Fundamentos de topografia tuler & saraiva

1o Edição

A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das

disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura

das ciências geodésica e topográfica.

É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família

“cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao

elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o

com satisfação.

Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na

confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo

apoio de recursos humanos e materiais.

13 de fevereiro de 1998.

Marcelo Tuler de Oliveira Engenheiro Agrimensor

[email protected]

2o Edição

Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor

desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita

dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou

uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia.

ii

Esta 2a Edição, revisada e ampliada é bastante didática e bem

organizada em capítulos por assuntos, facilitando a leitura e o

entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de

aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos.

Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica.

Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários

exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de

estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o

Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo.

Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos

estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura.

A exemplo da 1a Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a

Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica.

04 de março de 2002.

Sérgio Luiz Costa Saraiva Engenheiro Civil

[email protected]

iii

pg.

Prefácio ............................................................................................................................................................. ii

Sumário ............................................................................................................................................................ iv

Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x

Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi

Capítulo 1 - Generalidades e Definições

1 - Introdução ................................................................................................................................................... 1

2 - Resumo Histórico ........................................................................................................................................ 2

2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ......................................................................................... 2

2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ............................................................................................. 6

2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ...................................................................................... 7

3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ......................................................................................................... 8

3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ................................................................................................... 9

4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14

4.1 - Divisão da Topografia ......................................................................................................................... 14

4.2 - Importância e Aplicações .................................................................................................................... 16

5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ...................................................................................... 17

5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ........................................................................ 18

5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas .................................................................................... 18

5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ........................................................................................ 19

5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ..................................................... 19

5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ................................................................................... 20

5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20

5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ..................................................................................... 22

5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas .............................................. 23

iv

v

6 - Sistema Geodésico Brasileiro ...................................................................................................................... 23

6.1 - Situação Atual do SGB ....................................................................................................................... 24

6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ............................................................... 26

Capítulo 2 - Planimetria

1 - Introdução ................................................................................................................................................... 29

2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29

2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30

2.2 - Unidade de Medida de Superfície ....................................................................................................... 32

2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34

2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34

2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34

2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37

3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40

3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................ 40

3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43

3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43

3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45

3.2.3 - Diferença de Nível .................................................................................................................... 46

3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ................................................................................................ 47

4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50

4.1 - Ângulos Horizontais ............................................................................................................................ 50

4.1.1 - Ângulos Azimutais ................................................................................................................... 51

4.1.2 - Ângulos Goniométricos ............................................................................................................ 52

4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53

4.2 - Ângulos Verticais................................................................................................................................. 54

4.2.1 - Ângulo de Inclinação ................................................................................................................ 54

4.2.2 - Ângulo Zenital .......................................................................................................................... 54

4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55

4.3.1 - Declinação Magnética .............................................................................................................. 55

5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ..................................................................................................... 58

5.1 - Métodos Principais e Secundários ...................................................................................................... 59

5.1.1 - Métodos Principais ................................................................................................................... 59

5.1.2 - Métodos Secundários ............................................................................................................... 61

5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível .............................................................................................. 62

5.2 - Poligonal Topográfica ......................................................................................................................... 65

6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69

vi

6.1 - Cálculo do Fechamento Angular ......................................................................................................... 69

6.1.1 - Determinação do Erro Angular ................................................................................................ 70

6.1.2 - Tolerância do Erro Angular ...................................................................................................... 72

6.1.3 - Distribuição do Erro Angular ................................................................................................... 73

6.2 - Cálculo de Azimutes ........................................................................................................................... 74

6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas ........................................................................... 76

6.4 - Cálculo do Fechamento Linear ........................................................................................................... 78

6.4.1 - Determinação do Erro Linear ................................................................................................... 78

6.4.2 - Tolerância do Erro Linear ........................................................................................................ 78

6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................................................................................. 79

6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas ................................................................................................... 80

6.7 - Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas .......................................................................... 81

6.7.1 - Exemplo 39 .............................................................................................................................. 81

6.7.2 - Exemplo 40 .............................................................................................................................. 87

7 - Cálculo de Áreas Planas .............................................................................................................................. 94

7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss ........................................................................................... 94

7.2 - Método de Decomposição em Polígonos ............................................................................................ 97

7.3 - Método de Comparação por Quadrículas ............................................................................................ 98

Capítulo 3 - Altimetria

1 - Introdução ................................................................................................................................................... 101

1.1 - Superfícies de Referência de Nível ..................................................................................................... 101

1.1.1 - Erro de Nível Aparente ............................................................................................................. 103

1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível .................................................................................................... 105

2 - Instrumentos Altimétricos ........................................................................................................................... 107

2.1 - Plano de Visada Horizontal ................................................................................................................. 107

2.2 - Plano de Visada Inclinado ................................................................................................................... 110

2.3 - Acessórios ........................................................................................................................................... 111

2.4 - Barômetros .......................................................................................................................................... 111

3 - Processos de Nivelamento ........................................................................................................................... 112

3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 112

3.2 - Nivelamento Geométrico .................................................................................................................... 112

3.3 - Nivelamento Trigonométrico .............................................................................................................. 113

3.4 - Nivelamento Barométrico ................................................................................................................... 115

3.5 - Nivelamento Taqueométrico ............................................................................................................... 116

3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ................................................................................................................. 116

3.6.1 - Normas Técnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................................... 117

3.6.2 - Nivelamento Geodésico ........................................................................................................... 117

vii

3.6.3 - Nivelamento GPS ..................................................................................................................... 120

4 - Nivelamento Geométrico ............................................................................................................................ 121

4.1 - Nivelamento Geométrico Simples ....................................................................................................... 121

4.2 - Nivelamento Geométrico Composto ................................................................................................... 124

4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta ............................................................................................... 126

4.4 – Erro no Nivelamento Topográfico ...................................................................................................... 127

4.4.1 – Determinação do Erro .............................................................................................................. 128

4.4.2 - Definição da Tolerância ........................................................................................................... 129

4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível .............................................................................................. 130

4.5 - Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico .............................................................................. 130

5 - Perfis Longitudinais e Transversais ............................................................................................................ 133

5.1 - Perfil Longitudinal .............................................................................................................................. 134

5.2 - Perfil Transversal ................................................................................................................................ 134

5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível ......................................................................... 135

5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua ........................................................................ 135

5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ................................................................ 137

6 - Representação Altimétrica .......................................................................................................................... 138

6.1 - Planta Baixa ........................................................................................................................................ 139

6.2 - Perfil .................................................................................................................................................... 140

Capítulo 4 - Planialtimetria

1 - Introdução ................................................................................................................................................... 143

2 – Levantamento Planialtimétrico ................................................................................................................... 143

3 - Exemplo de Cálculo Planialtimétrico .......................................................................................................... 144

3.1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas .............................................................................................. 147

3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ............................................................................................ 152

3.3 – Planialtimetria ..................................................................................................................................... 154

Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos

1 - Introdução e Histórico ................................................................................................................................. 159

2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS .................................................................................. 160

3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ................................................................... 162

3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial .................................................................................. 164

4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema ........................................................................................ 167

5 - Transformação de Referenciais Geodésicos ................................................................................................ 167

viii

6 - Instrumento Receptor .................................................................................................................................. 168

7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ...................................................................................... 168

8 – Aplicações do Sistema GPS ....................................................................................................................... 170

Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos

1 - Definições e Generalidades ......................................................................................................................... 173

2 - Câmaras Aéreas ........................................................................................................................................... 174

2.1 Câmaras Aéreas Digitais ....................................................................................................................... 175

3 - Formação do Modelo Estereoscópico ......................................................................................................... 177

3.1 - Restituição Fotogramétrica ................................................................................................................. 178

4 - Medição Aproximada de Altura .................................................................................................................. 180

5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico .............................................................................................................. 182

5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ........................................................ 186

5.2 - Problema de Orientação das Fotos ...................................................................................................... 187

6 - Produtos Aerofotogramétricos .................................................................................................................... 189

6.1 - Aplicações na Fotointerpretação ......................................................................................................... 190

Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos

1 - Generalidades e Definições ......................................................................................................................... 193

2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ................................................................................... 195

2.1 - Conceitos Iniciais ................................................................................................................................ 196

2.2 - Classificação dos Erros de Observação ............................................................................................... 197

2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ........................................................................... 198

3 - Aplicações Estatísticas ................................................................................................................................ 201

3.1 - Exemplo 1 ........................................................................................................................................... 202

3.2 - Exemplo 2 ........................................................................................................................................... 204

3.3 - Exemplo 3 ........................................................................................................................................... 207

Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos

1 – Generalidades e Definições ........................................................................................................................ 213

2 – Locação para Construção de Estradas ........................................................................................................ 214

2.1 – Locação das Tangentes e PI´s ............................................................................................................. 215

2.2 – Locação das Curvas ............................................................................................................................ 217

2.1.1 – Curva Circular Simples ............................................................................................................ 218

Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos

1 – Introdução ................................................................................................................................................... 249

ix

2 – Animais Perigosos ...................................................................................................................................... 250

2.1 – Aranhas ............................................................................................................................................... 252

2.2 – Escorpiões .......................................................................................................................................... 253

2.3 – Abelhas, vespas e marimbondos ......................................................................................................... 253

2.4 – Taturanas e Lacraias ........................................................................................................................... 254

2.5 – Cobras ................................................................................................................................................. 255

2.5.1 – Identificação de Cobras ........................................................................................................... 255

3 – Prevenção de Acidentes .............................................................................................................................. 259

Referências Bibliográficas ................................................................................................................................ 263

pg.


Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastótenes ............................................................................ 4

Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes ........................................................................................ 5

Figura 1.3: Astrolábio ....................................................................................................................................... 6

Figura 1.4: Elipsóide de Revolução .................................................................................................................. 9

Figura 1.5: Extensão do campo topográfico ..................................................................................................... 12

Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronômicas ........................................................................................... 17

Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas ............................................................................................... 18

Figura 1.8: Relação entre superfícies da Geodésia ........................................................................................... 19

Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção ................................................................................................... 20

Figura 1.10: Projeção UTM .............................................................................................................................. 20

Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ..................................................................................................... 21

Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM ................................................................................. 21


Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro ................................................................................................ 30

Figura 2.2: Sistema sexagesimal ...................................................................................................................... 35

Figura 2.3: Sistema centesimal ......................................................................................................................... 37

Figura 2.4: Sistema radiano .............................................................................................................................. 38

Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB ........................................................................................ 40

Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro ...................................................................................................... 41

Figura 2.7: Erro de catenária ............................................................................................................................ 42

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ................................................................................................................ 42

Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro ......................................................................................................... 42

Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I ............................................................................................. 43

Figura 2.11: Fios estadimétricos ....................................................................................................................... 44

x

xi

Figura 2.12: Tipos de luneta ............................................................................................................................. 45

Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II ............................................................................................ 45

Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica .................................................................................................. 46

Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo ........................................................................................... 48

Figura 2.16: Máxima distância teórica sem conferência .................................................................................. 48

Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo ............................................................................................ 48

Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ........................................ 49

Figura 2.19: Ângulos na Topografia ................................................................................................................. 50

Figura 2.20: Ângulo horizontal α ..................................................................................................................... 51

Figura 2.21 : Medição de azimutes ................................................................................................................... 51

Figura 2.22: Azimute de vante e ré ................................................................................................................... 51

Figura 2.23: Medição dos rumos ...................................................................................................................... 52

Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos ..................................................................................................... 52

Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos ........................................................................ 52

Figura 2.26: Medição dos ângulos de deflexão ................................................................................................ 53

Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ............................................................................................. 53

Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão ........................................................................................ 53

Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário .............................................................................. 54

Figura 2.30: Ângulo de inclinação e zenital ..................................................................................................... 54

Figura 2.31: Declinação magnética .................................................................................................................. 55

Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH .............................................................................. 57

Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro .................................................................................................. 57

Figura 2.34: Levantamento por triangulação .................................................................................................... 59

Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ................................................................................................ 60

Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos ..................................................................................... 60

Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias .................................................................................. 61

Figura 2.38: Levantamento por irradiação ........................................................................................................ 61

Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ............................................................................... 62

Figura 2.40: Pontos inacessíveis ....................................................................................................................... 62

Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ................................................................. 66

Figura 2.42: Poligonal topográfica ................................................................................................................... 66

Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ......................................................................... 67

Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ....................................................................................................... 71

Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ...................................................................................................... 72

Figura 2.46: Cálculo de azimutes I ................................................................................................................... 75

Figura 2.47: Cálculo de azimutes II .................................................................................................................. 76

Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I ............................................................................................. 77

xii

Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II ............................................................................................ 77

Figura 2.50: Poligonal topográfica I ................................................................................................................. 82

Figura 2.51: Poligonal topográfica II ............................................................................................................... 87

Figura 2.52: Cálculo de área I .......................................................................................................................... 95

Figura 2.53: Cálculo de área II ......................................................................................................................... 95

Figura 2.54: Cálculo de área III ........................................................................................................................ 97

Figura 2.55: Cálculo de área IV ....................................................................................................................... 98


Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide .......................................................................................... 101

Figura 3.2: Alturas ortométricas ....................................................................................................................... 102

Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente .............................................................................. 103

Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos ................................................................................................... 105

Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos ......................................................................................................... 106

Figura 3.6: Níveis esféricos .............................................................................................................................. 108

Figura 3.7: Nível cilíndrico .............................................................................................................................. 108

Figura 3.8: Níveis de luneta .............................................................................................................................. 108

Figura 3.9: Nível de pedreiro ............................................................................................................................ 109

Figura 3.10: Níveis laser ................................................................................................................................... 109

Figura 3.11: Nível de mangueira ...................................................................................................................... 109

Figura 3.12: Corpos suspensos ......................................................................................................................... 110

Figura 3.13: Clinômetro ................................................................................................................................... 110

Figura 3.14: Estação Total ................................................................................................................................ 111

Figura 3.15: Miras ............................................................................................................................................ 111

Figura 3.16: Altímetro ...................................................................................................................................... 111

Figura 3.17: Nivelamento geométrico .............................................................................................................. 113

Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico ........................................................................................................ 114

Figura 3.19: Nivelamento barométrico ............................................................................................................. 115

Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples ................................................................................................. 122

Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I ........................................................................................... 124

Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II .......................................................................................... 131

Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ................................................................................................... 134

Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua ................................................................................... 135

Figura 3.25: Perfil transversal .......................................................................................................................... 136

Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ........................................................................... 137

Figura 3.27: Planta com pontos cotados ........................................................................................................... 139

Figura 3.28: Planta com curvas de nível ........................................................................................................... 139

xiii

Figura 3.29: Planta com cores hipsométricas ................................................................................................... 140

Figura 3.30: Desenho de perfil ......................................................................................................................... 141

Figura 3.31: Desenho em perspectiva ............................................................................................................... 141


Figura 4.1: Croqui de área ................................................................................................................................ 144

Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno .................................................................................................. 154

Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ................................................................................................... 154


Figura 5.1: Segmento de controle ..................................................................................................................... 160

Figura 5.2: Segmento dos usuários ................................................................................................................... 161

Figura 5.3: Princípio de observação ................................................................................................................. 163

Figura 5.4: Fase codificada ............................................................................................................................... 163

Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial .......................................................................................... 164

Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ........................................................................ 165

Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ............................................................................................... 168


Figura 6.1: Escala da fotografia aérea .............................................................................................................. 173

Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea ................................................................................................................ 174

Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala ............................................................................................ 176

Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos .............................................................................................................. 177

Figura 6.5: Restituidor universal ...................................................................................................................... 179

Figura 6.6: Medição aproximada de altura ....................................................................................................... 180

Figura 6.7: Plano de vôo ................................................................................................................................... 183

Figura 6.8: Apoio terrestre ................................................................................................................................ 187

Figura 6.9: Ortofotocarta .................................................................................................................................. 190

Figura 6.10: Construção de cartas e mapas ....................................................................................................... 190

Figura 6.11: Fotointerpretação urbana .............................................................................................................. 191


Figura 7.1: Acurácia x Precisão ........................................................................................................................ 196

Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ............................................................ 201

Figura 7.3: Nivelamento geométrico ................................................................................................................ 207

Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos

Figura 8.1: Estaca testemunha .......................................................................................................................... 213

xiv

Figura 8.2: Referência do greide ...................................................................................................................... 213

Figura 8.3: Utilização de cruzetas .................................................................................................................... 213

Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set .................................................................................................... 215

Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s ........................................................................................................ 215

Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos ............................................................................. 216

Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias .......................................................................... 217

Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ...................................................................................... 217

Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição ............................................................................................ 218

Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ............................................................................................ 218

Figura 8.11: Elementos as curva circular ......................................................................................................... 219

Figura 8.12: Cálculo da tangente externa ......................................................................................................... 220

Figura 8.13: Ângulo AC ................................................................................................................................... 220

Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT ................................................................................................... 221

Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI ............................................................................................................. 222

Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ............................................. 223

Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva .......................................................................................... 226

Figura 8.18: Locação das curvas através da corda ........................................................................................... 228

Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20 m ............................................................................................................ 229

Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10 m ........................................................................................................... 230

Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5 m............................................................................................................. 231

Figura 8.22: Cálculo do afastamento ................................................................................................................ 232

Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento ........................................................................................... 232

Figura 8.24: Grau da curva ............................................................................................................................... 233

Figura 8.25: Deflexão ....................................................................................................................................... 233

Figura 8.26: Deflexão total I ............................................................................................................................ 234

Figura 8.27: Deflexão total II ........................................................................................................................... 234

Figura 8.28: Deflexão acumulada I .................................................................................................................. 235

Figura 8.29: Deflexão acumulada II ................................................................................................................. 236

Figura 8.30: Deflexão acumulada III ................................................................................................................ 237

Figura 8.31: Cálculo da cordas I ....................................................................................................................... 238

Figura 8.32: Cálculo da cordas II ..................................................................................................................... 238

Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva ............................................................................................... 242

Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ....................................................................................... 243

Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes .................................................................................................. 243

Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões ................................................................ 245

Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão .............................................................................................. 245

Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas ........................................................................................ 246

xv


Figura 9.1: Animais perigosos .......................................................................................................................... 251

Figura 9.2: Espécies de aranhas ........................................................................................................................ 252

Figura 9.3: Escorpião ........................................................................................................................................ 253

Figura 9.4: Lacraia ............................................................................................................................................ 254

Figura 9.5: Espécies de cobras .......................................................................................................................... 255

Figura 9.6: Fosseta loreal .................................................................................................................................. 256

Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras ........................................................................ 257

Figura 9.8: Identificando cobras ....................................................................................................................... 258

Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ..................................................................... 259

Figura 9.10: Equipamentos de segurança ......................................................................................................... 259

Figura 9.11: Bote .............................................................................................................................................. 260

pg.


Quadro 1.1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos .............................................................................. 24

Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros ............................................................................................. 10

Tabela 1.2: Transformação entre sistemas geodésicos ..................................................................................... 26


Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ............................................................................................................... 30

Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares ............................................................ 38

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ..................................................................... 39

Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão ................................................................ 40

Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas ............................................................................................ 47

Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais ...................................................................................... 68

Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos ........................................................................................................... 68

Tabela 2.7: Classificação dos MED ................................................................................................................. 68

Tabela 2.8: Classificação de estações totais ..................................................................................................... 68

Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ................................................................................................................... 72

Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ................................................................................................................. 79


Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente ...................................................................... 104

Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos .............................................................................................................. 107

Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis) ......................................................................................... 117

Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ................................................................................. 117

Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE ................................................................... 119


Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas ........................................................................................... 144

xvi

xvii

Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo .................................................................................................................... 153


Tabela 5.1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS .................................................................................. 161

Tabela 5.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ................................................................................. 161

Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ........................................................................................................... 169

Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ........................................................ 169


Tabela 7.1: Experimento de Bradley ................................................................................................................ 199

Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica .................................................................................................... 202

Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I ................................................................................................................... 203

Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal ....................................................................................................... 205

Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II .................................................................................................................. 206

Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível ....................................................................................................... 208

Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III ................................................................................................................. 208


Quadro 9.1: Acidentes x soro ........................................................................................................................... 261

29

11 -- IInnttrroodduuççããoo

Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas pa-

ra representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medi-

da de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da planimetria, divide-se inicial-

mente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja,

as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia - Item 4).

No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos pró-

ximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto está associa-

do à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma revisão associada aos

sistemas de unidades de medidas.

22 -- SSiisstteemmaass ddee UUnniiddaaddeess ddee MMeeddiiddaass

Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão,

e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.

Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades -

SI”, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são co-

mentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumé-

tricas e angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.


30

22..11 -- UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa LLiinneeaarr

A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima

milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e

submúltiplos (Figura 2.1):

Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.

Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro.

Solução:

10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm.

98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.

Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.

Solução:

21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.

Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas,

como:

Quadro 2.1: Outros sistemas lineares.

1 polegada inglesa1 = 25,4 mm; 1 pé = 30,479 cm;

1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; 1 milha terrestre = 1.609,34 m;

1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35 m;

1 vara = 5 palmos = 1,10 m; 1 milha (bras.) = 2.200 m;

1 braça2 = 2 varas = 2,20 m; 1 corda = 15 braças = 33 m;

1 légua de sesmaria = 6.600 m. 1 légua geométrica = 6.000 m.

Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros.

1 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm

31

Solução:

1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m

1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m

Saiba desta ... !

Curiosidades sobre o Metro

A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda,

formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e

Pedro Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de

10o do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Bar-

celona.

Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se dedu-

ziria a quarta parte do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade

fundamental escolhida.

O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas,

cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta por

Borda, de metro (metron = medida).

O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico fran-

cês Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET

DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês.

Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre

10.002,286, chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro ar-

quivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por que na

Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais países do mundo

entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, próximo a Paris, para a

sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram

então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio,

e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em 26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o

metro protótipo internacional, e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência, seriam os

protótipos nacionais.

2 Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).


32

Saiba também ... !

Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ? A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos

– esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000

passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião tomados como base

eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou

1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. Como a terra possui um for-

mato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do equador mede aproximadamente

40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 mi-

nuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a milha marítima. Por convenção internacional, esse va-

lor foi arredondado para 1.852 metros.

Saiba ainda... !

Qual a medida da LÉGUA ? Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias

interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale a

3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000 metros

enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que vale 3 milhas,

ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. Tem-se ainda a légua

quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também chamada de vinte e cinco ao

grau.

Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa

esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um “logo a-

li” do mineirinho.

22..22 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee SSuuppeerrffíícciiee

A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de gran-

des extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2.

Are (a) => 100 m2

Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a

Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a

Exemplo 4: Seja transformar:

33

23,34 ha = 233.400 m2

1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2

1 km2 = 1.000.000 m2

Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (An-

tigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões; citando:

1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha

1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha

1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha

1 alqueire goiano = 96.800 m2

Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos.

Solução:

200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos.

Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como:

1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres

1 pé quadrado = 929,0 cm2

1 acre3 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha)

1 Braça quadrada = 4,84 m2

Saiba desta ... !

Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 bra-

ças, também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.

Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alquei-

res de 100 x 100 braças.

Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas.

Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à

superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.

Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, se-

ja um quadrado de 50 m de lado.

Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.

22..33 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee VVoolluummee

3 Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos.


34

A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.

Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas:

1 litro = 1 dm3; 1 jarda cúbica = 0,7645 m3.

Exemplo 6: Transforme:

1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3

= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3

Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes di-

mensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).

Solução:

Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3

Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros

Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbi-

cas por viagem.

Solução:

1 jarda cúbica = 0,7645 m3

24 jardas cúbicas = 18,348 m3

Capacidade = 18,348 m3

22..44 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa AAnngguullaarr

As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e

o radiano.

22..44..11 -- SSiisstteemmaa SSeexxaaggeessiimmaall

É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é divi-

dido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).

35

Figura 2.2: Sistema sexagesimal.

Círculo: 360o

Unidade básica: 1o

Submúltiplos:

Minuto: 60’ = 1o

Segundo: 3.600” = 1o

Logo: 1o = 60’ = 3.600”

Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades

de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia).

Exemplo 9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cin-

co segundos).

Pode-se executar as seguintes operações algébricas:

a) Adição

Adicionar as unidades comuns.

Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43”

Solução:

50o 20’ 30” + 20o 45’ 43” 70o 65’ 73” = 71o 06’ 13” Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13”

b) Subtração


36

Subtrair as unidades comuns e iguais.

Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40”

Solução:

50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 39o 37’ 50”

c) Multiplicação

Multiplicar apenas por números adimensionais;

Não multiplicar ângulos por ângulos.

Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5

Solução:

80o 20’ 30” x 5 400o 100’ 150” Corretamente tem-se 401o 42’ 30”

d) Divisão

Dividir apenas por números adimensionais.

Não dividir ângulos por ângulos.

Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4.

Solução:

80 40' 20' '4 20 10' 05'

oo= '

Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes

devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo:

sen 30o 30’ ≠ sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas).

pois sen 30o 30’ = 0,507538362921

sen 30,30o = 0,504527623815

A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas, de-

vendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.

Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule:

a) 30o 30’

37

b) 20o 06’ 18”

c) tan 30o 20’ 01,20”

Solução:

a) 60’ equivalem a 1o, logo, 30’ equivale a 0,5o, então:

30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o

b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a 0,005o;

então:

20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o

c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646

22..44..22 -- SSiisstteemmaa CCeenntteessiimmaall ee RRaaddiiaannoo

O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na atu-

alidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade bási-

ca o grado (Figura 2.3).

Círculo - 400g Unidade básica: 1g

Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g

Figura 2.3: Sistema centesimal.

Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta

e nove decimiligrados).


38

O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4).

2 π R ==> 360o

a ==> α

'18573,572

360Rase

R2a360

000

0

≈=π

∴=

π⋅

=α

Logo 1 radiano ≈ 57 180 ' = α

Figura 2.4: Sistema radiano.

Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormen-

te.

Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares.

Graus Grados Radianos 0o 0gr 0 rd

90o 100gr π/2 rd 180o 200gr π rd 270o 300gr 3π/2 rd 360o 400gr 2π rd

Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente

ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por exemplo)

possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.

39

Exemplo 16: Seja transformar:

a) 358o (para grado) = 397,7g

b) 120o (para grado) = 133,3g

c) 76o (para grado) = 84,4g

d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’

e) 96g (para grau) = 86o 24’

f) 78g (para grau) = 70o 12’

g) 100o (para radiano) = 1,74 rd

h) 2 rd (para grau) = 114o 36’

A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).

Grandeza Nome Símbolo Definição

Comprimento Metro m “ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo. ” (1983).

Massa Quilograma kg “ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e i-rídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de massa. ” (1889).

Tempo Segundo s “ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação cor-respondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967).

Corrente elétrica Ampére A

“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circu-lar transversal desprezível, situados no vácuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946).

Área Metro quadrado m2 - Volume Metro cúbico m3 -

Freqüência Hertz Hz s-1 Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3 - Velocidade Metro por segundo m/s - Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2 -

Força Newton N kg . m/s2 Pressão Pascal Pa N/m2

Trabalho/Energia Joule J N.m Potência Watt W J/s

33 -- GGrraammoommeettrriiaa

A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre

dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto.


40

33..11 -- PPrroocceessssooss DDiirreettooss

Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamen-

te os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.

Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior

de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas

de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se

uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.

Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão.

* Passo (por ex.: p ≅ 0,80 m) * Régua graduada (por ex.: bambu) Baixa precisão * Medidor topográfico

- De aço * Fitas - De fibra de vidro - De lona - De aço

Média precisão * Trenas

- De fibra de vidro Alta precisão * Fio ínvar

Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos

pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano hori-

zontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na horizontal. Logo, caso

o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a ou-

tra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas (Figura 2.5).

Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro

total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os erros mais

comuns.

a) Erro no comprimento do diastímetro

Deve ser corrigido.

Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB.

41

Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros.

Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua verda-

deira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas

24,9 m.

Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a

distância real ?

Solução:

100 m ⇒ 25,0 m

x m ⇒ 24,9 m

x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)

Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se

medir no campo ?

Solução:

x m ⇒ 25,0 m

100 m ⇒ 24,9 m

x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)

b) Erro de dilatação do diastímetro

Deve ser corrigido.

e L T t= −* *( )α , onde:

e - Erro; L - Distância medida; α - Coeficiente de dilatação;

T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição (± 20o C).

c) Falta de horizontalidade do diastí-

metro

Como os pontos A e B devem ser proje-

tados considerando um plano horizontal, caso o-

corra uma inclinação do diastímetro, a distância

tomada será sempre maior que a real. Deve ser evi-

tado, por exemplo, com auxílio de uma 3o pessoa

verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).

d) Erro de catenária

Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro.


42

Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos me-

nores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).

e) Desvio vertical da baliza

Em virtude das balizas não estarem perfeita-

mente na vertical, a distância medida pode ser maior ou

menor que a distância real AB (Figura 2.8).

Deve ser evitado, por exemplo, com a utiliza-

ção de um nível de cantoneira.

f) Erro de desvio lateral do diastímetro

Considerando dois pontos topográficos, a dis-

tância horizontal entre eles deve ser tomada materiali-

zando um alinhamento reto, ou seja um traço da interse-

ção do terreno com apenas um plano vertical que contém

estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do

balizamento (Figura 2.9).

g) Enganos

Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do ze-

ro no diastímetro, erro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erro tem de ser evitado.

33..22 -- PPrroocceessssooss IInnddiirreettooss

Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os ins-

trumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser:

Óticos

Mecânicos

Eletrônicos

Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros.

Figura 2.7: Erro de catenária.

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.

Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro.

43

O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de

levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização de instru-

mentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta.

Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e

das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se instrumentos de-

nominados taqueômetros.

Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos esta-

dimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras

verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos.

Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e

diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.

33..22..11 -- DDiissttâânncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo HHoorriizzoonnttaall

O princípio de construção está ilustra-

do figura 2.10, onde:

ACAF

BCEF

= (01)

ACAF

CDFG

= (02)

ACAF

BC CDEF FG

BDEG

=++

= (03)

sendo

AC - Distância a ser determinada (D)

AF - Distância focal (f)

BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI)

EG - Altura dos fios do retículo (h)

hf*m

Dhm

fD

=∴= (04)

)tetancons(ghf=

D m g= ⋅

onde

D - Distância horizontal;

m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI;

Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I.


44

onde FS - Fio superior do retículo;

FI - Fio inferior do retículo;

FM - Fio médio do retículo;

g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;

Existe ainda a seguinte relação:

Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.

Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11):

Solução:

FS = 2,800 m; FI = 1,200 m

g = 100

2 . FM ≅ (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200)

=> 4,000 = 4,000 OK !

m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m

D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m

Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o

centro do instrumento (alática) ou coincidir (analática) (Figura 2.12).

No caso da luneta alática, para determinação das distâncias ho-

rizontal e vertical, deve-se considerar a constante “c” mais a distância focal “f”.

A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.

Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.

33..22..22 -- DDiissttâânncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo IInncclliinnaaddoo

2 . FM ≅ FS + FI

Figura 2.11: Fios estadimétri-cos.

45

Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado:

BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical;

FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada;

AC = n . g (05);

AE = AC . cosα (06)

AE = n . g . cosα (07)

Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figu-

ra 2.13), os ângulos:

FCB DCG CAE= = = α (08)

α⋅=∴=α

/⋅

/=α∴=α

cosmnmncos

m2

2ncos

2m2n

cos

n = m . cosα (09)

(09 em 07)

D = m . g . cosα . cosα (10)

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –

Goniologia), a fórmula estadimétrica será:

33..22..33 -- DDiiffeerreennççaa ddee NNíívveell

Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o

ponto F e a projeção do ponto A.

BD => Leitura estadimétrica - m;

FG => Diferença de nível;

LE => D = m . g . cos2α (12)

CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo;

EG => i - Altura do instrumento.

Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.

D = m . g . cos2 α

D = m . g . sen2 Z


46

Definição:

FG = CG - CF (13)

CG = CE + EG (14)

(14) em (13)

FG = CE + EG - CF (15)

CE = LE . tgα (16)

(16) em (15)

FG = LE . tgα + EG - CF (10) (17)

Substituindo, tem-se:

dn = m . g . cos2α . tgα + i – alvo (18)

( )dn m g

seni l= ⋅ ⋅

⋅+ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

22

α

Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –

Goniologia), a fórmula taqueométrica será:

( )li

2Z2sen

gmdn −+⋅

⋅⋅= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e

diferenças de nível.

Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas.

Analática Plano horizontal

Distância horizontal D = m . g

Plano inclinado Distância horizontal

D = m . g . cos2 α (α)

D = m . g . sen2 Z (Z) Plano inclinado

Diferença de nível ( )dn m g

seni l= ⋅ ⋅

⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

22

α (α)

Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica.

47

( ) li2

Z2sengmdn −+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

⋅⋅= (Z)

Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por taqueome-

tria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:

Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causa-

dos pela refração atmosférica;

Erros nas constantes c, f, g;

Falta de verticalidade da mira;

Erro na medição do ângulo de inclinação (α ou Z).

33..22..44 -- DDiissttâânncciiaass MMááxxiimmaass ee MMíínniimmaass

Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas

pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou pelo aspec-

to prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro.

Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor

da constante g.

Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a

150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada.

Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15)

e sem conferência (Figura 2.16).

Dados:

L (tamanho da mira) = 4,000 m

g = 100

Solução:

Obs.: A máxima distância entre

dois pontos é aquela tomada na horizontal,

logo:

D = m . g

m = FS - FI

m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m

Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo.


48

D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)

Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está

impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:

FM FS FI m FS FS m=+

∴ =+

∴ =2

4 000 0 0002

8 000, , ,

m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m

D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)

Exemplo 22: Sejam os dados a-

baixo, calcule a mínima distância teórica

conferindo (Figura 2.17).

Dados:

menor subdivisão = 0,010 m

g = 100

Solução:

D = m . g

m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m

D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo)

Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada

considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a distân-

cia horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).

Dados:

FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m;

g = 100; α = 30o 30’; i = 1,5 m

Solução:

a) Distância horizontal

D = m . g . cos2α

D = (FS - FI) . 100 . cos2 (30o 30’)

D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2 (30,5o) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m

b) Diferença de nível

Figura 2.16: Máxima distância teórica sem confe-

rência.

Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo.

49

dn m g sen i l= ⋅ ⋅⋅

+ −22

α ∴ dn FS FI sen o

= − ⋅ ⋅ + −( ) . ' , ,100 2 30 302

1 500 1 772

( )

dn sen

dn

o

= ⋅ ⋅ + −

= ⋅ ⋅ + − =

1144 100 2 30 52

1 500 1 772

1144 100 0 43730 1 500 1 772

, . , , ,

, , , , 49,756 m

44 -- GGoonniioollooggiiaa

A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu es-

tudo alguns autores a dividem em:

Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos;

Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em

campo.

Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comenta-

dos nos itens 4.1 e 4.2.

Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.


50

Figura 2.19: Ângulos na Topografia.

Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de

goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19), internos

ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação numérica dos ângu-

los. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de graduação:

Sexagesimal (grau) Centesimal (grado)

44..11 -- ÂÂnngguullooss HHoorriizzoonnttaaiiss

O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais,

considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que

serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos.

Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de a-

zimutes e rumos;

Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo denomina-

dos de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.

51

Figura 2.20: Ângulo horizontal α.

44..11..11 -- ÂÂnngguullooss AAzziimmuuttaaiiss

a) Azimutes

É o ângulo horizontal formado entre a direção nor-

te-sul e um alinhamento, tendo por origem o sentido do nor-

te e grandeza variável entre 0o e 360o (Figura 2.21).

O azimute recíproco de um alinhamento AB (van-

te) é o azimute deste alinhamento em sentido contrário, isto

é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o, ou seja

(Figura 2.22):

AZ AZ 180BA ABo= + (19)

b) Rumos

É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a dire-

ção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o e 90o (Figura 2.23).

c) Conversão de Rumo em Azimute

Figura 2.21 : Medição de azimutes.

Figura 2.22: Azimute de vante e ré.


52

Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo pa-

ra cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes podem

ser relacionados entre si (Figura 2.24).

44..11..22 -- ÂÂnngguullooss GGoonniioommééttrriiccooss

a) Ângulos horários internos e externos

É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o a 360o,

internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).

b) Ângulos de deflexão

Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos.

Figura 2.23: Medição dos rumos.

Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos.

53

É o ângulo formado entre o prolongamento do

alinhamento anterior e o alinhamento em estudo, contado

para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza

limitada entre 0o e 180o (Figura 2.26).

44..11..33 -- AAzziimmuutteess CCaallccuullaaddooss

Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro alinha-

mento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros métodos para

medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou externo) ou deflexão. Desta

forma, às vezes, é necessário calcular os demais azimutes

de cada alinhamento. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do

rumo dado (Figura 2.27).

Dados:

AZA-B = 100o; RumoB-C = 50o SO

Solução:

AZB-C = 50o + 180o = 230o

Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da

deflexão dada (Figura 2.28).

Dados:

AZA-B = 110o; DeflexãoB-C = 110o Dd

Solução:

AZB-C = 110o + 110o = 220o

Figura 2.26: Ângulos de deflexão.

Figura 2.27: Azimute calculado a partir do

rumo.

Figura 2.28: Azimute calculado a partir da

deflexão.


54

Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do

ângulo horário dado (Figura 2.29).

