d entre P e Q, temos:

221

221 )()( yyxxd

Fazendo o cálculo com as coordenadas de P e Q, temos:

222 )()cos(cos senbsenabad

Desenvolvendo os quadrados e usando 1cos22 xxsen , obtemos,

).cos.(cos222 senbsenabad

Mudando o sistema de ordenadas, fazendo uma rotação dos eixos de um ângulo b em torno da origem, temos no novo sistema, que Q(1,0) e P(cos(a-b),sen(a-b)). Calculando novamente a distância entre os pontos P e Q, temos

222 ))(0())cos(1( basenbad ,

ou seja,

)cos(222 bad

Igualando os valores de 2d , temos:

senbsenababa .cos.cos)cos(

como queríamos verificar!

Até este ponto do texto, nossos estudos focalizaram o triângulo retângulo a partir do qual calculamos as funções trigonométricas de um ângulo. Agora, estudaremos relações envolvendo senos e cossenos e que são válidas para quaisquer triângulos, retângulos ou não.

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34146

Proposição 6.11

Em um triângulo qualquer com lados medido a, b e c, respectivamente opostos aos ângulos CBA

,, são válidas as igualdades

Csenc

Bsenb

Asena

Esse resultado é conhecido como Lei dos senos e pode ser enunciado da seguinte forma: em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos

ângulos opostos.

Demonstração

Para esta demonstração precisaremos utilizar o seguinte resultado, em relação à área S

de um triângulo ABC:

AsencbS

..21

(3),

em que b e c são as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo que formam o ângulo A. Começaremos demonstrando que a relação enunciada é válida para qualquer triângulo (acutângulo, retângulo ou obtusângulo). Traçando a altura CH do triângulo ABC, temos:

FIG. 6.23

Caso 1: A

é um ângulo agudo (FIG. 6.23), temos que, no triângulo ACH,

bhAsen

, então, Asenbh

. (a)

unidade 6

147

Retomando ABC, já sabemos que

chS21

.

Utilizando (a), substituiremos h por b.senA, assim:

AsenbcS

..21

.

FIG. 6.24

Caso 2: Quando A

é um ângulo obtuso (FIG. 6.24), temos que, no triângulo ACH,

bhDsenAsenAsen

)(

então, )(.. AsenbDsenbh

Desse modo,

Absenh

Usando raciocínio análogo ao anterior, teremos que

AsencbS

..21

Caso 3: Para o caso em que A

é um ângulo reto )190( º senAsen

, teremos que

AsenacacacS

..211..

21..

21

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unidade 1unidade 6

147

Retomando ABC, já sabemos que

chS21

.

Utilizando (a), substituiremos h por b.senA, assim:

AsenbcS

..21

.

FIG. 6.24

Caso 2: Quando A

é um ângulo obtuso (FIG. 6.24), temos que, no triângulo ACH,

bhDsenAsenAsen

)(

então, )(.. AsenbDsenbh

Desse modo,

Absenh

Usando raciocínio análogo ao anterior, teremos que

AsencbS

..21

Caso 3: Para o caso em que A

é um ângulo reto )190( º senAsen

, teremos que

AsenacacacS

..211..

21..

21

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36148

Desse modo, provamos a relação (3) para qualquer triângulo. Para demonstrar a Lei

dos senos, multiplicamos a relação (3) por a (medida do lado oposto ao ângulo Â), obtendo,

AsenacbaS

...21

Então,

Sabc

senÂa

2

Seguindo o mesmo raciocínio, mas em relação aos outros dois ângulos do triângulo –

B

e C

– temos, também para a área do triângulo ABC, as expressões

BcsenaS

.21

e CbsenaS

.21

em que se conclui que,

Sabc

Bsenb

2 e

Sabc

Csenc

2

Portanto,

Csenc

Bsenb

senÂa

Esse resultado é importante para, por exemplo, resolvermos o problema de calcular distâncias inacessíveis. Essa relação nos informa, ainda, que o triângulo ABC é

semelhante ao triângulo cujos lados medem Asen

, Bsen ˆ , Csen ˆ . Exercícios 6.12

1) Num triângulo ABC são dados A = 40°, B = 35° e AB = 100m. Calcule o ângulo C e as medidas dos lados AC e BC. Dados: sen 40° = 0,643; sen 35° = 0,574 e sen 75° = 0,966.

2) Deseja-se determinar a distância entre os pontos A e B, entre os quais há um lago. Para isso, coloca-se uma marca no ponto C, a 50 m de A, e determina-se que

unidade 6

149

º44BCA

e º102BAC

. Calcule a distância de AB, sabendo que sen 34° = 0,559; sen 44° = 0,695 e sen 78° = 0,978.

Proposição 6.13

Em um triângulo qualquer de lados medindo a, b e c, respectivamente opostos aos

ângulos A , B e C do triângulo ABC, vale a igualdade

Abccba ˆcos2222 Esse resultado é conhecido como Lei dos cossenos e pode ser enunciado assim: em

todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados

das medidas dos outros lados, menos duas vezes o produto das medidas desses

lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Demonstração

Novamente utilizando a FIG. 6.23, analisemos o caso em que ABC é acutângulo.

FIG. 6.23

Tomando por referência o ângulo agudo A, queremos mostrar que

Abccba ˆcos2222

Como hCH e xAH , temos, no triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, que,

222 )( xcha (4).

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37

unidade 1unidade 6

149

º44BCA

e º102BAC

. Calcule a distância de AB, sabendo que sen 34° = 0,559; sen 44° = 0,695 e sen 78° = 0,978.

Proposição 6.13

Em um triângulo qualquer de lados medindo a, b e c, respectivamente opostos aos

ângulos A , B e C do triângulo ABC, vale a igualdade

Abccba ˆcos2222 Esse resultado é conhecido como Lei dos cossenos e pode ser enunciado assim: em

todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados

das medidas dos outros lados, menos duas vezes o produto das medidas desses

lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Demonstração

Novamente utilizando a FIG. 6.23, analisemos o caso em que ABC é acutângulo.

FIG. 6.23

Tomando por referência o ângulo agudo A, queremos mostrar que

Abccba ˆcos2222

Como hCH e xAH , temos, no triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, que,

222 )( xcha (4).

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38150

Já que no triângulo ACH, 222 xhb , então, 222 hxb . Substituindo essa igualdade em (4), temos que,

2222 )( xcxba ou

)2( 22222 xcxcxba , ou seja, 22222 2 xcxcxba , isto é,

cxcba 2222 (5).

Como, no triângulo ACH, temos que bxA ˆcos , então, Abx ˆcos. , que substituída na

igualdade (5) resulta em

Abccba ˆcos2222

Consideremos, agora, o caso em que A é um ângulo obtuso (FIG. 6.24).

FIG. 6.24

Nesse caso, pretendemos novamente demonstrar que

Abccba ˆcos2222

Novamente como hCH e xAH , temos, no triângulo BCH, pelo Teorema de Pitágoras, que,

222 )( xcha (6).

unidade 6

151

Já que no triângulo ACH, 222 xhb , então, 222 hxb . Substituindo essa igualdade em (6), temos que,

2222 )( xcxba ou

)2( 22222 xcxcxba , ou seja, 22222 2 xcxcxba , isto é,

22222 2 xcxcxba , ou seja,

cxcba 2222 (7).

No triângulo ACH, temos que

bxAD )ˆcos(ˆcos , então, )ˆcos(. Abx ,

Sabemos que )ˆcos(ˆcos AA , retomando (7), temos que

Abccba ˆcos2222

como nos propomos a demonstrar! Para o caso em que o ângulo é reto, o resultado acima é o Teorema de Pitágoras. A Lei

dos cossenos nos permite, por exemplo, calcular os ângulos de um triângulo por meio das medidas de seus lados. Exercícios 6.14

1) Dois lados de um triângulo medem 5 cm e 10 cm e formam ângulo de 110°. Calcule a medida do terceiro lado, sabendo que cos 70° = 0,34.

2) Determine o menor ângulo do triângulo cujos lados são AB = 3 cm, AC = 3 cm e

BC = 2 3 cm.

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39

unidade 1unidade 6

151

Já que no triângulo ACH, 222 xhb , então, 222 hxb . Substituindo essa igualdade em (6), temos que,

2222 )( xcxba ou

)2( 22222 xcxcxba , ou seja, 22222 2 xcxcxba , isto é,

22222 2 xcxcxba , ou seja,

cxcba 2222 (7).

No triângulo ACH, temos que

bxAD )ˆcos(ˆcos , então, )ˆcos(. Abx ,

Sabemos que )ˆcos(ˆcos AA , retomando (7), temos que

Abccba ˆcos2222

como nos propomos a demonstrar! Para o caso em que o ângulo é reto, o resultado acima é o Teorema de Pitágoras. A Lei

dos cossenos nos permite, por exemplo, calcular os ângulos de um triângulo por meio das medidas de seus lados. Exercícios 6.14

1) Dois lados de um triângulo medem 5 cm e 10 cm e formam ângulo de 110°. Calcule a medida do terceiro lado, sabendo que cos 70° = 0,34.

2) Determine o menor ângulo do triângulo cujos lados são AB = 3 cm, AC = 3 cm e

BC = 2 3 cm.

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unidade

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41

UNIDADE 2

NÚMEROS COMPLEXOS

Objetivos

Compreender a necessidade da ampliação do Conjunto dos números reais ( ) para o Conjunto dos números complexos ( ).

Compreender e utilizar as representações algébrica e geométrica de um número complexo.

Utilizar as operações com números complexos nas duas formas de representação. Encontrar o resultado da potenciação e da radiciação de números complexos e

compreender as respectivas interpretações geométricas.

unidade 2

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unidade 2

Nesta unidade, começamos o estudo dos números complexos, a partir de uma reflexão a respeito dos números, de suas características, de seus usos, para, então, apresentar um percurso histórico por meio do qual se fizeram necessários os números complexos. Em seguida, apresentamos o Conjunto dos números complexos e suas propriedades. Os complexos são ainda apresentados nas suas duas representações – algébrica e goemétrica -, para as quais se definem as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Para essas duas últimas operações, apresentamos ainda as respectivas representações geométricas.

CONCEITOS E CONTROVÉRSIAS

Sabemos que os números 1, 2, 3, 4, ..., n, ... – que formam o conjunto * dos números

naturais – surgiram a partir de situações concretas de contagem. Entretanto, ao se praticarem as operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os elementos de *, perceberam-se as limitações desse conjunto. Por exemplo: No conjunto *, a equação algébrica

x + 5 = 1 não possui solução.

Admitindo que cada elemento a de * possui um simétrico –a, isto é, um número que cumpre a condição –a + a = a + (–a) = 0

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pode-se falar, então, nos números simétricos aos números naturais, isto é, os números inteiros negativos. Os números naturais passam a ser chamados, assim, de números

inteiros positivos. Surge, assim, o chamado conjunto dos números inteiros relativos, que é a união do conjunto dos números inteiros positivos com o zero e com o conjunto dos números inteiros negativos. No estudo das “regras de sinal” para a multiplicação em , um fato se evidencia:

multiplicar por –1 significa “trocar o sinal” e, evidentemente, trocar o sinal duas vezes equivale a deixar como está.

Em termos gerais, dizemos que

multiplicar um número inteiro relativo por –a quer dizer multiplicar por (–1)a, ou seja, primeiro por a e, depois, por –1.

Resumindo:

multiplicar um número inteiro relativo por –a é o mesmo que multiplicar por a e, depois, trocar o sinal. Daí, resulta que (–a)(–b) = ab.

A partir desses fatos, as manipulações com números relativos se desenvolvem sem maiores novidades. Entretanto, na cabeça das pessoas mais inquisidoras, resta uma sensação de “regra outorgada pela força”. Mais precisamente, insinua-se:

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unidade 2

Será possível demonstrar, em vez de impor, que (–1)(–1) = 1? * Outra insinuação que geralmente se faz, quando do primeiro contato com o conjunto é a seguinte: Será que os inteiros negativos possuem alguma utilidade?

Quando alguém pergunta o que é isso ou aquilo e recebe como resposta a definição do dicionário, vemos a ênfase mudando na resposta porque, na verdade, essa definição não revela exatamente o que isso ou aquilo é, mas, sim, o quer dizer. Ao longo do processo de desenvolvimento da ciência matemática, observamos, por exemplo, os nomes dos números se afunilando em símbolos e os próprios números se subordinando às regras às quais obedecem. A mudança na Matemática começou quando alguém contou, pela primeira vez, e evoluiu pelo projeto – em andamento – de derivar essas leis de um conjunto de axiomas capazes de serem manuseados pelos matemáticos. Acompanhando a mudança de paradigma, a influência recíproca dos números veio a ser entendida como manifestação desses axiomas. Nós os vivenciamos como se eles fossem anteriores à experiência. Torna-se importante fazer a seguinte reflexão:

* Veja o Apêndice deste Capítulo.

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Com a evolução do pensamento matemático, os números se tornavam invisíveis: não mais descrevendo objetos, mas sendo eles os próprios objetos. Os números adquiriam adjetivos próprios: positivos, negativos, naturais, racionais, reais (racionais e irracionais). Com o tempo, esses adjetivos viriam a se tornar substantivos (os reais, os racionais). Os números mudaram e tinham sua existência considerada em meio às operações neles executadas. Tudo que vimos e entendemos estava passando das causas dos números a seus efeitos. O que caracteriza a atividade viva de fazer matemática é que, para qualquer coisa ser um número, ela tem de se socializar com os números que já existem, sendo capaz de, pelo menos, trocar “amabilidades” com os “nativos”.

A seguir, a título de ilustração, apresentamos algumas situações-problema que podem ser usadas para construir a compreensão das “regras de sinal”, para a adição e para a multiplicação em , além de contribuir para o melhor entendimento dos números

negativos em problemas concretos. SITUAÇÃO 1

Vamos utilizar o conjunto e representar um lucro, por um número positivo, e um prejuízo, por um número negativo.

Por exemplo:

“+ 20 reais” significam um lucro de 20 reais

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unidade 2

“– 30 reais” significam um prejuízo de 30 reais.

3 reais de prejuízo podem ser representados pelo número –3.

4 reais de lucro podem ser representados pelo número +4.

CONCLUSÃO: Um prejuízo de 3 reais somado a outro prejuízo de 8 reais resulta em um prejuízo

total de 11 reais. Por isso, é intuitivo concluir que

(–3) + (–8) = –11 Um prejuízo de 3 reais somado com um lucro de 8 reais resulta em um lucro de 5

reais. Por isso, é intuitivo concluir que

(–3) + (+8) = +5 Um lucro de 3 reais somado com um prejuízo de 8 reais resulta em um prejuízo

de 5 reais. Por isso, é intuitivo concluir que

(+3) + (–8) = –5 SITUAÇÃO 2

Vamos utilizar o conjunto e representar um ganho, por um número positivo, e uma perda, por um número negativo. Vamos representar, também, o tempo no futuro, por um número positivo, e o tempo no passado, por um número negativo.

