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Descrição de Sinais em Tempo & FrequênciaFrequência Instantânea e Sinal Analítico

Referências

Fundamentos de Análise Tempo-Frequênciacom Aplicação a Processamento de Sinais - 1

Luiz W. P. Biscainho1 Paulo A. A. Esquef2

1Programa de Engenharia Elétrica do COPPEUniversidade Federal do Rio de Janeiro

2Coordenação de Sistemas e ControleLaboratório Nacional de Computação Científica

24 a 28-01-2011 / Programa de Verão do LNCC

Biscainho, Esquef Análise Tempo-Frequência


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Sumário

1 Descrição de Sinais em Tempo & FrequênciaIntrodução e DefiniçõesDescrição de Sinais no TempoDescrição de Sinais na FrequênciaOutras Relações entre Tempo e FrequênciaConsiderações Adicionais

2 Frequência Instantânea e Sinal AnalíticoIntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea



Referências

Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações

Análise de Sinais em Tempo-FrequênciaDe que se trata?

Sinal: em geral, função de diversas variáveisAnálise de sinal: estudo e caracterizaçãode suas componentes elementaresÊnfase: sinais que variam no tempo(desenvolvimentos extensíveis)Representação alternativa pode ser mais informativa(se associada à origem física do sinal, p.ex.)Alternativa mais importante para sinais no tempo:representação na frequênciaMatemática: FourierAnálise espectral revolucionou estudo da Natureza



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Metodologia

Análise no TempoAnálise na FrequênciaAnálise em Tempo-Frequência



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Funções Trigonométricas

cos(ϕ), sen(ϕ),ejϕ

ϕ é ângulo, expresso em radiano ou grau.

j =√−1 é a unidade imaginária.

O argumento ϕ pode variar com o tempo.Ex.: s(t) = cos(ϕ(t)).

A função ϕ(t) é chamada de fase.Ex. ϕ(t) = ωt (fase linear).

Identidade de Euler: ejϕ = cos(ϕ) + jsen(ϕ).

cos(ϕ) = ejϕ+e−jϕ

2 .

sen(ϕ) = ejϕ−e−jϕ

2j .



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Frequência e Densidade

Frequência: Número de ocorrências de um eventoem certo intervalo ou domínio sob consideração.

Densidade : (Def. Newton) Quantidade de matériapor unidade de volume.

Função de Densidade: Generalizável paraoutras grandezas. Ex. energia por unidade de tempo.



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Frequência em Sinais Senoidais

É número de períodos (ciclos de oscilação)por unidade de tempo.Taxa de variação da fase em relação ao tempo.Unidades: Hz ou rad/s1 Hertz = 1 ciclo por segundoωrad/s = 2πfHz

s(t) = cos(ωt), com fase em rad: ω é frequência em rad/s.



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“Funções” DeltaDirac e Kronecker

Delta de Dirac

δ(t) = 0, para t 6= 0∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1 |

0 tt0

(t – t0)

Delta de Kronecker

δ[n] =

1, n = 00, n 6= 0

−4 −2 0 2 40

0.5

1



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Convolução LinearCasos contínuo e discreto

Caso Contínuo

(g ∗ f )(t) =∫ ∞−∞

g(τ)f (t − τ)dτ

Caso Discreto

(g ∗ f )[n] =∞∑

k=−∞

g[k ]f [n − k ]



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Multiplicação com DeltaAmostragem ou Peneiragem

Multiplicação com Delta (Amostragem)

s(t)δ(t − t0) = s(t0)δ(t − t0)

s(t)

t(t - t0)

t0 t

tt0

s(t0)δ(t-t0)



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Convolução com DeltaDeslocamento

Convolução com Delta (Deslocamento)

S(Ω) ∗ δ(Ω− Ω0) = S(Ω− Ω0)

|S()|

( - 0)

0

C- C

0

|S mod()|

0 - C 0 + C



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Convolução como ProjeçãoCaso Discreto