Dados:

AZA-B = 100o; Ângulo HorárioB-C = 320o

AZB-C = 100o + 320o - 180o = 240o

44..22 -- ÂÂnngguullooss VVeerrttiiccaaiiss

O ângulo vertical é definido como o ângulo for-

mado pelo afastamento de 2 planos horizontais, considerando-se um eixo. De acordo com a origem para me-

dição do ângulo, estes podem ser de inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é

necessária, podendo ser visualizada na figura 2.30.

44..22..11 -- ÂÂnngguulloo ddee IInncclliinnaaççããoo Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura

2.30).

44..22..22 -- ÂÂnngguulloo ZZeenniittaall

Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste lo-

cal), com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado (Fi-

gura 2.30).

Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital.

44..33 -- MMaaggnneettiissmmoo TTeerrrreessttrree

Figura 2.29: Azimute calculado a partir do

ângulo horário.

55

Tendo a terra propriedades de um grande magneto, as extremidades da agulha de uma bússola são

atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos magnéticos da ter-

ra, os quais não coincidem com os pólos geográficos.

A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. A linha que une os pó-

los geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira.

O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola.

44..33..11 -- DDeecclliinnaaççããoo MMaaggnnééttiiccaa

A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográ-

fico. Com relação a posição dos meridianos, a declinação magnética pode ser (Figura 2.31):

Ocidental - Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro;

Oriental - Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro;

Nula - Coincidência entre os dois meridianos

Atualmente no Brasil, a declinação é ocidental.

Figura 2.31: Declinação magnética.

O valor da declinação magnética é variável, podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográfi-

cas), quanto no tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), além das acidentais.

Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de

campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos.

a) Mapas isogônicos e isopóricos

Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética;


56

Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação.

b) Cálculo da declinação magnética

Fórmula

DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] (20)

Onde,

DM - Declinação Magnética

Cig - Curva isogônica (valor interpolado)

Cip - Curva Isopórica (valor interpolado)

A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.,1980 para 1982

= 02)

Fa - Fração do ano

c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês

01 jan - 19 jan - 0,0

20 jan - 24 fev - 0,1

25 fev - 01 abr - 0,2

02 abr - 07 maio - 0,3

08 maio - 13 jun - 0,4

14 jun - 19 jul - 0,5

20 jul - 25 ago - 0,6

26 ago - 30 set - 0,7

01 out - 06 nov - 0,8

07 nov - 12 dez - 0,9

13 dez - 31 dez - 1,0

Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982.

Solução:

DM = - 19o 45’ + [ ( 2 + 0,5 ) . ( - 5,2’ ) ]

DM = - 19o 45’ - 13’

DM = - 19o 58’ (ou 19o 58’ ocidental ou 19o 58’ W)

Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura

2.32).

Solução:

Isogônicas 1cm => 1o 0,4 cm => xo

x cmcm

oo

o=⋅

=0 4 1

10 4, ,

Isopóricas 4,5cm => 1’ 2,0 cm => x’

'44,0cm5,4

'1cm0,2'x =⋅

=

57

-15o -14o -21o -16o -17o -18o -19o -20o

-8’ -7’

Belo Horizonte

Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980.

DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ]

DM = - 18,4o + [ ( 18 + 0,2 ) . ( - 7,44’ ) ]

DM = - 18,4o - 135,41’

DM = - 18o 24’ - 2o 15’ 25” = -20o 39’ 25” (20o 39’ 25” W - ocidental)

Exemplo 29: Considere que o Azimute

Magnético A-B = 40o 30’ em 1980. Qual será o valor

atual deste azimute magnético A-B e o valor do azi-

mute verdadeiro (Figura 2.33).

Solução:

Az. magnético A-B (1988,4) = 40o 30’ + 2o 15’ 25”

= 42o 45’ 25”

Az.verdadeiro A-B = 40o 30’ - 18o 24’ = 22o 06’

55 -- MMééttooddooss ddee LLeevvaannttaammeennttoo PPllaanniimmééttrriiccoo

Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro.


58

Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e

distâncias), capazes de definir um trecho da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em planta, de-

nomina-se levantamento topográfico.

Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento topográfico, em qualquer de suas finalidades,

deve ter, no mínimo, as seguintes fases:

a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem;

b) Apoio topográfico;

c) Levantamento de detalhes

d) Cálculos e ajustes

e) Original topográfico

f) Desenho topográfico final

g) Relatório técnico

Quanto ao Relatório Técnico, a norma explicita que, quando do término de todo e qualquer levan-

tamento topográfico ou serviço de topografia, deve conter, no mínimo, os seguintes tópicos:

a) Objeto;

b) Finalidade;

c) Período de execução;

d) Localização;

e) Origem (Datum);

g) Precisões obtidas;

h) Quantidades realizadas;

i) Relação de aparelhagem utilizada;

j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico;

l) Documentos produzidos;

m) Memórias de cálculo, destacando-se:

* Planilhas de cálculo das poligonais;

* Planilhas das linhas de nivelamento.

O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e

à sua representação, podendo ser:

Planimétrico - São coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias horizontais, onde estes

são projetados num mesmo plano horizontal;

59

Altimétrico - São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes

projetados num plano vertical (perfil) (Cap. 3);

Planialtimétrico - São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa-

los (Cap. 4).

Ainda, de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo, o levan-

tamento pode ser classificado em:

Expedito - Uso de instrumentos de baixa precisão. Sua execução é fácil e rápida.

Comum - Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos.

De precisão - Uso de instrumentos de alta precisão, propiciando maior aperfeiçoamento nas me-

dições.

Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico, que são ba-

seados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão, estes podem ser

classificados em métodos principais e secundários.

55..11 -- MMééttooddooss PPrriinncciippaaiiss ee SSeeccuunnddáárriiooss

55..11..11 -- MMééttooddooss PPrriinncciippaaiiss

Os métodos definidos como principais estão relacionados com a maior utilização destes em cam-

po, servindo geralmente para implantação de pontos de apoio para o levantamento topográfico, conseqüen-

temente, solicitando de maior rigidez e controle. Pode-se citar os seguintes métodos:

a) Triangulação

O processo de Triangulação é o método

baseado numa série de interseções sucessivas ou

encadeadas, onde medem-se uma única distância

e todos os ângulos dos triângulos (Figura 2.34). É

considerado muito preciso, e foi utilizado para

densificar a rede geodésica nacional.

b) Caminhamento

Figura 2.34: Levantamento por triangulação.


60

Consiste na medição de ângulos e distâncias resultando numa sucessão de alinhamentos. Na figura

2.35 tem-se um caminhamento, onde são avaliados os ângulos horários e as distâncias (pelo processo direto

ou indireto). É o método mais utilizado para levantamento topográfico.

Figura 2.35: Levantamento por caminhamento.

c) Interseção (ângulos e distâncias)

Este processo dar-se através de interseção de ângulos ou de distâncias. É um método utilizado em

situações onde se possuam apenas 03 (três) elementos de um triângulo e os outros 03 (três) a determinar; por

exemplo, 02 distâncias e 01 ângulo conhecidos e os demais ângulos e distância a determinar. Geralmente é

utilizado para determinação de pontos inacessíveis.

De ângulos

A posição do ponto C é definida pela medição dos ângulos a e b e pela distância do lado AB (Figu-

ra 2.36). Os elementos podem ser calculados utilizando a fórmula do somatório dos ângulos de um polígono

e a lei dos senos.

Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos.

Somatório dos ângulos - angulos no∑ = ⋅ ±180 2( ) (20)

61

Lei dos senos - sen aDBC

sen bDAC

sen cDAB

= = (21)

De distâncias

A posição do ponto C é definida pela medi-

ção de dois lados e pelo ângulo formado entre estes.

Seus elementos podem ser determinados pela lei dos

cossenos (Figura 2.37).

Fórmula dos cossenos

α⋅⋅⋅−+= cosBCAC22

BC2

AC2

AB (22)

55..11..22 -- MMééttooddooss SSeeccuunnddáárriiooss

Os métodos definidos como secundários são aqueles no qual podem ser utilizados eventualmente

durante um levantamento topográfico. Estes são aplicados geralmente para levantar os aspectos naturais e ar-

tificiais, “amarrando” estas informações à poligonal principal, na qual foi concebida através dos métodos

principais. Pode-se citar:

a) Irradiação

A posição dos pontos i’s é determinada por um ângulo e uma distância a partir de um ponto da po-

ligonal (Figura 2.38).

Figura 2.38: Levantamento por irradiação

b) Coordenadas Retangulares

Figura 2.37: Levantamento por interseção de

distâncias.


62

A posição do ponto P é definida por duas distâncias (abscissa “X” e ordenada “Y”) a partir de um

ponto da poligonal (Figura 2.39).

Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares.

55..11..33 -- EExxeemmpplloo 3300 –– PPoonnttoo IInnaacceessssíívveell

Dado a distância da base P0-P1, e os ângulos formados a dois pontos inacessíveis A e B, conside-

rando os métodos de interseção de lados e de distância e suas respectivas fórmulas, calcule a distância AB

(Figura 2.40).

153,320

48°20'30"80°30'12"

45°1

2'20"

85°1

2'30"

P0 P1

B

A

Figura 2.40: Pontos inacessíveis.

Solução:

1 – Cálculo das distâncias AP0 e AP1 (Lei dos senos)

63

45°1

2'20"

80°30'12"

54°17'28"

133,

994

186,232

153,320P0 P1

2 – Cálculo das distâncias BP0 e BP1 (Lei dos senos)

153,320

210,8

03

46°27'0"

48°20'30"

85°12

'30"

P0

158,048

P1

B

3 – Cálculo da distância A-B (Fórmula do cosseno)

( ) ( ) ( )0

01

1

1010

320,153 APPAPsen

APPAPsenAPPsen

==

( ) ( ) ( )0

01

1

1010

320,153 BPPBPsen

BPPBPsenBPPsen

==


64

( ) ( ) ( )BAPBPAPBPAPAB 0002

02

0 cos*2 ∗∗−+= = 120,700 m

ou

( ) ( ) ( )BAPBPAPBPAPAB 1112

12

1 cos*2 ∗∗−+= = 120,700 m

120,700

210,8

03

32°9'42"

133,

994

P0

A

40°0'10"

186,232

120,700B

A

158,048

P1

B

4 – Resumo de cálculo

186,232

120,700

210,8

03

153,320

133,

994

158,048

P0 P1

B

A

32°9'42"

54°17'28"46°27'0"

40°0'10"

48°20'30"

80°30'12"

45°1

2'20"

85°12

'30"

55..22 -- PPoolliiggoonnaall TTooppooggrrááffiiccaa

65

Uma poligonal topográfica é uma sucessão de alinhamentos topográficos. Quando tem caráter de

representar o arcabouço do levantamento de uma área, esta é denominada de poligonal básica ou poligonal

principal. Para materialização da poligonal principal utiliza-se dos métodos principais vistos anteriormen-

te (Item 5.1.1), sendo mais utilizado o processo por caminhamento.

A partir da poligonal principal, todos os elementos naturais e artificiais no qual sejam de interesse

à representação, são levantados utilizando-se de uma poligonal interna auxiliar, geralmente valendo-se dos

métodos secundários (Item 5.1.2), principalmente do processo por irradiação.

Todos os pontos da poligonal topográfica (principais e secundários) são denominados de pontos

topográficos. Estes pontos definem a área levantada topograficamente, podendo ser:

Naturais - São aqueles que já existem no terreno, o foram objeto de levantamento (ex.: torre de

igreja, árvores; postes, pontes, prédios, etc.);

Artificiais - São aqueles implantados ou assinalados no terreno especificamente para execução

do levantamento topográfico (piquetes, marcas de tinta, etc.).

Segundo a NBR 13.133, a poligonal principal determina os pontos do apoio topográfico de primei-

ra ordem. Uma poligonal dita de secundária é aquela que, apoiada nos vértices da poligonal principal, deter-

mina pontos do apoio topográfico de segunda ordem. Ainda, define-se por poligonal auxiliar, a poligonal

que, baseada nos pontos de apoio planimétrico, têm seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levanta-

da, de tal forma que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou por ordenadas

sobre uma linha-base, os pontos de detalhe julgados importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou

nível de detalhamento do levantamento.

Para implantação da poligonal topográfica, além dos instrumentos necessários à avaliação dos ân-

gulos e distâncias (teodolitos e trena ou distanciômetro), são utilizados alguns acessórios como (Figura 2.41):

Piquetes - São utilizados para demarcação do ponto topográfico;

Balizas - São utilizadas para materialização vertical do ponto topográfico;

Estaca testemunha - Geralmente é colocada ao lado do piquete, para auxiliar a localização e i-

dentificação do ponto topográfico;

Marco - Tem função similar à estaca testemunha, tendo a particularidade de maior resistência às

intempéries.

Com relação ao seu desenvolvimento, a poligonal pode ainda ser classificada como poligonal aber-

ta ou fechada (Figura 2.42).

Na poligonal aberta o ponto topográfico inicial não coincide com o final (ex.: trecho de uma estra-

da, trecho de um córrego, linha de transmissão de energia elétrica, sistema de esgoto, etc.).


66

Na poligonal fechada o ponto topográfico inicial coincide com o final. Esta é denominada também

de poligonal em “looping” (ex.: loteamento, medição de uma bacia hidrográfica, definição de uma área urba-

na ou rural, etc.).

Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica.

a) Aberta b) Fechada

Figura 2.42: Poligonal topográfica.

Exemplo 31: Na figura 2.43 observa-se uma área que foi levantada e representada em escala apro-

priada. Nesta, os pontos 00 a 09 são os pontos topográficos da poligonal principal, sendo esta desenvolvida

em “looping”. O córrego e a estrada foram levantados por poligonais internas auxiliares, sendo abertas.

67

Uma lagoa localizada à direita, foi levantada pelo processo de irradiação. As dimensões da benfeitoria, à

esquerda, foram levantadas e “amarradas” à estrada pelo processo de coordenadas retangulares.

Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade.

A NBR 13.133, considerando a aparelhagem, procedimentos, desenvolvimentos e materialização,

classifica as poligonais planimétricas em 05 classes:

a) Classe I P – Adensamento da rede geodésica (Transporte de coordenadas);

b) Classe II P – Apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como executado, e obras de

engenharia;

c) Classe III P – Adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como execu-

tado, e obras de engenharia;

d) Classe IV P - Adensamento do apoio topográfico para poligonais III P. Levantamentos topográ-

ficos para estudos de viabilidade em projetos de engenharia;

e) Classe V P – Levantamentos topográficos para estudos expeditos.

Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais. Medição Desenvolvimento

Lado Classe Angular Linear Extensão

máxima (L) Mínimo (Dmin)

Médio (Dméd)

Número máximo de

vértices

Materialização

I P Método das direções: Três séries de leituras conjuga-

Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico 50 km 1 km ≥ 1,5

km 11 Marcos de concreto ou pinos


68

das direta e inversa, hori-zontal e vertical. Teodoli-

to classe 3.

classe 2. Correção de temperatura e pressão.

II P

Método das direções; três séries de leituras conjuga-das direta e inversa, hori-zontal e vertical. Teodoli-

to classe 3.

Leituras recíprocas (vante e ré) com distanciômetro eletrônico

classe 1. Correção de temperatura e pressão.

15 km 100 m ≥ 190 m 31 Marcos de concreto ou pinos

III P

Método das direções com duas séries de leituras

conjugadas direta e inver-sa, horizontal e vertical.

Teodolito classe 2.


classe 1 ou medidas com trena de aço aferida com correções de dila-tação, tensão, catenária e redução

ao horizonte.

10 km 50 m ≥ 170 m 41

Marcos de concreto ou pinos no apoio topográfico. Pinos ou piquetes nas po-ligonais auxiliares

IV P

Método das direções com uma série de leituras con-jugadas direta e inversa,

horizontal e vertical. Teo-dolito classe 2.


classe 1 ou medidas com trena de aço aferida e controle taqueométri-co com leitura dos três fios ou e-

quivalente (teodolitos autoreduto-res)

07 km 30 m ≥ 160 m 41 Pinos ou piquetes

V P

Leitura numa só posição da luneta, horizontal e

vertical, com correções de colimação, PZ (ou de ín-

dice) com teodolito classe 1.

Observações taqueométricas (vante e ré) em miras centimétricas previ-amente aferidas, providas de nível esférico com leitura dos três fios ou equivalente (teodolitos autore-

dutores)

05 km (P) 02 km (S) 01 km (A)

30 m 90 m 41 (P) 21 (S) 12 (A)

Pinos ou piquetes

(P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar Fonte: NBR 13.133 Com relação às classes de teodolitos, distanciômetros (MED) e estações totais citados na tabela 2.5,

segundo a mesma norma tem-se:

Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos.

Classes de teodolitos Desvio-padrão - Precisão angu-lar

1 – Precisão baixa ≤ ± 30” 2 – Precisão média ≤ ± 07” 3 – Precisão alta ≤ ± 02”

Fonte: NBR 13.133

Tabela 2.7: Classificação dos MED.

Classes de teodolitos Desvio-padrão 1 – Precisão baixa ± (10 mm + 10 ppm x D)2 – Precisão média ± (5 mm + 5 ppm x D) 3 – Precisão alta ± (3 mm + 2 ppm x D)

D = Distância medida em km. Fonte: NBR 13.133 ppm = parte por milhão.

Tabela 2.8: Classificação de estações totais.

Classes de teodolitos Desvio-padrão - Precisão angular Desvio-padrão 1 – Precisão baixa ≤ ± 30” ± (10 mm + 10 ppm x D) 2 – Precisão média ≤ ± 07” ± (5 mm + 5 ppm x D) 3 – Precisão alta ≤ ± 02” ± (3 mm + 2 ppm x D)

Fonte: NBR 13.133

66 -- PPllaanniillhhaa ddee CCoooorrddeennaaddaass

69

A finalidade da coleta dos elementos naturais e artificiais através do levantamento topográfico é a

construção da planta topográfica. Sendo a planta topográfica o objetivo final da topografia, os conceitos e

procedimentos para sua construção merecem outra disciplina geralmente intitulada de “Desenho Topográfi-

co”. Porém deve-se ter conhecimento até então da possibilidade de representação ou desenho desta planta,

por dois processos distintos:

Coordenadas polares, onde com auxílio de transferidor e escalímetro, transfere-se ângulos e

distâncias tomados em campo;

Coordenadas retangulares, onde com auxílio de escalímetro transferem-se duas distâncias,

considerando dois eixos cartesianos.

Objetivando uma representação mais precisa do terreno, faz-se a transformação dos dados da ca-

derneta de campo (coordenadas polares) para coordenadas retangulares. Para esta operação seguir-se-á as se-

guintes etapas:

1 - Calcular o fechamento angular;

2 - Calcular os azimutes de todos os alinhamentos;

3 - Calcular as coordenadas relativas não corrigidas;

4 - Calcular o erro de fechamento linear;

5 - Calcular as coordenadas relativas corrigidas;

6 - Calcular as coordenadas absolutas.

Atenção:

Para o cálculo das irradiações, não é necessário envolver as etapas 1, 4, 5.

Estas etapas são comentadas nos próximos itens e reforçadas nos exemplos 38 e 39.

66..11 -- CCáállccuulloo ddoo FFeecchhaammeennttoo AAnngguullaarr

Quando estamos executando uma medida, sempre estaremos sujeito a erros. A partir do erro detec-

tado, a próxima etapa é verificar se este erro é admissível ou tolerável. Sendo o erro tolerável, faz-se a dis-

tribuição deste erro.

66..11..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo EErrrroo AAnngguullaarr


70

Para determinar o erro de fechamento angular de uma poligonal, primeiramente deve-se verificar se

esta se desenvolveu de forma aberta ou fechada (Item 5.2) e o processo de medida do ângulo horizontal,

ângulo horário (interno/externo) ou deflexão (Item 4.1.2).

a) Poligonal Aberta

Para calcular o erro de fechamento de uma poligonal aberta deve-se:

Conhecer o azimute inicial;

Calcular os azimutes dos lados da poligonal;

Comparar o último azimute calculado com o último azimute conhecido.

O erro será dado por:

b) Poligonal Fechada

Considerando que a poligonal fechada pode ser desenvolvida através da medida dos ângulos horá-

rios ou por deflexão, tem-se

Considerado por ângulos horários (interno/externo)

O erro será detectado caso o somatório dos ângulos da poligonal não for igual a:

onde

n - representa o número de lados da poligonal;

e o sinal ± significa: + ângulo horário externo;

- ângulo horário interno.

Exemplo 32: Seja a poligonal fechada, desenvolvida por ângulos horários internos e sua respectiva

caderneta de campo (Figura 2.44). Calcule o erro de fechamento angular.

Caderneta de Campo Estação Ponto Visado Ângulos Distâncias

1 2 70o 20’ 100,00 2 3 192o 03’ 90,00 3 4 71o 34’ 150,00 4 5 95o 43’ 76,00 5 1 110o 23’ 80,00

Soma 540o 03’

Erro = Azimute calculado - Azimute conhecido

angulos no∑ = ⋅ ±180 2( )

71

Figura 2.44: Erro de fechamento angular I.

Solução:

angulos no∑ = ⋅ ±180 2( ) = 180o . (5 - 2) = 180o . 3 = 540o

erro = 540o 03’ - 540o = + 03’ (erro por excesso !)

Considerado por deflexão

O erro será detectado caso a igualdade abaixo não ser verdadeira:

Deflexao direita Deflexao esquerda o− =∑∑ 360

Exemplo 33: Seja a poligonal fechada, desenvolvida por deflexão e sua respectiva caderneta de

campo (Figura 2.45). Calcule o erro de fechamento angular.

Caderneta de Campo Deflexão Estação Ponto Visado

Direita EsquerdaDistâncias

1 2 - 100o 30’ 100,00 2 3 10o 43’ - 90,00 3 4 - 120o 34’ 150,00 4 5 - 74o 15’ 76,00 5 1 - 75o 20’ 80,00

Soma 10o 43’ 370o 39’


72

Figura 2.45: Erro de fechamento angular II.

Solução:

Deflexao direita Deflexao esquerda o− =∑∑ 360

'56o359'39o370'43o10 =−

erro = 359o 56’ - 360o = - 04’ (erro por falta !)

66..11..22 –– TToolleerrâânncciiaa ddoo EErrrroo AAnngguullaarr

Visto a forma de detecção do erro de fechamento angular, deve-se agora analisá-lo. Para estabele-

cer a validade de um levantamento topográfico, deve-se ter parâmetros de comparação para aceitação ou re-

jeição deste levantamento. Desta forma, inúmeras regras e fórmulas são aplicadas, inclusive algumas basea-

das em fórmulas empíricas e outras nos conceitos do Ajustamento de Observações (Cap. 8).

Uma referência para validar um levantamento topográfico pode ser consultada na NBR 13.133.

Para aplicações em geral, pode-se utilizar a seguinte relação:

nbTolerância ⋅=

onde

b => Depende das diferentes classes de poligonais (Tabela 2.5);

n => Número de vértices da poligonal.

Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b.

73

Classe de poligonais Coeficiente (b) I P 6” II P 15” III P 20” IV P 40” V P 180”

Fonte: NBR 13.133

Exemplo 34: Baseado nos exemplos 32 e 33, considerando os dados abaixo, calcule a tolerância

angular.

Dados:

b = 2’; n = 5.

Solução:

nbTolerancia ⋅=

''28'4'47,45'2Tolerancia ==⋅=

Logo, os dois exemplos podem ser considerados dentro da tolerância.

66..11..33 –– DDiissttrriibbuuiiççããoo ddoo EErrrroo AAnngguullaarr

Considerando que o erro angular cometido no levantamento foi menor que a tolerância estipu-

lada inicialmente, a próxima etapa será a distribuição deste erro.

Considerando que a possibilidade de cometimento de erro na medida de qualquer ângulo é a mes-

ma, já que são medidas com o mesmo instrumento e nas mesmas condições, a correção será dada pela divisão

do erro angular pelo número total de lados da poligonal.

Deve-se atentar que a correção possui sinal contrário ao erro cometido

Exemplo 35: Baseado no exemplo 32, distribua o erro angular.

Solução:

O erro angular foi detectado por: angulos no∑ = ⋅ ±180 2( ) = 180o . 3 = 540o, ou seja,

erro = 540o 03’ - 540o - = 03’ (erro por excesso)

correção = Erro angular

Numero de lados


74

Como o erro foi por excesso, ou seja ultrapassou o esperado em 3’, o sinal da correção deve ser ne-

gativo.

correção = Erro angular

Numero de lados=−

= − = −3

50 6 36

', ' " para cada alinhamento

Caderneta de Campo Est/P.V. Ângulos horários lidos Correção Ângulos horários corrigidos Distância

1-2 70o 20’ - 36” 70o 19’ 24” 100,000 2-3 192o 03’ - 36” 192o 02’ 24” 90,000 3-4 71o 34’ - 36” 71o 33’ 24” 150,000 4-5 95o 43’ - 36” 95o 42’ 24” 76,000 5-1 110o 23’ - 36” 110o 22’ 24” 80,000

Soma 540o 03’ - 3’ 540o 00’ 00”

66..22 -- CCáállccuulloo ddee AAzziimmuutteess

Sabendo que o levantamento pode utilizar-se de ângulos horários ou por deflexão tem-se:

a) Considerando ângulos por deflexão

O cálculo do azimute em função dos ângulos por deflexão obtidos em campo, pode ser dado por:

sendo + se deflexão à direita;

- se deflexão à esquerda.

Exemplo 36: Dado a caderneta de campo abaixo, calcule os azimutes (Figura 2.46).

Solução:

AZB-C = AZA-B + Dd = 100o + 120o = 220o

AZC-D = AZB-C - De = 220o + 110o = 110o

Caderneta de Campo Alinhamentos Azimute lido Deflexão Azimute calculado

A-B 100o B-C 120o D 220o C-D 110o E 110o

Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão

75

Figura 2.46: Cálculo de azimutes I.

b) Considerando ângulos horários

Os azimutes calculados serão dados pela seguinte expressão:

sendo + 180o se a soma entre parêntesis for inferior a 180o

- 180o se a soma entre parêntesis for superior a 180o e inferior a 540o

- 540o se a soma entre parêntesis for superior a 540o

Exemplo 37: Dado a caderneta de campo abaixo, calcule os azimutes (Figura 2.47).

Solução:

AZB-C = AZA-B + âng. hor. = 100o + 300o = 400o

(540o > soma > 180o logo “ - 180o ”) = 400o - 180o = 220o

AzC-D = Az-BC + âng. hor. = 220o + 70o = 290o

(540o > soma > 180o logo “ - 180o ”) = 290o - 180o = 110o

Caderneta de Campo

Alinhamentos Azimute lido Ângulo horário Azimute calculado A-B 100o B-C 300o 220o C-D 70o 110o

Azimute calculado = (Azimute anterior + ângulo horário) ± 180o (ou - 540o)


76

Figura 2.47: Cálculo de azimutes II.

66..33 -- CCáállccuulloo ddaass CCoooorrddeennaaddaass RReellaattiivvaass NNããoo CCoorrrriiggiiddaass

O cálculo das coordenadas relativas ou parciais relaciona os ângulos corrigidos e distâncias me-

didas em campo. Considerando que o levantamento topográfico está orientado com relação ao norte magné-

tico ou ao norte verdadeiro, impõe-se que esta direção coincida com o eixo das ordenadas Y. O eixo da abs-

cissa X forma 90o com este primeiro, perfazendo o par de eixos cartesianos.

Desta forma utiliza-se da trigonometria para calcular as coordenadas relativas, pelas seguintes rela-

ções:

Os sinais das coordenadas relativas devem ser considerados e estarão diretamente relacionados com

o quadrante em que pertence o ponto topográfico.

Pela figura 2.48 observa-se que o sinal de abscissa positiva (x +) está no sentido a leste (azimute é

menor que 180o ou rumo em NE e SE). Tem-se para o sinal de abscissa negativa (x -), os valores no sentido

oeste (azimute é menor que ou rumo em SO e NO).

Para as ordenadas, os valores positivos estão no sentido norte (azimute maior que 270o e menor

que 90o ou rumo em NO e NE). As ordenadas negativas estão no sentido sul (azimute entre 90o e 270o ou

rumo em SE e SO) (Figura 2.48).

xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B - (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B - (ordenada relativa)

77

Exemplo 38: Dado a figura 2.49, calcule as coordenadas relativas.

Solução:

xA-B = DA-B . sen AZA-B = 100 . sen 45o 35’= + 71,427 m

yA-B = DA-B . AZA-B - = 100 .cos 45o 35’ = + 69,987 m

xB-C = DB-C . sen AZB-C = 85 . sen (180o - 50o 43’) = + 65,792 m

yB-C = DB-C . cos AZB-C = 85 . cos (180o - 50o 43’) = - 53,818 m

Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II.

Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I.


78

66..44 -- CCáállccuulloo ddoo FFeecchhaammeennttoo LLiinneeaarr

66..44..11 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo EErrrroo LLiinneeaarr

O cálculo do erro de fechamento linear é dado pelas seguintes expressões:

onde

El - Erro total absoluto de fechamento linear;

ex - Erro de fechamento nas abscissas;

ey - Erro de fechamento nas ordenadas.

O erro relativo será dado por:

LElEr =

onde

Er - Erro relativo; L - Perímetro em metros;

El - Erro total absoluto de fechamento linear;

O cálculo do erro relativo já pode ser uma indicação da precisão do levantamento, por exemplo, se

o erro relativo é igual a 1/10.000 (Er = 1/10.000), tem-se um erro de 1m para 10 km, ou 1cm para 100 m;

precisão razoável para várias aplicações da Agrimensura.

66..44..22 –– TToolleerrâânncciiaa ddoo EErrrroo LLiinneeaarr

Como comentado anteriormente, ao cometer um erro, deve-se analisar se este é tolerável. A tole-

rância, segundo a NBR 13.133, para poligonais do Tipo 1, pode ser definida como:

)km(LdT ⋅=

onde d – Coeficiente que expressa a tolerância para o erro de fechamento linear em m/km de desenvolvimen-

to poligonal, e depende do tipo de poligonal (Tabela 2.5);

e L, é o perímetro medido, expresso em quilômetros.

22 eyexEl +=

∑ ∑ −++= )(x)(xex

∑ ∑ −++= )(y)(yey

79

Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d.

Classe de poligonais Coeficiente d (m)I P 0,10 II P 0,30 III P 0,42 IV P 0,56 V P 2,20

I PRC 0,07 II PRC 0,30

Fonte: NBR 13.133

66..55 -- CCáállccuulloo ddaass CCoooorrddeennaaddaass RReellaattiivvaass CCoorrrriiggiiddaass

Para cálculo da correção das coordenadas relativas, existem dois processos usualmente emprega-

dos:

Processo 1 - Proporcional às Distâncias

Os erros são distribuídos proporcionalmente às distâncias medidas em campo, e seguirá a seguinte

sequência de cálculo:

a) Achar os fatores em x e em y.

sendo P o perímetro em metros.

b) Achar a correção em x e em y, multiplicando o fator pelas distâncias.

Processo 2 - Proporcional às Coordenadas Relativas

Os erros são distribuídos proporcionalmente às coordenadas relativas calculadas, e seguirá a se-

guinte seqüência de cálculo:

fatorx = exP

; fatory = eyP

Correção x1-2 = fatorx . dist1-2; Correção y1-2 = fatory . dist1-2


80

a) Achar os fatores em x e em y.

∑ x => somar todos os valores de abscissas;

∑ y => somar todos os valores de ordenadas.

b) Achar a correção em x e em y, multiplicando o fator pelas coordenadas relativas.

Deve-se atentar para que toda correção deva ter sinal contrário ao erro linear cometido, para

cumprir seu objetivo. A coordenada relativa corrigida será dada pela coordenada relativa com erro mais ou

menos a correção:

Para levantamentos topográficos de áreas não muito extensas, e sua precisão angular for semelhan-

te à linear utiliza-se do método 1. Quando no levantamento usa-se precisão angular superior à linear, o méto-

do 2 é mais indicado. Estes dois métodos são demonstrados nos exemplo 39 e 40.

66..66 -- CCáállccuulloo ddaass CCoooorrddeennaaddaass AAbbssoolluuttaass

Finalmente deve-se determinar as coordenadas absolutas, ou seja, aquelas que realmente servirão à

construção da planta topográfica. Para que o polígono se situe no primeiro quadrante (NE), atribui-se no pon-

to de partida, valores arbitrários positivos. Outra opção é adotar as coordenadas UTM para este ponto de par-

tida, sendo esta a escolha mais ideal.

As coordenadas absolutas serão dadas pelas seguintes expressões:

Estes cálculos são demonstrados nos exemplos 39 e 40.

fatorx = ∑ xex

; fatory = ∑ yey

Correção x1-2 = fatorx . x1-2; Correção y1-2 = fatory . y1-2

Coord. relativa corrigida = Cood. rel. com erro ± correção

Xn = Xn - 1 + x Yn = Yn - 1 + y

81

66..77 –– EExxeemmppllooss ddee CCáállccuulloo ddee PPllaanniillhhaa ddee CCoooorrddeennaaddaass

A seguir serão apresentados 2 exemplos de cálculo de planilha de coordenadas, contemplando os

itens vistos acima (itens 6.1 a 6.6).

Deve-se acompanhar cada etapa de cálculo com o embasamento teórico visto anteriormente, e prin-

cipalmente o cálculo das irradiações. Segue ainda um desenho das respectivas cadernetas de campo para es-

clarecimento dos cálculos. No cálculo da correção linear (Item 6.5) foi utilizado o processo 1 no exemplo 39

e os dois processos, para comparação, no exemplo 40.

66..77..11 -- EExxeemmpplloo 3399

Elaborada uma poligonal topográfica da classe V P (Tabela 2.5), com sua caderneta de campo e o

croqui da área a seguir (Figura 2.50), pede-se:

1 - Cálculo do Fechamento Angular

2 - Cálculo de Azimutes

3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas

4 - Cálculo do Fechamento Linear

5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas

6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas

Valores para definição das tolerâncias:

Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2.9)

Linear => d = 2,20 m (Tabela 2.10)

Obs.: Na caderneta, todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram cal-

culados.

82

Planilha de Cálculo de Coordenadas

Est.

Deflexão

Azimutes

Distâncias

Coordenadas Parciais não Corrigidas (m)

Correções (m)

Coordenadas Parciais Corrigidas (m)

Coordenadas Totais (metros)

Lida Corr. Corrigida x = D .sen AZ y = D .cos AZ Cx Cy x y X Y 0-1 120o 02’ E - 1’ 120o 01’ E 150o 00’ (lido) 20,100 + 10,050 - 17,407 - 0,022 + 0,010 + 10,028 - 17,397 100,000 100,000 1-2 120o 03’ E - 1’ 120o 02’ E 29o 58’ 20,050 + 10,015 + 17,370 - 0,022 + 0,010 + 9,993 + 17,380 110,028 82,603 1-a 40o 45’ E - 40o 45’ E 109o 15’ 10,000 + 9,441 - 3,297 - - + 9,441 - 3,297 119,469 79,306 2-0 119o 58’ E - 1’ 119o 57’ E 270o 01’ 20,000 - 20,000 + 0,006 - 0,021 + 0,011 - 20,021 + 0,017 120,021 99,983

Σ 360o 03’ 360o 00’ 60,150 + 0,065 - 0,031 - 0,065 + 0,031 0,000 0,000

Figura 2.50: Poligonal topográfica I.

82

83

Solução:


a) Cálculo do erro angular

'03360'03360'03360'033600

360esquerdaDeflexãodireitaDeflexãooooo

o

+=−∴=−

=−∑ ∑

Erro de 3’ por excesso.

b) Cálculo da tolerância angular

nbTolerância ⋅=

Considerando: b = 3’ e n = 3, têm-se:

''12'5'196,53'3Tolerância ≅=⋅=

Erro (3’) < Tolerância (5’ 12”) - Dentro da tolerância !

c) Cálculo da correção angular

correção = ladocadapara'13

'3ladosdeNúmero

angularErro−=

−= .

Observe que a irradiação não sofreu correção.