Por exemplo:

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+ 8 reais significam um ganho de 8 reais. – 8 reais significam uma perda de 8 reais. 3 reais perdidos podem ser representados pelo número –3. 4 dias no futuro, depois de hoje, podem ser representados pelo número +4. – 3 dias significam 3 dias, antes de hoje. 4 dias, antes de hoje, podem ser representados pelo número –4. 12 reais perdidos podem ser representados pelo número –12. 12 reais ganhos podem ser representados pelo número +12, ou, simplesmente,

12.

CONCLUSÃO:

Se uma pessoa perde 3 reais por dia, então, em 4 dias, a partir de hoje, essa pessoa terá perdido 12 reais, ou seja,

(–3) (+4) = –12.

Se uma pessoa vem perdendo 3 reais por dia, então, em 4 dias, antes de hoje, essa

pessoa estava 12 reais mais rica, ou seja:

(– 3) (– 4) = 12 . Se uma pessoa vem ganhando 3 reais por dia, então, em 4 dias, antes de hoje, tal

pessoa tinha 12 reais a menos, ou seja:

(+ 3) (– 4) = –12.

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unidade 2

Para encerrar essa discussão sobre conceitos e controvérsias, vamos voltar à equação x + 5 = 1

que, no conjunto , pode ser resolvida do seguinte modo:

x + 5 = 1

x + 5 + (–5) = 1 + (–5)

x + 0 = –4

x = –4

Uma equação como essa – bem como sua respectiva solução negativa – poderiam não fazer sentido no passado remoto da humanidade. Hoje, é possível dar-lhe significado, imaginando, por exemplo, o seguinte contexto:

Em uma conta bancária foram depositados 5 reais e o saldo passou a ser de 1 real. Isso implica que havia um débito de 4 reais nessa conta.

Essa maneira de pensar torna os números negativos tão reais quanto seus equivalentes positivos.

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UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

A história dos números complexos ilustra bem como um conceito matemático fundamental pode demorar muito até ser bem compreendido e aceito. É uma história longa de resistência, por parte de excelentes matemáticos, a admitirem a existência dos números complexos, mesmo quando os usavam. Os números complexos começaram a aparecer sistematicamente em Matemática com os algebristas italianos do século XVI. Quando isso aconteceu, os matemáticos não tinham nem ainda esclarecido os conceitos de números negativos e irracionais. Assim, o desenvolvimento do conceito de número não foi algo progressivo, dando-se na ordem que nos parece natural, e que é exposta nos textos: números naturais, inteiros, racionais, reais e, por fim, complexos. Até o século XIX, quando CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855), divulgou a interpretação geométrica dos números complexos, ainda havia matemáticos que discutiam se os números negativos realmente existiam ou não. Na matemática antiga, se um algebrista desejava negar a existência de números irracionais ou negativos, dizia, simplesmente, – como os gregos antigos – que as equações x2 = 2 e x + 2 = 0, por exemplo, não são resolúveis. De modo semelhante, os algebristas tinham podido evitar os números imaginários, simplesmente dizendo que uma equação como x2 + 1 = 0 não é resolúvel. Não havia necessidade de considerar raízes quadradas de números negativos. Credita-se ao italiano GERÔNIMO CARDANO (1501-1576) o primeiro uso da raiz quadrada de um número negativo, quando resolve o seguinte problema, agora famoso:

Dividir 10 em duas partes cujo produto é 40.

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unidade 2

que se reduz a resolver a equação de segundo grau

x2 – 10x + 40 = 0

De início, CARDANO declarou ser manifestamente impossível encontrar uma solução desse problema. Depois, no entanto, com espírito propriamente audaz – típico de quem tinha, como ele, formação médica – teria dito:

“Não obstante, operaremos”.

Resolvendo a equação acima, pelo método usual de completar o quadrado, obteve:

x2 – 10x + 40 = 0, isto é, (x – 5)2 – 25 + 40 = 0, donde (x – 5)2 = – 15

Daí, operando como se os números que aparecem fossem números reais, escreveu:

x – 5 = 15 ,

Daí, concluiu que x = 155 ou x = 155 , que é a solução procurada.

Deixando de lado – como proposto pelo próprio CARDANO – toda a tortura mental envolvida, temos:

( 155 ) + ( 155 ) = 10.

( 155 ) ( 155 ) = 25 – (–15) = 40.

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Desse modo, ele encontrou 155 e 155 , mostrando que esses números, de

fato, têm soma 10 e produto 40. CARDANO conclui, dizendo que essas quantidades são “verdadeiramente sofisticadas” e que, continuar trabalhando com elas, seria “tão sutil quanto inútil”. Outros autores, posteriormente, mostrariam que tais manipulações eram de fato sutis, mas nada inúteis. É um mérito de CARDANO que ele, ao menos, tenha dado alguma atenção a essa intrigante situação. A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO CÚBICA

Em 1545, CARDANO, em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do terceiro grau**, hoje, chamado de Fórmula de CARDANO. Veja, a seguir, o enunciado desse método. A expressão para as raízes da equação

x3 + px + q = 0, conhecida como fórmula de CARDANO, é dada por:

332

332

27422742pqqpqqx .

** A resolução de equações cúbicas não foi, em sentido algum, motivada por considerações

práticas, nem tinham valor para os engenheiros ou praticantes da matemática. O mais importante resultado das descobertas publicadas na Ars Magna foi o enorme impulso dado, em várias direções, à pesquisa em álgebra.

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unidade 2

Com a solução da equação cúbica, surgiu a necessidade de considerar raízes quadradas de números negativos. Sempre que as três raízes de uma equação cúbica são reais e diferentes de zero, a fórmula de CARDANO leva, inevitavelmente, a raízes quadradas de números negativos. Para esse tipo de equação cúbica, o alvo era um número real. Entretanto, ele não poderia ser atingido sem que se compreendesse alguma coisa sobre os números imaginários. Nesse caso, então, se tornava necessário levar em conta os imaginários, mesmo que se concordasse em só aceitar raízes reais. Quando, por exemplo, se aplica a fórmula de CARDANO à equação

x3 –15x – 4 = 0 (*) o resultado é

33 12121212 x (#)

Se, por um lado, CARDANO sabia que não existe raiz quadrada de número negativo, por outro, ele sabia que x = 4 é uma raiz de (*). Portanto, ele não conseguiu entender como sua regra faria sentido em tal situação. Um outro importante algebrista italiano, RAFAEL BOMBELLI (cerca de 1526-1573) – considerado um discípulo de CARDANO – teve o que chamou de “ideia louca”: aplicando as regras usuais da Álgebra, mostrou que

1212123

***

*** De fato,

..... 12121112161128112312321232233

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ou seja,

3 1212 12

De modo análogo, mostrou que

3 1212 12

Portanto, voltando em (#),temos que o valor de x é dado por

x = 12 + 12 = 4

Como x = 4 é realmente raiz da equação (*), a partir de BOMBELLI, os matemáticos passaram a usar as raízes quadradas de números negativos, embora se sentissem um pouco desconfortáveis com isso. BOMBELLI trabalhava sistematicamente com a

quantidade 1 , que hoje chamamos unidade imaginária e representamos por i. Apenas no século XIX, quando GAUSS divulga a representação geométrica dos números complexos, é que essa sensação de desconforto desaparece. Uma mudança na atitude dos matemáticos em relação aos números complexos pode ser percebida nas palavras de ALBERT GIRARD (1590-1633):

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unidade 2

“Pode-se perguntar: para que servem essas soluções impossíveis (raízes complexas)?

Eu respondo: para três coisas: – para a validez das regras gerais; – devido à sua utilidade; – por não haver outras soluções.”

O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

No conjunto dos números reais, as seguintes propriedades das operações de soma e produto são consideradas fundamentais, tendo em vista o fato de que, a partir delas, é possível deduzir todas as regras de operações aritméticas sobre : (1) A adição e a multiplicação são comutativas, isto é, se a e b são números reais, então,

i) a + b = b + a; ii) ab = ba.

(2) A adição e a multiplicação são associativas, isto é, se a, b e c são números reais, então,

i) (a + b) + c = a + (b + c); ii) (ab)c = a(bc).

(3) A multiplicação é distributiva relativamente à adição, isto é, se a, b e c são números reais, então,

i) a (b + c) = ab + ac;

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ii) ab = ba. (4) Existem, e são únicos, os números 0 e 1 satisfazendo às condições:

i) a + 0 = a; ii) a1 = a,

para todo real a. (5) A todo real a corresponde um único número real (–a), e, se a 0, um único número real

a1 , tais que

i) a + (–a) = 0;

ii) a

a 1 = 1.

Assim, por exemplo: (a) De acordo com a propriedade (4), decorre que (–1)1 = –1. (b) Aplicando as propriedades (3), (4) e (5), decorre que a0 = 0. (c) A partir das propriedades acima, também pode ser deduzido que (–1)(–1) = 1. Decorre de (c) que o quadrado a2 = aa de um número real a nunca é negativo. Em outras palavras, no conjunto dos números reais não é possível extrair a raiz quadrada de

um número negativo.

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unidade 2

Os números complexos nascem dessa impossibilidade. Queremos dispor de um conjunto de objetos – que chamaremos números complexos – em que se possa somar e multiplicar e em que se possa, também, extrair a raiz quadrada de um número negativo. Evidentemente, queremos que os reais sejam elementos desse conjunto e que as operações de adição e multiplicação, quando feitas sobre reais, deem o mesmo resultado que as operações que já conhecemos. Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos números complexos. Adotaremos a seguinte: Os números complexos constituem um conjunto , em que estão definidas operações de adição e multiplicação, com as propriedades (1), (2), (3), (4) e (5). Além disso, os números reais estão incluídos em e: (a) Existe um número complexo i – chamado de unidade imaginária – tal que i 2 = –1. (b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma algébrica a + bi, em que a e b são reais [a é chamado de parte real, e b é chamado parte

imaginária

do complexo a + bi]. Usa-se a notação Re(a + bi) = a e Im(a + bi) = b.

COMENTÁRIOS

Já que o complexo i é tal que

i . i = –1, então,

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(–i) . (–i) = (–1)2 i2 = i2 = –1,. Isso significa que

i e –i são as possíveis raízes quadradas de –1.

Portanto, o símbolo 1 , por si só, poderia pressupor dois significados distintos: i e –i. Para evitar ambiguidades, assumiremos que

1 = i Portanto, com essa convenção, a unidade imaginária i dos complexos pode ser definida de dois modos:

i 2 = –1.

i = 1 .

EXEMPLO 2.1

Dê significado para cada um dos símbolos 4 e a , com a > 0 . Solução.

4 = 24 i = 2 i , ou seja, 4 significa “o dobro da unidade imaginária”.

iii aaaa 22 , ou seja, a , com a > 0, significa “ a vezes a unidade

imaginária”.

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unidade 2

POTÊNCIAS DE i Ao trabalharmos com a unidade imaginária i, consideraremos válidas todas as propriedades operatórias de . De início, admitiremos a validade das seguintes definições:

i 0 = 1 i 1 = i

i 2 = –1

As demais potências, i n , n e n 3, podem ser obtidas por meio dos resultados acima.

i 0 = 1 i 1 = i

i 2 = –1 i 3 = i 2 . i = – i

i 4 = i 3 . i = – i . i = – i 2 = 1 i 5 = i 4 . i = 1 . i = i

i 6 = i 4 . i 2 = 1 . i 2 = i 2 = – 1 i 7 = i 4 . i 3 = 1 . (– i) = – i

i 8 = i 4 . i 4 = 1 . 1 = 1 i 9 = i 4 . i 5 = 1 . i = i

i 10 = i 4 . i 6 = 1 . (–1) = –1 i 11 = i 4 . i 7 = 1 . (– i ) = – i

... e assim por diante.

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COMENTÁRIOS

Os cálculos anteriores sugerem a existência de quatro resultados possíveis para as potências de i. Observe como identificar em qual dos casos se enquadra uma potência i n , n e n 4. Se dividirmos n por 4, teremos:

isto é, n = 4q + r. Portanto,

i n = i 4q + r = i 4q . i r = ( i 4 ) q . i r = 1 q . i r = i r

Assim, podemos fazer a seguinte generalização:

i n = i r, em que r é o resto da divisão de n

por 4.

EXEMPLO 2.2

Calcular i 253.

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unidade 2

Solução. Dividindo 253 por 4, temos:

Portanto, i 253 = i 1 = i.

EXERCÍCIOS 2.1

1. Calcule as seguintes potências da unidade imaginária: (a) i 112 (b) i 245 (c) i 112 (d) i 1987 (e) i –127 2. Sendo n um número natural não nulo, calcule as seguintes potências da unidade imaginária: (a) i 4n (b) i 4n+1 (c) i 4n–2 (d) i 8n+3 3. Se n é um número natural, encontre os possíveis valores para a soma

i n + n

1i

4. Efetue as seguintes potenciações: (a) (1 + i) 2 (c) (1 – i) 2 (e) (1 – i) 101

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(b) (1 + i) 100 (d) (1 – i) 50 (f) (1 + i) 11

5. Lembrando que as propriedades operatórias de são assumidas em , resolva as seguintes equações quadráticas: (a) x2 – 2x + 2 = 0 (b) x2 + x + 1 = 0 (c) x2 – x + 1 = 0 6. No conjunto , dê significado para os seguintes símbolos:

(a) 99 (b) 81 (c) 100 (d) 00010.

IGUALDADE EM

Decorre de (b), na definição de número complexo, que os complexos da forma a + 0i são números reais. Além disso, se

a + bi = c + di, concluímos, a partir de (b), que a = c e b = d. Isso quer dizer, portanto, que

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unidade 2

(b) (1 + i) 100 (d) (1 – i) 50 (f) (1 + i) 11

5. Lembrando que as propriedades operatórias de são assumidas em , resolva as seguintes equações quadráticas: (a) x2 – 2x + 2 = 0 (b) x2 + x + 1 = 0 (c) x2 – x + 1 = 0 6. No conjunto , dê significado para os seguintes símbolos:

(a) 99 (b) 81 (c) 100 (d) 00010.

IGUALDADE EM

Decorre de (b), na definição de número complexo, que os complexos da forma a + 0i são números reais. Além disso, se

a + bi = c + di, concluímos, a partir de (b), que a = c e b = d. Isso quer dizer, portanto, que

se dois complexos são iguais, então, as suas partes reais e imaginárias são iguais.

ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Usando as propriedades de (1) a (5), listadas anteriormente, podemos operar com complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com o cuidado de tomar i 2 = –1. Por exemplo: (a) (5 + 3i) + (8 + 5i) = (5 + 8) + (3 + 5)i = 13 + 8i (b) (8 + 7i) – (6 – 4i) = (8 – 6) + [7 – (–4)] i = 2 + 11i (c) (7 + 2i)(4 + 3i) = 7(4 + 3i) + 2i(4 + 3i) = 28 + 21i + 8i + 6i 2 =

= 28 – 6 + (21 + 8)i = 22 + 29i.