(g ∗ f )[n] =∑∞

k=−∞ g[k ]f [n − k ]

Vetorialmente (fazendo f [n] = f [−n])

(g ∗ f )[n] = 〈g, fn〉 = ‖g‖‖fn‖ cos(θ)

Graficamente

fn

θg



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Representação Espectral (Fourier)Visão Intuitiva

Objetivo: Saber das frequências presentes em s(t).Proposição de Fourier: Projetar s(t) sobre uma funçãoφ(t) que só possua uma única frequência.Escolha conveniente: φ(t) = ejω0t

Formulação

S(ω0) =

∫ ∞−∞

s(t)e−jω0tdt

|S(ω0)| 6= 0 indica da presença ejω0t em s(t).Avaliando S(ω0) para −∞ ≤ ω0 ≤ ∞ obtém-se acaracterização frequencial por todo o espectro.



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Representação Espectral (Fourier)Funções Senoidais

Estudo de Caso: s(t) = ejω1t

S(ω0) =

∫ ∞−∞

ejω1te−jω0tdt =

∫ ∞−∞

ej(ω1−ω0)tdt

S(ω0) =

∫ ∞−∞

cos((ω1 − ω0)t)dt + j∫ ∞−∞

sen((ω1 − ω0)t)dt

S(ω0) =

0, ω1 6= ω0∞, ω1 = ω0



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Representação Espectral (Fourier)Funções Senoidais

s(t) = Aejω0t tem espectro

S(ω) = 2Aπδ(ω − ω0)|

0 0

2A ( – 0)

s(t) = A cos(ω0t) tem espectro

S(ω) = Aπδ(ω − ω0) + Aπδ(ω + ω0)|

0 0

A ( + 0) A ( – 0)

– 0



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Representação de FourierTrês Propriedades Úteis

Convolução no tempo: s1(t) ∗ s2(t) F←→ S1(ω)S2(ω)

Multiplicação no tempo: s1(t)s2(t) F←→ S1(ω) ∗ S2(ω)

Modulação: ejω0ts(t) F←→ S(ω − ω0)



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Descrição no Tempo - Motivação

Forma de onda: s(t)Sinal real mais simples: senoide s(t) = a cos(ω0t)

Amplitude constante a, Frequência constante ω0(fase linear ϕ(t) = ω0t)

Generalização: s(t) = a(t) cos(ϕ(t))Amplitude a(t), Fase ϕ(t) arbitrárias (múltiplas escolhas)

Modulação:AM – em amplitudePM – em faseFM – em frequência

Pode ser desejável construir o sinal complexos(t) = A(t)ejϕ(t) = sr (t) + jsi(t),sendo sr (t) o sinal real de interesse(múltiplas escolhas, novamente)



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Potência e EnergiaDefinições

Potência Instantânea = Densidade Temporal de Energia:|s(t)|2

Energia Total E =∫|s(t)|2dt

Há sinais com E →∞ (ex. periódicos)Sem perda de generalidade, convenciona-se para E finito:E = 1



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Caracterização no TempoDefinições

Tempo em que se poderia concentrar a energia total:Tempo médio (momento de 1a. ordem)〈t〉 =

∫t |s(t)|2dt

Duração eficaz T do sinal = desvio-padrão σt de t :T 2 = σ2

t =∫

(t − 〈t〉)2|s(t)|2dt = 〈t2〉 − 〈t〉2

Obs.: Média de função real qualquer do tempo〈g(t)〉 =

∫g(t)|s(t)|2dt



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Análise na FrequênciaPor quê?

Análise espectral de forma de ondapode informar sobre propriedades de sua fonte.Propagação de uma onda por um meiovaria com a frequência.Decomposição em senoidessimplifica compreensão da forma de onda.Análise de Fourier é ferramenta poderosapara resolver equações diferenciais.