Como a deflexão é a esquerda tem-se:

Azimute calculado = Azimute anterior - Deflexão

AZ0-1 = 150o 00’(Este é obtido em campo, sem possibilidade de alteração)

AZ1-2 = AZ0-1 - De = 150o - 120o 02’ = 29o 58’

AZ2-0 = AZ1-2 - De = 29o 58’ - 119o 57’ = - 89o 59’ (não podendo ficar negativo, soma-se 360o)

- 89o 59’ + 360o = 270o 01’

AZ0-1= AZ2-0 - De = 270o 01’ - 120o 01’ = 150o 00’

Irradiação:

AZ1-a = AZ0-1 - De = 150o - 40o 45’ = 109o 15’ (Observe que o anterior é o AZ0-1)


Azimute calculado = Azimute anterior ± Deflexão


84

x0-1 = D0-1 . sen AZ0-1 = 20,100 . sen 150o 00’= + 10,050 m

x1-2 = D1-2 . sen AZ1-2 = 20,050 . sen 29o 58’ = + 10,015 m

x2-0 = D2-0 . sen AZ2-0 = 20,000 . sen 270o 01’ = - 20,000 m

y0-1 = D0-1 . cos AZ0-1 = 20,100 . cos 150o 00’= - 17,407 m

y1-2 = D1-2 . cos AZ1-2 = 20,050 . cos 29o 58’ = + 17,370 m

y2-0 = D2-0 . cos AZ2-0 = 20,000 . cos 270o 01’ = + 0,006 m

Irradiação:

x1-a = D1-a . sen AZ1-a = 10,000 . sen 109o 15’ = + 9,441 m

y1-a = D1-a . cos AZ1-a = 10,000 . cos 109o 15’ = - 3,297 m


a) Cálculo do erro linear

2ey2exEl +=

=∑ ∑ −++= )(x)(xex (10,050 + 10,015) + (- 20,000) = + 0,065 m

∑ ∑ −++= )(y)(yey = (17,370 + 0,006) + (- 17,407) = - 0,031 m

( ) m072,0031,0065,0El 22 =−+=

b) Cálculo da tolerância linear

)km(LdT ⋅=

Considerando d = 2,20 m (Tabela 2.10)

e L = 0,0601 (soma dos lados em quilômetros) tem-se:

m539,00601,020,2T =⋅=

Erro (0,072 m) < Tolerância (0,539 m) => Dentro da tolerância !

c) Cálculo do erro relativo linear

O erro relativo é dado por:

xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B (ordenada relativa)

85

8001

8351

15,60072,0

LElEr ≅===

sendo El e L em metros.

ou seja, projeta um erro de 1 cm a cada 8,000 m, sendo uma precisão ruim para algumas aplicações da Agri-

mensura.


Será utilizado o processo 1 (proporcional às distâncias), por ser uma poligonal pequena.

a) Cálculo dos fatores em x e em y.

fatorx = exP

x=−

= − −0 06560 150

1 08063 10 3.,

,

fatory = eyP

x=+

= + −0 03160 150

5 15378 10 4,,

,


b) Cálculo da correção em x e em y

Deve-se observar que o sinal da correção deve ser contrário ao do erro.


Corr x0-1 = fatorx . dist0-1 = - 1,08063 x 10-3 . 20,100 = - 0,022 m



Corr y0-1 = fatory . dist0-1 = + 5,15378 x 10-4 . 20,100 = + 0,010 m

Corr y1-2 = fatory . dist1-2 = - 1,08063 x 10-3 . 20,050 = + 0,010 m

Corr y2-0 = fatory . dist2-0 = - 1,08063 x 10-3 . 20,000 = + 0,011 m

A irradiação não sofre correção.

c) Coordenada relativa corrigida

Basta somar a correção à coordenada relativa não corrigida:


86

x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 10,050 - 0,022 = + 10,028 m

................................................................................................

y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = - 17,407 + 0,010 = + 17,397 m

................................................................................................

Obs.: O restante dos cálculos está na caderneta.


Para determinação das coordenadas absolutas, adotou-se valores para as coordenadas X e Y iniciais

(ponto 0).

X0 = 100,000 m;

Y0 = 100,000 m

X1 = X0 + x0-1 = 100,000 + 10,028 = 110,028 m

X2= X1+ x1-2= 110,028 + 9,993 = 120,021 m

X0 = X2+ x2-0= 120,021 + ( - 20,021) = 100,000 m

Y1 = Y0 + y0-1 = 100,000 + ( - 17,397) = 82,603 m

Y2= Y1+ y1-2= 82,603 + 17,380 = 99,983 m

Y0 = Y2+ y2-0= 99,983 + 0,017 = 100,000 m

Irradiação:

Xa = X1 + x1-a = 110,028 + 9,441 = 119,469 m

Ya = Y1 + y1-a = 82,603 + ( - 3,297) = 79,306 m

66..77..22 -- EExxeemmpplloo 4400

87

Elaborada uma poligonal topográfica da classe IV P (Tabela 2.5), com sua caderneta de campo e o

croqui da área a seguir (Figura 2.51), pede-se:








Angular => b = 40” (Tabela 2.9);

Linear => d = 0,56 m (Tabela 2.10).

Obs.: Na caderneta, todos os valores em fonte normal são dados de campo e em negrito foram cal-

culados.

Figura 2.51: Poligonal topográfica II.


88

Planilha de Cálculo de Coordenadas

Ângulo horário Coordenadas Parciais (m) Correções (m) Coordenadas

Parciais Corr. (m) Coordenadas Totais

(metros) Est. Lido Corr. Corrigido

Azimutes Dist. (m)

x = D .sen AZ x = D .cos AZ Cx1 Cy1 Cx2 Cy2 x y X Y

0-1 62o 35’ 20” - 05” 62o 35’ 15” 60o 00’ 00” 411,340 + 356,231 + 205,670 + 0,055 + 0,039 + 0,075 + 0,035 + 356,286 + 205,709 1.000,000 1.000,000

1-2 230o 45’ 30” - 05” 230o 45’ 25” 110o 45’ 25” 339,230 + 317,211 - 120,225 + 0,045 + 0,032 + 0,067 + 0,020 + 317,256 - 120,193 1.356,286 1.205,709

2-3 65o 15’ 40” - 05” 65o 15’ 35” 356o 01’ 00” 408,500 - 28,377 + 407,513 + 0,054 + 0,039 + 0,006 + 0,069 - 28,323 + 407,552 1.673,542 1.085,516

2-i1 90o 30’ 00” - 90o 30’ 00” 21o 15’ 25” 100,300 + 36,364 + 93,476 - - - - + 36,364 + 93,476 1.709,906 1.178,992

3-4 88o 12’ 40” - 05” 88o 12’ 35” 264o 13’ 35” 530,330 - 527,640 - 53,350 + 0,070 + 0,051 + 0,111 + 0,009 - 527,570 - 53,299 1.645,219 1.493,068

3-i2 70o 20’ 00” - 70o 20’ 00” 246o 21’ 00” 100,200 - 91,785 - 40,195 - - - - - 91,785 - 40,195 1.553,434 1.452,873

3-i3 100o 40’ 00” - 100o 40’ 00” 276o 41’ 00” 90,100 - 89,488 + 10,486 - - - - - 89,488 + 10,486 1.555,731 1.503,554

4-5 126o 10’ 30” - 05” 126o 10’ 25” 210o 24’ 00” 252,450 - 127,748 - 217,742 + 0,033 + 0,024 + 0,027 + 0,037 - 127,715 - 217,718 1.117,649 1.439,769

5-0 147o 00’ 50” - 05” 147o 00’ 45” 177o 24’ 45” 222,300 + 10,036 - 222,073 + 0,030 + 0,022 + 0,001 + 0,037 + 10,066 - 222,051 989,934 1.222,051

1.000,000 1.000,000

Σ 720o 00’ 30” 720o 00’ 00” 2.164,150 - 0,287 - 0,207 + 0,287 + 0,207 + 0,287 + 0,207 0,000 0,000

88

89

Solução:


a) Cálculo do erro angular

)2n(180ângulos o ±⋅=∑ ; Sendo n = 6 e ângulos horários internos tem-se:

oo 720)26(180ângulos =−⋅=∑

"30'000720"30'00720"30'00720ângulos oooo +=−∴=∑

ou seja, erro de 30” por excesso.


nbTolerância ⋅=

Considerando: b = 40’’ e n = 6, tem-se:

''38'1''979,976''40Tolerância ≅=⋅=

Erro (30’’) < Tolerância (1’ 38”) => Dentro da tolerância !

c) Distribuição do erro angular

correção = ladocadapara''56

''30ladosdeNúmero

angularErro−=

−=



AZ0-1 = 60o 00’ 00”(Este é obtido em campo, sem possibilidade de alteração)

AZ1-2 = (AZ0-1 + Ang. hor.1-2) = 60o 00’ 00” + 230o 45’ 25” =

= 290o 45’ 25” - 180o = 110o 45’ 25”

AZ2-3 = (AZ1-2 + Ang. hor.2-3) = 110o 45’ 25” + 65o 15’ 35” =

= 176o 01’ 00” + 180o = 356o 01’ 00”


Resumo Se (soma < 180o) (soma + 180o) Se (540o > soma > 180o) (soma - 180o) Se (soma > 540o) (soma - 540o)


90

AZ3-4 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-4) = 356o 01’ 00” + 88o 12’ 35” =

= 444o 13’ 35” - 180o = 264o 13’ 35”

AZ4-5 = (AZ3-4 + Ang. hor.4-5) = 264o 13’ 35” + 126o 10’ 25” =

= 390o 24’ 00” - 180o = 210o 24’ 00”

AZ5-0 = (AZ4-5 + Ang. hor.5-0) = 210o 24’ 00” + 147o 00’ 45” =

= 357o 24’ 45” - 180o = 177o 24’ 45”

AZ0-1 = (AZ5-0 + Ang. hor.0-1) = 177o 24’ 45” + 62o 35’ 15” =

= 240o 00’ 00” - 180o = 60o 00’ 00”

Irradiações:

AZ2-i1 = (AZ1-2 + Ang. hor.2-i1) = 110o 45’ 25” + 90o 30’ 00” =

= 201o 15’ 25” - 180o = 21o 15’ 25”

AZ3-i2 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-i2) = 356o 01’ 00” + 70o 20’ 00” =

= 426o 21’ 00” - 180o = 246o 21’ 00”

AZ3-i3 = (AZ2-3 + Ang. hor.3-i3) = 356o 01’ 00” + 100o 40’ 00” =

= 456o 41’ 00” - 180o = 276o 41’ 00”


Obs.: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os re-

sultados constam da caderneta de cálculo.

x0-1 = D0-1 . sen AZ0-1 = 411,340 . sen 60o 00’ 00” = + 356,231 m

x1-2 = D1-2 . sen AZ1-2 = 339,230 . sen 110o 45’ 25” = + 317,211 m

......................................................................................................

x5-0 = D5-0 . sen AZ5-0 = 222,300. sen 177o 24’ 45” = + 10,036 m

y0-1 = D0-1 . cos AZ0-1 = 411,340 . cos 60o 00’ 00” = + 205,670 m

y1-2 = D1-2 . cos AZ1-2 = 339,230 . cos 110o 45’ 25” = - 120,240 m

......................................................................................................

y5-0 = D5-0 . cos AZ5-0 = 222,300. cos 177o 24’ 45” = - 222,073 m

Irradiação:

x2-i1 = D2-i1 . sen AZ2-i1 = 100,300 . sen 21o 15’ 25” = + 36,364 m

y2-i1 = D2-i1 . cos AZ2-i1 = 100,300 . cos 21o 15’ 25” = + 93,476 m


xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B (abscissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B (ordenada relativa)

91


2ey2exEl +=

=∑ ∑ −++= )(x)(xex (683,478) + ( - 683,765) = - 0,287 m

∑ ∑ −++= )(y)(yey = (613,183) + ( - 613,390) = - 0,207 m

( ) ( ) m354,0125,0207,0287,0El 22 ==−+−=


)km(LdT ⋅=

Considerando d = 0,56 m e L = 2,16415 (em quilômetros) tem-se:

m824,016415,256,0T =⋅=

Erro (0,354 m) < Tolerância (0,824 m) => Dentro da tolerância !


000.61

418,113.61

150,164.2354,0

LElEr ≅===

ou seja, projeta um erro de 1 cm a aproximadamente 60 m, sendo uma precisão boa para algumas aplicações

da Agrimensura.


Serão utilizados os dois processos (proporcional às distâncias e às coordenadas relativas), apenas

para exercitá-los. Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os

resultados constam da caderneta de cálculo.

Processo 1 - Proporcional às distâncias


fatorx = exP

x=+

= + −0 2872 164 150

1 32615 10 4,. ,

,

fatory = eyP

x=+

= + −0 2072 164 150

9 56496 10 5,. ,

,



92




Corr x0-1 = fatorx . dist0-1 = + 1,32615 x 10-4 . 411,340 = + 0,055 m

....................................................................................................

Corr x5-0 = fatorx . dist5-0 = + 1,32615 x 10-4 . 222,300 = + 0,029 m

Corr y0-1 = fatory . dist0-1 = + 9,56495 x 10-5 . 411,340 = + 0,039 m

....................................................................................................

Corr y5-0 = fatory . dist5-0 = + 9,56495 x 10-5. 222,300 = + 0,021 m

Processo 2 - Proporcional às coordenadas relativas.


fatorx = 410x09911,2243,367.1

287,0x

ex −+=+

=∑

fatory = 410x68763,1573,226.1

207,0y

ey −+=+

=∑



Correção x1-2 = fatorx . x1-2; Correção y1-2 = fatory . y1-2

Corr x0-1 = fatorx . x0-1 = + 2,09911 x 10-4 . 356,231 = + 0,075 m

....................................................................................................

Corr x5-0 = fatorx . x5-0 = + 2,09911 x 10-4 . 10,036 = + 0,002 m

Corr y0-1 = fatory . y0-1 = + 1,68763 x 10-4 . 205,670 = + 0,035 m

....................................................................................................

Corr y5-0 = fatory . y5-0 = + 1,68763 x 10-5. 222,073 = + 0,037 m

Finalmente, as coordenadas relativas corrigidas serão dadas pela coordenada relativa não corrigida

mais ou menos a correção (Obs.: Neste exemplo, utilizaram-se apenas as correções calculadas pelo processo

1).

x1-2(corrigida) = x1-2(erro) + Corr x1-2 = + 356,231 - 0,055 = + 356,286 m

93

................................................................................................

x5-0(corrigida) = x5-0(erro) + Corr x5-0 = + 10,036 + 0,030 = + 10,066 m

y1-2(corrigida) = y1-2(erro) + Corr y1-2 = + 205,670 + 0,039 = + 205,709 m

................................................................................................

y5-0(corrigida) = y5-0(erro) + Corr y5-0 = - 222,073 + 0,022 = - 222,051 m

Obs.: As irradiações não sofrem correção. O restante dos cálculos está na caderneta.



(ponto 0).

X0 = 1.000,000 m

Y0 = 1.000,000 m

X1 = X0 + x0-1 = 1.000,000 + 356,286 = 1.356,286 m

X2= X1+ x1-2= 1.356,286 + 317,256 = 1.673,542 m

.................................................................................

X0 = X5+ x5-0= 989,934 - 10,066 = 1.000,000 m

Y1 = Y0 + y0-1 = 1.000,000 + 205,709 = 1.205,709 m

Y2= Y1+ y1-2= 1.205,709 - 120,193 = 1.085,516 m

.................................................................................

Y0 = Y5+ y5-0= 1.222,051 - 222,051 = 1.000,000 m

Irradiação:

Xi1 = X2 + x2-i1 = 1.673,542 + 36,364 = 1.709,906 m

.................................................................................

Yi1 = Y2 + y2-i1 = 1.085,516 + 93,476 = 1.178,992 m

.................................................................................

77 -- CCáállccuulloo ddee ÁÁrreeaass PPllaannaass

A medição da área plana de uma localidade é importante para a maioria dos problemas de engenha-

ria, principalmente quando envolvam estudos de custos.


94

Os cálculos para quantificar as áreas são relativamente simples, porém um custo muito alto quando

realizado manualmente. A utilização de computadores considerando o método analítico, agiliza o cálculo de

áreas. Entre alguns exemplos de aplicação do conhecimento da área plana, pode-se citar:

Construção de loteamentos - Dimensionamento de lotes, cálculo de impostos, titulação de terras;

Construção de barragens - Medição de áreas a serem desapropriadas, medição da bacia hidrográ-

fica, avaliação da capacidade do reservatório, dimensionamento da barragem;

Construção de portos - Previsão do tempo entre dragagens do canal, pagamento dos serviços de

draga;

Construção de túneis e minas - Avaliação de jazidas, análise de custo de transporte de material;

Construção de estradas - Medição de áreas a serem desapropriadas, estimativas de material para

construção de cortes e aterros, análise de custos para transporte de material de corte e aterro, previsão de

tempo para execução da obra em função da quantidade e tipo de material a ser retirado ou depositado.

Entre os métodos para cálculo de áreas, cita-se 5 tipos:

Métodos gráficos - Método de Garceau e Método de Collignon;

Métodos analíticos - Coordenadas polares, Fórmula do trapézio, Fórmula de Gauss;

Métodos de decomposição - Decomposição em polígonos, Decomposição em triângulos e Fór-

mulas para lados curvos;

Métodos mecânicos - Planímetro polar;

Métodos de comparação - Quadrícula.

São discutidos a seguir o método analítico pela fórmula de Gauss, o método de decomposição

em polígonos e o método de comparação por quadrículas.

77..11 -- MMééttooddoo AAnnaallííttiiccoo ppeellaa FFóórrmmuullaa ddee GGaauussss

É possível o cálculo por processo analítico da área de uma poligonal conhecendo as coordenadas

relativas e absolutas dos vértices.

Para isto, aplica-se a fórmula de Gauss para cálculo de áreas, baseado na fórmula do trapézio. Este

é considerado o método mais preciso para cálculo de áreas de poligonais topográficas.

95

Considerando a figura a lado (Figura

2.52), o polígono ABC e suas projeções relati-

vas e absolutas segundo os eixos x e y, tem-se

que a área do polígono pode ser avaliada como

(Figura 2.53):

Área MABNM + Área NBCPN - Área MACPM

= Área do polígono

Considerando as ordenadas absolutas YA, YB e YC e as abscissas relativas xA-B, xB-C e xC-A, pode-

se escrever:

( ) ( ) ( )YA YB xA B YB YC xB C YC YA xC A+ ⋅ − ++ ⋅ − −

+ ⋅ − =2 2 2

área do polígono.

Reajustando a fórmula:

( )YA YB xA B+ ⋅ − + ( )YB YC xB C+ ⋅ − - ( )YC YA xC A+ ⋅ − = 2.área do polígono.

Então, a área dupla será igual à soma binária das ordenadas absolutas pelas abscissas relativas

corrigidas.

Da mesma maneira, pode-se considerar o outro eixo de projeção e teria como a área dupla da área a

soma binária das abscissas absolutas pelas ordenadas relativas. Logo:

( )X X yA B AB+ ⋅ - ( )X X yB C BC+ ⋅ + ( )X X yC A CA+ ⋅ = 2.área

Para exemplificar, utilizaremos os valores das planilhas de cálculo dos exemplos 39 e 40 do item

6.7. Observe que com o preenchimento correto da planilha de cálculo de áreas, em muita facilita o cálculo da

área.

Figura 2.52: Cálculo de área I.

Figura 2.53: Cálculo de área II.


96

Exemplo 41: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 39, calcule a área da poligonal topográfica.

Solução: Est. Coordenadas

Relativas Coordenadas

Absolutas ∑X ∑Y Áreas Duplas

x . ∑Y Áreas Duplas

y . ∑X x y X Y + - + -

0 + 10,028 - 17,397 100,000 100,000 210,028 182,603 1.831,143 3.653,857 1 + 9,993 + 17,380 110,028 82,603 230,049 182,586 1.824,582 3.998,252 2 - 20,021 + 0,017 120,021 99,983 220,021 199,983 4.003,860 3,740 0 100,000 100,000

Soma = 3.655,725 = 4.003,860 = 4.001,992 = 3.653,857 Área (2.S) 2.S = - = - 348,135 2.S = - = 348,135 Área (S) S = 174,068 m2 = 0,01740 (ha)

Exemplo 42: Baseado na planilha de coordenadas do exemplo 40, calcule a área da poligonal topográfica.

Solução: Est. Coordenadas

Relativas Coordenadas

Absolutas ∑X ∑Y Áreas Duplas

x . ∑Y Áreas Duplas

y . ∑X x y X Y + - + -

0 + 356,286 + 205,709 1.000,000 1.000,000 2.356,286 2.205,709 785.863,237 484.709,237 1 + 317,256 - 120,193 1.356,286 1.205,709 3.029,828 2.291,225 726.904,879 364.164,117 2 - 28,323 + 407,552 1.673,542 1.085,516 3.318,761 2.578,584 73.033,235 1.352.567,683 3 - 527,570 - 53,299 1.645,219 1.493,068 2.762,868 2.932,837 1.547.276,816 147.258,102 4 - 127,715 - 217,718 1.117,649 1.439,769 2.107,583 2.661,820 339.954,341 458.858,756 5 + 10,066 - 222,051 989,934 1.222,051 1.989,934 2.222,051 22.367,165 441.866,835 0 1.000,000 1.000,000

Soma = 1.535.135,281 =1.960.264,392 = 1.837.276,920 = 1.412.147,809 Área (2.S) 2.S = - = - 425.129,111 2.S = - = 425.129,111 Área (S) S = 212.564,555 m2 = 21,256 ha

96

97

77..22 -- MMééttooddoo ddee DDeeccoommppoossiiççããoo eemm PPoollííggoonnooss

Qualquer que seja o método discutido anteriormente, deve-se levar em consideração a escala da re-

presentação. Os processos gráficos podem falsear a avaliação da área plana, e devem ser evitados quando se

requer precisão.

O método de decomposição em polígonos geralmente é aplicado em poligonais regulares, as quais

permitam o traçado de um alinhamento que a atravesse. Para totalização da área, deve-se recorrer às expres-

sões da geometria plana, que fornecem a área de figuras como triângulos, retângulos, trapézios e outros.

Exemplo 43: Baseado no exemplo 40, do item 6.7.1, calcule a área da poligonal topográfica (Figu-

ra 2.54).

Solução:

Área 1 (trapézio) = (468 + 278) x 160 / 2 = 59.680 m2

Área 2 (trapézio) = (468 + 78) x 190 / 2 = 51.870 m2

Área 3 (triângulo) = (697 x 280) / 2 = 97.580 m2

Área 4 (triângulo) = (78 x 347) / 2 = 13.533 m2

Área total = 1 + 2 + 3 + 4 = 222.663,500 m2

Área correta = 212.564,555 => Erro de 10.098,945 m2 (≅ 5 %)

Figura 2.54: Cálculo de área III.


98

77..33 -- MMééttooddoo ddee CCoommppaarraaççããoo ppoorr QQuuaaddrrííccuullaass

Consiste em determinar um padrão unitário de área e seu correspondente real, em função da escala

da representação. Bastará contar quantas unidades do padrão se ajustam nos limites da propriedade e assim

por simples regra de três obter o total da área.

A precisão do método está vinculada à estabilidade na reprodução do padrão assim como ao tama-

nho físico do mesmo.

Exemplo 44: Baseado no exemplo 40, do item 6.7.1, calcule a área da poligonal topográfica (Figu-

ra 2.55).

Área total = 226.250,000 m2

Área correta = 212.564,555 m2

Erro de 13.685,445 m2 (≅ 6 %)

Figura 2.55: Cálculo de área IV.

99

OObbsseerrvvaaççõõeess ee aannoottaaççõõeess -- CCaapp.. 22 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


100

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

101


A Altimetria trata dos métodos e instrumentos topográficos empregados no estudo e representação

do relevo do terreno. Para estes objetivos, as medidas são efetuadas na vertical ou considerando um plano

vertical, obtendo-se distâncias verticais ou diferenças de nível, e ângulos verticais (COSMATRI, 1987).

O nivelamento é a operação ou prática topográfica para definir a altimetria do terreno, ou seja,

tem o objetivo de determinar as diferenças de altura entre pontos deste terreno.

O princípio fundamental para o estudo da altimetria é a identificação de superfícies de referência de

nível, que sirvam de comparação entre os vários pontos do terreno.

11..11 -- SSuuppeerrffíícciieess ddee RReeffeerrêênncciiaa ddee NNíívveell

Considerando um corte vertical no terreno, pode-se considerar três superfícies básicas (Figura 3.1):

Superfície do terreno - Onde são re-

alizadas as operações topográficas, por

exemplo, o nivelamento;

Superfície do geóide - Definido co-

mo a figura que melhor representa a

forma da terra, sendo obtida através do

prolongamento do nível médio dos ma-

res, em repouso, através dos continentes;

Superfície do elipsóide - Figura com

possibilidade de tratamento matemático,

que mais se assemelha ao geóide.

A distância entre o elipsóide e

Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide.


o geóide, medido ao longo da normal ao elipsóide (PQ) é a altura geoidal ou ondulação geoidal (N). A dis-

tância entre o elipsóide e o terreno medida ao longo da normal ao elipsóide (TQ) é a altura elipsoidal (h).

A distância entre o geóide e o terreno, medida ao longo da linha de prumo ou vertical (TP’) é a altura orto-

métrica (H), esta obtida pelo nivelamento geométrico.

Obs.: Alguns autores fazem referência a altura elipsoidal pela letra “H”, e altura ortométrica, letra

“h”.

Por aproximação pode-se escrever:

H ≅ N + h

Se considerarmos que o desvio da vertical possa ser nulo para determinadas aplicações, tem-se:

h = N + H

Considerando a superfície geoidal, como uma superfície de referência, ou seja, como uma super-

fície para tomar medidas por comparação, dois pontos estarão no mesmo nível se suas alturas ortométricas

forem iguais (Figura 3.2).

Figura 3.2: Alturas ortométricas.

Quando se relaciona a superfície de referência de comparação ao geóide esta é denominada de

superfície de referência ideal ou verdadeira.

Apesar desta denominação, ocorrem várias perturbações nesta superfície, como por exemplo as a-

trações combinadas da lua e do sol (fenômeno das marés). Logo, esta referência se baseia no nível médio

dos mares, sendo determinado por observações num marégrafo (por exemplo, o datum altimétrico brasileiro,

localizado na Baía de Imbituba, Santa Catarina), por um grande período de anos, com o propósito de minimi-

zar os efeitos das forças perturbadoras, e assim definir uma superfície estável.

Porém, nos trabalhos de topografia, geralmente a materialização da superfície de referência ideal

ou verdadeira é substituída por uma superfície denominada de superfície de referência aparente. 102

Esta superfície de referência aparente corresponde a um plano paralelo ao plano tangente à su-

perfície de referência ideal ou verdadeira, e materializada, na prática, pelo plano horizontal de visada dos

instrumentos de nivelamento (Figura 3.3).

Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente.

Como visto anteriormente, existem duas superfícies de referência importantes na altimetria:

Superfície de referência de nível ideal ou verdadeira, definida pelo geóide;

Superfície de referência de nível aparente, definida por um plano paralelo ao plano tangente ao

geóide, sendo arbitrário a altura entre estes planos.

103

11..11..11 -- EErrrroo ddee NNíívveell AAppaarreennttee

É a combinação do erro de esfericidade e do erro de refração.

a) Erro de Esfericidade

Quando se substitui a superfície de nível verdadeira pela superfície de nível aparente comete-se

um erro denominado erro de esfericidade. Demonstrado em COMASTRI, 1987, o erro de esfericidade pode

ser dado pela seguinte expressão:

Ee DR

=⋅

2

2

onde:

Ee => Erro de esfericidade (m); D => Distância entre os pontos; R => Raio da terra.


Exemplo 1: Tomandose os valores de R ≅ 6.367 km e a distância entre dois pontos igual a 500 m,

calcule o erro de esfericidade.

Solução

Ee DR

m=⋅

=⋅

=2 2

2500

2 6 367 0000 020

. .,

b) Erro de refração

O erro de refração é devido ao desvio do raio luminoso que, ao atravessar as diversas camadas at-

mosféricas, quando se faz uma visada de um ponto ao outro, este segue uma trajetória curva em vez de uma

linha reta. Em geral, as camadas de ar mais densas são as mais próximas da terra, resultando uma trajetória

curva cuja concavidade é voltada para a superfície da terra.

Demonstrado em COMASTRI, 1987, o erro de refração pode ser dado por:

Er DR

=⋅0 079 2,

onde

Er => Erro de refração (m); D => Distância entre os pontos; R => Raio da terra.

c) Erro de nível aparente

Como dito anteriormente, o erro de nível aparente é a combinação dos dois erros discutidos acima,

e pode ser obtido pela seguinte expressão (COMASTRI, 1987):

RD421,0Ena

2⋅=

Na tabela 3.1 obtêm-se valores para o erro de nível aparente (Ena) para valores em função da dis-

tância D e R = 6.367 km.

Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente.

Distância (m) Erro de nível aparente (m) 40 0,0001 80 0,0004

120 0,0009 150 0,0015 200 0,0026

1000 0,0066 Nas aplicações práticas de nivelamento, considera-se sem efeito o erro de nível aparente inferior a

1 milímetro, ou seja, conforme a tabela 3.1, para distâncias entre visadas menores que 120 metros.

Porém, quando as visadas forem superiores a 120 metros, e de acordo com a precisão do trabalho,

deve-se determinar o erro de nível aparente, a fim de proceder a correção da diferença de nível verdadeira. A

104

diferença de nível verdadeira será obtida somando-se o erro de nível aparente à diferença de nível aparente

(COMASTRI, 1987).

Estas correções geralmente são adotadas quando se executa o nivelamento pelo processo trigono-

métrico, com intuito de obter boa precisão. No nivelamento geométrico estas correções podem ser despre-

zadas porque as distâncias entre as visadas são relativamente pequenas, e com a alternativa ainda de posicio-

nar o nível à distâncias iguais dos pontos a medir, minimizando os efeitos da esfericidade e refração.

105

11..22 -- AAllttiittuuddee,, CCoottaa ee DDiiffeerreennççaa ddee NNíívveell

A partir da definição de superfícies de referência de nível (Item 1.1), designa-se por:

a) Altitude

É definida como a altura de um ponto do terreno em relação à superfície de referência ideal ou ver-

dadeira, ou seja, ao nível médio dos mares (Figura 3.4).

Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos.

b) Cota

É definida como a altura de um ponto em relação à superfície de referência aparente, ou seja, a um

plano horizontal arbitrário (Figura 3.5).


Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos. S.N.C. - Superfície de Nível de Comparação

Embora seja mais comum nos trabalhos topográficos o emprego das cotas, deve-se sempre que pos-

sível relacionar estas alturas com o nível médio dos mares, a fim de obter as altitudes dos pontos.

O recurso de utilizar uma superfície de nível de comparação arbitrário é prático quando se trabalha

em regiões em que não se tenha nenhuma referência de altitudes. Mesmo nestas condições é sempre reco-

mendado trabalhar com altitudes aproximadas (obtidas com um altímetro ou por meio de carta topográfica),

para o ponto de partida do levantamento altimétrico.

A respeito do inconveniente ao emprego de cotas nos levantamentos altimétricos, pode-se citar a

impossibilidade de relacionar plantas topográficas provenientes de levantamentos diferentes, na mesma regi-

ão.

c) Diferença de nível

Entende-se como a diferença de altura entre dois pontos topográficos. Esta diferença pode estar as-

sociada com as altitudes ou cotas dos pontos, podendo ocorrer em valores positivos ou negativos caso este-

jam acima ou abaixo daquele tomado como termo de comparação, ou seja, depende do referencial adotado.

Para cálculo da diferença de nível entre dois pontos A-B, simbolizado geralmente por DNA-B ou

ΔNA-B, tem-se:

DNA-B = CotaB – CotaB A

ou

DNA-B = AltitudeB – AltitudeB A

106

22 -- IInnssttrruummeennttooss AAllttiimmééttrriiccooss

107

Os instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento são denominados níveis. Os níveis, cujo

princípio construtivo é baseado no fenômeno da gravidade, têm por finalidade fornecer durante as operações

topográficas, retas que pertençam a um plano horizontal. Além dos níveis, utilizam-se miras verticais como

acessórios nas operações de nivelamento.

Os níveis podem ser classificados em duas categorias:

Níveis cujo plano de visada é sempre horizontal;

Níveis cujo plano de visada tem movimento ascendente ou descendente.

Uma categoria não caracterizada na definição acima é o barômetro, comentado no item 2.4.

22..11 -- PPllaannoo ddee VViissaaddaa HHoorriizzoonnttaall

Nesta categoria, os instrumentos, ao serem girados em torno de um eixo vertical devidamente ajus-

tado, descrevem sempre um plano horizontal.

A horizontalidade do plano de visada fornecida pelos instrumentos está apoiada na física, especifi-

camente no princípio gravitacional, sendo obtida com o emprego de níveis de bolha, do equilíbrio dos lí-

quidos nos vasos comunicantes, ou pelo emprego do princípio dos corpos suspensos (Tabela 3.2).

Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos.

Princípios construtivos Exemplos de instrumentos Confiabilidade Níveis de bolha Níveis de luneta Ótima a Boa

Equilíbrio dos líquidos nos vasos comunicantes Níveis de água Boa a Média Corpos suspensos Perpendículo Média a Baixa

a) Níveis de bolha

Tem como finalidade determinar a vertical que passa por um ponto e, conseqüentemente, normal a

esta vertical, fornece o plano horizontal. O nível de bolha consiste em um espesso tubo, no qual é feito o va-

zio e introduzido um líquido, o mais volátil possível. Geralmente utiliza-se o álcool ou o éter e, em seguida,

o tubo é hermeticamente fechado. O tubo, segundo a sua forma, distinguem-se em dois tipos: nível esférico e

nível cilíndrico.

Níveis esféricos - São constituídos, basicamente, de uma calota esférica de cristal, acondiciona-

da em caixa metálica (Figura 3.6).


Figura 3.6: Níveis esféricos.

108

Níveis cilíndricos - São constituídos de um

tubo cilíndrico de cristal. A superfície da parte interna é

polida de maneira a formar um ligeiro arco (Figura 3.7).

Quando se associa uma luneta aos níveis de bo-

lha (esférico e/ou cilíndricos), têm-se os níveis de luneta. A precisão deste nível está associada, em princí-

pio, à sensibilidade dos níveis de bolha e à capacidade de aumento da luneta (Figura 3.8).

Figura 3.7: Nível cilíndrico.

Outro instrumento muito utilizado na construção civil, valendo-se do nível de bolha, é o nível de

pedreiro. Possui baixa precisão, porém atendem a alguns tipos de serviços (Figura 3.9).

Figura 3.8: Níveis de luneta.

Nível Wild NAK2

Níveis Sokkia

Figura 3.9: Nível de pedreiro.

Atualmente existe uma grande inovação em termos de instrumentos para o nivelamento. O primeiro

nível eletrônico foi lançado em 1990, pela empresa WILD. O princípio de funcionamento é o processamento

unidimensional de imagens, a partir de mira codificada em códigos de barras. Em termos de precisão, os ní-

veis eletrônicos possuem precisões que variam de 0,4 mm a 0,9 mm em nivelamento duplo com miras de ín-

var.

Outro modelo é o nível a laser. Trata-se de um nível automático bastante prático e econômico. A

base operacional do instrumento consiste na geração de um plano horizontal ou vertical, através de um raio

laser que gira perpendicularmente em relação à vertical ou horizontal (Figura 3.10).

Figura 3.10: Níveis laser.

b) Equilíbrio dos líquidos nos vasos comuni-

cantes

Figura 3.11: Nível de mangueira.

É baseado no princípio físico da força da gravi-

dade sobre os vasos comunicantes. O instrumento mais uti-

lizado é o nível de borracha ou de mangueira.

Para funcionamento, utilizam-se dois suportes de

madeira ou metal, aos quais estão presas as extremidades

do tubo de vidro ou mangueira transparente. Além de fácil

manejo e baixo custo, permitem marcações confiáveis nos

nivelamentos (Figura 3.11).

109


c) Corpos suspensos

Baseado no princípio físico da força da gravidade sobre os corpos suspensos. Pode-se citar dois ins-

trumentos baseados neste princípio (Figura 3.12):

Perpendículo;

Niveltec.

Figura 3.12: Corpos suspensos.

110

22..22 -- PPllaannoo ddee VViissaaddaa IInncclliinnaaddoo

Os equipamentos que permitem o afastamento do plano de visada em relação a sua horizontalidade,

possibilitam à esta categoria medir ângulos de verticais. Entre estes, pode-se citar dois mais importantes:

Clinômetros

Para operá-los, visa-se uma mira colo-

cada no ponto em que se deseja determinar o ân-

gulo vertical ou declividade. A visada deve ser

feita na mesma altura do olho do operador, para

facilitar os cálculos. A seguir, gira-se o nível de

bolha até que fique na posição de nivelado. O

ângulo ou a declividade ficará registrado no lim-

bo vertical (Figura 3.13).

Figura 3.13: Clinômetro.

Figura 3.14: Estação Total.

Estações Totais

Geralmente utilizado para o processo de nivelamento trigonomé-

trico (Figura 3.14).

111

22..33 -- AAcceessssóórriiooss

A mira vertical constitui o principal acessório dos instrumentos

utilizados em nivelamento. As mais utilizadas são as miras falantes, pois

possibilitam a determinação direta das alturas das visadas nos pontos topo-

gráficos.

Estas são construídas de madeira ou metalon; reforçadas na extremidade superior e inferior, por

guarnições metálicas; e geralmente graduadas em centímetros. Podem apresentar graduações direta ou inver-

tida. Pela modalidade de construção, podem ser classificados em miras de dobrar ou encaixe, sendo esta úl-

tima a mais usada, em virtude da facilidade de manejo e de transporte (Figura 3.15).