EXERCÍCIOS 2.2 1. Efetue as seguintes adições:

(a) (3 – 2i) + (4 – 2i) (c) (2 + 0i) + (5 – 3i) (b) (7 – 5i) + (0 + 0i) (d) (0 – 3i) + (8 + 6i)

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2. Efetue as seguintes operações: (a) (5 + 4i) + (2 + 7i) – (3 – 2i) (c) 2(7 – 3i) + 5(4 – 2i) – 3(1 + 5i)

(b) (–3 – 2i) – (6 + i) – (5 – i) (d) 5(3 + 7i) – 2(8 – i) – 7(–2 + 3i) 3. Em algumas situações, é conveniente usar uma letra (z, por exemplo) para indicar um número complexo a + bi. Leia a seguinte definição:

Dado o número complexo z = a + bi, o número – z = –a – bi é chamado de oposto de z.

Faça o que se pede: mostre que, se z , então, z + (–z) = 0. 4. Se z1 e z2 são tais que z1 . z2 = 0, mostre que z1 = 0 ou z2 = 0.

[Sugestão: considere as duas possibilidades, (1ª) z1 = 0 e (2ª) z1 0, e faça a

demonstração em cada uma dessas possibilidades].

5. Determine um número complexo z tal que

(2 + 3i) z = 21 – i

6. Determine um número complexo z tal que

(1 – i) z = 14

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unidade 2

7. Responda, com justificativa, se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

(a) Não existem números reais b tais que (1 + bi)3 seja um número real.

(b) É igual a zero a soma dos números reais b para os quais (1 – bi)3 é um número

imaginário puro.

8. Determine os valores de a que fazem da potência (a + ai)3 um número: (a) real (b) imaginário puro 9. Considere a seguinte definição:

As raízes quadradas de um número complexo z são os números complexos w tais que w.w = z.

Faça o que se pede: calcule as raízes quadradas dos seguintes complexos:

(a) i (b) 3 + 4i (c) i23

21

10. Defina o que é uma raiz cúbica de um número complexo e, em seguida, calcule a raiz cúbica da unidade imaginária.

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11. Para resolver uma equação do 2° grau com coeficientes complexos, utiliza-se um procedimento análogo ao que se usa numa equação do mesmo grau com coeficientes reais. Sabendo-se disso, resolva as seguintes equações quadráticas complexas: (a) z2 = 5zi (b) 5z2 = –2zi (c) –3z2 = iz (d) z2 – 4iz – 5 = 0

(d) z2 – 2iz – 2 = 0 (e) z2 + 4iz – 4 = 0 (f) z2 – (3 + i)z + 2 + 2i = 0 (g) z2 – (3 + 4i)z – 1 + 5i = 0 (h) z2 – (2 + i)z + 2i = 0

Vamos tratar, agora, de mais uma operação aritmética que pode ser definida em . DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Sejam dados os complexos, z1 e z2, com z2 0. Para dividir z1 por z2, procuramos um complexo z3 tal que z1 = z2 . z3. Portanto,

32132

1 zzzzzz

Exemplo 2.3

Vamos efetuar a divisão ii

4352 .

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unidade 2

Para isso, será necessário encontrar um complexo z = a + bi, a e b , tal que i52 = )43( i (a + bi).

Portanto, devemos ter i52 = (3a – 4b) + (4a + 3b)i,

isto é,

534243

baba

Resolvendo esse sistema de equações lineares reais, obtemos:

a = 2514 e b =

2523 .

Nesse caso, portanto, concluímos que

ii

4352 =

2514

2523

i.

Atenção. A divisão de números complexos pode ser facilitada através de um artifício. Para estudá-lo, será necessário introduzir a seguinte definição. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado o número complexo, z = a + bi, a e b , chama-se conjugado de z (denotado por z ) ao número complexo

z = a – bi, a e b . Exemplo 2.4

O conjugado do número complexo z = 5 + 3i é o número complexo z = 5 – 3i.

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Se z = –2 + 7i, então, z = –2 – 7i.

Se z = 2 – 5,677i, então, z = 2 + 5,677i.

Se z = 0,37i, então, z = – 0,37i.

Se z = 1003,56, então, z = z.

De imediato, surgem duas propriedades do conjugado de um número complexo z = a + bi, a e b :

1ª) z + z é um número real.

De fato, z + z = a + bi + a – bi = 2a.

Como a , então, 2a .

2ª) z . z é um número real não negativo.

De fato, z . z = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2. Como a e b , então, a2 + b2 . Além disso, a2 + b2 0.

Exemplo 2.5

(a) (3 + 2i) + (3 – 2i) = 6. (b) (3 + 2i) (3 – 2i) = 32 – 6i + 6i – 4i2 = 9 + 4 = 13.

ARTIFÍCIO PARA EFETUAR A DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Por definição, o resultado da divisão de um número complexo z = a + bi, a e b , por

um número real c 0, é o número complexo w = icb

ca .

Em símbolos, escrevemos

iicb

ca

cba

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unidade 2

Usando esse fato, e uma propriedade do conjugado, podemos reduzir uma divisão de dois números complexos a uma divisão de um número complexo por um número real. Acompanhe. Sejam os números complexos, z = a + bi, a e b e w = x + yi, x e y , sendo w 0. Multiplicando o numerador e o denominador do quociente

ii

yxba

pelo conjugado do denominador, obtemos:

ii

yxba =

)()()()(

iiii

yxyxyxba = 22

)( )(yx

ayxbbyax i = i2222

yxayxb

yxbyax .

Esse é, portanto, o artifício matemático que pode ser usado para efetuar a divisão wz , w

0, dos números complexos z e w. Exemplo 2.6.

Retomemos a divisão proposta no Exemplo1:

ii

4352

Nesse caso, temos:

252314

43201586

)43()43()43()52(

4352

22iii

iiii

ii = i

2523

2514 .

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EXERCÍCIOS 2.3

1. Mostre que

(a) Se z é real, então, z = z.

(b) Para qualquer número complexo z, tem-se que zz 2. Se z e w são números complexos, prove que

(a) wzwz (c) w.zw.z

(b) wzwz (d) se w 0, então,

wz

wz

3. Use o método da indução finita para demonstrar a seguinte propriedade:

Se n é um número inteiro positivo, então, para qualquer número complexo z, tem-se

nnzz .

4. Usando o artifício matemático para efetuar divisões de números complexos, calcule:

(a) ii32

3

(b) i

i3

25

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unidade 2

(c) ii

1010

5. Considere a seguinte definição:

Dado um complexo z 0, chama-se o inverso de z ao número complexo z–1 tal que

z . z–1 = 1. Portanto, o número complexo z–1 é o resultado da divisão de 1 por z, ou seja,

z–1 = z1

6. Determine o inverso dos seguinte números complexos: (a) z = 5 – 3i (b) z = 7 + 5i (c) z = i (d) z = – i 7. Encontre números complexos w tais que

(a) w . w + 2(w – w ) = 5 – 8i

(b) ww 2

(c) w3 = 2 w

(d) 2w – w = 1 + 6i

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8. Analise o seguinte comentário:

Como x2 + y2 = x2 – (–y2) = x2 – (y2 i2) = x2 – (y i)2 = (x + yi) (x – yi), dizemos que a fatoração da soma de quadrados x2 + y2, no conjunto dos complexos, é dada por

(x + yi) (x – yi). 9. Fatore, no conjunto dos complexos, as seguintes expressões, em que x e y são números reais: (a) 4x2 + 9y2 (b) x2 + 25 (c) 16x2 + 1 (d) x2 + 2y2 10. Fatore, no conjunto dos complexos, a expressão a4 – b4, em que a e b são números reais. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS: O PLANO DE GAUSS

Conforme definido inicialmente, um número complexo z pode ser escrito na forma

algébrica z = a + bi (a, b e i2 = –1).

Além disso, sabemos que

a é a parte real de z [em símbolos, a = Re(z)];

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unidade 2

b é a parte imaginária de z [em símbolos, b = Im(z)]. Quando Re(z) = 0, z é denominado de imaginário puro. Portanto, um número imaginário puro é um número escrito na forma bi, (b e i2 = –1) Quando Im(z) = 0, o número complexo z é um número real. O conjunto dos números reais – que consta dos números racionais e dos irracionais – pode ser representado geometricamente, numa correspondência biunívoca, pelo conjunto de todos os pontos de uma reta, chamada de reta (eixo) real. Isso significa que cada ponto da reta representa um único número real e que cada número real é representado por um único ponto da reta, como ilustra a Figura 2.1, abaixo.

FIGURA 2.1 – Eixo real

As operações de adição, subtração e multiplicação podem ser efetuadas com quaisquer números desse conjunto. A operação de divisão em só não pode ser efetuada, quando o divisor for igual a zero. Raízes reais de números positivos podem ser representadas na reta real, mas a raiz quadrada de um número negativo não existe em . A raiz quadrada de um número negativo é um número imaginário puro. De fato, se

fizermos i = 1 , teremos, por exemplo:

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2 = 2 i, 4 = 2 i, 5 = 5 i, 16 = 4 i, 16 = –4i,

9 = –3 i, 5,2 = – 5,2 i etc.

Todos os números imaginários puros podem ser representados por pontos de uma reta, chamada de reta (eixo) dos números imaginários puros, como ilustra a Figura 2.2, abaixo.

FIGURA 2.2 – Eixo dos números imaginários puros

Não foi feliz a escolha da expressão “imaginário puro”, para designar os números da

forma bi, com i = 1 , pois dá a falsa impressão de que são números que não existem. É preciso ressaltar, portanto, que essa expressão significa, simplesmente, que os números imaginários puros não podem ser representados na reta real; eles estão situados, como acabamos de ver, em uma outra reta: a reta dos números imaginários puros. Se – como na Figura 3, dada a seguir – o eixo real for perpendicular, no ponto de cruzamento O, ao eixo dos números imaginários puros (ou eixo dos i), cada ponto do plano complexo resultante representa um único número complexo e vice-versa. A Figura 2.3 mostra a representação geométrica de seis números complexos (z1, z2, ..., z6).

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unidade 2

FIGURA 2.3 – Plano complexo

O plano complexo também é denominado de Plano de Argand-Gauss ou, simplesmente, Plano de Gauss. O ponto P(a, b), correspondente ao número complexo z = a + bi, é denominado de afixo de z.

z1 = 4i z2 = 3 + 3i z3 = 4 z4 = 2 – i z5 = –4 – 2i z6 = –3 + 2i

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MÓDULO, ARGUMENTO E FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Na Figura 2.4, abaixo, representamos o número complexo z = a + bi, no Plano de Gauss.

FIGURA 2.4

Lembrando que o afixo de z é o ponto P(a, b), temos que

a = r cosθ ; b = r senθ ;

r = 22 ba . Os números r e são as coordenadas polares do afixo de z.

Portanto, z = a + bi = r (cosθ + senθ i) = 22 ba (cosθ + senθ i).

O número r = 22 ba , chamado de módulo do número complexo z = a + bi, é indicado

por z . Assim, z significa, geometricamente, a distância do afixo de z à origem O do

plano complexo. O número θ denomina-se argumento do número complexo z = a + bi. Chamando de P o

afixo de z, concluímos que θ é a medida do ângulo formado pelo segmento OP com o semieixo positivo OX. Por convenção, mede-se θ , a partir de OX, no sentido anti-horário.

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unidade 2

O número θ , tal que 0 θ 2 (ou 0 θ 360°), é chamado de argumento principal

de z. Com essas definições e notações, podemos representar um número complexo z qualquer do seguinte modo:

z = z (cosθ + senθ i)

Essa é a chamada forma trigonométrica de z que se revelará muito útil nos cálculos envolvendo potências e raízes complexas. COMENTÁRIOS

Como vimos, se θ é o argumento principal de um número complexo z, então,

z = z (cosθ + senθ i)

Observe que, substituindo θ nessa expressão por θ + 2k, em que k é um inteiro positivo, negativo ou nulo, o complexo z não se altera. Em muitos casos, é conveniente usar essa expressão mais geral:

z = z [cos kπθ 2 + sen kπθ 2 i]

e dizer que θ + 2k são os argumentos de z. Exemplo 2.7.

Vamos determinar a forma trigonométrica do número complexo z = i22 .

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Para esse fim, precisamos calcular o módulo e o argumento de z.

Nesse caso, a = 2 e b = 2 . Portanto, temos:

z = 22 ba = 22 = 2.

. de principal argumento o é 4

22

22cos

zπθ

zbsenθ

zaθ

Portanto, a forma trigonométrica de z = i22 é

z = 2(cos4π + sen

i)

que pode também ser escrita como

z = 2 [cos kππ 24

+ sen kππ 24

i ]

EXERCÍCIOS 2.4.

1. Representar, na forma trigonométrica, os seguintes números complexos:

(a) 1 + 3 i (b) –1 + i (c) –8

(d) – 3 – i

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unidade 2

(e) 5

(f) cosθ – senθ i

(g) –cosθ + senθ i

(h) –senθ + cosθ i

(i) senθ – cosθ i 2. Represente, na forma trigonométrica, o conjugado do número complexo

z = z (cosθ + senθ i)

3. Determine o afixo dos seguintes números complexos, representando-os num mesmo plano complexo: (a) 7 + 2i (b) –5 – 3i (c) –8 + i (d) 6 (e) –9 (f) –7i 4. Em cada item abaixo, é dado um ponto que é o afixo de um número complexo. Determine esse número.

(a) (0, 15) (b) (15, 0) (c) (–23, 0) (d) ( 5,2 , –1,36) (e) (3, –3)

5. Determine o módulo dos seguintes números complexos: (a) –4 + 3i (b) –4 – 3i (c) –7i (d) 6 (e) –9 (f) 10 – 7i 6. Determine o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos:

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(a) z = 3(cos 60° – sen 60° i)

(b) z = 7(cos 50° – sen 50° i)

(c) z = –7(cos 50° + sen 50° i)

(d) z = 7(cos 50° – sen 50° i)

(e) z = –7(cos 50° – sen 50° i) 7. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que z = 3.

8. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que z 2.

9. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 1 z 3.

10. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que 0 < z

5. 11. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que

121)Re(

21

z

z

12. Desenhe o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z tais que

121)Im(

21

z

z

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unidade 2

13. Responda, apresentando justificativa: existe algum número complexo z que tenha

módulo simultaneamente igual ao módulo de z1 e ao módulo de 1 – z ?

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA OPERAÇÃO DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS

COMPLEXOS

Um número complexo z = a + bi pode ser pensado, também, como um vetor zO , de origem O e extremidade (a, b), como se pode ver na FIG 2.5.

