Fundamentos de Controlo

1a Série

Representação Matemática, Modelo Físico, Linearização, Álgebra de Blocos.

S1.1 Exercícios Resolvidos

P1.1 Considere o sistema da Figura 1 em que uma força u é aplicada à massa M a que está ligadauma outra massa m. A ligação entre as duas massas é modelizada através de uma mola de

Figura 1

constante k e um atrito de coeciente b.

a) Escreva as equações que regem o movimento do sistema.

b) Obtenha a função de transferência entre a entrada u e a saída y.

Resolução:

a) Aplicando à massa m a lei de Newton para sistemas mecânicos de translação obtém-se

mx = −b (x− y)− k(x− y) ⇔ mx+ bx+ kx = by + ky (1.1)

em que x representa a aceleração da massa. As forças exercidas pela mola e pelo atritosão, respectivamente, −k(x − y) e −b (x− y). Para determinar o sentido destas forçassobre a massa m, xe-se y = 0 e aumente-se x a partir de 0. Tanto a mola como o atritoirão ser comprimidos e exercer forças sobre a massa m contrárias ao sentido do movimento(segundo −x). Procedendo de igual forma para a massa M obtém-se

My = u+ b (x− y) + k(x− y) ⇔ My + by + ky = u+ bx+ kx (1.2)

b) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.1)obtém-se (

ms2 + bs+ k)X(s) = (bs+ k)Y (s) (1.3)

pelo que

X(s) =bs+ k

ms2 + bs+ kY (s) (1.4)

Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.2)obtém-se (

Ms2 + bs+ k)Y (s)− (bs+ k)X(s) = U(s) (1.5)

1

Substituindo a equação (1.4) em (1.5) resulta[Ms2 + bs+ k − (bs+ k)2

ms2 + bs+ k

]Y (s) = U(s)

obtendo-se a função de transferência

Y (s)

U(s)=

ms2 + bs+ k

(Ms2 + bs+ k) (ms2 + bs+ k)− (bs+ k)2

P1.2 Na Figura 2 representa-se um pêndulo constituido por uma vara na suspensa de um eixo. Avara, com 4 Kg de massa, tem comprimento `.

Figura 2

a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento angular do pêndulo quando lhe éaplicado um binário externo Tc(t).Nota: O momento de inércia em torno do eixo de rotação é 1

3m`2.

b) Assumindo que o ângulo θ é pequeno, obtenha a equação diferencial linear do movimentodo pêndulo.

c) Determine a função de transferência e a resposta impulsional do sistema. Que comprimentodeve ter a vara de modo a que o período de oscilação do pêndulo seja exactamente 2 s?

Resolução:

a) Pela lei de Newton aplicada a sistemas mecânicos de rotação tem-se

Jθ =∑

binarios aplicados

em que J é o momento de inércia e θ a aceleração angular. Os binários aplicados sãoo binário externo Tc e o binário resultante da força da gravidade segundo a tangenteao movimento. A componente da força da gravidade segundo a tangente ao movimento(perpendicular à vara do pêndulo) é −mg sin θ, obtendo-se para equação do movimento

Jθ = Tc −mg`

2sin θ .

Substituindo o momento de inércia J = 13m`2 na equação anterior obtém-se

1

3m`2θ +

1

2mg` sin θ = Tc ⇔ θ +

3g

2`sin θ =

3

m`2Tc . (1.6)

2

b) Para ângulos θ pequenos tem-se sin θ ≈ θ pelo que, substituindo na equação (1.6), se obtém

θ +3g

2`θ =

3

m`2Tc . (1.7)

c) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.7)obtém-se (

s2 +3g

2`

)Θ(s) =

3

m`2Tc(s)

pelo que a função de transferência do sistema é

H(s) =Θ(s)

Tc(s)=

3m`2

s2 + 3g2`

. (1.8)

Determinando a transformada de Laplace inversa da equação (1.8) obtém-se a respostaimpulsional

h(t) =1

m`

√6

g`sin

(√3g

2`t

)u−1(t) .

A resposta impulsional do pêndulo oscila com uma frequência fundamental ω0 =√

3g2`.

Para que o período de oscilação do pêndulo seja exactamente 2 s, é preciso que

T0 =2π

ω0

= 2π

√2`

3g= 2 ⇒ ` =

3g

2π2.