Sapata para auxílio

ao nivelamento

Campo visual – Visada Invertida

Fio Superior (FS) = 0,672 Fio Médio (FM) = 0,586 Fio Inferior (FI) = 0,500

Mira dobrável

Figura 3.15: Miras.

Figura 3.16: Altímetro.

22..44 -- BBaarrôômmeettrrooss

São instrumentos baseados na variação de pressão atmosférica

com a altitude. Os instrumentos mais utilizados são os altímetros e ane-

róides, por serem mais resistentes e adaptáveis às condições de campo.

Possuem baixa precisão em suas determinações (Figura 3.16).


112

33 -- PPrroocceessssooss ddee NNiivveellaammeennttoo

33..11 -- IInnttrroodduuççããoo

Como visto, pode-se entender o nivelamento topográfico como a operação que consiste na determi-

nação da diferença de nível entre dois ou mais pontos do terreno. Esta operação é realizada empregando-se

métodos e instrumentos adequados, sendo que as diferenças de nível podem ser determinadas de duas for-

mas:

Diretamente - Com emprego de instrumentos de medições chamados níveis, ou;

Indiretamente - Com base em resoluções trigonométricas ou pelo princípio barométrico.

Em decorrência da natureza e do processo de medida usado na determinação das cotas ou das alti-

tudes, os nivelamentos topográficos podem ser classificados em:

a) Geométricos;

b) Trigonométricos;

c) Barométricos;

d) Taqueométricos.

Um fato importante ao executar um nivelamento de uma área destinada à execução de projetos, cu-

ja implantação exigirá a modificação do relevo (por exemplo, construção de uma estrada ou obras em via ur-

bana), onde serão necessárias as cotas de pontos do projeto até sua finalização, deve-se implantar pontos fi-

xos no terreno por meio de marcos, que servirão de referência ao nivelamento para futuras verificações.

Estes marcos, denominados de Referência de nível - RN, devem ter boa durabilidade e serem im-

plantados em pontos afastados do local da obra, para evitar que sejam destruídos durante a execução da mes-

ma. Neste ponto deve-se conhecer a cota ou altitude para referência do nivelamento.

33..22 -- NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo

No nivelamento direto, ou geométrico, as diferenças de nível são determinadas com instrumentos

que fornecem retas do plano horizontal. A geração deste plano horizontal com a interseção da mira colocada

sucessivamente nos pontos topográficos, permite determinar as alturas de leituras nestes pontos.

Por diferença entre os valores encontrados, chega-se às diferenças de nível procuradas (Figura

3.17). Simbolizando a diferença de nível por “DN”, tem-se:

Figura 3.17: Nivelamento geométrico.

DNA-B = 2,80 - 1,70 = + 1,10 m;

DNA-C = 2,80 - 0,40 = + 2,40 m;

DNA-D = 2,80 - 3,40 = - 0,60 m.

Imaginando que a 10,00 metros abaixo do ponto A passe a superfície de nível de comparação

(SNC), as alturas relativas ou cotas dos pontos estudados são:

Cota (A) = 10,00 metros;

Cota (B) = Cota (A) + DNA-B = 10,00 + 1,10 = 11,10 m;

Cota (C) = Cota (A) + DNA-C = 10,00 + 2,40 = 12,40 m;

Cota (D) = Cota (A) + ( - DNA-D) = 10,00 - 0,60 = 9,40 m.

Pelo fato do nivelamento geométrico fornecer melhor precisão nos trabalhos topográficos, este pro-

cesso será exposto com detalhamento no Item 4.

113

33..33 -- NNiivveellaammeennttoo TTrriiggoonnoommééttrriiccoo

Tem como base o valor natural da tangente do ângulo de inclinação do terreno, uma vez que este

elemento representa a diferença de nível, por metro de distância horizontal.

Designado por “α”, o ângulo de inclinação do terreno; “DN”, a diferença de nível; “D” a distância

horizontal, “i”, a altura do instrumento e “l”, altura do alvo, pode-se escrever:


α⋅=∴=α tgDDND

DNtg + i - alvo

Assim, as diferenças de nível ou distâncias verticais, podem ser perfeitamente determinadas, quan-

do se conhecem os ângulos verticais, as distâncias horizontais, a altura do instrumento e a altura do al-

vo entre os pontos topográficos materializados no terreno. Pode-se eventualmente visar o alvo à mesma altu-

ra do instrumento, eliminando os dois últimos termos da expressão.

Os ângulos de inclinação do terreno são obtidos com emprego de goniômetros dotados de limbo

vertical (taqueômetros e clinômetros). Já as distâncias horizontais podem ser determinadas por processos di-

retos ou indiretos.

Logo, se conclui que o cálculo das diferenças de nível pelo nivelamento trigonométrico consiste na

resolução de um triângulo retângulo, cuja incógnita é o cateto, que representa a diferença de nível, em que se

conhece o ângulo oposto a este (ângulo vertical) e o outro cateto adjacente (distância horizontal) (Figura

3.18).

Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico.

Para i = l, tem-se:

DNA-B = BB’ = tg +15o * d (AB) = 0,27 * 50 = 13,50 m;

DNB-C = CC’ = tg -10o * d (BC) = -0,18 * 30 = -5,40 m;

Cota (A) = 50,00 m;

Cota (B) = 50,00 + 13,50 = 63,50 m;

Cota (C) = 63,50 - 5,40 = 58,10 m.

114

115

33..44 -- NNiivveellaammeennttoo BBaarroommééttrriiccoo

No nivelamento barométrico utilizam-se de barômetros de cuba ou metálicos (altímetros e anerói-

des), que indicam as pressões atmosféricas, com as quais se pode calcular as diferenças de nível ou as altitu-

des dos pontos topográficos tomados no terreno.

Sendo a pressão barométrica resultante do peso total da camada de ar existente entre o limite supe-

rior da atmosfera e o solo, esta pressão diminui à medida que aumenta a altitude, pois a camada de ar sobre-

posta fica menor. Este é o motivo por que, subindo a um monte, vê-se a coluna de mercúrio descer gradual-

mente no tubo barométrico, registrando portanto, menor pressão atmosférica para pontos situados em maior

altitude.

Assim, para aplicação deste processo de nivelamento é necessário conhecer a relação que existe en-

tre a variação da coluna barométrica e os pontos topográficos situados em diferentes alturas. Esta relação po-

de ser determinada para efeito prático, exprimindo-se a densidade do mercúrio em relação ao ar. Sabendo

que a densidade do mercúrio, em relação à água, é de 13,6 vezes maior, e um litro de água pesa 1.000 gramas

e que um litro de ar pesa 1,293 gramas, tem-se:

c = 13,6 / 1,293 * 10-3 ∴ c = 10.518

Este valor encontrado mostra que o mercúrio é 10.518 vezes mais pesado do que o ar; portanto para

a variação de um milímetro na coluna barométrica com mercúrio, deverá corresponder a uma variação de

10.518 milímetros, na altura da camada de ar. Pode-se concluir que, em aplicações imediatas, cada diferença

de um milímetro de leitura, na coluna barométrica, corresponde a uma diferença de nível de 10,518 metros,

isto é, 1mm/10,518 m.

Chamando de dp a diferença de pressão entre dois pontos topográficos, a distância vertical entre

eles será dada pela seguinte expressão (Figura 3.19):

Figura 3.19: Nivelamento barométrico.


DN = 10,518 * dp

DNA-B = 10,518 (700 - 680) = 210,360 m

DNB-C = 10,518 (680 - 710) = - 315,540 m

AltitudeA = 525,900 m

AltitudeB = 525,90 + 210,360 = 736,260 m B

AltitudeC = 736,260 - 315,540 = 420,720 m

No cálculo das diferenças de nível, é preciso levar em consideração outros elementos que influen-

ciam nas determinações das pressões atmosféricas, tais como, temperatura, umidade relativa e densidade do

ar.

116

33..55 -- NNiivveellaammeennttoo TTaaqquueeoommééttrriiccoo

O nivelamento taqueométrico tem o mesmo princípio do nivelamento trigonométrico, no qual as

distâncias são obtidas pelo princípio taqueométrico, e a altura do alvo visado é obtida pela visada do fio mé-

dio do retículo da luneta sobre uma mira colocada verticalmente no ponto considerado.

Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos esta-

dimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras

verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal (inclinada) e a diferença de nível entre dois pon-

tos.

A definição da expressão para determinação da diferença de nível foi deduzida no Cap. 2 no Item

3.2.3, sendo:

( )dn m g

seni l= ⋅ ⋅

⋅+ −

22α

33..66 -- FFaattooss AAttuuaaiiss eemm AAllttiimmeettrriiaa

O registro a seguir tem caráter informativo, preocupando-se em sintetizar alguns pontos importan-

tes e atuais, citados nas Normas Técnicas para Nivelamentos Topográficos da ABNT (Item 3.6.1), do Nive-

lamento Geodésico e das Normas do IBGE (Item 3.6.2) e do Nivelamento GPS (Item 3.6.3).

117

33..66..11 -- NNoorrmmaass TTééccnniiccaass ddee NNiivveellaammeennttoo sseegguunnddoo aa AABBNNTT

A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), através do documento NBR 13.133 - Exe-

cução de Levantamentos Topográficos, classifica os níveis quanto ao nível de precisão, nas seguintes catego-

rias (Tabela 3.3):

Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis).

Classes dos níveis Desvio padrão 1 - Precisão baixa > ± 10 mm/Km 2 - Precisão média ≤ ± 10 mm/Km 3 - Precisão alta ≤ ± 3 mm/Km 4 - Precisão muito alta ≤ ± 1 mm/Km

Fonte: NBR 13.133 - ABNT

Ainda, neste documento, classificam-se os diversos métodos de levantamento, citando a metodolo-

gia a ser empregada, seu desenvolvimento e as respectivas tolerâncias de fechamento (Tabela 3.4).

Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções.

Desenvolvimento Classe Metodologia Linha

Seção Extensão Máxima

Lance Máximo

Lance Mínimo

N. Max. de lances

Tolerâncias de fechamento

I N Geom.

consultar a norma - 10 km 80 m 15 m 12 mm. k

II N Geom.

consultar a norma - 10 km 80 m 15 m 12 mm. k

III N Trig.

consultar a norma

Princ. Sec.

10 km 5 km

500 m 300 m

40 m 30 m

40 20

0,15 m. k 0,20 m. k

IV N Taqueo.

consultar a norma

Princ. Sec.

5 km 2 km

150 m 150 m

30 m 30 m

40 20

0,30 m. k 0,40 m. k

Fonte: NBR 13.133 - ABNT

33..66..22 -- NNiivveellaammeennttoo GGeeooddééssiiccoo

No nivelamento topográfico considerava-se um plano tangente à superfície da terra num ponto con-

siderado. Utilizava-se este plano como uma superfície de nível de referência (que poderia até ser o nível mé-

dio dos mares), e todas as alturas eram referidas a este plano de referência. Quando a referência era o nível

médio dos mares esta altura denominava-se altitude.

No nivelamento geodésico a superfície de referência será o geóide. O geóide é definido como a su-

perfície equipotencial que mais se aproxima do nível médio dos mares.


118

A altitude de um ponto, ou seja, a altitude ortométrica é a distância avaliada sobre uma vertical do

geóide ao ponto considerado. As altitudes geralmente são obtidas através do nivelamento geométrico, sob al-

gumas considerações.

O datum vertical ou datum altimétrico se refere ao ponto zero do nivelamento, ou seja, ao nível

médio dos mares naquele ponto. No Brasil o datum vertical localiza-se na baía de Imbituba-SC.

Muitos autores consideram os dois processos de levantamento vistos para nivelamento topográfico,

especificamente o Geométrico e o Trigonométrico, como os mesmos a serem utilizados no nivelamento geo-

désico, porém segundo algumas especificações de controle, objetivando uma melhor precisão final.

Porém, o nivelamento geométrico se destaca pela precisão entre os demais. Geralmente os equipa-

mentos no nivelamento geométrico geodésico são:

a) Um nível de precisão automático, de bolha (provido de micrômetro ótico de placas plano-

paralelas) ou eletrônico;

b) Miras de Ínvar (miras de códigos de barra).

Duas correções geralmente são adotadas:

a) Curvatura;

b) Refração.

O IBGE, com objetivo de regularizar a execução de levantamentos geodésicos, publicou através da

Resolução no. 22 de 21-07-83, as especificações e normas gerais para levantamentos altimétricos. Estas nor-

mas classificam o nivelamento geométrico geodésico quanto ao nível de precisão em (Tabela 3.5):

a) De alta precisão (fundamental);

b) De precisão:

Áreas mais desenvolvidas;

Áreas menos desenvolvidas;

c) Para fins topográficos.

Nesta mesma publicação, faz-se ainda algumas recomendações para evitar a ocorrência e propaga-

ção dos erros sistemáticos de um nivelamento geométrico, por exemplo:

a) Comprimento das visadas de ré e vante devem ser aproximadamente iguais, de modo a se com-

pensar o efeito da curvatura terrestre e da refração atmosférica;

b) Evitar visadas com mais de 100 m (ideal 60 m);

c) Visadas acima de 20 cm do solo para evitar a reverberação;

d) Utilizar miras aos pares, alternando a ré e a vante (eliminar o erro de índice);

e) Colocação da miras sobre chapas ou pinos e, no caminhamento, sobre sapatas.

Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico - IBGE.

Levantamentos Geodésicos - Nivelamento

De Alta Precisão De Precisão Para Fins Topográficos Item

Fundamental Para áreas mais desenvolvidas

Para áreas menos desenvolvidas Local

1 - CONFIGURAÇÃO DOS CIRCUITOS E LINHAS

1.1 - Geral * Perímetro máximo dos circuitos * Comprimento máximo das linhas * Intervalo máximo entre as estações monumentadas ou comprimento máximo da seção

400 Km 100 Km

3 Km

200 Km 50 Km

3 Km

200 Km 50 Km

3 Km

De acordo com as finalidades

1.2 - Regiões metropolitanas * Perímetro dos circuitos * Comprimento desejável das linhas * Comprimento da seção

8 - 10 Km

2 Km 1 - 3 Km

2 - 8 Km

2 Km 1 - 3 Km



2 - MEDIÇÃO DE DESNÍVEIS

2.1 - Procedimento Nivelamento duplo (N e C)

Nivelamento duplo (N e C)

Nivelamento duplo (N e C)

Nivelamento duplo (N e C) ou simples

2.2 - Instrumental

Nível automático ou de bolha provido de mi-crômetro ótico de pla-cas plano-paralelas. Miras de ínvar com

dupla graduação

Nível automático ou de bolha provi-do de micrômetro

ótico de placas pla-no-paralelas. Miras de ínvar com dupla

graduação

Nível automático ou de bolha provi-do de micrômetro

ótico de placas pla-no-paralelas. Miras

de ínvar

Nível automático ou de bolha e mi-

ras

2.3 Colimação do nível (C) * Não precisa ser retificado

* Poderá ser retificado * Deverá ser retificado

|C| ≤ 0,001 mm/m

0,01 < |C| 0,03 mm/m |C| > 0,03 mm/m

Idem Idem Idem

Idem Idem Idem

- - -

2.4 - Comprimento máximo da visada 100 m 100 m 100 m 100 m 2.5 Divergência de leituras entre duas

graduações em unidades de mira 0,0002 m Idem Idem Idem

2.6 - Uso dos três fios - Divergência do 1o. e 2o. e 2o. e 3o. 0,002 m 0,002 m 0,005 m 0,005 m

2.7 - Diferença máxima tolerável entre os comprimentos das visadas de ré e

vante, acumulada para a seção 3 m 5 m 10 m 10 m

3 - CONTROLE PARA A QUALIDADE 3.1 - Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento

de uma seção (K = comprimento da se-ção em Km)

3 mm 6 mm 8 mm 12 mm k k k k

3.2 - Diferença máxima aceitável entre o nivelamento e o contra-nivelamento de uma linha (K = comprimento da li-

nha em Km)


3.3 - Valor máximo para a razão entre a discrepância acumulada e o períme-

tro do circuito 0,5 mm/Km 5 mm/Km 5 mm/Km 10 mm/Km

4 - ERRO PADRÃO ACEITÁVEL PARA UMA LINHA APÓS O

AJUSTAMENTO (K = COMPRIMENTO DA LINHA EM

KM)


Fonte: IBGE.

119

33..66..33 -- NNiivveellaammeennttoo GGPPSS


Há uma expectativa de usar o sistema GPS para determinar a altitude ortométrica (H), evitando

assim a onerosa operação do nivelamento geométrico.

Através das observações GPS, obtém-se as coordenadas cartesianas X, Y e Z de um ponto desco-

nhecido em função das diferenças de coordenadas fornecidas pelo GPS e das coordenadas supostamente co-

nhecidas do ponto de partida. A relação entre as coordenadas cartesianas e as geodésicas são dados pelas se-

guintes expressões:

X = (N + H) cos φ . cosλ

Y = (N + H) cos φ . senλ

Z = [N (1 - e2) + H] . senφ onde

Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide.

X, Y, Z => Coordenadas cartesianas;

N => Grande Normal (não confudir com a

ondulação geoidal);

φ - Latitude;

λ - Longitude.

Observe que geralmente têm-se

as altitudes ortométricas (h), sendo o H ob-

tido por aproximação de soma desta à on-

dulação geoidal (N).

H ≅ h + N

Contribuem atualmente para a determinação das alturas geoidais os modelos do geopotencial, os

levantamentos gravimétricos e as observações sobre satélites artificiais.

A fundação IBGE e a USP (Universidade de São Paulo) têm trabalhado ao longo dos últimos 15

anos no melhoramento da carta geoidal do Brasil.

Já se dispõe de uma centena de alturas geoidais derivadas de medições GPS conduzidas sobre a re-

de de nivelamento de primeira ordem. O erro absoluto esperado para a carta é de 3m e o relativo de

0,2/10Km.

Porém, em muitas aplicações da cartografia e sobretudo da engenharia as precisões exigidas são

bem superiores às da carta geoidal. Se em uma região houver uma cobertura razoável de dados gravimétri-

cos, é possível melhorar este erro para algo da ordem da fração do metro.

120

44 -- NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo

121

Pelo fato do processo de nivelamento geométrico ser o mais preciso e utilizado na topografia, exis-

tem algumas condições para sua execução visando dar maior qualidade ao mesmo. Para evitar erros de diver-

sas naturezas, deve-se observar o seguinte:

a) Instalar o nível sempre que possível entre os pontos a serem nivelados;

b) Ler e anotar corretamente as leituras da mira mantendo a mesma na vertical e imóvel, principal-

mente nas visadas que ocasionam as mudanças de instrumento (mudança de PR);

c) Certificar sempre se o nível está em boas condições técnicas;

d) Instalar o instrumento em lugar firme e seguro;

e) Evitar leitura de mira a grandes distâncias, limitando-de a aproximadamente 70 m;

f) Evitar leituras inferiores a aproximadamente meio metro, principalmente em horários de forte ir-

radiação solar.

No nivelamento geométrico ou direto, as diferenças de nível são determinadas com emprego de ins-

trumentos que fornecem retas do plano horizontal. Pode ser classificado em:

Nivelamento geométrico simples;

Nivelamento geométrico composto.

44..11 -- NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo SSiimmpplleess

Denomina-se de nivelamento geométrico simples quando é possível visar, de uma única estação do

nível, a mira colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar.

Por exemplo, na figura 3.20 pode-se constatar que o nível localizado entre os pontos A e B conse-

gue levantar todos os pontos em questão, considerando apenas uma reta horizontal, sem a necessidade de

transferência do instrumento. Estes dados são anotados em cadernetas próprias, apresentadas durante os e-

xemplos a seguir.

Caso a diferença de nível for muito grande (a mira só possui 3 a 4 m) ou quando existir um obstá-

culo, é necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho. Este procedimento será discutido

a frente (Item 4.2).


Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples.

No procedimento de campo, deve-se instalar o nível numa posição de modo a visar a mira colocada

na vertical em todos os pontos a levantar. A primeira visada, feita no ponto A (Figura 3.20), início do levan-

tamento, é chamada de visada de ré (RA); e as seguintes, visadas de vante (VB, VB C, VD).

Conhecida a cota do primeiro ponto (ponto A - Figura 3.20), denomina-se plano de referência

(PR) a soma da cota deste ponto com a leitura da mira, isto é:

PRA = CotaA + RA

ou seja, altura do instrumento em A (ou plano de referência em A) é igual a cota de A mais a visada de ré em

A.

As próximas cotas (CB, CB C, CD) serão dadas pela diferença entre o plano de referência em A (PRA)

e as visadas de vante (VBB, VC, VD).

CB = PRB A - VBB;

CC = PRA - VC;

CD = PRA - VD.

As diferenças de nível entre os pontos (dnA-B, dnA-C, dnA-D, dnB-C, dnB-D, dnC-D) serão dadas por:

dnA-B = CB - CB A;

dnA-C = CC - CA;

dnA-D = CD - CA;

dnB-C = CC - CB; B

dnB-D = CD - CB; B

dnC-D = CD - CC.

Exemplo 2: Baseado na figura 3.20 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo, calcular as

diferenças de nível entre todos os pontos do terreno.

122

123

CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO

Leituras na mira Ponto Visado

Plano de Referência Ré Vante

Cotas ou Altitudes Observações

A 12,80 2,80 10,00 A - RN - Na soleira do B 1,70 11,10 prédio principal C 0,40 12,40 D 3,40 9,40 Cota do ponto A = 10 m

Obs.: Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados.

Solução:

a) Determinação do plano de referência em A

PRA = CotaA + RA = 10,00 + 2,80 = 12,80 m

b) Determinação das cotas dos pontos (CB, CB C, CD)

CB = PRB A - VBB = 12,80 - 1,70 = 11,10 m

CC = PRA - VC = 12,80 - 0,40 = 12,40 m

CD = PRA - VD = 12,80 - 3,40 =9,40 m

c) Diferenças de nível (dnA-B, dnA-C, dnA-D, dnB-C, dnB-D, dnC-D)

dnA-B = CB - CB A = 11,10 - 10,00 = + 1,10 m

dnA-C = CC - CA = 12,40 - 10,00 = + 2,40 m

dnA-D = CD - CA = 9,40 - 10,00 = - 0,60 m

dnB-C = CC - CB = 12,40 - 11,10 = + 1,30 m B

dnB-D = CD - CB = 9,40 - 11,10 = - 1,70 m B

dnC-D = CD - CC = 9,40 - 12,40 = - 3,00 m

obs.: A maior diferença de nível é entre o ponto C e D e a menor entre os pontos A e D.

44..22 -- NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo CCoommppoossttoo


No Item 4.1 observou-se que com apenas uma instalação do instrumento solucionou-se o problema

de determinação das diferenças de nível entre todos os pontos (Figura 3.20). Porém, se a diferença de nível

for maior que o tamanho da mira (geralmente de 4 m), quando existir um obstáculo ou ultrapassar o limite da

visada do nível (máximo 100 m), será necessário realizar uma mudança de local de instalação do aparelho.

Ao executar a mudança de instrumento, estar-se-á executando um nivelamento geométrico com-

posto. Assim o aparelho é novamente instalado e recomeçado um novo nivelamento com a mira sobre o úl-

timo ponto de cota conhecida do nivelamento anterior (Figura 3.21).

Logo, pode-se ainda entender nivelamento geométrico composto como uma sucessão de nivela-

mentos geométricos simples. O cálculo é idêntico ao visto anteriormente (Item 4.1), com exceção da altera-

ção do valor do plano de referência, que deverá ser novamente calculado, em virtude da mudança de ins-

trumento (veja exemplo 3).

As fórmulas já discutidas anteriormente, podem ser resumidas em:

PR = Cota + Ré; Cota = PR - Vante

Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I.

Exemplo 3: Baseado na figura 3.21 e sua respectiva caderneta de campo dada abaixo, calcular as

cotas de todos os pontos do terreno.


124

125



Cotas ou Altitudes Observações

A 12,95 2,95 10,00 A - RN - Em um marco B 1,00 11,95 de madeira, situado

bis (B) 15,10 3,15 8,00 m à C 0,35 14,75 esquerda da estaca 0 D 3,00 12,10 E 0,80 14,30

bis (E) 16,45 2,15 F 1,05 15,40 Cota do ponto A = 10 m

Obs.: * Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados. * Na coluna “ponto visado”, onde se encontra a palavra bis, significa que neste ponto foi tomado uma visada de vante e outra de ré.

Solução

a) Determinação do plano de referência em A

PRA = CotaA + RA = 10,00 + 2,95 = 12,95 m

b) Determinação da cota do ponto CBB

CB = PRB A - VBB = 12,95 - 1,00 = 11,95 m

Observe agora que com a mudança do instrumento da posição 1 para 2 (Figura 3.21), deve-se re-

calcular o valor do PR, agora considerado PRB. Para isto segue-se raciocínio análogo. B

c) Determinação do plano de referência em B

PRB = CotaB BB + RB = 11,95 + 3,15 = 15,10 m B

Agora, para cálculo das cotas dos pontos C, D e E, deve-se utilizar este plano de referência (PRB), e

apenas variando as leituras de vante (V

B

C, VD e VE).

d) Determinação das cotas dos pontos Cc , CD, CE

CC = PRB - VB C = 15,10 - 0,35 = 14,75 m

CD = PRB - VB D = 15,10 - 3,00 = 12,10 m

CE = PRB - VB E = 15,10 - 0,80 = 14,30 m

Nova mudança de instrumento (de 2 para 3) (Figura 3.21).

e) Determinação do plano de referência em E

PRE = CotaE + RE = 14,30 + 2,15 = 16,45 m

f) Determinação da cota do ponto CBB

CF = PRE - VF = 16,45 - 1,05 = 15,40 m

Observação:


Para cálculo das diferenças de nível entre pontos, basta fazer a diferença entre as cotas dos pontos

em questão:

dnA-B = CB - CB A = 11,95 - 10,00 = + 1,95 m

dnA-F = CF - CA = 15,40 - 10,00 = + 5,40 m

PAUSA PARA RESUMO

Referência de Nível - RN - Pontos implantados e fixos no terreno com cota ou altitude

conhecidas, para auxiliar as operações do nivelamento. Visada de Ré (R) - A primeira visada, no início do levantamento; Visada de Vante(V) - As visadas seguintes do levantamento; Plano de Referência (PR) - Soma da cota à leitura da mira de Ré

PR = Cota + Ré

Cota do ponto - Diferença do PR e leitura da mira de Vante Cota = PR - Vante

Diferença de Nível - Diferença entre as cotas dos pontos considerados

dnA-B = CotaB - CotaB A

Nivelamento Geométrico Composto - É uma sucessão de nivelamentos geométricos simples.

126

44..33 -- VVeerriiffiiccaaççããoo ddooss CCáállccuullooss ddaa CCaaddeerrnneettaa

Para verificação dos cálculos da caderneta, aplica-se o seguinte procedimento:

a) O somatório das visadas de ré, menos o somatório das visadas de vante, deve ser igual a diferen-

ça das cotas entre o ponto final (chegada) e o ponto inicial, ou seja:

∑∑ − VanteRé

= Cotachegada - Cotainício

Para o somatório das visadas de vante deve-se utilizar as medidas onde houve mudança de instru-

mento mais a última visada de vante (veja o exemplo 4).

Baseado nisto, verificou-se abaixo os cálculos executados nos exemplos 2 e 3 (Itens 4.2 e 4.3 res-

pectivamente):

Exemplo 4: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 2 do item 4.1.

Solução:

=∑Ré 2,80 m; 3,40 m; Vante∑ =

Cotachegada = 9,40 m; Cotainício = 10,00 m.

Re∑ ∑− Vante = Cotachegada - Cotainício

2,80 - 3,40 = 9,40 - 10,00

- 0,60 m = - 0,60 m

Logo, os cálculo executados estão OK !

Exemplo 5: Execute a verificação do cálculo da caderneta do exemplo 3 do item 4.2.

Solução:

Re∑ = 2,95 + 3,15 + 2,15 = 8,25 m

Vante∑ = 1,00 + 0,80 + 1,05 = 2,85 m

Cotachegada = 15,40 m; Cotainício = 10,00 m

Re∑ ∑− Vante = Cotachegada - Cotainício

8,25 - 2,85 = 15,40 - 10,00

+ 5,40 m = + 5,40 m

Logo, os cálculos executado estão OK !

127

44..44 –– EErrrroo nnoo NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo

O erro cometido em campo durante a operação do nivelamento, independe da verificação do cálcu-

lo da caderneta visto no item 4.3. O erro cometido pode ser função do desvio na horizontalidade do eixo de

colimação da luneta do nível, na imperfeição da verticalidade da mira e imprecisão na leitura da mira.

Para obter este erro de operação do levantamento de campo, deve-se primeiramente classificar o

nivelamento em duas categorias:

Nivelamento de uma poligonal fechada;

Nivelamento de uma poligonal aberta.

44..44..11 -- DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo EErrrroo


a) Considerando o nivelamento de poligonal fechada

Quando se executa o nivelamento numa poligonal fechada, isto é, parte-se de um ponto de cota co-

nhecida, em geral de uma RN, e termina neste mesmo ponto, significa que a cota final deverá ser igual a ini-

cial. A diferença entre a cota inicial e a cota final após o nivelamento é o erro cometido no nivelamento:

En = CF - CI

onde

En => Erro no nivelamento;

CF => Cota final; CI - Cota inicial.

Se CF > CI (erro por excesso); CF < CI (erro por falta).

b) Considerando o nivelamento de poligonal aberta

Quando se executa o nivelamento em uma poligonal aberta, isto é, parte-se de um ponto e chega-se

a outro ponto, a única maneira de se verificar a sua exatidão e controlar o erro porventura cometido, consiste

em repetir o nivelamento de trás para frente, o que se denomina de contra-nivelamento.

Na operação do contra-nivelamento não é necessário nivelar todas as estacas do nivelamento, bas-

tando fazer o nivelamento de pontos auxiliares para que, partindo do último, se retorne ao ponto de partida.

A diferença entre a cota do ponto de partida e a cota que for calculada para este ponto de partida ao

final da operação do contra-nivelamento é o erro cometido no nivelamento:

En = CFc - CI

onde


CFc => Cota final após o contra-nivelamento;

CI => Cota inicial.

Se CFc > CI (erro por excesso); CFc < CI (erro por falta).

Observação:

No caso da existência da cota da RN do ponto de partida e RN do ponto de chegada, o erro será da-

do por:

En = CF - CRNf


CF => Cota final; CRNf => Cota do RN final.

128

44..44..22 -- DDeeffiinniiççããoo ddaa TToolleerrâânncciiaa

A definição da tolerância nos nivelamentos é variável de acordo com as irregularidades relevo do

terreno e o número de estações, entre outros fatores.

A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) e o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística) fornecem tabelas e fórmulas para determinar as tolerâncias no nivelamento, segundo diferentes

precisões (Tabelas 3.3, 3.4 e 3.5).

Alguns autores (PINTO, 1989; COMASTRI, 1989) propõem a seguinte expressão para o cálculo da

tolerância do nivelamento:

T c k L= ⋅ ⋅

onde

T => Tolerância do nivelamento; c => Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2,5

k => Erro médio admitido por quilômetro; L => Extensão nivelada em km;

k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem;

k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem;

k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem.

Exemplo 6: Considerando c = 2 e k = 5 mm, k = 10 mm, k = 15 mm , para um trecho nivelado de

16 km, qual a tolerância permitida para o erro no nivelamento ?

Solução:

T c k L= ⋅ ⋅

T mm mm m= ⋅ ⋅ = ⋅ =2 5 16 10 4 40 m

T 2 10 mm 16 20 mm 4 80 mm= ⋅ ⋅ = ⋅ =

T 2 15 mm 16 30 mm 4 120 mm= ⋅ ⋅ = ⋅ =

ou seja, pode-se errar até 40 mm (4 cm), 80 mm (8 cm), 120 mm (12 cm), no trecho citado, que estará dentro

da tolerância exigida (1o, 2o e 3o ordem respectivamente). Se o erro for maior do que a tolerância, é sinal que

houve qualquer descuido no trabalho e, nestas condições, o nivelamento deverá ser realizado novamente.

Para nivelamentos taqueométricos, a Associação Brasileira de Normas Técnicas, através da NBR

13.133, considera uma tolerância igual a (T = 0,30 m. k ), para poligonais principais, sendo k a extensão

nivelada em km, medida num único sentido.

129

44..44..33 -- DDiissttrriibbuuiiççããoo ddoo EErrrroo AAddmmiissssíívveell


O erro cometido no nivelamento, depois de comparado com a tolerância, estando dentro do limite

aceitável, passa a denominar-se de erro admissível.

A correção a ser introduzida em cada mudança de posição do nível, ou mais precisamente nas visa-

das de ré, é igual à divisão do erro admissível pelo número de estações do nível:

níveldoestaçõesdenúmeroadmissívelerroCorr =

A correção será feita com sinal contrário ao erro no nivelamento:

Se por excesso ⇒ correção negativa;

Se por falta ⇒ correção positiva.

Outra característica é que a correção deve ser acumulativa, de modo a compensar as correções an-

teriores. Deve ainda observar que:

Para a correção deve-se evitar valores menores que o milímetro, em virtude da precisão dos ni-

velamentos topográficos;

Em caso de valores sem divisão exata (decimais), arredondar e adotar valores inteiros até o mi-

límetro.

As cotas compensadas são obtidas em coluna própria, pela soma ou diferença das correções calcu-

ladas, demonstrado no próximo item (Item 4.5).

130

44..55 –– EExxeemmpplloo ddee CCáállccuulloo ddee NNiivveellaammeennttoo GGeeoommééttrriiccoo

É apresentado a seguir um exemplo de cálculo completo de um nivelamento geométrico composto.

Baseado na figura abaixo (Figura 3.22) e sua respectiva caderneta de campo, pede-se:

a) Cálculo das cotas dos pontos (Itens 4.1 e 4.2);

b) Verificação do cálculo de caderneta (Item 4.3);

c) Determinação do erro do nivelamento (Item 4.4.1);

d) Definição da tolerância (Item 4.4.2);

e) Distribuição do erro (Item 4.4.3).

Dados:

Nivelamento geométrico composto em poligonal fechada;

Nivelamento de precisão de 2o ordem; c = 2; L = 1.385,00 m.

A

B

C

D

E

F

G

RN

1ª Instalação

2ª Instalação

3ª Instalação

4ª InstalaçãoRé no RN

Ré em B

Ré em D

Ré em F

VA VB

VC

VD

VE

VF

VG

Vante no RN

Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II.




Cotas ou Altitudes

Correção Acumulada

Cotas Corrigida

Observações

RN 50,438 0,438 50,000 A 1,795 48,643 - 0,002 48,641 B 3,542 46,896 - 0,002 46,894

bis 47,405 0,509 C 2,064 45,341 - 0,003 45,338 D 3,285 44,120 - 0,003 44,117 bis 47,931 3,811 E 2,053 45,878 - 0,004 45,874 F 0,276 47,655 - 0,004 47,651

bis 51,449 3,794 G 2,082 49,367 - 0,005 49,362

RN 1,444 50,005 - 0,005 50,000

RN em um marco de

madeira de lei, situado a 25,50 m à direita do vértice A

Obs.: Em negrito estão os dados com informações de campo, e em itálico os dados calculados.

Solução:

a) Cálculo das cotas dos pontos

Para cálculo das cotas utilizou-se das seguintes fórmulas:

131


PR = Cota + Ré; Cota = PR - Vante

PRRN = CotaRN + RéRN = 50,000 + 0,438 = 50,438 m

CotaA = PRRN - VanteA = 50,438 - 1,795 = 48,643 m

CotaB = PRB RN - VanteBB = 50,438 - 3,542 = 46,896 m

PRB = CotaB BB + RéB = 46,896 + 0,509 = 47,405 m B

CotaC = PRB - VanteB C = 47,405 - 2,064 = 45,339 m

CotaD = PRB - VanteB D = 47,405 - 3,285 = 44,120 m

PRD = CotaD + RéD = 44,120 + 3,811 = 47,931 m

CotaE = PRD - VanteE = 47,931 - 2,053 = 45,878 m

.............................................................................. (e assim sucessivamente)

b) Verificação do cálculo de caderneta

Re∑ − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício

Re∑ = 0,438 + 0,509 + 3,811 + 3,794 = 8,552 m;

Vante∑ = 3,542 + 3,285 + 0,276 + 1,444 = 8,547 m;

Cotachegada = 50,005 m; Cotainício = 50,000 m;

Re∑ − ∑ Vante = Cotachegada - Cotainício

8,552 - 8,547 = 50,005 - 50,000

0,005 m = 0,005 m

c) Determinação do erro do nivelamento

Obs.: Poligonal fechada, logo:

E = CF - CI

CI = 50,000 m e CF = 50,005 m

E = 50,005 - 50,000 = + 0,005 m (5 mm)

d) Definição da tolerância

T c k L= ⋅ ⋅

Considerando:

c = 2; Nivelamento de precisão de 2o ordem - k = 10 mm; L = 1,385,00 km, tem-se:

T mm mm m= ⋅ ⋅ = ≅2 10 1 385 23 53 24, , m

Logo o erro cometido esta dentro do tolerável, ou seja, 5 mm < 24 mm !

e) Distribuição do erro

132

Sendo o erro admissível e por excesso, a correção terá sinal contrário (negativo), dado pela expres-

são:

níveldoestaçõesdenúmeroadmissívelerroCorr =

mm25,14mm5Corr ==

Obs.: Não sendo a divisão exata, o procedimento será o seguinte:

Pontos a sofrer correção

Correção Correção acumulada

PRRN - 2 mm - 2 mm PRBB - 1 mm - 3 mm PRD - 1 mm - 4 mm PRF - 1 mm - 5 mm

Soma - 5 mm

133

55 -- PPeerrffiiss LLoonnggiittuuddiinnaaiiss ee TTrraannssvveerrssaaiiss

Quando se realiza um trabalho de nivelamento, com finalidade de conhecer particularidades do ter-

reno, pode-se representar estes elementos altimétricos (cotas ou altitudes) por meio de perfis longitudinais e

transversais.

