Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria...GELSON IEZZI 2~ edição MATEMÁTICA 3...

GELSON IEZZI

2~ edição

MATEMÁTICA 3ELEMENTARTRIGONOMETRIA

121 exercícios resolvidos298 exercícios propostos com resposta215 testes de vestibular com resposta

ATUt\LEDITORA

Capa

Roberto Franklin RondinoSylvio Ulhoa Cintra FilhoRua Inhambu, 1235 - S. Paulo APRESENTACÃO•Composição e desenhosAM Produções Gráficas Ltda.Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

ArtesAtual Editora Ltda.

Impressão e acabamentoCompanhia Melhoramentos de São PauloRua Tito, 479 - S. Paulo

FotolitosH.O.P. Fotolitos Ltda.Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo

Os autores

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumeselaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,ao nível da escola de ';P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados parao curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para examesvestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar etambém, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainhadas ciências" .

No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos-livros de "Fundamentos"procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposiçõese teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.

Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenaçãocrescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questõesque envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. Aseqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(ciosresolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicaçãosobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrara resposta para cada problema proposto e assim ter seu reforço positivo ou partirà procura do erro cometido.

A última parte de cada volume é constitul'da por testes de vestibulares até1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matériaestudada.

Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. FernandoFurquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagearnesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suasvidas e suas obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autorese o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agradecemos.

CDD-510

Fundamet."tos de matemiti~a elementar (por) GelsonIezZ1 (e outros) 5&0 Paulo, Atual Ed •• 1977-7&

Co-autores: Carlos Hurakami. Osvaldo Dolce e SaIIIl;lel HaZ2:an; a autoria dos volumes individuais van .• entr~ os 4 autores.

C~teUdo: v.l. Conjuntos, funções. 1977.-v.2.Logantmos..: ,1977.-v.3. TrigODCllletria. 1978.-v.4. SequUencl.&!. ~t:izes determinantes. sistemas.1977 .-V. 5. Corab1natona. probabilidade. 1977.-v.6. C~lexo8~ ~olinõmios. equações. 1977.-v.7.Geometna anal1.t1ca. 1978.

I 1. Ma~emãtica (29 grau) r. Dolce. Osvaldo, 19381. IezZ1. ~e18on. 1939- lIr. Hazzan. Ssmuel. 1946

IV. Hurakaml.. Carlos, 1943-

CI~-Brasil. Cat..logação-na-FonteCamara Brasileira do Livro, SP

977.1-7

77-1473

Todos os direitos reservados aATUAL EDITORA LTOARua José Antônio Coelho, 785Telefones: 71-7795 e 549-1720CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil

ÍNDICE

CAPITULO I - ARCOS E ÂNGULOS

I. Arcos de circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l-C11. Medidas de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l-C

111. Ângulos de duas semi·retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5-CIV. Medida de ângulos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6-CV. Ciclo trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9-C

CAPITULO 11 FUNÇÕES CIRCULARES

I. Noções gerais l5-C11. Funções periódicas l6-C

111. Função seno l7-CIV. Função cosseno 26-CV. Função tangente 29-C

VI. Função cotangente 33-CVII. Função secante 34-C

VIII. Função cossecante 36-C

CAPITULO 111 - RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

I. Introdução 39-C11. Relações fundamentais 39-C

111. Identidades 49-CIV. Demonstração de identidade 50-C

CAPI"rULO V - ARCOS NOTAvEIS

I. Redução do 29 ao 19 quadrante 53-C11. Redução do 39 ao 19 quadrante 54-C

111. Redução do 49 ao 19 quadrante 55-C

IV. Redução de [~,;] a [O, ~] 56-C

V. Identidades 58-CVI. Funções pares e funções ímpares 60-C

CAPITULO IV REDUÇÃO AO 19 QUADRANTEIV. Resolução de cos x > m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-CV. Resolução de cos x < m 132-C

VI. Resolução de tg x> m 138-CVII. Resolução de tg x < m 138-C

CAPITULO IX - TRIÃNGULOS RETÃNGULOS

I. Elementos principais 141-C11. Propriedades geométricas 142-C

111. Propriedades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146-CIV. Resolução de triângulos retângulos .......••.••........... 150-C

I. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63-C11. Aplicações 64-C

CAPITULO X - TRIÃNGULOS QUAISQUER

CAPITULO VI - TRANSFORMAÇÕES

I. Fórmulas de adição 67-C11. Fórmulas de multiplicação 75-C

111. Fórmulas de divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79-CIV. Tangente do arco metade 82-CV. Transformação em produto 83-C

CAPITULO VII ÊQUAÇÕES

I. Propriedades trigonométricas 155-C11. Propriedades geométricas 166-C

111. Resolução de triângulos quaisquer 171-C

RESPOSTAS DE EXERCfclOS 175-C

TESTES 185-C

RESPOSTAS DOS TESTES 221-C

I. Equações fundamentais 93-C11. Reso lução da equação sen ex = sen {3 94-C

111. Resolução da equação cos ex = cos {3 98-CIV. Resolução da equação tgex = tg{3 101-CV. Soluções de uma equação dentro de certo intervalo 104-C

VI. Equações clássicas 107-CVII. Funções circulares inversas 115-C

CAPI"rULO VIII - INEQUAÇÕES

I. Inequações fundamentais 127-C11. Resolução de sen x > m 128-C

111. Reso lução de sen x < m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129-C

Augustin-Louis Cauchy(1789 - 1857)

Engenheiro de Napoleão era monarquista

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, logo após a queda da Bastilha. Cursoua Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar,e aceitou a cadeira de Monge na Academia, quando este foi demitido. Ainda comoestudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram porseu trabalho.

Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católicodevoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuitas equando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tardeo titulo de barão como recompensa por sua fidelidade.

Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada àMatemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.

Uma de suas caracterfsticas marcantes era que, obtendo um novo resultado,logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiuamplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e paraos "Comptes Rendus" (Notfciasl da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814,em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.

Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas,passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas.

Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementaro caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; osconceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras deCauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantespor Bolzano, um padre tcheco.

Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoriadas funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler.

Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais dif(ceise produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes.

Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da teoria matemática daElasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.

Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quasetodas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas s6 ésuperada por Euler.

I. ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

1. Definição

Dados dois pontos distintos A e Bsobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessaspartes, que incluem A e B, é denomi·nada arco de circunferência ÁS.

Em particular, se os pontos A e Bcoincidem, eles determinam dois arcos:um deles é um ponto (denominado arconulo) e o outro é a circunferência (denominado arco de uma volta).

11. MEDIDAS DÊ ARCOS

2. Se queremos comparar os "tama-r-. r-.

nhos" de dois arcos AB e CD somosnaturalmente levados a estabelecer ummétodo que permita saber qual deles éo maior ou se são iguais. Este problemaé resolvido estabelecendo-se um métodopara medir arcos.

CAPÍTULO I

ARCOSE ÂNGULOS

A=B

D

l-C

Grau (símbolo o) é um arco unitário igual a ~o da circunferência que

contém o arco a ser medido.

51TT rad

1 rad

225 • 1T

180

O'

O

logo

Solução

Estabelecemos a seguinte regra de três simples:

e ainda sobra uma fração de rad.

IV) O radiano "cabe" 6 vezes na circunferência e mais a soma dessas "sobra<.Mais precisamente demonstra-se que a circunferência mede 6,283584... rad (número batizado com o nome de 21T).

Tendo em vista estas considerações, podemos estabelecer a seguinte correspondência para conversão de unidades:

3600

<------> 21T rad180o <------> 1T rad

EXERC(CIOS

C.1 Exprimir 2250 em radianos.

e, sendo o comprimento do arco sempremaior que o comprimento da corda cor·respondente, todos esses arcos são maiores que 1 rad.

111) Em cada um dos citados arcos "cabe" 1 rad:r--. ~ r--. ,-.. r-.. r'\AB' = BC' = CD' = DE' = EF' = FA'

11) A circunferência fica divididaem 6 arcos de medidas iguais

,--..., r-... ~ ~ r--. I'""AB = BC = CD = DE = EF = FA

B

A

B

Para evitar as confusões que ocorreriam se cada um escolhesse uma unida-. '"de u para medir o mesmo arco AB, limitamos as unidades de arcos a apenas

duas: o grau e o radiano.

4. Unidades

'"3. Medida de um arco AB em rela-ção a um arco unitário u (u não nulo

"-ede mesmo raio que AB) é o númeroreal que exprime ~ntas vezes o arco u"cabe" no arco AB. Assim, na figuraao lado, o arco u cabe 6 vezes no arco'" '"AB, então a medida do arco AB é 6,

"-isto é, arco AB = 6 . arco u.

Radiano (símbolo rad) é um arcounitário cujo comprimento é igual ao raioda circunferência que contém o arco aser medido.

Assim, ao afirmar que um arco ASmede 1 rad estamos dizendo que "esti-

"-cando'" o arco AB obtemos um segmen-to de reta AB cuja medida é exatamenteo raio da circunferência.

180

1T

111T6

b) 2400

d) 3000

f) 3300

logo x =

C.2 Exprimir em radianos:

a) 2100

c) 2700

el 3150

C.3 Exprimir111T

rad em graus.6

Solução

Temos:

1T rad <---> 1800

.!.!2!. rad +--'-+ x6

AO

5. É evidente que uma circunferência mede 3600

, porém, já não é tão fácildizer quantos radianos mede uma circunferência.

Podemos chegar a uma noção intuitiva do va lar dessa med ida, considerandoa seguinte construção:

I) Em uma circunferência de centroO e raio r inscrevemos um hexágono regular ABCDEF. Cada lado do hexágonotem comprimento r:AB = BC = CD = DE = EF = FA = r

2-C 3-C

C.4 Exprimir em graus:

ai .!!.- rad bl1f

6 4 rad

d)21T

e)31T

3rad rad

4

'---------------"0°

+-----+ x .

••180°3,1416

131 416

57°17'44"

71fExprimir em radianos as medidas dos arcos a e b tais que a - b = 15° e a +b = 4 rad.

Exprimir em graus as medidas dos arcos a, b e c ta is que a + b + c = 13°, a + b + 2c ::::1T 1f12 rad e a + 2b + c ~ "9 rad.

logo x ~

1 39248013584010176

1 800000

22920009288

X 60

55728024312023208

X 60

Solução

3.1416 rad1 rad

C.10

C.9

c.a Converter a graus o arco 1 rad.

30 em10 em ~ 3 rad

cl ~ rad351T

fi 6 rad

Sobre uma circunf,,",ência de raio 10 emmarca-se um arco AS tal que a corda ASmede 10 em. Calcular a medida do arcoem radianos.

~ X 21T rad ~ ~ rad

Um arco de circunferência mede 30 em

e o raio da circunferência mede 10 em.Calcular a medida do arco em radianos.

Solução ,-,

lmedida de AS em rad]::: comprimento do arco ABcomprimento do raio

Solução

O segmento AS é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o

1menor arco AB é "6 da circunferência,

isto é, mede:

C.6

C.5

C.7 Um grau se divide em 50' (60 minutosl e um minuto se divide em 60" (60 segundos)Por exemplo, um arco de medida 30' é um arco de 0,5°, Pede-se converter a radianos os seguintes arcos:

111. ÂNGULOS DE DUAS SEMI-RETAS

bl 31 °15'45" ~ 31 )( 3600" + 15 X 60" + 45" 112545"180° ~ 180 X 3600" ~ 648 000"

Solução

a) 22°30' ~ 22 X 60' + 30' ~ 1350'180° ~ 180 X 60' ~ 10800'

112545 • 3,1416648 000 ~ 0,54563 rad

e 0" I 0";5 Db

e Il' I 1l';z5 Da1l11l=:JDa

O' I O' =:J Db

6. Consideremos duas semi-retas Da eDb de mesma origem, distintas e não opos

tas.

A reta b divide o plano ab em dois

semi-planos opostos

A reta a divide o plano ab em dois

semi-planos opostos.

7rsrad

1350 • 1T

10800logo x

então:

10800' +-----+ 1T rad1350' +-----+ x

então:

648 000" +-----+ 1f rad112 545/1 +-----+ x

112 545 • rrlogo x ~ 648 000

4-C S-C

Ângulo côncavo aÔb é a reuniãodos semi-planos a' e {3'.

Ângulo convexo aÔb é a intersecção dos semi-planos O< e {3. Assim, por exemplo, temos:

1'?) ângulo de 1° é um ângulo central correspondente a um arco de 10, isto é,

é um ângulo central que determina na circunferência um arco igual a 3~ desta;

4'?) ângulo de rr rad é um ângulo central correspondente a um arco de rr rad.

3'?) ângulo de 60° é um ângulo central correspondente a um arco de 60°;

2'?) ângulo de 1 rad é um ângulo central correspondente a um arco de 1 rad,ista é, é um ângulo central que determina na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao do raio;

a

o

(côncavo)

(convexo)áôb~o<n{31

IaOb ~ 0<' U (3' I

7. Em particular, se as semi-retas Oae Ob coincidem dizemos que elas determinam dois ângulos: um ângulo nulo eum ângulo de uma volta.

No caso particular das semi-retas Oae Ob serem opostas dizemos que deter.minam dois ângulos rasos.

b

a = b

ângulonulo

a

9. Quando qu~mos medir em radianos um ângulo aOb, devemos construiruma circunferência de centro O e raio re verificar quantos radianos mede o arco"-AB, isto é, calcular o quociente entre o

"comprimento Q do arco AB pelo raio rda circunferência:

(o< em radianos)

'"Por exemplo, se o ângulo central aOb é tal que determina numa circunfe-"-

rênci~ de raio r ~ 5 cm um arco AB de medida Q ~ B em, então a medidade .illb é:

IV. MEDIDA DE ÂNGULOS Q B5

1,6 rad

8. Dado um ângulo aOb, consideremosuma circunferência de centro O e raio r.Sejam A e B os pontos onde os lados doângulo aOb interceptam a circunferência.

A cada arco ÁS corresponde destamaneira um único ângulo central áÕbe vice-versa. Convencionando que a umarco unitário corresponde um ângu lo cen·trai unitário, decorre que o arco ÁS e oângulo central aOb correspondente passam a ter a mesma medida.

a

b

Observemos que, fixado um ângulo'"central aOb de medida o< rad e construí-

das as circunferências de centro O e raiosrj, r2, r, ... , os arcos correspondentesa aOb têm comprimentos QI, \'2, Q3, ...

tais que:

6-C 7-e

EXERCICIOS

cl 6 h 30 minobl 5 h 55 min;ai 2 h 40 min;

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca:

b) Sabemos que em 60 minutos o ponteiro pequeno percorre um ângulo de30°, então em 15 minutos ele pereor·re um ângulo Ct tal que:

O! 30°15 = 60

portanto O! = 7,5° = 7°30'.Assim, temos:

e= 600 -IX = 60° - 7°30' = 52°30'.cl Notemos que em 40 minutos o pon

teiro pequeno percorre o ângulo {3tal que:

JL30040 60

portanto (3 = 20°.Assim, temos:

rp =150° + 13 =150° + 20° =170°

ou ainda

rp = 1800- r = 1800

- 10° = 170°.

V. CICLO TRIGONOMETRICO

C.16

3cm

Q

o

~ = 170 11/19"3,1416 .

=

10,472 em,

radianos, o ângulo central11

O! = 3" rad, então:

= .Q = O! • r =.!!.. • 103

.Q

Solução

.Q 3O! = r = 10 rad. Convertendo a graus:

portanto:

Convertido a/'.aOb tem medida

Q = 31,4163

Solução

1T

{

1T3rad ----+ 1800

10 rad - x

310 X 180

0

= x

C.ll ~cular, em graus, a medida do ânguloaOb da figura.

C.12 Calcular o comprimento.Q do arco AB definido numa circunferência de raio r= 10 em,por um ângulo central de 60°.

C.13 -"Calcular a medida do ângulo central aOb que determina em uma circunferência de raio

. 211rr um arco de comprimento 3. la. Definição

C.14 Calcular O comprimento .Q do arco ÁS definido em uma circunferência de raio 7 em porum ângulo central de 4,5 rad.

Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv. Consideremos a circunferência À de centro O e raio r = 1. Notemos que o comprimentodesta circunferência é 211 pois r = 1.

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assi

nalando:

Solução

a) Notemos que os números do mostra

dor de um relógio estão colocados

em pontos que dividem a circunferên

cia em 12 partes iguais, cada uma das

quais mede 30°. Assim, à 1 h os ponteiros do relógio formam um ângulo

convexo de 30°.

u

v

B

B'

A'O, então P coincide1?) se x

com A;2?l se x > O, então realizamos

a partir de A um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamosP como ponto final do percurso.

Vamos agora definir uma aplicaçãode IR sobre À, isto é, vamos associar acada número real x um único ponto Pda circunferência À do seguinte modo:

c) 1 h 40 minobl 1 h 15min;ai 1 h;

C.15

s-e 9-C

3?) se x < O, então realizamos a partir de A um percurso de comprimento I xl, no sentido horário. O ponto final do percurso é P.

A circunferência À acima definida, com origem em A, é chamada ciclo ou

circunferência trigonométrica.

Se o ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem de xno ciclo. Assim, por exemplo, temos:

11. Notemos que se P é a imagem do número xo, então P também é a imagemdos números:

xo, Xo + 21T, Xo + 41T, Xo + 61T, etc.

e também de

Xo - 21T, Xo - 41T, Xo - 61T, etc.

v

Dois números reais Xl = Xo + 2k l 1T (k l E~) e X2 = Xo + 2k21T (k2 E~)

que tem a mesma imagem P no ciclo são tais que Xl - X2 = 2k1T (onde k = k l - k2)e, por isso, diz-se que Xl e X2 são côngruos módulo 21T ou simplesmente, Xl e X2são côngruos.

u

Em resumo, P é a imagem dos elementos do conjunto:

{x E IR I x = Xo + 2k1T, k E~}.

u

v

B'

B

a imagem de -~ l! B'

A'

u

A

B'

v

11a imagem de 2" l! B

A'

v v

v uA

1Notando que cada parte mede 12 • 21T =

11 P'= €i e que l! a Imagem de x quando

"AP = x, podemos construir a tabelaabaixo:

imagem de x A Pl P2 B P3 P4 A' Ps P6 B' P7 Ps

O1T 1T 1T 21T 51T 71T 41T 31T 51T 111T

x6 2 3 6

1T3 3 63 6 2

EXERCfclOS

C.17 Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores.Determinar os x (x E [O, 2m) cujas imagens são os pontos divisores.

vSolução B

u

u

A

A

B'

B'

B

a imagem de -1Il! A'

A'

A'

u

u

A

B'

B'

v

B

B

a imagem de 1T l! A'

A'

A'

. 31Ta Imagem de 2" l! B'

31Ta imagem de - 2' é B

C.18 Divide-se o ciclo em 8 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determinar o conjunto dos x (x E [O, 2nll cujas imagens são os pontos divisores.

10-C 11-C

C.19 Indicar no ciclo a imagem de cada um dos seguintes números: C.20 Indicar no ciclo as imagens dos seguintes números reais:11 1111 311 7118' "8 -8' -8'

311a) 4

d) -311

511b) - 4"

e) 25113

c) 111'1'

f) 1911-6

1311 1511 1711 3111""""6 -T' """4 e-T'

C.21 Representar, no ciclo. as imagens dos seguintes conjuntos de números:

e) 25113

c) 1111 = 11 + 1011Como 1111 - 11 é múltiplo de 211,então 1111 e 11 têm-a' mesma ima·

gem (A').

u

u

A

A

B v

A'

(repetição: B)

(imagem: B')

(imagem: B)112'311T511"2

I x = k11, k E Z}

I x = k11 k E~}3 '

x = ~ + k11, k E Z}

11 11 }x = '4 + k2" k E~

112"

=x===> x =

-=- x =

x = k

k = 1

k = 2

Representar. no ciclo. as imagens dos sEtguintes conjuntos de números reais:

k = O = x = O (imagem: A)

k =1 = x =; (imagem: B)

k = 2 = x = 11 (imagem: A')

311 .k ~ 3 = x = "2 (Imagem: B')

k = 4 = x = 211 (repetição: A) B'

O conjunto F tem como imagem os pontos A, B, A' e B' do ciclo.

E {x E IR x = ;- + k11, k EZ}

F = {x E IR x = k;-, k. E.z}

Solução

11x = 2' + k11

k = O

o conjunto E tem como imagem os pontos B e B' do ciclo.

E {x E IR

F {x E IR

G = {x E IR

H = {x E IR

C.22

u

u

u

u

u

v

v

A'

1911 511 2411 5116 6" - '""""6 ="6 -411

A. 1911 511 •

SSlm, - 6" e 6' tem a mesma

. 511 5Imagem. Como 6 12' 211.. a

imagem procurada é a extremidade,.-." 5

do percurso AP igual a 12 do

ciclo medido no sentido anti-horário.

J!.. ~ 2411 = J!.. + 811333

Assi m, 2511 e!!.... têm a mesma-3- 3

imegem P que é obtida marcandot' 1 .

um percurso AP igual a '6 do cIcio,

no sentido anti-horário.

f)

d) -311 = 11 - 411

Como (-3m - 11 é n\4ltiplo de 211,

. então -311 e 11 têm a mesma ima·

gem (A'),

511 5b) - 4" = -"8 • 211

Mercamos, a partir de A, um percur

so AP igual a : do ciclo, no sentido

horário.

Solução

a) 311 = 1. . 2114 8

Marcamos, a partir de A, um percur·

so AP igual a ~ do ciclo, no sentido

anti·horário.

12-C 13-C

CAPÍTULO II

Padre refugia-se na Matemática FUNÇÕES CIRCULARES

I. NOÇÕES GERAIS

cv

B'

-----::~'_."....-__+-_d

12. Consideremos um ciclo trigonométrico de origem A. Para o estudo das funções circulares vamos associar ao ciclo quatro eixos:

1Ç') eixo dos cossenos (u)direção: OAsentidp positivo: O -+ A

2Ç') eixo dos senos (v)direção: la,porOsentido positivo: de O -+ B

....... rrsendo B tal que AB = -

2 -,-,A_'t----+----4-!~-~ u3Ç') eixo das tangentes (c)

direção: paralelo a v por Asentido positivo: o mesmo de b

4Ç') eixo das cotangentes (d)direção: paralelo a u por Bsentido positivo: o mesmo de a.

x está no 1Ç' quadrante == P E AS == O + 2krr ~ x ~ !!.. + 2krr2

~. Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: ÃB, M', Á'B' eB'A. Dado um número real x, usamos a seguinte linguagem para efeito de localizar a imagem P de x no ciclo:

x está no 2Ç' quadrante " ~ + 2krr ~ x ~ rr== P E BA' == + 2krr2

x está no 3Ç' quadrante == P E Á'Ê3' == rr + 2krr ~ x ~3rr

+ 2krr2

x está no 4Ç' quadrante " 3rr== P E B'A == + 2krr ~ x ~ 2rr + 2krr2

Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e emborafosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.

Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seuscontemporâneos.

Em 1817 publicou o livro "Rein Ana/ytisches Beweis" (Prova puramenteanalítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação emÁlgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de umacurva ou função.

Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigorem Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetização", embora tivesse menosinfluência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas,embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada,continuidade e convergência eram bem semelhantes.

Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedadesimportantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrouque existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre Oe 2, ou tantos emum segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de doiscentímetros.

Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferenteda infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximoda Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.

Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo eque não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado nãoficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que seocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos, Conhecemos hoje como teorema de Bolzano-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto Iimitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto deacumulação.

O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas quelevam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.

Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

15-e

11. FUNÇÓES PERIÚOICAS

14. Exemplo preliminar

dando acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera,isto é, o valor de f se repete periodicamente para cada acréscimo de p à variável.

Dado o número real x, sempre existem dois números inteiros consecutivosn e n + 1 tais que n";; x < n + 1. Consideremos a função f que associa acada real x o real x - n onde n é o maior número inteiro que não supera x.Temos, por exemplo:

f(0, 1) = 0,1;f(3) = 3 - 3 = O;

f(1, 1) = 1,1 - 1 = 0,1;f(-5) = (-5) - (-5) = O;

f(2, 1) = 2,1 - 2 = 0,1;f(7) = 7 - 7 = O.

16. Definição

Uma função f:A -+ B é periódica se existir um número p > O satisfa·

zendo a condiçãof(x + p) = f(x), -'fx E A

O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado periodo de f.

De modo geral, temos:

0";;x<1 ~ f(x) =x-O=x1";;x<2 = f(x) = x - 12";;x<3 = f(x) = x - 2

etc.-1 .,;; x < O == f(x) = x - (-1) = x + 1-2 .,;; x < -1 == f(x) = x - (-2) = x + 2-3";; x < -2 = f(x) = x - (-3) = x + 3

etc.

Seu gráfico é:

y

17. O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elementode curva que se repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará construirmos um carimbo onde está desenhado o tal elemento de curva e ir carimbando. Perlodo é o comprimento do carimbo (medido no eixo dos x).

y

xperíodo

x-1 o 2 3

x4

111. FUNÇÃO SENO

18. Definição

Temos:

f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = f(x + 4) =... :V-x E IR

portanto existem infinitos números p inteiros tais que f(x) = f(x + p), :V-x E IR.

15. O menor número p > O que satisfaz a igualdade f(x) = f(x + p), V x E IRé o número p = 1, denominado periodo da função f. A função f é chamadafunção periódica porque foi possível encontrar um número p > O tal que

16-C

Dado um número real x, seja P suaimagem no ciclo. Denominamos seno dex (e indicamos sen x) a ordenada OP I

do ponto P em relação ao sistema uOv.Denominamos função seno a funçãof: IR -+ IR que associa a cada real x oreal OP 1 = sen x, isto é:

f(x) = sen x.

v

B'

A

u

17-e

19. Propriedades

1~) A imagem da função seno é o intervalo [-1, 11. isto é, -1 .;;; sen x';;; 1para todo x rea I.

É imediata a justificação pois, se P está no ciclo, sua ordenada pode variarapenas de -1 a +1.

2~) Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então sen x é positivo.

De fato, neste caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada é positiva.

3~) Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então sen x é negativo.

De fato, neste caso o ponto P está abaixo do eixo u e sua ordenadaé negativa.

20. Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo [O, 2rr] e vejamos o que acontece comsen x. Se a imagem de x (ponto PI dá uma volta completa no ciclo:' no senotido anti-horário, a ordenada de P varia segundo a tabela:

o rr 3rrx - rr 2rr2 2

sen x O cresce 1 decresce O decresce -1 cresce O

Fazendo um diagrama com x em abscissas e sen x em ordenadas, podemosconstruir o seguinte gráfico, denominado senóide, que nos indica como varia afunção f( xl ; sen x.

sen x

4~) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então sen x écrescente.

É imediato que, se x percorre o primeiro quadrante, então P percorre

""o arco AB e sua ordenada cresce. Fato análogo acontece no quarto quadrante.

-rr x

5~) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então sen x é decres-cente.

É imediato que, se x percorre o segundo quadrante, então P percorre o,.....,.arco BA' e sua ordenada decresce. Fato análogo acontece no terceiro quadrante.

6~) A função seno é periódica e seu período é 2rr.

É imediato que, se sen x ; OP! e k E il., então sen (x + k • 2rr) ; OP!pois x e x + k • 2rr têm a mesma imagem P no ciclo. Temos, então, paratodo x real:

sen x ; sen (x + k • 2rr)

e, portanto, a função seno é periódica. Seu perl'odo é o menor valor positivode k· 2rr, isto é, 2rr.

18-C

Observemos que, como o domínio da função seno é IR, a ser:1óide continuapara a direita de 2rr e para a esquerda de O. No retângulo em destaque estárepresentado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensõesdesse retângulo são 2rr X 2, isto é, aproximadamente 6,28 X 2.

EXERCICIOS

Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funções

dadas do C.23 ao C,42:

C.23 f:IR-+ IR dada por t(x) ~ -sen x.

Solução

Vamos construir uma tabela em três etapas:

1~) atribuímos valores a x;2~) associamos a cada x o valor de sen x;3a) multiplicamos sen x por -1.

19-C

Com esta tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que deve apresentar para cadax uma ordenada y que é o dobro da ordenada correspondente da senóide.~ imediato que:

:.25 f: IR .... IR dada por flx) ~ -2 • sen x.

x sen x y

o

11"2

11

311"2

211

x sen x y

O O

111"2

11 O

311-1""2

211 O

x se" x y

O O O

111 -12"

11 O O

311-1 1"2

211 O O

Im(f) ~ [-2, 2)

p(fl ~ 2112

O

-1

-2

x

C.24 f:IR .... IR dada por f(x) = 2 • sen x

x11"'2

O

-1

atribuímos valores a t = 2x:associamos a cada 2x o correspondente sen 2x;

tcalculamos x (x = "2 ).

Solução

Recordemos inicialmente que para um dado número real a, temos:

a;;' O = lal ~ a

a<O=lal=-a

Aplicando esta definição, temos:

senx;;'O = Isenxl ~senx

Iquando sen x ;;. O, os gráficos y Isen x I e y ~ sen x coincidem)

senx<O = Isenxl ~-senx

(quando sen x < O, os gráficos y = Isen xl e y = sen x são simétricos em relaçãoao eixo dos x),~ imediato que: yIm(fl ~ [O, 1]p(fl = 11


Solução

.26 f: IR .... IR dada por flx) ~ Isen xl

27 f: IR .... IR dada por f(x) ~ 13 • sen x I

28 f: IR .... IR dada por f(x) ~ sen 2x

x sen x y

O O O

111 22"

11 O O

311-1 -2"2

211 O O

5 pontos do gráfico, que é simétrico da sen6ide em

y

x sen x y

O O

111"2

11 O

311-1

2

211 O

Com esta tabela podemos obterrelação ao eixo dos x.~ imediato que:

Im(f) = [-1,1]p(fl = 211


la) atribulmos valores.a x;2~) associamos a cada x o valor de sen x;3a ) multiplicamos sen x por 2.

Solução

x sen x y

O

11"2

11

311""2

211

2O-C 21-C

x t = 2x y

o

rr"2

rr

3rr2

2rr

x t ~ 2x y

O O

rr1

2

rr O

3rr-1

2

2rr O

x t ~ 2x y

O O O

rr rr 14 2

rr O2

rr

3rr 3rr -14 2

rr 2rr O

E: imediato que:

Im(f) =[-1,1)

p(f) = 4rr

y

o-1

C.3D f:IR -+IR dada por flx) ~ sen 3x

Solução

x

x t = 3x y

O O O

rr rr6 2

1

rr

3rr O

rr 3rr2 ""2 -1

2rr2rr"'3 O

x

y

x t = 3x y

O O

rr

21

rr O

3rr-1

2

2rr O

x t ~ 3x y

O

rr"2

rr

3rr

T

2rr

E: imediato que:

Im(f) = [-1, 1)2rr

p(f) = "'3

C.31 f:IR-+IR dado por flx) ~ -seni.

C.32 f: IR -+ R dada por flx) = 3 • sen 4x,

x

xx t ="2 y

O O O

rr1rr ""2

2rr rr O

3rr3rr

-12""

4rr 2rr O

rr4'

y

o

-1

xx t = "2

y

O O

rr1"2

rr O

3rr-1

""2

2rr O

xx t = '2

y

O

rr2"

rr

3rr

2"

2rr

Com base nesta tabela, podemos obter 5 pontos da curva, Notemos que o gráfico deve

apresentar para cada x uma ordenada y que é o seno do dobro de x. Notemos ainda

que para sen t completar um parl'odo é

necessário que t = 2x percorra o inter

valo [O, 2rrJ. isto é, x percorra o inter

valo [O, rr].

Assim, o período de f é:

p(f) = rr - O ~ rr

E: imediato que:

Im(f)~[-1,1)

xC.29 f:IR -+ IR dada por flx) = sen 2'

Solução

22-C 23-C

C.39 f: A-+ FI dada por ((x) = sen (x - : I.

Solução

C.33 f: IR -+ IR dada por (( x)

Solução

x sen x y

O

rr2"

rr

3rr2

2rr

1 + sen x.

x sen x y

O O

rr1

2

rr O

3rr-12"

2rr O

x sen x y

O O 1

rr1 22'

rr O 1

3rr-1 O2"

2lT O 1

rrx t = x - 4 y

O

rr2"

rr

3rr2'

2rr

rrx t = x -

4 Y

O O

rr2

1

lT O

3rr-1

2

2rr O

rrx t = x -- Y4

lT4 O O

3rr rr"4 2' 1

5rr..- rr O

7rr 3rr'""4 2

-1

9rr2rr'""4 O

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que é igual aoseno de x mais uma unidade. Se cada seno sofre um acréscimo de 1, então a senóide

sofre uma translação de uma unidade "para cima",

~ imediato que:Im(t) ~ [0,2]

p(t) ~ 2rr y

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que é o seno derr rr

x - 4' Notemos que para sen t completar um per(odo é necessário que t = x - 4

percorra o intervalo [O, 2rr]. isto é, x percorra o intervalo [i-. 9:]. Assim. o

per(odo de f é:9rr rr

p(f) = 4" - 4 = 2rr

~ imediato que:Im(t) = [-1, 1].

xO

-1

xlT ' 3rr //2rr" --" 2 /..... - _.... ;

~senóíde

lT'"2

2

O

-1

C.34 f:IR-+FI dada por ((x) ~ -2 + sen x.

C.35 f:IR-+1R dada por ((x) = 1 + 2 • sen x.

C.36 f: FI -+ A dada por ((x) = 2 - sen x.

C.37 f:IR-+IR dada por ((x) = -1 + sen 2x.x

C.38 f:IR-+1R dada por f( x) = 1 + 3 • sen 2'

C.40 f:IR-+IR dada por ((x) = sen (x + !!.),3

f: IR -+ IR f(x)rr

C.41 dada por = sen (2x - 3'1.

((x) = 1 + 2 •x rr

C.42 f:A-+IR dada por sen ("2 - "6)'

24-C 25-C

C.43 Sendo a. b, c, d números reais e positivos, determinar imagem e per(odo da funçãof:IR -+ IR dada por f(x) = a + b • sen (ex + dI. 22. Propriedades

Solução

Façamos ex + d = t. Quando x percorre IR. t percorre IR (pois a funç60 afimt = ax + b é sobrejetoral e, em conseqüência. sen t percorre O intervalo [-1, 1l,b • sen t percorre o intervalo) [-b, b] e V = a + b • sen t percorre o intervalo[a - b. a + bl que é a imagem de f.Para que f complete um período é necessário que t varie de O a 21T. então:

t = O = ex + d = O ~ x = - ~c

==> ex + d = 21Tc c

t = 21T

portanto:21T

p = &. = (-c

===> x =

d d 21T- -) - (--) = -.

c c c

21T d

.1~) A imagem da função cosseno é o intervalo [-1. 1], isto é,-1 ";cosx";1 para todo x real.

2~) Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então cos x é positivo.3~) Se x é do segundo ou terceiro quàdrante, então cos x é negativo.4~) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então cos x é

crescente.5~) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então cos x é

decrescente.6~) A função cosseno é periódica e seu período é 21T.

23. GráficoC.44 Construir o gráfico de um período da função f: IR -+ IR tal que

1Tt(x) = 1 - 2 • sen (2x - "3)'

Façamos x percorrer o intervalo [O, 21T] e vejamos o que acontece comcos x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo, no senti·do anti·horário, a abscissa deP varia segundo a tabela:

C.46 Para que valores de m existe x tal que sen x = 2m - 57

Solução

Para que exista x satisfazendo a igualdade acima devemos ter:

-1 ..; 2m - 5 ..; 1 _ 4"; 2m ..; 6 _ 2"; m ..; 3.

C.46 Em cada caso abaixo. para que valores de m existe x satisfazendo a igualdade?

O 1T 31T 21TX - 1T2 2

cos x 1 decresce O decresce -1 cresce O cresce 1

a) sen x = 2 - 5m;m - 1

b) sen x = m:2' Fazendo um diagrama com x em abscissas e cos x em ordenadas, podemosconstruir o seguinte gráfico, denominado cossenóide, que nos indica como variaa função f(x) = cos x

IV. FUNÇÃO COSSENOy

x

Observemos que, como o domínio da função cosseno é IR, a cossenóidecontinua para a direita de 21T e para a esquerda de O. No retângulo em destaqueestá representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensõesdesse retângulo são 21T X 2, isto é, aproximadamente 6,28 X 2.

v

a'

a

---'-A-'-,·f----"--I__....,y~

u

21. Definição

Dado um número real x, seja Psua imagem no ciclo. Denominamos cososeno de x (e indicamos cos x) a abscissa õP2 do ponto P em relação aosistema uOv. Denominamos função

cosseno a função f: IR -+ IR que associaa cada real x o real OP2 ~ cos x, istoé, f(x) ~ cos x.

26-C 27-e

C.56 f: R ~ IR dada por f(x) : cos(x - !!...).4

C.56 f: R ~ IR dada por t(x) = 2 • cos(x - f).

EXERCfclOS

Determinar o pedodo e a imagem e fazer o gráfico de 'um perrodo completodas funções dadas do C.47 ao C.56:

C.47 f' IR ~ IR dada por t(x) = -cos x.

C.48 f: IR ~ IR dada por t(x) : 2 • cos x.

C.49 f: R~ IR dada por f(x) -3' cos x.

C.50 f· R~ IR dada por flx) Icos x I.

C.51 f' R~ IR dada por flx) = cos 2x.

C.52 f: IR ~ R dada por t(x) x= cos2

271[- vi ví]271.

Imll)plf)

Veremos mais adiante que:

Solução

Notemos que para cada x esta função associa um y que é a soma do seno como cosseno de x. Vamos, então, colocar num diagrama a senóide e a cossenóidee , para cada x, somemos as ordenadas dos pontos encontrados em cada cur~

va.

C.63 Provar que se O < x < !!... então sen x + cos x > 1.2

C.62 Esboçar o gráfico de um pedodo da função f: R -. IR dada por t(x) = cos x - sen x.

C.60 Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?

YI : sen 45° + cos 45°Y2 : sen 225° + cos 225°

Y3 : sen 771 + cos 7714 4

Y4 = sen 300° + cos 300°.