FIGURA 2.5 – Número complexo como vetor Oz

Como veremos agora, a forma trigonométrica de dois números complexos z1 e z2 permite-nos obter uma interpretação geométrica para o produto z1. z2. Primeiro, lembramos que, se x é um número real qualquer, então:

cos(x + 2π ) = – sen x

sen (x + 2π ) = cos x

Um número complexo unitário z qualquer, isto é, de módulo igual a 1, pode ser escrito na seguinte forma:

z = cos + sen i

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Vamos encontrar o significado geométrico de multiplicar z pela unidade imaginária i.

i z = i (cos + sen i ) = – sen + cos i = cos( + 2π ) + sen ( +

2π ) i

Concluímos, assim, que Multiplicar um número complexo unitário por i significa, geometricamente, dar a z

uma rotação positiva de ângulo igual a 2π .

Agora, vamos encontrar o significado geométrico de multiplicar dois números complexos unitários quaisquer, z1 e z2. z1. z2 = (cos 1θ + sen 1θ i) . (cos 2θ + sen 2θ i) =

= (cos 1θ cos 2θ – sen 1θ sen 2θ ) + (sen 1θ cos 2θ + sen 2θ cos 1θ ) i = = cos ( 1θ + 2θ ) + sen ( 1θ + 2θ ) i

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83

unidade 2

Concluímos, desse modo, que Multiplicar dois números complexos unitários z1 e z2 significa, geometricamente, dar a um deles uma rotação positiva de ângulo igual ao argumento principal do outro.

Finalmente, considere, agora, dois números complexos, z1 e z2, quaisquer, não unitários. Nesse caso, são unitários os números complexos unitários, w1 e w2, dados por

w1 = 11

1 zz

e w2 = 22

1 zz

.

Portanto,

z1. z2 = 1z w1 2z w2 = 1z 2z w1 w2

Isso nos leva a concluir o seguinte: Multiplicar dois números complexos, z1 e z2, quaisquer, é equivalente a multiplicar os

complexos unitários correspondentes, 11

1 zz

e 22

1 zz

, e, em seguida, multiplicar o

resultado pelo número real 1z 2z .

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Conclusão:

Se z1 e z2 são dois complexos quaisquer tais que z1 = 1z (cos 1θ + sen 1θ i) e z2 = 2z (cos 2θ + sen 2θ i) e,

então, z1. z2 = 1z 2z [ cos ( 1θ + 2θ ) + sen ( 1θ + 2θ ) i ]

Exemplo 2.8.

Vamos obter o módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2, sendo z1 = 2,5 (cos 283° + sen 283° i ) e z2 = 4 (cos 149° + sen 149° i ). Nesse caso, temos que z1. z2 = 2,5 . 4 [ cos (283° + 149°) + sen (283° + 149°) i ] = 10 (cos 432° + sen 432° i) O argumento principal θ é o resultado da “redução” de 432°, à primeira volta do ciclo trigonométrico, isto é, 432° – 360° = 72°. Portanto, o módulo e o argumento principal do produto z1. z2 são, respectivamente, 10 e 72°.

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85

unidade 2

EXERCÍCIOS 2.5

1. Efetue a multiplicação de z1 = cos5π + sen

5π i por z2 = cos

7π + sen

7π i.

2. Se z1 = 2(cos 12° + sen 12° i), z2 = 7(cos 9° + sen 9° i) e z3 = 5(cos 27° + sen 27° i), efetue o produto z1. z2. z3. 3. Sendo z1 = 2,5(cos 283° + sen 283° i) e z3 = 4(cos 149° + sen 149° i), determine o módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2.

4. Sendo z1 = 7 (cos12

11π + sen 12

11π i ) e z2 = 3 (cos3π + sen

3π i ), determine o módulo e

o argumento principal do número complexo z1. z2. 5. Se z1 = cos 320° + sen 320° i, z2 = cos 310° + sen 310° i e z3 = cos 200° + sen 200° i, determine o módulo e o argumento principal do número complexo z1. z2. z3. FÓRMULA DE “De Moivre”

Considere a seguinte questão: Dado um número complexo unitário z = cos x + sen x i, determinar a potência zn, sendo n um número inteiro positivo.

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86

Obter zn = ( cos x + sen x i ) n equivale a multiplicar cos x + sen x i, por si próprio, n

vezes. Como uma consequência imediata da interpretação geométrica do produto de números complexos, concluímos o seguinte:

Multiplicar cos x + sen x i ,por si próprio, n vezes equivale a dar-lhe n rotações positivas e sucessivas de ângulo x.

Obtemos, desse modo, a seguinte fórmula:

( cos x + sen x i )n = cos (nx) + sen (nx) i

Em geral, se z = z (cos x + sen x i), então, para n inteiro positivo, temos:

zn = z n ( cos x + sen x i ) n ,

ou seja,

zn = z n [ cos (nx) + sen (nx) i ], para n inteiro

positivo.

Sendo n um inteiro positivo, vamos calcular z–n.

z–n = nz1 =

] )(sen )([cos1

inθnθz n =

(*1)

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87

unidade 2

= ] )(sen )([cos] )(sen )([cos

] )(sen )([cos1ii

inθnθnθnθz

nθnθn =

)](sen)([cos )(sen )(cos

22 nθnθznθnθ

ni =

= 1.

)(sen )(cosnz

nθnθ i

Portanto,

z–n = z –n [ cos (–nx) + sen (–nx) i ], para n inteiro

positivo.

De (*1) e (*2), temos que, se z = z (cos x + sen x i), então,

zn = z n [ cos (nx) + sen (nx) i ], para qualquer n inteiro.

Essa igualdade, conhecida como Fórmula de De Moivre, afirma o seguinte: Elevar um número complexo, de módulo r e argumento x, à potência inteira n, resulta no número complexo cujo módulo é igual a r n e cujo argumento é nx.

(*2)

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88

Exemplo 2.9.

Calcular (1 + 3 i )12. Para calcular essa potência na forma algébrica, temos duas alternativas:

1ª) Multiplicar 1 + 3 i , por ele mesmo, 12 vezes; 2ª) Utilizar o desenvolvimento do binômio de Newton, obtendo, inicialmente, 13 parcelas. Ambos os procedimentos exigem grande dose de paciência e atenção, ao passo que o desenvolvimento trigonométrico possibilita uma considerável redução do trabalho de cálculo.

Vamos obter, então, a forma trigonométrica de z = 1 + 3 i.

z = 24)3(1 22 .

. de principal argumento o é 60

23

21cos

zbsenθ

zaθ

Portanto, podemos escrever z = 2(cos 60° + sen 60° i) Nesse caso, de acordo com a fórmula de De Moivre, temos:

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89

unidade 2

(1 + 3 i )12 = [ 2(cos 60° + sen 60° i) ]12 = 212 [cos (12 . 60°) + sen (12 . 60°) i ] = = 4.096 (cos 720° + sen 720° i) = 4.096. EXERCÍCIOS 2.5.

1. Calcule z4, sendo z = 3(cos 15° + sen 15° i).

2. Calcule z10, sendo z = cos 10π + sen

10π i).

3. Calcule z–5, sendo z = 2(cos 50° + sen 50° i). 4. Se z = 2(cos 70° + sen 70° i), encontre o módulo e o argumento principal de z7. 5. Se z = 5(cos 302° + sen 302° i), encontre o módulo e o argumento principal de z3.

6. Se z = 0,5(cos 59π

+ sen 59π

i), encontre o módulo e o argumento principal de z–6. 7. Calcule o valor das seguintes potências:

(a) 8

21

21

i (c) 246

23

21

i (e) 93 i

(b) 6

21

21

i (d) 247

23

21

i

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90

8. Calcule o seguinte produto:

88

21

23

23

21 ii .

9. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja um real positivo:

n

i21

23

.

10. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja imaginário puro, com coeficiente positivo:

n

i21

23

11. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja real negativo:

n

i23

21

12. Determine o menor inteiro positivo n tal que o número complexo, a seguir, seja imaginário puro, com coeficiente negativo.

n

i23

21

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91

unidade 2

13. Estude o exemplo a seguir: Uma das utilidades da fórmula de De Moivre é permitir a determinação de cos nx e sen nx, sem o uso das fórmulas trigonométricas de adição. Por exemplo, para calcular cos 3x e sen 3x, escrevemos: cos 3x + sen 3x i = (cos x + sen x i)3 = cos3x + 3cos x i2 sen2x + 3cos2 x i sen x + i3 sen3x

= cos3x – 3cos x sen2x + (3cos2 x sen x – sen3x) i Da igualdade de números complexos, concluímos que

cos 3x = cos3x – 3cos x sen2x

sen 3x = 3cos2 x sen x – sen3x

Usando a fórmula de De Moivre, calcule:

(a) sen 2 e cos 2

(b) sen 4 e cos 4 Vimos como se pode obter o produto de dois números complexos na forma trigonométrica. Vamos tratar, agora, da divisão de números complexos em forma trigonométrica.

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92

FÓRMULA DA DIVISÃO

Considere os números complexos, z1 e z2, na forma trigonométrica:

z1 = r1 ( i11 sencos θθ )

z2 = r2 ( i22 sencos θθ )

Efetuando a divisão de z1 por z2, obtemos:

ii

ii

ii

22

22

22

11

2

1

221

111

2

1

sencossencos

sencossencos

)sen(cos)sen(cos

θθθθ

θθθθ

rr

θθrθθr

zz

ii

22

22

12212121

2

1

sencos)cossencos(sen)sensencos(cos

θθθθθθθθθθ

rr

i)(sen)(cos 21212

1 θθθθrr

Assim, concluímos que Se z1 e z2 são números complexos, com módulos iguais a r1 e r2, respectivamente, r2 0,

e com argumentos iguais a 1θ e 2θ , respectivamente, então, o quociente 2

1

zz

é o número

complexo cujo módulo é 2

1

rr

e cujo argumento é igual a ( 1θ – 2θ ).

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93

unidade 2

Exemplo 2.10.

Se z1 = 12 (cos 49° + sen 49° i) e z2 = 4 (cos 26° + sen 26° i), então,

2

1

zz i)26(49sen)26(49cos

412 oooo = 3 (cos 23° + sen 23° i).

Exemplo 2.11.

Se z = r ( iθθ sencos ), então,

z–1 =

z1 =

)sen(cos )0sen0(cos 1ii

θθr i)0(sen)0(cos1 θθ

r i)(sen)(cos1 θθ

r .

Portanto, se zo = 32 (cos 73° + sen 73° i), então,

o

1z

= i)73(sen)73(cos23 oo .

Para encontrar o argumento principal do número 0

1z

é necessário “reduzir” –73o, à primeira

volta positiva. Fazemos isso, somando 360o a –73o.

Portanto, o argumento principal do número o

1z

é 287o.

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94

EXERCÍCIOS 2.6

1. Divida z1 = 7 (cos 4π + sen

4π i) por z2 = 7 (cos

6π + sen

6π i).

2. Determine o inverso do número z = 2 (cos 7

2π + sen 7

2π i).

3. Determine o módulo e o argumento principal do número 2

1

zz , sendo

z1 = 15 (cos 123° + sen 123° i) e z2 = 5 (cos 250° + sen 250° i).

4. Determine o módulo e o argumento principal do número 2

1

zz , sendo

z1 = cos 5π + sen

5π i) por z2 = 2 (cos

3π + sen

3π i).

5. Sendo z = 3 (cos 40° + sen 40° i), determine o módulo e o argumento principal do

número z1 .

6. Sendo z–1 = 2 (cos 45° + sen 45° i), determine o módulo e o argumento principal do

número z.

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95

unidade 2

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Considere o número complexo z = r ( iθθ sencos ). Sendo n um número inteiro

positivo, chamamos de raiz n-ésima de z a qualquer complexo w = s ( iσsenσcos ) tal

que wn = z.

Mas

wn = [s ( iσsenσcos )]n = sn ( iσ)(senσ)(cos nn )

Portanto, wn = z se, e somente se,

sn ( iσ)(senσ)(cos nn ) = r ( iθθ sencos ) A fim de que se possa estabelecer essa igualdade, devemos ter:

θnσθnσ

rsn

sen )sen(cos )cos(

ou seja

kπθnσrs n

2

Portanto, temos os seguintes argumentos para as raízes n-ésimas de z:

de acordo com a fórmula de De Moivre

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96

)2(02 πσnkπ

nθσ

Fazendo k assumir sucessivamente os valores 0, 1, 2, ... , (n – 1), obtemos os respectivos argumentos 1σ , 2σ , ... , nσ das n raízes n-ésimas de z, a saber:

nθσ1

nθσ 2

2

nθσ 2. 23 ( )

nπn

nθσn

2. )1(

Exemplo 2.12

Vamos determinar as raízes cúbicas de z = i22

22

.

Primeiro, escrevemos z na forma trigonométrica:

z = i22

22

= cos 45° + sen 45° i

Nesse caso, temos que

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97

unidade 2

s = 3 1 = 1

153

451σ

135120153

3603

452σ

25524015)120(2153

36023

453σ

Portanto, 3

2

1

3

255sen255cos135sen135cos

15sen15cos

22

22

ww

w

ii

ii

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA RADICIAÇÃO

As expressões dadas em ( ) mostram que a sequência de argumentos das n raízes n-

-ésimas de um número complexo z constitui uma progressão aritmética de razão nπ2 (ou

n360 ), cujo primeiro elemento é

nθσ1 .

Como as n raízes n-ésimas de z têm o mesmo módulo, n rs , concluímos que os afixos de cada uma dessas raízes estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio

n rs , dividindo-a em n partes iguais. Exemplo 2.13

A representação das três raízes cúbicas de z = i22

22

é a seguinte:

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98

Exemplo 2.14

Vamos achar as raízes cúbicas de z = i21

23 .

É fácil ver que a forma trigonométrica de z é dada por

z = cos (30° + k 360°) + sen (30° + k 360°) i, sendo k um inteiro (positivo, negativo ou nulo), tomando o cuidado de incluir todas as determinações do argumento de z. É claro que qualquer complexo da forma

wk = i

336030

336030cos ksenk

é uma raiz cúbica de z. Afinal, pela fórmula de De Moivre, zwk 3 .

Os possíveis valores de wk são:

P1 é o afixo de w1 = cos 15° + sen 15° i; P2 é o afixo de w2 = cos 135° + sen 135° i; P3 é o afixo de w3 = cos 255° + sen 255° i.

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99

unidade 2

wo = cos 10° + sen 10° i k = 0,

w1 = cos 130° + sen 130° i k = 1,

w2 = cos 250° + sen 250° i k = 2,

w3 = cos (10° + 360°) + sen (10° + 360°) i = wo k = 3.

Observe que, a partir de w3 = wo, as raízes começam a se repetir. Além disso, usando os valores negativos de k, verificamos facilmente que

para k = –1, obtemos w2;

para k = –2, obtemos w1. A partir daí, recomeça a repetição. Conclusão: existem exatamente três cúbicas de z, a saber, wo, w1 e w2, que se distribuem como ilustrado na figura abaixo.