Note-se que a frequência de oscilação do pêndulo depende apenas do seu comprimento.

P1.3 Considere o sistema mecânico de translação com uma mola não linear representado na Figura3. A mola é denida por

Figura 3

xs(t) = 1− e−fs(t) ,

em que xs(t) e fs(t) representam, respectivamente, o deslocamento e a força da mola.

a) Obtenha a equação diferencial que rege o movimento do sistema.

b) Para pequenos deslocamentos em torno de f(t) = 1, determine o ponto de equilibrio eobtenha a equação diferencial linear do sistema.

c) Determine a função de transferência∆X(s)

∆F (s)entre os incrementos do deslocamento, δx, e

da força, δf .

3

Resolução:

a) Aplicando a lei de Newton para sistemas mecânicos de translação obtém-se

x = f − fs − x . (1.9)

Resolvendo a relação não linear entre a força e o deslocamento da mola obtém-se

fs = − ln(1− xs) . (1.10)

Substituindo (1.10) em (1.9) e tendo em conta que xs = x resulta

x+ x− ln(1− x) = f . (1.11)

b) Sejaf = f 0 + δf e x = x0 + δx (1.12)

em que (δf, δx) representam pequenos incrementos em torno do ponto de equilíbrio (f 0,x0).Considerando x = x = 0 na equação (1.11) obtém-se

− ln(1− x0) = f 0 ⇒ x0 = 1− e−f0

. (1.13)

Desenvolvendo em série de Taylor o termo não linear em torno de x0 obtém-se

ln(1− x) ' ln(1− x0) +d ln(1− x)

dx

∣∣∣∣x=x0

δx = ln(1− x0)− 1

1− x0δx . (1.14)

Substituindo (1.12) e (1.14) na equação diferencial (1.11) obtém-se

δx+ ˙δx− ln(1− x0) +1

1− x0δx = f 0 + δf (1.15)

Substituindo (1.13) em (1.15) resulta

δx+ ˙δx+ ef0

δx = δf

o que para f 0 = 1 conduz aδx+ ˙δx+ e δx = δf . (1.16)

c) Determinando, com condições iniciais nulas, a transformada de Laplace da equação (1.16)obtém-se (

s2 + s+ e)

∆X(s) = ∆F (s) ⇒ ∆X(s)

∆F (s)=

1

s2 + s+ e.

P1.4 Reduza à forma canónica da realimentação o diagrama de blocos representado na Figura 4.

- - - - - -

6

? G1 G2 G3

U Y

+

+−

−

Figura 4

4

Resolução:

Deslocando o ponto de derivação situado entre os blocos G2 e G3 para a direita do bloco G3,e trocando a ordem dos dois pontos de derivação, obtém-se um conjunto de blocos na formacanónica da realimentação, bloco indicado a tracejado na Figura 5.

- - - - - -

6

? G1 G2 G3

1

G3

U Y

+

+−

−

Figura 5

Substituindo o bloco a tracejado na Figura 5 pela sua função de transferência observa-se apresença de uma ligação série, bloco indicado a tracejado na Figura 6.

- - - -

6

G2G3

1 +G2G3

G1

1

G3

U Y

+−

Figura 6

Finalmente, substituindo o bloco indicado a tracejado na Figura 6 pela sua função de trans-ferência obtém-se o sistema na forma canónica da realimentação como se observa na Figura7.

- - -

6 G1G2G3

1 +G2G3

1

G3

U Y

+−

Figura 7

S1.2 Exercícios Propostos

P1.5 Na Figura 8 representa-se um sistema mecânico de translação em que u1 e u2 são os sinais deentrada e y1 e y2 os sinais de saída.

a) Determine as equações diferenciais que descrevem o sistema.

b) Admitindo u2 = 0, obtenha as funções de transferênciaY1(s)

U1(s)eY2(s)

U1(s).

c) Admitindo u1 = 0, obtenha as funções de transferênciaY1(s)

U2(s)eY2(s)

U2(s).

5

Figura 8

P1.6 Escreva as equações diferenciais que descrevem os sistemas mecânicos da Figura 9.