C.61 Esboçar o gráfico da função f: IR -+ R tal que flx) sen x + cos x.

+ 2 • cos 3x.

+ cos x.

C.54 f· IR -+ IR dada por f(x)

C.53 f: R ~ IR dada por t(x)

C.57 Determinar imagem e perrodo da função f: IR -+ IR dada por

flx) : -1 + 2 • cos(3x - : I.Sugestão: ciclo trigonométrico.

C.58 Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cos x

C.59 Determinar o sinal da expressão Y: sen 107° + cos 107°.

t + 2 ?2t - 1 V. FUNÇÃO TANGENTE

Solução

Examinando o ciclo, notamos que:

e

90° < x < 135°~ Isen xl> Icos xl.

Como sen 107° > O, cos 107° < O

e Isen 107°1 > Icos 107°1, decorre:

sen 107° + cos 107° > o.

v

u

24. Definição

Dado um número real x,

x =1= 71 +k2 71,

seja P sua i~em no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua intersecção com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x (e indicamostg x) a medida algébrica do segmento n.

28-C 29-C

25. Propriedades

D = {x E IR I x =1= !!.... + k'lr}.2

IR, isto é, para todo y real existe

Denominamos função tangente a função f: D --> R que associa a cada real'Ir -

X, x =1= "2 + k'lr, o real AT = tg x, isto é, f(x) = tg x.

Notemos que, para x = !!. + k'lr, P está em S ou S' e, então, a+-+ 2

reta OP fica paralela ao eixo das tangentes. Como neste caso não existe o pontoT, a tg x não é definida.

1~) O dom ínio da função tangente é

2~) A imagem da função tangente éum x real tal que tg x = y.

De fato, dado y E IR, consideremos sobre o eixo das tangentes o ponto- +-+

T tal que AT = y. Construindo a reta OT, observamos que ela interceptao ciclo em dois pontos P e p', imagens dos reais x cuja tangente é y.

26. Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo [O, 2'1r] e vejamos o que acontece comtg x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo no sentidoanti-horário, a medida algébrica AT varia segundo a tabela:

'Ir 3'1r 2'1rX O 2"'Ir T

tg x O cresce ~ cresce O cresce ~ cresce O

Fazendo um diagrama com x em abscissas e tg x em ordenadas, podemosconstruir o gráfico seguinte, denominado tangent6ide, que nos indica a variaçãoda função f(x) = tg x.

3~) Se x é do primeiro ou terceiro quadrante, então tg x é positiva.

De fato, neste caso o ponto T está acima de A e AT é positiva.

4~) Se x é do segundo ou quarto quadrante, então tg x é negativa.

Temos, então, para todo x real e x =1= ; + k'lr:

tg x = tg(x + k'lr)

e a função tangente é períodica. Seu período é o menor valor positivo de k'lr,isto é, 'Ir.

x-3712"

xA

De fato, neste caso o ponto T está abaixo de A e AT é negativa.

5~) Se x percorre qualquer umdos quatro quadrantes, então tg x écrescente. ,

Provemos, por exemplo, quandox percorre o 1? quadrante. Dados XI eX2' com Xl < X2' temos ai < a2 e,por propriedade de Geometria Plana,vem AT I < AT2 , isto é: tg XI <tg X2'

6~) A função tangente é periódica e seu período é 'Ir.

De fato, se tg x = AT e k E:l, então tg(x + k'lr) = AT pois x ex + k'lr têm ima!lens P e P' cóincidentes ou diametralmente opostas no ciclo

+-+ +-=+ ~ ~

e, assim, OP = OP', portanto, OP n c = OP' n c.

30-e 31-C

EXERCICIOS

C.64 Qual é o dom(nio da função real f tal que f(x) = tg 2x? VI. FUNÇÃO COTANGENTE

Solução

C.67 Para que valores de Cl existe x tal que tgx = V(} - 5Cl + 4?

C.68 Esboçar o gráfico. dar o dom(nio e o pedodo da função real f(x) = tg (x - !!..).4

C.65 Qual é o dom(nio das seguintes funções reais?

B'

-------::::==----=::---,~--d

27. Definição

Dado um número real x. x * k1T.

seja P sua imagem no ciclo. Considere-+-+

mos a reta OP e seja D sua in·tersecção com o eixo das cotangentes.Denominamos cotangente de x (e indi·camos c0.!Rx) a medida algébrica dosegmento BD. Denominamos função co- A'

tangente a função f: D -+ IR que associaa cada real x. x * k1T, o real BD= cotg x, isto é. f(x) = cotg x.

Notemos que, para x = k1T, P+-+

está em A ou A' e. então, a reta OPfica paralela ao eixo das cotangentes.Como neste caso não existe o pontoD, a cotg x não é definida.

1T *' !! + k1T4 2

t * !!.. + k1T2

231T I.12

+ cos

b) g(x) = tg(2x - f).

3 tg t => t * !!.. + k1T => x 2

31T + k1T k E Z}.4 .

Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?

YI = tg 269 0 + sen 1780V2 = tg 121T • (sen 51T

7 11

Façamos 2x = t. Sabemos que existe t9 t se, e somente se,

(k E Z). então:

2x * !!. + k1T == x * !!.. + k .!!.. (k E,z) e242

D(!) = {x E IR I x * !!.. + k .!!.... k E ,z}.4 2

a) f(x) = tg 3x

Solução:

Façamos x - 1T = t. Temos:4

então D(f) ~ {x E IR I x *

C.66

Para tg t descrever um per(odo completo devemos ter:

<=> - 1T < x < 31T4 4

28. Propriedades

1~) O domínio da função cotangente é D = {x E IR I x * k7T}.

C.69 Esboçar o gráfico, dar o dom(nio e o pedodo da função real f(x) = tg 12x + .!!..).6

3~) Se x é do primeiro ou terceiro quadrante. então cotg x é positiva.

2~) A imagem da função cotangente é IR, isto é, para todo Y real existeum x real tal que cotg x = y.

6~) A função cotangente é periódica e seu período é 7T.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

5~) Se x percorre qualquer um dos quatro quadrantes. então cotg xé decrescente.

4~) Se x é do segundo ou quarto quadrante, então cotg x é negativa.o 7T l311' xgráfico -4' '4de

7T II

4 I,,II

37T _ 1_ !!..) = 7T.4 4

Como a função associa a cada x a

(_7T ) (tg x - 4 • teremos por analogia

com as funções já vistas) um

que é a tangentóide deslocada

para a direita.

então p(f)

32-C 33-C

2~) A imagem da função secante é IR - ]-1, 1[, isto é, para todoreal y, com y ~ -1 ou y ~ 1, existe um x real tal que sec x = y.

3~) Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então sec x é positiva.

4<:') Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então sec x é negativa.

5~) Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então sec x écrescente.

6~) Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então sec x é

decrescente.

7~) A função secante é periódica e seu período é 211.


31. Propriedades29. Gráfico

x

1~) o domínio da função secante é D = {x E IR I x"* 11

2+ k11}.

32. Gráfico

VII. FUNÇAO SECANTEsecx

~ Definição

x3112

7f112"

o

-1

-11

B'

Dado um número real x,

x"* !!- + k11,2

seja P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em Pe seja S sua intersecção com o eixodos cossenos. Denominamos secante de A'x (e indicamos sec xl a abscissa OS -1-------:........---.....,-......~-u

do ponto S. Denominamos função secante a função f: O ..... A que associa

a cada real x x "* !:. + k11, o real, 2OS = sec x, isto é, f(x) sec x.

Notemos que, para x = 11 + k11, P está em B ou B' e, então, a reta2

s fica paralela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto S,a sec x não é definida.

34-C 35-C

35. Gráfico

CQssec x

VIII. FUNÇÃO COSSECANTE

33. Definição

Dado um número real x, x * k1T,seja· P sua imagem no ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo emP e seja C sua intersecção com o eixodos senos. Denominamos cossecante dex (e indicamos por cossec x) a ordenadaOC do ponto C. Denominamos funçãocossecante a função f: O --> IR queassocia a cada real x, x * k1T, o A'

real OC; cossec x, isto 'é, f(x); cossec x.

Notemos que, para x; k1T, Pestá em A ou A' e, então, a reta sfica paralela ao eixo dos senos. Comoneste caso não ex iste o ponto C, acossec x não é definida.

B'

-1T o

período completo da função cossecante

x

3~) Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então cossec x é positiva.

4~) Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então cossec x é negativa.

5~) Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então cossec x

é crescente.

6~) Se x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então cossec x

é decrescente.

7~) A função cossecante é periódica e seu período é 21T.


C.70 Determinar domrnio e pedodo das seguintes funções reais:

1T 1Tf(x) = eotg (x - '3), g(x) = see 2x, h(x) = eossee (x + 4'1.

EXERCICIOS

Determinar o sinal das seguintes expressões:

Vi = cos 910 + cossec 91°

Y2 = sen 1070 + see 107

0

Y3 = see 91T • (tg 71T + eotg E- l-B 6 7

2m - 11 - 3m

c) cossec x =

Em cada caso determinar o conjunto ao qual m deve pertencer de modo queexista x satisfazendo a igualdade:

a) eotgx=~

b) see x = 3m - 2

C.72

C.71

D ; {x E IR I x * k1T}.

IR - ]-1, 1[, isto é, para todox real tal que cossec x ; y.

,~) O donfínio da função cossecante é

2~) A imagem da função cossecante é

real y, com y':;; -, ou y ~ 1, existe um

34. Propriedades

36-C 37-C

CAPÍTULO III

CONDUÇÃO DO CALOR: NOVA TEORIA

-RELAÇOESFUNDAMENTAIS

Jean B. J. Fourier(1768 - 1830)

v

B

B'

k1T imagem de- , a A2 uB, A' e B', entãoOP2 P retângulo,

Demonstração

Para todo x real vale a relação:

I. INTRODUÇÃO

a) Se x *x é distinta de A,existe o triânguloportanto:

IOP2 12 + IP2 PI 2

; IOpI 2

e cos2 x + sen2 x = 1

11. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

36. Teorema

Para cada x 1= k21f definimos sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x.

Vamos mostrar agora que esses seis números guardam entre si certas relaçõesdenominadas relações fundamentais. Mais ainda, mostraremos que a partir deum deles sempre é poss(vel calcular os outros cinco.

Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos,Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigido pelos beneditinos.

Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos deMatemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.

Fourier que sempre desejara ser militar, ,aderiu com entusiasmo à causa daRevolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foiconferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular ra(zes irracionais dasequações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.

Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptolooia.Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.

Voltando à França em 1812, Fourierdesenvolveu, na sua obra "Memorial", umateoria sobre a condução do calor, tornando·se precursor da F (sica-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado acriar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por em·pregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.

Em 1830. morreu Fourier. vítima deum aneurisma cerebral.

39-C

b) Se x = k1T. temos:b) Se x k1T

2' podemos verificar diretamente a tese:

tg x = O = sen xcos x

Para todo x real, x * k1T, vale a relação:

x sen x co. x sen2 x + cos2 x

O O 1 1

1T 1 O 12

1T O -1 1

31T -1 O 12

38. Teorema

cotg x cos xsen x

37. Teorema

Para todo x real, x * 1T + k1T, vale a relação:2

Oe CD e @ decorre a tese

~-----+---l_u

cos xsen x

Q sinal de cotg x sinal de cos xsen x

lC? + +

2C? - -

3C? + +

4C? - -

----~+J-=---..."-----_d

decorre a tese.

1T + k1T, temos cotg x = O =2

Icotg xl

liOBO - liOP 1 P

IBOI IPIPI-- ---10BI 10PII

Icos xl

Isen xl

Oe CDe®

Demonstração

b) Se x

cos xsen x

a) Se x * 1T + k1T, a imagem2

de x é distinta de A, B. A' e B',então temos:

Utilizando o quadro de sinais aolado, observamos que o sinal da cotg xé igual ao sinal do quociente

l<::--_~-+:J---l_U

Q sinal de tg x sinal de~cos x

1<;> + +

2<;> - -

3<;> + +

4<;> - -

sen xcos x

tg x =

lATI IP;PI-- --IÕÃI 1CJ52 1

Itg xlIsen xl

CD---Icos xl

Demonstração

Utilizando o quadro de sinais aolado, observamos que o sinal da tg x•. I d . sen x 0>\2e Igua ao o quociente -- \V

cos x

a) Se x * k1T, a imagem de x édistinta de A, B, A' e B', então temos:

liOAT -liOP2 P

40-C 41-C

39. Teorema 40. Teorema

Para todo x real, X*"11 + k11, vale a relação2

1col X

Para todo x real, x *" k11, vale a relação:

ICOIMe)t· se~ X

Demonstração

b) Se x; k11, temos sec x ; 1 ; cos x (k par) ou sec x ; -1 ; cos x(k ímpar).

Demonstração

s

Qsinal de sinal decossec x sen x

lI? + +

21? + +

31? - -

41? - -

1Icossec x I ;

Isen x I

llOPC ~ llOP1P

10cI 10pI-- --10pI IOP11

b) Se 11 + k11, temos:x2

cossec x ; (k par)sen x

ou

cossec x ; -1 (k ímpar)sen x

a) Se X -'- 11 k ..,... 2 + 11, a Imagem

de x é distinta de A, B, A' e B',então temos:

Utilizando o quadro de sinais aolado, observamos que o sinal de cossec xé igual ao sinal de sen x 0.

De CD e 0 decorre a tese.Q sinal de sec x sinal de cos x

19 + +

29 - -

31? - -

41? + +

x *" k11, a imagem dede A, B, A' e B', então

llOPS ~ llOP2 P

10sI lopl-- --10pI IOP2 1

Isec x I ; 1Icos x I

a) Sex é distintatemos:

Utilizando o quadro de sinais aolado, observamos que o sinal de sec xé igual ao sinal de cos x 0.

De CD e 0 decorre a tese.

42-e

cos x ~ - "li 1 - sen 2x =-j - ~: =-~ - 35

4sen x 5 4

tg x =cos x -3- "3- 5

3-cotg x

cos x 5 3=---= -sen x 4 4

5

_1_= _ 5sec x

cos x 3 3- "5

sen x

calcular as demais funções circu-25 e 11 < x < 31124 "2'cossec x = -

cossec x =

C.~abendo que

lares de x.

k1T2 ' valem as relações:Para todo x real, x =1=

Demonstração

41. Corolário

cotg x =cos xsen X sen X

cos X

tg X 7C.75 ·Sabendo que

x.

tg x 12 e 11<X< 3115 "2'

calcular as demais funções circulares de

tg2 x + 1 =sen2 x + 1 =

sen2X + cos2

X 1 sec2 xcos2 x cos2 x cos2 x

1 + cotg2X = 1 + cos2 x sen2

X + cos2X 1

cossec2X

sen2 x sen2 X sen2 X

135

513

512

_1_ ~

125

11<X<

tg x

sec x

Notando que

cos x =

cotg x ~

311 = sec x < O, temos:2

• I 2 j 12454 -_ _ ~2659sec x ~ - V 1 + tg x ~ - 1 + Y 25

Solução

+ tg2 x

sen2 X= cos2

X • tg2X

cos2 Xcos\x •

sen x = tg x • cos x ~ ( ~) (_ ~ ) ~ 125 13 - 13

Solução

Notando que 11 < x < 11 = cos x < O, temos:2

r 7"'6" C b 2..r;;. com m > 1." alcular cos x sa endo que cotg x ~m - 1

Calcular sec x sabendo que sen x =

EXERCICIOSr" Sabendo que sen x

x.

~ e 11 < x < 11, calcular as demais funções circulares de5 2

cossec x =sen x

_1_~

12-13

1312

2ab com a > b > O.a2 + b2

44-C 45-C

7 Sabendo que

Solução

sec x 3, calcular o valor da expressão y = sen2 x + 2. tg2x. ~icular sen x e cos.x sabendo que 3' cos x + sen x

Solução

-1.

cos xsec x

1

3Vamos resolver o sistema:

1 - cos2 x = 1 _ 1"9

tg2x = sec2 x - 1 = 9 - 1 = 8

8"9

Solução 1

Calculamos tg x, cos x e finalmente y:

,,/ 24 3rrc;.so Sabendo que cotg x = 7 e rr < x < 2"' calcular o valor da expressão3ou cos x = -5

cos x = Oentão

De CD vem: sen x = -1 - 3· cos x <V

Substituindo <V em @ resulta:

cos2 x + (-1 - 3'cosx)2 =

isto 11

cos2x + 1 + 6 • cos x + 9 • cos2 x

ou ainda

10 • cos2x + 6 • cos x = O

Substituindo cada uma dessas alternativas em ® ' encontramos:

sen x = -1 - 3 • O = -1 ou sen x = -1 _ 3 (_ ~ ) 45 5

• calcular o valor de

1529

8 + 169

CDssec x - cotQ x+

O<x< rr2

1

19 x • cos x

1sen x = - e3

cossec x + cotg x

y = sen2 x + 2 • 192 x

y

y = (1 + cosx)(l - cos x)

então

~sendo

Assim, temos duas soluções:

tg x =cotg x

724 1~) cos x = O e sen x = -1

1 + 49576

576625

==:::- cos x 2425 ou

C.8S Celcular m de modo que se tenha sen x = 2m + 1 e cos x = 4m + 1.

~~alcular sen x e cos x sabendo que 5, sec x - 3 • tg2 x = 1.

C.84 Obter t9 x sabendo que sen2 x - 5 • sen x • cos x + cos2x • 3.

( l..- )(_ 24 ) 719 x • cos x 24 25 25 -~y

(1 + cos x)(l - cos xl 24 )(1 24 = 49 = 7(1 - +25 25 625

Solução 2

Simplificamos y e depois calculamos o que for necessário:

cos x35

e sen x 45

2 3rrDado que cos x = - e -5 2

y = (1 + tg2 x)2 + (1 - tlx)2.

- V 1 + cotg2 x = - j 1 +

Solução

Como sen2x+cos2x=l, resulta:

(2m + 1)2 + (4m + 1)2 = 1 ===> (4m2 + 4m + 1) + (16m2 + 8m + 11

~ 20m2 + 12m + = O=> m = -12 ±V144 - 8040

y

se" x • cosxcos x

1 - cos2 xsen xsso2 x

cossee x =sen x

576 2549 7

< x < 2rr, obter o valor de-12 ± 8

401

'===> m =- -2

ou m = - 110 .

46-C 47-C

C.86 Calcular m de modo que se tenha tg x = m - 2 e cotg x = m3

C.87 Determi nar a de modo que se tenha cos x =a + 1

e cossec x =a + 1

y;;-+2111. IDENTIDADES

42. DefiniçãoC.sa Determinar uma relação entre x e Y. independente de t. sabendo que

x = 3 • sen t e y = 4 • cos t.

Solução

Como sen2 t + cos2

t = 1, resulta:

SejamDizemos que

= g(x) para

símbolos:

f ef é

todo

9 ~uas funções de domínios Dl e O2, respectivamente.idêntica a g, e indicamos f == g. se, e somente se, f(x) =

x em que ambas as funções estão definidas. Colocando em

C.89 Determinar uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que

x = 5 • tg t e y = 3 • eossee t.

1 ==>9

~ = 1 ==> 16x2 + 9y2 = 14416

Solução

Exemplos

19) f: IR IR tal que f(x) = (x + 1)2 - (x - 1)2 e

g: IR IR tal que g(x) = 4x são idênticas pois:

f(x) = x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 = 4x = g(x), V x E IR.""'

43.resulta:_1_

tg t

25 + 1 ==> x2y2 = 225 + 9x2 =x 2

e cotg t =

C.90 Se sen x + cos x = a e sen x • cos x = b, obter uma relação entre a e b, independente de x.

C.91 Dado que sen x • oos x = m. calcular o valor de y-= sen 6 x + cos6 x.

Solução

e z

29) f: IR ..... IR tal que f(x) = x + 1 e

g: IR - {1} ..... IR tal que g(x) = x2 - 1 são idênticas pois:x - 1

g(x)(x+1)(x- 1)

x + 1=f(x).V xE IR - {1}x - 1

Como a2 + b2 == la + b)2 - 2ab. temos:

y = Isen2x)2 + leos2x)2 = Isen2x + eos2x)2 - 2 • sen2x' eos2x =

= 12 -2'lsenx'eosx)2 = 1 _2m2.

39) f: IR IR tal que f(x) = sen2x e

g: IR IR tal que g(x) 1 - cos2x são idênticas pois:

f(x) = sen2 x = 1 - cos2 x = g(x), V x E IR.

Como a3 + b3 == (a + blla2 _ ab + b2), temos:

z = Isen2xl 3 + (eos2x)3 = (sen2x + eos2x)(sen4 x - sen2x • eos2x + eos4 xi

= sen4 x + cos4 x - sen2 x • cos2 x =. y - (sen x • cos x)2

C.92 Sabendo que sen x + eos x = a la dado), calcular y = sen3x + eos3x.

49) f: {x E IR I x"* %+ k1T} ..... IR tal que f(x) = sec2 x - tg2x e

g: IR ..... IR tal que g(x) = 1 são idênticas pois:

f(x) = sec2 x - tg2X = (1 + tg2x) - tg2x = 1 = g(xl para todo

x "* !!.. + k1T.2

4S-e 49-e

IV. DEMONSTRAÇÃO DE IDENTIDADE Solução

g(x) ~

cossec x - 1+

cossec x +(cossec x + 1) + Icossec x-I )(cossec x-I) (cossec x + 1)

Provar que (1 - tg x)2 + (1 - cotg x)2 (sec x - cossec x)~ para todo x real,

x * k1T2 .

Solução

f(x) = (1 _ tg x)2 + (1 _ cotg x)2 = 11 _ sen x )2 + (1 _ ~)2 =cos x sen x

( cos x - sen x )2 + ( sen x - cos x )2 = 1 - 2 • sen x • cos x +cos x sen x cos2 x

2 • cossec xcossec2x - 1

2 • cossec xcotg2x

sen x = 2 • sec x • tg x = flxl.cos xcos x

~ 2·

C.95

44. Para demonstrarmos uma identidade trigonométrica podemos aplicar qualquer uma das fórmulas (que são também identidades) estabelecidas na teoria,a saber: as relações fundamentais, as fórmulas de redução, as de adição, as demultiplicação, as de divisão e as de transformação em produto. ~ evidente quena série de exercícios seguinte só podemos usar as relações fundamentais.

45. Existem basicamente três processos para provar uma identidade. Conformea dificuldade da demonstração escolhemos o método mais adequado entre osseguintes:

l?) partimos de um dos membros (geralmente o mais complicado) da. identidade e o transformamos no outro.

senx -COSX)2 = 1 - 2· senx' cosx = h(xlcos x sen x cos2 x • sen2 x

T sen xProvar que

= 11 - 2 • sen x • cos x) (_1_ +cos2 x

1sen:2 x

+ tg x para todo x real. x * k1T2

- tOS X

tg x

h(xl.

cos x sen x

- cos xsen x • cos x

- 2 • se" x • tOS X

sen2 x

- 2 • se" x • tOS xcos 2 x • sen2 x

(sec x - cossec x):2 =

+

g(x)

C.96

2?l transformamos o l? membro (f) e, separadamente, o 2? membro (g),chegando com ambos na mesma expressão (h). A validade deste método éjustificada pela propriedade:

f =h} ==> f =gg =h

3?) construímos a função h = f - 9 e provamos que h = O. A validadedeste método é justificada pela propriedade:

f-g=O <==> f=g

Solução

Solução

f(x) = (1 + cotg2x)(1 _ cos2x) = (1 + cos2

X) sen 2x ~sen 2 x

Demonstrar as identidades seguintes:

sen x. cos x3 2 3 2- tos x + tOS x - tOS X - toS x + tOS x - 1 + cos x = O

sen x • cos x

sen x

l-cosx -tgxtg x

cos x (1 - cos xl

+ sen x -

+ sen x ....sen x • cos x sen x cos x

- tOS X + sen2 x • tOS X - cos2 x • (1 - tas x) - sen 2 xsen x • cos x

- cos x + (1 - cos2x) • cos x - cos2x (1 - cos xl - 11 - cos2x)

1 - cos xsenx·casx

1 - cos x

f(xl - g(x)

para todo x real, x * k1T.

EXERCICIOS

C.93 Provar que (1 + cotl x) 11 - cos2x)

C.94 Provar que 2· sec x • tg x

x * !!- + k1T.2

+cossec x - 1 cossec x +

para todo x real

C.98 sen xcossec x

+ cos xsec x

50-C 51-C1-

C.99 tg x + cotg x = sec x • cossec x

C.1DD (tg x + cotg xl (sec x - cos xl (cossec x - sen xl

2 2 2 2C.101 seC X + Cossec X = sec X • cossec x CAPÍTULO IV

C.10S (cotg x _ coS xl 2 + (1 - sen x)2 = (1 - cossec xl2

COS x + cos y sen x + sen yC.1D9 =

sen x - sen Y cos y - cos x

cotg'2 X = cos2 XC.1D2 1 + cotg2 x

2 2 2 2C.1D4 cossec x + tg x = sec x + cotg x

C.1D5 2(sen x + tg x)(cos x + cotg xl ~ (1 + sen x + cos x)2

2 2C.1D6 (1 + cotg xl + (1 - cotg x) = 2' cossec x.

2 4C.1D7 ~ - 2 • cos x + cos x = tg4 x

_ 2 • sen2x + sen4x

REDUÇÃO

AO I!' QUADRANTE

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, comx não pertencente ao 1!? quadrante, relacionando x com algum elemento do 1!?quadrante. A meta é ficar conhecendo sen x, cos x e tg x a partir de uma tabelaque dê as funções circulares dos reais entre O e ; .

1 + sen x • cos x3 _ cos3 XC.1D3 :;se:;.n:.....:;x_=:...-c

senx-cosx

C.110 cos x + cotg x = cos x • cotg xtg x + see x I. REDUÇÃO DO 2C! AO lC! QUADRANTE

C.113 eotg x + eotg y = eotg x • eotg Ytg x + tg Y

2C.114 (sec x • see y + tg x • tg y)2 = 1 + (see x • tg Y + see y • tg xl

2 2 2C 111 sen x - eos Y + 1 = tg2x ·tg y

. eos2x' eos2y

u

v

r--. r--.AP + AP' = rr

r-..portanto AP' = rr - x.

~ imediato que:

46. Dado o número real x tal que

:!!. < x < rr, seja P a imagem de x no2

ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos senos.Temos:r-.. r-..AP + PA' = rr (no sentido anti-horário)

r-.. r-..e, como AP' = PA', vem:

= (cossee x - eotg x) 2- tOS X

+ cos xC.112 ~

C.115secx - tgx = seex + tgx

6 6 2 2C.116 eossee x - eot9 x = , + 3·' eotg X' eossee x.

sen x = sen (rr - x)

cos x = -cos (rr - xl

63-C52-e

47. Levando em conta as relações fundamentais, decorre:

sen x sen (11 - x)tg x - -- - t (11 x)- cos x - -cos (11 - x) ; - 9 -

cotg x ; -cotg (11 - x)sec x ; -sec (11 - x)cossec x ; cossec (11 - x)

51. Assim, por exemplo"temos:

sen 210° ; -sen (210° - 180°) ; -sen 30°cos 225° ; -cos (2~5° - 180°) = -cos 45°

411 411' 11tg "3 ; tg (3" - 11) = tg 3"

711 711sec "6 = -sec ("6 - 11) ; -sec ~

111. REDUÇÃO DO 4? AO 1? QUADRANTE

48. Assim, por exemplo, temos:

senl15°; sen(180° -115°); sen65°cos 130° ; -cos (1800

- 130°) ; -cos SOo211 211 11

tg "3 = -tg (11 - "3) = -tg "3

411 411 11cotg "5 = -cotg (11 - "5) ; -cotg "5

11. REDUÇÃO DO 3? AO 1? QUADRANTE

49. Dado o número rea I x ta I que311

11 < x < 2"' seja P a imagem de x

no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro. Temos:r--. /""\AP - AP' ; 11 (no sentido anti-horário)

r--.portanto AP'; x - 11.

É imediato que:

v

A

u


3; < x < 211, seja P a imagem de x

no ciclo. Seja P' o ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Temos:/""\ r-...AP + PA ; 211 (no sentido anti-horário)

r-... r--.e, como AP'; PA, em:

r--. r-...AP + AP' = 211

,.-...portanto AP' = 211 - X.

É imediato que:

sen x = -sen (211 - x)

v

A-+-----l--_.-l-...j..:..:-_u

sen x = -sen (x - 11) cos X = cos (211 - x)cos x = -cos (x - 11)

50. Em conseqüência temos:

sen x -sen (x - 11)tg x - - ; tg (x - 11)

- cos X - -cos (x - 11)

cotg x = cotg (x - 11)sec x ; -sec (x - 11)cossec x ; -cossec (x - 11)

54-C

/

53. Em conseqüência temos:

tg x = sen x ; -sen (211 - x)cos x cos (211 _ x) = -tg (211 - x)

cotg x = -cotg (211 - xl

sec x = sec (211 - x)

cossec x = -cossec (211 - x)

55-C


sen 280° -sen (360° - 280°) = -sen 80°cos 340° cos (360° - 340°) = cos 20°

1111 1111 11tg """6 = -tg (211 - "6) = -tg li

511 511 11cossec - = -cossec (211 - -) = -cossec

3 3 3

J

56.

11sen x = cos (- - x)

2

p;P = f';P' ====<> cos X = sen (~ - x)

Em conseqüência, temos:

11cotg x = tg ("2 - xl

11sec x = cossec ("2 - x)

cossec x = sec (!!.- - x)2

EXERCICIOS

C.117 Reduzir ao 1? quadrante:

ai cos 178° b) sen 251 ° c) Ig 290°

d) 711el sec 1924° t)

2311colg 6"" CQssec

6

gl sen (_ 711) hl cos (_ 511 ) i) 3116 3 Ig (- 4" I

jI2111

k)3111

Il1111sen

4 cos6

Ig3

tg xsen x

cos x

11cos ("2 - x)

11sen ("2 - x)

11cotg (2" - x)

Considerando a congruência dos triângulos OPP2 e OP'P'l, temos:

- 11 11 11REDUÇAO DE ["'4' 2") A [0, 4)IV.


!!. < x <!!. seJ'a P a imagem de x no4 2'

ciclo. Seja P' o ponto do ciclo simétricode P em relação à bissetriz do 1? qua

drante. Temos:

" " 11AP + PB = - (no sentido anti-horário)2

" "e, como PB = ·AP', vem:

" "11 '" 11AP + AP' = - então AP' = - - x.2' 2

P2

o

v

Pj u


sen 71° = cos (90° - 71°) = cos 19°cos 60° = sen (90° - 60°) = sen 30°tg 50° = cotg (90° - 50°) = cotg 40°

11 11 11 11sen "3 = cos ("2 - "3) = cos 6"

511 11 511 11cos 12 = sen (2" - 12) = sen 12

311 11 311 11tg 8" = cotg (2" 8" ) = cotg 8

EXERCICIO

C.118 Reduzir ao intervalo [O. -i-):li) se" 261 ° b) cos 2861 °

/./-d1411 211sen "3 e) cos "3

g) 511 711sen hl6 cos6

j) sen (_ 511) k) cos (_ 411)3 3

c) tg 511°511

J) tg 3

i) tg 11116

Il tg(- ~I3

56-C 57'-c

V. IDENTIDADES EXERCíCIOS

C.119 Simplificar as saguintes expressões:Ao procurar resolver problemas de redução ao 1~ quadrante estabelecemos

igualdades notáveis. Por exemplo, mostramos que se f < x < 11 então sen x ;

; sen (11 - x) e cos x ; -cos (11 - x). Vamos agora estender essas igualdadespara todo x real.

aI11

sen (2 + xl

c) 311- xlsen (2

el311

+ xlsen (2

11bl cos (2 + xl

311dI cos (2" - xl

371f) cos ("2 + xl

58. Teorema

Para todo' x real valem as seguintes igualdades:

1l sen x ; sen (11 - xl e cos x ; -cos (rr - xl2) sen x ; -sen (x - rr) e cos x ; +cos (x - 11)

3) sen x ; -sen (211 - x) e cos x ; cos (211 - x)11 11

4) sen x ; cos ("2 - x) e cos x ; sen ("2 - x)

v v

Solução

11 [11 11aI sen (2 + xl = sen 71 - (2" + xl] = sen ("2 - xl ~ cos x

71 [71 11bl cos 1"2 + xl = -<:os rr - (2 + xl] = -<:os (2" - xl ~ -sen x

371 [ 311 11cl sen (2 - xl ~ -sen (2" - xl - rr] = -sen (2 - xl = -cos x

311 311 rrdi cos 12 - xl = -cos [( 2 - xl - 11] ~ -<:os (2 - xl = -sen x

311 3rr 11el sen ("2 + xl = -sen [2rr - 12 + xl] = -sen ("2 - xl = -<:os x

~ ~ rrf) cos ("2 + xl = cos [211 - (2 + xl] = cos (2 - xl = sen x

C.121 Simplificar as expressões:

Solução

I-sen xl (-cos xly = (-cotg xl (tg xl = -sen x • cos x

sen (2rr - xl • cos (rr - xl71 3rr

tg (2" + xl cotg ("2 - xl

sen (-xl· cos (I!... + xlaI 2

tg (2rr - xl • cos (rr - xl

bl sen 1180° - xl • tg (90° + xlcotg (270° + xl • cos (270° - xl

sec(11- xl, tg(x -!!.lcl 2

cossec (9rr - xl • cotg l-xl

3rr 3rrdI sen ("2 - xl + cos 14rr - xl + tg ("2 - xl

C.120 Simplificar y

C.122 IMAPOFEI-761 Simplificar a expressão:

sen 192rr

I - cos (x + l;rr I • sen 1711 - xl.

u

Em conseqüência temos:

sen (rr - x) ; sen x, 't x E IRcos (rr - x) ; -cos x, 't x E IR

2), 3) e 4) provam-se analogamente.

Demonstração

1) Para todo x E IR temos x; Xo + 2k11 onde O";;; Xo < 211 e k E ~.

Assim, rr - x ; (11 - xo) - 2krr o que mostra que x e 11 - x têm imagensno ciclo simétricas em relação ao eixo dos senos.

58-C 59-C

C.123 (MAPOFEI-74) Simplificar a expressio:

sen (x + ll1T1 cotg (x + ll1T I71T 2

sen ""2 + cos (91T - x)

C.124 (MAPOFEI-74) Simplificar a expressio:

a2 cos 1800 - (a - b)2 sen 2700 + 2 ab cos 00b2 sen 900

1TC.125 (MAPOFEI-761 Fazer o gráfico da função y = sen (x - 2") + 2.

60. Definição

Uma função f:A .... B, é denominada função lmpar se, e somente se:

f(-x) = -f(x) , "fx E A

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos valores simétricos para afunção.

Exemplos

lÇl) f(x) = 2x é função ímpar pois 2(-x) = -2x, "fx E IR2Çl) f(x) = x3 é função ímpar pois (_X)3 := _x3 , "fx E IR

1ímpar pois

1"fx E IR'3Çl) f(x) = - é função

(-x)x x

VI. FUNÇOES PARES E FUNÇOES fMpARESDa definição decorre que o gráfico de urna função ímpar é simétrico em rll

lação à origem do sistema cartesiano pois:

(x, V) E f ==- (-x, -V) E f

x

1y=x

xx

61. Os números x e -x têm, no ciclo, imagens simétricas em relação ao eixodos cossenos. Em conseqüência, temos:

sen (-x) = -sen x, "f x E IRcos (-x) = cos x, "f x E IR

portanto, de acordo com as defi nições dadas, a função seno é função ímpar e afunção cosseno é função par.

x

1y="j(2"

x

(x, V) E f ==> (-x, V) E f

y=x2

x

y=lxl

Uma função f:A .... B, é denominada função par se, e somente se:

flx) = fI-x), "f x E A

isto é, dando valores simétricos à variável, obtemos o mesmo valor para a fUr,lção.

59. Definição

Exemplos

lÇl) f(x) = Ixl é função par pois l-xl = Ixl, "fx E IR2Çl) f(x) = x2 é função par pois (_X)2 = x2 , "f x E IR

1 ,- . 1 1 '"' E A*3Çl) f(x) =~ e funçao par pOIS (-)2 = -:-:2, v XX 4 X

Da definição decorre que o gráfico de urna função par é simétrico em relaçãoao eixo y pois:

6O-C 61-C

TÁBUA DE VALORES DASFUNÇÕESTRIGONOMÉTRICAS

CAPÍTULO V

ARCOS NOTÁVEIS

Verificaremos no que segue que as funções circulares dos reais x = !!.-,n

n E ~ e n;;' 3, podem ser calculadas a partir de Qn' lado do polígono regularde n lados inscrito no ciclo.

u

A

v

I. TEOREMA

Para todo n E N e n;;' 3, va le a relação

P 'OAp = 211Como n' decorre que

p'P = Qn'

No triângulo isósceles P'OP o eixodos cossenos é bissetriz e também alturae mediana, isto é, P'P 1 u e P2 é ponto médio de P'P. Então

11 nn Qnsen - = r2P = -

n 2

Seja AÔP = AÔP' = 11n

Demonstração

Graus Radianos Seno Tangente Cotang. Co· Seno

0° 0,0000 0.0000 0,0000 1,0000 1,5708 90°

1° 0,0175 0,0175 0,0175 57,290 0,9998 1,5533 89°2° 0,0349 0,0349 0,0349 28,636 0,9994 1,5359 88°3° 0,0524 0,0523 0,0524 19,081 0,9986 1,5184 87°4° 0,0698 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 1,5010 86°5° 0,0873 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 1,4835 85°6° 0,1047 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 1,4661 84°7° 0,1222 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 1,4486 83°8° 0,1396 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 1,4312 82°9° 0,1571 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 1,4137 81°

10° 0,1745 0,1736 0.1763 5,6713 0,9848 1,3963 80°11° 0,1920 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 1,3788 79°12° 0,2094 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 1,3614 78°13° 0,2269 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 1,3439 77°14° 0,2443 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 1,3265 76°15° 0,2618 0,2588 0,2679 3,7321 0,9679 1,3090 75°16° 0,2793 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 1,2915 74°17° 0,2967 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 1,2741 73°18° 0,3142 0,3090 0,3299 3,0777 0,9515 1,2566 72°19° 0,3316 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 1,2392 71°20° 0,3491 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 1.2217 70°21° 0,3665 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 1,2043 69°22° 0,3840 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 1,1868 68°23° 0,4014 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 1,1694 67°24° 0,4189 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 1.1519 66°25° 0,4363 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 1,1345 65°26° 0,4538 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 1,1170 64°27° 0,4712 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 1,0996 63°28° 0,4887 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 1.0821 62°29° 0,5061 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 1,0647 61°30° 0,5236 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 1,0472 60°31° 0.5411 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 1,0297 59°32° 0,5585 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 1,0123 58°33° 0,5760 0,5446 0.6494 1,5399 0,8387 0,9948 57°34° 0,5934 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 0,9774 56°35° 0,6109 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 0,9599 55°36° 0,6283 0,5878 0,7265 1.3764 0,8090 0,9425 54°37° 0,6458 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 0,9250 53°38° 0,6632 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 0,9076 52°39° 0,6807 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 0,8901 51°40° 0,6981 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 0.8727 50°41° 0,7156 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 0,8552 49°42° 0,7330 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 0,8378 48°43° 0,7505 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 0,8203 47°44° 0,7679 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 0,8029 46°

45° 0,7854 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 0,7854 45°

Co-seno Cotang. Tangente Seno Radianos Graus

63-C

11. APLICAÇÕES

sen

nOs casos mais comuns de aplicação desta teoria são aqueles em que3,4 e 6.