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Análise na FrequênciaFormulação

s(t) como combinação linearde exponenciais complexas ejωt :s(t) = 1√

2π

∫S(ω)ejωtdω (ITF)

S(ω) obtida pela projeçãode s(t) sobre cada componente ejωt :S(ω) = 1√

2π

∫s(t)e−jωtdt (espectro ou TF)

S(ω) = B(ω)ejψ(ω)

Amplitude Espectral B(ω), Fase Espectral ψ(ω)



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Potência e EnergiaDefinições

Densidade Espectral de Energia: |S(ω)|2

Energia Total E =∫|S(ω)|2dω

Teorema de Parseval:∫|s(t)|2dt =

∫|S(ω)|2dω



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Caracterização na FrequênciaDefinições

Frequência em que se poderia concentrar a energia total:Frequência média (momento de 1a. ordem)〈ω〉 =

∫ω|S(ω)|2dω

Largura de faixa eficaz B do sinal =desvio-padrão σω de ω:B2 = σ2

ω =∫

(ω − 〈ω〉)2|S(ω)|2dω = 〈ω2〉 − 〈ω〉2

Obs.: Média de função real qualquer da frequência〈g(ω)〉 =

∫g(ω)|S(ω)|2dω



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Caracterização na Frequênciaem função do sinal - 1

〈ω〉 =∫

s∗(t)1j

ddt s(t)dt

〈ω2〉 =∫ ∣∣ d

dt s(t)∣∣2 dt

B2 =

∫ ∣∣∣(1j

ddt − 〈ω〉

)s(t)

∣∣∣2 dt

Pode-se dispensar o cálculo de S(ω), conhecendo-se s(t).



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Caracterização no tempoem função do espectro - 1

〈t〉 = −∫

S∗(ω)1j

ddωS(ω)dω

〈t2〉 =∫ ∣∣ d

dωS(ω)∣∣2 dω

T 2 =

∫ ∣∣∣(1j

ddω + 〈t〉

)S(ω)

∣∣∣2 dω

Pode-se dispensar o cálculo de s(t), conhecendo-se S(ω).



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Caracterização na Frequênciaem função do sinal - 2

Considerando s(t) = A(t)ejϕ(t):〈ω〉 =

∫ϕ′(t)A2(t)dt =

∫ϕ′(t)|s(t)|2dt

A frequência média foi obtida pela integração de ϕ′(t)ponderada por |s(t)|2 ao longo do tempo.Frequência Instantânea ωi(t) = ϕ′(t)

B2 =

∫ (A′(t)A(t)

)2A2(t)dt +

∫(ϕ′(t)− 〈ω〉)2A2(t)dt Fig 1.1

Contribuição da AM: B2AM =

∫A′2(t)dt

(variações na amplitude)Contribuição da FM: B2

FM =∫

(ϕ′(t)− 〈ω〉)2A2(t)dt(desvios em relação à frequência média)



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Caracterização no tempoem função do espectro - 2

Considerando S(ω) = B(ω)ejψ(ω):〈t〉 =

∫−ψ′(ω)B2(ω)dω =

∫−ψ′(ω)|S(ω)|2dω

O tempo médio foi obtido pela integração de −ψ′(ω)ponderada por |S(ω)|2 ao longo da frequência.Atraso de Grupo tg(ω) = −ψ′(ω)

T 2 =

∫ (B′(ω)B(ω)

)2B2(ω)dω +

∫(ψ′(ω) + 〈t〉)2B2(ω)dω

Contribuição da SAM: TSAM =∫

B′2(ω)dω(ressonâncias)Contribuição da SFM: TSFM =

∫(ψ′(ω) + 〈t〉)2B2(ω)dω

(desvios em relação ao atraso médio)



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Covariância de um Sinalpartindo do tempo