Figura 9

P1.7 Na Figura 10 representa-se o diagrama de um acelerómetro. Admita que a caixa do aceleró-metro está presa à fuselagem de um avião. No diagrama, x e y representam, respectivamente,os deslocamentos da massa m e da caixa do acelerómetro. Assume-se que o ângulo θ medidoem relação à linha horizontal se mantém constante durante o período de medida. A equaçãodo movimento deste sistema é

mx+ b(x− y) + k(x− y) = mg sin θ .

Considerando que o sinal de entrada é a aceleração da caixa do acelerómetro, y, e que o sinalde saída é

z = x− y − mg

ksin θ

determine a função de transferência entre z e y.

6

Figura 10

P1.8 A Figura 11 mostra um sistema pendular simples constituido por um cordel enrolado em tornode um cilindro xo. O movimento angular do sistema é descrito pela equação diferencial

(`+Rθ)θ + g sin θ +Rθ2 = 0

em que

` = comprimento do cordel na posição vertical,

R = raio do cilindro.

Figura 11

Linearize a equação diferencial em torno do ponto θ = 0, e mostre que para pequenos valoresde θ a equação do sistema se reduz à equação de um pêndulo simples, i.e.,

θ +g

`θ = 0 .

P1.9 O circuito da Figura 12 tem uma condutância não-linear G tal que

iG = g(vG) = vG(vG − 1)(vG − 4) .

As equações diferenciais que regem o circuito são

di

dt= −i+ v ,

dv

dt= −i+ g(u− v) ,

em que i e v são, respectivamente, a corrente na bobine e a tensão no condensador, e u a tensãode entrada.

7

Figura 12

a) Para u = 1 existem 3 pontos de equilíbrio. Determine os três pares de valores de v e i queconduzem ao equilíbrio.

b) Determine as equações diferenciais lineares do sistema em torno do ponto de equilíbrio(u0,v0,i0) = (1,0,0).

c) Determine a função de transferência∆V (s)

∆U(s)entre as variáveis incrementais δv e δu em torno

do ponto de equilíbrio (u0,v0,i0) = (1,0,0).

P1.10 Considere o circuito da Figura 13, em que u1 e u2 são, respectivamente, fontes de tensão ede corrente, e R1 e R2 são resistências não lineares com as seguintes características:

Resistência 1: i1 = G(v1) = v31,

Resistência 2: v2 = r(i2),

em que a função r está denida na Figura 14.

Figura 13

-

6

i2

v2

•2

1

0−1

declive = Ω

declive = 1

Figura 14

8

a) Mostre que as equações que regem o circuito são

x1 = G(u1 − x1) + u2 − x3 ,

x2 = x3 ,

x3 = x1 − x2 − r(x3) .

Suponha que se tem uma fonte de tensão constante de 1 volt em u1 e uma fonte de correnteconstante de 27 amperes em u2 (i.e. u0

1 = 1, u02 = 27). Determine o estado de equilíbrio

x0 = (x01, x

02, x

03) do circuito.

b) Determine as equações diferenciais lineares que regem o circuito em torno do ponto deequilíbrio determinado na alínea anterior.

P1.11 Numa experiência de levitação magnética um objecto metálico é mantido suspenso no arsobre um electroíman. O deslocamento vertical do objecto é descrito pela equação diferencialnão linear

md2h

dt2= mg − k i

2

h2,

em que h é a distância entre o electroíman e o objecto metálico (sinal de saída), i é correnteno electroíman (sinal de entrada), m = 0.04 Kg é a massa do objecto metálico, g = 10 m/s2 éa aceleração da gravidade e k = 0.1 Nm2/A2 é um factor de conversão electromecânico.

a) Suponha que se pretende controlar o sistema de modo a manter o objecto metálico a umadistância de 0.5 m do electroíman (i.e. h0 = 0.5 m). Determine o valor i0 da corrente queconduz a este ponto de equilíbrio.

b) Determine a equação diferencial linear que relaciona os incrementos δh e δi em torno doponto de equilíbrio determinado na alínea anterior.

c) A partir da equação diferencial linear obtida na alínea anterior, determine a função de

transferência,∆H(s)

∆I(s), do sistema.