Temos, então:

rr 1/44=2

Em conseqüência, vem:

Notando que o raio do ciclo é R 1, temos:

rr 1/3 R...f3 v'3sen 3" = 2 = -2- 2

rr rr .!!.6 4 3

1 Vi Vi.seno

2 2 T

/ Vi Vi 1cosseno "2 T 2'

tangente Vi ..3"

,',

rr 1/6 R 1sen

6 "2 "2 2"rr =)1

2 rr =~= v'3cos

6 - sen "6 4 2

rr 1sen

6 2 1 v'3rrtg

6 rr V3 =y'3 =3cos -

6 2

_ rrValores das funçoes em "6

Temos, então:

rr =)12 rr =)1

1 1 v2cos

4- sen 4" -2" Y'í 2

rr v0rr sen"4 2

tg 4 --rr- =V"2 = 1cos ""4 "2

Sendo PQ = 126 o lado do hexágono regular inscrito, o triângulo OPQ éequilátero e, então:

65. Concluindo, podemos sint.etizar esses resultados na seguintes tabela:

64.

12

rr v'3sen

3=+=v'3

rrtg

"3 rrcos

3 2

1123 = R~ I

62. Valores das funções em -iAplicando o teorema de Pitágoras

ao triângulo assinalado na figura:

I/~ + I/~ = (2R)2

I/~ + R2 = 4R 2

I/~ = 3R 2

Em conseqüência, vem:

cos !!... = Jl - sen2l!..- = Jl3 3

63. Valores das funções em :

Aplicando o teorema de Pitágorasao triângulo assinalado na figura:

1/; + 1/; = (2R)2

.21/; = 4R 2

1/; = 2R2

64-C 65-e

EXERCICIOS

C.126 Calcular sen 15°, cos 15° e tg15°,

Solução

sen 15° = sen 11 Q1212 2'

Calculemos QI2 no triângulo POR:

PO = Q12 aR = Q6 = .!., 2 2

v'3RP = OP - OR = 1 - "'2

QI2

CAPÍTULO VI

TRANSFORMAÇÕES

então 2 1 .J3 1 3.\\2 = ("212 + (1 - 2""")2 = 'I' + 1 -.J3+ "4 = 2 - .J3

11 = QI2 ,h - v'3sen 12 2 2

cos 1~ = V1 - sen2 1~ = v< _2 -4v'3 = V2 ; V311

11 sen 12tg 12 --11- =

cos 12

11 11 11C,127 Calcular sen 8' cos 8 e tg 8'

I. FORMULAS DE ADIÇAo

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma(a + b) e da diferença (a - b) de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções circulares de a e de b.

C.l30 (MAPOFEI-74) Calcular todas as funções trigonométricas de um arco de 930°.

C.128 Determinar os elementos do conjunto A = {x = tg k11 I k E Z}.3

k = O = x=tgO=O

k = 1 = x=tg ;=.J3

k = 2 = 211= -.J3x = tg 3"

k = 3 ==> x = tg 11 = O

k = 4 ==>411

=V3x = tg 3"k = 5 511

= -V3==> x = tg 3"k = 6 = x = tg 211 = O (repetição) então A = {-v'3. O, v'3}.

v66. Cosseno da soma

1i,i U

P (cos a, sen a) j-t~·~~~Ha,_~~~,~e).n,~a+b)) / -r

R . ./r-.. r-.. 4

Os arcos AO e RP têm a mesma medida, portanto, as coroas AO e PR sãoiguais. Aplicando, então, a fórmula da distância entre dois pontos da GeometriaAnah'tica, temos:

d~o = (xO - xA)2 'I- (yo - YA)2

= [cos (a + b) - 1F + [sen (a + b) - oF= cos2 (a + b) - 2 • cos (a + b) + 1 + sen2 (a + b)= 2 - 2 . cos (a + b)

Sejam P, O e R os pontos do cicloassociados aos números a, a + b e -b.respectiva mente. Em relação ao sistemacartesiano uOv as coordenadas desses pontos são:

{ k11 I }B = x = cos"4 k Ez .eA = {x = sen k11 I k E~}6

Dando valores a k, temos:

Solução

C.129 Determinar A n B sabendo que:

66-C 67-e

cos a cos b - sen a • sen bcosa· cosb

sen a cos b + sen b • cos acosa· cosb

70. Tangente da somad~p ~ (xp - XR)2 + (YP - YR)2 ;

= lcosa - cosbj2 + lsena + senb]2

= cos2 a - 2 . cos a • cos b + cos2 b + sen2 a + 2 . sen a . sen b ++ sen2 b ; 2 - 2 • cos a . cos b + 2 • sen a . sen b

dAQ = dRP ==> 2 - 2 • cos (a + b) = 2 - 2 • cos a . cos b ++ 2 • sen a • sen b

e, então, vem a fórmula:

tg (a + b)sen (a + b)cos (a + b)

sen acos a

cosb + senb • cosacos b - sen a • sen b

I -la'" b) .. _a· cosi.· 1eI18(' senb I(. _~ _'1l),~'f\ 1- ,\' ~

67. Cosseno da diferença .Wcos (a - b) = cos la + (-b)) ; cos a . cos t-~ - sen a • sen (-b)

; cos a • cos b - sen a·(-sen b)então

sen a c9rl> sen b • c9f1I+

cos a cps1) c98'1l • cos bcÇ)8"a c9rll sen a sen bcpr"a c9rll cos a • cos b

então

tg la + b).. ti a + ti b1 -tga. tgb

Esta fórmula só é aplicável se:

68. Seno da soma

a * .!!... + k1l,2b * ~ + k1l2

e a + b * 11 + k1l2

Tangente da diferença

sen (a + b)11

; cos ['2

11; cos (2

11- (a + b)) ; cos [( - - a) - b) ;

211

- a) • cos b + sen ('2 - a) . sen b

71.

tg (a - b) ; tg la + (-bl]tg a + tg (- b)

1 - tga· tg(-b)

então

69. Seno da diferença

sen (a - b) ; sen [a + (-b)) ; sen a • cos (-b) + sen (-b) • cosa; sen a • cos b + (-sen b) • cos a

então

então

tg a + (-tg b)1 - tga· (-tgb)

Itgla ··b) •


• ··tlIb1 + tea : tgb

I. sano ta - bJ '[; su a ~' .......ti· ClâI a I

68-C

11 11a * '2 + k1l. b * 2 + k1l e

11a - b *' '2 + k1l

n-c

72. Cotangente da soma EXERC(CIOS

cotg (a + blcos (a + b)sen (a + b)

cos a cos b - sen a • sen bsen a cos b + sen b cos a

C.131 Calcular os valores de:

a) cos 15° bl sen 105° c) 19 75° d) lec 285°

cos a

sen a

cos b - sen a • sen bsen a • sen bcos b + sen b • cos asen a • sen b

Solução

ai cos 15° ~ cos (45° - 30°)

V2 v3 V2~2""" 2+2

~ cos 45° • cos 30° + sen 45°

1 v6+V2"2 = 4

• sen 30° =

então

cos a cos b s~' s~

sen a sen b s~a' s~

sllR"a cos b s~ • cosa+sllR"a sen b sen a • s~

b) sen 105° ~ sen (60° + 45°) ~ sen 60° • cos 45° + sen 45° • cos 60° ~

v3 V2 V2 1 v6 +'>/22""" 2+2'"2= 4

.1lOtg a • eotf b - 1cotg (a + b) =< . b

cotg a. + cotg

c) 19 75° = 19 145° + 30°1

1 + v'33Y'3

-1· ""3

19 45° + 19 30°- 19 45° • 19 30°

3 + v'33 - V3


a * k7T, b * k7T e a + b * k7T

d) sec 285° ~ sec 750 ~ 1cos 75° cos.(45° + 30°)

4

Y'6 - V'2

cotg a. (-cotg b) - 1cotg a + (-cotg bl

5 7Tecos y = 13' calcular o cos (x + y), sabendo que O < x < 2"

73.

então

Cotangente da diferença

cotg(a - bl cotg[a + (-bl]cotg a . cotg (-b) - 1

cotg a + cotg (-b)

;:'132 Calcular c019 165°, sec 255° e cossec 15°.

/133 (FE 1-761 Sendo 19 A ~ 2 e 19 B = 1, ache

~. (MAPOFEI-75) Calcular o valor da expressão

~Dados: sen x = ~37T

e 2" <y <27T.

19(A-BI.

sen 105° - CQS 75°.

7o-C


a * k7T, b * k7T e a - b * k7T

Solução

1':') cos x = +y 1 _ sen2 x = +J1 9 4- 25 = 5"

2':') sen y = -Y1 - cos2 y = -J1 - 12:9 ~ -~;

3':') cos 1x + y) = cos x • cos y - sen x • sen y =

4 5 3 -12 56="5 x f3-"5 x 1"3=65

71-C

~en l I = sen (x - vi + sen (y - l) + sen (z - xlcos z

+ cos2 b - 2 • cos (a + bl • cos a • cos b = sen2 a

Solução

10) cosb ~ -Vl - sen2 b = -)1 - ~~ =-~

45 4

19 b=-=3=-3

5

entlio11 114 < b < 2'

rrO < a < "2 == sen a > O e cos a < 1

O < b < ~ == sen b > O ecos b < 1

Então

sen a • (cos b - 1) + sen b • (cos a - 1) == X < O'-r-' ----v---' '-r-' ----v---'

>0 <O >0 <O

e X < O == sen (a + b) < sen a + sen b

C.l~·(MAPOFEI-75) Demonstrar a identidade:

/ -1 + sen 2xtg 145° + x) • cotg (45° - x) = 1 2

- sen x

Ç.140 Se a e b são ângulos agudos e positivos, demonstrar que:

sen (a + b) < sen a + sen b

Solução

Seja X = sen (a + b) - sen a - sen b = sen a • cos b ++ sen b • cOs a - sen a - sen b = sen a Icos b - 1) + sen b (cos a - 1)

Temos:

," rr< rrs,.t1l1 (EPUSP-63) Provar que se 4" a < 2 eL-"

4sen (a + b) < sen a +"5 • sen b

\

3rrrr < y < "2' calculare

.::.&17

~ < b < rr, calcular t9 (a + b).

O<x<2:.2

com

co52 b - cos2 a

2 e sen b ~ ~"3 5

19 a + 19 b- 19 a • 19 b

C.138 Demonstrar as identidades:

~sen (a + bl • sen (a - b)

~EPUSP-621

I~en x ~en y

cos x cos y

.........-.; cos2 (a + bl

C.136 Sabendo que 19 a

15 3C.l.37 Sabendo que sen x ~ 17' sen V = -"5 •,,"

" sen (x + V), cos (x + y) e 19 (x + vi.

Solução C.142 Provar que os ângulos internos A, B" e C de um triângulo não retângulo verificam arelação:

a) I'? membro = (sen a • cos b + sen b • cos ai (sen a • cos b - sen b • cos a)= sen2 a • cos2 b - sen2 b • cos2 a = (1 - cos2 a) • cos2 b -_ 11 - cos2 bl • cos2 a = cos2 b - cos2 a = 2'! membro Solução

= sen Iv - l) - sen (x - zl + sen (x - visen (x - vi + sen (V - l) + sen (z - xl = 2'? membro

A + B + C = 180° == A + B = 180° - C == t9 (A + B) = tg 1180° - C)== I

sen ybl la membro

cos ysen Z I Isen xcos z cos x

sen Z I + Isen xcos z cos x

sen VIcos y

=

=

tg A + tg B = -tg C = tg A + tg B = tg C (tg A • tg B - 1) =1 - tg A • tg B

~A+~B+~C=~A'~B'~C

2 2cl I'? membro = Icos a • cos b - sen a • sen b) + cos b-

- 2 • (cos a • cos b - sen a • sen bl • cos a • cos b ="" cos2a • cos1 b - 2 • sen a . sen b . cos 8 • coS b + senl a . sen2b ++ cos2 b - 2 • cos2 a • cos2 b + 2 • se" 8 • sen b . cos a • cos b =

= senl a • sen2 b - cos2 a • cos2 b + cos2 b =

= sen2 a • (1 - cos2 bl - (1 - sen2 a) • cos2 b + cos2 b =

= sen 2 a _ sen2 a . cos2 b - cos2 b + sen2 a . cos2 b + cos2 b

= sen2 a = 2'! membro

~'Demonstrara identidade: 4, sen (x + 60°) cos Ix + 30°) = 3 • cos2 x - sen2 x.

C.l~st~dar a variação das seguintes funções reais:,/

,. a) f(x) = sen 2x • cos x + sen x • cos 2x

V2 V2b) g(x) = 2 . cos x + -2- • sen x

c) hl) 1 + tg xx=l_tgx

72-C 73-C

Soluçio

a) f(x) = san 12x + x) ~ sen 3x

entãoD(t) = IR

27Tp =""3Im(t) ~ [-1, 1]

x

11. FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de 2a, 3a,4a, etc, conhecidas as funções circulares de a.

74. Funções circulares de 2a

b) g(x) = cos x • cos -i- + sen x • sen ~ = cos Ix - %1 Façamos 2a = a + a e apliquemos as fórmulas de adição:

entãoDIgl ~ IR I) cos 2a = cos (a + a) = cos a • cos a - sen a • sen a

p = 27TIm(g) ~ [-1. 1]

y então

o

-1

x

.Cos 2a .. COSZ a ;. senz acos 2a .. 2 ~ :CI)s'l a ~ 1cos2a .. 1 ., 2 •.senz a

y

então

Dlh) = {x E IR I x '" ~ + k7T}

I$110211=2 • sen a • cos 11 J

11) sen 2a = sen (a + a) = sen a • cos a + sen a • cos a

entãox7T4

=> tgl-!!:.+ 2r.1=tgO=O4 4

7Ttg 4 + tg x 7T

___=-__ = tg Ix + -)7T 4

1 - tg /I' tg x

x =-

p = 7TImlh) ~ IR

7T4

cl hlx)

C.145 Estudar a variação das seguintes funções reais:

a) f(x) = cos2 2x - sen2 2x

b) g(x) ~ V3 . cos x - sen xsen x + cos x

c) hlx) ~cos x sen x

111) tg 2a = tg (a + a)tga+tga-tga·tga

C.146 Qual é o período da funçio f:IR->IR dada por

f( x) =. sen x • cos 2x • cos 3x - sen x • sen 2x • sen 3x ++ cos x • sen 2x • cos 3x + cos x • sen 3x • cos 2x

então

jtl 2II ..2 • ti a1 ~ t92 a

74-C 75-C

75. Funções circulares de 3a EXERC(CIOS

j t02"sen x = - 1 + t02 x

cos x = - j 1 +1t92 x

então

Fazendo 3a = 2a + a e aplicando as fórmulas de adição, temos:

I) cos 3a = cos (2a + a) = cos 2a • cos a - sen 2a • sen a == (2 • cos2 a - 1) cos a - (2 • sen a • cos a) sen a= (2 . cos2 a • 1) cos a - 2 sen2 a • cos a == (2 • cos2 a - 1) cos a - 2 • (1 - cos2 a) cos a

~. Sendo to x =

Soluçio

3 3lT4 e lT < x < 2"' calcular sen 2" •

=_),:6 9=-~16

=-j 19

=-~1 + 16

3sen 2x = 2 • sen x • cos" = 2 • 1-"5)

C.,41(IFEI-77) Calcular sen 2x sabendo-se que: to x + cotg x = 3./'

12 lTC.149 Sendo cotg x = 5" e O < x < 2' calcular cos 2x.

Solução.11) sen 3a

então

= sen (2a + a) = sen 2a • cos a + sen a= (2 • sen a • cos a) • cos a + sen a (1= 2 . sen a • (1 - sen2 a) + sen a • (1

·cos2a=- 2 • sen2 a)- 2 sen2 a)

cossec x = V1 + cotg2 x = J.1cos 2x = 1 - 2 • sen2 x = 1 - 2

2C.~50IMAUA-77) Sendo: sen Q = 3'

144 13 5+ 25 "5 = sen x = 13

~ 119169 169

com 0< Q < ~

aI calcule

b) calcule

lTsen (2" + 200

lTcos('4+ OO

2 • t9 a + t9 a (1 - t92 a)(1 - tg2 a) - 2 • t9 a • t9 a

C.151 Sendo sec x = ~; e 32lT < x < 2lT, calcular tg 2x.

III)t9 3a t9 (2a + a)t92a + t9 a- t92a • t9 a

1 -

2 t9 a2 + t9 a

- t9 aSoluçio

to x = -V sec2 x - 1

2 • tg xto 2x = ,.--:qj2X

= - j ~: -1= - ;414

- 24 33649 = - 527

- 576

então

76-C

3a ,. 3 • tga • " a·tg1-3.t a

~se 3 3lT < x < 2lT, calcular sen 3x.cos x ="5

e "2./

~Se12 lT

sen x =13

e '2 < x < lT, calcular cos 3x.

77-C

C.154 Se sec x4 11"3 e O < x < 2' calcular tg 3x.

.UI. FORMULAS. DIViSA0

C.155 (MAPOFEI-751 Calcular sen2 1~ - cos2 1~ + tg ~ + tg 1~11. ""Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de ~,

conhecida uma das funções circulares de x.

76. I: dado o cos x

Sabemos que cos 2afazendo 2a = x, teremos:

C.156 Provar que:

a) sen 4a = 4 • sen a • cos3 a - 4 • sen3 a • cos ab) cos 4a ~ 8 • cos4 a - 8 • cos2 a + 1

4 • tg a - 4 • tg3 ac) tg 4a ~ tg4 a _ 6 • tg2 a + 1

r~.~emonstrar pelo princfpio da indução finita que:V sen2n acos a • cos 2a • cos 4a • 0.0 • cos 2" -1 • a = 2" • sen a

C.l58 (POLl-61 I Esboçar o gráfico da função V 2 sen2 x utilizando o gráfico decos 2x.

Solução

A partir da identidade oos 2x ~ 1 - 2 • sen2 x, temos:

V ~ 2 • sen2x= V = 1 - cos 2x

cos x

cos x

2 cos2 a - 1 ecos 2a = 1 - 2 • sen2 a, portanto,

2 cos2 2: - 12

1 - 2 • sen2 ~ ==Isen t . tj' -~s II

Os sinais (t) só têm sentido quando se conhece cos x, sem conhecer x.Assim, sabendo que cos x = cos xo, temos:

= tg -2X • ±J.> ~ - COSll+ COS II

xsen 2

xcos 2

(I)

(11)

Xo + k112'

Xo- 2' + k11

x2

x'2-xo + 2k11 =x

x .. Xo + 2k11ti! solução:

Xtg "2

2'! solução:

,

x

Vx 2x cos 2x V

O O 1 O

11 11O 1

4 2

11-1 2

211

311 311O 1

4 2

11 211 1 O

C.159 Estudar a variação das seguintes funções reais:

ai f(x) ~ cos4 x - sen4 x b) g(x) ~ 8 • sen2 x • cos2 xc) h(x) = cos4 x + sen4 x

C.160 Qual é o per rodo das seguintes funções reais?1 - tg2 2x

a) f(x) = sen x • cos x b) g(xl = 1 + tg2 2x

c) h(x) = cos6 x + sen6 x

As expressões (I) e (11) nos indicam que, dado cos x, existem 4 possíveis

arcos ~, pois k pode assumir valores pares ou ímpares, os quais dão origem

a dois valores para cos i, sen ~ e tg ~. Provemos que existem dois valores

simétricos para cos ~, por exemplo:

78-e79-e

Expr. (I) k par: cos ~ = cos (~O + 2k l 7T) = cos iE (I) k • x [ Xo Xo Xoxpr. Impar: cos 2 = cos 2 + (2k l + 1)7T] = cos (2 + 7T) = -cos 2

Expr. (11) k par: x Xo Xo Xocos 2 = cos (- 2 + 2k l 7T) = COS (- 2) = cos 2"

Expr. (11) k ímpar: cos; =cos [- x; + (2k 1 + 1)7TI = cos (_ x; + 7T)

.!!.<~<7TObservemos que 4 2 2"

5 xC.163 Se t9 x = 12' calcular sen 2"'

• 1cosx = 3'

x2":

__5_y'"1G .

sen

x á um arco do primeiro quadrante e

= ±} -..!.-25 - + !3- - 131 + 144

P '2=... 1 + 13 =±j~

- 2 26

entio há 4 possibilidades para

sen i = ±j1 - 2cOS x

Soluçio

cos x = ±},,..-,...:'---.+ t92 x

+ _,_ _ _,_ + Í- ouv'26 ' v'26 ' v'26,//

C.'6~UUSP-69) Sabendo-se que, . x x

determinar sen "2 e t9 "2'

= -cos Xo2

Sabemos que cos x = ± y 1 - sen2 x, portanto, tendo sen x, calculamoscos x e entramos com as fórmulas do parágrafo anterior.

77. É dado o sen x

EXERCfclOS

C.1!>1 Calcular as funções circulares de E./ 8

x

x x4 e t9 4'cos

= sen2 x, portanto,

311" /21T" 2 ./', ...--_ .....

"'-

- cos 2x2

Isen xl

7T"2

y

1

-1

- 2 sen2 x decorre que

f(x) =~ =

De cos 2x =

já vimos que:D(f) = IRp = 7TIm(f) = [O; 1]

Solução

. 24 7T xC.16~-sabendo que cos x = 25 e O < x < "2' calcular sen 4'

~ndo sec x = 4 e 3211" < x < 27T, calcular t9 (7T ; x).

f(xl -_ J 1 - c20s 2xC.167 Estudar a veriaçio de funçio f:1R -+ IR dada por

7T xe 2" < x < 7T, calcular as funções circulares de "2'

7Tsen 8"

7Tcos 8"

7Tt9 8"

24C.162 Se sen x = 25

Solução

cos x = -y 1 - sen 2 x = -J, - ~~~ = - ;5

x } 1 - tOS X fi6 4sen 2" = + 2 = +.y 25 = 5"

80-e \ 81-e

sen a

C.168 Estudar a variação da função f: IR - {x I x *' ~ + k7T}~ IR dada por

1 1

t(xl = (' - cos 2x)2 • (1 + cos 2x) -2,

1

C.169 Qual é o pedodo da função f:IR ~ IR dada por f(x) = (' + cos 4x1 2 ?

k7T , aC.170 ai Para todo real a*':2 (k E Z). provar que sen a ~ cotg 2 - cotg a.

b) Demonstrar, utilizando o resultado anterior, que

+ + _,_ + + _,_ a 2nsen 2a sen 4a ... sen 2na = cotg 2" - cotg a.

IV. TANGENTE DO ARCO METADE

A utilidade destas três últimas fórmulas é permitir a substituição de sen x,

cos x e tg x por uma única função (tg ~), através de expressões racionais.

Esse tipo de substituição é frequentemente utilizado na resolução de equaçõestrigonométricas.

V. TRANSFORMAÇAO EM PRODUTO

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, co·

nhecida a tg ~.

Das fórmulas de multiplicação, temos:

__ trinômios quadrados perfeitos

colocação em evidênciadiferença de quadrados

cos2 a sen asen 2a = 2 • sen a • cos a = 2 • sen a • = 2 •

cos a cos a2 • tg a

1 + tg2 a

22 • tg a

tg a =1 - tg2 a

1sec2 a

78. Em Álgebra Elementar, têm grande importância prática os recursos paratransformar um polinômio em produto de outros polinômios (fatoração). Assim,por exemplo, temos:

x2- 2x = x(x - 2)

x2- 4 = (x + 2) (x - 2)

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 }x2 - 4x + 4 = (x - 2)2x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) __ soma de cubosx3

- 8 = (x - 2) (x2 + 2x + 4) -- diferença de cubosx3+ 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3}x3 _ 3x2 + 3x _ 1 = (x _ 1)3 ----+ polinômios cubos perfeitos

•xFazendo 2a = x e a = "2' temos:

sen x =

x2· 19 2

1fi!1f ie tgx =

x2· t9 2

1 - tlf ~2

Muitas vezes aplicaremos esses recursos à Trigonometria, recorrendo a trans-formações como:

sen2 x - 2 • sen x = sen x (sen x - 2)sen2 x - cos2

X = (sen x + cos x) (sen x - cos x)

Além dos recursos algébricos, a Trigonometria dispõe de fórmulas que permitem completar uma fatoração. Assim, no exemplo acima, podemos fatorar:

sen x + cos x e sen x - cos x.

82-C

senxNotando que cos x = tgX' temos:

Vamos deduzir agora as fórmulas para transformar somas e diferenças triogonométricas em produtos.

83-C

79. Sabemos que: sen p sen q sen p • cos q - sen q • cos Ptg P - tg q - ==

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b CD cos P cos q cos p • cos q

cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b G)sen (a + b) sen a cos b + sen b cos a

ffi==> tgp-tgq"

sen (p - qlcos p • Cos ti

sen (a - b) sen a cos b - sen b cos a

Logo:

CD +G): cos (a + b) + cos la - b) 2 • CDS a • cos b

CD -G): cos la + b) - cos (a - b) -2 . sen a • sen b

0)+0: sen la + b) + sen (a - b) = 2 sen a cos bEXERCICIOS

@-(D sen (a + b) - sen (a - b) = 2 sen b cos a C.171 Transformar em produto:

Estas relações são denominadas fórmulas de Werner.

80. Fazendo nas fórmulas de Werner:

a) y = sen 5x + sen 3xb) y = cos 3x + cos xcl y == sen 7a + sen 5a - sen 3a - sen ad) y = cos 9a + cos 50 - cos 3a - cos ae) y = sen a + sen b + sen c - sen (a + b + c)

{a + b = p p + q

bportanto, a = -2-

a - = qe b= p-q-2-

Solução

5x + 3xa) y = 2 • sen 2

5x - 3x• cos --2- == 2 • sen 4x . cos x

obtemos as fórmulas de transformação em produto:3x + x

b) y = 2 • cos 2 • cos3x - x

2 = 2 • cos 2x • cos x

Temos ainda que:

cosp -I- 1»$4 .. 2 .

sen p + sen qtgp+tgq= --

cos P cos q

a + b + 2c2

a + b + 2c - a + b

• sen ---'::';---1 =

a + b + 2c + a - b

a + b ( 2= -2 • sen -2-' -2, sen 2

== 4 • sen a + b a + c b + c2 sen -2- sen -2-

e) y = (sen a + sen b) - [sen (a + b + cI - sen c] =

= 2 • sen a + b • cos a - b _ 2 • sen a + b • cos2 2 2

= -2 • sen a + b • [cos a + b + 2c _ cos a - b J =222

c) y = (sen 7a + sen 5al - (sen 3a + sen a)= 2 • sen 6a • cos a - 2 • sen 2a • cos a= 2' cosa (sen 6a - sen 2a) =

= 2 • cos a (2· sen 2a • cos 4a)== 4 • cos a sen 2a . cos.4a

d) y = (cos 9a + cos 5a) - (cos 3a + cos a)= 2 • cos 7a • cos 2a - 2 • cos 2a • cos a = 2 • cos 2a • (cos 7a - cos ai= -4 • cos 2a • sen 4a • sen 3a

sell (p .+. q) ..cos p. ·cosq

sen p • cos q + sen q • cos pcos p • cos q

tgp+tgq ..=

81.

84-C 85-e

C.l75 (MAPOFEI-76) Transformar o produto cos 2x • cos 4x em uma soma equivalente.

C.176 (FEFAAP-77) Provar que (sen A + cos A)4 = 4 cos4 (A - !!..).4

C.174. Transformar em produto:

.' a) y = sén (a + b + c) - sen (a - b + c)(/' b) y = cos la + 2b) + cos a

c) y ~ sen a + sen (a + r) + sen (a + 2r) + sen (a + 3r)di y = cos la + 3b) + cos (a + 2bl + cos (a + b) + cos ae) y = cos2 P - cos2 qf) y = sen 2 p - sen2 qg) y cos2 P - sen2 q

se" 28 + se" 2bhl y cos 2a - cos 2b

Solução

111112'. cos

131112

y = sen

+ se" a1 - sen a

i) y

C,J17 Calcular o valor numérico da expressão:/

Solução

a) y = sen %+ sen 2x = 2 sen (* + x) • cos (~ - xl

= 2 • sen2 (1 + x)

b) y = cos O + cos x = 2 • cos f . cos (- ~ I = 2 • cos2 ~

c) y = (cos 2a + cos O) + cos a = 2 • cos2 a + cos a =

1 [ _11]= 2 cosa (cosa + "2) = 2· cosa cosa + cos 3

= 4 cos a • cos (~ + !!. I • cos (~ - !!.)2 6 2 6

d) y = (sen Sa + sen a) + 2 • sen 3a = 2 • sen 3a • cos 2a + 2 • sen 3a= 2 san 3a [cos 2a + 1] = 2 • sen 3a • [cos 2a + cos O]= 2 • sen 3a • [2 • cos a • cos a] = 4 • sen 3a • cos2 a

C.172 Transformar am produto:

a) y + sen 2xb) y = 1 + cos xc) y = 1 + cos a + cos 2ad) y = sen a + 2 • sen 3a + sen Sa

C.173 Transformar em produto:

a) y = sen x + cos x d) y = sen2 5x - sen2 x

b) y = cos 2x - sen 2x e) sen a + sen by

cosa + cosbc) y = cos2 3x - cos2 X

p + q 1311 P - q 1111Fazendo -2- 12 e -2- 12 obtemos

2411= 211

211 11P ""12 e q =

12 6' portanto:

1 (2 • sen 1311 !.!.!!') 1 ~) 1 .!..) 1y 2" 12 cos = 2" Isen 211 + sen "2 10 + '412 6 2

Solução C.178 Calcular o valor numérico das expressões:11

aI y = sen x + COS x = sen x + sen (2" - x) =

= 2 • sen !!. • cos (x - !!.) =..fi. cos (x - !!..)4 4 4

cos 120°--4-

cos 40° • cos 80° • cos 160. = 2 • cos 80° • cos 40° • cos 16002

(cos 120° + cos 40·) • cos 160°2

1 1(-2")' cosl60° + 2".2. cos400. cos1600

2-cos 160° + cos 200° + cos 120°

4

a) 711 11Y = cos "8 • cos 8

b) 1311 711y = sen 12 . sen

12

cIS11 11

Y = sen24

cos24

Solução

C.179 Provar que cos 40· • cos 80· • cos 160°

!!.,4

\a + b= t9 -2-a - b

2

a - b-2-

cos

cos

a '+ b2 • cos 2

11= cos 2x - cos (2" - 2x) =

= -2 • sen !!.. • sen (2x - !!.I = -v2 . sen (2x4 4

= (cos 3x + cos xl • (cos 3x - cos x) =

= (2 • cos 2x • cos xl (-2 • sen 2x • sen xl= - (2 • sen 2x • cos 2x) (2 • sen x • cos x)= -sen 4x • sen 2x

(sen 5x + sen x) (sen 5x - sen x) == (2 • sen 3x • cos 2x) (2 sen 2x cos 3x)= (2 • sen 3x • cos 3x) (2 • sen 2x cos 2xl= sen 6x • sen 4x

a + b2 sen -2-

aI y

c) y

bl y

d) y

86-C 87-C

C.180 Provar que tg 81 ° - tg 63° - tg 27° + tg 9° = 4.

c) 1~ membro = sen 2A + sen 2B + sen 2C

= sen 2A + 2 sen (B + C).cos (B_ C)= 2 • sen A • cos A + 2 sen A • cos (B _ C)

= 2 • sen A [cos A + cos (B - C)j =

I)A+B+C = 7f = IB + C) = 7f - A = { sen (B + C) :::: sen Acos (B + C) :::: --eos A

B + C AB + C 7f A rn -2- :::: cos "211) A + B + C 7f= "2 - ===>2 2 B + C Acos

2= sen

2

C.181 Demonstrar que, se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, vale a relação:

a) sen A + sen B + sen C = 4 • cos ~2 • cos ~ • cos ~2 2

b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 • se A B Cn "2 • sen 2" • sen "2c) sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 • sen A • sen B • sen Cd) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 - 2 • cos A • cos B • cos CPreliminares:

= cos2 A + cos 2B + 1 + cos 2C~2 2

= 1 2 A cos 2B + cos 2C+ cos + 2 ::::= 1 + cos2 A + cos (B + C) • cos (B - C)

= 1 + cos2 A - cos A • cos IB - C) =

= 1 - cos A [cos (B - CI - cos A] == 1 - cos A [cos (B + C) + cos IB - C)] =

= 1 - 2 • cos A • cos B • cos C =2~ membro

11? membro

cos 201 +d) Sabemos que cos 201 = 2 cos2 01- 1 e cos2 OI = 2

Solução

Por hipótese, temos:

sen 2B - sen 2A = sen 2C - sen 2B2 • sen (B - AI • cos (B + AI = 2 • sen (C - B) • cos (C + BIsen [(B + cl - IA + C)] • cos IB + A) = sen [(C + A) - (A + BI]' cos (C + B)[sen (B + CI • cos (A + CI - sen IA + C) • cos (B + C)] • cos (B + A) =

= [sen IC + A) • cos (A + BI - sen (A + B) • cos (C + A)] • cos (C + B)sen (B + C) • cos (C + A) • cos (A + BI - sen (C + A) • cos (B + CI • cos (A + B)= sen (C + AI • cos IA + BI • cOS (B + C) - sen (A + BI • cos (C + AI • cos (C + B)Dividindo por cos (A + B) • cos IB + C) • cos (C + A), temos:sen (B + C) sen (C + A) sen (C + A) sen (A + BIcos (B + cl - cos (C + A) = cos (C + A) cos (A + BI

isto é:tg (B + C) - t9 (C + A) = tg IC + A) - tg (A + BI

= 2 senA [-cos(B + C) + coslB - C)] =

= -2, sen A [cos (B + C) - cos (B - C] =

= -2 • sen A (-2 • sen B • sen C) =

= 4 • sen A • sen B • sen C = :z'? membro

C.182 Demonstrar que. se A, B. C são ângulos internos de um triângulo. vale a relação:

B C Aai sen B + sen C - sen A = 4 • sen "2 • sen 2" • cos 2"

B C Ab) cos B + cos C - cos A = -1 + 4 • cos "2 • cos "2 • sen 2

c) cos 2A + cos 2B + cos 2C = -1 - 4 • cos A • cos B • cos Cdi sen2 A + sen2 B + sen2 C = 2 • (1 + cos A • cos B • cos C)

1 1 1 7fe) tg A • tg B + tg B • tg C + tg C • tg A = 1 (A, B, C -=1= 2")

7fC.183 Provar que se a + b + c ="2 então:

a I tg a • tg b + tg b • t9 c + tg c • tg a = 1bl cos2 a + cos2 b + cos2 c - 2 • sen a • sen b • sen c = 2

C.184 Provar que se (sen 2A, sen 2B, sen 2C) é uma progressão aritmética, então o mesmoocorre com Itg (A + BI, tg IC + A). tg (B + C))'

B - C2

cos

cosB + cosC =

cosA+2'cosB+C B-C-2-- • cos -2-

(1 - 2 sen 2 /2.2

) + 2 • sen !'2.. • cos B - C2 2

A[ A B-C- 2 sen"2 sen 2" - cos -2-] =

A[ B+C B-C- 2 sen"2 cos -2-- - cos -2-] =

- 2 • sen ~ [-2 sen ~ • sen ~] =

A B C+ 4 • sen "2 • sen "2 • sen "2 = :z'? membro

:::: sen A + sen B + sen C ==

= sen A + 2 • sen B ; C • cos B ; C

A cos ~ + 2 • cos A"2 2 2

A [A B-C]"2 sen"2 + cos -2- =

A lcos B + C + COS B - C]222A [ B C22'cos 2 ,cos 2 ]=

A B C"2 cos 2" • cos 2" = 2'! membro

Solução

a) 10 membro

= 2 sen

= 2 cos

= 2 cos

= 2 cos

= 4 cos

b) 1'? membro :::: cos A +

88-e89-C

C.185 Provar que se (sen (a + b - c), sen (a - b + c), sen (-8 + b + c)) é urna progressãoaritmética, então o mesmo ocorre com (tg a, tg b, tg c).

, 11C.186 Provar que se a + b + c = 2' então

sen2 a + sen2 b + sen2 c + 2 • sen a . sen b • sen c

C.190 Prover que .. os ângulos de um triângulo A8C verificam a relação cos A + cos 8= sen C, então o triângulo é retângulo.

Solução

cos A + cos B = sen C ~

C.191 Provar que se os ângulos de um triângulo A8C verificam a relação sen 4A + sen 48 +sen 4C - O, entlo o triângulo é retângulo.