Correlação Temporal entre tempo e frequênciainstantânea:〈tωi(t)〉 =

∫tϕ′(t)|s(t)|2dt

Se são descorrelacionados, espera-se que〈tωi(t)〉 = 〈t〉〈ω〉.Diferença entre a correlação e 〈t〉〈ω〉 medeo grau de correlação: Covariância t-ω do sinalCovtω = 〈tωi(t)〉 − 〈t〉〈ω〉Um caso de covariância nula:s(t) = A(t)ejω0t (frequência constante)



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Covariância de um Sinalpartindo da frequência

Correlação Espectral entre atraso de grupo e frequência:〈tg(ω)ω〉 = −

∫ψ′(ω)ω|S(ω)|2dω

Se são descorrelacionados, espera-se que〈tg(ω)ω〉 = 〈t〉〈ω〉.Diferença entre a correlação e 〈t〉〈ω〉 medeo grau de correlação: Covariância t-ω do sinalCovtω = 〈tg(ω)ω〉 − 〈t〉〈ω〉Obs.: Pode-se provar que∫

tϕ′(t)|s(t)|2dt = −∫ψ′(ω)ω|S(ω)|2dω.

Um caso de covariância nula:S(ω) = B(ω)e−jωt0 (atraso de grupo constante)



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Função Característica da Densidade

Definição: É o valor médio da exponencial complexa aolongo da distribuição.Autocorrelação TemporalR(τ) =

∫s∗(t)s(t + τ)dt =

∫|S(ω)|2ejωτdω

(Função Característica de |S(ω)|2)Reversamente, |S(ω)|2 = 1

2π

∫R(τ)e−jωτdτ .

Autocorrelação EspectralR(θ) =

∫S∗(ω)S(ω − θ)dω =

∫|s(t)|2ejθtdt

(Função Característica de |s(t)|2)Reversamente, |s(t)|2 = 1

2π

∫R(θ)e−jθt dθ.



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Soma de Sinais × Soma de Densidadesaspecto negativo da ATF

Sinais muito separados no tempopermitem somar aproximadamentesuas densidades temporais, não espectrais. Fig 1.2Sinais cujos espectros são muito separadospermitem somar aproximadamentesuas densidades espectrais, não temporais. Fig 1.3Este é um problema inerente às representaçõestempo-frequência.



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Classificação de Sinaisaspecto positivo da ATF

Com base no tempo:estacionário × não-estacionáriode longa duração × de curta duração(transitório, rajada, pacote de onda)

Com base na frequência:de banda estreita × de banda larga

Comparar: Senoide pura cuja frequência varia de 100 a5000 Hz em 10s × ruído “branco” nesta faixa.Representação tempo-frequência pode ser mais acurada.



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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea

Sinal Complexo para Representar Sinal RealPara quê?

Sinais naturais s(t) são reais.Densidade espectral de energia de sinal real é par. Fig 2.1〈ω〉 = 0B medirá espalhamento total em torno da origem.

Descrição de sinal “passa-faixa” (cujas propriedades nafaixa espectral ativa são de interesse) será pouco útil.Melhor caracterização espectral do sinal:apenas frequências “físicas” (positivas).Obs.: Definição de frequência instantânea que adotamospressupõe sinal complexo.



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Sinal Complexo para Representar Sinal RealObtenção

Especificação: construir z(t) ∈ C tal que s(t) = <[z(t)].Método de quadratura:

Sendo s(t) = A(t) cos(ϕ(t)), fazer z(t) = A(t)ejϕ(t)

Requer a pré-definição de A(t) e ϕ(t) (múltiplas escolhas)Método do sinal analítico:

Dado s(t), fazer z(t) | Z (ω) = 2S(ω)u(ω)Escolha única

|

0

u() 1...