Um perfil é a representação gráfica, no plano vertical, das diferenças de nível, cotas ou altitudes,

obtidas num nivelamento. A utilização desse processo de representação é muito utilizada na engenharia de

construção, desde o planejamento até execução do projeto.

Especificamente no projeto de estradas (rodovias, ferrovias, vias urbanas), o conhecimento do rele-

vo através do estudo de perfis é de fundamental interesse para sua viabilização. Entre suas utilidades de auxí-

lio ao projeto tem-se:

Escolha do melhor traçado das vias;

Estudo da drenagem;

Estudo de corte/aterro;

Estudo de jazidas;

Estudo de seção tipo;

Definição de rampas, etc.;

Obs.: A construção do perfil será comentada no próximo item (Item 6).

55..11 -- PPeerrffiill LLoonnggiittuuddiinnaall


Os perfis longitudinais são obtidos por seções longitudinais, e construídos a partir do nivelamento

ao longo do caminhamento ou eixo longitudinal (Figura 3.23).

Geralmente o nivelamento desta seção longitudinal é feito com a utilização de níveis de luneta. O

procedimento de levantamento pode ser o nivelamento geométrico simples ou composto.

134

55..22 -- PPeerrffiill TTrraannssvveerrssaall

Os perfis transversais são obtidos por seções transversais, geralmente normais aos alinhamentos de

uma poligonal. Quando se tratar de uma estaca de vértice, faz-se a seção transversal como a bissetriz do ân-

gulo entre os alinhamentos.

Logo, o nivelamento das seções transversais está sempre amarrado à seção longitudinal, conse-

qüentemente relacionado ao mesmo RN. De acordo com o sentido do desenvolvimento da poligonal, as se-

ções situadas de um lado e outro do eixo longitudinal são denominados seções à direita ou seções à esquer-

da da poligonal (Figura 3.23).

Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal.

No processo de levantamento das seções transversais são comumente utilizados os métodos geomé-

tricos a nível ou a régua, e os métodos trigonométricos a clinômetro.

55..22..11 -- NNiivveellaammeennttoo ddaass SSeeççõõeess TTrraannssvveerrssaaiiss aa NNíívveell

É utilizado o nível de luneta e aplicado os métodos de levantamento geométrico simples e compos-

to, já discutidos anteriormente (Itens 4.1 e 4.2).

135

55..22..22 -- NNiivveellaammeennttoo ddaass SSeeççõõeess TTrraannssvveerrssaaiiss aa RRéégguuaa

Emprega-se uma régua horizontal e uma outra vertical, ambas graduadas convenientemente. A ho-

rizontalidade será obtida com nível de bolha (nível de pedreiro) (Figura 3.24).

Na figura 3.24, para a primeira diferença de nível do lado direito, observa-se que uma das extremi-

dades da régua horizontal é apoiada numa régua vertical na estaca 12, a outra extremidade é apoiada sobre a

estaca denominada D1, e por meio de um nível de pedreiro, verifica-se a horizontalidade. A seguir, procede-

se, com a face inferior da régua horizontal, a leitura na régua vertical, que representa a diferença de nível en-

tre os pontos. O valor lido na régua horizontal será a distância entre os pontos nivelados. Repete-se o proce-

dimento para os outros pontos.

Como se trata de nivelamento de seções transversais, este procedimento deve ser executado à direi-

ta e à esquerda do eixo longitudinal (Figura 3.24).

Exemplo 7: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à régua da figura 3.24:

a) Preencha a caderneta de campo;

b) Calcule as cotas de todos os pontos;

c) Faça o desenho do perfil transversal (Figura 3.25).

Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua.

Solução:

a) Preenchimento da caderneta


CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS

Lado Esquerdo Eixo Lado Direito

dn

dn

+ 1,0

+ 1,0

- 0,3Estaca

12

+ 1,0

+ 0,8

- 0,4

- 1,4

dndist dist 1,9 3,0 3,0 Cota

52,50 3,0 1,6 1,4 2,5 dist

b) Cálculo das cotas de todos os pontos;

Cota da estaca 12 = 52,50 m

CotaE1 = Cotaest12 + dnest12-E1 = 52,50 + (- 0,3) = 52,20 m

CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 52,20 + 1,0 = 53,20 m

CotaE3 = CotaE2 + dnE2-E3 = 53,20 + 1,0 = 54,20 m

CotaD1 = Cotaest12 + dnest12-D1 = 52,50 + 1,0 = 53,50 m

CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 53,50 + 0,8 = 54,30 m

CotaD3 = CotaD2 + dnD2-D3 = 54,30 - 0,4 = 53,90 m

CotaD4 = CotaD3 + dnD3-D4 = 53,90 - 1,4 = 52,50 m

c) Desenho do perfil transversal

Figura 3.25: Perfil transversal.

136

55..22..33 -- NNiivveellaammeennttoo ddaass SSeeççõõeess TTrraannssvveerrssaaiiss aa CClliinnôômmeettrroo

Neste processo são avaliados os ângulos de inclinação do terreno e a distância entre os pontos (Fi-

gura 3.26). Na operação de campo, visa-se com o clinômetro apoiado a um bastão vertical para outro de

mesma altura na vertical, e mede-se o ângulo de inclinação. A seguir mede-se a distância horizontal entre os

dois pontos.

O cálculo das diferenças de nível é obtido pela resolução trigonométrica dos triângulos:

dn = D . tgα

onde

dn - Diferença de nível;

D - Distância entre os pontos,

α - Ângulo de inclinação.

Exemplo 8: Baseado nos valores obtidos pelo nivelamento à clinômetro da figura 3.26:

Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal a clinômetro.

a) Preencha a caderneta de campo;

b) Calcule as cotas de todos os pontos.

Solução:

a) Preenchimento da caderneta

137


138

CADERNETA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS

Lado Esquerdo Eixo Lado Direito

± α

- 15o

- 16oEstaca

34

- 20o

+ 14o

dist 6,00 12,00 Cota102,20

5,00 11,00

b) Cálculo das cotas de todos os pontos

Primeiramente deve-se calcular as diferenças de nível entre os pontos, pela expressão:

dn = D . tgα

dnest34-E1 = Dest34-E1 . tgαest34-E1 = 12,00 . tg(- 16o) = - 3,44 m

dnE1-E2 = 6,00 . tg(- 15o) = - 1,61 m

dnest34-D1 = Dest34-D1 . tgαest34-D1 = 5,00 . tg(- 20o) = - 1,82 m

dnD1-D2 = 11,00 . tg(+ 14o) = + 2,74 m

CotaE1 = Cotaest34 + (- dnest34-E1) = 102,20 - 3,44 = 98,76 m

CotaE2 = CotaE1 + dnE1-E2 = 98,76 - 1,61 = 97,15 m

CotaD1 = Cotaest34 + dnest 12-D1 = 102,20 - 1,82 = 100,38 m

CotaD2 = CotaD1 + dnD1-D2 = 100,38 + 2,74 = 103,12 m

66 -- RReepprreesseennttaaççããoo AAllttiimmééttrriiccaa

Nas operações topográficas denominamos relevo as elevações e depressões do terreno. O relevo

pode ser representado em planta baixa ou perfil, no plano do papel.

Qualquer que seja o processo de representação do relevo, ele deve satisfazer as seguintes condi-

ções:

Realçar de forma mais expressiva possível as formas do relevo;

Permitir determinar, com precisão, a cota ou altitude de qualquer ponto do terreno.

66..11 -- PPllaannttaa BBaaiixxaa

A representação em planta baixa pode ser feita pelos seguintes processos:

a) Planta com pontos cotados

Neste processo todos os pontos topográficos possuem as suas alturas fornecendo uma idéia aproxi-

mada do relevo (Figura 3.27).

504.50

459.85

505.00504.10

502.40

501.70

502.20502.10501.85

501.73502.80

504.88489.54

487.50

480.59

482.68484.02

460.79

459.10

457.20

455.52

545.22

453.11454.04

460.20

460.98464.60462.90466.82

462.89471.02

471.70

464.85464.50464.62

496.73485.87

493.40

472.95

480.64468.18

459.00467.98

459.99 494.42493.56

486.36

468.63

465.84481.57

459.20

466.00

499.93

502.65485.76

486.70

488.00

478.41469.80

467.74

485.67

482.90

474.42

475.89474.98471.99

464.72468.82

475.02469.11

470.75470.57

470.07

477.50

474.60

497.90

466.20

466.50

466.00

464.60

461.60

461.60

456.40

465.60

460.10

462.10462.60

446.10

463.40

456.60

461.40

461.40

479.20

461.60453.60

462.40

441.00492.80

512.90

509.90

501.40

480.40490.40

492.40

509.00

495.20

494.30

490.20

475.20

526.00

519.00

524.00

524.00

497.00497.00

2500.00 2750.00 3000.00 3250.00 3500.00 3750.00 4000.00 4250.00 4500.00 4750.00 5000.00

Eixo X

9500.00

9700.00

9900.00

10100.00

10300.00

Eixo

Y

Figura 3.27: Planta com pontos cotados.

b) Planta com curvas de nível

Este é o processo mais rigoroso de representação do relevo em planta baixa. Define-se curva de ní-

vel como o lugar geométrico onde todos os pontos possuem as mesmas cotas ou altitudes. Geralmente seu

traçado percorre cotas ou altitudes inteiras (Figura 3.28).

2500.00 3000.00 3500.00 4000.00 4500.00 5000.009500.00

9700.00

9900.00

10100.00

10300.00

Figura 3.28: Planta com curvas de nível.

c) Planta de cores hipsométricas

Neste caso as alturas dos pontos são representadas por cores diferentes, onde cada cor representa

uma determinada altitude ou cota. Geralmente as cores mais claras representam as partes mais baixas e as es-

curas as partes mais altas (Figura 3.29).

139


-107.50 -107.40 -107.30 -107.20 -107.10 -107.0037.00

37.05

37.10

37.15

37.20

37.25

37.30

37.35

37.40

37.45

37.50

1800

2200

2600

3000

3400

3800

Figura 3.29: Planta em cores hipsométricas.

140

66..22 -- PPeerrffiill

A representação em perfil pode ser feita pelos seguintes processos:

a) Desenho do perfil

Denomina-se perfil a representação, no plano vertical, das diferenças de nível obtidas durante o le-

vantamento topográfico altimétrico (nivelamento) (Figura 3.30).

Utilizado quando se deseja representar particularidades de um terreno, para fins de projetos. É um

processo rigoroso de representar as elevações e depressões de um determinado terreno.

A representação do terreno, no desenho, é feita por meio de eixos de coordenadas onde colocamos

no eixo X as distâncias entre os pontos e no eixo Y as cotas ou altitudes. Normalmente utiliza-se um papel

milimetrado.

Nos desenhos de perfis, geralmente aplicam-se escalas independentes para os eixos X e Y. Aconte-

ce que, para melhor visualização do relevo, normalmente a escala vertical é maior. A relação mais recomen-

dada é aquela em que a escala vertical seja de 5 a 10 (dez) vezes maior que a escala horizontal.

Após o desenho do perfil, onde foram lançadas as cotas e distâncias, pode-se fazer a transferência

das cotas inteiras para o desenho da planta baixa. Isto é realizado pela medida das distâncias entre as cotas

inteiras, no eixo X. Um artifício a ser utilizado é o processo de transferência por “fita”, aonde são registradas

todas as distâncias e transportadas para a planta baixa.

440,00

450,00

460,00

470,00

480,00

490,00

500,00

510,00

0 5 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

Figura 3.30: Desenho de perfil.

b) Perspectiva

Gerado através da Modelagem Digital de Terrenos (Figura 3.31). Pode-se citar as seguintes aplica-

ções:

Estimativas de volume;

Análise de intervisibilidade entre pontos;

Extração de formas do relevo;

Estudos de tendência.

440.00

450.00

460.00

470.00

480.00

490.00

500.00

510.00

520.00

Figura 3.31: Desenho em perspectiva.

141


142

OObbsseerrvvaaççõõeess ee aannoottaaççõõeess -- CCaapp.. 33 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

143


Na planialtimetria, as medidas angulares e lineares são tomadas considerando os planos horizontal

e vertical. Nas medidas planimétricas, são avaliados os ângulos e distâncias por processos de levantamento

planimétrico, e os cálculos para sua representação já foram discutidos anteriormente (Cap. 2). Para obtenção

das medidas altimétricas, utiliza-se dos processos de nivelamento, com objetivo de representar o relevo (Cap.

3).

Desta forma, a proposta da planialtimetria é utilizar-se dos processos planimétricos e altimétricos

para a representação de um determinado trecho da terra, onde possa conter informações planimétricas (ben-

feitorias, rios, estradas, etc.) e altimétricas (vales, linhas de cumeada, etc.).

22 –– LLeevvaannttaammeennttoo PPllaanniiaallttiimmééttrriiccoo

Os processos de levantamento são os mesmos utilizados para obter os elementos planimétricos

(métodos principais e secundários - Cap. 2). Os procedimentos de avaliação dos ângulos horizontais e distân-

cias horizontais podem ser obtidos pelas diversas formas, também já discutidas.

Porém, para caracterizar a planialtimetria, uma nova dimensão deve ser avaliada, ou seja, a altura (a

cota ou a altitude) dos vários pontos do terreno. Esta dimensão deverá ser obtida pelo nivelamento.

Um processo antigo, porém ainda muito utilizado pela rapidez e relativa precisão, é o processo ta-

queométrico. A taqueometria é um processo de levantamento planialtimétrico realizado por intermédio dos

instrumentos denominados taqueômetros (Cap. 2).

O levantamento taqueométrico é utilizado com grande freqüência para definição planialtimétrica de

parcelas do terreno, realizado através de poligonais e de irradiações a partir de vértices das poligonais. A po-

ligonal geralmente é desenvolvida em torno da área a ser levantada, servindo de arcabouço e base do levan-

tamento, enquanto as irradiações têm por finalidade a determinação de pontos capazes a representar os aci-

dentes naturais e artificiais deste local.


144

Exemplo 1: Basea-

do na caderneta estadimétrica

abaixo, calcule e desenhe a

planta planialtimétrica (Figura

4.1). Considere a poligonal

sendo da Classe V.

O exemplo simula uma caderneta estadimétrica, porém o cálculo é similar caso considerasse uma

poligonação concebida por

uma Estação Total.

Ainda, sua concepção será pautada em resolução com comentários teóricos desta solução. Muitos

dos conceitos citados já foram de estudo do leitor, razão pela qual faz-se algumas referências à itens anterio-

res, especificamente dos capítulos 2 e 3.

A seguir é apresentado um exemplo de levantamento planialtimétrico, comentando-se as etapas pa-

ra o cálculo planialtimétrico e construção da respectiva planta planialtimétrica. Para facilitar o cálculo de ca-

derneta, este foi dividido em duas etapas distintas: planimetria e altimetria.

O processo de Poligonação, executado pelas Estações Totais, onde são avaliados diretamente as

distâncias horizontais e diferenças de nível, bem como os ângulos horizontais entre os alinhamento têm su-

plantado o método taqueométrico em precisão e tempo de execução. Com a característica de armazenamento

e exportação das informações obtidas em campo para softwares específicos para este equipamento, as opera-

ções topográficas de planialtimetria se facilitaram; contudo ainda deve-se obedecer os critérios de aceitação

destes trabalhos através das normas vigentes, a citar, a NBR13.133 da ABNT.

Um resumo das fórmulas taqueométricas pode ser revisado pela tabela abaixo (Tabela 4.1).

33 –– EExxeem

Analática Distância horizontal D = m . g . cos2α

Diferença de nível

Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas.

( )dn m gsen

i l= ⋅ ⋅⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

22

α

mpplloo ddee CCáállccu

Figura 4.1: Croqui de área.

ulloo PPllaanniiaallttiimmééttrriiccoo

145

145

CADERNETA ESTADIMÉTRICA

Estadia Est. Ponto Visado

Ângulo horário Azimute

FS FM FI Ângulo vertical

Altura instr. (i)

Distância (m)

Diferença de Nível (m) Observação

A B 180o 00’ 8o 05’ 1,930 1,470 1,010 - 3o 11’ 1,470 M. dir. estrada l = 8,00 m 1 281o 30’ 1,787 1,470 1,153 + 0o 51’ casa - fundo - 12,50 m 2 271o 08’ 1,780 1,470 1,160 + 0o 53’ casa 3 255o 34’ 1,788 1,470 1,152 + 0o 07’

B C 243o 57’ 2,168 1,510 0,852 + 0o 05’ 1,510 4 257o 45’ 1,827 1,510 1,193 + 0o 44’ 5 280o 12’ 1,788 1,510 1,232 + 0o 14’ 6 243o 40’ 1,881 1,510 1,139 + 0o 07’

C D 186o 41’ 2,073 1,480 0,887 + 0o 18’ 1,480 7 319o 20’ 1,678 1,480 1,282 - 0o 21’ 8 273o 25’ 1,678 1,339 1,000 - 0o 30’ 9 243o 57’ 1,406 1,203 1,000 - 4o 58’ 10 187o 15’ 1,428 1,214 1,000 - 1o 14’

D E 253o 02’ 2,216 1,490 0,765 + 1o 12’ 1,490 11 316o 42’ 2,284 2,000 1,716 - 3o 25’ 12 307o 28’ 1,912 1,490 1,068 - 0o 50’ 13 253o 00’ 1,698 1,490 1,282 - 1o 04’ 14 280o 06’ 1,780 1,490 1,200 - 1o 05’

E F 237o 42’ 2,128 1,520 0,912 - 1o 24’ 1,520 15 00o 00’ 1,788 1,520 1,252 - 2o 16’ M. direita 16 307o 15’ 1,932 1,520 1,108 - 0o 12’ 17 302o 28’ 1,839 1,520 1,201 - 0o 11’ cerca curral 18 269o 50’ 1,776 1,520 1,264 - 0o 10’ cerca curral 19 237o 42’ 1,719 1,520 1,321 - 0o 12’

F G 252o 07’ 2,162 1,490 0,818 + 0o 59’ 1,490 20 293o 10’ 1,830 1,490 1,150 + 2o 28’ cerca curral 21 294o 55’ 1,998 1,490 0,982 + 1o 41’ cerca curral 22 264o 00’ 1,972 1,490 1,008 + 1o 36’ M. direita 23 290o 30’ 2,098 1,490 0,882 + 1o 21’

G H 174o 35’ 2,198 1,510 0,822 - 0o 11’ 1,510 24 269o 22’ 1,879 1,510 1,141 + 0o 24’ 25 252o 33’ 1,772 1,510 1,248 + 0o 48’ M. direita 26 202o 48’ 1,651 1,510 1,369 + 1o 09’ 27 217o 40’ 1,825 1,510 1,195 + 2o 57’ 28 174o 45’ 1,782 1,510 1,238 - 0o 42’

H A 271o 54’ 1,689 1,500 1,312 + 3o 39’ 1,500


146

Solução:

Para cálculo da caderneta, têm-se as seguintes etapas:

Primeiramente, deve-se classificar o tipo da poligonal topográfica adotada, considerando a tabela

2.5. Desta, projetar para as tabelas 2.9 e 2.10 e extrair os valores para coeficientes “b” e “d”, que relacionam

com as precisões angulares e lineares respectivamente. A poligonal base utilizada neste exemplo é da classe

V P, ou seja:

Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais. Medição Desenvolvimento

Lado Classe Angular Linear

Extensão máxima

(L) Mínimo (Dmin)

Médio (Dméd)

Número máximo de

vértices

Materialização

V P

Leitura numa só posição da luneta, horizontal e vertical, com correções de colimação, PZ (ou de ín-dice) com teodolito classe 1.

Observações taqueométricas (vante e ré) em miras centimétricas previa-mente aferidas, providas de nível es-férico com leitura dos três fios ou e-quivalente (teodolitos autoredutores)

05 km (P) 02 km (S) 01 km (A)

30 m 90 m 41 (P) 21 (S) 12 (A)

Pinos ou piquetes

(P) – Poligonal principal (S) – Poligonal secundária (A) – Auxiliar Fonte: NBR 13.133 - ABNT


Angular => b = 180” = 3’ (Tabela 2.9); Linear => d = 2,20 m (Tabela 2.10)

1 – Planimetria - Planilha de Coordenadas


a) Cálculo do fechamento angular;

b) Cálculo da tolerância angular (segundo ABNT);

c) Distribuição do erro angular;

2 - Cálculo de Azimutes;

3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas;

a) Cálculo das distâncias (fórmula estadimétrica);

4 - Cálculo do Fechamento Linear;

5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas;

6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas;

7 - Cálculo da área da poligonal-base.

2 – Altimetria – Nivelamento estadimétrico

1 - Cálculo das diferenças de nível (fórmula estadimétrica);

2 - Cálculo das cotas ou altitudes.

3 - Planialtimetria

1 - Interpolação das cotas dos pontos; 2 - Desenho final (curvas de nível).

33..11 –– PPllaanniimmeettrriiaa -- PPllaanniillhhaa ddee CCoooorrddeennaaddaass


a) Cálculo do erro de fechamento angular

Baseado na seguinte fórmula: )2n(180ângulos o ±⋅=∑

ooo 800.110180)28(180ângulos =⋅=+⋅=∑ (ângulos externos)

1799 58 1800. ' .o ≠ o → erro de 2’ por falta.


nbTolerancia ⋅=

Considerando: b = 3’ e n = 8, tem-se:

''29'8'485,88'3Tolerancia ≅=⋅=

Erro (2’) < Tolerância (8’ 29”) => Dentro da tolerância !

c) Cálculo da correção angular

correção = ladocadapara''158

'2ladosdeNúmero

angularErro−=

−=



AZA-B = 8o 05’ 00”(Este é medido em campo, sem possibilidade de alteração)


Resumo Se (soma < 180o) (soma + 180o) Se (540o > soma > 180o) (soma - 180o) Se (soma > 540o) (soma - 540o)

AZB-C = (AZA-B + Ang. hor.B-C) = 8o 05’ 00” + 243o 57’ 15” =

= 252o 02’ 15” - 180o = 72o 02’ 15” 147


AZC-D = (AZB-C + Ang. hor.C-D) = 72o 02’ 15” + 186o 41’ 15” =

= 258o 43’ 30” - 180o = 78o 43’ 30”

.....................................................................................................

AZA-B = (AZH-A + Ang. hor.A-B) = 8o 04’ 45” + 180o 00’ 15” =

= 188o 05’ 00” - 180o = 8o 05’ 00”

Irradiação:

AZA-1 = (AZH-A + Ang. hor.A-1) = 8o 04’ 45” + 281o 30’ =

= 289o 34’ 45” - 281o 30’ = 109o 34’ 45”

..............................................................................................................

Demais resultados na caderneta de coordenadas.


Obs.: Serão feitos apenas alguns cálculos demonstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os re-

sultados constam da caderneta de cálculo. Primeiramente o cálculo das distâncias e a seguir as coordenadas.

D = m . g . cos2α

xA-B = DA-B . sen AzimuteA-B => (abcissa relativa) yA-B = DA-B . cos AzimuteA-B => (ordenada relativa)

a) Cálculo das distâncias (estadimetria)

DA-B = (1,930 - 1,010) . 100 . cos2(- 3o 11’) = 91,716 m

DA-1 = (1,787 - 1,153) . 100 . cos2(- 0o 51’) = 63,386 m

DA-2 = (1,780 - 1,160) . 100 . cos2(- 0o 53’) = 61,985 m

DA-3 = (1,788 - 1,152) . 100 . cos2(- 0o 07’) = 63,600 m

..................................................................................... e assim sucessivamente

Demais resultados na caderneta de coordenadas.

xA-B = DA-B . sen AZA-B = 91,716 . sen 8o 05’ 00” = + 12,896 m

................................................................................................

xH-A = DH-A . sen AZH-A = 37,547 . sen 8o 04’ 45” = + 5,277 m

yA-B = DA-B . cos AZA-B = 91,716 . cos 8o 05’ 00” = + 90,805 m

148

................................................................................................

yH-A = DH-A . cos AZH-A = 37,547. cos 8o 04’ 45” = + 37,174 m

Irradiação:

xA-1 = DA-1 . sen AZA-1 = 63,386. sen 109o 34’ 45” = + 59,721 m

yA-1 = DA-1 . cos AZA-1 = 63,386. cos 109o 34’ 45”= - 21,241 m



E ex ey= +2 2

=∑ ∑ −++= )(x)(xex + 0,084 m

∑ ∑ −++= )(y)(yey = - 0,042 m

( ) ( )E m= + + − = =0 084 0 042 0 125 0 0942 2, , , ,


)km(LdT ⋅=

Considerando d = 2,20 m e L = 0,91798 (em quilômetros) tem-se:

m11,291798,020,2T =⋅=

Erro (0,094 m) < Tolerância (2,11) - Dentro da tolerância !


000.101

766,795.91

98,917094,0

LElEr ≅===

ou seja, projeta um erro de aproximadamente 1 cm a cada 100,000 m, sendo uma precisão muito boa para a

maioria das aplicações de Agrimensura.


149


Será utilizado o processo de proporcional às distâncias. Serão feitos apenas alguns cálculos de-

monstrativos, sendo o restante a cargo do leitor. Os resultados constam da caderneta de cálculo.

Processo 1 - Proporcional às distâncias


fatorx = exP

x=−

= − −0 084917 982

9 151 10 5,,

,

fatory = eyP

x=+

= + −0 042917 982

4 575 10 5,,

,





Corr xA-B = fatorx . distA-B = - 9,151 x 10-5 . 91,716 = - 0,008 m

....................................................................................................

Corr xH-A = fatorx . distH-A = - 9,151 x 10-5. 37,547 = - 0,003 m

Corr yA-B = fatory . dist A-B = + 4,575 x 10-5 . 91,716 = + 0,004 m

....................................................................................................

Corr y H-A = fatory . dist H-A = + 4,575 x 10-5. 37,547 = + 0,002 m

Finalmente, as coordenadas relativas ou parciais corrigidas serão dadas pela coordenadas relativas

não corrigidas, mais ou menos a correção


150

151


(ponto A).

XA = 1.000,000 m

YA = 1.000,000 m

XB = XB A + xA-B = 1.000,000 + 12,888 = 1.012,888 m

.................................................................................

XH = XG+ xG-H = 1.131,541 - 136,814 = 994,727

YB = YB A + yA-B = 1.000,000 + 90,809 = 1.090,809 m

.................................................................................

YH = YG+ yG-H = 948,017 + 14,807 = 962,824

Irradiação:

XA-1 = XA + xA-1 = 1.000,000 + 59,721 = 1.059,721 m

YA-1 = YA + yA-1 = 1.000,000 - 21,241 = 978,759 m

.................................................................................

7 - Cálculo da área da poligonal-base.

O cálculo da área utilizou-se do método analítico pela Fórmula de Gauss (Cap. 2, item 7.1), tendo

como resposta:

Área = 53.525 m2 = 5,3525 ha.

Sugere-se que este valor seja comprovado pelo leitor.

33..22 –– AAllttiimmeettrriiaa –– NNiivveellaammeennttoo EEssttaaddiimmééttrriiccoo

a) Cálculo das diferenças de nível (estadimetria)


Será demonstrado apenas um cálculo e o restante dos resultados fica a cargo do leitor.

Baseado na seguinte fórmula:

( )dn m gsen

i l= ⋅ ⋅⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + −

22

α

( )dnA B

sen om− = − ⋅ ⋅

⋅ −+ − = −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

( , , )( ' )

, , ,1 930 1 010 1002 3 11

21 470 1 470 5 101

............................................................................................................

b) Cálculo do erro fechamento altimétrico e sua distribuição

Como se trata de uma poligonal em “looping”, as somas de suas diferenças de nível entre os ali-

nhamentos da poligonal principal devem ser iguais a zero.

diferenca de nivel∑ = 0

Logo, somando os resultados da tabela 4.2, tem-se:

diferenca de nivel m∑ = +0 040 0, ≠ , com erro de +0,040 m por excesso.

No cap. 3, item 3.6.1 (Tabela 3.4), definiu-se as tolerâncias para o erro altimétrico no nivelamento

taqueométrico, considerando a seguinte expressão:

kTolerância = 0,30 m .

Para k igual a aproximadamente 918 m (0,918 km), a tolerância permitida para o erro no nivela-

mento será:

T m= ⋅ =0 30 0 918 0 287, , ,

Logo, o erro é menor que a tolerância (erro < tolerância) devendo ser distribuído entre os pontos da

poligonal. A distribuição deste erro será dada pela divisão do erro pelo número de estações da poligonal (Ta-

bela 4.2):

152

m005,08040,0

níveldoestaçõesdenúmeroadmissívelerroCorr −=

−==

c) Cálculo das cotas

Baseado nas diferenças de nível compensadas, e a cota do marco inicial, os cálculos das cotas serão

obtidos por (Tabela 4.2):

Cota A = 1.000,000 m (arbitrada)

Esta coordenada (cota ou altitude) deve ser conhecida em algum ponto da poligonal, para que a

partir desta o levantamento esteja referenciado, no caso do ponto A.

Cota B = Cota A ± ΔNA-B = 1.000,000 - 5,1016 = 994,894 m

Cota C = Cota B ± ΔNB-C = 994,894 + 0,186 = 995,080 m

...............................................................................................

As irradiações serão dadas por:

Cota 1 = Cota A ± ΔNA-1

Cota 2 = Cota A ± ΔNA-2

.........................................

Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo.

Est. Ponto visado

Diferença de nível (m)

Correção (m)

Diferença de nível compensada (m)

Cotas (m)

A 1.000,000 A B - 5,101 - 0,005 - 5,106 994,894 B C + 0,191 - 0,005 + 0,186 995,080 C D + 0,621 - 0,005 + 0,616 995,696 D E + 3,038 - 0,005 + 3,033 998,729 E F - 2,970 - 0,005 - 2,975 995,754 F G + 2,306 - 0,005 + 2,301 998,055 G H - 0,440 - 0,005 - 0,445 997,610 H A + 2,395 - 0,005 + 2,390 1.000,000

Soma + 0,040 - 0,040 0,000

153


154

Finalmente a planialtimetria se consagra com a junção dos dados planimétricos e altimétricos numa

mesma representação. A forma de representação planialtimétrica mais comum é a planta topográfica com

curvas de nível, aonde podem ser observados elementos planimétricos e conformações do relevo do terreno.

Para construção desta planta com curvas de nível lança-se mão de conceitos do desenho topográfico (Figura

4.2). Na figura 4.3 tem-se o modelo digital deste terreno, em perspectiva.

Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno.

33.

.33 -- PPl

Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno.

laanniiaallttiimmeettrriiaa

155

PLANILHA DE COORDENADAS Ângulo horário Coordenadas Parciais (m) Correções (m) Coordenadas

Parciais Corrigidas (m) Coordenadas Totais (m) Est. Ponto Visado

Lido Corr. Corrigido Azimutes Dist.

(m) x = D .sen AZ y = D .cos AZ Cx Cy x y X Y

A B 180o 00’ + 15” 180o 00’ 15” 8o 05’ 00” 91,716 + 12,896 + 90,805 - 0,008 + 0,004 + 12,888 + 90,809 1.012,888 1.090,809 1 281o 30’ - 281o 30’ 109o 34’ 45” 63,386 + 59,721 - 21,241 - - + 59,721 - 21,241 1.059,721 978,759 2 271o 08’ - 271o 08’ 99o 12’ 45” 61,985 + 61,185 - 9,924 - - + 61,185 - 9,924 1.061,185 990,076 3 255o 34’ - 255o 34’ 83o 38’ 45” 63,600 + 63,209 + 7,039 - - + 63,209 + 7,039 1.063,209 1.007,039

B C 243o 57’ + 15” 243o 57’ 15” 72o 02’ 15” 131,600 + 125,186 + 40,585 - 0,012 + 0,006 + 125,174 + 40,591 1.138,062 1.131,400 4 257o 45’ - 257o 45’ 85o 50’ 00” 63,390 + 63,222 + 4,606 - - + 63,222 + 4,606 1.076,110 1.095,415 5 280o 12’ - 280o 12’ 108o 17’ 00” 55,599 + 52,792 - 17,442 - - + 52,792 - 17,442 1.065,680 1.073,367 6 243o 40’ - 243o 40’ 71o 45’ 00” 74,200 + 70,468 + 23,237 - - + 70,468 + 23,237 1.083,356 1.114,046

C D 186o 41’ + 15” 186o 41’ 15” 78o 43’ 30” 118,597 + 116,308 + 23,188 - 0,011 + 0,005 + 116,297 + 23,193 1.254,359 1.154,593 7 319o 20’ - 319o 20’ 211o 22’ 15” 39,599 - 20,614 - 33,810 - - - 20,614 - 33,810 1.117,448 1.097,590 8 273o 25’ - 273o 25’ 165o 27’ 15” 67,795 + 17,027 - 65,622 - - + 17,027 - 65,622 1.155,089 1.065,778 9 243o 57’ - 243o 57’ 135o 59’ 15” 40,296 + 27,998 - 28,980 - - + 27,998 - 28,980 1.166,060 1.102,420 10 187o 15’ - 187o 15’ 79o 17’ 15” 42,780 + 42,034 + 7,952 - - + 42,034 + 7,952 1.180,096 1.139,352

D E 253o 02’ + 15” 253o 02’ 15” 151o 45’ 45” 145,036 + 68,621 - 127,776 - 0,013 + 0,007 + 68,608 - 127,769 1.322,967 1.026,824 11 316o 42’ - 316o 42’ 215o 25’ 30” 56,598 - 32,806 - 46,120 - - - 32,806 - 46,120 1.221,553 1.108,473 12 307o 28’ - 307o 28’ 206o 11’ 30” 84,382 - 66,975 + 51,330 - - - 66,975 + 51,330 1.187,384 1.205,923 13 253o 00’ - 253o 00’ 151o 43’ 30” 41,586 + 19,699 - 36,624 - - + 19,699 - 36,624 1.274,058 1.117,969 14 280o 06’ - 280o 06’ 178o 49’ 30” 57,979 + 1,189 - 57,967 - - + 1,189 - 57,967 1.255,548 1.096,626

E F 237o 42’ + 15” 237o 42’ 15” 209o 28’ 00” 121,527 - 59,781 - 105,807 - 0,011 + 0,006 - 59,792 - 105,801 1.263,175 921,023 15 00o 00’ - 00o 00’ 331o 45’ 45” 53,516 - 25,320 + 47,147 - - - 25,320 + 47,147 1.297,647 1.073,971 16 307o 15’ - 307o 15’ 279o 00’ 45” 82,399 - 81,382 + 12,908 - - - 81,382 + 12,908 1.241,585 1.039,732 17 302o 28’ - 302o 28’ 274o 13’ 45” 63,799 - 63,625 + 4,705 - - - 63,625 + 4,705 1.259,342 1.031,529 18 269o 50’ - 269o 50’ 241o 35’ 45” 51,200 - 45,036 - 24,355 - - - 45,036 - 24,355 1.277,931 1.002,469 19 237o 42’ - 237o 42’ 209o 27’ 45” 39,800 - 19,576 - 34,653 - - - 19,576 - 34,653 1.303,391 992,171

F G 252o 07’ + 15” 252o 07’ 15” 281o 35’ 15” 134,360 - 131,622 + 26,988 - 0,012 + 0,006 - 131,634 + 26,994 1.131,541 948,017 20 293o 10’ - 293o 10’ 322o 38’ 00” 67,874 - 41,194 + 53,944 - - - 41,194 + 53,944 1.221,981 974,967 21 294o 55’ - 294o 55’ 324o 23’ 00” 101,512 - 59,116 + 82,522 - - - 59,116 + 82,522 1.204,059 1.003,545 22 264o 00’ - 264o 00’ 293o 28’ 00” 96,325 - 88,358 + 38,358 - - - 88,358 + 38,358 1.174,817 959,381 23 290o 30’ - 290o 30’ 319o 58’ 00” 121,532 - 78,173 + 93,053 - - - 78,173 + 93,053 1.185,002 1.014,076

G H 174o 35’ + 15” 174o 35’ 15” 276o 10’ 30” 137,599 - 136,801 + 14,801 - 0,013 + 0,006 - 136,814 + 14,807 994,727 962,824 24 269o 22’ - 269o 22’ 10o 57’ 15” 73,796 + 14,023 + 72,451 - - + 14,023 + 72,451 1.145,564 1.020,468 25 252o 33’ - 252o 33’ 354o 08’ 15” 52,390 - 5,351 + 52,116 - - - 5,351 + 52,116 1.126,190 1.000,133 26 202o 48’ - 202o 48’ 304o 23’ 15” 28,189 - 23,263 + 15,921 - - - 23,263 + 15,921 1.108,278 963,938 27 217o 40’ - 217o 40’ 319o 15’ 15” 62,833 - 41,011 + 47,603 - - - 41,011 + 47,603 1.090,530 995,620 28 174o 45’ - 174o 45’ 276o 20’ 15” 54,392 - 54,060 + 6,004 - - - 54,060 + 6,004 1.077,481 954,021

H A 271o 54’ + 15” 271o 54’ 15” 8o 04’ 45” 37,547 + 5,277 + 37,174 - 0,004 + 0,002 + 5,273 + 37,176 1.000,000 1.000,000

155


156

OObbsseerrvvaaççõõeess ee aannoottaaççõõeess -- CCaapp.. 44 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

157

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


158

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

159

11 -- IInnttrroodduuççããoo ee HHiissttóórriiccoo

Importante:

Este capítulo foi baseado no capítulo “GPS: Global Positioning System. Aspectos Básicos”, do li-

vro “Topografia Contemporânea” de Loch & Cordini, editado em 1995 pela Universidade Federal de Santa

Catarina.