A + 8=2'cos 2 ·cos

C A - 8=- sen 2 . cos -2-

! Solução

1~ membro1 - cos 2b 1 - cos 2c

= sen2 a + 2 + 2 + 2 • sen a • sen b • sen c

+ sen2 a _ tas 2b + tOS 2c + 2 • sen a • se" b sen c =2

+ sen2 a - cos (b + cl • cos (b - c) + 2 • sen a sen b • sen c =+ sen2 a - sen a • cos (b - cl + 2 • sen a • sen b • sen c =

+ sen a • [sen a - cos (b - c) J + 2 • sen a • sen b • sen c =+ sen a • [cos (b + cl - cos (b - c)1+ 2 • sen a • sen b • sen c

1 - 2 • sen a • sen b • sen c + 2 • sen a • sen b • sen c = 1 == Z' membro

===> cosA - 8-2-

C= cos '2

A - 8 C C-2- =2'sen"2'cos"2

C C= sen "2 • cos 2" ===>

{

A-8ouA - 8 = -e=

=-

C.187 Estudar a variação, da função f: IR .... IR dada por f(x) = cos x - sen x.

Solução

C.192 Demonstrar que todo triângulo cujos ângulos verificam a relação sen 3A + sen 3B ++ sen 3C = O tem um ângu lo de 60°.

f(x) = cos x - cos (~ - x)2

= -0/2 . sen (x - ~)4

= -2 • sen rr • sen (x _ !!.)4 4

Portanto:D(f) = IRp = 2rrIm(f) = [-0/2, yl2J

y

O

-1

-./2

x

C.1B8 Estudar a variação da função f:1R .... IR dada por f(x) = sen 2x + COS 2x.

C.189 Qual é o pedodo da função f(x) = 1 + tg x ?1 - tg x

90-e 91-e

Moscou: preso escreve obra

Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788.Tendo-se destacado como estudante quando cursava a Escola Pol itécnica de

Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática, sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.

Em 1812, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhosmais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Oesargues e Pascal tinham dadoos primeiros passos, no século XVII.

Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática". Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.

CAPÍTULO VII

-EQUAÇOES

I. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

o grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas", só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois com otítulo "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Ponceletobservou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.

Jean V. Poncelet(1788 - 1867)

Poncelet foi ainda o criador da teoria dapolaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.

Finalmente, Poncelet atingiu o max/mode sua criação quando estabeleceu o conceitode razão dupla ou anarmônica. Com base nestadescoberta, posteriormente, Klein conseguiuunificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.

Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.

82. Sejam f(x) e g(x) duas funções trigonométricas da variável x e sejamDI e O

2os seus respectivos domínios. Resolver a equação trigonométrica

f(x) = g(x) significa determinar o conjunto S, denominado conjunto-solução ouconjunto-verdade, dos números r para os quais f(r) = g(r) é uma sentençaverdadeira. Observemos que uma condição necessária para que um certo r sejauma solução da equação dada é que r E OI e r E O2 ,

83. Quase todas as equações trigonométricas reduzem-se a uma das três equaçõesseguintes:

1~) sen a = sen ~

2~) cos a = cos ~

3~) tga = tg~

denominadas, por esse motivo, equações fundamentais. Assim, antes de mais nada, é necessário saber resolver as equações fundamentais para poder resolverqualquer outra equação trigonométrica.

93-e

11. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO sen a .. sen (3211 ==b) cossec x = cossec 3 sen x

1--vrsen 3"

=84. Se sen a = sen (3 = OP1, então asimagens de a e (3 no ciclo estão sobr e areta r que é perpendicular ao eixo dossenos no ponto PI , isto é, estão em P ouP'.

----+----:-t-----t--.- uHá, portanto, duas possibilidades:1'!) a e (3 têm a mesma imagem,

isto é, são côngruosou

{

X = l!.. + 2kll211 3:==:> sen x = sen - ~ ou 21T3 x = 11 - :3 + 2kll

I 211 + 2kll ou x = !!.3 + 2kll}( S = {x E IR x = 3"

{

X = O + 2kll) sen x = O :;: sen O ===:> ouc x = 11 - O + 2kll

S = {x E IR I x = 2kll ou x = (2k + 1) • lT} ={x E IR I x = kll}2'!) a e (3 têm imagens simétricas em relação ao eixo dos senos, isto ésão suplementares.

85. Em resumo, temos:

11

{

X = "6 + 2kll1 11 = oudI sen x = "2 = sen '6 11

x = 11 - "6 + 2kll

11 ~ + 2kll}S = {x E A I x = "6 + 2kll ou x = 6

V2 511e) sen x = - 2 = sen 4

{

«=P+2k1rsena .. senp I oua:"7l"-IJ+2k1l'

511

{

X = 4" + 2kll

~ ou

x = 11 - ~ + 2kll4

S = {x E IR I x = 5: + 2kll ou x = - i + 2kll}

Soluçio

EXERCICIOS

{

X = i + 2kll

ou

x = 11 - -i- + 2kll

211 + 2kll}"3ou x ==!!. + 2kll

3s = {x E A I x =

g) sen x = 1 = sen ~ ,então:

S = {x E IR I x = ~ + 2kll}

:..[3 1I==>fi sen x = 2 = sen "3

311h) sen x = -1 = sen 2" ,então:

311 }S = {x E IR I x = 2" + 2kll

.bl 211cossec x == cossec 3"d) 1sen x = 2"f)

..[3sen x == 2"

hl sen x = -1

11 {X = ~ + 2klla) sen x l:I: sen 5" =:> ou

x = lT - i + 2kll

11 4lT}S = {x E A I x = 5" + 2klT ou x = 5" + 2kll

cl sen x = O

, el-"'sen x = - ..;;

WSen x = 1

C.193 Resolver as seguintes equações:/" 11aI sen x = sen "5

96-C94-e

c) 2 sen2 x - 3 • sen x + 1 = O

d) 2 cos2 x = 1 - sen x

b) sen x • (sen x-I) = O = sen x = O ou

S = {x E IR I x = k1T ou x = ~ + 2k1T}

C.194 Resolver as equações abaixo:

!!.- + 2k1T6

- 1T - :rr.- + 2k1T- 6

51T + k1T}12

.J2b) ..en 3x = 2""

,. dI sen 2x = sen x

{

2X

ou

2x

==

1T + k1T ou x12{xElRlxS

1 1TaI sen 2x = 2" = sen 6"

Solução

. tes equações:1.198 Resolver as segUIn

1.Jt sen 2x = 2

) sen (x - ~)

71T6" + 2k1T ou

então:

+ 2k1T ou x51T

6"

1T6" + 2k1T ou x

Solução

) -+~a sen x - - 2 então:

S = {x E IR I x

x = - i + 2k1T}

1a}' sen2 x = 4

.b) sen2 x - sen x = O

C;)9á (FEFAAP-77) Determinar os valores de x que satisfazem à equação:

4 sen4 x-lI sen2 x + 6 = O

21T + 2k1T ou x 1T + 2k1T}3

{x E IR I xS

1T 1T + 2k1Tr 3" "3::'1 Y3 1T = ouc) sen (x - 2 = sen "33

1T 1T2k1T= 1T - +x - "3 "3

1T+ 2k1Tr 4Y2 1T == oub) sen 3x = sen 4"2""

1T3x = 1T - 4 + 2k1T

{x E IR I x1T 2k1T x _ :rr.- + 2k1T}S 12 + 3"" ou - 4 3

{

2 x + 2k1T

dI sen 2x = sen x == o:

2x = 1T - x + 2k1T

1T 2k1T }S = {x E R I x = 2k1T ou x = "3 + 3""

c.199~eter. ar x E IR tal que: b~/3'X"== sen 2xa sen 5x = sen 3x

.• lo ABC sabendo que estão em prog~C.:lQO" Determinar os ângulos internos de um trlangu V 3

• I com o ângulo médio é -2 .' seno da soma do menor angu osão aritmética e que o

o

76

1T + 2k1T} (k E Zl

1 _ou '2 ' entao:

x = 51T + 2k1T}6

71T6" + 2k1T

-: + 2k1T ou x

ou x:::

b) cossec x = 2

~. sen2 x = 1:..tI-2 • sen2 x + sen x-I

h) 3 • Ig x = 2 • cos x

; il cos2 x = 1 - sen x

- sen x ~ 2 sen 2 x - sen x - 1 ::;; O1 +y:):;a 1 + 3 -1

4 -4- = 1 ou 2"

3±Y9=!l 3±1====> sen x:=;14 4

S = {x E R I x = ~ + 2k1T ou x = i + 2k1T ou

resolvendo: sen x =:

recaímos em equações fundamentais

sen x ===> x :::: !!.. + 2krr2

1 _ 1Tsen x -"2 = x = 6 + 2k1T

S = {x E IR I x !!.- + 2k1T ou x2

d sen x o::

d) 2 • 11 - sen2 xl = 1

y sen2 x = 1

g}--y sen x - cossec x!Y'sen x + cos 2x = 1

li! 1T, sen x == sen 7".cJ v'3sen x = -2

C.I95 Resolver as equações abaixo:

C)9? (FEI-76) Resolva a equação:

2 sen x Isen x I + 3 sen x = 2 {sen (x + y) = O

C.201 (MAPOFEI-761 Resolver o sistema x _ y = 1T

96-e97-C

111. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO cos a cos (J 211b) sec x .= sec "3 = cos x

211~~ cosx=cos 3"cos "3

então

86. Se cos a ~ cos (J ~ OP2, entãoas imagens de a e (J no ciclo estão sobrea reta r que é perpendicular ao eixo doscossenos no ponto P2 , isto é, estão emP ou P'.

Há, portanto, duas possibilidades:

1~) a e (J têm a mesma imagem,isto é, são côngruosou

2~ I a e (J têm imagens simétricasem relação ao eixo dos cossenos, isto é,são replementares.


v

A

u

S = {x E IR I x = ± 2; + 2k11}

11 _c) cas x = O = tOS 2" antao

( 11}S = {x E IR I x = ±"2 + 2k11 =

d) cos x = 1 = cos O entãoS = {x E IR I x = 2k11}

e) cos x = -1 = cos 11' entãoS = {x E IR I x = 11 + 2k11}

1 11_f) cos x = "2 = cos 3" entao

S = {x E IR I x = ± i + 2k11}

Vi 11gl cos x = 2 = cos 4 então

S = {x E IR I x = ± i + 2k11}

{x E IR I x = ~ + k11}

cos a cos(J ={

a ~ (J + 2k1Toua = -(J + 2k1T

V3hl cos x = - 2

s = {x E IR I

511= cos 6"

511x = ±Er

então

+ 2k11}


a) 4 • cos2 X = 3c) sen2 x = 1 + cos x

b) cos1 x + cos x = OdI cos 2x + 3 • cos x + 2 = O

g) cos x

C.202 Resolver as seguintes equações:

S = {x E IR I x - +!!. + 2k11}- - 5

enviotas x =V3-2- ou

3"4 ===> tOS x ==

{11 _ + 511S = x E IR x = ±"6 + 2k11 ou x - - 6

a) cos1 x

Solução

b) cos x • (cos x + 1) = O ===> cos x = O ou cos x = -1 então

S = {x E IR I x =~ + k11 ou x = 11 + 2k11}

c) 1 - cos1 x = 1 + cos x ===> cos2 x + cos x = Oe reca ímos no anterior.

d) 12 • cos2 x - 1) + 3 • cos x + 2 = O = 2 • cos2 x + 3 • cos x + 1 ~ O-3±~ -3±1 1cos x = 4 = -4- ===> cos x = -1 ou cas x o;- - '2

211 }então S = {x E R I x = 11 + 2k11 ou x = ±"3 + 2k11

bJ 211sec x =; sec3

dI cos x 1

f)1

cos x 2"hl V3cos x == - 2

= x = ±!!. + 2k115

Solução

11a) cos x o;;- cos "5

l' cos x == cos !!.5

cl/ cos x ~O

el cos x = -1

EXERCICIOS

99-C98-C


Solução

1a) cosx =-2

c

IV. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO tg Q = tg (3

88. Se tg Q = tg (3 = OT, então asimagens de Q e (3 estão sobre a reta r determinada por O e T, isto é, estãoem P àu P'.

Há, portanto, duas possibilidades:

1~) Q e (3 têm a mesma imagem,isto é, são côngruos

2~) Q e (3 têm imagens simétricasem relação ao centro do c ielo, isto é,são explementares.

ou

d) cos Ix _ 21.14

b) cos 2 x = cos x

b) V2cos x =-2

d) sec x = 2

fi 4 cos x + 3 • sec x = 8

h) 2 sen2 x + 6 . cos x ::; 5 + cos 2x

j) (4 - _3_) • (4 - _1_ ) = Osen2 x cos2 x

v3-2-c)cosx::=

e) 2 • cos2 x = cos x

g) 2 - 2 • cos x = sen x • tg x

i) 1 + 3 • tg2 x = 5 • sec x


Via) cos 2x = 2

c) cos Ix + 2:-1 = O6

aI cos 2x Vi2

s = {x E IR I

rr= ± !!..- + 2k1T então'=:; cos

"6 = 2x 6 ' .

== ± rrkrr}x +


{

2X = x + 2krrb) cas 2x ::; cos x ==:;:;;:;:;> ou

2x = -x + 2krr

S = {x E IR I x = 2krr ou x = 2krr}3

então: = (3 + 2kITou =

= IT + (3 + 2kITo:=(3+k7l'

rr rrc) cos (x + 61 = O = cos 2 == x +

S = {x E IR x = i + 2krr ou x

1T ::= ±~ + 2k1T então'6 2 ' .

2rr }- :3 + 2krr

C.207 Determinar os ângulos internos de um triângulo ABe sabendo que

rrb) cos5x = cos (x + '3)

dI cos (x - 21.) = 1 = cos O =4

S = {x E IR I x ='.!!- + 2krr}4


a I cos 3x - cos x = O

x -rr'4 = 2krr . então:

EXERCICIOS

C.209 Resolver as equações seguintes:

ai tg x = 1

cl tg x = - V3el tg 2x = V3g) tg 3x =

b) cotg x = V3d) tg x = O

fi tg 2x = tg x

h) tg 5x = tg 3x

1 1cos (A + 81 = 2 e sen (8 + Cl = 2

C.208 IMAUÁ-771 Dada a equação (sen x + cos y) (sec x + cossec yl = 4

a) resolva-a se: x = y b) resolva-a se: sen x == cos y

Solução

aI tg x = 1 = tg ~ . então:

S = {x E R I x = .!!.- + krr}4

100-C101-C

11 •'= tg "6' entao:b) cot9 x ~ V3 => t9 x ~ 1

v3S ~ {x E IR I x ~ !!. + k11}

6

c)t9X=-V3~t9211 •3 ' entao:

2 :::: COS2 x ==> sen 2 x = 1 ==>tg

2 x -= 1,b) sen xcos2 x

então: t9 x = 1 ou t9 x ~ -1

S ~ {x E IR I x11 + k11 311 + k11}ou x =4 4

s ~ {x E IR I x = 211 + k11}3

c) t9 x + = 2 ==> t92x - 2 • t9 x + 1 = O

x ~ 11 + k11}4

-= 1 ,então:tg x -=

t9 x

2±~2

S = {x E IR I x = !!. + k11}4

d) sec2x ~ 1 + t9 x=>1 + t92x 1 + t9 x ==> t92x - t9 x = O==>

==> t9 x • (t9 x - 1) = O,

então: t9 x :::: O ou t9 x ::::

s = {x E IR I x = k11 ou

d) t9 x = O ~ t9 O , então:

S ~ {x E IR I x ~ k11}

e) t9 2 x = V3 = t9 11~2x = 11

3 3+ k11,

então:

S ~ {x E IR I x ~ !!. + k11 }6 2

t) t92x = t9 x =* 2x = x + k11,então:

S = {x E IR I x = k11}

Notemos que se k for (mpar, então não existem

S = {x E IR I x = ~11, k par}

g) tg 3x = 1 = tg .!!. => 3x = 11 + k1T,4 4

então:

S ~ {x E R I x = 11 + k11 }12 3

t} tg 3x - tg 2x = O./

g) tg 2x = tg(x + !!.)4

(x + .!!.)4

~otg 2x = cotg

/2~ tg 2x = 3

J*t94x = 1

.) cotg x = -1

_/,,/

.Iof cotg x = cotg 511

/~9X=V3 6

d) cot9 x = O


* Ig x = tg !!.5

tg 5x e tg 3x, portanto:

k112

x ~h) tg 5x = tg 3x =* 5x = 3x + k11 =*


a) sen x - V3' cos x = O

b) sen2 x ~ cos2 x

c) tg x + cotg x = 2

d) sec2 x = 1 + tgx

Solução


~2x ~ 2.tgx

b) 1 = 1 _ Cos xsen 2 x ~

c) sen 2x • cos(x + !!.) = cos 2x • sen (x + !!..)4 4

d) (1 - tg x)(1 + sen 2x) = 1 + tg x

a) sen x = V3 • cos x ==> ~ •~ • r:::=v3=>tgx=v3COS x C.213 (MAPOFEI-75) Resolver a equação cotg x - sen 2x = O.

s ~ {x E IR I x ~ !!.. + k11}3

C214 (FEI-77) Para quais valores de p, a equação: tg p x = cotg pxraiz.

tem x =112 pera

102-C 103-e

acarretariaa k em CD ou @

(chamada solução geral)

11 + k113

11 + k116~u x

l~ x =

Observamos quex fi! O ..---. 211,

{11 11 ?!! 411 }

s= 6'3' 6' 3

11

em@jk=O==X= 3

411k=l =-x= 3

qualquer outro valor atribu (do

11

em CD tk

= O ==* x = :11

l l==X= 6

A solução geral é opasso Que queremosbuir valores a k:

V. SOLUÇOES DE UMA EQUAÇÃO DENTRO DE CERTOINTERVALO

90. Quando desejamos obter as soluções de uma equação pertencentes a umcerto intervalo I, seguimos a seqüência de operações abaixo:

1?) resolvemos normalmente a equação, não tomando conhecimento dointervalo I até obtermos a solução geral;

2?l obtida a solução geral, onde necessariamente aparece a variável kinteira, atribuímos a k todos os valores inteiros que acarretem x E I.

a conjunto-solução será formado pelos valores de x calculados com osvalores escolh idos para k.

EXERC(cios

C.215 Determinar x E [O, 211] tal que 2· sen x = 1.1

O<x<11 e sen3x= 2C.217 Determinar x tal queSolução

A solução geral da equação sen x :; 1 é2

d intervalo fechadoC,218 Quais são os arcos oseno do seu dobro?

O >-----4 211 tais que o seu seno é igual ao

x = .!:. + 2k11 ou x = ~ + 2k116 6Solução

v os arcOS procurados, então:Chamemos de hSe queremos O..;; x ..;; 211, devemos atribuir a k o valor O,

s = {:ri ~}6' 6

então:

sen 2x {

2X = x + 2k11::: sen x ==> ou

2x = 1f - X + 2k1f{

X = 2k11= ou

x E. +3

2k1f3

C.216 Quais são os arcos do intervalo fechado 0....----.. 21f tais que o seno do seu dobroé '0/3 7

2

Solução

Chamemos de x os arcos procurados, então:

11

r 3" + 2k11

sen 2x '0/3~ sen 2x = sen 1f =- ~ou2 3

2x = 211 + 2k1f3"

Em (De ~ O

== x = O

= x = 211

1fr == x =3

em@ k=l ==> x = 1T

511k = 2 ==> x =

3

S = {O, :ri , 11, 511 21f}3 3 •

10S-e104-e

C.219 Obter as soluções da equação sen 3x = sen 2x que pertencem ao intervalo [ 1O, 11.

C.220 Oeterminar x tal que O < x < 211 ecos 2x = 12

VI. eQUAçOES CLÁSSICAS

Solução Apresentaremos neste item algumas equações tradicionais em Trigonometria, -sugerindo métodos para fazê· las recair nas equações fundamentais.

r11 + 2k11 11 0)

r+ k113 6

Temos cos 2x = co. 11~

3ou

== :u=_2x = - 11 + 2k11 11 (3)3 + k11

6

C221 Obter x tal que cos 3x = cos 2x e O E>; x E>; 11.

C.222 (EESCUSP-69) Achar a. soluções de 4· sen3x - sen x = O para O E>; x E>; 271.

C.223 Determinar x tal que O E>; x .;;;; 11 e tg 6x = tg 2x.

Solução

== x = 5116

{au + bv = cu2 + v2 = 1

Tendo calculado u e v, determinamos os possíveis valores de x.

c- ==>a

ccosx - ==>

a

u e cos x = v e resolvemos o

a • sen x + b • cos x = C ==> sen x + E.. • cos xa

c sen O~ sen x + tg O • cos x = - ~ sen x + --

a cos O

Método 2

Fazendo b = tg O, temos;a

Método 1

Fazemos a mudança de variável sen x

sistema:

91. a· sen x + b • cos x = c (a. b. c E R*I

11116

===> x =:

de (3) Jk = 1

L=2

Oe 0) Jkk == O = x = :

1 1 = x = 711""6

então S = { !! 511 711 1111}6' 6 6' 6

tg 6x = tg 2x~ 6x = 2x + k11 ==> x = k114

~ sen x • cos O + sen O • cos x c • cosO ==> sen(x + O) = c • cosOa a

e 2x, vem

C.224 (MAPOFEI-74) Calcular x no intervalo O E>; x ,;;:: 2~- " tal que tg x + cotg x = 2.

11 e 3114 4

1 - t 2

, então:1 + t 2

C ==>

Método 3

x 2tFazendo tg 2" = t, temos sen x = 1 + t2 e cos x =

2t +b. _t2

a • sen x + b • cos x = C ==> a' --1 + t 2 1 + t 2

=> 2at + b - bt2 = c + ct2 ==> (c + b)t2 - 2at + (c - b) = O

e, assim, calculamos x + O.x = O E: 11 311, 4' 2' "4 e

para os quais não existem as tangentes de 6x

obtemos respectivamenteFazendo k = O, 1, 2, 3, e 4,

11. EXcluindo os valores

C.225 Sendo O E>; x E>; 11, resolver~ -~ = O.

C.226 (Itejubá-69) Resolver a equação sen x + sen y = 1 sabendo que x + y = 113

e reca fmos em uma equação do 29 grau em t. Observemos que este método falha se 11 + 2k11 for solução da equação, caso em que a substituição

11tg "2 = t não tem sentido.

106-e107-e

EXERC(CIOS

C.227 Resolver a equação Y3. CDS x + sen x

Solução

Então:

2 ±V4 - 4 (1 + v'31 (1 - v'31t =

211 + V31

2±2V3

2(1 + V3)ou -2 + V3

- Existem, assim, duas possibilidades:Método 1

Fazendo sen x = u e cos x V, temos: t = tg i = 1, i 1T + k1r e x4

Tr + 2kTr2


al sen x + cos x = -1 bl v'3. sen x - cos x = - V3

CD®

.De CD vem u = 1 - v • v'3 que, substitu(da em 0,(1 - v •. r::31 2 + v2 1 4 2 • r::vs = = v -2v3.v=0

acarreta:

ou

t = tg x = -2 + V3, ~2 2

Tr + kTr e x12

Tr + 2kTr6

e v 1-u=0uou

e cos x

= m ==> 2mt + 1 - t2

2t1+t2

2t 1 _ t2+,--:;:ti 1+t2

u=O e v=1-u=1

portanto S = {O, %' 2Tr}

Fazendo sen x

m'

Solução

Fazendo sen x = u e cos x v, temos:

Solução

CD em 0: u2 + 11 - u)2 = 1 == 2u2 - 2u = O

Existem, então, duas possibilidades:

C.229 Determinar x tal que O ~ x ~ 2rr e sen x + COS x = 1.

C.230 Obter as soluções das equações abaixo, dentro do intervalo [O, 2Tr]:

a) sen4x + cos4x = 1 b) Isen xl + Icos xl = 1

C.232 Discutir a equação em x: m· sen x + cos x m

C.231 IMACK -701 Resolva no conjunto dos números reais a equação sen 2x 1 - cos 2x .

r= oFu=

-0'Y3=1então ou portanto

v = V31 Y3

'Y3= 12 u = -2 '2

Existem, assim, duas possibilidades:

cos x = O, sen x = 1 e Tr2kTrx = +

2ou

cos x V3 sen x 1 Tre x + 2kTr2 2 6

Método 2

sen x + Y3. cos x 1 ==> sen x + tg Tr3

. cos x 1 =Tr'sen -

~ sen x + 31=• cos x

Cos !T-3

sen x . cos Tr + sen Tr Tr. Cos x cos3 3 3

rTr Tr

+ 2kTr

FTr

3 6 + 2kTr6

==> sen(x + E.) 1 ==> ou =3 2

x + Tr 5Tr+ 2kTr Tr

3 6 + 2kTr2

Método 3

o que Ocorre para todo m real.

sen x + V3 • cos x = 1 = 2t + v'3. 1 - t2

= 1 =1 + t 2 1+t2

=> 2t + Y3 - Y3 ' t2

= 1 + t 2 = (1 + V3lt2 - 2t + (1 - V31 = O

=> Im + 1) ol2 - 2mt + Im - 11 = O

Esta última equação tem solução real se, e somento se, apresentar 1:.;;;' O,

1:.= 4m2 _ 41m + 111m-li =4;;;'0

então:

1OS-C

109-C

11 (5x 11 ) • cosI 3x + !!.) = Ocl sen 4x - sen( 2" - x) = O==>2 'sen "2 - 4 2 4C.233 Discutir, segundo m. as equações seguintes:

a) m·' cos x - (m + 1) , seno x = m

b) sen x + cos x = m 1~ possibilidade: sen( 5x _ !!.) = O~ 5x 11 = k11~2 4 2 4

11==> x =10+~

5

o método de resolução consiste em transformar a soma em produto e estudar as possibilidades de anulamento de cada fator.

s = {x E IR I x = 11 + 2k11 ou10 5

11 + k11~2

x =

cosI 3x + !!.) = O==> 3x + !!.2 4 2 4

11 + 2k116 3

==> x ".

To possibilidade:

~ sen fj(x) = O ou ~ cos fj(x) .. O92.

11 (x + !!.) • cosI 5x _ 2!.) = Od) oos 3x + oos( 2" - 2xl = O==>2 • cos"2 4 2 4

cos( ~ + !.) ". O~ x242

+ !!.4

11 + k7T =>2

EXERCfCIOS

2'! possibilidade:

11 + 2k112

oos( 5x _ ~) = O => 52x

2 4

-=x=311+~10 5

7T

47T + k7T =>2

C.234 Resolver as equações:

a) sen 7x + sen 5x ~ Ocl sen 4x - cos x ~ O

b) cos 6x + cos 2x = Od) cos 3x + sen 2x ~ O

s = {x E R I x = !i + 2klT ou2

x =

Solução

a) sen 7x + sen 5x ~ O~ 2 ' sen 6x ' cos x = O

1~ possibilidade: sen 6x = O==> 6x

To possibilidade: co. x = O => x


a) sen x + sen 3x + sen 4x + sen 6x = O

(a, b E R*)

(m, n E '1*)

bl cosax + cosbx = O

cl sen 2x = oos( x + ~ I4


aI sen mx + sen nx = O

k11 -= x = k116

!!. + k112

11 + k11}2

ou x =s ~ {x E R I x ~ k116

bl oos 3x + cos 7x = cos 5x

b) cos 6x + cos 2x = O~ 2 • cos 4x ' cos 2x = O

co. 2x ~ O~ 2x =

cos 4x ~ O==> 4x =

Solução

a) (sen 6x + sen 4xl + (sen 3x + san x) = O~

==:::O> 2 • sen 5x· cos x + 2 • sen 2x • cos x = O::::=:ll

~ OOS X ' (sen 5x + sen 2x) = O =-7x 3x

=2'cosx'sen"2 'cos "2 =0

11 + ~4 2

!!. + k118 4

11 + k11 -= x ~2

11 + k11~ x =2

ou x =11 + k118 4

1~ possibilidade:

s ~ {x E IR I x ~

To possibilidade:

111-C110-C

tI! possibllid«le: cosx=O==>x= rr + krr2

2'! ponibilidade: sen 7x=O~ x = 2krr

2 7

31! possibílíd«le: 3x =O==>x= rr + 2krrcos2 3 3

"" 93. sen4 x + cos4 x = a (a E RI

Para resolver esta equação basta aplicar a identidade

sen2 2xsen4 x + cos4 x ;: 1 - pois:

2

s = {x E A I x = 1!: + krr x = 2 krr ou2 . 7

bl (cos 7x + cos 3xl - cos 5x = O ==>2 • cos 5x • cos 2x - cos!lx = O~

~ 2 • cos 5x (cos 2x - ..!..) = O==>2

isto é; se

1_ sen

22x = a ~ sen2 2x = 2(1 - a).

a=>-2

Temos então:

Notemos que só existe solução se O"';; 2(1 - a) ".;; 1,+ k1T ou x = ± !!.. + k1T}5 6

cos 2x = .J..~ x = ± rr + k1T2 6

cos 5x = O==> x = rr + krr10 5

tI! possibilidade:

s = {x E A Ix = 1T10

:z'! possibilidade:


a} sen 5x + sen x = 2 • sen 3x

b} cos x + cosl2x + aI + cos(3x + 2al = O

c} sen 7x + cos 3x = cos 5x - sen x

C.238 Determinar x tal que O';;; x.;;; 1T e cos2 (x + a} + cos2 1x - aI = 1.

C.239 Determinar x tal que sen 3x + cos 2x - sen x = 1 e O';;; x O;;; n.

94. sen6 x + cos6 x = a (a E RI

Resolver esta equação aplicando a identidade:

3 sen2 2xsen6 x + cos6x ;: 1 - 4 pois:

C.241 (MAUÁ-771 Dado o sistema

{Senlx + yl + sen(x - y} = 2

senx+cosy=2

a} mostre que o par (xo. yol com Xo = 21T e Yo = ~ não é solução do sistema.

bl resolva o sistema, determinando todas as soluções (x, yl.

_ sen2 X • cos2 x + cos4

xl

sen 2 2x-~

(1 _ sen22x)

2

Temos então:

(sen4 x + cos4 x)

3 • sen2 2x1 -4

x, medido em radianos. que satisfaz a igual-C.240 (MAPOFEI-74) Determinar o ângulodade:

senlx + !!..) + senlx _!!..) ...[24 4 2

C.242 (FEI-77) Resolver o sistema:

{

sen a + cos b = 1

sen a + b • cos a - b222

sendo. a e b. do I'? quadrante.

4 - 4a .....SÓ . t soluça-o se O"';; -3 "'" 1,Notemos que eXls e

14

isto é, se

112-C113-C

EXERCICIOS

C.243 Resolver a equação sen4 x + cos4 x = 34

\VII. FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS

Solução 95. Função Arco-Seno

Decorre da teoria que:

2x = !!. + krr = x = rr + krr4 2 8 4

IR tal que f(x) = sen x é evidenternen·tal que sen x = 2) e não injetora (pois

f: IR .....x E IR

5rr ).

6

Se considerarmos a função seno restrita ao intervalo [- !!., !!.] e com2 2

g: [- '!!., !!.] ..... [-1,1] tal que g(x) = senx,2 2

contradomínio [-1,1]. isto é,notamos que

A função seno, isto é,te não sobrejetora (pois tirr 5rr rr*- e sen - = sen666

sen 2x = ± V2 -"2 e entao:portanto

s = {x E R Ix = rr + krr}8 4

sen x

C.244 Resolver a equação

Solução

Decorre da teoria que:

716 .

x

-1

29) 9 é injetora pois no intervalo [- ~ , %] a função seno é crescen

te, então:

tal que sen x = y;

portanto sen 2x = ± ~ e então:

2x = ± !!. + krr = x = + rr krr3 - 6" + 2

s = {x E IR I x = ± !!. + krr}6 2

19) 9 é sobrejetora pois para todo y E [-1, 1] existe x E [_!!. !!.]2 ' 2

C.245 Resolver as seguintes equações para x E [O, 2rr]:

ai sen 4 x + cos4 x = 58

b) sen 6 x + cos 6x = 58"

c) sen4 x + cos4 x = ~

d) sen6

; + cos6

; = 1~

e) sen3

x + cos3 x = 1

Assim sendo, a função 9 admite inversa e g-I é denominada função ar

co-seno. Notemos que g-I tem domínio [-1,1], contradomínio [- %' %]e associa a cada x E [-1,1] um y E [- ~,~] tal que y é um arco cu

jo seno é x (indica-se y = arc sen x). Temos, portanto, que:

Iy = are sen x <==> sen y = x e - i ,;;; y';;; i I114-c

115-C

Já vimos que os gráficos de duas funções inversas entre si são simétricasem relação à reta que contém as bissetrizes do 1<? e 3<? quadrantes, então apartir do gráfico de g obtemos o gráfico de g-I:

1C.24S Calcular cos(arc sen 3" I.

Solução

g(x) = sen x

sen x

arc sen x

are sen x

1 = a, temos:Fazendo arc sen3

1 1f:S;;;;a~

1fsen Q = e - 2"3 2

1f

2"então

cosa = + .,)1 - sen2

a = + A 2-../23

Fazendo are sen l.. = a, temOs5

C.249 Calcular tglarc sen ~ l.

É-l.13

cos(arc sen 3 + are sen5

Solução

C.250 Caleu lar

x!!..2

-1

sen ex = 1 e - !!.- :s;;; G' ~ !!.5 2 2

então cos a = + j 1 - 1i )2 45

Fazendo are sen 5 = 13, temos:13

sen 13 = 513

e - 1f<I3<!!..2 2

Finalmente, temos:

cos la + 131 = cos a • cos 13 - sen a . sen 13 =

então cos 13 = + j; _I É- 1213

EXERCICIOS

C.246 Determinar a tal que a = arc sen

Solução

Temos:

12 .

45

12 313 5

513

1213

48 - 1565

3365

Q = are sen 1 <=> sen a = .! e2 2

1f <a< 1f2 2 C.251 Calcular:

C.247 Determinar os seguintes números: arc sen O. arc sen ~ • arc sen (- ~ ), arC sen 1 e

arc sen (-1l.

cl cos (3 • arc sen

isto é, are sen ~ não é qualquer

que está no intervalo [_!!.. !!.. 12' 2 '

a tal que

isto é, ex =

sen a = 4 mas aquele a (único)1f

6

2 1a) tg(arc sen (-- ) + arc sen - )

3 4

b) sen 12 • arc sen 1- ~ ) )5

1213 ).

117-C116-C

96. Função arco-cosseno COS x are COI x

A função cosseno, isto é, f: IR --> IR tal que f( x) ~ cos x é não ~

brejetora (pois;a x E IR tal que cos x ~ 3) e não injetora (pois ° =1= 211

ecos°~ cos 211l.

Se considerarmos acontradominio [-1, 1],notamos que:

função cosseno restrita ao intervalo [O, 11] e comisto é, g: lo, 11] --> [-1, 1] tal que g(x) ~ cosx,

COS x

o

-1

11 x

11

-1 o x

x

g(x) cos x

EXERCICIOS

C.252 Oeterminar a tal que a = are cos ~.

g-I(X) ~ arc cosx

Solução

Temos:

a = are cos v: == cos a = ~ e O .;; a .;;; 11

então a = .!.6

cos a = ~ e O.;;; a .;;; 115

então sen a = + v' 1 - cos2a = + j 1

1 ...riare cos 1, are COS "2' are cos 2' are cos O,

Vii-5-

4

25

Solução

Fazendo are eos 1.. = a, temos:5

C.254 Calcular tg(arc cos ~)5 .

C.253 Determinar os seguintes númeroS:

are cos (-lI.

1!?) 9 é sobrejetora: "f y E [-1, l], 3 x E [O, 11]1 cos x ~ y;

2l?) 9 é injetora: "f XI, X2 E [O, 11), XI =1= X2 = cos XI =1= cos x2• pois 9é decrescente.

Assim, 9 admite inversa e g-I é denominada função arco-cosseno. Notemos que g-I tem dominio [-1, 1), contradom ínio [0, 11] e associa a cadaX E [-1, 1] um y E [0,11] tal que y é um arco cujo cosseno é X (indica-se y ~ arc cos xl. Temos, portanto, que:

Como os gráficos de 9 e g-I são simétricos em relação à reta y ~ x,podemo! construir o gráfico de g-I a partir do de g.

sen ae tga =cos a

118-C 119-C

C.255 Calcular sen(are eos (- l Ii5 .

C.257 (FEI-761 Sendo A do primeiro quadrante e

a 7 rr rrsen I' = - e - - ,.;; (l ,.;;25 2 2

C.256 Calcular eotg (are eos 3. I7 .

Função arco-tangente97.

tal que g(x) = tg x, notamos que:

1C?) g também é sobrejetora;

2C?) g é injetora pois no intervalo ]_!!.., !!.. [ a função tangente é crescen2 2

g:]- ; , ; [ ..... IR

te, então:

A função tangente, isto é, f: {x I x '* %+ krr} ..... R tal que f(x) =

tg x é sobrejetora (pois 'ri y E IR, 3 x E IR e x '* rr + krr tal que2

tg x = y) e não injetora (pois O '* rr e tg O = tg rr).

Se considerarmos a função tangente restrita ao intervalo aberto ]- ;, ; [

e com contradomínio R, isto é,

are sen x = A, ache are cos x

temos:

temos:

513 = a,Fazendo are cos

Solução

COS Q =:

Fazendo are sen !... ~ a25 1',

513 e O";;a";;rr

então sen a ~ + j 1 _ ( ~ )2 ~ 1213 13 .

então eos (l ~ + j; _( 7 I2 ~ 2425 25 .

C.258 Calcular sen (are eos ~ + are sen !...).13 25

Finalmente, temos:tg x

C.260 (MAPOFEI-72) Seja a função flx) ~ eos(2 are eos xl, -1 ,.;; x ,.;; 1.

a) Determinar os valores de x tais que flx) = O

b) Esboçar o gráfico de g(xl ~ ...1...f(x)

sen (a + (lI ~ sen a • eos (l + sen (l • eos a ~

ai sen(arc cos 3 55

- are COs13 1

b) Cos(arc sen 7!3.125 - are cos13

---1'---+--"7!'é,------*----..,.~--;-x

I y=arctgx ==9 tgy=x e

Deste modo a função g admite inversa e g-l é denominada função arco

tangente. Notemos que g-I tem doml'nio R, contradoml'nio ]- ~, ~ [ e

associa a cada x E R um y E ]- %' %[ tal que y é um arco cuja tan

gente é x (indica-se y = arc tg x). Temos, portanto, que:

323325 .