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100

EXERCÍCIOS 2.7

1. Determine as raízes sextas do número complexo z = 1 – i3 . 2. Encontre as raízes cúbicas dos números complexos:

(a) z = i3 (b) z = 1 3. Determine as raízes quartas do número complexo z = 1 – i. 4. Determine as raízes sextas do número complexo z = –1. 5. Determine as raízes quadradas dos números complexos:

(a) z = 1 + i3 (b) z = –3 + 4i 6. Resolva as seguintes equações, sabendo que z :

(a) z8 – i3 = 0 (b) z6 – 8 = 0 (c) z6 + 64 = 0 (d) z8 + 1 + i = 0

7. Resolva as seguintes equações biquadradas, sabendo que z є : (a) z8 + 3z4 + 2 = 0 (b) z6 – 2z3 + 2 = 0

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101

unidade 2

8. Leia o texto, a seguir.

Como sabemos, por volta da metade do século XVI, o italiano Gerônimo Cardano publicou um trabalho que teve enormes repercussões nos meios matemáticos da época. Nesse trabalho, ele mostrou que, sob certas condições, uma das raízes da equação do 3° grau x3 + ax + b = 0 (sem o termo em x2) podia ser obtida através da seguinte fórmula de radicais:

3

32

332

27423

2742 abb

aabbx (a)

Utilizando essa fórmula, podemos determinar, por exemplo, uma das raízes da equação x3 – 6x – 9 = 0 (b) De fato, nesse caso, temos a = –6 e b = –9 e, assim, de (@) vem que

323

6283

68

449

293

6)(449

29

33

3

3.

x

É fácil ver que x = 3 é mesmo uma das raízes da equação (b).

Resolva, agora, a seguinte situação-problema:

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102

Sejam:

VC o volume do cubo de aresta x; VP o volume de um paralelepípedo com área da base igual a 3 m3 e altura igual

a x. Caso exista, determine a aresta x tal que VC = VP + 1.

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103

unidade 2

APÊNDICE

Por que (–1)(–1) = 1? Não se pode demonstrar algo a partir do nada. Para provar um resultado, é preciso admitir uns tantos outros fatos como conhecidos. Esta é a natureza da matemática. Todas as proposições matemáticas são do tipo “se isto então aquilo”. Ou seja, admitindo isto como verdadeiro, provamos aquilo como consequência. Que fatos devem ser admitidos como verdadeiros para demonstrar, a partir deles, que (–1)(–1) = 1? De modo sucinto, podemos dizer que (–1)(–1) = 1 é uma consequência da lei distributiva da multiplicação em relação à adição, conforme mostraremos, a seguir.

Uma primeira consequência da distributividade da multiplicação é o fato de que a . 0 = 0, seja qual for o número a.

Com efeito, a + a . 0 = a . 1 + a . 0 = a (1 + 0) = a . 1 = a + 0. Assim, a + a . 0 = a + 0. Logo, a . 0 = 0.

Agora podemos mostrar que (–1) . a = –a. Com efeito, a + (–1) . a = 1 . a + (–1) . a = [1 + (–1)] . a = 0 . a = 0.

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104

Logo, (–1) . a é o simétrico de a, ou seja, (–1) . a = –a. Em particular, (–1)(–1) = –(–1) = 1.

OBSERVAÇÃO:

A demonstração acima nos permite concluir que, em geral, (–a)(–b) = ab , pois

(–a) . (–b) = (–1) . a . (–1) . b = (–1) . (–1) . a . b = ab.

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105

UNIDADE 3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Objetivos

Reconhecer quando uma expressão algébrica representa um polinômio; Saber efetuar as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e

divisão com polinômios, utilizando, quando houver, os dispositivos práticos; Determinar o grau de um polinômio, bem como o grau da soma, subtração,

divisão e multiplicação de polinômios; Resolver equações do 1º, 2º e 3º graus; Determinar o grau de uma equação a partir do número de raízes; Relacionar os coeficientes de uma equação com suas raízes, sejam elas inteiras,

racionais ou complexas;

unidade 3

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107

unidade 3

Nesta unidade, iniciaremos com o estudo de polinômios e suas propriedades e operações. Em seguida, trataremos de um tipo especial de polinômio: ( ) , que passará a ser chamado equação polinomial ou algébrica. A fim de fundamentar e embasar nosso estudo, serão feitas importantes demonstrações, tais como do Teorema de D’Alembert, que será amplamente utilizado ao longo de todo o capítulo, e fundamental para tratarmos das raízes de uma equação algébrica. Estudaremos, ainda, as relações entre coeficientes e raízes de uma equação.

NOÇÃO DE POLINÔMIO

Dado um número natural n, e os números complexos an, an-1, an-2, ..., a2, a1 e a0, denominamos função polinomial ou polinômio em à função

definida para todo x . Os números an, an-1, an-2, ..., a2, a1 e a0 são chamados coeficientes, as parcelas são os termos do polinômio P e x é a variável. Exemplo 3.1

São exemplos de polinômios em , na variável x:

( ) √

( )

( ) ( ) ( )

( ) .

Em contrapartida, não são exemplos de polinômios, na variável x:

( )

( ) √

𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎

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( )

Ocorre que, em alguns termos, n não é um número natural. Observe:

( )

( ) √

( ) ( )

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO

Dado um polinômio ( ) , e um número complexo α, denominamos valor numérico de P para x = α, e indicamos por P(α), o resultado que obtemos, substituindo x por α e efetuando as operações indicadas. Desse modo,

Exemplo 3.2

Calcular o valor numérico do polinômio ( ) , para x = 5. ( )

Exemplo 3.3

Dado ( ) , calcular o coeficiente de m, de modo que se tenha ( ) = 1. Temos

( )

𝑃𝑃(α) 𝑎𝑎𝑛𝑛α𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 α𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 α𝑛𝑛 𝑎𝑎 α 𝑎𝑎 α 𝑎𝑎

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109

unidade 3

RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO

Dizemos que um número complexo é raiz (ou um zero) de um polinômio ( ), se, e somente se:

Exemplo 3.4

Verifique se 1+ i é um zero do polinômio ( ) . Fazendo

( ) ( ) ( ) , verifica-se que 1+ i é uma raiz (ou zero) de ( ).

Exemplo 3.5

Dê a condição sobre o natural n, para que ( ) seja raiz de ( ) .

Primeiramente, queremos estabelecer valores de n , de modo que ( ) . Observe

que ( ) = +1, pois 2n é par para todo n . Assim sendo, ficamos com

( )

e queremos , quando x= . Agora, note que, se n é ímpar,( ) , e,

então, ( ) , e não é raiz de ( ) Por outro lado, se n é par, ( ) , e

segue

( ) .

Portanto, para que seja raiz de ( ) é necessário que n seja par.

SOMA DOS COEFICIENTES

Dado o polinômio ( ) , o valor numérico de ( ) para x = 1 é igual a:

( )

𝑃𝑃(α)

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110

ou seja, ( ) representa a soma dos coeficientes de ( ).

Exemplo 3.6

Dado ( ) ( ) , encontrar a soma dos coeficientes de ( ). Ora, basta fazer

( ) ( ) Note que encontramos a soma dos coeficientes sem explicitá-los, sendo que, como ( ) ( ) , seus coeficientes são 10, e 3. GRAU DE UM POLINÔMIO

Considere um polinômio em x ( )

Definiremos o grau do polinômio P(x), e indicaremos por gr(P), considerando três casos: 1º) Se pelo menos um dos coeficientes não for nulo, então gr(P) será o maior dos expoentes de x nos termos com coeficientes não nulos. Por exemplo,

( ) gr(P) = 4 2º) Se e , então, gr(P) = 0. Por exemplo,

( ) gr(P) = 0 3º) Se ( ) tem todos os coeficientes nulos (que como veremos a seguir caracteriza um polinômio identicamente nulo), então não se define gr(P). Por exemplo,

( ) não se define gr(P) Exemplo 3.7

Discutir, para a o grau de ( ) ( ) .

A soma dos coeficientes e um polinômio 𝑃𝑃(𝑥𝑥) é igual a 𝑃𝑃( ).

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111

unidade 3

O maior expoente de x será 4, se o coeficiente de não for nulo, ou seja, ( )

Agora, se a=2, então, ( ) = , e nesse caso, ( ) . Assim, conclui-se que

( ) ( )

EXERCÍCIOS 3.1

1. Verifique se os complexos (1+i) e (1- i) são raízes de ( ) . 2. Considere o polinômio ( ) Determine os valores de m e n, sabendo que Q(0)=Q(i). 3. Dê a condição sobre o natural n para que (-1) seja raiz de

( ) . 4. Determine a soma dos coeficientes do polinômio ( ) ( ) 5. Discuta para k o grau de ( ) ( ) ( ) . 6. Determine um polinômio P, de grau 2, que verifica as condições P(0)=8, P(1)=12 e P(-1)=6. 7. Calcule os coeficientes a e b de modo que o polinômio ( ) tenha uma raiz igual a 2 e outra igual a ( 1).

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112

POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO

Dizemos que um polinômio P é nulo ou identicamente nulo, quando o valor numérico de P é igual a zero, para qualquer valor atribuído à variável. Nesse caso, indicamos ( ) , e temos

O teorema, a seguir, traz uma importante informação sobre os coeficientes de um polinômio nulo. Teorema 3.1

Um polinômio P é nulo, se, e somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em outras palavras, se ( ) , então,

Demonstração

(⇐) Se , então, é fácil ver que ( )

(⇒) Por outro lado, se P é nulo, então, existem n+1 números complexos , distintos dois a dois, que são raízes de P, isto é:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑥𝑥

Note que um polinômio identicamente nulo possui infinitas raízes. Mais precisamente, um polinômio P é dito nulo quando todo número

complexo é raiz de P.

𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎

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113

unidade 3

( ) ( ) ( )

( )

Observe que estamos diante de um sistema linear homogêneo do tipo (n+1)x(n+1) cujas incógnitas são . O determinante desse sistema é dado por:

||

||

e por tratar-se de uma matriz de Vandermonde, cujos elementos característicos são , todos distintos, segue que D ≠ 0 e o sistema é possível e determinado, admitindo apenas a solução trivial:

POLINÔMIOS IDÊNTICOS

Dizemos que dois polinômios A e B são idênticos (ou iguais) quando os valores numéricos de A e B são iguais para todo valor da variável. A igualdade de polinômios é indicada por A≡B, de modo que

O teorema, a seguir, apresenta uma ferramenta muito útil para se verificar facilmente quando ocorre a igualdade de polinômios.

Teorema 3.2

Dois polinômios A e B são iguais, se, e somente se, os coeficientes de A e B forem ordenadamente iguais, ou seja, se

𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴(𝑥𝑥) 𝐵𝐵(𝑥𝑥) 𝑥𝑥

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114

( ) = ∑

e ( ) = ∑

, então

Demonstração

Para todo , temos:

( ) = 0 ⬄∑ ( )

= 0 ⬄∑

- ∑

⬄∑ = ∑

⬄A(x) = B(x)

Exemplo 3.8

Calcular a, b e c, de modo que se tenha para todo , ( ) ( )

Essa igualdade se verifica para todo x complexo, se os polinômios indicados no 1º e 2º membros forem idênticos, isto é:

( ) ( ) ( ) ( )

{

⇒ {

EXERCÍCIOS 3.2

1. Determine a, b, c, d, e para tornar identicamente nulo o polinômio: ( ) ( ) ( )

𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑖𝑖 * 𝑛𝑛 +

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unidade 3 2. Se o polinômio ( ) possui mais do que duas raízes distintas, o que se pode concluir a respeito dos coeficientes? 3. Verifique que, se vale a igualdade ( ) , para todo , então, tem-se que . 4. Dado ( ) , calcule a, b e c, para que se tenha a identidade ( ) ( ) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

Inicialmente, trataremos de maneira breve das operações adição, subtração, e multiplicação de polinômios. A divisão será abordada de maneira detalhada e cuidadosa em função da variedade de métodos pelos quais pode ser efetuada e da sua aplicação, na resolução de equações polinomiais, nosso próximo assunto.

ADIÇÃO DE POLINÔMIOS

Dados dois polinômios, ( ) e ( ) , existe um único polinômio S, tal que ( ) ( ) ( ) para todo . Este polinômio é dado por:

e é denominado a soma de A e B, que indicamos por ( ) ou ( ) . Outra forma de expressar a soma de dois polinômios A e B é:

Exemplo 3.9

Dados ( ) e ( ) , determinar o polinômio .

𝑆𝑆(𝑥𝑥) (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛)𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 )𝑥𝑥 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 )𝑥𝑥 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 )

𝐴𝐴 𝐵𝐵(𝑥𝑥) ∑ (𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖)𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖

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Note que ( ) ( )

Então, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

As propriedades da adição de polinômios são as mesmas da adição de números complexos. Isso se deve ao fato de que o conjunto dos polinômios P, munido da operação de adição usual de polinômios, define um grupo abeliano (ou comutativo), bem como o conjunto . O teorema, a seguir, deixa claro esse fato.

Teorema 3.3

A operação de adição define, em P, conjuntos dos polinômios de coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto é, para quaisquer polinômios A, B e C, verificamos as seguintes propriedades: A1) ( ) ( ) (propriedade associativa) A2) (propriedade comutativa) A3) , em que 0 indica o polinômio identicamente nulo (elemento neutro da adição) A4) Existe o oposto de indicado por – , tal que ( ) (existência do inverso aditivo) Demonstração

A1) Fazendo ( ) ∑ , ( ) ∑

e ( ) ∑ ,

(( ) )( ) ∑ e ( ( ))( ) ∑

, temos: ( ) ( ) * +

A2) Fazendo ( ) ∑ , ( ) ∑

, ( )( ) ∑ e ( )( )

∑ , temos :

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unidade 3

* +

A3) Fazendo ( ) ∑ e ( ) ∑

, temos: * +,

o que implica , * +. Desse modo, 0(x) é o polinômio nulo.

A4) Fazendo ( ) ∑ e ( ) ∑

, temos : * +,

daí , * +, e, portanto, ( ) ∑ ( )

é o inverso aditivo de A, ou seja, é o polinômio que, somado com A’, resulta no polinômio nulo.

⧠ SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

A partir da propriedade A4) da adição, definimos a subtração ou diferença, , de dois polinômios ( ) e ( ) quaisquer por: O exemplo, a seguir, ilustra uma aplicação das propriedades e operações vistas até o momento.

Exemplo 3.10

Dados ( ) e ( ) determinar os polinômios e .