Com o advento da era espacial, viu-se a possibilidade de posicionamento cada vez mais rápido e

preciso, que se baseiam no rastreamento de satélites. Trabalhos tanto de Geodésia quanto Topografia vem se

valendo desta possibilidade.

A partir de 1973 foi implantado o projeto NAVSTAR-GPS ou simplesmente GPS: Global Positio-

ning System. O sistema consiste basicamente de um conjunto de estações fixas espalhadas na superfície da

terra (estações de controle), uma constelação de satélites artificiais em órbita a cerca de 20.200 Km e esta-

ções receptoras móveis.

Pode-se citar alguns benefícios advindos desta técnica de posicionamento como: precisão compatí-

vel, rapidez, independência das condições atmosféricas, etc.

Num breve histórico da utilização de satélites de posicionamento, este se inicia com o SPUTINIK

I, lançado pela antiga União Soviética em 1957. A seguir, tem-se o Programa TRANSIT, desenvolvido pela

Marinha Americana e operando com 3 satélites (1964). Em 1967 se tornou disponível à comunidade civil.

Desde então, foi batizado de NNSS (Navy Navigation Satellite System), e o sistema acusa uma rápida expan-

são.

Porém para evitar uma proliferação de sistemas paralelos, agências americanas (Departamento de

Defesa, NASA, Departamento de Comércio, Departamento de Transportes e a Administração Federal da Ae-

ronáutica) criaram o DNSS (Defense Navigation Satellite System). O objetivo deste grupo era investigar a

viabilidade de sistemas de satélites para comunicação, transferência precisa de tempo e controle de tráfego

aéreo. Com as exigências do DNSS, a Marinha Americana e a Força Aérea formularam dois projetos:

TIMATION (Marinha);


SYSTEM 621-B (Força Aérea).

Da União deste dois projetos, em 1973, originou o NAVSTAR-GPS: NAVigation System with

Time and Ranging - Global Positioning System.

160

22 -- SSeeggmmeennttooss ddoo SSiisstteemmaa ee oo PPrroojjeettoo NNAAVVSSTTAARR--GGPPSS

De maneira geral, o sistema NAVSTAR-GPS subdivide-se em três segmentos:

Segmento espacial;

Segmento de controle;

Segmento dos usuários.

a) Segmento espacial

É composto por 21 satélites em operação, com mais 3 de reserva (24 satélites). Sua função é gerar e

transmitir os sinais GPS: códigos, portadoras e mensagens de navegação. Os sinais são derivados da freqüên-

cia fundamental f0 = 10,23 MHz, com a seguinte estrutura (ondas portadoras):

L1 = 154 . f0 = 1.575,42 MHz e L2 = 120 . f0 = 1.227,60 MHz

Os códigos são modulados em fase com a onda portadora, emitida à freqüência de:

Código C/A = f0/10 = 1,023 MHz

Código P = f0 = 10,23 MHz

b) Segmento de controle

Consistem de esta-

ções monitoras localizadas em

Diego Garcia, Ascension Is-

land, Kwajlein e Hawaii; e

uma estação de controle

(“master”) em Consolidated

Space Operations Center

(CSOC), em Colorado S-

prings. Seu objetivo é monito-

rar a “saúde” (condições) dos

satélites, determinar suas órbitas (efemérides) e as correções aos relógios dos satélites (Figura 5.1).

Figura 5.1: Segmento de controle.

c) Segmento dos usuários

Consistem de todos os usuários militares e civis.

Receptores apropriados rastreiam os códigos ou as fases

das portadoras (ou ambos), além das mensagens transmi-

tidas pelos satélites (Figura 5.2).

Figura 5.2: Segmento dos usuários.

Com relação às necessidades propostas pelo

DNSS, pode-se citar:

a) Precisão de posicionamento na ordem de centímetro;

b) Exata definição da velocidade de propagação das on-

das eletromagnéticas (c = 299.792.458 m/s ± 1,2 m/s) e

do tempo;

c) Disponibilidade contínua de dados para navegação;

d) Base para o estabelecimento de um referencial global;

e) Cobertura global e regional;

f) Potencial generalizado de navegação para minimizar a proliferação de sistemas para fins especiais ou de

cobertura regional.

Nas tabelas a seguir (Tabela 5.1 e 5.2) tem-se a configuração original e atual do sistema GPS.

Tabela 5.1: Configuração Original do

NAVSTAR-GPS.

* Constelação de 24 satélites * 03 planos orbitais com 8 satélites

cada * Altitude da órbita: 20.000 Km

* Órbita circular * Inclinação dos planos orbitais: 630

* Período de revolução : 12 horas * Relógios atômicos a bordo dos saté-lites com estabilidade de 10-13 do se-

gundo * Portadoras de radiofrequência de 1,2

e 1,6 GHz * Potência: 450 Watts

161

Tabela 5.2: Configuração em 1990 do

NAVSTAR-GPS.

* Constelação de 24 satélites * 06 planos orbitais com 4 satélites cada * Altitude nominal da órbita: 20.183 Km

* Órbita quase circular * Inclinação dos planos orbitais em relação ao equa-

dor : 540 44’ * Período de revolução : 12 horas siderais

* Relógios atômicos a bordo dos satélites com estabi-lidade de 10-13 do segundo

* Portadoras de radiofrequência: L1 = 1575,42 MHz e L2 = 1227,60 MHz

* Potência: 450 Watts 3 satélites de reserva

33 -- PPrriinnccííppiiooss ddee OObbsseerrvvaaççããoo ee TTééccnniiccaass ddee PPoossiicciioonnaammeennttoo GGPPSS


O princípio básico para a determinação de pontos sobre a superfície terrestre (posicionamento) a

partir de observações GPS trata-se de um procedimento de medição de distância na qual, ao mesmo tempo,

são medidas as distâncias entre a estação de recepção e 4 satélites artificiais. Logo, partindo-se de coorde-

nadas conhecidas dos 4 satélites, num dado instante, calculam-se as coordenadas da estação.

Acompanhe a seguir este princípio:

Um conjunto de observações sobre os satélites, em cada estação, resulta num conjunto de 4 equa-

ções do tipo (Figura 5.3):

Ri = [(XS - XR)2 + (YS - YR)2 + (ZS - ZR)2]1/2 + COR

onde

COR = c.DTU - c.DTS + ION + TROP

sendo

XS, YS, ZS = Coordenadas tridimensionais do satélite (conhecidas através de suas efemérides);

XR, YR, ZR = Coordenadas tridimensionais do receptor (inicialmente são consideradas incógnitas);

COR - Correção;

DTU - Estado do relógio do receptor;

DTS - Estado do relógio do satélite;

c - Velocidade de propagação da luz no vácuo;

ION - Correção devido à refração ionosférica;

TROP - Correção devido à refração troposférica.

Logo, tendo 4 equações R’s, a 3 incógnitas XR, YR, ZR, certamente o sistema estará resolvido.

As variáveis de observação, ou seja, os dados a serem avaliados pelo receptor, consistem em dois

tipos de informações:

Medição de fase codificada;

Medição de fase da portadora.

162

Figura 5.3: Princípio de observação.

a) Medição de fase codificada

A fase codificada (C/A e P) permite a de-

terminação indireta da distância a partir da medida

direta do intervalo de tempo de propagação da

onda entre o satélite e o receptor, multiplicado

pela velocidade de propagação desta onda. Entre

as aplicações deste método pode-se citar o posicio-

namento em tempo real de um móvel. Sua precisão

é da ordem de metros (Figura 5.4).

Figura 5.4: Fase codificada.

b) Medição de fase da portadora

A fase da portadora (L1 e L2 => comprimento em torno de 20 cm) permite a determinação indire-

ta da distância análoga àquelas obtidas a partir dos códigos. Porém neste caso, mede-se a diferença de fase

entre o sinal que chega do satélite e o sinal gerado pelo oscilador, surgindo uma incógnita adicional na

observação da distância, denominada ambigüidade.

A ambigüidade é o número total de comprimentos de onda completos (ciclos) que o sinal apresen-

ta ao ser captado pelo receptor no início do período de rastreamento. Existem diversas técnicas de determina-

ção da ambigüidade. Nas aplicações deste método, obtêm uma melhor precisão no posicionamento.

163


164

33..11 -- OObbsseerrvvaaççõõeess nnoo MMooddoo RReellaattiivvoo oouu DDiiffeerreenncciiaall

Para otimizar a medição de

fase da onda codificada e da portado-

ra, procura-se minimizar ou até mes-

mo eliminar alguns erros ou pertur-

bações (erro de órbita do satélite, re-

fração troposférica e refração ionosfé-

rica, etc.).

Desta forma aplica-se o po-

sicionamento relativo. Este posicio-

namento adota modelos matemáticos

que promovem a diferença de obser-

vações, utilizando-se no mínimo duas

estações que conduzem observações

simultâneas aos mesmos satélites (Figura 5.5).

Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial.

Geralmente uma destas estações possui as coordenadas do receptor conhecidas, e por diferença en-

tre estas coordenadas conhecidas e as calculadas, são calculadas correções à serem inseridas na segunda es-

tação.

Os principais erros a serem eliminados são:

a) Erros de órbita (gira em torno de 10 a 30 m) - A influência deste erro sobre estações vizinhas é

facilmente eliminada quando se faz o uso de diferenças de observações. Para distâncias superiores a 50 Km

devem ser consideradas.

b) Ionosfera - Devido à alta freqüência da onda portadora, a sua influência é muito pequena.

c) Troposfera - Pode ser modelada - 2 a 3 cm.

Tanto as observações de código (C/A e P), quanto à da fase das portadoras (L1 e L2), podem ser

tratadas adotando-se o procedimento do posicionamento relativo ou diferencial.

No caso de observações de código (C/A e P), a técnica associada denomina-se DGPS-Differential

GPS, muito utilizado em navegação.

No caso de observações da fase da onda portadora (L1 e L2), as observações são combinadas li-

nearmente, originando-se as seguintes equações de observação (Figura 5.6):

1) Simples diferença de fase - Quando se diferenciam as observações de fase de duas estações em

relação ao mesmo satélite (cancelar os erros dos relógios dos satélites).

2) Dupla diferença de fase - Quando se diferenciam as diferenças simples em relação a dois satéli-

tes (cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor).

3) Tripla diferença de fase - Quando se diferenciam as duplas diferenças em relação ao tempo

(cancelar os erros dos relógios dos satélites e do receptor e as ambigüidades).

Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras.

Após ter visto as grandezas que podem ser avaliadas pelo usuário, este necessita adotar algumas

técnicas para seu posicionamento através de satélites. Com relação às técnicas de posicionamento, para a-

plicações geodésicas e topográficas, os procedimentos devem possibilitar algumas condições favoráveis co-

mo:

Utilizar a medição de fase da onda portadora;

Realizar observações no modelo relativo ou diferencial (mínimo de dois aparelhos);

Utilizar receptor e programa de cálculo apropriado.

As técnicas de posicionamento topográfico e geodésico mais amplamente utilizadas segundo as Es-

pecificações e Normas do IBGE são:

a) Posicionamento estático

165


166

Dois ou mais receptores fixos observam os mesmos satélites durante uma hora ou mais - Precisão

de 1 a 2 ppm.

b) Posicionamento cinemático contínuo ou semicinemático (stop-and-go)

Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) é (são) móvel. Os sinais devem ser continuamente

rastreados para evitar perdas de sinais a fim que se determine a ambigüidade.

c) Posicionamento pseudocinemático ou pseudo-estático

Um receptor é mantido fixo enquanto outro(s) ocupa(m) a(s) mesma(s) estação(ções) mais de uma

vez.

d) Posicionamento estático-rápido

Corresponde ao pseudocinemático sem a necessidade de re-ocupação das estações.

e) Solução de ambigüidades em tempo real

Equivale ao estático-rápido, com receptor itinerante se movendo continuamente.

Os métodos das alíneas “d” e “e” adotam soluções de cálculos que utilizam simultaneamente os

quatro tipos de observação proporcionados pelo sistema: fases da portadora (L1 e L2) e os códigos (C/A e P).

As técnicas de posicionamento relativo revestem-se de grande importância quando considera a

implantação da degradação da qualidade proporcionada pelo sistema. Devido ao fato do GPS ter sido de-

senvolvido principalmente por razões militares, o Departamento de Defesa dos EUA projetou as seguintes

técnicas de imprecisão ao sistema:

Disponibilidade Seletiva (Selective Availability - SA): técnica de degradação deliberada da es-

tabilidade dos relógios dos satélites e da mensagem por eles transmitida (bloco II);

Anti-spoofing (AS): técnica de criptografia do código P, dando origem ao código Y (implemen-

tado).

Para o posicionamento relativo, que tem como objetivo minimizar os erros associados aos relógios,

o SA não constitui grandes problemas. No caso da técnica AS, a maioria dos receptores utiliza o código C/A

ou possuem alternativas para o caso do código P ser criptografado.

Portanto a degradação do sinal representa um problema para usuários que buscam posicionamento

isolado, o que prejudica a maioria das aplicações tradicionais em tempo real.

44 -- IInnffoorrmmaaççõõeess BBáássiiccaass ppaarraa UUttiilliizzaaççããoo ddoo SSiisstteemmaa

Para que se utilize o sistema GPS, algumas observações devem ser consideradas:

a) Disponibilidade de satélites em quantidade suficiente (“janelas”) (pode ser determinado através

de programas);

b) Rastreamento simultâneo de pelo menos quatro satélites;

c) Estações próximas uma das outras (± 20 Km) para o método diferencial;

d) Satélites “saudáveis”, isto é, em plenas condições de operação;

e) Atenção com altitude elipsoidal x altitude ortométrica;

f) Condições locais.

Com relação às altitudes obtidas pelo GPS, alguns pontos devem estar claros, pois as altitudes no

sistema GPS são referenciadas a um elipsóide (modelo matemático adotado para forma da terra - WGS 84),

enquanto as altitudes geodésicas são referidas ao geóide (nível médio dos mares).

Assim, a altitude GPS (elipsoidal) deve sofrer uma transformação do elipsóide para o geóide. De-

pendendo da aplicação, pode-se usar de mapas geoidais, como o publicado pelo IBGE para o Brasil. No cap.

3, item 3.6.3, discutiu-se a possibilidade de nivelamento pelo sistema GPS.

Quanto ao local recomenda-se:

a) Boas condições de acesso;

b) Inexistência de obstáculos acima de 20o;

c) Evitar proximidades de redes de alta tensão;

d) Evitar proximidades de objetos que possam refletir as ondas (multicaminhos).

167

55 -- TTrraannssffoorrmmaaççããoo ddee RReeffeerreenncciiaaiiss GGeeooddééssiiccooss

O sistema geodésico adotado como referência, tanto

das efemérides transmitidas quanto das precisas, é o World Ge-

odetic System 1984 (WGS 84). Isto acarreta a transformação

dos resultados para o sistema SAD-69 (South American Datum)

adotado no Brasil. Estes parâmetros são fornecidos pelo IBGE

através de sua publicação “Especificações e Normas Gerais pa-

ra Levantamentos GPS”.

SAD-69 WGS-84


Como dito no item anterior, deve-se ressaltar que GPS fornece resultados de altitude elipsoidal

(WGS 84). Para algumas aplicações, torna obrigatório o emprego do Mapa Geoidal do Brasil, para a obten-

ção das altitudes referidas ao geóide e ao datum Imbituba-S.C.

168

66 -- IInnssttrruummeennttoo RReecceeppttoorr

Do ponto de vista da precisão é importante o receptor ser capaz de medir a fase da portadora; de

preferência nas duas freqüências (L1 e L2). Outro fator importante é o número de satélites que podem ser

rastreados simultaneamente (Figura 5.7). Na tabela (Tabela 5.3) se pode observar alguns modelos encontra-

dos no mercado de receptores GPS, com sua precisão e preço (dados de 1998).

Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS.

7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS

A precisão no levantamento está relacionada com os seguintes fatores: método de levantamento,

geometria dos satélites, tipo (número de máximo de satélites, sinais rastreados) e quantidade de receptores

(Tabela 5.4).

Com um único receptor, obtêm-se coordenadas com precisão entre 20 a 30 m (modo absoluto).

Dois aparelhos e método diferencial - alguns centímetros.

Ocupando vários pontos conhecidos e a determinar - pode atingir de 1 a 2 cm.

Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS – Referência ano 2000

169

Aplicação Fabricante Modelo No Máximo de Satélites

Sinais rastreados Precisão Peso

(Kg) Preço (R$)

Trimble Ensign 8 0,4 1.302 Garmin GPS-45 8 0,3 1.200

Lev. Expedito Navegação Autônomo Magelan Traiblazer 12

L1 C/A Código 100 m

0,4 1.300 Geoexplorer 8 2 a 5m < 1m 0,4 55.580Trimble

Pathfinder Pro-XL 8/12 L1 C/A

< 1m < 0,5m 1,8 16.740Lev. Topográfico

Navegação Diferencial Garmin GPS-45 8 Código 5 a 10m 0,3 1.200

4000 RS 37.200Trimble 4000 DS

9 < 1m 2,7 29.760

Garmin SRVY II 8 < 5m 0,7 6.500 Magelan Fild Pro-V <5 m 0,4 3.000

Navegação Diferencial de

Precisão Pro Mark V

5

L1 C/A Código

e Portadora < 1m 0,85 12.000

Trimble 4000 SE Land Surveyor 8 2 ppm 2,7 18.600

Ashtech Dimension 12 1 a 2 ppm 2,7 15.000

Geodésico Estático

Bases Curtas Cinemático Topcon GP-R1 12

L1 C/A Código

e Portadora 1 a 2 ppm 3,8 22.000

Trimble 4000 SSE Land Surveyor 9 1 ppm 3,1 37.200

Ashtech MDX II 12 1 a 2 ppm 6,0 25.000


Bases Longas Cinemático Topcon GP-R1D 12

L1 C/A Código

e Portadora L2Squaring 1 a 2 ppm 4,0 30.000

Trimble 4000 SSE Geodetic Surveyor 9 1 ppm 3,1 44.640

Ashtech Z-12 12 1 ppm 6,0 45.000


Cinemático Rápido Estático Topcon GP-R1DY 12

L1 C/A Código

e Portadora L2, P ou Y 1 ppm 4,2 40.000

Trimble 4000 SSE Site Surveyor 9 1 ppm 3,1 46.500Geodésico

Dinâmico (on-the-fly) Ashtech Z-12 12

L1 C/A Código

e Portadora L2, P ou Y 10 cm 6,0 45.000

Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão – Referência ano 2000.

Técnica Aplicações Observação Precisão (sem S.A.)

Precisão (com S.A)

Ponto isolado Navegação Reconhecimento

Código C/A (Pseudo-distância) Código P (Pseudo-distância)

30 m 20 m

120 m 120 m

DGPS Navegação Engenharia


1 a 10 m N.D.

1 a 10 m N.D.

Ponto Isolado acumulado Topografia Engenharia


20 m 3 m

N.D. N.D.

Diferencial com código acumulado

Topografia Engenharia


3 a 5 m 1 m

3 a 5 m 1 m

Interferometria (Estático)

Geodésia (bases curtas)

Geodésia

Portadora L1

Portadoras L1 e L2

2 ppm

1 ppm

2 ppm

1 ppm Interferometria (Cinemático)

Geodésia (bases curtas)

Portadora L1 Portadoras L1 e L2

2 ppm 1 ppm

2 ppm 1 ppm

Interferometria (Pseudo-cinemático) Geodésia Portadora L1

Portadoras L1 e L2 2 ppm 1 ppm

2 ppm 1 ppm

Estático-rápido e solução de ambigüidades em tempo

real. Geodésia

Portadoras e código P em L1 e L2 (sem S.A.); Portadoras, código C/A em L1 e correlação cru-

zada do código P (com S.A) 1 ppm 1 ppm

Relaxação Orbital Geodésia (fins científicos) Portadoras L1 e L2 0,1 ppm 0,1 ppm

Integração Orbital Geodinâmica Portadoras L1 e L2 0,01 ppm 0,01 ppm

Com relação à classificação destes levantamentos, segundo o IBGE (Especificações e Normas Ge-

rais - 1993), pode-se identificar três categorias de levantamentos GPS:


170

a) Geodinâmico Global e Regional - Essencialmente científico (0,01 ppm);

b) Sistemas Geodésicos Nacionais - implantação de redes primárias (0,1 ppm). Pode-se citar os tra-

balhos ligados ao controle e monitoramento das estações da RBMC (Rede Brasileira de Monitoramento Con-

tínuo);

c) Sistemas Geodésicos Nacionais - implantação de redes secundárias (1 ppm). Densificação do

SGB (Sistema Geodésico Brasileiro).

88 -- AApplliiccaaççõõeess ddoo SSiisstteemmaa GGPPSS

Entre as várias aplicações, pode-se citar:

a) Levantamentos Geodésicos Locais - Trata-se da utilização do sistema em medições geodésicas

de curta distância (topografia, cadastro, batimetria).

b) Aplicações terrestres (monitoramento de deformações, controle de redes, geodinâmica, etc.);

c) Transporte e comunicação (navegação, monitoramento de frotas, etc.);

d) Aplicações marítimas (ancoradouros, gravimetria, levantamento hidrográfico, etc.);

e) A bordo de aeronaves (fotogrametria, gradiometria e gravimetria, etc.);

f) Aplicações espaciais (imageamento, radar altimétrico, etc.);

g) Aplicações de lazer (montanhismo, iatismo, etc.).

Observações e anotações - Cap. 5 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

171


172

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

173

11 -- DDeeffiinniiççõõeess ee GGeenneerraalliiddaaddeess

A fotogrametria tem por finalidade a determinação da forma e dimensões de objetos por meio de

medidas obtidas em fotografias aéreas ou terrestres. Sua utilização tem inúmeras aplicações, podendo citar o

auxílio a projetos de estradas, cadastro urbano e rural, dimensionamento de bacias hidrográficas, projetos ur-

banísticos, localização e dimensionamento de jazidas, reconhecimento de áreas de risco, reflorestamentos,

etc.

A grande vantagem no processo fotogramétrico é sua rapidez no levantamento, podendo recobrir

uma extensa área a ser mapeada. Para estudo da fotogrametria, esta pode ser dividida em fotogrametria ter-

restre, quando as fotos são tiradas de câmaras estacionadas em pontos do terreno; e fotogrametria aérea ou

aerofotogrametria, se as fotografias forem tomadas de pontos de vista no espaço.

Abaixo são citadas algumas escalas mais comumente adotadas nas fotografias aéreas, relativo a

seus objetivos:

1/500 - Projetos de irrigação;

1/1.000 a 1/2.000 - Cadastro urbano e rural,

urbanismo, projetos de estradas;

1/5.000 - Estudo de bacias para aproveita-

mento hidrelétrico, projeto de estradas;

1/10.000 a 1/25.000 - Análise e interpreta-

ção geológica;

> 1/100.000 - Fotointerpretação florestal.

Com relação à fotografia aérea, estas

devem ser verticais (eixo da câmara vertical),

porém ocorrem de ser inclinadas (eixo inclina-

do), devido ao movimento da aeronave. Admi-

Figura 6.1: Escala da fotografia aérea.


tindo um plano horizontal na chapa, seja “l” o lado da foto, “L” o lado do terreno, “H” a altura média de vôo

e “f” a distância focal da câmara, tem-se (Figura 6.1):

Efoto Mf

fH

lL

= = =1

Porém na prática, é impossível ocorrer uma única escala, e sim uma diversidade de escalas pois:

O relevo do terreno não é constante, ou seja, ocorrem altitudes diferentes nos vários pontos le-

vantados;

Em condições de vôo é impossível a tomada de fotos perfeitamente verticais;

O altímetro não avalia com precisão as altitudes;

A fotografia aérea possui uma projeção cônica.

174

22 -- CCââmmaarraass AAéérreeaass

Com relação às câmaras aéreas e terrestres, algumas características são importantes como:

a) Objetiva de alto rendimento, quanto ao

seu poder de separação, ausência de dis-

torção e iluminação uniforme da imagem;

Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea.

b) Obturador com tempo de exposição de

alta velocidade, para eliminação do arras-

tamento da imagem;

c) Dispositivo de sustentação (correções,

vibrações);

d) Dispositivo de orientação da câmara;

e) Relógio contador de fotografias, com

indicação do número da objetiva e da dis-

tância focal da câmara;

f) Possuir altímetro de boa precisão.

Em função de sua distância angular (ângulo de abertura), as câmaras áreas podem possuir ângulo

estreito, ângulo normal, ângulo intermediário, grande angular e supergrande angular, variando conseqüente-

mente sua distância focal.

22..11 -- CCââmmaarraass AAéérreeaass DDiiggiittaaiiss

Segundo TOMMASELLI, 1997, a tecnologia de imageamento digital com câmaras digitais, tem si-

do empregada em aplicações de Visão de Máquina, Fotogrametria à Curta Distância e em algumas aplicações

aéreas. No Sensoriamento Remoto, o imageamento eletrônico vem sendo usado desde seus primórdios em

sensores orbitais, gerando produtos multiespectrais. A maioria das aplicações atuais de Fotogrametria, tanto

em mapeamento quanto em curta distância, são digitais, no sentido de que a informação é toda ela tratada

numericamente. Entretanto, a captura das imagens em Aerofotogrametria continua sendo feita com filmes e

depois digitalizada em scanners fotogramétricos. Isto ocorre porque os sensores digitais recentemente dispo-

nibilizados, que equivalem em resolução à uma câmara fotogramétrica, ainda apresentam custo muito alto.

Além disto, a massa de dados a ser armazenada em tempo real é muito grande e o seu gerenciamento é bas-

tante complexo.

Apesar destes problemas as vantagens das câmaras digitais justificam a substituição gradativa das

câmaras convencionais:

É possível reaproveitar a mídia de gravação inúmeras vezes e as imagens podem ser melhoradas já durante

o vôo;

Não é necessário digitalizar a fotografia em scanner;

Exemplo 1: Sobrevoando uma região com altura média de 1.000 m, tomando fotos com dimensões

de 23 cm x 23 cm, uma câmara supergrande angular de distância focal igual a 85 mm, recobre uma área de

7,32 Km2. Calcule a escala da foto e confirme a área levantada.

Solução:

a) Escala da foto

EfotofH

= ∴ ≈0 0851000

112 000

,. .

b) Área levantada

2km32,72LÁrea

2m88,705.2LL

m23,0m000.1m085,0

Ll

Hf

≅=

=∴=∴=

Exemplo 2: Considerando o exemplo anterior, com uma câmara de ângulo normal com 210 mm

de distância focal, percebe-se que recobre 1,20 Km2. Calcule a escala da foto e confirme a área levantada.

Solução:

a) Escala da foto

175


EfotofH

= ∴ ≈0 2101000

15 000

,. .

b) Área levantada

2km20,12LÁrea

2m24,095.1LL

m23,0m000.1m210,0

Ll

Hf

≅=

=∴=∴=

Dos exemplos 1 e 2, pode-se concluir que o aumento da distância focal implica em um aumento

da escala (para mesma altura e tamanho da foto), porém a área fotografada será menor na foto do exemplo 2,

com mais detalhes do terreno (Figura 6.3).

Logo, pode-se relacionar alguns ângulos de abertura com suas escalas:

Câmaras normais - grandes escalas;

Câmaras grande-angular - médias e pequenas escalas;

Câmaras supergrande angular - pequenas escalas.

Uma restrição à câmara grande-angular seria a obstrução de elementos atrás de árvores, edifícios,

etc. (distorções provocadas pela projeção cônica).

Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala.

176

33 -- FFoorrmmaaççããoo ddoo MMooddeelloo EEsstteerreeoossccóóppiiccoo

Para que o terreno possa ser definido de forma planialtimétrica, é necessário abranger a mesma área

de terreno de dois pontos de vista diferentes. Esta percepção da profundidade ou estereoscopia resulta da vi-

são binocular, apesar de que com apenas um olho pode-se obter informações tridimensionais, como:

a) A visão de objetos que sabemos ter as mesmas dimensões, sob diferentes tamanhos aparentes;

b) A sombra projetada;

c) Efeitos perspectivos;

d) Rápido movimento do olho para observar dois objetos.

Este par de fotografias, em que cada componente é a perspectiva de um mesmo objeto, denomina-

se estereograma. A formação do modelo estereoscópico é proporcionada por instrumentos designados de

restituidores, conduzindo ao desenho da carta planialtimétrica. Estes podem ser de projeção luminosa ou

virtual.

a) Luminosa

Nestes, a projeção das imagens reais é

apoiada sobre um anteparo. Podem utilizar-se de

dois instrumentos:

Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos.

Estereoscópios de lentes:

- Vantagens - Baixo custo, portabilidade, simpli-

cidade de manutenção;

- Desvantagens - Dificuldade de anotação nas fo-

tos, devido a proximidade, campo de visão limita-

do.

Estereoscópios de espelhos (Figura 6.4):

- Vantagens - Maior separação entre fotos e entre estas e o instrumento;

- Desvantagens - Maior custo, menor facilidade manuseio.

b) Virtual

Utiliza-se de dispositivos óticos, denominados de restituidores universais.

177

33..11 -- RReessttiittuuiiççããoo FFoottooggrraammééttrriiccaa


178

A restituição fotogramétrica consiste na transformação da imagem fotográfica (que é uma repre-

sentação em projeção cônica) em um mapa (que é uma representação em projeção ortogonal).

O procedimento é reproduzir um modelo estereoscópico do terreno fotografado, através da interse-

ção de par de raios luminosos que passam pelos centros de perspectiva e pelos pontos homólogos, e projetar

ortogonalmente cada uma dessas interseções sobre um plano de referência onde é reproduzido o mapa. Esta

operação é realizada através de aparelhos restituidores, e podem ser classificados:

a) Quanto ao princípio de funcionamento

Restituidores Analógicos

São aqueles que trabalham sobre um modelo tridimensional do terreno (modelo de trabalho), re-

constituindo ponto a ponto, a partir da interseção dos raios homólogos.

Restituidores Analíticos

O modelo de trabalho é totalmente matemático. As operações de orientação, medição e desenho são

completados analiticamente, usando-se um equipamento de processamento eletrônico de dados acoplado à

unidade básica, que é, em última análise um estereocompilador.

Restituidores Semi-analíticos

Combinam parte das características dos dois anteriores.

b) Quanto à precisão

De alta precisão ou 1o ordem

Reconstituição precisa em escalas médias e pequenas, na ordem de 0,01mm da escala do fotograma

e a vertical na ordem de 0,015% da altura de vôo.

Topográficos ou de 2o ordem

Reconstituição precisa em escalas médias e grandes, na ordem de 0,02mm da escala do fotograma e

a vertical na ordem de 0,02% da altura de vôo.

Aproximados ou de 3o ordem

Reconstituição precisa em escalas médias e grandes, na ordem de 0,03mm da escala do fotograma e

a vertical na ordem de 0,05% da altura de vôo.

c) Quanto à versatilidade

Universais

Realizam qualquer tipo de operação estereofotogramétrica, inclusive fotos terrestres.

Simples

Possuem limitações operacionais, como por exemplo, não fazem a aerotriangulação analógica.

d) Quanto ao tipo de projeção do modelo de trabalho

Ótica

Projetam imagens reais dos dois fotogramas sobre um anteparo (mesa traçadora).

Mecânica

Os fotogramas são observados por um sistema estereoscópico, mas, para efeitos fotogramétricos, a

reconstituição do modelo de trabalho é totalmente realizada por duas hastes metálicas que representam os rai-

os perspectivos.

Ótico-mecânica

É ótica, no espaço objeto, e mecânica, no espaço imagem.

e) Quanto ao uso de fotogramas

Restituidores aerofotogramétricos

Figura 6.5: Restituidor universal.

Trabalham exclusivamente para fotos aé-

reas.

Restituidores terrestres

Trabalham exclusivamente para fotos ter-

restres.

Restituidores universais

Trabalham com ambos os tipos de fotogra-

mas (Figura 6.5).

f) Quanto à rotação dos projetores

Centrados

Os movimentos de rotação dos projetores ou porta-placas são feitos em torno do centro de proje-

ção, que permanece fixo.

Não centrados

As rotações são feitas em torno dos eixos X e Y contidos no plano dos fotogramas, produzindo des-

locamentos do CP.

Numerosos processos vêm sendo elaborados a fim de efetuar ou sustentar a interpretação de fotos

aéreas por meios automáticos, entre eles a restituição digital.

Na restituição digital, a tarefa de aquisição de dados se materializa pela operação do restituidor,

sendo que as coordenadas X, Y e Z, do sistema do aparelho, dos pontos percorridos pela marca estereoscópi-

ca, são enviados ao computador por meio de registrador digital triaxial.

179


Este procedimento teve êxito devido ao desenvolvimento da eletrônica e o barateamento dos com-

putadores, com a inclusão de registradores digitais triaxiais de coordenadas no sistema de medição e locação

dos restituidores, permitindo o registro digital e armazenamento em meio magnético, para posterior tratamen-

to e edição.

Esta é uma das formas mais empregadas na confecção de documentos cartográficos. Este apresenta

as vantagens de exigir quase que exclusivamente a habilidade do operador na tarefa de restituição, além de

permitir o emprego de diversos modos de coleta como curvas de nível, grades regulares, perfis, pontos isola-

dos, etc.

180

44 -- MMeeddiiççããoo AApprrooxxiimmaaddaa ddee AAllttuurraa

Na figura abaixo (Figura 6.6) tem-se uma fotografia aérea perfeitamente vertical tomada de um ter-

reno acidentado. Neste terreno estão marcados os pontos P1, P2 e P3.

Seja ainda: f => distância focal; Z => Altura de vôo sobre o plano médio S; h1 e h3 => altura de h1

e h3.

Figura 6.6: Medição aproximada de altura.

De acordo com uma projeção ortogonal, num plano horizontal médio imaginário de referência, pas-

sando por P2, as projeções desses pontos serão P’1, P’2 e P’3, que são seus lugares corretos em um mapa.

A projeção central dos pontos P1, P2 e P3 na fotografia resultará em p1, p2 e p3, enquanto deveriam

cair em p’1, p’2 e p’3 para corresponderem aos lugares dos pontos P’1, P’2 e P’3. Pode-se concluir que:

Pontos que estão no nível mais alto que o plano horizontal de referência, são mudados radial-

mente para fora em relação ao ponto principal;

Pontos que estão no nível mais baixo que o plano horizontal de referência, são mudados radial-

mente para dentro em relação ao ponto principal.

Esse deslocamento é devido ao relevo do terreno e é inerente à projeção cônica e não pode ser eli-

minada. Esses deslocamentos são responsáveis pela necessária diferença de paralaxe que permite a visão es-

tereoscópica.

Denominando, por exemplo (Figura 6.6), P2P3 de r e P2P3’ de r’, a diferença dr = r - r’ é o desloca-

mento que sofre a imagem do ponto P3 devido ao relevo, através da semelhança de triângulos, pode-se calcu-

lar as alturas de 1 e 3.

2P3Pr

Zf

2P3OP2p3Op

'2P'3P'r

Zf

2P'3OP2p'3Op

=Δ≈Δ

=Δ≈Δ

dividindo membro a membro, e P3’P2’ = P3P2 tem-se:

Z hZ

rr

−=

'

e

rZ

drhhZ

h'rdr

Zh

rdr ⋅=∴−

⋅=∴⋅=

Este valor é aproximado pois não se conhece a altura do plano médio, as fotos não são totalmente

verticais.

Exemplo 3: A imagem do topo da colina está a r = 9 mm do centro da fotografia. Sua altura sobre

o plano médio é h = 600 m, e altura de vôo e Z = 4.000 m. Qual deslocamento da imagem ?