288 + 35325

513

24 + 725 25

~13

c) tg(2· are eos(- ~ Ii5

d) eos(.!. • are eos !.--2 25

C.259 Calcular:

12D-C

121-C

Como de hábito vamos construir o gráfico de g-I a partir de go c.~/c;"leular tg(are sen ~ - are tg ~)o12

g(x) tg X arc tg X Solução

isto é, a = Tr4

Co262 Determinar os seguintes números: are tg O, are tgv"3, are tg 1-1), e are tg (_ V3 ).3

se" Q

cos a

= are tg 1

3 5 16-48 164 12

3 5 = 63 = 631 +484 12

temos:

3

v'1o

4 e tg a =5

925

3are sen "5 = a,

3 e _ li E;; a E;; li, então:5 2 2

/ 24di eos 13 • are tg -)

7

cosa = + j 1

Fazendo

sen O::' =

C.267 Demonstrar a igualdade:

V5are sen 5 + are cos

Fazendo are tg 152 = (3, temos tg (3 = 152

Finalmente. temoS:

tga-tg(3tg(a - (3) = 1 + tg a o tg ~

//C.2~/eálcular:

ai sen(are tg 2 + are tg 3)

b) eos(are tg 2 - are tg ~)

1el 'tg (2 • are tg -)5

/

x

Tr2

j are t9 x

<=> tg a = 1 e _ Tr < a < Tr2 2

Solução

Temos:

a = are tg 1

--+---"""'~---j.-_x

EXERCfclOS

C.261 Determinar a tal que a = are tg 1.

Co263 Calcular senlare tg v2).Solução

Fazendo are tg Y2 = a, temos:

Solução

o Façamos Q = are sen (3 = are eos _3_ r = are tg 1,v'1o 'tg a = Y2

então

e - Tr <a< Tr2 2

'% == sen a = + J1 V63

então:

sen Q =

eos (3 =

C.264 Calcular coslare tg(- ~»3 . e - Tr<r<li=r=Tr2 2 4

122-C 123-e

tg (a + (jl = tg a + tgª1 - tg IX • tg $

@ Calculemos

34

2a + (3 =!!.... basta provar que tg( 2a + /3)= 14

2

~ ~ = 68 ã9

--11 - 9

tg2a+tg{3tg(2a + (3) = 1 _ tg 2a· tg{3

2 tg atg 2a = 1 _ tg2 a

Tendo em vistaG eG, para provar que

pois O < 2a + {3 < Tr. Temos:

23

C.270 Provar aS igualdades:

2 12 Tra) 2' arc tg "3 + arc cos 13 2"

1 11 Trb) 3 • arc sen '4 + arc cos 16 = '2

1 = tg 'Y

5656'

sen a sen {3cosa + cos~

1· ~.~cos Q cos

1 1'2 '3

.!... + .!2 3

a+{3='Y

1 -1

YlU3

ym

1

+ YlU-3-

YlU

...;s-5-

~5

1 -

@ Conclusão

o<a+{3< Tr}

O<'Y<; '2 ==>

tg(a + (3) = tg 'Y

C.268 Provar as seguintas igualdades:

a) (ITAJUBA-771 arc tg 1 + arc tg1 Tr

'2 3" 4

b) 1 3 Trare sen + are cosv's v'1O 4

c) are cos 3 + 12 16are cos = are cos5 13 65

24d) arc sen 25 - are sen ~ = arc tg 3

5 41 1C.269 Provar que 2' arc tg 3' + arc tg 7

Tr4

Solução

Fazendo arc tg ~ = a, temOs:

tga=+e -%<a<%==>o<a<~==>O<2a<; G

tg{3= .!... e - !!.. <{3<!!. ==>0 <{3< Tr7 2 2 '2

Fazendo1are tg - = {3, temos:7

o124-C

125-C

EULER

Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suiça, onde seu pai era ministro religiosoe possuia alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel,recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Fisica, linguasorientais e Matemática.

Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo,fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, eem 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afasta·mento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos,dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável deartigos, inclusive para a revista da Academia.

Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaramintensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.

Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academiadas Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.

Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academiade Berlim, voltando à Rússia em 1766.

Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicadasendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra17 para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i parav:T. Deve·se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por 1x, usou:!; para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geome·tria, Álgebra, Trigonometria e Análise.

Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo maisgeral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindoassim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando·sefundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares(trigonométricas, logaritmicas, trigonométricas-inversas e exponenciais).

Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia corretasobre logaritmo de números negativos.

Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultadosque o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria,Euler dedicou um Apêndice da "Introdução" onde dá a representação da GeometriaAnalo'tica no espaço.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de500 livros e artigos.

Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxode suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandesquadros·negros ou ditando para seus filhos.

Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria"Aná·

lise encarnada".

CAPÍTULO VIII

INEQUAÇÕES

I. INEQUAÇOES FUNDAMENTAIS

S. f e 9 duas funções trigonométricas de variável x. Resolver a ine·98. eJam S d . do conJ'unto solu·a-o f(x) < g(x) significa obter o conjunto , enomma .quaç . f() < g(r) é uma seno_ . dade dos números r para os qua IS rçao ou conJunto·ver ,

tença verdadeira.. 't . podem ser reduzidas a inequa-Quase todas as inequações tngo nome ncas

ções de um dos seguintes seis tipos:

1~) senx > m2~) sen x < m~) cos x> m4~) cos x < m5~) tg x> m6~) tg x < m

onde m é um número real dado. Por esse motivo, estas seis são denominadas. _ f dentais Assim é necessário saber resolver as inequações fun·Inequaçoes un am ., _.' .damentais para poder resolver outras inequaçoes tngonometncas.

127-C

/I. RESOLUÇÃO DE sen x > m111. RESOLUÇÃO DE sen x < m

1T

1sen x < '2'Resolver a inequação

O + 2k1T ".;; x < !!. + 2k1T3

21T + 2k1T < x ".;; 1T + 2k1T3

Solução

A imagem de x deve ficar na intersecção do ciclo com a faixa do planocompreendida entre r e s.' Temos,então:

ou

EXERCICIOS

r.

101. Marcamos sobre ~eixo dos senosponto p! tal que OP! = m. Traça-

o por P a reta r perpendicular ao -~~~"""'''''''''''''''-+':'-''''''''''''''~r~'''''''mos 1 .

. o As imagens dos reais x tais queelx . ~ .< m estão na intersecçao do CI-~nx .

cio com o semi-plano situado abaixo de

ou

102. Exemplo

Finalmente, partindo de A e percorrendo o ciclo no sentido anti-horárioaté completar uma volta, descrevemos osintervalos que convêm ao problema.

51T + 2k1T < x < 21T + 2k1T6

Procedendo conforme foi indicado,ternos:

O + 2k1T ".;; x <~ + 2k1T

v'3C.271 Resolver a inequação O"';; sen x < 2'

estaria errado pois,+ 2k1T < x < 51T + 2k1T

4x algum' neste intervalo.

71T4 + 2k1T < x < 21T + 2k1T

--+---~---+---,l-

99. Marcamos sobre o eixo dos senoso POnto P1 tal que OP! = m. Traçamos por p! a reta r perpendicular aoeixo. As imagens dos reais x tais quesen x > m estão na intersecção do cicio com o semi-plano situado acima der.

ResOlver a inequação sen x > _ fi.2

Procedendo conforme foi indicado, temos:

ou

O + 2k1T ".;; x < 51T + 2k1T4

Finalmente, descrevemos os inter- --i-----~:.-'----__~'_valos aos quais x pode pertencer, tomando o cuidado de partir de A e perCorrer o ciclo no sentido anti-horário atécompletar uma volta.

100. Exemplo

Notemos que escrever 71T4

como ~1T > ~, não existe

128-C

129-C

(

C.272 Resolver a inequação sen x ;;. O.

C.273 ReSOlver a inequação sen x .;; _ v'32

C.279 Resolver a inequação 4 sen' x ;;;. 1 .

C.280 Determinar x E [O, 2rr] tal que sen 2x > o.

C.274 Resolver a inequação _ 1 .;; sen x < V22 """2

Solução

C.276 Resolver a inequação Isen x I.;; 12"

C.275 Resolver a inequação Isen x I;;. v'3""2

ou sen x ~ V32

A imagem de x deve ficar na intersecção do ciclo com o semi-plano situado abaixo de r ou COm o sem" Isituado acima de s. I-P ano

Assim, temos:

rr 2rr"3 + 2krr .;; x';; "3 + 2krr ou

4rr3 + 2krr .;; x <;; 5rr + 2krr

3

::L resulta:2

Examinando o ciclo, vem

Como x

Fazendo 2x = y, temos a inequação sen y > o.

k=O=>O<x< rr2

krr < x < rr + krr.2

ou

2kj[ < y < rr + 2krr

Mas x E [O, 2rrl. então s6 interessam as soluções particulares em que k ~ O ou 1:

sen x .;; _ v'32

Solução

Isen x I ;;. v'32

C.227 Resolver a inequação Isen x I > v22

k = 1 => rr < x < 3rr2

ou

5rr6 + 2krr < x < rr + 2krr

2krr < x < rr + 2krr6

supondo x E [O. rr].

b) Resolver a equação

109212 sen x - 1) = 1094 (3 sen' x - 4 sen x + 21.

ai Para quais valores de x existe 109, (2 sen x - 1)7

C.281 Resolver a inequação sen 2x > 1 supondo x E [O, 2rr].2

C.282 Resolver a inequação sen 3x ~ ~supondo x E [O, 2rr].

C.284 Resolver a inequação 32•sen x - I ;;. 1

C.285 (MAPOFEI-72)

C.283 Resolver a inequação 1 .;; sen x • cos x < -21 supondo x E [O, 2rr].4"o ciclo trigonométrico,Examinando

obtemos:

2sen'x <sen x == 2 sen'x - sen x < O

<==o- 0< sen x < 2.2

C.278 Resolver a inequação 2 sen'x < sen x.

Solução

130-c

131-C

IV. RESOLUÇAO DE cos x> m

103. Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto P2 tal que OP2 = m. Traçamos por P2 a reta r perpendicular aoeixo. As imagens dos reais x tais quecos x > m estão na intersecção do cicio com o semi-plano situado à direitade r.

Para completar, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.

A

106. Exemplo

Resolver a inequação1

cos x < - "2Procedendo conforme foi indicado.

temos:

2 41T + 2k1T.1T + 2k1T < x < 33

41T""3

104. Exemplo

31T2

3 .;;; cos x .;;; O, para x E [O, 21T).2

cosx~- !.2

_ . I a faixa do plano compreen-X deve ficar na intersecçao do cle o comA imagem dedida entre r e s. Temos, então:

Solução

5C.291 Resolver a inequação Icos x I > 3

Y3C.290 Resolver a inequação \cos x I < -2-'

C.287 Resolver a inequação

y2C.288 Resolver a inequação cos x < -2-'

- Y3.;;; cos x';;; ~2 . -l-3-+------\-----r~C.289 Resolver a inequaçao - 2 -"2


EXERCICIOS

105. Marcamos sobre o eixo dos cossenos o ponto P2 tal que OP2 = m. Traçamos por P2 a reta r perpendicular aoeixo. As imagens dos reais x tais quecos x < m estão na intersecção do cioelo com o semi-plano situado à esquerda de r.

Completamos o problema descrevendo os intervalos que convêm.

ou

ll1T + 2k1T < x < 21T + 2k1T6

Resolver a inequação cos x > v'3.2

2k1T .;;; x < ..::.. + 2k1T6

Procedendo conforme foi indicadotemos:

V. RESOLUÇÃO DE cos x < m

133-e132-C

C.292 Resolver a inequação cos 2x + cos x O;;;; -1.

Solução

co, 2x + cos x O;;;; - 1 <==lo (2 cos2 x - 1) + cos x O;;;; -1 <==lo

<==lo 2 Cos2

x + Cos x O;;;; O <==lo - -.!.. O;;;; cos x O;;;; O2

Examinando o ciclo trigonométrico, obtemos:

Y resulta:Como x = 3"'

1'1 2k7'l.-- o:;;; 51'1 + 2k7'l-+- .... x 9 39 3

] então 56 interessam as soluções particulares em queMas x E [O, 21'1 ,

1 ou 2:

C.293 Resolver a inequação 4 cos2 x < 3.

1'1 + 2k7'l O;;;; x O;;;; 21'1 + 2k7'l2 3" ou 41'1 + 2k7'l O;;;; x O;;;; 31'1 + 2k7'l

3 2

1'1 O;;;; x O;;;; 51'1k=O= 9 9

ou

71'1 /' 111'1k=l==> 9 ~x"," 9

ou

C.294 ReSOlver a inequação cos 2x ;;. cos x.

2k7'l O;;;; Y O;;;; !!- + 2k7'l3

51'1 + 2k7'l O;;;; y < 21'1 + 2k7'l3

cos 2x = 2 cos2

x - 1, temos:

<==lo 2y2 - Y - 1 ;;. O2y 2 - 1

[] cos x ~ 1.x E O, 21'1 tal que cos 2x

131'1 o:;;; x O;;;; 171'1k = 2 ==> 9 9

cos 2x O;;;; Y3 supondo x E [O, 21'1].2

ou

Solução

I) Fazendo cos x = y e lembrando que

y 0;;;;1 <==lo Y -10;;;;02y2 - 1 2y2 - 1


C.300 Determinar

- cos 4x > - 1 supondo x E [O, 21'1].C.299 Resolver a inequaçao "2- x);;' v'2 <==lo

2

( 1'1 )..... 1cosx- 4",,2'

cos y ~ 1 Examinando o ciclo, vem:2'1'1

x - 4 = y, temos a inequação

Solução

sen x + cos x ~ V2 <==::;l- sen x + sen( !!..2 2

<==lo 2· sen ~ • cos(x _ !:.);;, V2 <==lo

442

Fazendo

C.295 Resolver a inequação sen x + cos x;;. '{2

C.296 Resolver a inequação sen x + cos x < 1.

isto é:

!!. + 2k7'l O;;;; x O;;;; 71'1 + 2k7'l ou 231'1 + 2k7'l o:;;; x < 91'1 + 2krr4 12 12 4

C.297 Determinar x E [O, 21'1] tal que cos 3x O;;;; 12

y

1 <,y<'ii2' ..ou -

1"2

+ - - ++

- + ++ --

+ - ++ --

2i - y - 1

V2-2-

11) Fazendo o quadro de sinais:

...r2conclufmos que o quociente é positivo para y < - 2'"

ou y;;' 1.

Examinando o ciclo, vem:

1'1x=y+ 4'pois

Solução

Fazendo 3x = y, temos a inequação cos y O;;;; }.

1'1 + 2k7'l O;;;; y O;;;; 51'1 + 2krr3 3

134-C 136-C

/lO Examinando o ciclo trigonométrico, para O.;; x .;; 21T. temos:

cos x < - v22

2 <=> 31T < x < 51T"4 4

conelu (mos que o quociente é positivo para

.,f2 .,f2- - .;; y < O ou y;;' -

2 2

1 ';;cos x < V22 2

cos x ~ 1 =::::::::-- x ::: O ou 21T

portanto:

21T3

71T

4

IV) Exami nando o ciclo trigonométrico, temos:

={~+ 2k1T < x ..; 31T + 2k1T"4

V2 ";cosx<O ou""2+ 2k1T ..; x < 31T + 2k1TT

C.3Dl Rpsol'Ji' a inequação 2 cos2

x + cos x - 1 > O [ ]cos x _ 1 sUpondo X E O, 1T .

{

2k1T .;; x.-; ~ + 2k1T

<=> ou

71T + 2k1T .-; x .-; 21T + 2k1T4

cos x;;' Y2""2

31T < x < 51T4 4 ou

21T}ou x

O ou 1T < x"; 21T ou4 3

41T .;; x < 71T3 4

s = {x I x

C.302 Resolver a inequação cos 2x + sen x + 1 :;"cos 2x ~ 2 Supondo x E [O, 1T].

C.305 (MACK-701 Determine no conjunto dos números reais o dom(nio de

y = J 4 • sen2

x - 1, 0'-; x .-; 211.cos x

C.303 Resolver a inequaça-o 2cos 2x .,- - r;:2 [ ]... V Lo supondo x E O, 11 .

C.304 Determinar o dom(nio da função real f dada por f(x) = J cos 2xcos X

C.306 Para que valores de x. x E [O. 2111 está definida a função

Hx) J sen 2x - 2::: cos 2x + 3 cos x - 1

Solução C.307 (MACK - 711 ~ dada a equação

O Devemos ter cos 2x ;;. Ocos x

11) Fazendo cos x ::: Y. temos: sendo 0'-; a .-; 11.

cos 2xcos x

2;;. O <=>~ ;;. O

y

a) Para que valores de ex a equação tem soluções reais 7

b) Para que valores de a a equação admite ra (zes reais negativas 7

V2 O v2-2 2"2y2 _ 1 Y

+ +

y + +

2y2 _ 1

y + +

136-C

C.310 IMACK-72) Resolver, separadamente, cada um dos sistemas abaixo:

C.308 Para que valores de x, x E [O. 2111 verifica-se a desigualdade:

logeos x (1 + 2 cos x) + logeos x (1 + cos x) > 1 7

C.309 Que valores de x, x E [O. 211] verificam a inequação Y 1 - cos x < sen x 7

{

cos(sen xl > O

b)sen Icos xl < O

a)

Fazendo o quadro de sinais:111)

137-C

que podem ser resumidos em

llg xl.;; 1.

!!.. + 2krr3

ou

o + 2krr .;; x <

ou

C.315 Resolver a inequação llg x I ;;. Y3 .

ou

7rr + 2krr .;; x < 2rr + 2krr4

3rr + 2krr .;; x';; 5rr + 2krr4 4

ou

Y3C.314 Resolver a inequação - V3 < Ig x .;; 3 .

o+ 2krr';; x';; rr + 2krr4

37T + 2krr < x < 2rr + 2krr2

Solução

Ilgxl-<l <=> -1';;lgx';;1

4rrrr + 2krr < x < + 2krr2 3

C.312 Resolver a inequação Ig x > Y3 .C.313 Resolver a inequação Ig x .;; O.

A imagem de x deve ficar na inter w

secção do ciclo com o ângulo r$s. Temos,então:

EXERCICIOS


110. Exemplo

Resolver a inequação tg x < Y3.Procedendo conforme foi indicado,

temos:

rr + 2krr2

2

ou

rr + 2krr < x <4

4

Resolver a inequação tg x > 1.

Procedendo conforme foi indicado,temos:

VI. RESOLUÇÃO DE tg x > m

3rr + 2krr < x < 3rr + 2krr4 2

108 Exemplo

107. Marcamos sobre o eixo das tangen·tes o ponto T tal que AT: m. Tra·

+-'+çamos a reta r: OT. As imagens dosreais x tais que tg x > m estão naintersecção do ciclo com o ângulo rÔv.

Para completar descrevemos os in·tervalos que convêm ao problema.

VII. RESOLUÇÃO DE tg x < m

.!!: + krr < x < rr + krr

109. Marcamos sobre o eixo das tangentes o ponto T tal que AT: m. Tra·

+-+çamos a reta r: OT. As imagens dosreais x tais que tg x < m estão naintersecção do ciclo com o ângulo vÔr.

Para completar descrevemos os in·tervalos que convêm ao problema.

138-e 139-C

C.316 Determinar x E [O, 211) tal que 1 O;;;; tg 2x <ViSoluçilo

Fazendo 2x ~ y, temos a inequação 1 O;;;; tg Y <V3.Examinendo o ciclo, vem:

!!... + k1To;;;;y < 1!. + k114 3

Como )(.:t... resulta'.2'

lI. + k1T <; x < 1!. + k118 2 6 2

Mas x E [O, 211), então só interessam as soluções particulares em que

1 ou 2 ou 3:k = O ou

CAPiTULO IX

TRIÂNGULOSRETÂNGULOS

I. ELEMENTOS PRINCIPAIS

111. Sabemos Que um triângulo é retângulo Quando um de seus ângulos internos

é reto.

A

aB L-I.----------.u....::...c

b'--'-------....J.L.~c

B

c

A

k = O=- 11O;;;; x <!!...

8 6

·ou

k = 1 =- 511O;;;; x < 211

8 "3ou

k = 2 =- 911O;;;; x < 711

8 6

ou

k = 3=- 1311 O;;;; x < 5118 3

C.317 Resolver a inequação tg 2x ;;. - V3 Supondo x E [O, 211).

C.318 Resolver a inequação tg22x O;;;; tg 2x supondo x E [O, 211).

C.319 Resolver a inequação tg22x < 3 supondo x E [O, 211).

C.320 (MAPOFEI-751 Resolver a inequação: sen x> cos x, para O O;;;; x O;;;; 211.

Como é habitual, vamos utilizar a notação seguinte para os elementos de um

triângulo ABC:

lados: AB, BC, AC

ângulos internos: BÂC, ABC, AêB

medidas dos lados: a = medida de BC

b = medida de AC

c = medida de AB

medidas dos ângulos: Â = medida de BÂC

B= medida de ABC

ê = medida de AêB

14o-C 141-C

a blIABC - lIDAC = b n

Temos, então, as seguintes propriedades:

a c

[ t? .. am

Sempre que tratarmos de um triângulo ABC retângulo, daqui por dianteestaremos pensando que o ângulo interno A mede 90°.

Sabemos que o lado BC, oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa e oslados AB e AC, adjacentes ao ângulo reto, são chamados catetos do triângulo ABC.

Para simplificar nossa linguagem diremos que o triângulo ABC tem hipotenusa a e catetos b e c, isto é, vamos confundir BC, AC, AB com suas respectivas medidas a, b, c. Analogamente, diremos que os ângulos internos do triângulosão Ã, fi e ê.

1~) lIABC - lIDBA c m

112. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica quepermite calcular as medidas de segmentos ou ângulos de um triângulo retângulo,partindo de um número mínimo de dados.

11. PROPRIEDADES GEOMI:TRICAS

113. Provemos algumas relações notáveis entre segmentos de um mesmo triângulo retâ ngu lo.

Se tomarmos um triângulo ABC retângulo e conduzirmos AD perpendiculara BC, com D em BC, obtemos:

. h' e a projeção dele sobreisto é, cada cateto é média geométrica entre a tpotenusaela.

a b2~) lIABC - f:lDBA ==> C = ti

I bc=ah ]

isto é, o produto dos catetos é igua I ao produto da hipotenusa pela a Itura relativaa ela.

é média geométrica entre os segmentosé, a altura relativa à hipotenusadetermina na hipotenusa.

AD = altura relativa à hipotenusa (medida: h)

BD = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida: m)

CD = projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida: n)

B== l' e ê ==:1 pois AB 1 AC e BC 1 AD

A

istoque

3~} lIDBA - lIDAC =h mn

Na figura anterior podemos observar três triângulos lIABC, lIDBA e lIDACque são semelhantes por apresentarem ângulos dois a dois congruentes.

A A A

~ J'"B a C B m D !:'-'-----n---u....:"'C

142-C

4~) Teorema de PitágorasSomando membro a membro as duas primeiras relações, temos:

2c2 = am}= b2 + c2 = an + am = a(n + m) = aa = ab2 = an

[b~ +02...' )

. • soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.Isto e, a

143-e

OA == OB == OC

20

20

A

D

D

Solução

Ligando o vértice A ao centro O da circunferência, obtemos uma reta que corta a circunferência em D. Notemos que osegmento AD é diâmetro. Notemos aindaque AD é mediatriz do segmento BC,portanto AD 1 BC e BM ~ MC. Destacando o triãngulo ADC, temos:

62 ~ y(20 - y) == y2 - 20y ++ 36 ~ O == y ~ 2 ou y ~ 18

então:b2 ~ 6 2 + y2 = b2 40 ou

b2 ~ 360

Resposta: b ~ c ~ 2v1O oub ~ c = 6V1O

C.322 Calcular os elementos x, y, z, t na figura ao lado.

C.323 Escrever 6 relações métricas envolvendoelementos da figura ao lado.

C.326 Um triãngulo isósceles ABC tem base a ~ 12 e está inscrito numa circunferênciade diãmetro 2R ~ 20. Calcular as medidas dos lados b e c do triângulo.

168C.325 Calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo de per"metro 56 e altura 25'

C.324 Calcular a ârea de um triângulo retângulo em que as projeções dos catetos sobre ahipotenusa medem, respectivamente, 4 e 9.

c114. Outra propriedade notável dos triângulos retângulos pode ser vista se tomarmos os pontos médios dos lados (M, N, O)e ligarmos conforme a figura. O pol ígonoAMON é um retângulo, portanto:

OA == MN == BC2

isto é, a mediana relativa à hipotenusaé igual à metade desta.

Como conseqüência temos qUe

a2

e, portanto: todo triângulo retângulo pode ser inSCrito em uma circunfer- .. . _ enCla cu-JO dia metro é a hipotenusa.

EXERCICIOS

C.321 Calcular os elementos indicados na figura ao lado.

C.330 Calcular o lado de um octógono regular inscrito em uma circunferência de raio R.

C.327 Calcular a altura de um triângulo isósceles conhecendo o raio R da circunferênciacircunscrita e a base a. Dados: R = 5 e a = 8.

C.328 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base 6 tendooutro lado medindo y9õ.

d ~ 13 do centro O de uma circunferência de raio R = 5.uma reta tangente à circunferência no ponto T, qual a medida

C.329 Um ponto P distaSe traçarmos por Pdo segmento PT?

Solução

Sendo c ~ 3 e b ~ 4 vem'2 ' .

a ~ b2 + c2 ~ 16 + 9 ~ 25 = a ~ 5h ~ ~ _ 4· 3 12

a --5- 5' 3

m = ~ 9a '5 e

b2 16n = a 5"

144-C

145-C

115. Vamos provar as três propriedadesque relacionam as medidas dos lados eas dos ângulos de um triângulo retânguloABC.

Para isso vamos considerar uma circ~n~erência de raio unitário e centro novertlce B e vamos fixar um sistema uOvde referência como mostra a figura.

116. Observações

cateto adjacente a êhipotenusa

cateto oposto a êcateto adjacente a ê

ba

cb

cos ê ; sen B

sen ê ; cos B; ca

tgê; t~

1~) Notando que Ã + B+ ê ; 180° e Ã; 90°, decorre B+ê; 90°,isto é, Be ê são complementares, portanto:

cateto oposto a êhipotenusac

v

PROPRIEDADES TRIGONOMI:TRICAS111.

AS

tg B

B..c:... .J..:.L_--L.:.JL- .J..:.L_L.:J....._..J..:..l. _

sen BAIC I A2 C2 A 3 C3

BC I BC2 BC 3

(fixado B, o cateto oposto a 8 e a hipotenusa são diretamente proporcionais).

cosBBA I BA2 BA 3

BC I BC2 BC 3

~ B e a hipotenusa são diretamente proporcionais).(fixado B, o cateto adjacente a

(fixado B, os catetos oposto e adjacente a B são diretamente proporcionais).

2~) Decorre das três propriedades vistas que, sendo dado um ângulo agudoB, se marcarmos sobre um de seus lados os pontos AI, A2 , A3 , ... e conduzirmospor eles as perpendiculares AIC I, A2 C2 , A3C3 , ... (conforme a figura abaixo),temos:

~ I

~~

=

=

=

ca

ba

bc

cos B-1-

~

sen B-1-

~

tg B-1-

=

=

=

CABC

BABC

2~) llBPP I ~ llBCA, então

3~) llBTI I ~ llBCA, então

1~) llBPP I ~ llBCA, então

isto é, o seno de um ângulo agudo- é igual ao quociente do catetoangulo pela hipotenusa. oposto ao

isto. é, o cosseno de um ângulo agudo e: I'gual ao- quociente do cat t d'ao angulo pela hipotenusa. e o a Jacente

isto é, a tangente de um ângulo agudo é igual aopelo cateto adjacente ao ângulo. quociente do cateto oposto

146-C

147-C

EXERCICIOS 36, sabendo que 05

Bde um triângulo ABC retângulo em A sabendo que se verifica

V:. onde h é a altura relativa à hipotenusa.

C.339 Calcular a altura de um triângulo isósceles de perímetro 2p

2ângulos adjacentes à base são iguais a are cos 7".

C.342 Determinar o ângulo

1 2a relação c + b

C.341 Um reta determina, sobre uma circunferência de raio 10, uma corda de comprimento

16. Qual é a medida do ângulo central sob o qual se vê a corda?

C.340 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base a 8

e ângulo oposto ã base Â = 120°.

B'--'--- -O

e ê 4= are tg 3"

Solução

19 B b 9 3c 12 4"

~ c 12 4tg C = li 9 3"

R ~ 3esposta: B = are tg

4

C.331 Calcular os ângulos .Internos de um triângulo ~

c = 12. retangulo cujos catetos são b = 9 e

C

C.332 Calcular os lados de um triângulo retân ui

é h = 4 e um ângulo agudo é El = 300.g

o sabendo que a altura relativa â hipotenusa

C.333 Calcular os lad d .•os e um tnanguJo retângulo sabendo .

mede 4 e forma ângulo de 150 que a altura relatIva à hipotenusacom o cateto b.

C.334 Calcular ~s catetos de um triângulo retân ulo .

clrcunferencla de raio 3 e tem â I g ~BC sab.!!ndo 9ue está Inscrito em umangu os agudos taIS que B = 2C.

C.335 Calcular os ângulos agudos de um t .•

mediana relativa a Um dos nangulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que acatetos mede 15.

então 30Y3hh ~

Y3+ 30= h =..j3 -

30vS AResposta: ...[3 - , m 30 Q x

Solução

No triângulo BXY. temos

oh" htg 60 =""[ """ x =~

No triângulo AXY, temos:

htg 45° = Q + 30 = h ~ Q + 30

C.348 Calcular a distância entre os parapeitos de duas janelas de um arranha-céu, conhecen

do os ângulos (a e ~) sobre os quais são observadas de um ponto O do solo, a distân·

cia d do prédio.

C.345 Calcular os ângulos agudos do triângulo retângulo de hipotenusa a = 13m, sabendo

que o raio da circunferência inscrita é r = 2.

C.347 (MAUÁ-S8) Para medir a altura da torre vertical DE toma·se, no plano horizontal que

passa pela sua base O, o segmento AB de comprimento 12 m e cujo ponto médio é

C. Medem·se os ângulos DÂE. DElE e DêE verificando·se que DÂE = DBE = 45°

e DêE = SOo.

Determinar a altura da torre.

C.344 Em um triângulo ABC retângulo em A traçam-se as bissetrizes internas BB' e CC'. Sa

bendo que AB' = 1 e AC' ~ 1. calcular o ângulo B e a hipotenusa a.

C.346 Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60°.

Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob ângulo de 45°. Qual

é a altura do prédio?

C.343 Em um triângulo ABC retângulo em A sabe-se que o ângulo agudo formado pelas

medianas BM e CN é O = 30°. Calcular o ângulo ê.

4

A

M

a = B, sabendo que Â = 450.

BO

,~~ A 3 A2 AI A

pela diagonal e o menor lado de' oum retangulo cujos lados

Calcular a área de um triângulo iSÓsceles ABC cuja base é

Solução

Traçando a altura AM, o triângulo ABC

fica di~idid~ e'm duas partes Congruentes

onde A' =A" =22°30', BM =MC =4.

tg 22°30' = MC =AM

= AM ~ ~ _ 4\12 + V2tg 22°30' - vi 2 - Y"'l

IS.J2 + V2",12 - v'2

s = BC • AM2

C.336 (FFCLUSP-6S) Na f'Igura ao lado, osângulos

OÂjBj e OBj+IAi. i = 0,1 2 3

são retos. Quanto vale a soma' d~s ~~~.

~entos AoB o, AIB I • A2B2, ... em fun.

çao de AoB o e de O?

C.337 Calcular o ângulo formado

estão na razão 34'

C.338

148-C 149-C

cL-J..-------t.~B

l-J...-__~_=__---L-.:>.B

c

C

b

b

A

A

b

aarc sen

c = VTb2=

= B

cos B

ba

Solução

c = a

Solução

c2 = a2 _ b 2

~

sen B

b = a sen B

118. 1C? problema

~ b bcos C = - = C = arc cos

a a

Resolver um triângulo retângulo,sendo dados: a hipotenusa (a) e um dosângulos agudos (8).

119. 2C? problema

Resolver um triângulo retângulo,sendo dados: a hipotenusa (a) e um dos catetos (b).

H

y

N

D---..---C.349 (MAUÁ-65) Para obter a altura H deuma chaminé, um engenheiro, com umaparelho especial, estabeleceu a horizon

tal AB e mediu os ângulos ex e {3 tendoa seguir medido BC = h. Determinar aaltura do chaminé. A oE:::,--"-T-,-------{

C.351 (lINS-66) Tendo em vista as relaçõesdescritas na figura ao lado calcular as

distâncias x e y.

c

A C B

1_--=-60'--'-m"------_'II-~.---,"6",-,0m,-,--~I

C.350 (MAUÁ-67) Um observador encontra·se na Via Anhanguera em trecho retilíneo, ho

rizontal e situado no mesmo plano vertical que contém a torre de TV do canal 13,localizada no pico do Jaraguá. De duas posições A e B desse trecho retilíneo e distantes 60 m uma da outra, o observador vê a extremidade superíor da torre, respectiva

mente, sob os ângulos de 30° e 31°53', O aparelho utilizado para medir os ângulosfoi colocado a 1,50 m acima da pista de concreto que está a 721 ,50m acima do níveldo mar. Determinar a altura da torre em relação ao nível do mar. Dado: tg 31°53' :::

~ 0,62.

I

I

120. 3C? problema

Solução

c=b.tgê

Resolver um triângulo retângulo,sendo dados: um cateto (b) e o ânguloadjacente a ele (ê).

C

c

L.-L. --L.....:>. B

b

A

b-----,.cos C

90° - ê

a

IV. RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

117. Resolver um triângulo retângulo significa calcular seus elementos principais,isto é, seus ângulos agudos (É3 e ê) e seus lados (a, b, c). Para obter esses elementos é necessário que sejam dadas duas informações sobre o triângulo, sendouma delas, pelo menos, a medida de um segmento ligado ao triângulo (lado, mediana, mediatriz, etc).

Há cinco problemas clássicos de resolução de triângulos retângulos, que abor·daremos com especial destaque.

150-C 151-C

121. 4? problema

Resolver um triângulo retângulo. sendo dadost I (B~) um cateto (b) e o ânguloopos o a e e .

C

C.353 Resolver um triângulo retângulo ABC sendo dados b = 3 e a - c = V3.C.354 Resolver um triângulo ABC retângulo em A sabendo que a + b = 18 e a + c = 25.

Solução

bc =tg B

ba --~

sen B

ê 90° - B

122. 5? problema

b

A ~-----_..L.~ Bc

C.355 Resolver um triângulo retângulo ABC sabendo que a = 4 e a medida da bissetrizinterna BE é st, = 6y2 - 2y6

C.356 Resolver um triângulo retângulo conhecendo a altura h == 1 relativa à hipotenusa e o

perímetro 2p = 2V2+ 2.

C.357 Resolver um triângulo isósceles ABC sabendo que a altura relativa à base BC medeh = 24 e o perímetro é 2p = 64.

C.358 Resolver um triângulo retângulo ABe conhecendo o raio r == 2 da circunferência

. 60 ..inscrita e a altura h == 13 relativa a hipotenusa.

C.359 Resolver um triângulo retângulo ABe conhecendo a altura h = 2 relativa à hipotenusa e o raio r' == 2~+ 2 da circunferência ex-inscrita situada no ângulo reto.e el.

b

Resolver um triângulo retângulo, d d dsen o a os os do is catetos (bCSolução

tg B b b= B = are tgc c~ c

ê = are tgctg C = _ =b b A'-'---------<---~B

c

EXERCICIOS

C.352 Resolver um

na Sb = 5triângulo retângulo ABe h d

...... Con acen o a medida da bissetriz 'Inter-e o ângulo C == 30°,

Solução

É imediato que B= 60° e

No triângulo retângulo ASS,

B 5v3c=5·cos 2' = -2-

então

a

5V3-2-

=-1-= 5v3

2

B2 = 30°.

temos:

B

C

AL..L.---;::-----_~b C

15

2'

152-C153-C

CAPÍTULO X

TRIÂNGULOSQUAISQUER

I. PROPRIEDADES TRIGONOMI:TRICAS

123. Lei dos cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Demonstração

1?) Seja ABC um triângulo com Â < 90°.No L'lBCD, que é retângulo:

a2 = n2 + h2 (I)

No L'lBAD, que é retângulo:

h2 = c2 _ m2 (11)

Temos também:

n = b - m (111)

Levando (111) e (11) em (I):

m

b

a2 = (b _ m)2 + c2 _ m2 = a2 = b2 + c2- 2bm

Mas, no triângulo BAD: m = c • cos Â.

Logo:

155-C

EXERCICIOSC.3GB (EPUSP-56) Os lados de um triângulo sâo dados pelas expressões:

a = x2 + x + 1, b = 2 x + 1 e c = x2 - 1.Demonstrar que um dos ângulos do triângulo mede 120

0.

C.360 Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo do 1200

Calcular o terceiro lado. . C.369 Calcular o lado c de um triângulo ABC sendo dados Â = 120°, b = 1 e 7= 2.Solução

Adotando a notação da figura ao lado eaplicando a lei dos cossenos, temos:a2 = b2 + c2 - 2bc • cos Â =

= 82 + 122 - 2 • 8 . 12 • cos 1200 == 64 + 144 + 96 = 304

então a = v'3ô4 = 4.,j19m.

c

~b=8~

8A c=12

C.370 (EPUSP-60) Determinar os comprimentos dos lados de um triângulo que tem para vértices os centros dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulode lados 6, 8 elO.

C.371 (MAUÁ-67) Provar que num triângulo ABC retângulo em A, vale a relação (a - b)2 =

ê= c2 - 4ab • sen2 -.2

C.363 Se um paralelogramo tem lados medindo 4 m e 5 m e formando entre si um ângulo-de 30°, qual é o ângulo que a diagonal maior forma com o menor lado?

b) A8C acutângulo?