P1.12 Os seres humanos são capazes de se manter em pé sobre as 2 pernas através de um complexosistema com realimentação que inclui diversas entradas sensoriais - equilíbrio e visão em con-junto com actuação muscular. Admitindo que a dinâmica da postura corporal do ser humanoé semelhante à de um pêndulo invertido, esta pode ser descrita pelas duas seguintes equações:

Jd2θ(t)

dt2= mg` sin θ(t) + Tbal(t) + Td(t)

Tbal(t) = −mg` sin θ(t)− kJθ(t)− ηJθ(t)− ρJ∫ t

0

θ(τ)dτ

em quem é a massa da pessoa, ` é a altura do centro de gravidade da indivíduo, g é a aceleraçãoda gravidade, J é o momento de inércia equivalente da pessoa, η, ρ e k são constantes dadaspelo sistema que controla a postura do corpo, θ(t) é o ângulo do indivíduo em relação à vertical,Tbal(t) é o binário gerado pelos músculos do corpo para manter o equilíbrio e Td(t) é o binário

da perturbação externa de entrada. Determine a função de transferênciaΘ(s)

Td(s).

9

P1.13 Considere o SLIT contínuo causal representado na Figura 15. Por simplicação sucessiva dodiagrama de blocos, obtenha a função de transferência do sistema.

- - - - - - - -

-

?

6

?

6

G1 G2 G3

G4

G5

U(s) Y (s)+

−

+

−

+−

++

Figura 15

P1.14 Considere o SLIT contínuo causal representado na Figura 16. Por simplicação sucessiva dodiagrama de blocos, obtenha a função de transferência do sistema.

- - - - - -

?

6 6

6

G3

G1 G2

G4

U(s) Y (s)+

−

+

−

++

+

+

Figura 16

S1.3 Soluções dos Exercícios Propostos

P1.5

a) m1y1 = u1 − b1 (y1 − y2)− k1y1

m2y2 = u2 + b1 (y1 − y2)− k2y2.

b)Y1(s)

U1(s)=

m2s2 + b1s+ k2

(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s

2

Y2(s)

U1(s)=

b1s

(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s

2.

c)Y1(s)

U2(s)=

b1s

(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s

2

Y2(s)

U2(s)=

m1s2 + b1s+ k1

(m1s2 + b1s+ k1)(m2s2 + b1s+ k2)− b21s

2.

P1.6 a) m1x1 = −b1x1 − k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = −b2x2 + k2(x1 − x2) + k3(y − x2).

b) m1x1 = −b1x1 − k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = k2(x1 − x2)− k3x2.

c) m1x1 = −b1(x1 − x2)− k1x1 − k2(x1 − x2)m2x2 = F + b1(x1 − x2) + k2(x1 − x2).

10

P1.7 H(s) =Z(s)

s2Y (s)=

−mms2 + bs+ k

.

P1.8 Para θ ' 0: `+Rθ ' `, sin θ ' θ e θ2 ' 0.

P1.9 a) (u0,v0,i0) = (1,0,0); (1,− 1−√

3,− 1−√

3); (1,− 1 +√

3,− 1 +√

3).

b) δi = −δi+ δvδv = −δi+ 3δv − 3δu.

c)∆V (s)

∆U(s)=−3(s+ 1)

s2 − 2s− 2.

P1.10 a) x0 = (x01, x

02, x

03) = (4,2,0).

b) ˙δx1 = −27δx1 − δx3 + 27δu1 + δu2˙δx2 = δx3˙δx3 = δx1 − δx2 − δx3

P1.11 a) (i0,h0) = (1,0.5).

b)d2δh

dt2− 40δh = −20δI.

c)∆H(s)

∆I(s)= − 20

s2 − 40.

P1.12Θ(s)

Td(s)=

s

J(s3 + ηs2 + ks+ ρ).

P1.13Y (s)

U(s)=

G1(G2G3 +G4)

1 +G1G2 + (G2G3 +G4)(1 +G1G5).

P1.14Y (s)

U(s)=

1 +G2 +G1G2

1 +G2 +G1(G3 +G2G3 +G2G4).

Bibliograa

1. Gene F. Frankline, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Sys-

tems, Sixth edition.

2. Isabel Lourtie, Sinais e Sistemas, 2a edição.

3. Norman S. Nise, Control Systems Engineering, Sixth edition.

4. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Second edition.

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