Temos: ( ) ( ) ( ) – ( ) ( ) ( )

(𝐴𝐴 𝐵𝐵)(𝑥𝑥) (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛)𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 )𝑥𝑥𝑛𝑛 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 )𝑥𝑥 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 )

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Já sabemos como somar e subtrair polinômio. Mas como determinar o grau da soma ou da subtração de polinômios? Esse é o assunto que discutiremos a partir de agora. GRAU DA ADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS

Sejam A e B dois polinômios. Se A e B possuem graus diferentes, então, o grau do polinômio é igual ao grau daquele que tiver o maior grau. O mesmo ocorre na subtração, para ou . Agora, se os polinômios A e B possuem o mesmo grau, então, os polinômios, ou podem ter grau zero, no caso da soma ou subtração de A e B resultar em um polinômio do tipo ( ) , ou apresentar grau menor ou igual ao grau de A e B.

No caso em que a soma ou subtração dos polinômios A e B resultar no polinômio nulo, então gr(A+B) não existe. O teorema, a seguir, deixa claros esses fatos.

Teorema 3.4

Se A e B são polinômios não nulos, então, o grau de A+B é menor ou igual ao maior dos números gr(A) e gr(B), ou seja,

( ) * ( ) ( )+ Demonstração.

Considere ( ) ∑ , ( ) ∑

, com ( ) ( ) , com . Admita, por exemplo, , e sendo , temos:

e

Portanto, ( ) * ( ) ( )+ Agora, se temos:

pode ser nulo, daí ( ) * ( ) ( )+

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unidade 3

Exemplo 3.11

Dados ( ) e ( ) , temos: ( ) ( ) e ( ) ( ) ,

então, gr(A)= 2 = gr(B), gr(A+B) = 2 e gr(A-B) = 1. Exemplo 3.12

Dados ( ) e ( ) , temos: ( ) ( ) e ( ) ( ) 2 ,

então, gr(A)= 3 = gr(B), gr(A+B) não existe e gr(A-B) = 3. MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Dados dois polinômios, ( )

e ( ) ,

existe um único polinômio P, tal que ( ) ( ) ( ) para todo x . Esse polinômio é obtido multiplicando cada termo de A por todos os termos de B, isto é, o produto de A

por B é dado por: .

e indicamos por ou . Note que, se chamarmos , ,..., , podemos reescrever P(x) como

( ) , em que cada coeficiente é obtido da seguinte forma:

Veremos que existe um dispositivo muito prático (Dispositivo prático 2) para determinar cada um dos .

𝑃𝑃(𝑥𝑥) (𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑚𝑚)𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑚𝑚 (𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑚𝑚)𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑚𝑚 (𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 )𝑥𝑥 ( 𝑎𝑎 𝑏𝑏 )

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120

Exemplo 3.13

Multiplicar ( ) por ( ) . Conforme definimos, basta multiplicar cada termo de A por todos os termos de B. Observe: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Existem dois dispositivos práticos para realizar multiplicação de polinômios. Vamos conhecê-los, a seguir.

Dispositivo prático 1 – Multiplicação

Trata-se de realizar uma multiplicação como fazemos usualmente com números, simplesmente olhando os termos do polinômio como se fossem as ordens dos números. Vamos retomar o exemplo, a seguir, para visualizarmos melhor o funcionamento desse dispositivo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

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unidade 3

Exemplo 3.13

Multiplicar ( ) por ( ) . Conforme definimos, basta multiplicar cada termo de A por todos os termos de B. Observe: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Existem dois dispositivos práticos para realizar multiplicação de polinômios. Vamos conhecê-los, a seguir.

Dispositivo prático 1 – Multiplicação

Trata-se de realizar uma multiplicação como fazemos usualmente com números, simplesmente olhando os termos do polinômio como se fossem as ordens dos números. Vamos retomar o exemplo, a seguir, para visualizarmos melhor o funcionamento desse dispositivo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Dispositivo prático 2 – Multiplicação

Esse dispositivo consiste de colocarmos os coeficientes de ( ), e os coeficientes de ( ) numa tabela, calcularmos os produtos , e, em seguida, somarmos as diagonais obtendo os valores . Novamente, vamos retomar o Exemplo 3.12. Observe: C0= 0 C1= 4+0=4 C2= 8+5+0=13 C3= 12+10+6=28 C4= 15+12=27 C5= 18 Portanto, ( ) ( ) . PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

Como vimos, o conjunto P dos polinômios possuem as mesmas propriedades com respeito à

adição dos números complexos. O mesmo ocorre em relação à multiplicação, e valem as

propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e distributiva.

Assim, dados polinômios quaisquer, A, B e C, em P, a operação de multiplicação em P

(conjuntos dos polinômios de coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:

M1) ( ) ( ) (propriedade associativa) M2) (propriedade comutativa) M3) (elemento neutro da multiplicação) M4) ( ) (propriedade distributiva)

B(x) A(x)

4

5

6

0 0 0 0 1 4 5 6 2 8 10 12 3 12 15 18

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GRAU DA MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Dados dois polinômios, A e B. Se um deles for identicamente nulo, então, o produto também será nulo. Reciprocamente, a condição para que o produto seja nulo é que pelo menos um dos polinômios, A ou B, seja nulo, isto é:

Caso o produto não seja nulo, verificamos que o grau de é igual à soma dos graus de A e B. Esse resultado é verificado no próximo teorema: Teorema 3.5

Se A e B são polinômios não nulos, então, o grau de é igual à soma dos graus de A e de B, ou seja, A demonstração será deixada como exercício. Exemplo 3.14

Sejam ( ) e ( ) . Calcular ( ) Poderíamos simplesmente utilizar o Teorema 3.5, pois ( ) e ( ) são ambos não nulos. Desse modo, como ( ) e ( ) seque que, ( ) Outra alternativa, um pouco mais trabalhosa, seria encontrar o polinômio resultante do produto de A por B e observar seu grau, isto é, fazendo

( )( ) que possui grau 3.

𝐴𝐴 𝐵𝐵 ⬚ 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵

𝑔𝑔𝑔𝑔(𝐴𝐴 𝐵𝐵) 𝑔𝑔𝑔𝑔( 𝐴𝐴) 𝑔𝑔𝑔𝑔( 𝐵𝐵)

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unidade 3

EXERCÍCIOS 3.3

1) Demonstre o Teorema 3.5. (Sugestão: utilize o coeficiente , genérico do produto de dois polinômios, para avaliar cada possibilidade, assim como foi feito no Teorema 3.4). 2) Dados ( ) , ( ) e ( ) , calcule o polinômio . 3) Dados ( ) , ( ) e ( ) , calcule os números a, b e c, de modo que o polinômio ( ) ( ) ( ) ( ) seja identicamente nulo. 4) Sejam A e B polinômios não nulos, tais que e sejam também não nulos. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, exemplificando. a) Existem polinômios A e B, ambos de grau 2, tais que ( ) . b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) ( ) h) Existem polinômios A e B, ambos de grau 2, tais que ( ) .

5) Qual o grau do polinômio ( ) ( ) ( ) ( ) na indeterminada x, quando ? 6) Quantos elementos tem o conjunto dos polinômios P(x) de grau 3, tais que ( ) ( ) ? DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Ao tratar da divisão de polinômios, veremos que não existe uma única maneira para efetuá-la. Apresentaremos o método de Descartes, que utiliza como principal ferramenta o grau dos polinômios que estão sendo divididos. Em seguida, trataremos do método da chave, que é muito parecido com uma divisão (euclidiana) de números inteiros, a não ser

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pelo fato de que, na chave, podemos ter mais do que um termo. Em seguida, veremos como é feita a divisão por binômios do 1º grau, a partir do dispositivo de Briot-Ruffini, um dos métodos mais utilizados, graças a sua praticidade, principalmente para determinados tipos de polinômios. Primeiramente, sejam ( ) e ( ) dois polinômios, com ( ) de ( ) por ( ) equivale a encontrar dois polinômios ( ) e ( ), chamados, respectivamente, quociente e resto, que satisfazem as seguintes condições:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou ( )

Observações importantes:

( ) ( ) ( ) ( )

a) Dados os polinômios ( ) e ( ), ( ) , é único o par de polinômios ( ) e ( ), tais que:

( ) ( ) ou ( ) b) Na divisão de ( ) por ( ), quando ( ) , dizemos que ( ) é

divisível por ( ), ou que a divisão de ( ) por ( ) é exata.

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unidade 3

Antes de apresentarmos os métodos de divisão de polinômios mais utilizados, vamos analisar qual o grau do quociente e do resto de uma divisão. GRAU DA DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Em uma divisão, o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor ou o resto é nulo. O grau do quociente Q, quando Q não é nulo, pode ser determinado observando-se a identidade . Como ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ), temos ( ) ( ) ( ) ( ), pois o grau da soma de polinômios é sempre dado pelo grau do polinômio de maior grau, conforme o Teorema 3.4. Desse modo, ( ) ( ) ( ), ou seja, ( ) ( ) ( ). Como ( ) , segue que ( ) ( ) No caso em que ( ) ( ), podemos ter somente ( ) e ( ) ( ). Em resumo, ao dividir um polinômio A por um polinômio B não nulo: Exemplo 3.15

Dividir o polinômio ( ) por ( ) 1. Mesmo sem ter apresentado os métodos para dividir polinômios, podemos encontrar ( ) e ( ), pois note que ( ) ( ). Então,

( ) e ( ) ( ) . Exemplo 3.16

Demonstre que, se A e B são polinômios divisíveis pelo polinômio C, então, o resto R da divisão de A por B também é divisível por C.

Se 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁) 𝐐𝐐(𝐱𝐱) 𝟎𝟎 e 𝐑𝐑(𝐱𝐱) 𝐀𝐀(𝐱𝐱) Se 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐐𝐐) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐀𝐀) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁), e 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐑𝐑) 𝐠𝐠𝐠𝐠(𝐁𝐁) ou

𝐑𝐑(𝐱𝐱) 𝟎𝟎

Se 𝐀𝐀(𝐱𝐱) 𝟎𝟎 Q(𝐱𝐱) 𝟎𝟎 e 𝐑𝐑(𝐱𝐱) 𝟎𝟎

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Demonstração. Seja o quociente de A por C, então, Seja o quociente de B por C, então, Sejam Q o quociente e R o resto da divisão de A por B, então, Temos, então: ( ) , e, portanto, R é divisível por C.

Método de Descartes

Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes fatos, discutidos na seção sobre grau da divisão de um polinômio:

I) ( ) ( ) ( ) II) ( ) ( ) ou ( )

O método de Descartes é aplicado da seguinte forma: 1º) calculam-se ( ) e ( ); 2º) constroem-se os polinômios ( ) e ( ), deixando incógnitos seus coeficientes; 3º) determinam-se os coeficientes, impondo a igualdade . Aplicação do Método de Descartes

Dividir ( ) por ( ) Temos: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) Desenvolvendo, temos para todo x: ( ) ( ) ( ) ( ) Assim, ficamos com:

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unidade 3

{

de modo que ( ) e ( ) . Método da chave

O método da chave com certeza, já conhecido, e conforme foi dito, aproxima-se muito da divisão numérica. Faremos um exemplo sobre este método apenas para que você se recorde. Aplicação do Método da chave

Dividir o polinômio ( ) por ( ) . Temos:

Primeiramente, dividimos por +2, e multiplicamos por , e verificamos quanto falta para que o produto se iguale a 1.

Como o grau do resto é maior do que o do quociente, continuamos a divisão:

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Novamente, devemos continuar, pois o grau de é igual ao grau de .

O grau de é menor que o grau de , portanto, concluímos que ( ) e ( )

EXERCÍCIOS 3.4

1) Divida ( ) por ( ) , empregando o método de Descartes. 2) Divida ( ) por ( ) , empregando o método da chave. 3) Dividindo por , encontra-se o resto igual a . Calcule a e b. 4) O resto da divisão de ( ) por é 3. Calcule o valor de . 5) O polinômio é divisível pelo polinômio . Nesse caso, calcule o valor de . 6) Se é divisível por e , demonstre que

( ) 7) Mostre que, se A e B são polinômios divisíveis pelo polinômio C, então, o mesmo ocorre com e .

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unidade 3

DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU

A divisão de um polinômio ( ) por um binômio da forma apresenta um interesse especial pela sua aplicação no estudo das Equações Algébricas, assunto esse que trataremos logo mais. Aqui, faremos um estudo sobre divisões, em que o dividendo é um polinômio ( ), com ( ) , e o divisor é um polinômio ( ), com ( ) , e coeficiente dominante também igual a 1. Observemos o que ocorre quando dividimos ( ) por ( ) :

Como ( ) , R deve ser um polinômio constante, pois sabemos que em toda divisão devemos ter ( ) ( ), então, ( ) ou . Note que o valor numérico de R não depende do número α substituído no lugar de x, isto é, ( ) Finalmente, observe que

( ) . O teorema, a seguir, formaliza esse fato que acabamos de constatar.

Teorema 3.6 (Teorema do Resto)

O resto da divisão de um polinômio ( ) por é igual ao valor numérico de A em . Demonstração. Segundo a definição de divisão, temos:

( )

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em que Q e R são, respectivamente, o quociente e o resto. Como tem grau 1, o resto R tem grau zero ou é nulo. Portanto, R é um polinômio constante. Agora, calculemos os valores dos polinômios da igualdade acima em

( ) ( )⏟

( )⏟

( )

( ) ⧠

Exemplo 3.17

Determinar o resto da divisão de ( ) por ( ) . Fazemos, simplesmente:

( ) Note que a divisão de ( ) por um polinômio será exata, se, e somente se, for raiz de ( ) Isso é o que afirma o Teorema de D’Alembert. Teorema 3.7 (Teorema de D’Alembert)

Um polinômio ( ) é divisível por , se, e somente se, raiz de ( ). Demonstração. De acordo com o Teorema do resto, ( ). Então:

( ) ⏟ ( )

⧠ Aplicações do Teorema de D’Alembert

1ª) Verificar que ( ) é divisível por . Fazemos: ( ) , o que implica que 3 é raiz de ( ). Logo, ( ) é divisível por 2ª) Determinar α, de modo que ( ) ( ) seja divisível por .

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unidade 3

Devemos impor ( ) e, então: ( ) ( )

.

FIQUE DE OLHO!

ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI

Além do método da chave e do método de Descartes, podemos recorrer a um dispositivo prático para divisão por binômios do tipo ( ), conhecido como Algoritmo de Briot-

Ruffini. Vamos entender como ele funciona. Dados os polinômios ( ) ( ) e ( ) vamos determinar o quociente Q e o resto R da divisão de A por B. Façamos: ( ) e apliquemos o método de Descartes:

( ) ( ) ( )

Impomos ( ) , e obtemos:

Devemos ficar atentos ao fato de que esses resultados vistos até o presente momento tratam da divisão de polinômios por binômios do tipo (𝒙𝒙 𝜶𝜶). Mas e se tivermos uma divisão por um binômio (𝒙𝒙 𝟕𝟕)? Basta considerar 𝜶𝜶 7!

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( ) ( ) ( )

de onde vêm as igualdades:

Esses cálculos tornam-se bem mais fáceis com o seguinte dispositivo prático de Briot-

Ruffini:

⏞ ( )

⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

⏟ ( )

no qual: 1º) colocamos e os coeficientes de ( ); 2º) colocamos

, que é igual a ;

3º) calculamos : multiplicamos

por e somamos o resultado com

4º) calculamos : multiplicamos

por e somamos o resultado com

Por último, calculamos R, multiplicando por e somando o resultado com .

