Fundamentos de Análise de Sinais Sistemas 1 Entrada e 1 Saída SISO.

Fundamentos de Análise de Sinais

Sistemas 1 Entrada e 1 SaídaSISO

Conceitos Básicos

Hipóteses

Sinais de entrada e saída são estacionários

Os sinais possuem média nula

O Sistema possui função transferência linear

Notação

Conceitos Básicos

0

y t h x t d

Função resposta ao impulso h H f FFT h t

0

Integral de convolução (Integral de Duhammel)h x t d

0

0

y t y t h h x t x t d d

x t y t h x t x t d

Variável relacionada a resposta à excitação em

Variável relacionada a resposta à excitação em

y t x t

y t x t

Conceitos Básicos

0xy xxR h R d

0

2

yy

yy

yy xx

S f fft y t y t

S f fft h h x t x t d d

S f H f S f

Conceitos Básicos

0

xy

xy xx

xy xx

S f fft y t x t

S f fft h R d

S f H f S f

2

xy

yy xx

xy xx

j f

xy xy

j f

G f H f G f

G f H f G f

G f G f e

H f H f e

xy xx

xy

G f H f G f

f f

22

0

y xxH f G f df

Y f H f X f

Conceitos Básicos

2

* *

yy xx

xy xx

xy yx xx

G f H f G f

G f H f G f

G f G f H f G f

*

xy

xy

xy

xy

j f

yx xy

j f

xy xy

j f

j f

G f G f e

G f G f e

H f H f e

H f H f e

* * *

2 2 2

2*

Y f H f X f

Y f H f X f

Y f H f X f

X f Y f H f X f

Conceitos Básicos

xy

xx xy yy

xx yxyy

yx

G fH f

G f G f G f

G f G fG fH f

G f

2

xy xx yyG f G f G f

*

*

xyj fxy

yx

yy xx yx

xy xx

G f H fe

G f H f

G f H f H f G f H f G f

G f H f G f

Propriedades de resposta de um filtro passa baixo

Constante de tempo do filtroK RC

11 2 j fH f j Kf H f e

1

0

0 0

Keh K

12 2

1

1 2

tan 2

H f Kf

f Kf

22

0 0

0

41 2

cos 24

y yy

Kyy yy

A AG f df df

KKf

AR G f f df e

K

Ruído Branco

2

2

Ruído Branco

1 2

xx

yy xx

G f A

AG f H f G f

Kf

Propriedades de resposta de um filtro passa baixo

Constante de tempo do filtroK RC

11 2 j fH f j Kf H f e

12 2

1

1 2

tan 2

H f Kf

f Kf

2

22

0 0

2

020 0

2

1 2

2cos 2 sin 2

1 2

y yy

yy yy

XG f df

Kf

XR G f f df f

Kf

Sinal Harmônico

20

22 0

2

2

2

1 2

xx

yy xx

G f X f f

X f fG f H f G f

Kf

Sistema com entrada de força e saída o deslocamento

2

0

22

2

2

4

cos 2 14

sin 2 11

n

ny yy

fn

yy n

n

G fG f df

G f eR f

f

Ruído Branco

2

22 21 2

xx

yy xxF d

n n

G f G

GG f H f G f

f f f f

Sistema com entrada de força e saída o deslocamento

0 01cos 2F t kx t kX f t f T

22 2 2 20

0

0

22

2

12

1max

2

max8

T

y

r

y

y t dt k X H fT

H f H fk

X

Força Harmônica

0 0 0cos 2y t kX H f f t f

Sistema com entrada de deslocamento pela base e saída o deslocamento

Deslocamento Harmônico

2

2

22 2

1 2

1 2

xx

n

yy xxd d

n n

G f G

G f fG f H f G f

f f f f

2

0

2

22

2

2

2 2

4

cos 2 11 4

1 44 sin 2 11 4 1

n

ny yy

n

n fyy

n

G fG f df

fG f

R ef

Função de Coerência Ordinária

2 2

2

20 1

xy xy

xyxx yy xx yy

xy

G f S ff

G f G f S f S f

f

Valor unitário – Sistema linear de parâmetros constantes, sem ruídos estranhos a entrada e a saída.

Valores diferentes da unidade:• Ruídos estranhos às medidas• O sistema possui algum comportamento não linear• A entrada medida não é a única entrada do sistema

linear.

Função de Coerência OrdináriaExemplo

Função de Coerência Ordinária

1

1

X f A f X f

Y f B f Y f

2

1 1

2

1 1

1 1 *

x x xx

y y yy

x y xy

G f A G f

G f B G f

G f A BG f

2 22

1 12 22 2

1 1 1 1

20 1

x y xy

xy xyx x y y xx yy

xy

G f AB G ff f

G f G f A G f B G f

f

Modelo com Ruídos Estranhos

“m” – ruído não correlacionado com “u” “x” – variável medida pela instrumentação “u” – grandeza física de entrada no sistema linear H(f) “n” – ruído não correlacionado com “v” “y” – variável medida pela instrumentação “v” – grandeza física de saída do sistema linear H(f)


x t u t m t

y t v t n t

Auto espectro

0

0

xx uu mm

yy vv nn

um vn

mn

G f G f G f

G f G f G f

G f G f

G f


2

xy uv uu

vv uu

G f G f H f G f

G f H f G f


2

xy xy xy

uu uu xx mm

yy nnvv

uu xx mm

G f G f G fH f

G f G f G f G f

G f G fG fH f

G f G f G f

A função transferência H(f) não pode ser determinada pela medida de x(t) e y(t) somente.