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Sinal AnalíticoCálculo

z(t) = ITF[2S(ω)u(ω)], com S(ω) = TF[s(t)]

z(t) = A[s(t)] = s(t) + jH[s(t)]

Transformada de Hilbert de s(t):

H[s(t)] = s(t) = jπ

∫s(t ′)t−t ′ dt ′

Dois exemplos:

A[ejω0t ] =

0, ω0 < 0

2ejω0t , ω0 > 0A[cos(ω1t) cos(ω2t)] = cos(ω1t)ejω2t , sendo 0 ≤ ω1 ≤ ω2.

Tais funções complexas satisfazem diferenciabilidade deCauchy-Riemann, i.e., são analíticasEnergias: Es = Es = Ez

2



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Sinal AnalíticoPropriedades

Sinal analítico de sinal analítico: A[z(t)] = 2z(t)

Sinal analítico da derivada A[

dns(t)dtn

]= dnA[s(t)]

dtn

Convolução com sinal analítico: (A[s] ∗ f )(t) é analíticaModulação de portadora com ω0 > 0:A[s(t)ejω0t ] é analítica se S(ω) = 0 para ω ≤ −ω0

Soma de dois sinais:s1(t) + s2(t) é analítico se S1(ω) = −S2(ω) para ω ≤ 0Teorema da Fatoração: A[s1(t)s2(t)] = s1(t)A[s2(t)] se

o espectro de s1(t) é nulo para ω ≤ −ω1 < 0o espectro de A[s2(t)] é nulo para ω < ω1

Produto de sinais analíticos: z1(t)z2(t) é analítico



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Sinal AnalíticoInterpretação

Que escolha particular de módulo e fase resultado sinal analítico A[s(t)] = A(t)eϕ(t)?A(t)ejω0t é analítico se

o espectro de A(t) está contido em (−ω0, ω0)

Generalizando: A(t)ejϕ(t) é analítico seo espectro de A(t) está contido em (−ω1, ω1)o espectro de ejϕ(t) é zero para ω < ω1

Conclusão: O sinal analítico temseu conteúdo de baixas frequências na amplitudeseu conteúdo de altas frequências na fase



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Sinal AnalíticoComparação com o modelo por quadratura

Dados o sinal s(t) e uma escolha s(t) = Aq(t) cos(ϕq(t))

com modelo por quadratura sq(t) = Aq(t)ejϕq(t):Energia da diferença entre os dois sinais complexos:∆E =

∫|sq(t)− z(t)|2dt = 2

∫ 0−∞ |Sq(ω)|2dω

Erro absoluto máximo em qualquer instante de tempo:|sq(t)− z(t)| ≤ 2√

2π

∫ 0−∞ |Sq(ω)|dω



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Frequência Instantânea como Derivada da Fase doSinal AnalíticoParadoxos

O cálculo de ωi(t0) (e mesmo de z(t0))requer o conhecimento de s(t) ∀tPara um sinal analítico s(t), pode ocorrer S(ωi(t0)) = 0.Em particular:

S(ω) discreto pode gerar ωi(t) contínua em ωωi(t0) pode ir além do espectro de sinal limitado em bandaωi(t0) pode ser negativaEx.: A1(t)ejω1t + A2(t)ejω2t com ω1 e ω2 positivos



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Frequência InstantâneaDensidade e Largura de Faixa Eficaz

Densidade de energia ao longoda frequência instantânea:P(ωi) =

∫δ(ωi − ϕ′(t))|s(t)|2dt =

∑j|s(t)|2|ϕ′′(t)|

∣∣∣t=tωj

,

sendo tωj

∣∣ωi=ϕ′(tωj )

Espalhamento da frequência instantânea:σ2

IF =∫

(ϕ′(t)− 〈ωi(t)〉)2|s(t)|2dt=∫

(ϕ′(t)− 〈ω〉)2|s(t)|2dt = B2FM ≤ B2



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Referências

Cohen, L., Time-Frequency Analysis, Prentice-Hall, 1995.Haykin, S., Van Veen, B., Sinais e Sistemas, Bookman,2001. Capítulos 1, 2 e 3.


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