Fundamentos de Análise de Sinais Processos Aleatórios Estacionários.

Fundamentos de Análise de Sinais

Processos Aleatórios Estacionários

Conceitos Básicos

kx t t

- Conjunto de valores possíveis de um processo estacionário;

- t é o tempo em que se amostrou o a variável aleatória;

- k denota o número de ordem de um conjunto de N amostras visualizadas nos instantes de tempo t1,...,tN .

Conceitos Básicos

x k

y k

t E x t

t E y t

1 2 1 2

1 2 1 2

x x

y y

t t se t t

t t se t t

Considerando t1=t e t2=t+t têm-se:

,

,

,

xx k x k x

yy k y k y

xy k x k y

C t t E x t t x t t

C t t E y t t y t t

C t t E x t t y t t

Conceitos Básicos

x k

y k

t E x t

t E y t

1 2 1 2

1 2 1 2

x x

y y

t t se t t

t t se t t

Considerando Tau=0 têm-se:

2 2

2 2

,

,

,

xx k x x

yy k y y

xy k x k y xy

C t t E x t t t

C t t E y t t t

C t t E x t t y t t C t

Conceitos Básicos

Se somente os valores da média, da

variância e da covariância são invariantes

com o tempo os processos são ditos

fracamente estacionários.

Se todas as propriedades estatísticas são

invariantes com o tempo os processos são

ditos fortemente estacionários.

Funções de Correlação

,

,

,

xx k k

yy k k

xy k k

R t t E x t x t

R t t E y t y t

R t t E x t y t

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

, ,

, ,

, ,

xx

yy

xy

R t t x x p x x dx dx

R t t y y p y y dy dy

R t t x y p x y dx dy

2

2

xx xx x

yy yy y

xy xy x y

C R

C R

C R

Funções de Correlação

xx xx

yy yy

xy xy

R R

R R

R R

Função par

Ser uma função não negativa definida.

Funções Autocorrelações Especiais

Constante


Harmônico


Harmônico

0sin 2kx t X f t k 12p

0 1

0 2

sin 2

sin 2

k

k

x t X f t k x

x t X f t k x

1 2

22

0 00

2

0

sin 2 sin 22

cos 22

xx k k

xx

xx

R E x t x t E x x

XR f t f t d

XR f


Ruído Branco


Ruído com baixas freqüências


Ruído de banda estreita


Exponencial


Harmônico* exponencial


(Seno+Co-seno) * exponencial

Onda retangular


O número de mudanças em

seg. é uma variável aleatória.k

cx t

c

22 2

1

1!

n

n

xxn

R c e c en

Soma de dois processos estacionários


1 1, 2 2,

1 1,

2 2,

podem ser correlacionadas

k k k

k

k

y t a x t a x t

a x t

a x t

2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R

Processos estatisticamente dependentes porém não correlacionados


2cos1

sin

xy x

y

,p x y p x p y

Variável aleatória

x e y são estatisticamente dependentes

cos sin cos sin

1 1sin 2 sin 2 0

2 2

xyC E xy E x E y

E E E

E E

0, por que sin 0xE x E

Funções Coeficiente de Correlação

0 0xx xx xx xxR R C C

2 2

2 2

0

0

xx k x

yy k y

R E x t

R E y t

2 2 2xy x yC

2

2

0

0

xx x

yy y

C

C

1 1xyxy

x y

C

20 0xy xx yyR R R 2

0 0xy xx yyC C C

xyxy

x y

R

Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares

0y t ax t t n t

0

0 0

xy

xy xx

R E x t y t E x t ax t t n t

R aE x t x t t aR t

20max

0xy xy xx xR R aR a

0d ct


Se x(t) for uma onda com velocidade de propagação c tem-se:


00

0

xy xxy

x y y

xy y x

R tt a

a t

2 2 2 2 2y x nE y t a

2 2 2 2

2 2 2

variância de devido a

1 variância de devido a

x xy y

n xy y

a y t x t

y t n t

yy xx nnR E x t y t aR R

Funções Densidade Espectrais

Via funções de correlação

Via transformada finita de Fourier

Via filtro passa-banda


R d

2

2

2

i fxx xx

i fyy yy

i fxy xy

S f R e d

S f R e d

S f R e d

Condição para existência da função densidade espectral

2

2

2

i fxx xx

i fyy yy

i fxy xy

R S f e df

R S f e df

R S f e df

Transformada de Fourier direta

Transformada de Fourier inversa

Isto é sempre verdade para amostras finitas


Propriedades de simetria

*

*

*

xx xx xx

yy yy yy

xy xy yx

S f S f S f

S f S f S f

S f S f S f

2

* 2

2

i fxy xy

i fxy xy

i fyx yx

S f R e d

S f R e d

S f R e d

u

d du

2

2

i fuxy xy

i fuyx yx

xy yx

S f R u e du

S f R u e du

S f S f

Prova


0

0

cos 2 2 cos 2

cos 2 2 cos 2

xx xx xx

yy yy yy

S f R f d R f d

S f R f d R f d

Função auto densidade

0

0

2 cos 2

2 cos 2

xx xx

yy yy

R S f f df

R S f f df

2 0

2 0

xx xx

yy yy

G f S f f

G f S f f


0

0

0

0

4 cos 2

4 cos 2

2 cos 2

2 cos 2

xx xx

yy yy

xx xx

yy yy

G f R f d

G f R f d

R G f f df

R G f f df




2 2

0

2 2

0

0

0

xx x xx

yy y yy

R E x t G f df

R E y t G f df

0


Função densidade cruzada

2 0xy xyG f S f f

Co-espectro

Quad-espectro

xy

xy

C f

Q f

22 i fxy xy xy xyG f R e d C f jQ f

2 2

1tan

xy

xy xy xy

xyxy

xy

j f

xy xy

G f C f Q f

Q ff

C f

G G f e



xy xy

xy xy

C f C f

Q f Q f

cos

sin

xy xy xy

xy xy xy

C f G f f

Q f G f f

1

2não muda

xy xy

xy

S f G f

f



y(t) está em atraso em relação a x(t)

x(t) está em atraso em relação a y(t)


Constante


Harmônico


Ruído Branco


Ruído com baixas freqüências


Ruído de banda estreita


Exponencial


Exponencial*co-seno


Exponencial*co-seno + Exponencial*seno


Ruído de Banda Estreita

0 00 2 2

0 outros valores de xx

a f B f f BG f

f

0

0

2

02

sincos 2 cos 2

f B

xx f B

BR a f df aB f

B


Ruído de baixa frequências

0

0 outros valores de xx

a f BG f

f

sin 2

2xx

BR aB

B

0 2f B

0

0xx xxG f df aB R


Ruído de Branco

0xxG f a f 2xxS f a f

0 2f B

0

0xx xxG f df R

2xxR a

Fisicamente Impossível


Sinal harmônico

2

02xx

XG f f f

2

0 04xx

XS f f f f f

2

00

2xx xx

XG f df R

2

0cos 22xx

XR f


Soma de dois processos

2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 22yy x x x x x xG f a G f a a C f a G f

2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 2yy x x x x x xS f a S f a a C f a S f

2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R


Espectro Via Transformada de Fourier de Curta Duração

*

2*

2*

12 lim , ,

1 12 lim , , 2 lim ,

1 12 lim , , 2 lim ,

xy k kT

xx k k kT T

yy k k kT T

G f E X f T Y f TT

G f E X f T X f T E X f TT T

G f E Y f T Y f T E Y f TT T

*

2

0

2

0

1, , , ,

,

,

xy k k

T j ftk k

T j ftk k

S f T k X f T Y f TT

X f T x t e dt

Y f T y t e dt


Espectro através de filtros

20 00

1ˆ , ,T

xxG f x f B t dtBT


0 0 0ˆ ˆ ˆxy xy xyG f C f jQ f

Espectro através de filtros


2

xy xx yyG f G f G f

Função Coerência

2 2

2 xy xy

xyxx yy xx yy

G f S f

G f G f S f S f

20 1xy


Sistema com Atraso

0xy xxR aR

0

0

2

2

02

j fxy xx

j fxy xx

xy xx

xy

S f aS f e

G f aG f e

G f aG f

f f

2

2

2 2

xy xx

yy xx nn

xy xxxy

xx yy yy

a G f G f

G f a G f G f

G f G fa

G f G f G f


Sistema com Atraso

00 2

0

00 2

0

ˆ ˆ2

ˆ2

ˆ ˆ2

ˆ2

xy xy

xy

xy xy

xy

f S f f df

f S f df

f G f f df

f G f df

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