Solução:

dr rhZ

mm= ⋅ = ⋅ =96004000

1 35,

181

55 -- PPllaannoo ddee VVôôoo AAeerrooffoottooggrraammééttrriiccoo


O plano de vôo tem por finalidade orientar a equipe de vôo, dar uniformidade, maior rendimento,

precisão e economia à tarefa de fotografar.

As características que as fotografias devem ter estão relacionadas diretamente à sua aplicação. Lo-

go, de acordo com a escala exigida e com as características dos equipamentos de compilação que se pos-

sua, é possível decidir o equipamento necessário para o levantamento.

Para que uma missão de vôo tenha êxito, devem ser definidos os seguintes dados:

a) Tipo de câmara a ser utilizada;

b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas;

c) Superposição lateral entre as faixas de vôo;

d) Altura de vôo;

e) Número de fotografias por faixa;

f) Número de faixas de vôo;

g) Quantidade de filme necessário;

h) Tempo de exposição de cada fotografia;

i) Intervalo de tempo entre duas exposições;

j) Autonomia da aeronave.

A seguir é comentada sucintamente cada uma destas operações.

a) Tipo de câmara a ser utilizada

Dos tipos de câmara mais usados, pode-se distinguir, as normais, grandes angulares e supergrande

angulares, segundo o campo de abertura de suas objetivas. Assim deve-se avaliar a constante da câmara (f =>

distância focal), dado pelo manual da câmara.

b) Superposição longitudinal entre fotos sucessivas

Geralmente adotado como 60% para efeito de estereoscopia. O comprimento da base é definido pe-

lo recobrimento. Se for 60%, tem-se:

BlE

= 0 40, *

onde B => Comprimento da base; l => lado da foto em metros; E => escala da foto

c) Superposição lateral entre as faixas de vôo

Geralmente de 30% de recobrimento. O intervalo entre faixas de recobrimento pode ser calculado

pela fórmula:

IlE

= * ,0 7

onde

182I - Intervalo entre faixas; l - lado da foto em metros; E - escala da foto.

d) Altura de vôo (de acordo com a escala desejada)

Altura de vôo é a distância do centro ótico da câmara fotogramétrica até o plano, cujo nível coinci-

de com o nível médio do terreno a fotografar. Uma vez definidas a escala e a câmara fotogramétrica, pode-

se calcular a altura de vôo.

EfH

= , ou seja, HfE

= , onde

E - Escala da fotografia; f - Constante da câmara (distância focal); H - Altura de vôo.

Figura 6.7: Plano de vôo.

Como o altímetro geralmente fornece a altitude

baseada na pressão atmosférica, ou seja, a altura em rela-

ção ao nível médio dos mares, é preciso somar a altura de

vôo, a altitude média da região a fotografar.

Dependendo da escala e câmara a altura pode ser

elevada, necessitando de equipamento de oxigênio para o

operador (Figura 6.7).

e) Número de fotografias por faixa

O número de fotografias por faixa N, pode ser obtido da seguinte forma:

lpicaestereoscóaéreabase

faixadaoComprimentN +=

O comprimento da faixa é obtido no projeto de vôo, enquanto que a base aérea é definida pelo re-

cobrimento.

Quando o contorno da área a fotografar é irregular - uma grande ilha - o cálculo do número de fo-

tografias é feito dividindo a área total a recobrir pela área que cobre cada foto, descontando o recobrimento.

Desta maneira não se calcula o número de fotos por faixa, mas o número total de fotos.

Por exemplo, se o recobrimento longitudinal é 60% e o lateral 30%, tem-se:

s L= 0 4 0 7 2, * , ∴ s L = 0 28 2, *

O número total de fotografias será:

NSs

=

onde

S - Área da superfície total a fotografar; s - Área útil da foto; L - Comprimento do lado da foto.

Ao número N de fotografias devem ser acrescidos de 10 a 15 % para perdas.

183


f) Número de faixas de vôo

Para determinar o número de faixas, geralmente executa-se algumas faixas transversais e com estas

confecciona-se as entradas das faixas de recobrimento (30%) e determina-se o número de faixas de recobri-

mento.

g) Quantidade de filme necessário

Conhecido o número de fotografias por faixa e o número de faixas, é fácil calcular o número total

de fotografias.

Para cálculo da quantidade de filme, torna-se necessário conhecer o número de chapas que um rolo

de filmes possui, e calcular o número de rolos necessários.

h) Tempo de exposição de cada fotografia

Existe um tempo máximo da abertura na tomada das fotos, para que as imagens não resultem arras-

tadas, devido à velocidade do avião.

Uma imagem é considerada arrastada quando o arrastamento é maior que o poder de resolução nor-

mal de olho humano, que é de 20 linhas por milímetro, ou seja 1/20 mm.

Sendo “V” a velocidade do avião, “A” a distância que a aeronave percorre enquanto o obturador

permanece aberto durante o tempo de exposição t, tem-se que:

tAV

=

Ao espaço A corresponde ao arrastamento a da imagem. Então:

AaE

= , ou seja, ta

V E=

*

Sendo o arrastamento admissível para uma fotografia ser considerada boa, deve ser menor que

1/20mm ou 0,05mm, pode-se escrever:

tV E

=0 00005,

*, onde 0,00005 m é o arrastamento admissível (a).

Exemplo 4: Dado V = 300 Km/h = 83 m/s e E = 1/25.000, calcule o tempo de exposição.

Solução:

tV E

=0 00005,

* ∴ t = 1/66 seg.

O tempo de exposição não poderá ser maior que 1/66 segundos. Os obturadores das câmaras foto-

gráficas admitem algumas velocidades padrão, como 1/60, 1/120, 1/300, 1/500, 1/1000 do segundo. 184

i) Intervalo de tempo entre duas exposições

O intervalo de tempo depende da velocidade do avião em relação ao terreno, da escala da foto, do

tamanho da chapa e do recobrimento longitudinal.

Como o recobrimento longitudinal é geralmente de 60%, o avanço deve ser de 40% do comprimen-

to do lado da área fotografada por uma chapa.

Resulta que a distância que o avião deve percorrer entre duas tomadas de fotos sucessivas é:

BlE

= 0 40, *

onde:

B - Distância a percorrer; l - lado da fotografia em metros; E - Escala da fotografia.

Desta forma, o tempo que decorre entre duas exposições sucessivas, resultará em:

Tl

V E=

0 40, **

sendo

V - velocidade do avião em metros/segundo.

Exemplo 5: Dado E = 1:25.000, l = 23 cm = 0,23 m e V = 300 Km/h = 83 m/s, calcule o intervalo

de tempo entre exposições.

Solução:

Tl

V E=

0 40, **

∴ T = 27 seg.

Como a velocidade do avião varia em conseqüência da ação dos ventos, existem aparelhos auxilia-

res para regular o recobrimento correto chamados intervalômetros.

j) Autonomia da aeronave.

O avião escolhido depende da altura de vôo que se exige para tomar as fotografias. Quanto maior

for a altura, mais equipado terá que ser. Os bimotores são melhores que os monomotores devido à estabilida-

de. A tripulação mínima é composta por um piloto, um navegador e um fotógrafo.

185

55..11 -- IInnffoorrmmaaççõõeess CCoommpplleemmeennttaarreess ppaarraa PPrroojjeettoo AAeerrooffoottooggrraammééttrriiccoo

Após comentar sobre as atividades para o plano de vôo, o projeto, como um todo, de um levanta-

mento aéreo deve-se ainda preocupar com outros detalhes. Um projeto de levantamento aerofotogramétrico

se faz com o auxílio da melhor carta existente na região.


186

Devem estar locados neste mapa, pontos de controle terrestres, através de suas coordenadas. Estes

pontos devem ser sinalizados, para melhor aparecer nas fotografias. A quantidade desses pontos de controle

pode ser reduzida até 50%, através de planejamento e execução do vôo com faixas transversais ou faixas de

apoio, que são faixas de vôo feitas no sentido transversal ao das faixas de recobrimento.

Ao executar o vôo de recobrimento, o avião deve percorrer a região a fotografar em faixas contí-

guas, num vai e vem sucessivo. O comprimento de uma faixa de vôo não deve ultrapassar 100 Km, pois se

torna difícil controlar a rota e o efeito da curvatura da terra começa a ser considerável. Se possível, as faixas

devem ser orientadas no sentido norte-sul ou leste-oeste (escolher a menor distância), para facilitar o controle

do rumo.

Outra informação importante é o estudo e traçado das rotas para atingir o local de trabalho e para o

retorno e consultar boletins meteorológicos, para que não seja prejudicada a missão.

Ainda, o levantamento deve ser acompanhado por um relatório de vôo, que deve conter:

Nome dos elementos da equipe de vôo, característica de vôo, localidade, dia, hora, finalidade,

altura de vôo, tempo de exposição, número de horas voadas, número de faixas voadas, número de fotografias

tomadas;

Equipamentos utilizados, como tipo de aeronave, tipo de câmara (número e distância focal), fil-

tro utilizado, falhas observadas no equipamento;

Condições do tempo, como temperatura, vento, condições de luz, nuvens, etc.

Com relação ao material da fotografia, esta escolha é função do fim a que se destina, tendo as se-

guintes variações:

a) Variação da escala

Na escolha da escala entram em conta diversos fatores de ordem técnica e econômica. Segundo a

sua aplicação, têm-se dois campos principais:

Cartografia - Fotografias em escalas pequenas são bastante acuradas para confecção de bons

mapas (até 1:80.000).

Fotointerpretação - Pequenos detalhes podem ser importantes e o tamanho deste detalhe indicará

a melhor escala.

Para finalidades florestais - 1:10.000 até 1:25.000

Para finalidades geológicas - 1.60.000 até 1:80.000

b) Variação do tipo de filme

Podem ser agrupados da seguinte maneira:

Filmes preto e branco; Filmes coloridos;

Filmes infravermelhos; Filmes de cores falsas.

c) Variação da câmara

Dos tipos de câmara mais usados, pode-se distinguir, as normais, grandes angulares e supergrande

angulares, segundo o campo de abertura de suas objetivas. A escolha depende:

Do equipamento estereocompilador disponível;

Da escala em combinação ao tipo de aeronave (pela altura);

Da finalidade.

Outro ponto importante a ser analisado é o apoio terrestre, ou seja, a determinação de pontos co-

ordenados no terreno para auxiliar o processo de restituição. Este apoio é feito sobre uma planta baseada pelo

foto-índice. Os pontos a serem coletados podem fazer parte de uma rede de triangulação do Sistema Geodé-

sico Brasileiro, ou serem determinados por procedimentos geodésicos (Figura 6.8).

Figura 6.8: Apoio terrestre.

187

55..22 -- PPrroobblleemmaa ddee OOrriieennttaaççããoo ddaass FFoottooss

Para orientação, vamos admitir um sistema de eixos cartesianos triortogonais X, Y e Z com origem

no centro ótico da câmara fotográfica, onde XY definem um plano horizontal e X é paralela a linha de vôo e

Z coincide com a vertical do lugar.

Devido às causas externas (vento e diferença de pressão), a aeronave tende a se desviar da rota e al-

titude previstas, provocando desvios (translações) e rotações da câmara com relação às situações ideais e pre-

vistas. As translações ou deslocamentos em relação ao eixo adotado são bx, by e bz e as rotações W, Y e X,

respectivamente em relação aos eixos X, Y, Z.

a) Deslocamento “bx” da câmara

Quando um vento de proa ou de popa altera a velocidade do avião.

Problema: Interfere no recobrimento aéreo.

Solução: Utilização de intervalômetros.


188

b) Deslocamento “bz” da câmara

Quando o vento ou a diferença de pressão faz com que a nave saia da altura que deveria voar.

Problema: Interfere na altura prevista, acarretando escala diferente da prevista.

Solução: Voar segundo uma linha de pressão constante.

c) Deslocamento “by” e giro capa da câmara

Quando existe um vento lateral, este obriga o avião a se desviar da linha de vôo prevista.

Problema: Resultarão em fotografia com recobrimento defeituoso-escalonado e com giro em torno

do eixo Z, se considerarmos a linha de vôo realmente voada. Ocorrerá ainda defeito no recobrimento lateral

entre as faixas.

Solução: Corrigir a deriva (ângulo formado pela linha de vôo prevista e a linha de vôo realmente

voada).

O giro resultante da câmara, em relação à linha de vôo realmente voada, chama-se capa. Se o fotó-

grafo corrigir a capa, com auxílio de um visor, não haverá capa nem by, porém o recobrimento lateral conti-

nuará sendo prejudicado. Admitindo agora que o piloto manobrou a aeronave de modo que a força resultante

do avião e do vento coincida com a linha de vôo, corrigindo a deriva. Neste caso o fotógrafo deve corrigir e

girar de capa em sentido contrário, pois haverá prejuízo no recobrimento longitudinal e lateral.

d) Giros ômega e fi da câmara - em torno de X e Y

Devido à instabilidade da aeronave, o eixo ótico esta a todo o momento se afastando da vertical do

lugar.

Problema: Fotos inclinadas.

Solução: Corrige esse inconveniente, buscando manter a bolha do nível esférico da câmara “cala-

da”.

66 -- PPrroodduuttooss AAeerrooffoottooggrraammééttrriiccooss

Entre os produtos principais da aerofotogrametria, pode-se citar:

a) Foto-índice

É o conjunto de fotografias de uma região, constituído pela superposição das fotografias na ordem

em que foram tomadas, e reduzidas fotograficamente. Mostra a qualidade do recobrimento e serve de base

para o projeto do apoio terrestre.

b) Mosaico

É a reunião das fotografias de uma região, na escala em que foram tiradas. Deve-se recortar as fo-

tografias para melhor encaixe. Estes podem ser simples ou controlados. Nos controlados são assinalados nas

fotografias os acidentes naturais e artificiais mais

importantes. Com algumas restrições os mosaicos

podem ser usados como uma planta.

Figura 6.9: Ortofotocarta.

c) Ortofotocartas

Devido às inclinações e ao relevo do ter-

reno, as fotografias mostram deslocamentos radiais

e erros de escala. Esses erros podem ser corrigidos

com auxílio de um retificador, que produz uma pro-

jeção do negativo da fotografia. Uma ortofotocarta é

uma fotografia de um terreno em projeção ortogonal

(Figura 6.9).

d) Mapas e Cartas

Na confecção de cartas e mapas, a aerofo-

togrametria tem seu principal objetivo (Figura 6.10).

189

66..11 -- AApplliiccaaççõõeess nnaa FFoottooiinntteerr--

p

Figura 6.10: Construção de cartas e mapas.

prreettaaççããoo

A tarefa da fotointerpretação é identificar as características importantes de áreas e objetos, determi-

nando seu significado, através das imagens representadas nas fotografias aéreas (Figura 6.11).


Para realizar a fotointerpretação, algumas considerações básicas devem ser consideradas, como:

a) A leitura da fotografia

Consiste no reconhecimento do detalhe fotográfico bidimensional como limites de vegetação, ruas,

rios, riachos, etc.

b) A análise da fotografia

Os diferentes objetos podem ser classificados segundo fatores como tamanho, tonalidade, textura,

forma, etc. Esta análise deve ser feita sobre o modelo estereoscópico e usualmente conta com instrumentos

auxiliares como planímetro, comparadores de declives, barras de paralaxe e chaves de interpretação.

Figura 6.11: Fotointerpretação urbana. Região em BH, do bairro Floresta, rua Aquiles Lobo.

c) A síntese da fotointerpretação

Avaliação intuitiva e dedutiva da imagem fotográfica é suportada pela acuidade mental e visual.

O processo de síntese da interpretação inclui as seguintes fases:

Detecção - Relaciona com a acuidade visual;

Reconhecimento - Relaciona com a perícia e experiência do fotointerpretador; 190

191

Classificação - Classificação da interpretação sintetizada, usada para uma finalidade particular,

como o mapa florestal, estradas de rodagem, etc.


Observações e anotações - Cap. 6 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

192

193

11 -- GGeenneerraalliiddaaddeess ee DDeeffiinniiççõõeess

Nos capítulos anteriores, observou-se que durante as operações topográficas, faz-se a coleta de vá-

rias grandezas. Como dito anteriormente, medir uma grandeza consiste em comparar esta, com uma definida

como padrão, e analisar quantas vezes é maior ou menor que este padrão. Pode-se citar como exemplo de

padrão, a medida real de 1 metro.

Porém, ao se medir uma grandeza com um número finito de vezes, um dos problemas a ser resolvi-

do é estimar o melhor valor que represente esta medida. Esta resposta é estudada na disciplina Ajustamento

de Observações.

Sendo o tema proposto bastante abrangente, este capítulo busca sintetizar alguns conceitos básicos

e definições para o tratamento estatístico de dados topográficos e exemplificar sua aplicação. Neste contexto,

algumas definições da Estatística são importantes:

a) Erro absoluto verdadeiro

É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza e o seu verdadeiro valor.

Porém, na prática não se conhece o valor real ou verdadeiro de uma medida; mas sim o valor mais prová-

vel da grandeza.

b) Valor mais provável de uma grandeza ou média aritmética simples ( x )

É a relação entre a soma dos valores observações pelo número de observações efetuadas, desde que

mereçam a mesma confiança (mesmo operador, mesmo equipamento, mesmas condições ambientais).

xxii

n

n= =

∑1

c) Erro absoluto aparente (e)


É a diferença, em valor absoluto, entre a medição de uma grandeza (xi) e o seu valor mais pro-

vável ( x ). Será denominado daqui para frente de apenas erro absoluto da observação “i” (ei).

ei xi x= −

d) Resíduo ou desvio ou erro (v)

Designação para o conceito anterior, quando considera o sinal da diferença entre as medidas.

vi xi x= −

e) Discrepância

É a diferença entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas por dois operado-

res diferentes ou em situações diferentes. Ás vezes esta é incorretamente chamada de erro aparente.

f) Erro relativo (er)

É a relação entre o erro absoluto (e) e o valor mais provável da grandeza ( x ). Este erro é mais im-

portante que o erro absoluto, na avaliação da qualidade da medida.

e exr =

g) Erro absoluto médio (em ou e )

É a média aritmética dos erros absolutos cometidos em certo número de medidas n. Não é necessá-

rio considerar o sinal.

emeii

n

n= =

∑1

h) Resíduo ou desvio médio (vm ou v )

É a média aritmética dos resíduos cometidos em certo número de medidas n. Deve-se considerar o

sinal.

vmvii

n

n= =

∑1

i) Erro médio quadrático ou desvio-padrão (σ)

194

É a raiz quadrada dos quadrados dos resíduos dividida pelos n - 1 termos.

( )σ = ±

∑−

= ±−∑

−

vn

xi x

n

2

1

2

1

Se considerar o valor σ2, este será denominado de variância de uma observação isolada.

Pode-se ainda exprimir também o desvio padrão, através de propriedades matemáticas, pela seguin-

te relação:

( )( )

σ =∑

−−

∑

⋅ −

xin

xin n

2

1

2

1

j) Erro médio quadrático da média ou desvio padrão da média ( mx )

mx n=

σ

k) Erro tolerável (et)

Considera-se normalmente como sendo o triplo do erro médio quadrático.

et = 3 . σ

Na prática, medidas cujos resíduos são maiores que o erro tolerável devem ser abandonadas.

Nas operações topográficas, seja de campo ou de escritório, várias são as formas para definição da

tolerância dos trabalhos executados. Entre as definições das tolerâncias, estas podem estar baseadas em pro-

cessos empíricos ou matemáticos e estatísticos.

Para normatizar os trabalhos de Topografia, sugerem-se a aplicação das expressões publicadas nas

normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) - NBR 13.133 - Execução de levantamento

topográfico.

195

22 -- CCoonncceeiittooss ee CCllaassssiiffiiccaaççããoo ddooss EErrrrooss ddee OObbsseerrvvaaççããoo

A seguir são discutidos alguns termos muito utilizados, às vezes incorretamente, para tratarmos as

informações topográficas, e a classificação dos erros das observações.

22..11 -- CCoonncceeiittooss IInniicciiaaiiss


a) Precisão

É a tolerância do erro de medição para determinado medidor. Portanto, se o erro tolerável for aten-

dido, as medidas serão consideradas precisas.

b) Precisão absoluta

É expressa pela percentagem de toda a faixa da escala de medidas. Seja, por exemplo, um distanci-

ômetro eletrônico que mede distâncias de 1 m a 3.000 m, com precisão de ± 0,2%. Isto significa que a tole-

rância de erro é de ± 0,600 m, em qualquer medida.

c) Precisão relativa

É expressa pela percentagem do valor instantâneo da escala de medidas. Seja o exemplo anterior,

com precisão de ± 0,2% do valor instantâneo. Isto significa que quando o medidor eletrônico indicar uma

distância de 400 m, a tolerância de erro será de 0,080 m. A precisão relativa de ± 0,2% em valor instantâneo

é, obviamente, melhor que a precisão absoluta de ± 0,2% em precisão absoluta.

d) Exatidão ou acurácia

É aquilo que está de acordo com uma referência tomada como padrão, ou seja, uma referência ver-

dadeira. Uma medida precisa não significa que seja exata. Pode-se dizer que um grupo de medidas mostra

precisão se os resultados concordam entre si. A concordância não é, contudo, uma garantia de exatidão,

uma vez que pode haver perturbação sistemática, acarretando erro em todos os valores.

Supondo, por exemplo, que um levantador esteja comparando dois diastímetros (A e B) com um

padrão (C). As medidas feitas com o diastímetro A concordam entre si, mas não concordam com as medidas

feitas pelo diastímetro C. Já as medidas feitas pelo diastímetro B, além de concordarem entre si, concordam

também com o diastímetro C. Isto significa que o diastímetro A é preciso, mas não exato ou acurado; e o

diastímetro B é preciso e exato, devendo ser o escolhido para medidas. O diastímetro A deve ser retificado

ou determinar um fator de correção para suas medidas.

Figura 7.1: Acurácia x Precisão.

Nos desenhos acima: 1o - Nem preciso, nem acurado; 2o – Apenas preci-

so; 3o - Preciso e Acurado.

196

22..22 -- CCllaassssiiffiiccaaççããoo ddooss EErrrrooss ddee OObbsseerrvvaaççããoo

197

Como já notado, as determinações de valores numéricos e gráficos jamais terão uma exatidão abso-

luta, pois se for repetida várias vezes a mesma medida de uma determinada grandeza, constata-se que os re-

sultados obtidos nunca serão idênticos, por maior que seja o cuidado utilizado.

Isto leva a analisar que as principais fontes de erros nos trabalhos de medição estão em razão:

a) Da falibilidade humana;

b) Da imperfeição do equipamento;

c) Da influência das condições ambientais.

Conforme as causas dos erros cometidos na topografia, estes são classificados como:

a) Erros grosseiros ou enganos

Ocorrem devido à falta de cuidado ou imperícia do operador. Como exemplos de erros grosseiros

pode-se citar:

Erro de leitura (ex.: troca de dígitos - ler na mira 1,378, em vez de 1,738);

Erro de cálculo (ex.: não transformar o ângulo zenital em vertical);

Anotação errada (ex.: omissão de trenadas, na medição de distâncias);

Uma observação no qual contenha erro grosseiro deve ser rejeitada, pois não está sujeita a trata-

mentos matemáticos. Para evitar a ocorrência de erros grosseiros, deve-se fazer repetições cuidadosas nas

medidas.

b) Erros sistemáticos

Estes erros são produzidos por causas conhecidas, e podem ser evitados através de técnicas especi-

ais de observação ou eliminados a posteriori mediante fórmulas fornecidas pela teoria. São erros acumulati-

vos.

Caracterizam-se por ocorrerem sempre em um mesmo sentido e conservam, em medições sucessi-

vas, o mesmo valor. São três os tipos de erros sistemáticos (e alguns exemplos):

1 - Erros sistemáticos introduzidos pelo operador

Numa observação astronômica, o operador efetuar cronometragem sempre um pouco antes (ou

sempre um pouco depois) da estrela cruzar o fio do retículo;

Erros cometidos pela deficiência de visão (ex.: nivelador que sempre observa um pouco abaixo

(ou acima) do valor do fio médio na mira).

2 - Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento (aparelho não retificado)

Erro de excentricidade do instrumento;


198

Erro nas divisões da escala (ex.: gravação das divisões do vernier, trena maior (ou menor) que o

padrão).

3 - Erros sistemáticos introduzidos pelo método

A medida eletrônica de uma distância deve ser depurada do efeito de refração;

A distância zenital de uma estrela deve ser corrigida da aberração diurna.

Todos este erros sistemáticos citados acima, sendo considerados de influências sobre as observa-

ções, podem e devem ser corrigidos, através de procedimentos de campo, da retificação dos equipamentos ou

pela concepção de modelos matemáticos. Pode-se exemplificar como correção:

a) Utilizando procedimentos de campo: A colocação do nível a distâncias iguais das miras; medidas

angulares por reiteração.

b) Retificando equipamentos - Determinado fatores de correção para as trenas, planímetros, etc.

c) Modelos matemáticos: Modelos para influência da troposfera e ionosfera nas medidas GPS, mo-

delo para influências da pressão e temperatura sobre as medidas à trena, etc.

c) Erros acidentais ou aleatórios

Ocorrem ora num ora noutro sentido e que não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida.

Alguns o consideram estar relacionados a um número relativamente grande de pequenas variações do ambi-

ente, da imperfeição dos sentidos humanos e dos instrumentos empregados.

Estes erros apresentam uma distribuição normal, e tendem a se neutralizar quando o número de ob-

servações cresce. Como as influências sobre as observações são aleatórias, não se admite outro tratamento

senão o baseado na “teoria da probabilidade”.

22..22..11 -- EEssttuuddooss EExxppeerriimmeennttaaiiss ddooss EErrrrooss AAcciiddeennttaaiiss

Se efetuar uma medida por um número grande de vezes, os erros acidentais produzidos gozam das

seguintes propriedades:

O número de resíduos positivo corresponde ao número aproximadamente igual de resíduos ne-

gativos;

Os resíduos pequenos são mais numerosos, ou seja, tem mais freqüência, sendo o resíduo nulo o

mais provável.

Para exemplificar o estudo dos erros acidentais, seja o clássico trabalho de Bradley, no início do

século XVII (Gemael, 1994). Sua experiência era obter a posição do ponto vernal através de 462 determina-

ções da ascensão reta do sol. Assim foram medidos 462 ângulos, determinado a média (valor mais provável)

199

destas observações, e calculados os resíduos das observações em relação à média. Na tabela 7.1, são regis-

trados:

a) Na primeira coluna tem-se o limite do intervalo dos resíduos considerado (a unidade aqui utilizada é o se-

gundo);

b) Na segunda coluna tem-se a freqüência dos resíduos (fi), para cada classe de intervalo;

c) As demais colunas (3o e 4o) são auxiliares para o cálculo da freqüência teórica (Fi) (5o coluna).

Observe que existem 230 resíduos positivos e 232 resíduos negativos e a simetria e o predomínio

de valores em torno da média dos desvios (≈ zero), sugerem a distribuição normal de Gauss, visualizada pelo

polígono de freqüência da figura 7.2.

Para comprovar esta afirmação acima, foi calculada também a freqüência teórica (Fi), utilizando o

conceito da área sob a curva normal reduzida.

Tabela 7.1: Experimento de Bradley.

Limite do intervalo fi fi . vi* fi . vi2 Fi

0,9” 1,0” 3 2,85 2,7075 2,3 0,8” 0,9” 5 4,25 3,6125 4,1 0,7” 0,8” 7 5,25 3,9375 7,1 0,6” 0,7” 13 8,45 5,4925 11,4 0,5” 0,6” 18 9,90 5,4450 17,0 0,4” 0,5” 25 11,25 5,0625 24,9 0,3” 0,4” 29 10,15 3,5525 31,7 0,2” 0,3” 39 9,75 2,4375 38,7 0,1” 0,2” 44 6,60 0,9900 44,3 0,0” 0,1” 47 2,35 0,1175 47,4 -0,1” 0,0” 47 -2,35 0,1175 47,4 -0,2” -0,1 44 -6,60 0,9900 44,3 -0,3” -0,2” 39 -9,75 2,4375 38,7 -0,4” -0,3” 29 -10,15 3,5525 31,7 -0,5” -0,4” 26 -11,70 5,2650 24,9 -0,6” -0,5” 18 -9,90 5,4450 17,0 -0,7” -0,6” 13 -8,45 5,4925 11,4 -0,8” -0,7” 7 -5,25 3,9375 7,1 -0,9” -0,8” 5 -4,25 2,6125 4,1 -1,0” -0,9” 4 -3,80 3,6100 2,3

Soma 462 -1,40” 67,8150 * Sendo vi o ponto médio de cada intervalo.

O cálculo da freqüência teórica (Fi), utilizando o conceito da área sob a curva normal reduzida,

pode ser assim resumido:

Solução:

a) Cálculo da média dos resíduos


vfivii

n

n= =

∑=−

= − ≈1 1 40462

0 003 0, "

, ' '

b) Cálculo do erro médio quadrático ou desvio padrão dos resíduos

σ = ±⋅∑

−= ± = = ±

fi vin

2

167 8150

46101471 0 3835

,, , ' '

c) Cálculo da freqüência teórica (Fi)

Inicialmente é necessário calcular a variável reduzida (zi), para cada limite do intervalo, argumento

para obtenção das “áreas sob a curva normal reduzida1”.

zv' v

=−

σ

onde:

v’ são os limites dos intervalos;

v é a média dos resíduos;

σ é o desvio padrão dos resíduos

1 - Calculo de z1 e z2 (ex.: limites 0,9 e 1,0 (primeiro intervalo))

( )z1

v' v=

−=

− −= + ≅ +

σ0 9 0 003

0 38352 3546 2 35

, ,,

, ,

( )z2

v' v=

−=

− −= + ≅ +

σ1 09 0 003

0 38352 6154 2 62

, ,,

, ,

2 - Valores da tabela das “áreas sob a curva normal reduzida”

Para z area1 2 35 0 99061= + → =, ,

Para z area2 2 62 0 99560= + → =, ,

3 - Cálculo da freqüência teórica

Esta será dada pela diferença entre as áreas, multiplicado por n:

Fi = (área1 - área2) . n = (0,99061 - 0,99560) . 462 ≅ 2,3

200

1 Esta tabela das “áreas sob a curva normal reduzida” é encontrada em qualquer publicação de fundamentos de Estatística. Será apresentado apenas o resultado obtido, relativo ao exemplo dado.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0,91,0

0,80,9

0,70,8

0,60,7

0,50,6

0,40,5

0,30,4

0,20,3

0,10,2

0,00,1

-0,10,0

-0,2-0,1

-0,3-0,2

-0,4-0,3

-0,5-0,4

-0,6-0,5

-0,7-0,6

-0,8-0,7

-0,9-0,8

-1,0-0,9

fi

Freq. Teorica

Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica.

Observe (Figura 7.2), que a curva que representa a lei de Gauss (distribuição normal) tem a forma

de um sino e goza das seguintes propriedades:

É simétrica em relação ao eixo do Y, isto é, os desvios positivos e negativos de mesmo valor ab-

soluto têm igual probabilidade;

As observações correspondentes aos desvios pequenos são os maiores;

A curva tem por assíntota o eixo x, isto é, o desvio ∞ tem probabilidade nula;

A curva apresenta dois pontos de inflexão, correspondentes a ± 1.σ

A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer simultaneamente todos os

desvios é, portanto, igual a 100%.

201

33 -- AApplliiccaaççõõeess EEssttaattííssttiiccaass

O tratamento estatístico dos dados torna-se importante quando queremos obter confiança no serviço

executado. Neste item, têm-se alguns exemplos, aplicados à topografia, contemplando os conceitos vistos no

item 1 e 2. A inclusão do conceito de peso nas observações, ou seja, da possibilidade de ponderar os dados

com níveis de confiança distintos também será proposto nestes exemplos.


202

33..11 -- EExxeemmpplloo 11

Supondo-se que tenha medido 10 vezes um alinhamento para definir uma base geodésica, e obtidos

os resultados constantes na tabela 7.2. Estes valores foram obtidos pelo distanciômetro eletrônico da Leica

TC 600, com alcance 1,5 km (em condições normais), de precisão nominal de 3 mm + 3 ppm. Pede-se:

a) A maior discrepância entre duas medidas;

b) O valor mais provável desta medida;

c) O erro absoluto médio;

d) O desvio médio;

e) O desvio padrão das observações;

f) O desvio padrão da média;

g) O erro de tolerância;

h) O erro relativo médio;

i) A precisão absoluta, considerando uma precisão de ± 0,1%;

j) A precisão relativa, considerando uma precisão de ± 0,1%;

k) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3ppm);

l) A definição se alguns dados devem ser eliminados.

Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica.

Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Temperatura: 20o C Pressão: 700 mmHgValores obtidos com a estação total - Leica TC 600 para o alinhamento A-B

1.234,305 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,332 m 1.234,335 m 1.234,320 m 1.234,340 m 1.234,300 m 1.234,320 m 1.234,305 m

Solução:

a) A maior discrepância entre duas medidas

A maior medida foi 1.234,340 m

A menor medida foi 1.234,300 m

Logo a maior discrepância é dada por: disc = (1.234,340 - 1.234,300) = 0,040 m = 4 cm

b) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.3)

m318,234.110

305,234.1320,234.1...300,234.1305,234.1n

n

1i ixx ≅

++++=

∑==

Obs.: O valor mais provável ( x ) pode ser acompanhado de seu desvio padrão ( mx ), calculado na

alínea f. Logo pode-se dizer que o valor mais provável é 1.234,318 ± 0,005 m.

c) O erro absoluto médio (Tabela 7.3)

m012,010

013,0...018,0013,0n

n

1i ie

me ≅−++−+−

=∑==

d) O desvio médio (Tabela 7.3)

( ) ( ) ( )m0m0003,0

10003,0

10013,0...018,0013,0

n

n

1i iv

mv ≅=−

=−++−+−

=∑==

e) O desvio padrão das observações (Tabela 7.3)

σ = ±∑−

= ± = = ± ≅ ±v

nm

2

10 001967

90 000219 0 01478 0 015

,, , ,

f) O desvio padrão da média

mx nm= = ± = ± ≅ ±

σ 0 01510

0 00474 0 005, , ,

Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I.

Valores Média Desvio (vi) vi2

1.234,305 m - 0,013 m 0,000169 1.234,300 m - 0,018 m 0,000324 1.234,320 m + 0,002 m 0,000004 1.234,332 m + 0,014 m 0,000196 1.234,335 m + 0,017 m 0,000289 1.234,320 m + 0,002 m 0,000004 1.234,340 m + 0,022 m 0,000484 1.234,300 m - 0,018 m 0,000324 1.234,320 m + 0,002 m 0,000004 1.234,305 m

1.234,318 m

- 0,013 m 0,000169 Soma - 0,003 m 0,001967

g) O erro de tolerância

Neste exemplo vamos defini-lo como:

et = 3 . σ = 3 . ± 0,015 = ± 0,045 m

h) O erro relativo médio

O erro relativo de uma observação é dado pela divisão do erro absoluto pelo valor médio (Item 1,

alínea e). O erro relativo médio é a relação entre o erro absoluto médio e o valor médio das observações.

203


eremx

= = = ∴ ≈0 012

1234 3180 000010

1100 000

,. ,

,.

ou seja, possui uma precisão de 1 m em 100 km (muito bom para aplicações de agrimensura).

i) A tolerância para uma precisão absoluta de ± 0,1%

Isto significa que a tolerância de erro é de 1.500 m . 0,0001 = 0,150 m, em qualquer medida.

j) A tolerância para uma precisão relativa de ± 0,1%

A tolerância para a medida da média das observações é de 1.234,318 . 0,0001 = 0,123 m, bem su-

perior ao calculado na alínea g.

k) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (10 mm + 3 ppm)

A unidade “ppm” significa “parte por milhão”, ou seja, pode-se errar 3 milímetros em 1 milhão de

milímetros, ou 3 mm em 1 km.

Em nosso exemplo, a tolerância pode ser dada por:

tolerância = 10 mm + 3 . 1,234 = 3 + 3,70 = 13,70 mm ≅ 0,014 m

l) A definição se alguns dados devem ser eliminados

Considerando as tolerâncias definidas nas alíneas g, i e j, todos os desvios calculados (Tabela 7.3)

são menores que o erro tolerável. Neste caso nenhuma medida será eliminada. Sendo a tolerância atendida,

este levantamento pode ser considerado preciso.

Porém, considerando a precisão do equipamento (alínea k), existem alguns resíduos (0,018; 0,017,

0,022) maiores que a tolerância. Desta forma, eliminam-se estas observações (ou repete-as), e faz-se nova-

mente o tratamento estatístico dos dados.

204


Às vezes tem-se de determinar o valor mais provável de uma série de observações, que tenha sido

realizadas com diferentes graus de confiança. Para tornar estas observações homogêneas, introduz em cada

observação um fator de proporcionalidade denominado peso.