Solução

Admitamos que a seja o maior lado do triângulo ASC, isto é, a ~ b e a ~ c.Sabemos da Geometria que ao maior lado opõe-se o maior ângulo do triângulo, portanto,Â ;;. B e Â;;' ê. Assim, temos:

lIABC é retângulo <== Â = 90°lIABC é acutângulo -= 0° < Â < 90°lIABC é obtusângulo -= 90° < Â < 180°

c) ABC obtusângulo?

C,372 Qual é a relação entre os lados a, b, c de um triângulo A8C para que se tenha:

a) ABC retãngulo?

c = 15 m. Calcular o ânguloe

a = 4b = 3v2ê = 450

B~b~

C.362 (MAPOF~1-76) Dois ~dos consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e formam um angulo de 60 . Calcular as diagonais.

C.361 (FEI-77l Calcular c, sabendo que

C,364 Um triângulo tem lados a = 10 m, b = 13 mÂ do triângulo,

Da lei dos cossenos, temos:

a2 == b2 + c2 _ 2bc . cos A~ cos Â =:: b2

+ c2

- a2

2bc

Solução

portanto

então:

cos Â = 1032 + 152 - 10

2

2·13·15

~ 49A = arc cos 65

169 + 225 - 100390

294390

4965

Por outro lado, da lei dos cossenos, temos:_ ~ b2 + c2 _ a2

a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A = cOS A = 2bc

Então, vem:

a) Â = 90° -= cos A = O -= b2 + c2 - a2 = O <== a2

= b2 + c

2

b) 0° < Â < 90° <== cos Â > O -= b2 + c2 - a2 > O -=

<===;o a2 <b2 + c2c) 900 < Â < 180° -= cos Â < O <===;o b2 + c2 - a

2< O <===;o-= a2 > b2 + c2

C,365 Calcular os três ângulos internos de .• I A ~e c = .,;3+ 1. um tnangu o BC sabendo que a = 2, b = V 6Conclusão: um triângulo ABC é respectivamente retângulo, acutângulo ou obtusângulo,conforme o quadrado de seu maior lado seja igual, menor ou maior que a soma dosquadrados dos outros dois lados.

C.373 Classificar segundo aS medidas dos ângulos internos os triângulos cujos lados são:

C.366 Os lados a, b, c de um triângulo ABC sa-o dl'retamente proporcionais aos números5, 7 e 9, respectivamente. Calcular o ângulo B.

a) 17,15,8 b) 5, 10, 6 c) 6, 7, 8C,367 (EPUSP-60) Demonstrar

números racionais, entãonais.

que se os lados de um triângulo têm medidas expressas poros cossenos dos ângulos internos também são números racio~ C.374 (EPUSP-61) Os lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica cres

cente. Determinar a razão da progressão.

156-C157-C

_c_ = 2Rsen ê

bAnalogamente: -----rc

B= 2R e

sen

Donde concluímos a tese:

Temos, então:

a = 2R • sen Â' = a = 2R sen Â = se~ A = 2R

bo

h

2?l Seja ABC um triângulo com 90° < Â < 180°No L\BCO, que é retângulo

a2 = n2 + h2 (I l

No L\BAO, que é retângulo:

h2 = c2 _ m2 (11)

Temos também:

n = b + m (111)

Levando (111) e (11) em (I):

a2 = (b + m)2 + c2 _ m2

= a2= b2 + c2 + 2bm

Mas, no L\BAD, m = c • cos (1800- Â) = m = -c • cos Â.

3?) Analogamente, podemos provar que:

Logo: 182 = b2 + il - 2bc· cos Â I EXERCICIOS

C.375 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABe em que a:o 15 em

e $;=30°.

Solução

Da lei dos senos temos:

b2 = a2 + il - 2ac • cos BC2 = 8 2 + b2 _ 2ab • cos e

2Ra

se" Ã15 15

seo 300 = -1- = 30 em

2"

124. Lei dos senos eotão R = 15 em.

C.376 Calcular os lados b e c de um triângulo ABC no qual a = lO, ·6 = 30° e ê = 45°.

Em qualquer triângulo, o quociente entre cada lado e o seno do ângulooposto é constante e igual â medida do diâmetro da circunferência circunscrita.

Solução

A + íl + e = 180° = Â = 180° - 30° - 45° = 105°

Demonstração

Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R.Por um dos vértices do triângulo (B), tracemos o diâmetro correspondente BA'e liguemos A' com C. A;..-__

A A

Sabemos que A = A' por determi-narem na circunferência a mesma cordaBC. O triângulo A'BC é retângulo em Cpor estar inscrito numa semi-circunferência.

1

b a • sen B 10' 2" 20a = b = V6+V2 YS+V2------",- =

seo ã sen Âseo A4

10y2

20.J2a c a • seo e • -2-

----,..seo e = c = seo Â ys H.f2 YS+V2sen A

4

C.377 (EPUSP-61) Quais são os âo~os B e C de um triâogulo ABC para o qual

~ Y3 ~ y2?seo 8 = 2 e seo C = 2 .

158-C159-C

C.378 Calcular os ângulos B e ê de um triângulo em que a = 1, b = V3+ 1 e Â = 15°.

C.379 Em um triângulo ABC sabe-se que a = 2b e ê = 60°. Calcular oS outros doisângulos.

C.380 Calcular os ângulos de um triângulo ABC sabendo queb

ce ê = 2Â.

C.387 (EPUSP- 50) O ângulo sob o qual umobservador vê uma torre duplica quandoele se aproxima 110m e triplica quando

se aproxima mais 50 m.Calcular a altura da torre.

Y

C.3Bl Calcular o lado c de um triângulo ABC em que a = 6 m, b = 3 m e Â 38. I. 110 m .1. 50 m ~

C.3B2 (MAPOFEI-71) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo ABC: o per(metro 2p e os ângulos A = a, B = 13a) Descrever um processo de construção do triângulo.

b) Calcular os comprimentos de seus lados.

lados de um triângulo e Â. 8 os ânguloS opostos corresC.388 IMAUÂ-66) Sendo a, b dois

pondentes, provar que: 2 2

i . cos 2 B - b2• cos 2 A = a - b

C.3B6 Um observador colocado a 25 m de um prédio vê o editrcio sob certo ângulo. Alastando·se em linha reta mais 50 m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

C.3B4 IMACK-66) O lado de um triângulo equilátero de lado 3 m é dividido em três partesiguais. Determinar os 3 ângulos que se obtêm unindo os pontos de divisão ao vérticeoposto (as respostas devem ser dadas em termos de funções trigonométricas inversas).

A

onde

1 e a

ABC sabendo que a = 4

bissetriz

C.391 Calcular

Sb • Sc _ V6 - ,J28C • I Asabe-se que --:::;r- ~ 2C.390 Em um triângulo A retangu o em a ~

Sb e Sc são as medidas das bissetrizes dos ânguloS agudos. Calcular B.

o ângulo B de um triângulo isósceles ABC conhecendo a base a

..j2Sb = """"2

- a-tga'a) mostrar que se AP - HP = r, entao cos -. ' .b) verificada a condição do item anterior, de~ermtn:r sen a, ec) sendo a um ângulo compreendido entre O e 90 , tal qu

sen a = ~ (..[5 - 11,

. . . - de um segundo arca utilizando a tabela abaixo.determma·lo com a precisa0 '

. -' dtO e raio r limitadoC 392 (MAPOFEI-70) É dado um quarto de c"cunlerencla e cen ro . -' nal

. A B (ver ligura) Sendo P um ponto do arco AB, H proleçao ortogopelos pontos e . ~

de P sobre OB e 2a o ângulo AOP.

C.3B9 Calcular o ângulo Blii > 45°) de um triângU~o retângulo

e a medida da bissetriz interna AB é Sa = V3'

....ACB, tem-se:

M

AB

sen o:Prove que: cotg 'P = "'2--,n,-----,,-

sen fJ • sen 1

Solução

C.385 (MACK-67) Do ponto médio dos ladosAB e AC de um triângulo ABC traçam-seduas retas que se cortam num ponto Mdo terceiro lado BC e que formam comeste lado ângulos iguais cujo valor é r,p.

C.383 (EPUSP-62) Demonstrar que num quadrilátero ABCD onde A"DB

CO • sen AÔBsen CBD

BSENO

0,6174940,6177220,6179510,61B1800.618408

38°8'38°9'38°10'38°11 '38°12'

Nota: ..[5 =' 2,23606B

ÂNGULOY

xA 25

No triângulo ABY o ângulo externo aé igual à soma dos internos não adjacen

a ~

tes 2" e BYA, então:

a ~ aa = "2 + BYA = BYA 2'

Assim o triângulo ABY é isósceles, por- B L.-'-~_-+ .LL_.....J.:.J.:.L_.....Jtanto, AY = AB = 50 m.No triângulo retângulo AXY, temos:

160-C161-C

125. Teorema 126. Teorema

Em qualquer triângulo, valem as relações seguintes: Em qualquer triângulo, a área é igual ao semi-produto de dois lados mui·tiplicado pelo seno do ângulo que eles formam.

B

que é retângulo, temos:

DB ; c . sen Â

AL-------'..:.J.-~C

No l'.ADB

1?) Seja ABC um triângulo com Â < 90°.

então:

DemonstraçãoI· b • cos ê + c • cos Bb .. ~. CQsê+c· cosÂc .. b • CO'A + C· cos â

Vamos provar só a primeira delas:

Demonstração

b D

,I,,:,I,I

D b. ---__ >....>.._-;-_---->0 CA

senÂ

~c • senÂ

b • c2=

AC·DB2

AC·DB2

então:

2?) Seja ABC um triângulo com 90° < Â < 180°.• • I BNo l'.ABD que e retangu o, temos:

DB ; c • sen (180°, - Â) ; c . sen Â

ls ..

a = BD + DC = c • cos B + b • cos ê

No l'.ABD, que é retângulo: BD; c • cos BNo l'.ADC, que é retângulo: DC; b • cos ê

1?) Seja ABC um triângulo com B< 90° e ê < 90°

A

A

2?) Seja ABC um triângulo com 90° < B< 180° ou 90° < ê < 180°

então:

No l'.ABD, que é retângulo:

BD = c " cos (180° - B)No l'.ADC, que é retângulo:

DC = b • cos êentão:

a = DC - DB = b cos ê - c • cos (180° - B)= b • cos ê + c • cos B

·\--------:::..Ca

3?) Analogamente provamos que:

S.I;b senê

I • C sen B-s 2,

162-e 163-C

127. Teorema

Em qualquer triângulo, a área é igual ao produto dos três lados divididopelo quádruplo do raio da circunferência circunscrita.

.Â+tl Â-B2 sen (-- ) • cos ( -- )

2 2Â-B Â+B

2 sen ( --) . cos ( -- )2 2

Â+Btg(-2- )

Â - Btg(-2-)

As outras duas são provadas de modo análogo.

Pelo teorema anterior, temos:

Demonstração

De acordo com a lei dos senos, temos:

~ =2Rsen A = - asen A =-

2R

EXERC(CIOS

C.393 Calcular o lado a de um triângulo ABC sabendo a medida da altura ha e as medidasdos ângulos o: e ~ que ha forma com c e b, respectivamente.

b • c -S = -- • sen A

2

C.394 Calcular a área de um triângulo que tem dois lados de medidas conhecidas, b = 7 me c:: 4 m, formando entre si um ângulo de 60°.

Substituindo G) em @' decorreC.395 (MAPOFE 1-751 Calcular a área do triângulo ABC, sendo AB = 4 cm, Â = 30° e

ê = 45°,

I S=*bç I4R .

C.396 (MAPOFEI-74) As diagonais de um paralelogramo medem 10 m e 20 m e formamum ângulo de 60°, Achar a área do paralelogramo,

C.397 Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo ABC de área 20 cm2, o

qual tem dois lados formando ângulo agudo e com medidas 8 m e 10m, respectiva

mente.

128. Teorema

Em qualquer triângulo não isósceles nem retângulo valem as relações seguintes;

C.39B Sejam a e b as medidas de dois segmentos BC e CA que têm uma extremidade comum

e formam entre si um ângulo (}. Pede-se:

aI esboçar o gráfico da área S do triângulo ABC em função de 8;bl dizer para que valor de 8 é máximo o valor de S;cl estabelecer qual é o acréscimo porcentual em S quando 8 passa de 30° para 120°,

Demonstração

Partindo da lei dos senos e usando propriedade das proporções, temos:

Â+8t9 2

a - g,19--

2

C.399 Demonstrar que em todo triângulo ABC valem as seguintes relações:

II a • sen (Ê - tI + b • sen (ê - Ã)'+ c • sen (Ã - S) = OIil a • cos (1'l - tI = b • cos S + c • cos e

Ilil (b + c) • cos Ã + (c + aI • cos ~ + (a + b) • cos e = a + b + c

a2 - b2 sen (1\ - ~IIVI -c-2- = sen (~ + S)

c2 + a2 - b2 tg :li:VI c2 + b2 _ a2 = 'i'9"'S (I! =1= 90°)

$o.(b + cl • sen "2

Vil a = B _êcos -2-

A(b - cl • cos 2"

VII)a= B-ê (Í3=1=ê)sen -2-

i+C19 2

sen Â + sen Bsen Ã - sen B

b + cb -c '"

til

a+b==>

a - b

Â+tt9 2

l- C·19 2

a sen Â- = ---.....-b sen B

a - c

=b

;;;g

a+b8 - b '",

asen Â

164-e165-e

11. PROPRIEDADES GEOMETRICAS De maneira análoga, teríamos:

Vamos deduzir fórmulas que permitem o cálculo de segmentos notáveis deum triângulo (alturas, medianas, bissetrizes internas, raio da circunferência circunscrita, etc) tendo apenas as medidas dos lados e dos ângulos internos.

ha .. f ..J pCP - aHp - bHp - cl e ht,... ~ • .Jp(p- aHp - bHp\- cl

130. Área

c • hc-2-

b • hb-2-

s .. .J pCp - aHp - b)(p - cl

s = a • ha-2-

então

Das fórmulas que dão as alturas decorre uma fórmula para a área do triângulo,

chamada fórmula de Hierão:

Bc

c

IIII

hc :Itl ~ :::::.

D A

C

A~'I. D .1

c

128. Altu ras

No triângulo ADe retângulo, temos:

hc = b • sen Â

131. Medianas

Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo AMe, temos:

então

h~ = b2 • sen2 Ã = b2(1 - cos2 Ã) = b2 - b2 . cos2 Ã =

= b2 _ b2 • (b2 + c2 - a2 )2 4b2c2 - (b2 + c2 _ a2)2

2bc 4c2(2bc)2 _ (b2 + c2 _ a2)2

4c2

(2bc + b2 + c2 _ a2)(2bc _ b2 _ c2 + a2)

4c2

l(b + C)2 - a2Jla2 - (b - C)2]

4c2

(b + c + a) (b + c - a) (a - b + c) (a + b - c)

4c2

2p(2p - 2a) (2p - 2b) (2p - 2c) 4p(p - a) (p - b) Cp - c)4c2 c2

2ab+ 2c2

portanto

A

a2"

portanto De forma análoga teríamos:

hc .. ~ ..J pCp ••) Cp .;. b) {p • oi ·1 e

166-C 167-C

132. Bissetrizes internas133. Raio da circunferência inscrita

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABS, temos:

c sen a

zy

-J p(p - a) (p - b) (p - c) = p . r

A

B~~----""'--...:J""-------~C

portanto

então:

Ligando cada vértice do triângulo ABC com o centro I da circunferência,dividimos ABC em três triângulos ABI, ACI e BCI, então:

SABC = SABI + SACI + SBCI =

c·r b·r c·r a+b+c+--+ ----·r=p·r

222 2

=c

b+Cx

x + y

A

B i C

._...__X__-=:~__Y__~ I

c a • cb+c= x=1J+C

xa

sen a

=

x

y

b

y x cb = y =1)=

No triângulo ASS, temos:

Âsen "2

No triângulo ACS, temos:

Âsen 2

Então, vem:

xc

r S8 .=~ -J bcp(p - fi)b + c - a a + c - b b a + b - c __ p _ c (2)

x = 2 = p - a. y = 2 = P - , z = 2

Uma outra forma de calcular r seria notar que:

(1 )zê

tg 2"xÃ

tg "2

I.r= J (~,...-_a)_(_p_;_b_)_(P_-_C)

e mais:

x + y = c, y + Z = a, Z + x = b

portanto, resolvendo o sistema, vem:

a2 + c2 _ b2C • -----;.--__

2ac

bc[(b + C)2 _ a2]

(b + C)2

bc(2p)(2p - 2a)(b + C)2

(~)2 + c2 _ 2. (~)b+c b+c

2b2 c2 + c3 b + cb3 _ a2 bc(b + C)2

bc(a + b + c)(b + c - a)(b + C)2

s~ = x2 + c2- 2xc • cos § =

então:

De forma análoga ter (amos:e, finalmente, substituindo (2) em (1) vem:

e 10= ~-JabP(p - c) j Ir = (p -a) • t9 ~ 11 r=(p.- b).· te; 11...._r_=_._(P_-_C)_._t_9 _i_168-C

169-C

134. Raio da circunferência circunscrita

Vimos anteriormente que:

.~ I a 13 "V as distâncias do incentroc.408 Sendo r o raio do cfrculo inscrito a um trlsngu o e .' • Iaos vértices A, B, C respectivamente, demonstrar que.

Q • 13 • 'Y abc2P

EXERCICIOS

C.400 Calcular as alturas, as medianas, as bissetrizes internas e os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita a um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8.

C.402 Calcular a medida da bissetriz interna Sa do triângulo ABC em que Â = 30°, b = 30 me c= 15m.

C.401 Os lados de um triângulo ASC são a = 5, b = 6 e c = 7. Calcular a medidada mediana ma e o ângulo agudo que ela forma com o lado BC.

2prR

P4R + r

p

1 AA11 S = - (a2 • sen 2S + b2 • sen 2M

4 ~ "-(a2 - b2) • se~ A ;. sen S (A: =1= S)111 S = 2 • sen (A - S)

.,.~ B ""I) (b _ c) • cotg ~ + (c - a) • cotg "2 + (a - b) • cotg "2 = OIvl (b2 _ a2) • cot9

2A + (c2 - a2) • cot9 B + (a2 - b2) • cotg ê = O

A ~ ~ 11)(A, S, C =1= "2A B êV) t9 "2 • t9 2" t9 2

VI) ~ + t9 ! + tg ~t9 2 2 2A s êVIII sen 2" • sen "2 • sen "2

rVIII) cosA + cosB + cosê = 1 + R

IX) a • cos Ã + b • cOs B + c • cos ê

h 'Â' = 1T e 'B = '8' demonstrarC.409 Dados dois triângulos ASC e A'S'C' noS quais fio. +que aa' ~ bb' + cc'.

C.410 Provar que em todo triângulo valem as seguintes relações:abc4""; p(p - .8) (p - bJ (p - C)IR=

~b; ~ V p(p - a) (p - b) (p - c)sentão

C.403 Calcular os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo ABC no qualA 5a = 13, b = 4 e cos C = - 13 .

C.404 Designando por ra, rb e rc os raios das circunferências ex-inscritas ao triângulo ABCnos ângulos A, B e C, respectivamente, provar que:

Il Â ê 8ra = P t9 2" = (p - b) • cotg "2 = (p - c) • cotg "28 ê= (p - c) • cot9

Â11) rb = p tg 2" (p - a) col9 2" "2TRIÃNGULOS QUAISQUER

e B Â 111. RESOLUÇÃO DE111 ) rc = p tg "2 (p - a) cotg "2 = (p - b) • cot9 -

2

C.40S Calcular os comprimentos dos lados de um triângulo isósceles conhecendo r (raio dacircunferência inscrita) e ri (raio da circunferência ex-inscrita à base do triângulo).C.40a Demonstrar que é retângulo todo triângulo no qual o raio de um círculo ex-inscritoé igual à soma dos raios dos outros dois ex-inscritos com o raio do inscrito.C.407 Qual é a condição que os lados de um triângulo devem satisfazer para que o raio dacircunferência circunscrita seja o triplo do raio da inscrita?

5 R I triângulo qualquer significa calcular seuS elementos principais:13 eso ver um• . f - sobre

. A~ BA ê Para isso é necessário que sejam dadas tres In ormaçoesa b c , e .t I" do ao

, '.• ' lo sendo uma delas pelo menos, a medida de um segmen o Igao trtangu , •triângulo (lado, altura, mediana, etc).

Há quatro problemas clássicos de resolução de triângulos que trataremoscom destaque.

170-C

171-C

Notemos que o problema só tem solução se estes cossenos ficarem nointervalo ]-1, +1[, isto é, se:

R.ool." "m 'd'","'o oooh,",o'"~dois la~os (a e b) e o ângulo oposto a um, b.·.. ..• adeles (A) .• •

~Solução

136. lI? problema

Resolver um triânguloconhec~ndO

~:,,";§,'",!,'" do;, ''''"''''dj,",~...eiL ' .Solução . •.....•. ' .•• , _______________..... o r .....A = 180 - (B + el,

a • sen t3b = sen Â

a • sen êc = sen Â

137. 21? problema

a < b + c, b < a + c

139. 4I? problema

e c < a + b.

138. 31? problema

1 === ~ solução

Então

lI! caso: b sen Â > a

b • sen Â B~ >Então = sena

2t? caso: b· senÂ = a

b • sen Â ~ 1 = B~ __ 900

= sen B =a

bsen 8' = sen Â

aê = lBO° - (A + Bl

a • sen Cc = sen Ã

Discussão

cSolução

a = v' b2 + c2 - 2bc • cos Â

b2 2 2 ~ a2 + c2 _ b2= a + c - 2ac • cos B = cos B

2ac

C2 2 b2 2 ~ ~ a2 + b2 - c2

= a + - ab· cos C = cos C =2ab

Resolver um triângulo conhecendodois lados (b e c) e o ângulo que elesformam (Â).

cos Â

e existem dois ângulos 8'1 e B2, suple-

Resolver um triângulo conhecendoos três lados (a, b, cl.

Solução

Da lei dos cossenos, vêm:

b2 + c2 _ a2

2bc

cos B = a2

+ c2

- b2

2ac

a2 + b2 _ c2cos ê =

2ab

c

portanto, existe solução somente se Â < 900

, caso contrário Â + B> 1800

•

:P. caso: b· sen Â < a

b • sen Â ~Então = sen tl < 1

a~ b· sen Â o o

mentares, que satisfazem a relação sen B = . Admitamos O < B1 .;; 90a

e 900.;; 132 < 1800

• Os ângulos B1 ou 82 servem como solução dependendo de Â. Há três possibilidades.

1~) Á = 900

Neste caso só B1 é solução pois Â + 82 ;;. 1800

172-C 173-C

2~) Ã < 90°

Neste caso 8I é uma solução porém 82 só é solução se a < b, uma vez

RESPOSTAS

que:

3~) A> 90°

Neste caso 82 não é solução pois Â + 82 > 180°; quanto a 81 , só ésolução se a > b, uma vez que:

81 < Â = b < a.

EXERC(CIOS

CAPITULO

5': !!!. fil1n cod

4ri cl3n di cod el cod

7n bl cod cod 4 6C.2 el cod 2 3

6 3o o

di 120o

el 1350 fi 150

0

o 01 60C.4 ai 30 bl 45

l1n e57f ,ad

C., a " cod e b '612

=' 4°, b 7o

'" 2°C.1O a - . c

C.1327f cod ou 120

0

" o 3C.14 Q = 31,5 em

152°30' 01 150

C.16 ai 1600 bl

C.4l1 Resolver um triângulo ABC sabendo que a, b e c são números inteiros consecutivose ê: 2Â.

C,4l2 Resolver um triângulo retângulo ABC. sabendo que a: 5 e r: 1.

C.1S P, a P, A' P, a' P4Im x A

n 3n ~ 3n 77fn 7f .-x O '4 2 4 4 2

C.4l3 Resolver o triângulo A'B'C' cujos vértices são os pés das alturas do triângulo ABCdado: A': 180° - ZÁ, B': 180° - 28, ê': 180° - zê.

C.414 Resolver o triângulo A'S'C' cujos vértices são os pontos de tangência da circunferênciainscrita com os lados do triângulo ABC dado.

C.20

e a + c =

C,41S Resolver um triângulo ABC admitindo conhecidos B, ê e S.

6+4V5C,4l6 Resolver um triângulo ABC sabendo que b + c : 11, ha : 4 e Â : are sen 15

C.4l7 Resolver um triângulo ABC sabendo que Á: 45°, b: 3

C,4l5 R I • ~ 3V91eso ver um triangulo ABC sabendo que a: 3, b + c : 10 e A: are ,en 50

C.4l9 Resolver um triângulo ABC admitindo conhecidos 8, ê e ha· C.22

175-C

174-C

CAPITULO 11

e.2' Imlfl e [-2, 2). plf( e 2rre.34 Imlfl e [-3, -I). plfl e 2rr

e.40 ImW, [-1, 11, plfl e 2n e.48 Imlfl ~ [-2,2]. p(f( _ 2n

- -~ ...2rr

4rr

2

O

31------ ------j

j

O

j

e.49 Imlf( _ [-3, 31 plfl - 2rr

e.52 Imlf( _ [-1, 1). plfl

-3

e.50 Imlfl _ lo, 11. plf( - rr

lln12

'" 21T

a)..!. ~ m ~ 2,5 5

Imlf( [-1, I). plf(

e.44 Imlfl-[-1,3j, p(fl-"

C.42 Im(fl ~ [-1, 31 p(f) '" 41T

-1

3 -

e.41 Imlfl, [-1, 1). plf( _ rr

O

e.47

e.46

---~[.O I rr

-1 j

3r

t'O -------

:;; ~ --71T -------.----"

-1,--3- -------- --- 3"-----

2rr

3rr2"

3nT

rr"2

O

e.35 Imlfl e [-1, 3). plf( _ 2n

3

rf'~e.36 Imlfl - [,,3). plfl _ 2n

on rr"2

e.37 Imlf( - [-2, O). plfl _ rr

e.38 Imlfl - [-2, 4). plf) • 4n

3rr'8

rr "--

-3

O rr8

e.27 Imlfl, [O. 3). plfl ' rr

e.31 Imlf(, [-1, l).plf( e 6rr

e.32 Imlf( e [-3, 3J,plf( e ;

176-C177-C

C.53 (mlt( = [o, 2J. plfl 2.

•6n6'

b)

di

.. cotg

'" -sen

1T 11 311" 21r 51T"2 T T

o

3

2

4nkl cos - 3"

'.1- lln)3

C.121 aI seI' xc) -tg x"

C.122 cos2 xC.123 -sec2 xC.1241C.126

secx=-~7

-7cosx=2'5

sen x 11 ± v'32_,

tg x = '2

2425'

24 7tgx= 7,cotQ x= 24

cosx=±2~m + 1

8' + b'secx,",±~

y .;. 6

457y - 8

1cosxc:_2

sen x = -

m = 3 ou m = -1• _ 1

8' - 2b = 1

Y li: .! (3 _ a2)2

C.75

C.77

C.79

C.81

C.83

CAPITULO 111

C.74

C.84 tg)( = -2 ou

C.86C.87C.90

C.92

-

k E:lJ

•2

p(f)

C.58

C.50C.52

C.55 a) O(f) " {)( E IR I x =I: !!., + k _~ k E" ')6 3 . "'-

b} O(f) ~ {x E IR I x =/::- §~ - ~12 2'

C.56 YI > O, Y2 < O

C.57 Q: < 1 Ou Q ~ 4

C.59 D(f) '= {x E IR I x *' 3_ + kn k E z.J6 -2-'

C.54 'm(fj co [-1, 3],1.l(fl _ 2n3

COI ~ ""8

•t9 "8

CAPITULO V

84C.137 senIl(. + V) .. - ã5

cos(x + V) = 1185

tg(x ... vi = - -ª!13

C.145 Dlt) = IR. plt) = f. Imlf) = [-1. 1]

Dlo( = IR. pio) = 2n. Im lo) = [-2. 2]

Dlh( = {, E IR I '* !!. + k1T}4

p(h} '" 1T, Imlhl = IR

CAPITULO VI

n -/2-V2C.127 sen ã = --2--'

~-/2 +V2

C.I29 A n B = {-I. O. 1}o 1 o V3

C.130 seI' 930 '" - "2' cos 930 = - 2

tg 9300

'" V3, cotg 9300'" Vi

3

sec 9300

= -2;J3, cossec x '" -2

C.132 cotg 1650 = -(2 + VJI

sec 2550

= -1V6 + V21cossec 15

0 = V6 + Y21

C.133 "3

C 134 V2• 2.

CAPITULO IV

C.,17 al cos 1780 = -cos 2°b) seri 251 0

.. -sen 71°

c) t9 2900 = -t9 'Ó7n n

d) cotg "'6 '" cotg 6'el sec 1924o = -sec 56

0

fl cossec 231T = -cossec 1T6 '6

g) seI' (- !.!.. I = sen ~6 5

h) cos(- ~ I = cos .!!.3 3

tg(- ~ I = t9 ~4 4

,')' 211T 1TseI' """"4 = -seI' '4311T 1T

k) cos ""6 = -cos 6ll1T 11

-tg - 3 = -tg "3

C.118aI s8n261° =_coI9°bl cos 2861° "'" cos 19

0

c) t9 511° = -tg 29°4n •

d) seI' "'3 = -cos 6"2n n

e) cos ""3 = -seI' '65n ~

fI tg 3" = -cotg ~

g) seI' ~ = seI' !!.5 57n rr

h) cos 6" = -cos 6'

i) tg !.!E" '" -t9 ~5 5

il senl- ~ I '" cos 1T3 6

,I'III

1

IIIIIi

IL"..15

I

IIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

2nt--6:II

II

b) m .,,;,;: ~ Ou3

C.lO D(f) ~ {x E IR I x =F 2!. + krr. k E:lJ~

0(9) "- {x E IR I x * !!. krrk EZ}4 2

Dlh(.{,EIRi,*_ rr+ k1r, k EZ}4

p(f) '" rr. p(g} '" n, P(h) '" 2rrC.l1 ,( m ~2

cJ O ~ m < ~ ou _ < m"::;; 23 i 5

C.72 YI > O, Y2 < O, y] < O

'""3

+01

·1 j 52 j _

A-~----01T"-----___ 4

O ~ -~ - ----.- - 7I-----grr

-1 -.4 __ 4.___ --'-4--.::4

I

C,55 Imlfl = [-1, 11. plfl _ 2.

C.56 ImU) CO- [-2. 21 pU) - 2rr

C.57 ImU) 1-3, 11, p(f) 27T3

178-c

5rr 97T 13n}8" 8' 8

17n}18

7rr 1111". 211"}66

~ + k7T ou2

~ + k1T}4

E + k1f}4

~ + k1T ou x '" k7T}4

!!..- + kli}4

rr + 2kn6

1f _ 2k1T6

S = {x E IA I x '" ~ + 2k7T ou

x '" 1T + 2kn}

bl S '" {x E IA I x .. +

x =

01 S = {x E IR I x ~

bl S = (x E A I x o

c) S = LX E IR I x '"

di S ~ {x E IR I x ~

y ~

C.228 a}

C.226 x =

C.214 p = ~ +' k, l<. E..l':

r 7T 5rr 137TC.217 S '" t 18 ' 18' ""ij""'

{ "- ~ n}C.2l9 S ~ O, 5' 5 .

3'Il ""}5' 5

C.222 S = ta, i, ~ 1T

C n ~}C.224S='4"' 4

{ n ~}C.225 S = 4"' 4

C.213 S = {x E IR I x = ±

S = {x E IR I x", ,* + k1f}

j) S '" {x E IA I x"'; + ~ ou

n + ~}x '" 3 2

I ~ + k1T}C.212 aI S '" {x E IA x '" 4

b) S = {x E IR I x '" 1~1T + 2kn ou

x '" ~ + 2k1T}2

n 37T nC.230 ,I S = {O, '2' n. '2' 2n, '8'

{ n ~ 2n}b) S ~ o. '2' n, 2 •

C.231 S = {x E IA I x .. ~ + k1T ou x = kn}

C.233 As equações têm solução 'para _ r::: m ~ + V2ai 'I m E IR bl - V 2 <;;

I 2kn ou x '" ± 1TC.236 a) S =- {x E IR x '" m + n m _ n

m '" nl}

rr + ~ oua+b a+b

n +~}X=- ã='"b a-b

1f + 2k3

n O"

12

~ + 2krr}4

C.221 S '" {O,rr + 2k1f}"""3

~ Ou2

!"'.}3

:E" +18

x =

B = 11" C'" 21T6' 3

I !!.. +bl S = {x E IR x ~ 12

n + kn}5

~ + kn}5

cl s ~ {x E IR I x = ~ + kn}

di S = {x E IR Ix = ~ + kn}

.1 s = {x E IR I x ~ ~ + kn}

ti s = {x E !'lI x = k;}

gl S = O

hl s ~ {x E !'l Ix. i'ã + 'i-}

- ~ + ~}C.199 a) {x E IR I x '" k7T ou x - 8 4

1f + 2k7Tb} {x E IR I x = 2k7T ou '5 5

aI s = {x E IR Ix = ± ~ + 2k1T ou

x = !! + kn}2

fi S = {x E IR I x ~ ± T+ 2krr}

gIS={xEIRlx=2kn}

h) S .. {x E lA \ x '" 2k1T ou x '" ±

I E 'R I x = ± ~ + 2kn}il S '" ,x 3

j) 5 = {x E IR. I x = ± ~ + 2k7T,

+ 2n + 2k1T}x = - "3

knC.206 a) S '" {x E IR I x = k1T ou x = "2

!!.. + knC.20a aI x '" Y '" 4

b) x '" !!.. + kn4

Y + x = ~ + 2kn

n ~,c '"n

C.200 a ~

"3' b ;"

3 "3kn n + knn + y ~ - "2C.201 x = "2 "2 2

{x E IR I x = ± 2n + 2kn}C.204 a} S ~ "3

{x E IR I x ~ ± 3n + 2kn}bl S ~ -.{xEIRlx=± n + 2kn}01 S ~ 6

= {x E IR I x = ± n + 2kn}di S "3

C.2ll ai s = {x E IR I x ~

bl s ~ {x E IR I x =

b) y = _ :

~ + 2kn}4

5n }x .. "6 + 2kn

x • 2kn _ ~ }

e) sen (p + q) • sen (q _ pJ

f) sen (p + ql'sen lp _ q)

g) cos {p + q I • COS lp _ q}

h) cotg (b - a)

il tg (..!L + ~) • cotg (!!.. _ !.)4 2 4 2

C.175 ..! lcos 6x + COS 2x)2

C.168f(x) '" Itgxl, Im(f) '" IR+

D(f) ~ {x E IR I x '" ~ + kn}. p(f) ~ rr

C.169 Dlf! ~ IR. p(f! ~ T' Im(f) ~ [O, ví]

C.174 aJ 2· sen b • cos (a + c)

b) 2. cos (a + b) • cos b

c) 4'cosr'cos~ 'sen 2a + 3r2 2

dI 4· cos b • cos Jl. • cos 2a + 3b '2 2

51T + 2krr~6

C.178 aI y = - ...!. (2 + V2}4

V2+ 1c) y = --4-

C.188 D(f) '" IR

p(f) '" 11

Imlf! = [- V2. + v'2]C.189 p(f) '" 7f

x =

5rr + 2krr}"6

~ + 2k1T ou

b) v'1õ - 2 V26

x =

+ 2k1T 0" x = 7n + 2k1T 0"6+ 2k1T 0" x = 5n

+ 2kn}"6

bJ S '" {x E IA I x '" 1T + 2k1T Ou x = §E + 2k1T}5 5

c) s = {x E IA Ix '" ~ + 2k1T ou x '" _ !!.. + 2krr}3 3

d) S '" {x E IA I x = ± !!.. + 2k7T, x '" ~ + 2k1T ou x =4 4

el S = {x E IA I x '" !!.. + 2k1T ou x = ~ + 2k1T}2 2

f) S .. {x E IA J x .. ~ + 2k1T Ou x = !!.. + 2k1T ou2 5

C,146 p(fl = i2

C.l48 "3

C.150 a) ~

-44C.162 sen 3x '" 125

C.153 20352197

,) s • (x E IR I x = ~

h) S '" {x E IA I x '" ~

i} S '" {x E IR Ix =. kn ou

5V7C.154 tg 3x '" - -9-

C.155y~_ v'32

C.159 a) plf! ~ n. D(f) ~ IR. Imlf! ~ [-1. J]

b) pl,l ~ ~, DI,) ~ IR, Iml,l ~ [O. 2]

01 plh) • !!.., D(hl = IR. Imlh) ~ [ '-. 1]2 2

n nC.160 p(f) = 1T, p(g) '" '2' p(h) '" '2

V3 xV2C.164 sen T '" 3' tg "2 = 2

C.165 sen -i- =} 10 ;07 Y'2

~ '" }10 + 7 V'2cos 4 20

t, "'- = /10 -7\l24 10+7v'2

1T+x rr;C.1G6 tg ( -2- ) = + v' '3

CAPITULO VII

C.195 aI S = {x E IR / x", 11 + 2k1T ou x = ~ + 2k1T}7 7

j} S = {x E IR I x = k1T ou x = f + 2k1T}

C.195 S = {x E IR I x • ± ; + krr}

C.197 S .. {x E IR I x = i + 2kn ou

180-C181-C

o a =2..[21213

C 322 x '" ~ y = 25 z '" 144, t = 13. 13 ' 13 ' 13

C.323 cJ- ~ 'Yb, Il' = '1', <{J' = b" cJ- + Il' = '1', aIJ = 'Y<{J,

cJ- = b' + <{J'

C.32439C.325 25C.327 h = 8 ou h =2

C,3285C.329 12

C,330 R V 2 - V'1.C332 = 16V3 b=8v'Í e- 8

• a 3' 3

C.333 a '" 16, b = __'_6__ , e = __16__

V6+V2 V6-V2C.334b = 3 o e = 3V3

C.336 are t9 fi e are tg ftC.336 AoBo • eossee

204

C.337 are t9 "3C.339 2 V37C.M0 8 V3

34

C.341 2 • are sen '5

C.342 â = 26°34'