2 2

2

2 1

1

xy uvxy

xx yy uu mm vv nn

xy

G f G ff

G f G f G f G f G f G f

ff f f f

mm uu nn vvf G f G f f G f G f


nn vv vvf G f G f G f f

mm uu uuf G f G f G f f Ressonância

Anti-ressonância


x t u t

y t v t n t

Auto espectro

xx uu

yy vv nn

G f G f

G f G f G f

Ruído na saída


1

1

2

2

1

xy uv xx

xy

xx

xy

vv uuxx

G f G f H f G f

G fH f

G f

G fG f H f G f

G f

Ruído na saída


2 2

2

2 1

1

xy uvxy

xx yy uu vv nn

xy

G f G ff

G f G f G f G f G f

ff

nn vvf G f G f

Ruído na saída


2

2

2

1uvuv

uu vv

vv xy yy

G ff

G f G f

G f f G f

21nn xy yyG f f G f

Ruído na saída


x t u t m t

y t v t

Auto espectro

xx uu mm

yy vv

G f G f G f

G f G f

Ruído na entrada


*2

2

2 2

2

2

yx uv uu

yy

yx

yx xyvvuu

yy yy

G f G f H f G f

G fH f

G f

G f G fG fG f

G f G fH f

Ruído na entrada


2 2

2

2 1

1

xy uvxy

xx yy uu mm vv

xy

G f G ff

G f G f G f G f G f

ff

mm uuf G f G f

Ruído na entrada

Modelo com Ruídos EstranhosRuído na entrada

2

2

2

1uvuv

uu vv

uu xy xx

G ff

G f G f

G f f G f

21mm xy xxG f f G f

Modelo com Ruídos EstranhosFunção Resposta em Freqüência Ótima

Y f H f X f N f * * * *

N f Y f H f X f

N f Y f H f X f

Resposta do sistema Cálculo do ruído


2 2 * * *

2*

N f Y f H f X f Y f H f X f Y f

H f H f X f

* *nn yy yx xy xxG f G f H f G f H f G f H f H f G f

Definição do ruído para qualquer função transferência H(f) do sistema linear.


0nnG f

H f

Para uma função transferência ótima tem-se que o ruído será mínimo.

Parcela REAL 2 0

Parcela IMAGINÁRIA 2 0

nnyx xy R xx

R

nnyx xy I xx

I

GG G H G

H

GjG jG H G

H


2

2

xy yxR

xx

xy yx

Ixx

G GH

G

j G GH

G

R IH H jH

xy

xx

G fH

G f

FRF ótima


2

2

1nn xy yy

vv yy nn xy yy

G f f G f

G f G f G f f G f

*

0

0

xv xx

xn xy xx

vn xn

G f H f G f

G f G f H f G f

G f H f G f

Modelos 1 Entrada/2 Saídas

1 1 1 2 2 2 1 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

*1 2 1 2 1 2

0xn v n xn v n n n

y y v v n n xx n n

y y v v n n xx n n

xy xv xx

xy xv xx

y y v v xx

G f G f G f G f G f

G f G f G H f G f G

G f G f G H f G f G

G f G f H f G f

G f G f H f G f

G f G f H H G

Modelos 1 Entrada/2 Saídas

2 21 12 1 1

11 1 1 1 1 1

2 22 22 2 2

22 2 2 2 2 2

2

1 2 1 22 2 21 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

xy xx v vxy

xx y y xx y y y y

xy xx v vxy

xx y y xx y y y y

y y v vy y xy xy

y y y y y y y y

G H G Gf

G G G G G

G H G Gf

G G G G G

G Gf

G G G G

Modelos 1 Entrada/N Saídas

i i iY f H f X f N f


2

22

0

xyi i xx

xyii

xx

xyi

xyxx yiyi

xyi i xx

G f H f G f

G fH f

G f

Gf

G G

R h R d


11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

33 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1

1

1

y y v v n n v v

y y v v n n v v

y y v v n n v v

G f G f G f G f G f c




1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

n n v v

n n v v

n n v v

c G f G f

c G f G f

c G f G f

12 1 2 1 2

13 1 3 1 3

23 2 3 2 3

y y v v

y y v v

y y v v

G f G f G f

G f G f G f

G f G f G f


2 2 2

12 13 232 2 212 13 23

11 22 11 33 22 33

G f G f G f

G f G f G f G f G f G f


23 13 121 2 3

12 13 12 23 13 23

1 1 1c c c


3311 22

1 1 2 2 3 31 2 31 1 1v v v v v v

GG GG G G

c c c

Matriz de Sensores

A hipótese fundamental é que as funções transferência são essencialmente as mesma exceto pelo atraso nas respostas medidas.

Matriz de Sensores

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