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unidade 3

No exemplo, a seguir, fica claro como esse dispositivo facilita a obtenção do quociente e resto de divisões de polinômios por binômios do 1º grau. Exemplo 3.18

Obter, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, quociente e resto das seguintes divisões: a) ( ) por ( ) 3 2 0 -7 3 -1 2 ⏟

Assim: ( ) e ( ) . b) ( ) por ( )

9 5 1 -11 9 ( ) ⏟

( ) ( ) ⏟

( ) ⏟

Portanto: ( ) e ( ) . Finalizaremos a seção sobre divisão de polinômios com um teorema já conhecido nas divisões numéricas. Teorema 3.8

Se um polinômio A é divisível separadamente por ( ) e ( ), com , então, A é divisível pelo produto ( ) ( ). Demonstração. Sejam Q o quociente e o resto da divisão de A por ( ) ( ); então:

( ) ( ) ( ) . Calculando os valores numéricos desses polinômios em , obtemos:

( ) ( )⏟

( ) ( ) ( )⏟

( )

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em que ( ) , pois A é divisível por . Calculando os valores numéricos desses polinômios em , obtemos:

( ) ( ) ( )⏟

( ) ( )⏟

( )

em que ( ) , pois A é divisível por . De (1) e (2) resulta o seguinte sistema:

{

de onde vem que e , portanto, ( ) . EXERCÍCIOS 3.5

1) Qual o resto da divisão de por ? 2) Determine , de modo que o polinômio ( ) ( ) ( ) seja divisível por ( ) , e, em seguida , obtenha o quociente da divisão. 3) Determine , de modo que a divisão de ( ) ( ) seja divisível por ( ) . 4) Os coeficientes do polinômio ( ) formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 1/2. Então, qual o resto da divisão de ( ) por ? Obs.: n é ímpar. 5) Aplicando Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de ( ) por ( ) ( )( ). EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Desde muitos anos, um dos maiores desafios da Álgebra clássica para os matemáticos era a procura por soluções de equações algébricas. No século VII da era cristã, o matemático árabe Alkhowarizmi apresentou as principais conclusões a respeito da resolução de equações do 1º e 2º graus. Em seu trabalho, encontrou-se pela primeira vez a palavra álgebra, significando “trocar de membro um termo de uma equação”.

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unidade 3

Centenas de anos se passaram, até que, no século XVI, os algebristas Cardano, Tartaglia e Ferrari propuseram fórmulas para resolver equações do 3º e 4º graus. No entanto, a resolução de equações de grau maior que 4 continuou inquietando os matemáticos. Em 1978, em sua tese de doutorado, Gauss demonstrou que “toda equação algébrica de grau n, , admite pelo menos uma raiz complexa”. Esse Teorema (chamado, posteriormente, Teorema Fundamental da Álgebra) constitui-se em um novo estímulo à pesquisa de soluções para as equações. Nessa época, Gauss já suspeitava da impossibilidade de resolver equações com grau maior que 4 através de fórmulas envolvendo os coeficientes. Anos depois, essa hipótese foi demonstrada por dois jovens matemáticos. Em 1824, Abel, então com 19 anos, mostrou que uma equação de grau 5 não podia ser resolvida através de fórmulas de radicais. Alguns anos mais tarde, Galois mostrou que essa impossibilidade se estendia para todas as equações de grau maior que 4, porém, tais descobertas não implicam a impossibilidade de conhecerem-se raízes de uma equação de grau maior que 4. Existem proposições e condições particulares que conduzem a solução de uma equação algébrica.

CONCEITOS GERAIS

DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA

Denominamos equação polinomial ou equação algébrica na incógnita x a toda equação redutível à forma: em que são coeficientes complexos constantes, com , e n

é o grau da equação. Exemplo 3.19

São exemplos de equações:

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎

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a) , que é uma equação algébrica do 3º grau b) , que é uma equação algébrica do 1º grau c) , que é uma equação algébrica do 4º grau.

RAÍZ DE EQUAÇÃO POLINOMIAL

O número complexo é denominado raiz da equação ( ) , se, e somente se, ( ) ( é uma raiz ou um zero de ( )). Exemplo 3.20

Por exemplo, dada a equação , verificar se os números 2, 1 e i são raízes.

Fazemos : , logo, 2 é raiz; , logo, 1 não é raiz; , logo, i não é raiz. CONJUNTO SOLUÇÃO

Chamamos conjunto solução de uma equação algébrica, no conjunto universo U, ao conjunto de elementos de U que são raízes da equação. O conjunto universo aqui considerado será ( ), quando não o citarmos. Exemplo 3.21

Resolver a equação , em e em U= . Primeiramente, em , temos: ( ) e de , obtemos . Portanto, o conjunto solução em é * +. Agora, em U= . Como a equação tem como raízes , a única raiz real é 0. Então, o conjunto solução em é * +.

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unidade 3

EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Dizemos que duas equações são equivalentes em U, quando seus conjuntos soluções em U são iguais. Por exemplo, as equações e são equivalentes em , pois a única solução de ambas é 0. Todavia, não são equivalentes em , visto que a primeira equação apresenta como raízes i e –i, além do 0, e a segunda não. EQUAÇÃO DO 1º GRAU

As equações do 1º grau não têm uma história propriamente dita. A simbologia moderna com que são escritas só começou a surgir no século 18. Do ponto de vista elementar, equações são problemas do seguinte tipo: “Determinar certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores são manipulados algebricamente, de certa maneira, são obtidos certos valores dados”. As primeiras equações, na forma escrita, surgiram no antigo Egito, 3000 anos a.C. A maior parte da matemática egípcia antiga, ou seja, do 3º milênio antes do início da era cristã, encontrada, em alguns poucos papiros famosos, consiste de um compêndio de tabelas e algoritmos aritméticos, visando à resolução de problemas úteis, tais como problemas de medição de figuras geométricas. Num desses papiros, o Papiro de Rhind, encontramos as primeiras equações do primeiro grau, na forma de problemas "aha". Aha significava quantidade. Tais problemas referem-se à determinação de quantidades desconhecidas. Vamos analisar como se comporta uma equação do 1º grau com respeito a suas raízes ou raiz. Dada a equação , com temos:

Portanto, a única raiz é dada por . Então, podemos afirmar:

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⬚ 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 ⬚ 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎

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Exemplo 3.22

Resolver a equação ( ) Observe que a equação em questão é do 1º grau, portanto, vamos encontrar uma única raiz para tal equação. Fazemos:

( )

Como ( )( ) ( )

o conjunto solução é dado por { }

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O primeiro tratado a abordar sistematicamente as equações do 2º grau e suas soluções foi Os Elementos de Euclides (séc. 3 a.C.). Em Os Elementos, Euclides nos dá soluções geométricas da equação do segundo grau. Os métodos geométricos ali encontrados, embora interessantes, não são práticos. No início do século 9, o Califa Al Mamum, recebeu, através de um sonho, no qual teria sido visitado pelo imortal Aristóteles, a instrução de fundar um centro de pesquisa e divulgação científica. Tal instituição, a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagdá, hoje capital do Iraque, nas margens do Rio Tigre. Lá, a convite do Califa, estabeleceu-se Al-Khwarizmi, juntamente com outros filósofos e matemáticos do mundo árabe. A pedido do Califa, Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre a ciência das equações, chamado Hisab al-jabr wa'l muqabalah, ou seja, o Livro da Restauração e Balanceamento. Al-Khwarizmi introduziu simplificações que popularizaram, ou melhor, simplificaram a álgebra das equações do 2º grau. Seu método de resolução da equação do 2º grau é

Toda equação do 1º grau em admite única raiz.

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unidade 3

inspirado na interpretação de números por segmentos, introduzida por Euclides. Al-Khwarizmi também popularizou o sistema de representação decimal posicional dos números inteiros, criado pelos hindus, hoje de uso corrente. De Al-Khwarizmi derivam-se as palavras algarismo e algoritmo, ambas latinizações de Al-Khwarizmi. Do termo al-jabr, que significa restauração, deriva-se a palavra álgebra! O termo al-muqabalah, que significa oposição ou balanceamento, é o que hoje entendemos como cancelamento. No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta dois métodos geométricos de solução da equação do 2º grau. Al-Khwarizmi não fazia uso de notações simbólicas em seu tratado. Suas equações são escritas no estilo retórico, isto é, sem o emprego de símbolos. Verifiquemos agora quantas são as raízes de uma equação do 2º grau e qual sua “forma”. Dada a equação , com , fazendo , temos:

⬄( ) ⬄ ( ) . Como o número complexo admite duas raízes quadradas, que são números opostos, representado por √ segue que:

( ) ⬄ √ ⬄ √ . Assim, encontramos duas raízes para a equação, dadas por: Portanto, podemos afirmar que Caso , as duas raízes são iguais e dizemos que a equação admite uma raiz dupla. Exemplo 3.23

Resolver a equação , em e em .

𝑥𝑥 𝑏𝑏 √𝛥𝛥 𝑎𝑎

Toda equação do 2º grau em admite duas raízes.

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Em , temos: ( ) √ √ √

Daí,

√ ( ) ( )

Portanto, em * +. Agora, note que , portanto, a equação não admite raízes reais, e em ,

EXERCÍCIOS 3.6

1) Calcule o coeficiente m, de modo que o número seja raiz da equação

2) Dê o conjunto solução da equação a) em b)em 3) Resolva em a equação ( ) ( ) . (Sugestão: faça ) EQUAÇÕES DO 3º GRAU

Por muitos séculos, desde o período áureo da Grécia antiga, matemáticos tentaram em vão, deduzir um método geral de solução da equação do 3º grau ou equação cúbica: Procurava-se uma fórmula geral da solução da cúbica, isto é, uma fórmula que desse suas soluções como expressões algébricas, envolvendo os coeficientes . A conhecida fórmula de Bhaskara, creditada assim ao matemático hindu Bhaskara, do século 12, conforme vimos, nos dá as soluções da equação quadrática , como expressões algébricas dos coeficientes .

𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑑𝑑

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unidade 3

O primeiro matemático a desenvolver um método para resolver equações cúbicas da forma foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, Itália, na passagem do século 15 ao século 16. Antes de morrer, revelou seu método, que mantivera em segredo, a Antonio Fiore. Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, Itália, em 1499. Conta-se que era tão pobre, quando criança, que estudava matemática escrevendo nas lápides de um cemitério. Em 1535, foi desafiado por Antonio Fiore a uma competição matemática. Na época, disputas acadêmicas eram comuns, muitas vezes, premiando o ganhador com o emprego do perdedor. Tartaglia sabia resolver as equações cúbicas de del Ferro, mas tinha descoberto também um método para resolver cúbicas da forma . De posse desse conhecimento, foi o vencedor na competição. Os últimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com Girolamo Cardano (1501{1576), um matemático italiano que, além de médico famoso em Milão, foi também astrônomo. Cardano é tido como o fundador da teoria das probabilidades, a qual estudou por interesses pessoais (jogatina). Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter escrito um horóscopo de Jesus Cristo. Em 1539, em sua casa, em Milão, Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe seu método secreto de solução das cúbicas, sob o juramento de jamais divulgá-lo. Alguns anos mais tarde, porém, Cardano soube que parte do método constava de uma publicação póstuma de del Ferro. Resolveu, então, publicar um estudo completo das equações cúbicas em seu tratado Ars Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros de álgebra publicados até então. Em Ars Magna, Cardano expõe um método para resolver a equação cúbica baseado em argumentos geométricos. Lá, também, expõe a solução geral da equação quártica ou equação do quarto grau, ,descoberta por Ludovico Ferrari (1522{1565), discípulo de Cardano, que parece ter superado o mestre na álgebra das equações polinomiais.

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Em 1548, Tartaglia desafiou Cardano para uma competição matemática, a ser realizada em Milão. Cardano não compareceu, tendo enviado Ferrari para representá-lo. Parece que Ferrari venceu a disputa, o que causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza, nove anos mais tarde.

A fórmula de Cardano para a equação cúbica

O método de Cardano para resolver equações cúbicas, ligeiramente modificado em relação ao método historicamente original, é essencialmente o seguinte: Consideremos a equação cúbica:

A substituição

transforma a equação dada numa equação cúbica, na forma reduzida, isto é, uma equação cúbica sem o termo de 2o grau:

Cardano, então, “tenta” obter uma solução na forma

Ele nota que

( ) , ou seja,

( ) ( ) ( ) Tendo em conta essa última identidade, Cardano observa que, para que seja solução da cúbica , é suficiente encontrar u e v satisfazendo

, ou seja,

Ao estilo de Diofanto, fazendo, então,

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unidade 3

Teremos

. /

Se

, deduzimos, então,

em que

é o assim chamado discriminante da cúbica reduzida

. Finalmente, assumindo que , teremos, para √ ,

e então,

√ √ √ √

ou seja,

√ √

√ √

O mesmo resultado é obtido, quando consideramos √ , assumindo que as raízes cúbicas calculadas são as raízes cúbicas reais de números reais. Se o discriminante D é negativo, o uso da fórmula de Cardano requer um cálculo cuidadoso de raízes cúbicas complexas de números complexos. Cardano simplesmente afirmava que, no caso em que D < 0, sua fórmula não se aplicava. Na época de Cardano, os números complexos não haviam sido inventados. A fórmula de Cardano, porém, foi a gênese dos números complexos. Exemplo 3.24

Aplique a fórmula de Cardano para encontrar uma solução para a cúbica

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. Usando

√ √

√ √

,

obtemos:

√ ( ) √( )

√ ( ) √( )

√ √

√ √

√ √

√ √

√ √ √ √ . O método de Cardano não é o único, e nem sempre o mais prático para se obter soluções de equações cúbicas. A seguir, daremos outras alternativas para resolução de equações de grau 3 ou maior. FORMA FATORADA E QUANTIDADE DE RAÍZES

Para tratarmos do número de raízes de determinados polinômios, é imprescindível olharmos com cautela o Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado por Gauss em 1798. Teorema 3.9 (Teorema Fundamental da Álgebra)

Toda equação algébrica de grau n (𝑛𝑛 ) admite, pelo menos, uma raiz complexa.

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unidade 3

Não faremos a demonstração de tal teorema, mas apenas o uso desse importantíssimo resultado. Com base nele, podemos decompor um polinômio de grau n. É o que nos diz o próximo teorema. Teorema 3.10 (Teorema da decomposição)

Dado um polinômio ( )

de grau , esse admite a decomposição em n fatores do 1º grau, isto é: ( ) ( )( ) ( )

em que são as raízes da equação algébrica ( ) . Demonstração. Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à equação algébrica ( ) , concluímos que ela admite, pelo menos, uma raiz complexa, que denominaremos . Aplicando, em seguida, o Teorema de D’Alembert, verificamos que:

( ) ( ) ( ), sendo ( ), um polinômio de grau .