C.343 C = ..!.. are sen 42 3 Y3

C.344 B"" 2· are tg tv'2 - 1)

C.345 are sen fi e are sen

C,347 h = 3 V6m

C.320 S = {x E IR I '!. < x < ê!}4 4

CAPITULO IX

C.315 {x E R I ~ + k1T <; x < 2!. + k'll' ou3 2

ou --!t- + k1l' < x <;;; 21r + k1f}2 3

C.317 Otii;x<!. ou 1T~X< ~ ou4 4

!!.. <x< ~ ou ~ <x< ?-4n ou3 4 3

~ :!ii;x <'1'1" ou '!!! <'x<211'6 6

C.318 O <; x " i ou 1T ~ x =s;;;; ~ ou

3n / / 13n n / / 5n"2 ...... x ..... Sou 2' .... X""lt S

C.319 {x E RIo <. x < ~ ou ~ < x ~ 7; ou

!!. < li( < ~- ou ~ < x < 511' ou3 3 3 3

.!!1!. < x ,;; 2n}6

<x< ~}3

~ + 2kll' ou6

~ + 2kll'}6

~ + 2k1f ou

'!. + 2kn}3

+ 2k1T < x < ~ + 2krr}2

<x<ê!}3

!': .. a';; ê!}6 6

~ <a .. ê!}3 6

ou :!!!2

.! + 2kll' ~ x <; ~ + 2k1r ou3 6

~ + 2k1r ~ x <; 5fr + 2k'Jl'}6 3

! + 2k1T < x < ~ + 2kll' ou6 6

?!!. + 2k1T < x < 1111 + 2kll'}6 6

C.312 {x E IR I!!... + krr < x <!!- + k1f}3 2

C 313 {x E IA I !L + k1f < x :Ç 1T + k1f}. 2

C.314 {x E IR I 2k1T '" x ~ i + 2kll ou

271' + 2k1T < x '" Z.!!. + 2k1f ou3 6

51T + 2kn < x < 21T + 2k1T}'3

C.308 {x E IR I !!: < x < !!.3 2

C.309 {x E IR lo <x <f}

C.310 ai S = {x E IR I n + 2kn < x ,;;6

bl S = {x E IR I !!:2

C.306 {x E IR I iC.307 ai {a E IR I

bl {a E IR I

C.291 S = 0C.293 {x E IR I n + 2kn < x <

6

71r + 2kll' < x <'6

C.294 {x E IR I ~ + 2k1T '" x 'li;

x = 2kn}

C.296 '~x E IR I !:. + 2k1T < x < 211' + 2kll'}2

C,29B {x E IR I n <; <; I1n 13n <; x" 23n }12 )( 12 ou 12 12

C.299 {x E ~ IO <;, x < ~ ou ~ < x < ~ ou

~<x<?!!.ou ~<x<~ou6 6 3 3

!!:!' < x .. 2n}6

C.301 {x E IR I f < x < n}

C,302 lx E IR lo <; x < ~ ou .3f < x <; n}

C.303 \x E IR I ;; <; x';; ~}

C.30S{xEIAI!!. ~x<.!!: ou §!! <:x=< 7Tr ou6 2 6 '6~<x"'!!:!'}2 6

C.290 {x E IR I

C.289 {x E IR I

+ 2k7l'}

dl_"

75315625

n ou4

.x""ê!}4

el 512

5n'6

+ 2kn}

b) ± 4'5

';;x';; ~}6

.!!. + 2k1T < x <6

bl S = {x E IR I x = !!.2

C.287 2k1T ~ x ~ ~ + 2kll'

n n nC,262 o, '3' :4 ,- 6'

C,264 ~

ou

~ + 2kll' ~ x " 211' + 2k1l'3

C,28B {x E FI I n + 2kn < x < ?!'.. + 2kn4 4

C.284 {",E IRI %C.285.1 {x E IR I

CAPITULO VIII

C,266 oi ± ~

C,282 {x E IR I 3:' ,;; x';; ?!'.}.9 9

~ :E;;; x:E;;; 13,"9 9 '

1411" rr""""9 E;;; x ~ 21T ou O '" x '" 9"'

C.283 {x E IR I .!!.- ,;; x <; ê! o x ""12 12

131T ~x~ 171T, 12 '2

+ 2k1f, 1~rr + 2kn < x < 211' + 2k1T

§1! + 2kll' ~ x ~ l!!. + 2k1T6 6'

~ + 2kll' "'" x < 27T + 2k7T6

O + 2kll' ~ x ~ .! + 2kll"}6

C.277 {x E IR I .! + 2krr < x < ~ + 2krr ou4 4

~ + 2k7l' < x < ?1! + 2krr}.4 4

C.279 {x E IR j ~ + 2krr :E;;; x ~ ~ + 2krr ou6 6

?!!. + 2k1J' ~ x ~ !.!1!' + 2krr}6 6

C.281 {x E IR I!!. < x < ~ ou12 '2

13n <x< 17n}'2 12

di 45

5n + 2kn}6 C,272 {x E IR 12kn .;; x ,;; n + 2 kn}

C,273 {x E IR 12kn + '!:" <; x ,;; 2kn + ê!}3 3

C,274 {x E IR I2kn ,;; x < ;;, J,f + 2kn < x';; ~

2035cl - 2197

t + k1T ou

x = 47T _ a + 2k1T}3

x==-!!..+~}8 2

2425

e) 247

~?1!~~!..!E'}6'8'3'3'6

?!'. ~ !!:!' 13n ~} C,276 {x E IR I8'8'8'8'8

?!'.}.4

5n }.3

bl

bl 323325

~+--f---=-c--~-'"x

s={;;,

bl s = { f,els={i,

- ~65

x = + V22

b) grMico

C.237 ai S = {x E IR Ix = kn ou x = 'T}bl S = {x E IR I x = ± ~

x::: ~ - a + 2k1T ou3

c) s '" {x E IR I X" ~ ou

C.238 S = { !!., ~}4 4

{ n 5n }C.239 5 '" O, "6' "6' 1T

C.240 S ~ {x E IR Ix = ~ + 2k1T ou x c

C.241 b) x '" ..!!: + 2k1T e y '" 2k1T2

C.242 a = are sen 2 - V2 b = E.2 4

C,246 ai

C.260 aI

C.259 al

C.266 2 v5'5

C.257 f - A

n 2n3' 3'31T S1T

a' B'31T 51T4' 4'

di S = {n 2n 4n3' 3' 3

oi S = {o, J, 2n}

C.247 O. i, ~. ~. - fC.2~ tg(arc sen 2. )::: 3 V7"

4 7

C,251 ai V51-6 + V3i15 + 2 V3

n n nC.2530, 3"' 4"' "2' 1T

C.265 sen(src cos - 1.. l = 45 5

182-C 183-C

min

min

211711

e) 72°

min e 4 h 38

min e 4 h 38

d) 42°

511311d) 4 h 5

b} 142°40'

d} 141°30'

b) 4 h 5

b) 2C! quadrante

d) 40 quadrante

mio

min

b) -1 < x':;;O1

e} -1':;; x < '3

511512

b) 30°

min e 4 h 38

min e 4 h 38

a) 142°30'c) 142°e) nenhuma das respostas anteriores

c) 4 h 5

a) 27°

2a) 4 h 5 11

511

~ 1? quadrantec} 3C! quadrante

e) nenhuma das alternativas anteriores.

a) -l':;;x<l

d) -1 .:;; x .:;; 22

TC.l OTA-72) O ângulo convexo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10

horas e 15 minutos é:

TESTES

FUNÇÕES

TC.2 (FUVEST-77) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e

12 minutos é:

TC.5 (UDESC-74) Os arcos cujo cosseno é "f2 podem estar nos quadrantes:

a) 1C! e 4C! b) 1C! e 20 c) 10 e 3C! d) 2C! e 30

e) nenhuma das opções é correta.

e) nenhuma das respostas anteriores

TC.4 (PUC-70) Sendo O um ângulo positivo, então (571 - O) pertence ao:2

O2x - 1

TC.6 (PUC-76) TodQs os valores de x. de modo que a expressão sen ~ --3- exista,

são:

\ TC.3) lITA-73) Entre 4 e 5 horas o ponteiro das horas de um relógio fica duas vezes em

\"./ ângulo reto com o ponteiro dos minutos. Os momentos destas ocorrências serão:

6V6-5-

16v'i5-'5-

ha ha_,e=--_sen C sen B

b) (J = 90° el 73%

C.400 alturas: 3 v'15 -'15 3..Jt52 .V10. -4-

med;aoas:V46. v'31. ViO

bissetrizes: 12 -Y15 2· r:67 ,Vtl.

inscrita: V:. circunscrita:

C.401 ma = v'145 are eos 26

2 10 v'145e.402,O V3

3 9C.403 r = "2 e R= 8

C.41ga '" hahgB + tgêl. b '"

e Ã '" 1800

- (ê + C)

abT

e ê '" are cos ..!5

C.413 a' '" R • sen 2Â. b' = R • sen 28

c'=Rosen2ê '

C.414 Ã' '" ê + ê â '" A+ ê ê' = B+ ÂC = 30°) 2'..... 2' 2

A Ba' '" 2(p - a) ·sen "2 ~b' = 2(p - b) • sen 2'

e c' = 2(p - cl ·sen E.2

e.415 b " c = 5. â = ê = !'. _ .'. • "C seo 3 v'9i2 2 -'-0-

C.416 a = 3 + v'2O. b = 5. e 'O-' 6

r v6 r 3B = arc cos 3' C '" are cos s-

e.417 e = 3 v'2. c o 3 1-./6 + Y21 . B= 30° ê o 115°2 •

C.418 a '" R ·sen ui + êl. b '" R ·senS.

c = R • sen ê e Ã = 180° - (B + êl. onde

CAOS a = 2~ e b = c = (r' + rl~(r' - r)

C.407 abc = 6 la + b + cl

C.411 a = 4, b = 5. c = 6, Â", are cos 3"5

ê = 1800

- JÁ. ê = 2Â

e.412 b = 3. c = 4. íi = ",c seo 34"

C.393 ha(tg a: + tg {li

C.394 S .. 7 V3m2

C.395 (2 + v"'12l cm 2

e.39650 V3m'C.397 2 V 41 - 20 V3m

C.39B aI

725'

~ '2C=aresen _13

C.355 ê '" 30°, ê = 60°, b '" 2, e = 2\Í3

C.366 a '" 2, b = e = vi B'" ê '" !!..4

C.357 a = 14, b .. e = 25, A '" 2 • are sen

ê"C=areeos !......25

C.358 a .. 13, b '" 12, e = 5

B= are sen !..!, ê = are sen É.-13 13

C.359 a '" 4. b = e = 2 vi â '" ê = 1r4

CAPITULO X

e.361 c = ViIie.362 4 fim e 4 V7 m

C.363 are sen 5

2 ";4' - 20 Y3C.365.Â = 45°, â = 60° e ê = 75°

C.366 8 = are cos ~90

e.369 c = -1 + v'136

e.370 7 Y2. 2 v'29. Y'i3oC.373 aI retângulo b) obtusângulo

c) acutângulo

e.374 j' +2V5 < q < 1 +2V5

C.377 B = 120° e ê = 45°

C.378 t8 = 45° e ê = 120°1 ou (8 = 1350

C.379 B = 30Q

e A = 900

C.380 Ã = 30°, ê = 90° e ê .. 600

e.381 c = 3 V3m

C.3S2 a = 2p • sen asenO' + sen(3 + sen (a + (j)

b = 2p • sen (jsen a: + senf3 + sen (a: + Ih

e= 2p·sen(a+(j)sena+sen~+sen(O'+{3)

C.3S4 a = "y = are tg Y353. (3 '" are tg 3 V31'3

C.34S h '" d{tg(3 - tgo1

e.348 H = h [t.~ + 1]t."C.350 1233mC.351 x = 40 m e y = 90 m

C.353 â .. 60°, ê = 30°, a = 2 V3 e e '" V3C.354a=13,b=5.e:12,8=aresen 5

'3

C.3S7 88 m

C.389 ê = 750

C.390 ê = 57°30'

e.391 B= 2 • acc cos ' + Y32 Y2

C.392 b) sen a'" V5- 1--2-

184-C 185-C

TC.7 (MACK-731 o conjunto dos números reais a para os quais a equação Sen x = a + a-I

tem solução real em x é:

a) IRd) {k11 I k inteiro}

bl \25 cl {l, -1, O}

e) nenhuma das anteriores.

TC.15 (CESCEM-701 Assinalar a desigualdade verdadeira para todo x:

a) Icosxl + Isenxl;;'l bl loosx - senxl.;;;; 100• xl - lsenxl

cl Itg xl;;. Icos xl dI Itg xl;;. lsec xl

e) nenhuma das alternativas anteriores

aI (-1; OI b) [-1; O) 1 1y.L-jO; "2) d) lO; 1) e) (2"; II

TC.9 (PUC-751 O valor numérico da expressão:

y = cos 4x + Sen 2x + tg 2x - sec 8x 11é:para x "2

aI 2 b) 1 cl 3 d) O el 4

TC.a ICESCEM-77) Se x E 111; 311 I2 e cos x = 2k - 1; então, k varia no intervalo TC.16 (CESCEM-73) Entre as afirmações abaixo, uma e apenas uma, é verdadeira. Assinale-a:

a) - O seno e o cosseno são funções tais que quando uma cresce a outra decresce

b) cos x - sen x ~ O, para todo x real. pois cOS x >- sen x

xc) tg 4" é periódica de período 211, pois a tangente é uma função periódica de

pedodo 11d) 1 - 2 • sen x • cos x ;;'0, para todo x real, pois Isen x - cos x)2 = 1 - 2 •

. sen x • cos x

TC.11 IMACK-751 O valor máximo de y = 2 sen x + cos 2x, O.;;;; x < ~, é:

TC.10 ICESCEM-75) O menor valor que assume a expressão 15 - sen xl; para "x" va

riando de 0° a 360° é:

a) 7

a) 1,5

b) 5

b) 2

A15

cl 2,5

d) 1

d) 3

el -1

e) 00

TC.17 ICESCEA-73) Sejam x e y dois números reais tais que O.;;;; x < y < ~. Assinale

a afirmação falsa:

aI 2tg x < 2tg y

b) cos x < cos y

c) sen x < sen y

d) não sei.

TC.19 lPOLl-581 Se x e y satisfazem O < x < y < ~ e z = sen x - tg Y • coS x, então:

TC.18 lGV-701 A função Flxl = sen x • 10g1 x é:2"

aI sempre negativa, para O<X<11

b) sempre pOSitiva, para O<X<71

c) positiva para O<x<l e negativa para l<x<11

dI negativa para O<x<l e positiva para l<X<11

11 11el positiva para O <x <"2 e negativa para "2<X<11

a) para cada y. z é uma função decrescente de x

bl para cada x. z é uma função decrescente de y

cl z pode ser nulod) z é sempre positivo

e) nenhuma das anteriores

n = O, 1, 2... Pode-se afirmar que:

de números reais que se obtém fazendoConsidere a seqüência

1na expressão y =: sen X-'

a) a seqüência não é convergente

b) o limite da seqüência situa-se no intervalo fechado [-1; 1]

c) zero é um termo da seqüência

d) a seqüência converge para +1 ou para -1

e) o limite da seqüência é zero

TC.20 (CESCEM-7312

x= ---11 + 2n1l

TC.12 (CESCEA-73) Assinale a afirmação verdadeira:

a) Para todo a real, existe x real tal que tg x = a

b) Existe x real tal que sen x = a _ a';;;; 1

c) Existe x real tal que sec x = a _ la I .;;;; 1

d) não sei

TC.13ICESCEM-72) Os quadrantes onde estão os ângulos OC, 13 e 'Y tais que:

senOC < O e oosOC < O

oosl3<O e tgl3<O

sen'Y > O e ootg'Y > O são respectivamente:

aI 3':',2':', 1':' b) 2':',1':',3':' cl 3':', 1':', 2':' d) 1':',2':',3':' el 3':',2':',2':'

TC.14 (SANTA CASA-77) Se Flx) = cos x, então:

a) Fl~) < FI~) < Flv21 < Fll,5)

b) Fll,5) < FI;) < FI~) < F(v21

c) FI~) < Flv2) < Fll,5) < Flfl

d) Flv21 < F(l,5) < Fl v3)< FlE.l2 2

e) Fl~) < Fll,51 < FIV21 < F(~l

186-C"0"7 I"

TC.26 (CESCEM-71 I Oual dos seguintes conjuntos de valores de x poderia constituir umdomínio para a função 109 sen x?

1T < c) 321T < x < 21Ta) x ~ O b) "2 < x 1T

TC.28 (CESCEA-73) A figura é um esboço do gráfico da função:

TC.27 (CESCEM-75) A função que melhor se adapta ao gráfico abaixo é:

x

IK=0,1,2, ... i1T2el x '* K.O, 1, 2, ... 1(K

31T4

a)x

y = sen 2"

blx

y = cos"2

c) y = sen 2xd) y = cos 2xe) y = sen x

d) x '* K.

TC.21 (FFCLUSP-691 A solução de sen2 x + sen4 x + sen6 x = 3 é:

a) x = k ~ I k um inteiro qualquer)

bl x ~ k1T (k um inteiro qualquer)

c) x ~ : + k1T Ik um inteiro qualquer)

1Td) x ~ (2k + 11"2 (k um inteiro qualquer)

e) nenhuma das respostas anteriores é verdadeira.

TC.22 ICESCEM-73) Considere a equação trigonométrica sen x + sen 2x ~ 2. Então:

a) existem soluções todas irracionaisb) existem soluções todas racionais

1T 1Tc) x ~ "2 + 2k1T ou 4" + k1T; k E;Z

d) não existe x que satisfaça a equaçãoe) x = O

TC.24 (GV-74) Seja n o número de pontos do conjunto {x E IR I O~ x ~ 21T} nos quais

tg x não está definida. Então n é igual a:se" 4x

x

..x

a) 1 IX bl = 8x2y ~ 1092 ( 16 y

clsen (1Txl

di I..!-Iy -~ yx

e) y :; eX

189-e

ai Isen xl

bl sen2 x

c) 1 - Isen xl

di 1 - Icos x Iel Não sei

a) y x2

b) y Isen x I

c) y Isecxl-1d) y Icos xl

e) y ~ Itgxl + 1-21T -1T 1T x

TC.31 (GV-74) As equações abaixo representam curvas, num sistema cartesiano de coordenadas de eixos x e y. Só uma destas curvas não passa pelo ponto x = -0,5; y = 2:

TC.29 ICESCEM-731 Oual das funções abaixo melhor se adapta ao gráfico?

TC.30 (MACK-77) O gráfico abaixo pode ser da função:

1T"2 + k1T, com

el 8

1T Y-1Tai y = cos X,

2 ~x~"2o domínio da função f, dada

-1T ~x ~!!..b) y = cos 2x,2 2

-1T ~x~~1T

c) y = sen 2x,2 2 2

di não sei

d) 11c) gb) 4

k inteiro relativo e tem valores no conjunto ]_00, -1] U [1, +00(.

a) 3

e) a função secante está definida para todo x real, diferente de

ai {x E B I x '*!!.. e x '* O}2

bl {x E B I x '* 1T}

. c) {x E B Ix,*31T}2

d) {x E B Ix~31T}2

el não sei

TC.23 (CESCEA-72) Seja A C B = {x E IR I O ~ x ~ 21T}1 - sen2 x

por: í(xl ~ 1 + sen x· Então, A é igual a:

TC.25ICESCEA-75) Assinalar a afirmação correta:

a) a função tangente está definida para todo x real, é sempre crescente e temperíodo 1f.

bl a função cotangente está definida para todo x real, diferente de ; + k1T, com

k inteiro, é sempre crescente e tem perfodo 1T.

c) a função cossecante está definida para todo x real, diferente de k1T, com k inteiro e tem valores no intervalo [" ~[.

d) a função seno está definida para todo x real e é sempre crescente.

188-C

TC.33 (EAESP-GV-77) O período da função dada por y = 3 sen (2nx + 2!.) é:2

TC.34 (STA CASA-731 Em relação a função y = 2 sen x + 3 cos T pode-se afirmar:

TC.32 (EESCUSP-691 O período da função 3 cos 4x é:TC.39 (MACK-75) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g dadas

por:

é:

e) maior que 3

representa a área sob o gráfico(vide figura 1). Baseado nisso,

n nx E [4' 2') (vide figura 2i

y

-n < x < n,

d) 3

comg(xl = cos (2:. + x)2

c) 2

e

b) 1a) O

f(x) = -lcos xl

a área sob o gráfico de f (acima do eixo dos xl com

y

TC.40 (FAAP-74) Para cada t E [O, n), A(t) = 1 - cos t,de f (acima do eixo dos x) dada por fix) = sen x

ne) "4

ne) 4d) 1

nd) 2

c) 2n

2nc) ""3

nb) 2

b) 3n4

1aI 2'

na) a) 8

54

x

cl 2 YiO15

../2el 2

O

dI 12

d)~(2n + 112

x

cl 1

2' tg () () 3 <1 _ tg2 e quando cos = - "7 e tg () O, é:

b) 2 YiO- -3-

n - 1c) (n+1)2


yI3b) 2

-../22

vale:

aI

a) 4 YiO-3-1-

dI 3 YiO7

TC.41 (PUC-75) O valor da expressão 25' sen2 x - 9· tg2 x sabendo que cossec x

e x é do primeiro quadrante é:

IDENTIDADES FUNDAMENTAIS

ai 2 b) 3 c) 4 d) O el 1

TC.42 (GV-76) Se sen a 24 e é negativa, então o valor de 1 - cos aseca25 1 + cos a

é:

a) ~ b)~ c) 2 di .! e) 14 5 4 3 2

TC.43 lITA-74) O valor da expressão x =

n - 1 2 1TC.44 (CESCEA-701 Se sen x = -- ,então, 19 x + é igual a:

n cotg2 x + 1

ny(x) = y(x + 2)

y(xl = y(x + 4n)

el é positiva

cl é nula

c) é tal que

e) é tal que

b) está entre -3n e-n2

b) não é periódicaa) y(xl = y Ix + 2n)

d) é harmônica simples

b) {x E IR x =t- !!.. + 2kn, k E;Z}. IR e 2n2

{x E IR I n 5n }c) -- < x < - IR e n4 4 '

di {x E IR 1_!!..<x<.!1:} IR e 2n2 2 '

ei não sei

ai é um múltiplo de n

d) esté entre -2n e -3n2

aI {x E IR I x =t- - ~ - kn, k E ;Z}, R e n

TC.38 (CESCEA-75) Dadas as curvas y x2 e y = cos x, assinalar dentre as afirmaçõesabaixo, a verdadeira:

a) elas não se interceptamb) elas se interceptam numa infinidade de pontosc) elas se interceptam em dois pontosd) elas se interceptam num único pontoe} elas se interceptam em três pontos

TC.36 (CESCEM-731 Uma reta pela origem, de coeficiente angular negativo, tem três e somente três pontos em comum com o gráfico da função y = sen x. A menor das três cor~

respondentes abscissas:

TC.37 IMACK-741 A intersecção dos gráficos das funções seno e tangente para O < x < 'Ir

a) é vazia b) contém um e um só ponto c) contém o ponto de abscissa -id) contém mais de um ponto e) depende da escala usada

TC.35 (CESCEA-74) O dom(nio, a imagem e o período da função f(x) = tg (x - ~) são,

respectivamente:

190-e 191-e

TC.45 (CESCEM-76) Sabe-se que sen x = a *0 e cos x = b *0.

TC.46 (MACK-73) As raízes da equação 2x2 - px - 1O um número real. O valor de p é:

a) zero b) 2 c) 4e) nenhuma das respostas anteriores

equações:

2 • a • sen Oa • cos O, a > ° temos:

b) (x + y)2 + (x _ y)2 = (x + y)a

d) impossível eliminar O

x • sen O + Y • cos O =

x • cos O - y • sen O =2 2

a) (x + yl3 _ (x _ yll = 2a(x + y)22 2 2

(x + yll + (x _ y)l = 2a3c)


TC.54 lITA-731 Eliminando O nas

e) 1a2 + b2

Logo, tp x + cotg x

sen O e cos O, sendo° são

d) 5

c) aba2 + b 2

aba + b

b)I a + ba -

ab

TC.55 (MACK-76) O valor de k, para o qual

(cos x + sen x)2 + k sen x cos x - 1 == O

TC.57 (CESCEA-751 Considere a figura aolado:

TC.56 (CESGRANRIO-76) Na figura o raioOA do circulo vale 6. O segmentoOB vale 3 e o segmento CB é perpendicular a OA. A medida, em radianos, do ângu lo O é A

e) 2

;fiVX

d) 1

e) 3118

c) °

d) 2!:9

cl 114

b) -2

bl 116

a) 113

é uma identidade, é:

a) -1

(II 11 cos

20TC.49 CESCEM-70) Se u = - +2k11, k inteiro, então --- é igual a:2 1 - sen O

ai tg O bl sen O• cos O c) 1 + cos e d) 1 + sen Oa) nenhuma das respostas anteriores

TC.48 (CESCEA-72) Assinale a afirmação falsa:

a) {x E IR I sen2 x + cos2 x = 1} = IRb) {x E R I 3· sen2 (3x) + 2· cos2 (3xl 6} = (25c) {x E R I sen4 x + cos4 x = 1} = IR

d) {xE R I sec2x>tg2 x + 1}=0

e} não sei

TC.47 OTA-71l Seja x E (0, ~). Qual afirmação abaixo é verdadeira?2

a) sen x + cos x~1 b) sen x + cos x

~2cos x sen x cos x sen x

c) sen x + cos x#2 d) sen x + cos x

= 2cos x sen x cos x sen x


TC.50 (PUC-70) A expressão: cossec x - sen x é identicamente igual a:sec x - cosx

O comprimento do segmento MN é:

e) ..j2 - 1d) 1 _ v02

b) ..j2 + cl - v0 +v0

a) ..j2 - ~2a) cossec3 x

d) eCos n

tem o mesmo valor numérico que:

c) tg!!...4

a) 2 sen !!...4

TC.58 (GV-741 A expressão v'COS11+log216-esen2n

b) cos!!...2a) não sei

4 4TC.51 (CESCEA-71) A expressão: cos x - ;n x é equivalente a'

1 - t x

a) cos x + sen x b) cos x - sen x cl cos4 x d) sen4 x

TC.52 (GV-75) A expressão1

cl sec xai2

cos xb)

sen x

sen x+ cos x

+ + tOS X

sen xé igual a:

d) 2 cossec x e) cos x+ sen x

TC.59 (GV-721 Sabendo-se que x+y= 11 11 então, sen x + sen y é igual a:e x-y= 2'3

a) v'2 b) 1 cl v'3 di .! el v02 2 2

a) tga±cosseca b) tga ± cosa

TC.53 (CESCEA-73) As raízes da equação: x2 - (2· tga)x - 1TC.5O (CESCEM-751 O seno de um dos ângulos agudos de um losango é igual a +portanto

a tangente do maior ângulo interno é:

c) tg a ± sec a d) não sei

° são

a) -1 b) _ v'3"2

c) _ v'3-3- d) v'3

3el v'3

""2

192-e 193-e

TC.63 (FE 1-66) Se 3 então sen(x + !!-.) é igual a:cos x =5' 2

a) 3 b) 3 c) ~ d) - 4

5 5 5 5

sen 2 !!- + sen2 21T + 2 31T + 000 + sen 2 g 1Tvale:sen

3 3 3 3

a) O b) Y2 cl 1 d) 9 e) 92 2 2

TC.52 (CESCEM-74) Dado o ângulo a = 1782°, então:

° ° °a) sen lX.= -sen 18, cosa = cos 18. tga = -tg 18

b) sen a = -sen 18°. cos a = -cos 18°, tg a = -tg 18°

° ° °cl sen a = sen 18, cos a = cos 18 . tg a = tg 18

d) sen a = sen 18°, cosa = -cos 18°. tg a = tg 18°° ° °e) sen a = sen 18 cos a = cos 18. tg a = -tg 18

TC.51 (FAAP-75) Conhecida a fórmula:

(CESCEA-71) Em cada uma das questões de TC.70 a TC.74 é dado o gráfíco de umafunção definida em IR. Dadas as denominações:

I - função ímpar;11 - função não limitada;

111 - função periódica;IV - função par;V - função identidade.

Assinale:

a) se as denominações I, 11 e 111 forem verdadeiras para o gráfico da Questãob) se as denominações 111 e IV forem verdadeiras para o gráfico da questãoc} se as denominações I, 11 e V forem verdadeiras para o gráfico da questãod) se as denominações 11 e IV forem verdadeiras para o gráfico da questãoe) não sei

TC.69 (CESCEM-71) Dizemos que uma função real é par se f(x) = f(-xl e que é Impa rse f(x) = -H-xL Das afirmativas que seguem indique qual a falsa:

a) o produto de duas funções ímpares é Uma função (mparb) O produto de duas funções pares é uma função parc) a soma de duas funções ímpares é uma função ímpard} a soma de duas funções pares é uma função pare) alguma das afirmações anteriores é falsa

senlnx) • cos [In + llx]2 • senx

então a soma2

sen x *' O,tal quex E IRválida para todo

sen2 x + sen 2 2x + sen 23x + o •• + sen2 nx


cos(900 + x) + cos(1800 - x) + cosl3600 - x) + 3 cosl900 - x)TC.65 (GV-75)

sen(2700 + x) - sen(900 + x) - cos(900 - x) + sen(3600 + x)

e) nenhum dos anteriores

TC.72TC.71

é ígual a:

21T

5dI -sen

d) 1

21T

5

2 cos1Tsenl1T-x)sen( 31T + x)2

c) -1

cl senb) _ 21T5

1Tx = 5"' o vaI ar de

21Ta) cos 5

é igual a:

a) cotg x b) -tg xe) nenhuma das anteriores

TC.64 (MACK-76) Se

Te.57 (FFCLUSP-67) log tg 1° + 109 tg 2° + 109 tg 3° + . 0+ log tg 8g0

TC.68 (PUC-77) Qual das funções abaixo, é função par?

TC.74

e) -1

.l. e) f(x) = senxx

d) f(x)

d) O

d) 89

cl f(x) = xS

c) 1b) cos aa) 6 cos a

a) f(x) = 1 b) f(xl = xx2

a) O bl 1 cl 44,5e) nenhuma das respostas anteriores

TC.56 (MACK-75) A soma dos 12 primeiros termos da série

cos a, cosia + 1T). cosia + 21T) é:

194-C 195-C

TRANSFORMAÇÕES TC.82 (GV-73) Sendo x um arco de quarto quadrante e sendo1

sen x = - 2' o valor

TC,75 ICESCEM-73) Sabe·se que tg 75° 2 +..[3 e tg 60° ~ Vi O valor de tg 15°/ é:

I

e) 15

vSe) -2

d) 65

vSdI 4

então o valor de tg2 x é:

então o valor de cos 4x é:

23'

c) 35

vSc) -4

b) 1

vSb) 8

11

5a)

de sen 4x é:

vSa) -8

TC.83 (CESCEM-70) Se cos 2x 2· cos2 x -

a) 2 cos4 x - 1

b) 8kos4 x - cos2 x) + 1

c) 4 cos2 x - 1

di 4 cos4 x - 2 cos2 x + 1

e) nenhuma das alternativas anteriores

Te.84 ICESCEA-77) Sabendo·se que cos 2x

e) 2 - vSc) vSb) -..[3

..-aI sen la + b) < sen a + sen b quaisquer que sejam a e bbl sen la + bl > sen a + sen b quaisquer que sejam a e bc) sen (a + bl > sen a + sen b somente se a > bd) sen (a + b) < sen a + sen b somente se a < be} nenhuma das anteriores

1ai 3

TC.76 (MACK-75) Se O < a < ~ e O < b <; então:

b) -21-1 + 2a2 - 2a4 )

d) 411-a2 -a4 )

TC.77 (PUC-71) Para todo x real, sempre vale a relação:

a) sen2 x - cos2 x -1 pl 2 • sen x . cos x = sen 2xsen x I

cl tg x = , dI tg x = 1 + sec2 xcos x

e)cos x

cotg xsen x

TC.85 IGV-75) Sendo x um arco do primeiro quadrante e

2 cos2 x + sen2 2x é igual a:

a) 2(1 - 2a4 )

c) 2(1 - 2a2) +4a~e) nenhuma das anteriores

sen x = a, a expressão:

TC.78 (MACK-74) A expressão:

N ~ sen e< • cos e< • cos 2e< • cos 4Cl • cos BC< • cos 16e< • cos 32e<

é equivalente a:

TC.86 Sabendo que3 4

então sen 2a + cos 2a é igual a:sen a = 5 e cos a = 5'

aI14

b)31

c) 9di

17 e) 185 25 5 25 25

e 9 funções definidas por f(x) ~ cos 2x e g(x) ~ sen2 x - 1.ai N = sen 63e< bl N = sen 64Q

d) Ncos 64Cl e) N sen 64e<26 --26-

TC.79 (FEI-67) O menor período da função f(x) = sen x

c) N = cos 64e<

COS x é:

TC.87 ICESCEM-77) Sejam fEntão, f(x) + g(x) é:

a) -cos2 x - 1dI sen2x

b) sen xl2 cos x + senx) - 1e) O

c) _sen2x

TC.80 (MACK-771 Sejam as funções fi e f2 de domínio IR, definidas por

fllxl = senx + cosx e f2lx) ~ 3senx cosx.

sen 2x = 2 sen x cos x. Portanto, sen 4x =

Sendo 1i e 12 os conjuntos·imagem de f I e f2,C C

a) 11=1=12 b) 12=1=1 1d) nenhuma das afirmações acima é correta

e) nenhuma da~s respostas anteriores

é idêntica a:+ tg x1 - tg x

~1 + tg x

d) não sei

b) tg 2x

cl tg 4x

aI sec 2x

TC.88 IMACK-741 O período da função f definida por f(x) = sen4 x é:

a)11

b)11

c) d) 211 el {f2;2

114

TC.89 (MACK-741 O período da função f(xl = sen2 3x - cos 4x é:

aI11

b) 11 c)211

d) 211 e) 51112 3 6

TC.90 ICESCEA-73) A expressão:

c) 2sen2xcosx

11d) 2

respectivamente, tem~Se que:

c) 11 ~ 12el Não sei

c) .E4

b) 4 sen 2x cos 2xe) 2 sen 2x cos 2x

b) 2kl1a) 11

TC.81 (CESCEM-76) Sabe·se que

a) 4senx COSX

dI 2 senx cos 2x

196-C 197-C

TC.91 (CESCEM-73) Seja f(x) = tg (x + f) . tg (x - ~) podemos afirmar que:

1ra) tlO) = -1 e f( 4") = O

b) qualquer que seja x, f(xl está definida e vale -1c) se x = k1r, f(x) = -1 e se x =F k1r, tlxl =F -1 (k E~Idi se x;;. O, tlxl = -1e) f(x) = -1 nos pontos onde a função estiver definida

TC.92 (MACK-74) Seja w = tg ex + cotg ex com

e) 2xx2 + 2

2xd) 2x2 _ 1

d) nenhuma das anteriores

c) 2x1 - x 2

xbl 2x2 + 1

2xa) x2 + 1

1a) cos (21

tc) sen (21

1rTC.98 (MACK c 74) Sendo u a medida em radianos de um ângulo e v = 4" - u, a expressão

sen u + cos US em função de x = cos v é:

= V2' sen u • cos u

TC.99 (UNB-74) Para O,,;;; t ,,;;; 21r a expressão: TV2(1 - cos t) é igual a:

cl w = 1,5

1rO < ex < "2 ' então:

bl -1 ,,;;; w ,,;;; 1el w ;;. 2

ai w";;; 0,5

d) o maior valor de w é 2

TC.96 (MACK-761 Se tg x = m e tg 2x = 3m, m > O, o ángulo agudo x mede:

ai 15° bl 60°

x

12"c) sen a

\\

"-....-

y

V23

Da figura abaixo pode-se concluir diretamente que:

nenhuma das respostas anteriores

bl sen a =

d)

1"2 então tg a vale:

V32

1

a) sen a

d) sen a

aTC.l02 (CESCEA-691 Se tg 2

TC.l0l (EESCUSP-681 Se cotg -i- =..J3 então:

TC.l00 (MACK-731 Seja O < ex < ~,

ex ,~exai tg 2 = 2

a se" ab) tg 2 ~ + cos ex

a + cos O::c) tg 2 sen ex

o: - se" exd) tg 2 1 _ cos ex

ex Jl-senael tg 2 = 1 + sen ex

e) 3 • cotg x

+ se" 2x- sen 2x

cI

é:

cotg x3

3 • sen 2x1 - cos 2x

+ 2 • se" 2x- sen 2x

cl cotg x d)1 + cotg2 x


bl- 2t - t 2

cI 1 + t 21 + t 2

el+ 2t - t2

+ t 2

b)

bl cotg x3

cotg xai

a)

di 1 + 2t - t 2

TC.95 (ITA-941 [~]2 vale:1 + tg x

- 2 • sen 2x

1 + sen 2x- se" 2x+ sen 2x

TC.94 (MACK-691 Outra forma para a expressão

TC.93 (EAESP-GV-771 Se tg x = t, então, cos 2x + sen 2x é equivalente á:

a) (1 - tl2

~

a) f(x) = 2 para todo x em D

b) flx) = 3 para todo x em D

cI tlxl = e 3 para todo x em D

d) tlxl não é constante em D

el nenhuma das anteriores

198-C

x x < <1rTC.l04 (MACK-76) A expressão tg 2 + cotg 2 para O x 2' é equivalente a:

199-C

e) cossec x

e) -2

+ COS x- cos x

d) cotg x

di

+ sec x

c) tg x

cI 2

b) 2 sec x

di 2 cossec x

b) cos x

b) 34

e) 2 tg x

c) 2 cos x

a) 2 sen x

a) sen x

4ai 3

TC.l03 (PUC-70) Simplificando-se a expressão:n = " 2, 3, ... }. Com respeito à função

cos (3eX)cos eX ,podemos afirmar que:

n1rx =F log 2'sen (3e XI

sen eXf: D -+ IR, definida por tlxl =

d) 30°

TC.97 IITA-77) Seja D = {x E IR I

rr n aTC.1OS (FEI-731 Se 0< a n < -2 ecos lan) = cos ( 2n .1; vale:n + 1 • TC.112 (PUC-761 sen Cl + 2 sen 2Cl + sen 3Cl é igual a:

el

ai 2-(-n-n+-1)

2nd) n + 1

bl J 2n + 12n + 2

1n2

1 J n + 1eI 2 1 + -n-a) 2'cos2Cl' sen2 !! bl 4 sen 20: • cos2 ~

2 2

c) sen 20: • cos 2Q' d) 3 sen 20: • cos 2a

e) 3 sen 2 • cos 2Cl

TC.l07 IITA-751 Sabendo·se que sen x

Então a e b valem respectivamente:

tg I~ -~) é igual a:4 2

real tal que x *-

y = cos x + cos 2x

Temos, então que:

b) P = cos~ x • Ig bx2

é:

a+b a-beI P = 2· sen 1-

2-lx • cos 1-

2-)x

di p" sen la + b)x • sen la - b)xel nenhuma é válida

TC.114 IMACK-77) O menor valor que y pode assumir na igualdade

TC.113 IITA-701 Seja P = sen2 ax - sen2 bx.

a) P = sen ax • cos bx

1, b = O

é válida para todo x

c) a

n > O em> O, podemos afirmar quem - nm + n'

tg x = a • cotg x + b cotg 2x

b) a = -2, b = 1

el a = b

igualdadekrr2 .

1. b = -21, b = 2

ai adi a

TC.106 IFFCLUSP-671 A

e) não sei9d) -8

di Isen x - sen yl

bl Isen x - sen yl

c) -1

sen (a - xl + sen 12a - 3xlé o mesmo que:

cos la - x) + cos 12a - 3x)

~xl3

- 2xlbl cotg (a - eI -tg 12' a2

el nenhuma das anteriores

7b) -83

a) -4

3a) -tg (a - 2' x I

3d) cotg 12 a - 2x)

TC.116 IGV-751 A expressão

x - y x + yTC.116IMACK-74) Sendo sen x - sen y = 2 • sen -2- cos -2- e lembrando que

Isen zl ,,;;; Izl; Icost\";;; 1 e la' bl = lal • Ibl; podemos afirmar que, para quais·

quer números x e y reais:

a) Isen x - sen y I ,,;;; ~2

cl I,en x - senyl,,;;; Ix - yle) nenhuma das anteriores

a)n

blV;;;

eIn

1 -m n m

di~ e) nenhuma das anteriores

TC.1OS (CESCEA-76) Transformando·se em produto a expressão cos 70° - sen 60° obtém·se:

a) -2 cos 5° cos 66° b) 2 cos 5° cos 66°c) -2 sen 40° sen 20° d) +2 sen 40° cos 20°e) -2 sen 20° cos 40°

TC.109 (GV-741 Assinalar a afirmação verdadeira:

ai sen 20° + sen 30° = sen 60°b) cos200 - cosl00 = cosl00cl sen 20° + sen 30° = 2 sen 26° • sen 86°d) cos 20° + cos 30° = 2 • cos 26° • cos 85°el sen 30° + cos 30° = 1

TC.110 {GV-73) A expressão sen x - cos x é idêntica a:

TfTC.117 IMACK-74) Sendo u a unidade em radianos de um ângulo e v = 4 - u, a expressão:

em função de x

2xe) x2 + 2

.J2 lei - - (1 - V 3)

8

2xd) 2x2 + 1

COS v é:

2xeI ~

vale:

__x_b) 2x2 + 1

sen u + cos U

s ;:o; V2 . sen u cos u

rr 8rrTC.118 IPUC-75) cos 12 cos 12

a) - .J2 1-v3 + 118

d) - ....ri 12V3 - 118

a) v'-i. sen (x - ~I4

b)1 rrY2 . ,en Ix - '2 1

eI 2 • sen Ix + !!..)4

d) v7.. sen (x + .!!.)2

el ..J3 . sen Ix - ~I3

TC.l11 (MACK-761 A expressão sen 1136° + x) + sen 1136° - x) é igual a:

a) .J2 sen x b) V3 cos x eI -1 d) .J2 cos x e) -v7. sen x

200-C 201-C

TC.119 (MACK-75) Simplificando-se: 4 • sen a • sen (600- a) • sen (600 + aI obtém-se:

a) sen a b) sen 3a c) sen 2a di sen 5a e) sen 4a

TC.123 (PUC-76) Os valores de x que satisfazem a equação

a) x = 71T +kE-· k O. ±1, ±2,30 3 '

cos(3x - E-) = O, são:5

TC.120 lITA-69) Para que valores de t o sistema

{

X + V = 1T

sen x + sen y = 10910 t2

admite solução:

a) 0< t < 10d) 0,1 <t <;;; 10

TC.121 (GV-75) O gráfico de V

bl O < t < 1011 cl O < t < 102

e) nenhum dos intervalos anteriores

sen x - cos x, para O ~ x ~ 1T é:

b) x 711 + k E-. k = O, ±1, ±2,15 3'

cl711 + k ~. k = O, ± 1, ±2,x =2 4'

di711 + k ~. k = O, ±1, ±2,x5 2 '

e) 711 + k~' k = O, ±1, ±2,x4 6'

seja múltiplo de 11b) que la - xo)

d) a = arctg XQ

= 2k1l, k E ;Z

ai x = ~ onde a é inteiro3

b) x = qualquer inteiro positivo

c) x = ~ onde a é natural2

d) x = qualquer racional


c) a

a) a = tg Xo

11

2el la - xo)

TC.126 IEESCUSP-68) As soluções da equação sen 1Ix sen[1I. (2x + 11] são da forma:

TC.125 (CESCEM-73) Se o ponto (xo; vo) pertence ao gráfico da função V = tg x, entãouma condição necessária e suficiente para que o ponto (a; Yo) também pertença a

este gráfico é:

para o qual 9-COS x = 1 é:TC.124 (MACK-76) O menor valor positivo de x, 3'

ai E- b) E- c) .E.... d) E- el211

6 4 3 2 "3

bl

Y21

vz:1

e)

Ix

-1 -1

V

===:=-_-~-_-_-_: -=- =-I

I I I II 111/2 I I

--+-----r--I---+--rIX

I I I--+- --+--,

____ L __ J

ai

Vi1

EQUAÇÕES

TC.122 (FUVEST-77) No intervalo E- <;;; x";;; 11, a equação2

V 1 - sen2 x + cos x = - V2

TC.1271ITA-77) Resolvendo a equação tg(2 109 x

a) x = 11 + k1l' k = O, 1, 2,"3 'bl x e1l/2 ± k1T. k = O, 1,2,

c) log x = .!!. ± k1l; k = O, 1, 2,6

d) x = e1T16 ±2k1T; k = 0,1,2,


.!!.) - tg (log x + .!!.I6 3

o temos:

TC.128ICESGRANRI0-77) O número de raizes da equaçãoa) não admite solução

cl admite como solução 211x3

e) admite como solução x 11

bl admite como solução x 3114

d) admite como solução x 511

6 no intervalo [11, 311] é:

aI 2 b) 1 c) 3 di 4

cos x + sen x O

e) O

202-C 203-e


TC.130 ICESCEA-70) Se a é a menor raiz positiva da equação Itg x-li· (4 • sen2 x - 31 = Oentão, o valor de sen4 a - cos2 a é

TC.132 ICESGRANR 10-761 No intervalo [O, 6rr] a equação trigonométrica

COS 2x + 2 sen2 x + 2 O

TC.129 IMACK-751 Se tg 4x + tg (2x - E.I = O rr entãopara O<x<"2" x pode serigual a: 4

a) rr bl 3rr cI 5rr d) 7rr16 24 24 24

d) krr + 3rr2

cl x = O

para O,,;;; x <.JJ... é:2

cl krr

b) x = 3rr4

b) 2krr


a) 2krr + E.2

d) não existe x que satisfaz a equaçãoe) nenhuma das respostas anteriores

a) x = rr4

ai x = O

blrrx =6

cI = Orr

x ou x6

dirrx3

e) rr rrx = ou x

2 3

TC.137IGV-75) O conjunto de todas as soluções da equação cos2x' tg x = sen x, é o

conjunto dos números x tais que, x é igual a:

TC.136 IGV-73) Dada a equação cos2 x - 2 • sec2 x 1. com O,,;;; x ,,;;; rr, então

625COS2X

TC.135IGV-75) A solução da equação: 25cos x

bl possui exatamente duas raízesd) possui uma única raiz

a) possui uma infinidade de rarzesc) não possui raízese) possui exatamente três ral'zes

a) 5 b) O c) 1 di V3 e) 116 4 2 2

TC.131 ICESCEA-751 A soma das raízes da equação - 4 • cos2 x O, compreendidasentre O e rr é:

a) E. b) rr c) 3rr di 5rr e) 7rr3 4" 6 "6

de a. Assinale o item que lhe parecer correto:

TC.134ICESCEM-73) Os valores de x entre O2 • sen2 x + Isen x I - 1 = O são:

a) 1 < a < !4

bl -2 < a < ~4

c) -1 < a < -.!.4

di 1 < a < ~2


d) a = !!.. + krr el a = 2krr2

O, ±1, ±2 ...

cI a = krr4

bl a ~ krr

Em função de um número k inteiro relativo, todas as soluções da

a) rrx =-4

rrb) para todo x E lO, 2")

c) para nenhum valor de x

d) para todo valor de xi'nE. onde n2

e) apenas para x no terceiro quadrante

são dadas por:

a) a = krr2

TC.139ICESCEM-72) A expressão: sen6 x + cos6 x = 1 3' sen2 x' cos2 x

a) é uma equação trigonométrica que só admite raízes no primeiro quadranteb) é uma equação trigonométrica que só admite um número finito de raízes.

cl é uma identidade trigonométricadI é uma equação trigonométrica que só admite raízes positivase) é uma equação trigonométrica que não admite raízes

TC.140 IiTA-71) Qual é o menor valor de x que verifica a equação tg x + 3· cot9 x = 37

TC.138 ICESCEM-73)equação:

21r que satisfazem a equação:

-1

e

l1rr6

x =7rr .6'

1sen x = ou sen x

2

sen2 3x _ cos 3x = a tem solução para valores particulares2 2

5rr. x6 '

x =rr.6'

c)x=rr

b) x

a) aqueles para os quais

d) x = ±!!... + 2krr; kEZ2

el x rr. x 5rr. x =3rr

6' 6' 2

TC.133 (ITA-69) A equação

204-e 20S-e

TC.141 (MACK-77) Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo não is6sceles sãoraízes da equação (em x):

3 tg x + k2 cotg x ~ 4k.

TC.147 (PUC-73) Se~ ~ 1 - sen 2x, então os valores de x são:1 + tg x

Então:

a) k ~ bl k ~ Y33

cl k ~ Y3 d) k ~ .23

el Não sei

ai k71 (k ~ O, ±1, ±2....1

cl 2k71 + 71 (k = O. ±1. ±2, ...1

71el k71+ 2 (k=O, ±1. ±2.... )

bl 2k71(k=0. ±1, ±2... .ldi 2k71 - 71 (k = O, ±1. ±2.... 1

ai {;, -i' o} b) {E. _.7I.} c) {-1' E.}6' 6 3

d) { _.7I. E} el não sei3 ' 6

TC.143 (CESCEA-71) O conjunto solução da equação 3· tg2 x + 5

fechado [- %' %1 é:

TC.142 (UNB-741 Se sec2 x + tg x

c) igual a s6 para x ~ O

d) peri6dica de período %el sempre diferente de 1

TC.148 (MACK-741 t(x) = cos2 (x - %) + cos2 (x + E.I é4

ai igual a para todo x real;

b) igual a exclusivamente para x E.+ kE. k sendo inteiro4 2'

TC.149 (POLl-681 No intervalo O ~ x ~ 271 o número de soluções da equação trigonométrica cos9 x + cos8 x + cos7 x + ... + cos x + 1 = O

no intervalo7COS x

d) nenhuma das anteriores

então:

.J55

7 = O

bl cos xa) cos x

TC.144 (FEI-731 A equação

ai nenhuma solução

sen 2x = sen x,

b) 2 soluções

no intervalo

cl 3 soluções di 4 soluções el 5 soluções

ai é zerob) é umcl é doisdi é quatroel nenhuma das anteriores

TC.145 (ITA-721 Assinale uma solução para a equação trigonométrica

Y3 . sen x + tas x = Y3 TC.150 (ITA-71I A equação {sen(cos xl}' {cos(cos x)} = é satisfeita para:

log (sec ai = k

TC.151 (GV-721 Sendo O < x < 71, a equação 2 log sen x + 109 2 = O tem por solução

TC.152 (ITA-721 Quais condições devem satisfazer 8 e k para que a seguinte igualdadetenha sentido?

e) nenhuma das anteriores71 371d) 4' 4

5716

b) x = O

di todos os valores de xpertencentes ao terceiro quadrante

c) 716'

bl!!.. 2713' 3

a) !!..4

a) x =714

cl nenhum valor de xel todos os valores de x

10ge m. Quais as condições

a) x = 2k71 - .7I.6

bl x = 2k71 + .7I.6

cl x = 2k71 _ 712

di x = 2k71 + E2

el nenhuma das respostas anteriores

TC.146 (lTA-731 Seja a equação (loge ml • sen x ± cos xsobre m para que a equação admita solução?

ai m >0 se x (2k + 2.171 m >0 e m * 1 se x * (2k71 + 2.)712 . 2

bl m*O se x (2k + 2.)71, m;;'Oe m *e se x * (2k + 2.)712 2

cl m >e se x (2k + ..!. )71, m ;;. 1 se x * (2k + -.!...1712 2

d) m >_..!. e m *0 se x = (2k + 2.171 m *0 se x * (2k + ..!.)71e 2 ' 2


ai71 71 k;;'O b) _E <a < E k <O-"2 <a <"2' 2 2 '

c) 71 71 k>O d) E < a < 371 k;;'O-"2 <a ~ 2' 2 2


TC.153 (MACK-77) O número de soluções reais da equação x2 - x - cos x = O,-71 ~ x ~ 71 é:

a) O b) cl 2 di 3 el Não sei

206-C 207-C

TC.154 (SANTA CASA-771 O menor valor de x que satisfaz à equação log x = cos x estáentre:

TC.155 OTA-71) Dada a equação 109 (cos x) = tg x, as soluções desta equação em xsatisfazem a relação:

a) 37T < x ,,;;;; 22

d) -!!... < x <!!...2 2

e} nenhuma das respostas anterioresel não seid) -37T

5c) 7T

10b) -7T

10a) 37T

5

a) {x E IR I x ;;. ~} b) {x E IR I ~ ,,;;;; x ,,;;;; 2}2 2

c) {x E IR I O ,,;;;; x ,,;;;; 2} dI {x E IR I -2 ,,;;;; x ,,;;;; O ou 5 ,,;;;; x ,,;;;; 4}2


TC.160 (MACK-77l O valor de arcsen (cos 337T) é:5

TC,159 (MACK-73) O domlnio da função definida por V = arc sen (~) é:

e) 3,2 e 4.0

c) O < x < 7T

d) 2,4 e 3,2c) 1,6 e 2,4

b) O <x < f

b) 1 e 1,6a) O e 1

TC.162 (PUC-71) Estando as determinações dos arcos compreendidas entre O e f. entãoo valor da expressão

e) v'3""2

e) O

dI V33

dl~3

_1_) é:1 + a 2

are cos

c) 3

__1_ +1 + a2

bl 1

b) -V3

v = sen (are sen

a) V2

aI ~2

TC.161 (MACK-74) O valor de tg 2 (arc sen V3) é:2

c) -V2obtemos:

a) eX = k7T ±!!.... k = O, 1, 2. 3....4-J3

b) x = 1090 (2k7T ± ""2 7T), k = O. 1. 2,

c) eX = k7T + ~. k = O. 1. 2. 3....

k 7Td) x = 101le12' 7T - '6), k = 1, 2, 3.


TC.1560TA-761 Resolvendo a equação

3 sen2 (eX) - 2 -J3 • sen (eX) • cos (eX) - 3 cos2 (eX) = O

TC.158 (MACK- 74) Sejam f, 9 e h funções de A em A. onde A = [-1, 1J. assim de

finidas:

ou

FUNÇÕES CIRCULARES INVERSAS

cx-{3b)

cx{3+~d) ~(CX-{3)

cx{3 - 1c)

cx{3~ -1e) nenhuma das respostas anteriores

TC.163 (ITA-72) Para todo cxe{3; 1{31<1. aexpressão tg (arctgcx+arcsen{3) é igual a:

aI -(3 +CX~cx{3-~

cx-{3

TC.164 (PUC-70) 2 arctg ~ + arctg ~ é igual:3 7

a) 37T bl !!... c) !!...2 3 2


TC.165 (L1NS-671 Admitindo a variaçao- de arcsen x no intervalo fechado [ 7T 7T] a- 2' 2'solução da equação arcsen x = 2 arcsen ~ é:

aI x = -2

b) x = 1

x *' n7T. Quais

a)O<t<~1 e3

b) "3 ,,;;;; t ".,2 ou1 2

c) e4 < t ,,;;;; e3

d) t > O e t *' 1


f(xl - sen x; g(x) = sen7Tx; h(xl - !!... x.2

TC.1570TA-731 Seja a equação 3 tg 3x = [300ge t)2 - 410ge t + 2]tg x.as condições sobre t para que a equação acima admita solução?

1 7

ou e3 < t < e ou t > e3

Podemos afirmar que:

aI todas são inverslveisc) s6 uma é injetorae) s6 uma é injetora e sobrejetora

b) todas são sobrejetorasdI s6 uma é sobrejetora

c) x = 7T

dI x = k7T ± !!..4


20S-C 209-C

solução de arcsen 2x - 3 arcsenx = O tem:TC.166 (MACK-75) o conjunto

a) O elementosdI 3 elementos

b) 1 elementoe) 4 elementos

c) 2 elementos

INEQUAÇÚES

TC.168 (MACK-76) Sendo f(x) = arc sen x e g(x) ~ 1 + cotg2

x. o valor de

é:

TC.167 (VALEPARAIBANA-72-SJC) Resolvendo e equação

( 1 + eX ) + arctg ( 1 - eX ) = 11arctg 2 2 4

obtemos:

a) X = O bl x ~ ± 1 c) x ~ ±2e) nenhuma das respostas anteriores

dI x = ±3

(gOf)( .!.. )3

TC.I72 (CESCEA-74) A solução da de1igualdade sen2 x - } ;;. O no intervalo [O, 11] é:

11 31ra) O < x < - ou - < x < 71

4 4

bl !:. < x < 3114 4

c) .!!. < x < 2713 3

d) O < x <.!!. ou 571 < x < 716 6

e) não sei

TC.169 (ITA-71) Consideremos a equação {loge (sen x)Y - 1090 (sen x) - 6 = O aIs)

solução (esl da equação acima é dada por:

a) x ~ arcsen(e 2) e x ~ arcsen(3)

cl x = arc tg(e2) e x - arc cos(3)

1 1b) x ~ arc sen ("2) e x = arc sen ( 3")

1d) x ~ arc sen( -;2 )

TC.173 (CESCEM-72) Considere a desigualdade sen x + sen2 x > O; pode-se afirmar que:

a) só está satisfeita para x no primeiro quadrante

b) só está satisfeita para x entre O e 1T

c) a desigualdade que se obtém substituindo·se x por -x é equivalente à desigualdade dada

d) os valores de x que a satisfazem são precisamente aqueles para os quais sen x > O

e) existe x no terceiro quadrante que satisfaz a desigualdade

e) 9d) 1c) 89

bl.!..9

a) 179

Xl ~.!!. e xn +1 ~ arc tg tv'tg xn) • n = 2. 3, ...3

TC.175 (GV-72) A solução da inequação .J2. cos2 x > cos x no intervalo [0,71] é:

cl O<x<7I

e) não sei

371b) 7I<x < 2"

11d) O <x < 2"

aI O < x < 211

TC.174 (CESCEA-71 I A solução da inequação sen 2 x < 2 sen x, no intervalo fechado[O, 271] é:

c) S ~ 2bl S = -1


Nestas condições, podemos assegurar que:

e) nenhuma das anterioresdI S = 1

00

TC.171 (ITA-72) Consideremos a função S(X) ~ Ln = 1

ra que valores de x temos 10';; S(X) .;; 207

(sen x)n, onde O < x < 112

Pa-

a) O<x<.!!. !:.<x<7I b) O<x<.!!.271

<X<114

ou2 3

ou3

71 271 .!!. < x < 271c) O <x <6 ou "3 <x<11 d)4 3


TC.176 IMACK-75) Para O < x < 271, o conjunto-solução de (sen x + cos x)2 > 1 é:

a) arc sen 9 .;; x .;; arc sen 1910 20

b) arc sen 10 .;; x .;; arc sen 209 19

c) arc sen 10 .;; x .;; arc sen 2011 21

dI arc sen V2 .;; x .;; arc sen v'32 2


aI {x E IR I O < x < %- }

{x E 11 7I<x< 3271}b) R O <x < 2" ou

{x E 71 371 }cl IR 2"<x<7I ou 2" < x < 271

{x E 371 }d) IR 2" <x <271

e) 0

210-e 211-'C

TC.178 (MACK-73) Se O.;; a';; 1T e, para todo x real, x2 + x + tg a >t então:

TC.l77 liTA-761 A inequaçãotal que:

a) 45° < x < 60°d) 60° < x < 75°

4 sen2 x - 2(1 + v'21 sen x + v'2 < O tem uma solução x,

b) 0° < x < 30° c) 35° < x < 45°e) nenhuma das respostas anteriores

TC.182 lS. CAR LOS-68) A inequação Icos x I ;;. sen x, O < x < 21T li válida se e somente se:

1TO .;; x .;; 21Ta) O <x < 2 bl

o';;x';;~ 31T .;; x .;; 21T d)1T .;; x .;; ~ 1Tcl

4e

4 2 2

e) O';;x';;.!!..8

e) não existe Q nestas condições

b) .!!..<a<~4 2

c) ~ <a< 31T2 4

aI o<a<:

31TdI a = 4

TC.179 (CESCEA-71) A solução da inequação

fechado [O, 21T] li:

sen 2x • lsec2 x - ~I .;; O,3

no intervalo

TC.183 (MAUA-69) Todos os arcos entre O e 21T radianos que satisfazem à desigualdadecos x + fi .. sen x > V2 estão compreendidos entre:

a)1T 71T

bl1T 71T

radianos12

e12

radianos6

e6

cl1T 1T

radianos dI nenhuma das respostas anteriores4

e2

a) ~ .;; x .;; 1T ou 31T .;; x .;; 21T2 2

b) O';;x<.!!.. ou 1T .;; x < 31T2 2

c) ~';;X<1T 31T.;; x < 21T

2ou

2

dI ~<X';;1T 31T< x .;; 21T2

ou2

e) não sei

1TTC.184 liTA-71) Seja n um número inteiro n > 1 e x E lO, 2l. Qual afirmação abaixo é

sempre verdadeira?

a) (1 -senx)n;;'1 -n' senxb) (1 - sen xl n ;;. 1 - n • sen x, para apenas n parc) (1 - sen xl n .;; 1 - n • sen xd) II - sen x)n .;; 1 - n • cos xe} nenhuma das respostas anteriores

cl 2k1T < x < (2k + 1)1T

b) (2k - 111T < x < 2k1T

TC.185 lGV-75) Para que y = log (1 - sen2 x) tenha valores reais, devemos ter, para k inteiro:

1TaI x =1= 2 + k1T

x-v x+y= 2 sen -2-- cos -2-

• bl = lal • Ibl, podemos

e lembrando que

afirmar que, para

1TdI x =1= "2 + 2k1T

e) k1T < x < (k + ll1T

TC.186 (MACK-741 Sendo sen x - sen y

Isen zl .;; Izl, Icostl .;; 1 e laquaisquer números x e y reais:

I ~aI Isen x - sen y';; 2

Ix - ylb) Isen x - sen yl .;; --2-

c) Isen x - sen yl .;; Ix - yl

d) Isen x - sen yl .;; 21x2 _ y2 1

e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira

a) ~ <x<31T

4 4

b) x =1= !!..2

c) ~<X<1T

11d) O<x < 2

{sen 2x > Ocotgx<O

a) estão todos no primeiro quadrante

b) estão todos no segundo quadrantec) estão todos no terceiro quadranted) estão todos no quarto quadrantee) não existem

e) O < x < 1T

TC.180 lCESCEA-75) Os valores de x E ]0, 1T[ para os quais

(1 + sen x) • (1 - oos xl • (E - xl < O são tais que:2

TC.18l (MACK-73) Os pontos da circunferência trigonométrica, correspondentes às soluçõesdo sistema:

212-e 213-<:

TC.1B7 IITA-76) A respeito do produto

P = Isen (bx) + cosseclbx)) (cos (bx) + sec (bx)) (tg (bx) + cotg (bx))

podemos afirmar que:

a) P é positivo. para todo x real e b > Ob) P pode ser negativo ou positivo. dependendo da escolha de x e b em IRc) P é negativo para x = krr e b < O ou P é positivo para x = krr e b > o. quan

do k=I.2....d) P é positivo. quando bx,* l-rr. para todo k = O. ±1. ±2....

2e) nenhuma das respostas anteriores

TC.191 (CESCEA-77)Dados:BC = 10

cos a = 35

a) 14

c) 10 V3e) 10

A soma dos catetos do triângulo retângulo é:

b) 12

d) 16

B A

c

TC.1BB (ITA-68) Seja y = alog tg x com O < a < '. onde log u indica o logaritmo ne

periano de u. Então, 109 Y ~ O se:

11 311 <x';;;211a) Z<x';;;rr e2

b) ';;;x <11

rr';;;x ,;;; 311O

2e

2

c) O < x ,;;; rrl1<x ,;;; 511

4e

4

d) O ';;;x ,;;; 111r~x ,;;; 5rr

4e

4

e) O<x';;;3rr2

ATC.192 (MACK-77) Na figura ao lado, AB vale:

a) 60b) 65cl 70d) 75e) não sei

"-L-_--'B

TC.193 (EPUSP-66) AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC. A medianaAO mede 7 e a mediana BE mede 4. O comprimento AB é igual a:

a)2v'1:i b)5V2 cl5Y3 d)10e) nenhuma das respostas anteriores

e) não sei

abaixo, um e somente um apresenta

B

50 vSe) cm2

C

A

d) 50Y3cm

então o segmento AC mede

a) 25 cm b) 50 V3 cm c) 100 cm3

A = 90°B = 60°AB = SOcm

TC.194 (GV-70) No triângulo ABC ao lado sabemos que

TC.l89 (CESCEA-74) Entre os triângulos retângulosos dados corretos. Assinale-o:

Ac1 ~32 v'3

d) ...------1~~2

3

TRIÂNGULOS

:. I'~I'=~=====-b;;-=======:j

TC.195 (CESCEM-76) Uma pessoa de 1,70 mde altura observa o topo de uma árvoresob um ângulo a:. Desejando-se conhecer, aproximadamente, a altura da árvo

re, deve-se somar 1,70 m

a) b tg ab) a tg ac) b cos ad) a cosae) b sin aBc

abaixo. com as seguintesABC,

b

C

AL- .L-~

TC.190 (CESCEM-75) Considerando o triângulo retângulodimensões:a = 7.5 m; b = 4.5 m; c = 6 m:pode-se afirmar que o valor da "t9 x"é igual a:

a) 1.25b) 1.33 .cl 1,66 ..d) 0.75e) 0.6

214-C 215-C

TC.201 (SANTA CASA-73) Em relação ao ângulo central Clt, pode-se dizer que:

T

a) sen a :=4 e cos ex::: 35 5

b) cos a::: 4 sen ex =3e

5 5

c) sen a = V3 eos a :=1

Ce2 2

d) cosa = V3 sen Q ::::1

2e

2

a) sen a =38

b) sen a =34

c) sen a =30-B-

el sen Q = V7--;r-


TC.200 lITA-75) Se, na figura abaixo, c é uma circunferência de raio R, r e s são retasl tangentes à circunferência e OT "" 2R, então o ângulo a das retas r e s deve verificar

uma das alternativas seguintes: r

AO = d, BC h, CÂO = Clt, CDB = /l. Então:

aI h = dcotg Clt + cotg /l

b) h dtgClt-tg/l

c) h dcotg Clt - cotg /l

dI h dt9 Clt + tg /l

el h dcotg Clt + tg /l

TC.196 ICESCEA-76) Na figura abaixo

retângulo em que um cateto vale

TC.197 (CESCEA-731 No triângulo ABC dafigura, tem-se b = 2, B = 45°, eê = 600. Então o lado a mede:

TC.199 (GV-73) Considere o triângulo retângulo e indique por S a sua área. Assinalea afirmação verdadeira

Â, Be ê ver; ficam

e) 10 emdl9cm

" .....b) cos (B + CI = 2 • cos AAo A.I-:

d) tg B • tg C = V 3

cl 12 cm

AB~ os ângulos A e B modem, respectivamente,5Y 6 cm. Então, a medida do lado AC li:

11" ê = 511"4' 12

Considere um triângulo AfiC cujos ângulos internos

sen Â = tg B + ê. Então podemos afirmar que:2

a relação

d) Â = 11" B3'

a) 19 B•tg ê = 3" ..... A

c) cos IB - CI = 2 sec • A

TC.203 lITA-77)

a) com os dados do problema, não podemos determinar Â nem B e nem ê

b) um desses ângulos ê reto

cl Â = 11" e B + ê = 511"6 6

TC.202 (MAUÁ-681 Num triângulo ABC cujos ângulos são designados por A, B e C,

supõe-se que 2· t9 Â = tg B+ tg ê e O < A< ;. Nesse triângulo vale a rela

ção:

TC.204 (GV-73) Em um triângulo60° e 45°; o lado BC mede

a) 18 cm b) 5 V12 Cm


B

e o outro vale

e) cossec <(J

b

A

d) sen <(J

CL... ...L....J

c) cos <(J

a) Y3 - 1b) 2 + v'2cl 1 + Y3dI 1 + Y3

2"""

a) 19 ê = .É..c~

bl c = a sen B

c) S = b2 tg ê2 "d) S = a • sen 2B

4

e) cos B= bc

TC.198 (CESCEM-721 Num triângulotg <{J a hipotenusa vale:

aI lsec <(JI b) sec <(J

216-e 217-e

b

v' ala - 2b)cl x

A L D

d /'/'

/.

/

---

L C

c) x L sen C/

cos (C/ + 13 I

di Vi - 1

ab

v'b(a - 2b)

são, respectivamente,o o o o

bl 90 , 120 , 45 , 60di 120°, 120°, 60°, 60°

B

d sen C/

sen (C/ + (3)

cl 2 - Vi

b) x =


b) x =

e) nenhuma das anteriores'

a

ab

v' b(a - 2bl

v' ala - 2b)

a) x = d cos C/

cos (C/ + 131

d) x = L cos C/sen (C/ + (3l

a) .)2 - V2 b) 2 + V22

ai x =

d) x

Neste caso, os valores de A, El, ê, Ô

a} 150°,45°,75°,30°c) 120°, 160°, 60°,30°e} nenhuma das anteriores

TC.212 (MACK-74) A base de um retângulo AD que é três vezes maior que sua alturaAB, é su~ividid~los ~ntos M e N em três partes de igual medida. Nessas condições AMB + ANB + ADB é igual a:

a) 120° bl 90° c) 85°

TC.215 (ITA-77) Sejam d e L respectivamen·te os comprimentos da diagonal BD edo lado BC do paralelogramo ABCDao lado. Conhecendo-se os ângulos C/ e 13(ver figura), o comprimento x do ladoAB é dado por:

TC.214 (ITA-77) Sejam A, B e C três pontos distintos de uma reta, com B entre A e C.Sejam a e b (a> 2b) os comprimentos de AB e BC respectivamente. Se o segmentoB~ é perpendicular ao se~ento AC, quanto deve medir BD, para que o ânguloBDC seja a metade de BDA?

TC.211 (GV -75) O lado do octógono regular inscrito num circulo de raio unitário é:

.)2 - 0. Pode-se concluir que cos i- vale:

TC.213 (ITA-75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência.

Sabe-se que A= 2ê. B> Ô e tg B. tg Ô + sen A. sen ê = _ 94

Â, S, ê

d) AC = 1 BC2

A

di V22

c) ~3

b12V2ai 4


ai 1a sen 213 bl 2 a sen 213

2

c) 1a sen 13 di 13a sen

2 2e) 2 a senl3 B

a • seniS - ê) + b • sen(ê - A) + c • sen(Â - si

a) AC > BC b) B < !!.. c) AC < BC2


TC.206 (MACK-76) Na f~ura ao lad~ AC 1 CBe AD 1 DC: m(DAC) = m(ABC) = 13 eAB = a. O valor de AD, em funçãode a e de 13, é:

TC.205 OTA-731 Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontosA,. B, C. O i"'mandaonte quando o navio está em A, observa um farol L, e calculao angulo LAC = 30. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LSC = 750.Quantas milhas separa o farol do ponto B?

TC.2070TA-74l Deseja-se construir uma ferrovia ligando o ponto A ao ponto B queestá 40 Vi Km a sudeste de A. Um lago, na planfcie onde estão A e B impedea construção em linha reta. Para contornar o lago, a estrada será construída em 2trechos retos com o vértice no ponto C, que está 36 Km a leste e 27 Km ao sulde A. O comprimento do trecho CB é:

ai v'182 Km b) v'183 Km cl v'1ã4 Km d) v'1ã5 Kme) nenhuma das respostas anteriores

TC.2OS (EPUSP-66) Os lados de um triângulo estão na razão 6:8:9. Então:

ai o triângulo é obtusângulo bl o triângulo é acutânguloc) os ângulos estão na razão 6: 8: 9d) o ângulo oposto ao lado maior é o dobro do ângulo oposto ao lado menore) nenhuma das anteriores

TC.209 (FFCLUSP-67) Dados os segmentos AC e BC e um ângulo S, é posslvel construir-seum triângulo que tenha AC e BC como lados e B como ângulo não adjacente aAC e BC quando:

TC.210 OTA-75) Num triângulo escaleno ABC, os lados opostos aos ângulosmedem respectivamente a, b, c. Então a expressão:

tem valor que satisfaz uma das seguintes alternativas:

a) a' sen Â + b' sen El + C' sen ê b) sen2A + sen 2S + sen2ê

c) O d) 1 e) nenhuma das respostas anteriores

218-C 219-e

RESPOSTAS

TC.l a TC.44 a TC.87 c TC.130 c TC.173 d

TC.2 c TC.45 d TC.88 a TC.131 b TC.174 c

TC.3 b TC.46 a TC.89 b TC.l32 c TC.175 a

TC.4 a TC.47 c TC.90 b TC.133 c TC.176 b

TC.5 • TC.48 c TC.91. TC.134 b TC.l77 c

TC.6 c TC.49 d TC.92. TC.l35 d TC.178 b

TC.7 b TC.50 a TC.93. TC.136 d TC.179 b

TC.8 c TC.51 c TC.94. TC.137 c TC.180 c

TC.9 d TC.52 d TC.95d TC.l38 b TC.181.

TC.l0 c TC.53 c TC.96 d TC.l39 c TC.182 c

TC.ll a TC.54. TC.97 a TC.140 c TC.183 a

TC.12 a TC.55 b TC.98d TC.141 c TC.184 a

TC.13 a TC.56 a TC.99 c TC.142 b TC.185 a

TC.14 c TC.57. TC.l00 b TC.l43 c TC.l86 c

TC.15 a TC.58 a TC.l0l a TC.l44 d TC.187 d

TC.16 d TC.59 a TC.l02 a TC.145 b TC.l88 c

TC.17 b TC.60 c TC.l03 d TC.l46 • TC.l89 c

TC.18 c TC.61. TC.l04 d TC.147 a TC.190 d

TC.19 b TC.62 a TC.l05 b TC.l48 a TC.191 a

TC.20 a TC.63 ..... TC.l06 a TC.149 b TC.192 d

TC.21 d TC.64 c TC.l07. TC.150 c TC.193 a

TC.22 d TC.65 b TC.l08 e TC.151 d TC.194 d

TC.23 c TC.66 d TC.l09 c TC.152 e TC.195 a

TC.24 c TC.67 a TC.ll0 a TC.153 c TC.196 c

TC.25. TC.68 a TC.111 d TC.154 b TC.197 c

TC.26 b TC.69 a TC.112 b TC.155 a TC.198 a

TC.27 a TC.70 d TC.113d TC.156 d TC.199 d

TC.28 b TC.71 a TC.114d TC.157 a TC.200 a

TC.29 c TC.72 c TC.115 c TC.158. TC.201 d

TC.30 c TC.73 d TC.116. TC.159 b TC.202 a

TC.31. TC.74 b TC.l17 d TC.160 b TC.203 b

TC.32 d TC.75. TC.118 a TC.161 b TC.204 e

TC.33 d TC.76 a TC.119 b TC.162 b TC.205 b

.TC.34. TC.77 b TC.120 d TC.163 a TC.206 a

TC.35 a TC.78 e TC.121 d TC.164 d TC.207 d

TC.36 b TC.79 a TC.122 a TC.165. TC.208 b

TC.37 a TC.80 a TC.123 a TC.166 d TC.209 a

TC.38 c TC.81 e TC.124 c TC.167 a TC.210 c

TC.39 c TC.82 e TC.125 b TC.168 e TC.211.

TC.40 e TC.83 b TC.126. TC.l69 d TC.212 b

TC.41 d TC.84. TC.127 b TC.170 d TC.213 d

TC.42 d TC.85 a TC.128 a TC.171 é TC.214 d

TC.43. TC.86 b TC.129 c TC.l72 b TC.215 b

221-C

Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria...GELSON IEZZI 2~ edição MATEMÁTICA 3...

Documents

Transcript of Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria...GELSON IEZZI 2~ edição MATEMÁTICA 3...