Se , então, e ( ) . Logo, ( ) ( ) e o teorema está demonstrado.

Se , então, . Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à equação algébrica ( ) , concluímos que ela admite ao menos uma raiz complexa, que denominaremos . Aplicando, em seguida, o Teorema de D’Alembert, verificamos que

( ) ( ) ( ), ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ), sendo ( ), um polinômio de grau ( ).

Se , então, e ( ) . Logo ( ) ( ) ( ), e o teorema está demonstrado.

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Se , então . Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra à equação algébrica ( ) , concluímos que ela admite ao menos uma raiz complexa, que denominaremos . Aplicando, em seguida, o Teorema de D’Alembert, verificamos que :

( ) ( ) ( ), ou seja,

( ) ( ) ( )( ) ( ), sendo ( ), um polinômio de grau ( ). Após n aplicações sucessivas do Teorema Fundamental da Álgebra e do Teorema de D’Alembert, concluímos que

( ) ( )( ) ( ) ( ) sendo ( ), um polinômio de grau Se desenvolvermos esse produto, verificaremos que o coeficiente de é . Identificando esse desenvolvimento ao polinômio original ( ), concluímos que . Logo:

( ) ( )( ) ( ). ⧠

Observações importantes:

FIQUE DE OLHO!

Abaixamento do grau de uma equação

Observe que, quando conhecemos uma raiz da equação ( ) , ao dividirmos ( ) por , encontramos o quociente Q(x), tal que ( ) ( ) ( ) Então

( ) ⬄ ( ) ( ) ⬄ ( ou ( ) )

1ª) Essa decomposição é única. 2ª) Toda equação algébrica de grau n admite n, e somente n, raízes complexas.

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unidade 3

Desse modo as demais raízes de ( ) serão da equação ( ) , e como grau de ( ) é uma unidade a menos que o grau de ( ), dizemos que abaixamos o grau da equação. A partir desse método, é possível resolver certas equações de graus maiores que 2, bastando conhecer alguma ou algumas raízes da equação. Exemplo 3.25

Verificar que uma raiz da equação é o número 1. Obter as outras raízes e fatorar ( ) . Para :

Logo, 1 é raiz. Façamos a divisão do polinômio do 1º membro por , utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

1 -3 4 -2

1 2 2 0 Assim, as demais raízes são as da equação , que, por sua vez, correspondem a

( ) √( )

√ ( )

Portanto, o conjunto solução da equação é dado por * + e temos: ( ) ( )( )( ).

EXERCÍCIOS 3.7

1) Resolva, em , a equação , sabendo-se que uma de suas raízes é -1. 2) Calcule k, de modo que a equação admita a raiz e, depois, resolva-a.

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3) Obtenha o polinômio P(x) de grau 3 que possui uma raiz igual a e duas raízes iguais

a -1, sendo ( ) . MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ

Entre as n raízes de uma equação algébrica de grau n, podemos ter algumas raízes iguais entre si. Quando exatamente r raízes são iguais a um mesmo número , dizemos que a raiz é de multiplicidade r. Nesse caso, na forma fatorada, o fator ( ) aparece exatamente r vezes. Desse modo:

Observações importantes!

Exemplo 3.26

Resolva a equação ( ) ( ) e indique a multiplicidade das raízes, sabendo que i é uma delas. Para determinar as outras raízes, vamos efetuar a divisão de ( ) ( ) por , com a finalidade de diminuir o grau da equação em uma unidade. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, teremos:

1 2

1 2i 0 Logo, temos a seguinte equivalência:

( ) ( ) ( ), ( ) -

𝛼𝛼 é raiz de multiplicidade r, r de P(x) ⬄ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) (𝑥𝑥 𝛼𝛼)𝑟𝑟𝑄𝑄(𝑥𝑥) e 𝑄𝑄(𝛼𝛼)

Se P(x) é divisível por (𝑥𝑥 𝛼𝛼)𝑟𝑟 e não é divisível por (𝑥𝑥 𝛼𝛼)𝑟𝑟 Se todas as raízes são distintas, cada uma delas terá multiplicidade 1.

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unidade 3

Além de , esta equação terá como raízes as soluções da equação ( )

Efetuando os cálculos, encontramos e . Assim, o conjunto solução é dado por * +, sendo que a raiz i tem multiplicidade 2. EXERCÍCIOS 3.8

1) Forme uma equação polinomial cujas raízes são -2, -1, 1 e 4, cada uma delas com multiplicidade 1. 2) Sabendo que -2 é uma raiz dupla da equação ( ) , decomponha, em fatores do 1º grau, o polinômio:

( ) 2) Se na equação , m é uma raiz dupla e é outra raiz,

ache m e n.

PESQUISA DE RAÍZES

Quando encontramos uma raiz da equação ( ) , dividimos ( ) por , recaindo numa equação de grau menor (procedimento que chamamos de abaixamento do grau de uma equação). Por exemplo, verificar que 1 é raiz de uma equação não é difícil, basta verificar se a soma de seus coeficientes é igual a zero. A seguir, faremos um estudo sobre as relações entre raízes e coeficientes de uma equação. Tais relações são conhecidas como Relações de Girard, como veremos, a seguir.

Raízes inteiras de equações com coeficientes inteiros

Suponha que seja uma equação do 3º grau em que os coeficientes e d são números inteiros, . Admita que é uma raiz da equação e que é um número inteiro. Temos:

⬄ ⬄ ( )

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Se são inteiros, então, também é um número inteiro, e como d é o produto de por um inteiro, d é múltiplo de , ou seja, é divisor de d. Assim, podemos concluir que as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do termo independente d. Generalizando para uma equação de grau n, , temos:

Desse modo, podemos descobrir se a equação tem ou não raízes inteiras, testando os divisores de , pois somente eles poderão assumir tal papel. Exemplo 3.27

Verificar se a equação admite raízes inteiras. Note que todos os coeficientes da equação são inteiros, portanto as possíveis raízes são os divisores do termo independente 8. Os divisores de 8 são 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8 e -8. Então, substituindo -1 na equação, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) , portanto -1 é raiz. Também -2 é raiz:

( ) ( ) ( ) ( ) Se verificarmos os outros divisores, veremos que nenhum outro é raiz da equação, mas somente -1 e -2. Raízes racionais de equações com coeficientes inteiros

Já vimos como encontrar raízes inteiras de equações com coeficientes inteiros. Mas e quanto às raízes racionais de equações com coeficientes inteiros? Para entender quando e como encontrá-las, considere a equação , com coeficientes e d inteiros, . Suponha que seja uma raiz

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎 Se 𝛼𝛼 é uma raiz inteira da equação de coeficientes inteiros

então, 𝛼𝛼 é um divisor de 𝑎𝑎 .

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unidade 3

racional da equação. Chame , onde p e q são inteiros primos entre si, ou seja, é a

forma irredutível de . De vem :

( ) ( )

( )

( ) e ( )

e ⏟

Como e

são inteiros, p e q são primos entre si, concluímos que q é divisor de

a, e p é divisor de d. Assim, as possíveis raízes racionais da equação dada são da forma , onde p é divisor do

termo independente d, e q é divisor do coeficiente dominante a. Em geral, para uma equação algébrica de grau n, , temos a validade do seguinte resultado: Exemplo 3.28

Verificar se a equação admite raízes racionais. Para responder esta questão, analisemos os divisores do termo independente e do coeficiente dominante e suas respectivas razões. Os divisores do termo independente -1 são: 1 e -1. Os divisores do coeficiente dominante 2 são: 1, -1, 2 e -2. Como todos os coeficientes são inteiros, as possíveis raízes racionais da equação são da

forma * + * + {

}

Para ;

𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎

Se 𝛼𝛼 𝑝𝑝𝑞𝑞, p e q, inteiros primos entre si, é uma raiz racional da equação de coeficientes

inteiros

então p é divisor de 𝑎𝑎 , e q é divisor de 𝑎𝑎𝑛𝑛.

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para ;

para ,

;

para ,

.

Portanto, a única raiz racional da equação é

FIQUE DE OLHO!

Até o dado momento, estabelecemos as relações entre raízes inteiras de equações com coeficientes inteiros e entre raízes racionais de equações com coeficientes inteiros. Mas e qual será a relação entre raízes complexas e os coeficientes reais de uma equação? Esse é o nosso próximo assunto.

Raízes complexas de equações com coeficientes reais

Primeiramente, recordemos as propriedades dos números complexos e conjugados. Dado um número complexo, , chamamos de conjugado de z ao complexo . Propriedades dos complexos conjugados

a) b) c) d) ⬄ e) ( ) ( )

Com essas propriedades, demonstramos o teorema:

Note que, nas equações de coeficientes inteiros, o conjunto das possíveis raízes racionais contém o conjunto das possíveis raízes inteiras.

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unidade 3 Teorema 3.11 Se é raiz de uma equação algébrica com coeficientes reais, então, também é raiz dessa equação. Demonstração. Considere a equação algébrica

em que e . Se, por hipótese, é raiz dessa equação, então:

Sendo o conjugado de , temos:

Logo,

, o que prova que é raiz da equação dada. Consequências do teorema

Se é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica com coeficientes reais, então, também é raiz de multiplicidade m dessa equação.

Numa equação algébrica com coeficientes reais, o número de raízes imaginárias é sempre par.

Uma equação algébrica com coeficientes reais e grau ímpar admite um número ímpar de raízes reais (logo, admite ao menos uma raiz real).

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Exemplo 3.29

Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admite as raízes . Como os coeficientes da equação são reais, ela admite ao menos as raízes . Logo, o menor grau possível da equação é 7.

EXERCÍCIOS 3.9

1) Encontre as raízes inteiras da equação . 2) Encontre as raízes racionais da equação . 3) Resolva a equação ( ) ( ) , observando que a soma dos coeficientes é nula. 4) Determine o menor grau possível de uma equação algébrica com coeficientes reais que admite 2, como raiz dupla; como raiz dupla e como raiz tripla.

RELAÇÕES DE GIRARD

Por volta de 1630, o matemático Albert Girard obteve informações gerais a respeito de raízes de uma equação algébrica, relacionando-as com os coeficientes da equação. Lembremos que, ao resolver uma equação do 2º grau, como por exemplo , podemos estabelecer que

{

Em alguns casos, esse sistema nos leva as raízes da equação. Neste exemplo, e . Tais relações entre raízes e coeficientes de uma equação podem ser generalizadas. Vamos analisar alguns casos. 1º) Equação do 2º grau

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unidade 3

Considere a equação algébrica:

Utilizando o Teorema da decomposição, temos: ( )( ),

em que e são as raízes da equação dada. Desenvolvendo e identificando os polinômios, chegamos a

( ) ,

onde ( ) ⇒ e ⇒

Assim, são conhecidas como relações de Girard, para uma equação do 2º grau. 1º) Equação do 3º grau

Considere a equação algébrica

Utilizando o Teorema da decomposição, obtemos: ( )( )( )

em que , e são as raízes da equação dada. Desenvolvendo e identificando os polinômios, teremos: ( ) ( ) Logo,

𝑏𝑏 𝑎𝑎(𝛼𝛼 𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑐𝑐 𝑎𝑎𝛼𝛼 𝛼𝛼 ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑏𝑏 𝑎𝑎(𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑏𝑏𝑎𝑎

𝑐𝑐 𝑎𝑎(𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 ) ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑑𝑑 𝑎𝑎𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 ⇒ 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑎𝑎

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Essas três relações são chamadas relações de Girard, para uma equação de 3º grau. Exemplo 3.30

Sejam , e raízes da equação algébrica do 3º grau . Utilizando as relações de Girard, concluímos que

Exemplo 3.31

Vamos resolver a equação , utilizando as relações de Girard. Chamando de , e , as raízes procuradas, podemos escrever:

( ) ⇒ (1)

⇒ ( ) (2)

( ) ⇒

(3)

Substituindo (1) e (3) em (2), resulta:

( )

( ) ⬄ 6 , ou seja,

Portanto, usando as relações de Girard recaímos em uma equação equivalente a inicial, sem possibilidade de resolvê-la, utilizando somente as relações. Apesar disso, as relações de Girard podem ser bastante úteis, quando a explicitação das mesmas não for necessária. Em geral, para uma equação algébrica de grau n, temos:

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unidade 3

com raízes que , , podemos escrever:

Essas n igualdades são chamadas relações de Girard, para uma equação de grau n. Assim, finalizamos nosso estudo sobre polinômios e equações algébricas. EXERCÍCIOS 3.10

1) Escreva as relações de Girard para a equação .

2) Obtenha a soma e o produto das raízes da equação .

3) Calcule m, de modo que a equação tenha uma raiz igual ao inverso da outra. Depois, resolva a equação. (Sugestão: utilize as relações de Girard) 4) Calcule k, de modo que as raízes da equação ( ) tenham soma igual ao produto.

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼𝑛𝑛 ( )𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛− 𝑎𝑎𝑛𝑛

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PARA FINAL DE CONVERSA...

Que bom que você chegou ao final de mais uma etapa. Essa chegada é fruto de sua vontade, dedicação e persistência. Sabemos que não foi fácil essa caminhada. Ao cursar essa disciplina, esperamos que você tenha experimentado um contato mais profundo com a Trigonometria, com os Números Complexos e com as Equações Polinomiais. Através dela, você revisou conteúdos, teve experiências com formas diferentes de abordar alguns conceitos conhecidos e adquiriu novos conhecimentos. Essa bagagem será importante para você continuar os estudos em Matemática, além de lhe proporcionar formas diferentes para atuar em atividades relacionadas com o ensino. Esperamos que esse texto tenha sido agradável e proveitoso para você. Foi assim que nos sentimos ao escrevê-lo. Desejamos-lhe sucesso em seus estudos e estamos muito felizes por termos percorrido com você esse caminho. Cordialmente, Os autores.

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REFERÊNCIAS

CARMO, M.P.; MORGADO, A.C.; WAGNER, E. Trigonometria e Números Complexos. Rio de Janeiro: Ed. SBM, 2006. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios, equações. São Paulo: Atual, 1993. MACHADO, A. S. Matemática: Geometria analítica e polinômios. São Paulo: Atual, 1986. Matemática, temas e metas. MACHADO, A. S. Matemática: trigonometria e progressões. São Paulo: Atual, 1986. Matemática, temas e metas. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Publicação quadrimestral da SBM - Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro. (mais de 50 números publicados). SAMPAIO, J. C. V. Ensino da Matemática Através da sua história: Equações do primeiro, segundo e terceiro graus. UFSCar, São Carlos, SP. Disponível em: http://www2.ufscar.br/interface_frames/index.php?link=http://www.dm.ufscar.br. Acesso em: 06 nov. 2011. TROTTA, F. Matemática por assunto, 8: números complexos, polinômios e equações. São Paulo: Scipione, 1988.

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