Sendo a média aritmética simples, o valor mais provável de um conjunto de observações de mesma

confiança ou mesmo peso, neste exemplo tem-se a média aritmética ponderada, onde introduz a influência

dos diferentes pesos, originando também o valor mais provável deste conjunto de observações. As fórmulas a

serem empregadas no exemplo a seguir não foram comentadas anteriormente (Item 1), e serão apresentadas

juntamente com a solução do exercício.

Seja a medição de um ângulo horizontal, no qual foi realizado por número diferente de observações

(Tabela 7.4). O instrumento utilizado foi a estação total da Leica TC 600, com precisão nominal angular de

5”.

Pede-se:

a) O valor mais provável desta medida;

b) O desvio padrão das observações;

c) O desvio padrão da média;

d) O erro de tolerância;

e) A tolerância, considerando a precisão nominal do equipamento (5”);

f) A definição se alguns dados que devam ser eliminados.

Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal.

Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Valores obtidos com a estação total - Leica TC 600 – Ângulo A-B-C

xi xi xi

35o 20’ 34” 35o 20’ 29” 35o 20’ 30” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 34” 35o 20’ 32” 35o 20’ 30” 35o 20’ 33” 35o 20’ 29” 35o 20’ 35” 35o 20’ 35” 35o 20’ 34” 35o 20’ 28” 35o 20’ 30”

35o 20’ 33” 35o 20’ 29” Operador 1 - 5 repetições Operador 2 - 6 repetições Operador 3 - 6 repetições

x = 35o 20’ 31,8” x = 35o 20’ 31,3” x = 35o 20’ 31,8”

Solução:

a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.5)

Para valores de xi, foi adotado a média aritmética simples ( x ) e pi e o peso correspondente ao nú-

mero de repetições.

( )''6,31'20o35

17''6,57'48o600

176''8,31'20o35...5''8,31'20o35

n

1i ip

n

1i ipixpx ==

⋅++⋅=

∑=

∑=

⋅=

Obs.: O valor mais provável pode ser acompanhado de seu desvio padrão, calculado na alínea c.

Logo, se pode dizer que o valor mais provável é 35o 20’ 31,6” ± 0,07”

b) O desvio padrão das observações (Tabela 7.5)

Será dado pela seguinte expressão:

205


σ = ±⋅∑

⋅−

= ⋅ = = ± ≅ ±∑

pi vipi

nn

2

10 9817

32

0 086 0 29 0 30,

, , ' ' , ' '

Os valores de vi’s foram definidos como a diferença entre as médias de cada série de observação e a

média ponderada final (valor mais provável) (vi = x - xp ).

c) O desvio padrão da média (Tabela 7.5)

Será dado pela seguinte expressão:

mx pi= = ± = ±

∑

σ 0 3017

0 07,

, ' '

Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II.

Média dos ângulos Peso (P) Média x Peso Desvio - v v2 P x v2

35o 20’ 31,8” 5 176o 42’ 39,0” + 0,2” 0,04” 0,20” 35o 20’ 31,3” 6 212o 03’ 07,8” - 0,3” 0,09” 0,54” 35o 20’ 31,8” 6 212o 03’ 10,8” + 0,2” 0,04” 0,24”

Soma 17 600o 48’ 57,6” 0,98”

d) O erro de tolerância

Neste exemplo vamos defini-lo como:

et = 3 . σ = 3 . ± 0,30” = ± 0,90” ≅ 1,00”

e) A definição se alguns dados devem ser eliminados

Considerando o erro de tolerância calculado na alínea d, os desvios da tabela 7.5 são menores que

este valor, podendo ser considerado todas as observações. Considerando ainda a precisão nominal do equi-

pamento (5”), os resíduos das observações também estão consistentes.

206


O exemplo a seguir refere-se a tratamento de observações altimétricas. No transporte de altitudes,

às vezes, o valor da diferença de nível deve ser preciso, relativo à tolerância exigida. Este transporte geral-

mente é executado através do nivelamento geométrico composto (Cap. 3), e dependendo da aplicação, o tre-

cho a ser percorrido para o transporte é realizado várias vezes, sendo que normalmente não é o mesmo per-

curso.

Desta forma considera-se que ao percorrer um trecho menor, ocorrerão menos mudanças de planos

de referência, conseqüentemente o resultado desta diferença de nível possui um grau de confiabilidade maior.

Então, pode-se afirmar que os pesos são proporcionais ao inverso dos respectivos comprimentos nivelados.

Porém em se tratando de nivelamento trigonométrico (Cap. 3), considera-se que os pesos são pro-

porcionais ao inverso do quadrado da distância entre os referidos pontos.

Nivelamento geométrico => pi = 1L

; onde L é o comprimento nivelado em km;

Nivelamento trigonométrico => pi = 12L

; onde L é o comprimento nivelado em km;

Seja a medida da diferença de nível entre dois pontos A e B, separadas por obstáculos, onde foram

realizados três nivelamentos e seus respectivos contra-nivelamentos. Obtiveram-se então 6 diferenças de ní-

vel, sendo que os trechos percorridos constam da tabela 7.6 (Figura 7.3). O instrumento utilizado foi um ní-

vel automático Leica NA 820, que possui uma precisão nominal de 2,5 mm/km nivelado.

A

1

4

5

6

2

3 B

Figura 7.3: Nivelamento geométrico.

Pede-se:

a) O valor mais provável desta medida;

b) O desvio padrão das observações;

c) O desvio padrão da média;

d) O erro de tolerância;

207


e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3;

f) O erro de tolerância segundo a ABNT;

g) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km);

h) A definição se alguns dados que devam ser eliminados;

Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível.

Nivelamento geométrico Operadores: Equipe 01 Local: B.H. Valores obtidos com o nível automático - Leica NA 820

Alinhamentos Comprimento Diferença de nível Pesos* Peso x constante** A-1-2-3-B 1.532,340 m + 5,621 m 0,653 65,3 B-3-2-1-A 1.532,340 m - 5,625 m 0,653 65,3 A-4-5-B 1.240,300 m + 5,622 m 0,806 80,6 B-5-4-A 1.240,300 m - 5,624 m 0,806 80,6 A-6-B 993,240 m + 5,624 m 1,007 100,7 B-6-A 993,240 m - 5,625 m 1,007 100,7

* Os pesos foram obtidos pela expressão pi = 1/L; sendo L o comprimento em km. ** Para facilitar os cálculos, pode-se multiplicar os pesos por uma constante sem afetar o resultado final e, neste exemplo, tomou-se a constante como 100.

Solução:

a) O valor mais provável desta medida (Tabela 7.7)

( )xp

xi pii

n

pii

nm=

⋅=∑

=∑

=⋅ + ⋅ + ⋅

= =1

1

5 6230 65 3 5 6230 80 6 5 6245 100 7246 6

1386 7829246 6

5 6236, , , , , ,,

. ,,

,

Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III.

Operação do nivelamento Nível. Contra-nivel.

Média Peso Média x Peso Média ponderada

Desvio v

v2 Peso x v2

5,621 m 5,625 m 5,6230 65,3 367,1819 - 0,0006 3,6 x 10-7 0,0000235 5,622 m 5,624 m 5,6230 80,6 453,2138 - 0,0006 3,6 x 10-7 0,0000290 5,624 m 5,625 m 5,6245 100,7 566,3872

5,6236 m + 0,0009 8,1 x 10-7 0,0000816

Soma 246,6 1.386,7829 0,0001341

b) O desvio padrão das observações

σ = ±⋅∑

⋅−

= ⋅ = = ±∑

pi vipi

nn

m2

10 0001341

246 632

0 0000008 0 0009,

,, ,

208

c) O desvio padrão da média

mx pim zero= = ± = ± ≅

∑σ 0 0009

246 60 00006 0,

,, ( )

d) O erro de tolerância

et = 3 . σ = 3 . ± 0,0009 m = ± 0,0027 m ≅ 3 mm

e) O erro de tolerância segundo a fórmula utilizada no Cap. 3

No capítulo 3, item 4.4.2 definiu-se uma expressão de tolerância, com os seguintes fatores:

T c k L= ⋅ ⋅ onde

T - Tolerância do nivelamento; c - Coeficiente de precisão que varia de 1 a 2,5

k - Erro médio admitido por quilômetro: k = 5 mm para nivelamento de precisão de primeira ordem;

k = 10 mm para nivelamento de precisão de segunda ordem;

k = 15 mm para nivelamento de precisão de terceira ordem.

L - Extensão nivelada em km;

Desta forma, considerando c igual a 1, nivelamento de primeira ordem (k = 5 mm) e L médio igual

a 1 km, tem-se: T c k L mm mm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 5 1 5

f) O erro de tolerância segundo a ABNT

Segundo as normas da ABNT, publicada na “NBR – 13.133 - Execução de levantamento topográfi-

co”, este exemplo encontra-se na classe IN Geom., na qual possui uma tolerância de 12 mm . k , com k em

extensão em km, logo:

T = 12 mm . k = 12 mm . 1 = 12,0 mm

g) O erro de tolerância segundo o IBGE

Segundo as normas do IBGE (Cap. 3, Item 3.6.2, Tabela 3.5), considerando um nivelamento de alta

precisão, o erro padrão aceitável para uma linha após o ajustamento (k = comprimento da linha em km) é:

T = 2 mm k = 2 . 1 = 2,0 mm

209


210

h) O erro de tolerância, segundo a precisão nominal do equipamento (2,5 mm/km)

Pela precisão nominal, observa-se que o erro de tolerância é de 2,5 mm em 1 km medido. Conside-

rando nosso percurso com distância aproximada de 1 km, pode dizer então que a tolerância é 2,5 mm (T =

2,5 mm).

i) A definição se alguns dados que devam ser eliminados

Observe que nas alíneas d, e, f, g e h buscou-se formas e padrões diferentes para definir a tolerância

a ser admitida às observações. Observa-se também que todas estas tolerâncias são superiores aos desvios en-

contrados nas observações, concluindo que estas estão precisas na avaliação da diferença de nível entre os

dois pontos considerados.

Observações e anotações - Cap. 7 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

211


212

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

213

11 -- GGeenneerraalliiddaaddeess ee DDeeffiinniiççõõeess

Locação pode ser definida como a prática topográfica de implantação no terreno, dos pontos que

forneçam informações planimétricas e/ou altimétricas, de modo que se possa executar uma obra de acordo

com um projeto.

As marcações planimétricas são implantadas no terreno em forma de pontos (piquetes, pregos,

marcos), que determinam alinhamentos de eixos ou bordos, vértices, direções ou outras referências para

construção de uma obra.

As marcações altimétricas (cotas, corte ou aterro e outras), podem ser feitas acompanhando-se o

ponto planimétrico, com informações escritas em uma estaca ao lado (Figura 8.1). Pode ser ainda em estacas,

para referências do greide (Figura 8.2), ou em formas de cruzetas para a marcação de aterros (Figura 8.3).

Figura 8.1: Estaca testemunha. Figura 8.2: Referência do greide.

Figura 8.3: Utilização de cruzetas.

Capítulo 8 - Locação

214

A locação tem suas especificidades para cada tipo de projeto ou obra, devendo fazer a melhor mar-

cação visual, para que fique bem definida no campo a representação do projeto. A seguir alguns tipos de ser-

viços que necessitam de marcações diferenciadas:

Construção de estradas;

Edificações;

Locação de terrenos (lotes, fazendas, etc.);

Terraplenagem de grandes áreas;

Construções com alinhamento vertical (torres, chaminés, etc.);

Túneis;

Montagem industrial;

Mineração;

Canalizações.

A seguir serão comentadas algumas especificidades da locação de estradas.

22 –– LLooccaaççããoo ppaarraa CCoonnssttrruuççããoo ddee EEssttrraaddaass

Na construção de estradas rodoviárias ou ferroviárias, deve-se tratar as etapas de execução em se-

parado. O acompanhamento e controle planialtimétrico será uma constante no decorrer da obra, sempre par-

tindo da locação do eixo para a implantação de outros pontos. Portanto é fácil entender o porque da locação

ser uma constante na obra. O eixo da estrada é exatamente onde os serviços de construção serão executados,

e por onde trafegam e trabalham os equipamentos pesados (moto-scraper, trator, motoniveladora, rolos com-

pactador, etc.) da obra. Em cada etapa da obra ou sempre que necessário, a equipe de topografia deve fazer

novamente a locação do eixo e as marcações adequadas ao serviço a ser executado pelas máquinas.

Pode-se citar algumas etapas caracterizadas na construção de estradas:

Locação do eixo – planimétrico;

Marcação da faixa (largura) para o desmatamento – planimétrico;

Marcação de off-set para terraplenagem – planialtimétrico (Figura 8.4);

Locação de obras de arte (bueiro, galerias, passa-gados, etc.) – planialtimétrico;

Locação dos bordos da pista para subleito, sub-base ou base – planialtimétrico;

Locação dos alinhamentos de trilhos ou revestimentos das estradas – planimétrico;

Locação para obras complementares (cerca, sarjeta, pinturas de faixas) – planimétrico.

Eixo Off-set

Off-set

d1 d2

21 dd ≠

Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set.

215

22..11 –– LLooccaaççããoo ddaass TTaannggeenntteess ee PPII´́ss

Inicia-se a locação para a implantação de uma estrada pela identificação no terreno natural de al-

gum ponto de referência do projeto. A partir de cálculos de distâncias e ângulos, que podem ser deflexões,

azimutes ou rumos, chega-se à estaca inicial, que é o ponto de partida para a locação do eixo.

Com o projeto em mãos inicia-se a marcação dos trechos retos (tangentes), e dos pontos de interse-

ção das tangentes (PI’s) (Figura 8.5):

Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s.


Determinada as tangentes e os PI’s, referencia-se os pontos de interseção (PI’s) em outros pontos

(amarração) fora do movimento das máquinas na obra. É importante lembrar que os piquetes do eixo sempre

serão perdidos com a movimentação e execução de cada etapa da obra. Com isso os pontos de referência pa-

ra a locação serão os PI’s. Se estes também forem perdidos, a solução será buscar os pontos de amarração pa-

ra a re-locação do eixo da estrada (Figura 8.6).

Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos.

Para se fazer amarração de um PI, pelo processo de interseção de ângulos, conforme mostra a Figu-

ra 8.6, deve-se escolher dois pontos fora da estrada (A1 e A2) e que estejam protegidos da obra, e ainda que

tenham visão do PI, sendo materializados por piquetes.

Instalando-se o teodolito no ponto A1, zera-se o teodolito na direção do PI, mede-se 90° e marca-se

o alinhamento. Instala-se o equipamento agora em A2, zera-se na direção do PI, mede-se 90°. A interseção

dos dois alinhamentos será o ponto Aux. que também servirá de referência.

Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso, ou seja:

Instala-se o teodolito em A1 e zera-se no ponto Aux., marcando-se um alinhamento com o ângu-

lo de 90°;

Instala-se o teodolito em A2 e zera-se no ponto Aux., marcando-se um alinhamento com o ângu-

lo de 90°;

A interseção dos dois alinhamentos é o ponto do PI.

Este processo agiliza-se na obra se for feito com dois teodolitos simultaneamente.

Outro processo similar é a amarração por interseção de distâncias indicado na Figura 8.7.

216

Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias.

Na amarração por distâncias são necessários trena e balizas. Os pontos A1, A2 e um outro ponto de

reserva são escolhidos com o mesmo critério anterior. Notar-se-á neste processo que somente dois pontos se-

riam necessários para se definir um terceiro, porém escolhe-se mais um ponto, para eventuais perdas de A1

ou A2. Depois de implantados os pontos, simplesmente medem-se a distância de cada um ao PI (d1, d2 e dr).

Para a locação do PI a partir dos pontos de amarração é só fazer o processo inverso, ou seja:

A partir do A1 marca-se com a trena a distância d1, fazendo-se um arco no chão;

A partir do A2 marca-se com a trena a distância d1, fazendo-se um arco no chão.

A interseção dos dois arcos é o ponto do PI.

No caso de perda de algum ponto, utiliza-se o ponto reserva com o mesmo procedimento. Este pro-

cesso pode ser feito com duas trenas simultaneamente.

217

22..22 –– LLooccaaççããoo ddaass CCuurrvvaass

Locada as tangentes, faz-se à locação das curvas. A locação das curvas deve seguir os dados de

projeto e ainda ter uma planilha de cálculo complementar para se implantar ponto a ponto o seu eixo. As

curvas podem ser circulares (Figura 8.8) ou com transição em espiral (Figura 8.9).

Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples.


As curvas com transição, ou simplesmente chamadas de “Curvas de Transição”, possuem um tre-

cho em espiral que faz a ligação da tangente com o trecho circular na entrada e saída de curva. O grau de

curvatura da espiral é variável, sendo mais aberto no início da curva, onde concorda com a tangente e mais

fechado no encontro com a circular.

Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição.

Locadas e implantadas a curvas na obra, refaz-se o cálculo do estaqueamento, que servirá de refe-

rência para todo o trecho. O estaqueamento deverá seguir as tangentes e acompanhar o alinhamento das cur-

vas, não passando mais pelos PI’s (Figura 8.10).

Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada.

218

22..22..11 –– CCuurrvvaa CCiirrccuullaarr SSiimmpplleess

A curva circular simples é usada normalmente para raios maiores que 600 metros, mas pode ser a-

plicada também em raios muito pequeno, como no caso de praças, trevos, estacionamentos, etc. A curva cir-

cular como o nome indica, é um seguimento de uma circunferência.

Na Figura 8.11 têm-se representado alguns elementos da curva circular simples:

Os pontos PC e PT, são pontos de início e término da curva, sendo pontos de tangência, os ali-

nhamentos PC => O e PT => O, são ortogonais às tangentes da estrada.

O desenvolvimento (D), é o comprimento curvo entre o PC e o PT.

A distância reta do PC ao PI e do PT ao PI, são iguais e são chamadas tangentes externas (T).

O ângulo de deflexão (I), é o ângulo de mudança de direção das tangentes.

AC é o ângulo interno da curva, formado pelas as ortogonais do PC do PT.

O centro da curva (O) é o ponto que com a distância do raio (R) traça-se a curvatura passando

pelos pontos PC e PT.

Traçando-se uma reta ligando o PI ao centro da curva (O), definimos um eixo de simetria. O raio

(R) e o Ângulo de deflexão (I) são dados conhecidos do projeto.

Figura 8.11: Elementos da curva circular.

a) Cálculo da Tangente Externa (T)

Para o cálculo da distância da tangente externa (T), vamos utilizar o triângulo retângulo PC-PI-O

da Figura 8.12, sabendo se que o raio (R) e a deflexão (I) são dados conhecidos no projeto.

219


Figura 8.12: Cálculo da tangente externa.

Tem-se:

RT

2ACtg = ∴ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2ACtg.RT

b) Cálculo do desenvolvimento (D)

Sabendo-se que o comprimento de uma circunferência é “2.π.R” e que corresponde a um ângulo de

360°, pode-se fazer uma regra de três, para saber o comprimento “D” correspondente a um ângulo “AC”:

2.π.R 360°

D AC ∴ 2.π.R .AC = 360 . D

Então:

180AC.R.D

360ACR..2D π

=⇒×π

=

Ainda não se conhece o valor do ângulo central (AC) da curva.

Levando-se em conta o eixo de simetria da curva, toma-se o triângulo “O-PI-PT” na Figura 8.13,

assim temos:

Figura 8.13: Ângulo AC.

220

A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, então:

α + 90° + 2

AC = 180° (1)

tem-se:

2I90

2I180I180.2180I −=α⇒

−=α⇒−=α⇒=+α+α (2)

Substituindo (2) em (1), tem-se:

IAC2I

2AC180

2AC

2I180180

2AC90

2I90

=⇒=⇒=+−⇒=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Portanto, vimos que o ângulo central (AC) de uma curva é igual à sua deflexão (I). Como a defle-

xão é um elemento já conhecido, também passamos a conhecer o AC.

c) Cálculo das estacas do PC e do PT

A estaca do primeiro PI (PI1) da Figura 8.14, tem-se que é a estaca inicial mais a distância até o PI.

A estaca do PC1 é a distância da estaca inicial ao PI 1 (d1), menos a tangente externa T1, calculada em me-

tros e depois transformada em estacas, ou seja:

TPI.estPC.est −=

Para o cálculo da estaca do PT 1, deve-se partir da estaca do PC 1 (já calculada), e passar pela cur-

va, percorrendo seu desenvolvimento (D1) (Figura 8.14).

DPC.estPT.est +=

Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT.

Exemplo 1: Para uma curva circular de raio igual a 750,00m, estaca do PI igual a 47 + 12,30 m e

deflexão (I) de 47° 30’ 40’’, calcular os elementos :

221


a) Tangente externa (T);

b) Desenvolvimento (D);

c) Estaca do PC;

d) Estaca do PT.

Solução:

a) m095,330T2

''40'3047tg750T

2AC

tg.RT =⇒°

×=⇒= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) m919,621D180

''40'3047750.D180

AC.R.D =⇒°×π

=⇒π

=

Observações:

Os ângulos devem ser decimalizados para se executar as operações;

O valor de π deve ser o da calculadora (3,1415...).

( ) ⇒−+=⇒−= 095,33030,1247.EstPC.EstTPI.ESTPC.Est

m205,231PC.Estm205,622PC.Est095,330300,952PC.Est +=⇒=⇒−=

( ) ⇒++=⇒+= 919,621205,231.EstPT.EstDPC.ESTPT.Est

m124,462PT.Estm124,244.1PT.Est919,621205,622PT.Est +=⇒=⇒+=

d) Cálculo das estacas do PI’s seguintes

Como visto anteriormente a estaca do primeiro PI não muda com a implantação da curva. A distân-

cia da estaca inicial ao PI1 é d1 (est. PI1 = d1), porém a partir do segundo PI as estacas sofrem alteração se

considerarmos o estaqueamento do trecho reto e após a implantação das curvas.

A distância da estaca inicial até o PI 2 considerando o trecho reto é igual a d1+d2 (Figura 8.15), po-

rém se considerarmos as curvas as tangentes externas (T) são substituídas pelo desenvolvimento (D) (Figura

8.16).

Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI.

222

Considerando-se então o estaqueamento, com as curvas implantadas, pode-se tirar da figura 8.15,

que:

1dinicial.est1PI.est +=

1T1dinicial.est1PC.est1T1PI.est1PC.est −+=⇒−=

1T2d1D1T1dinicial.est2PI.est −++−+=

mas,

1T1dinicial.estPC.est −+= 1T2d1D1PC.est2PI.est −++=∴

analogamente, tem-se:

2T3d2D2PC.est3PI.est −++=

Pode-se generalizar a equação como:

1nn1n1nn TdDPC.estPI.est −−− −++=

Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o

desenvolvimento.

Exemplo 2: Calcular os elementos das curvas, a estaca final e as estacas dos PI’s do trecho dado,

após a implantação das curvas, de acordo com os dados e desenho esquemático:

Observações:

O desenvolvimento e as tangentes externas podem ser de curva circular simples ou de transição.

Os cálculos dos elementos das curvas com transição, serão estudados adiante. Onde nas fórmulas têm PC,

para curva circular é só substituir por TS da curva de transição correspondente.

A estaca inicial de uma estrada, não necessariamente será a estaca 0, pois poderá ser a continua-

ção de um trecho antigo ou alguma ramificação de um trecho principal.

A diferença entre a estaca inicial e a estaca final, será o comprimento total da estrada.

223


A estaca final pode ser tratada como um PI final,para efeito de cálculos.

Para os cálculos que envolvem estacas e distâncias, deve-se tomar o cuidado para transforma-

ções, de estaca em metros ou vice-versa.

Desenho esquemático de uma estrada: CURVA 2

R = 250,000 m2

D = 505,789 m

224

CURVA 1

R1 = 750,000 m

D1 = 621,919 m

T1 = 330,095 m

d1 = 952,300 m

PC1

TS2

PC3

PT1

PI1

ST2

PI2

2

T = 315,132 m2

T1d1

d2

T1

T2

T2

d

d3

Est. PC1 = 31 + 2,205 m

Est. PT1 = 62 + 4,124 m

Est. PI1 = 47 + 12,300 m

2 = 1.323,000 m

Est. TS = 2

Est. ST = 2

Est. PI2 =

D1

D2

CURVA 3

R = 840,000 m3

D = 879,646 m3

T = 484,974 m3

d = 2.952,300 m3

Est. PC = 3

Est. PT = 3

Est. PI = 3

CURVA 4

R4 = 165,000 m

D4 = 266,777 m

T4 = 261,526 m

d4 = 2.467,000 m

Est. TS4 =

Est. ST4 =

Est. PI4 =

T3

T3

PI3

PI4

Estaca inicial = 0

Estaca final

PT3

D3

D4

T4

T4

d4

d5

ST4

TS4

AC = 40° 30’ 40’’

AC = 40° 30’ 40’’

d = 843,638 m 5

Est. final =

Solução:

a) Cálculo da estaca de PI1

( ) m300,12471PI.estm300,9520.est1PI.est1dinicial.est1Pi.est +=⇒+=⇒+=

b) Cálculo da estaca do PI2

sabemos que: 1nn1n1nn TdDPC.estPI.est −−− −++=

1T2d1D1estPC2PI.est −++=∴

Porém precisamos dos valores de:

( ) m205,2311PC.Est095,33030,1247.Est1PC.Est +=⇒−+=

m919,6211D =

m000,323.12d =

m095,3301T =

m029,237.2095,330000,323.1919,621)m205,231.(est2estPI =−+++=∴

m029,171112PI.est +=∴

c) Cálculo da estaca do PI3

2T3d2D2estTS3PI.est −++=∴


( ) m897,1962TS.Est132,315029,17111.Est2TS.Est +=⇒−+=

m789,5052D =

m300,952.23d =

m132,3152T =

m854,064.5132,315300,952.2789,505)m897,196.(est3estPI =−+++=∴

m854,42533PI.est +=∴

d) Cálculo da estaca do PI4

3T4d3D3estPC4PI.est −++=∴


( ) m880,192283PC.Est974,484854,4253.Est3PC.Est +=⇒−+=

m646,8793D =

225


m000,467.24d =

m974,4843T =

m552,441.7974,484000,467.2646,879)m880,19228.(est4estPI =−+++=∴

m552,13724PI.est +=∴

e) Cálculo da estaca final

Considerando a estaca final como sendo o PI5, segue-se o mesmo procedimento:

4T5d4D4TS.est5PI.est −++=∴

4T5d4D4TS.estfinal.est −++=∴


( ) m026,03594TS.Est526,261552,1372.Est4TS.Est +=⇒−+=

m777,2664D =

m638,8435d =

m526,2614T =

m915,028.8526,261638,843777,266)m026,0359.(estfinal.est =−+++=∴

m915,8401final.est +=∴

Para conferência dos cálculos, recalcula-se a estaca final de maneira direta, ou seja, somam-se to-

das as distâncias retas (d) à estaca inicial e subtraem-se as tangentes externas de cada curva (T) substituindo-

as por seu desenvolvimento (D). Porém para cada curva, tem-se um desenvolvimento e duas tangentes exter-

nas (Figura 8.17).

Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva.

Pode-se escrever que:

∑ ∑ ∑−++= T.2Ddinicial.estfinal.est

Para o exemplo, tem-se: 226

∑ =+++= m131,274.24D3D2D1DD

∑ =+++= 238,538.84d3d2d1dd

∑ =×=+++= 454,783.2727,391.12)4T3T2T1T.(2T.2

m915,028.8454,783.2238,538.8131,274.20.estfinal.est =−++=

m915,8401final.est += Ok ! Confere com os cálculos anteriores.

e) Locação da Curva Circular Simples

Na implantação da estrada, as locações dos trechos de retas e de curvas, são fundamentais para o-

bra, pois a marcação dos pontos no terreno servirá de referência para a execução da obra. A locação da curva

no campo, é feita através de pontos no eixo da estrada, podendo ser feita por vários processos, entre eles os

mais usados na prática são: locação por deflexão e locação por coordenadas.

A locação por deflexão é feita com teodolito ou estação total, instalado no ponto de início da curva

(PC). A marcação dos pontos é feita a partir da medição de ângulos e distâncias.

A locação por coordenadas é feita com estação total, que poderá ficar em qualquer posição que te-

nha visão da curva. A marcação dos pontos é feita a partir de medidas fornecidas pela estação total, previa-

mente programada.

A distância entre os pontos que demarcam o eixo da curva na locação, deve ser tal que represente

bem a curvatura, de maneira que os pontos marcados mostrem com eficiência o alinhamento correto da cur-

va.

A distância entre os pontos pode ser reta (corda) ou curva (arco) e seu comprimento será em função

do raio. A divisão da curva é feita em arcos, porém em campo as medidas são tomadas retas, portanto o

comprimento do arco deverá ser de forma que a medida reta (corda) entre dois pontos, seja bastante aproxi-

mada da medida curva (Figura 8.18). Quanto menor o raio, maior será o grau de curvatura da curva, devendo

ser dividida em arcos menores (Figura 8.18). Para raios maiores, a representação poderá ser feita com arcos

maiores pois sendo o grau de curvatura menor, o arco será aproximadamente igual à corda.

Como se nota na figura 8.18, para raios menores, necessita-se de cordas menores, assim na prática

se utilizam as seguintes medidas:

m00,20cam600Rm00,10cam600Rm100

m00,5cam100R

=≅⇒>=≅⇒<<

=≅⇒≥

227


Figura 8.18: Locação das curvas através da corda.

f) Distribuição do estaqueamento na planilha

Têm-se as três condições vistas, ou seja, para arcos de 5, 10 ou 20 m (Figuras 8.19, 8.19, 8.20).

A locação das curvas com raios maiores que 600,00 m deve ser feita com arcos de no máximo

20,00 m. A distância curva entre as estacas será o arco, que é diferente da distância reta (corda) que é medida

em campo. Veremos o cálculo da corda ainda neste capítulo. Na planilha serão representados somente os

pontos dentro da curva, entre o PC e o PT. Conforme a curva da figura 8.19, e sua planilha, será representada

no campo com arcos de 20,00 m, após a locação de 7 pontos. Não há necessidade na planilha de se repetir a

estaca inteira em todas as linhas para as estacas intermediárias, e também de colocar a estaca inteira mais ze-

ro (Ex: 204 + 0,00). Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (17,20 m)

e o penúltimo ponto de locação e o PT (16,60 m) serão menores que 20,00 m, devido às estacas do PC e PT

não serem inteiras.

A locação das curvas com raios entre 100,00 m e 600,00 m deve ser feita com arcos de no máximo

10,00 m. A curva da figura 8.20, e sua planilha, com arcos de 10,00 m, será representada no campo após a

locação de 13 pontos. Nota-se ainda que os arcos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (7,20 m)

e o penúltimo ponto de locação e o PT (6,60 m) serão menores que 10,00 m, devido às estacas do PC e PT

não serem inteiras.

228

A locação das curvas com raios menores que 100,00 m deve ser feita com arcos de no máximo 5,00

m. Esta curva, conforme figura 8.21 e sua planilha, com arcos de 5,00 m, será representada no campo após a

locação de 25 pontos. A locação é feita com o aparelho (teodolito) instalado no PC. Nota-se ainda que os ar-

cos entre o início da curva PC e o 2° ponto de locação (2,20 m) e o penúltimo ponto de locação e o PT (1,60

m) serão menores que 5,00 m, devido as estacas do PC e PT não serem inteiras.

Distribuição do estaqueamento e planilha para uma curva com arcos de 20,00 m, usados para raios

maiores que 600 m.

est. 201

est. 202

est. 203

est. 204

est. 205

est. 206

est. 207

est. 208

est. PC 202 + 2,80 m

est. PC 207 + 16,60 m

Inteira intermed.201 - Fora da curva202 - Fora da curva202 2,80 - PC - 1°ponto

203 17,20 2° ponto204 20,00 3° ponto205 20,00 4° ponto206 20,00 5° ponto207 20,00 6° ponto

16,60 16,60 PT - 7°ponto

208 - Fora da curva

Estacas Observ.Arco (m)

PLANILHA

Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20,00 m.

229



entre 100 e 600 m.

est. 201

est. 202

est. 203

est. 204

est. 205

est. 206

est. 207

est. 208

est. PC 202 + 2,80 m

est. PC 207 + 16,60 m

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00


10,00 7,20 2° ponto203 10,00 3° ponto

10,00 10,00 4° ponto204 10,00 5° ponto

10,00 10,00 6° ponto205 10,00 7° ponto

10,00 10,00 8° ponto206 10,00 9° ponto

10,00 10,00 10° ponto207 10,00 11° ponto

10,00 10,00 12° ponto16,60 6,60 PT - 13°ponto

208 - Fora da curva

PLANILHA

Estacas Observ.Arco (m)

Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10,00 m.

230


menores que 100 m.

est. 201

est. 202

est. 203

est. 204

est. 205

est. 206

est. 207

est. 208est. PC 207 + 16,60 m

est. PC 202 + 2,80 m

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00

+ 10,00+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00

+ 5,00


5,00 2,20 2° ponto10,00 5,00 3° ponto15,00 5,00 4° ponto

203 5,00 5° ponto5,00 5,00 6° ponto

10,00 5,00 7° ponto15,00 5,00 8° ponto

204 5,00 9° ponto5,00 5,00 10° ponto

10,00 5,00 11° ponto15,00 5,00 12° ponto

205 5,00 13° ponto5,00 5,00 14° ponto

10,00 5,00 15° ponto15,00 5,00 16° ponto

206 5,00 17° ponto5,00 5,00 18° ponto

10,00 5,00 19° ponto15,00 5,00 20° ponto

207 5,00 21° ponto5,00 5,00 22° ponto

10,00 5,00 23° ponto15,00 5,00 24° ponto16,60 1,60 PT - 25°ponto

208 - Fora da curva

PLANILHA

Observ.Arco (m)Estacas

Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5,00 m.

231


g) Afastamento

Para se determinar a distância que o eixo da curva passará do PI, calcula-se o afastamento “A” (Fi-

gura 8.22). Pode-se calcular o afastamento em função do raio e do ângulo central. Do triângulo retângulo O–

PC-PI, tem-se:

)12

AC.(secRAR

2ACcos

RA

2ACcos

R)AR()AR(

R2

ACcos −=⇒−=⇒=+⇒+

=

Figura 8.22: Cálculo do afastamento.

Este parâmetro é importante quando se quer passar uma curva em local obrigatório, por exemplo,

em estradas já abertas, e ainda, quando se quer determinar o raio para que a curva “fuja” de algum obstáculo

ou construção (Figura 8.23).

232

Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento. h) Grau de curvatura

O grau de curvatura de uma curva é representado pelo ângulo central correspondente a um deter-

minado arco (Figura 8.24). Para um ângulo central correspondente a um arco de 1 metro, tem-se o grau de

curvatura G1. Para um ângulo central correspondente a um arco genérico ‘a’, temos o grau de curvatura Ga,

que é a somatória de G1 para um arco ‘a’.

a1GGa ×=

onde: D

ACa

Ga1G ==

Figura 8.24: Grau da curva.

i) Deflexões

Deflexão é o ângulo formado entre a reta tangente à curva em um ponto “A” qualquer, até a direção

de um ponto “B”, na mesma curva (Figura 8.25).

233


Figura 8.25: Deflexão.

A deflexão total da curva (Dt), é o ângulo formado entre a tangente no início da curva (PC), e o ali-

nhamento PC PT,correspondente a um ângulo central (AC) (Figura 8.26).

Figura 8.26: Deflexão total I.

Para cálculo de Dt, (Figura 8.27-a), toma-se o triângulo PC PT O, sabendo-se que a soma dos

ângulos internos de um triângulo é 180° e que a curva circular possui eixo de simetria, tem-se:

( ) °=−°+−°+ 180Dt90Dt90AC

2ACDtACDt.2Dt.2180180AC =⇒=⇒+°−°=∴

(a) (b) (c)

Figura 8.27: Deflexão total II.

Analogamente tem-se para um arco “a” ângulo central igual à Ga, (Figura 27-b).

2Gada =

onde:

da = deflexão referente a um arco “a”;

234

Ga = grau de curvatura do arco “a”.

Para um arco igual a um metro e ângulo central G1, (Figura 27-c), tem-se:

°×π

=∴°

π==∴== 180

AC.R.2Acdm

180AC.R.D,mas

D.2ACdm

DAC1G,mas

21Gdm

simplificando, tem-se: R.

90dmπ°

=

i1) Cálculo da deflexão parcial para um arco “a”

dm.21G,mas2

a1Gdaa1GGa,mas2

Gada =×

=∴×==

então: admda ×=

i2) Cálculo da deflexão acumulada

A deflexão acumulada (dt), até um ponto qualquer da curva,será a soma de todas as deflexões par-

ciais dos arcos anteriores ao ponto (Figura 8.28).

Figura 8.28: Deflexão acumulada I.

Para o ponto 1, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual à deflexão parcial do primeiro

arco (da1), ou seja:

1dadt =

Para o ponto 2, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais do primei-

ro arco (da1) e do segundo arco (da2), ou seja:

2da1dadt +=

235


Para o ponto 3, a deflexão acumulada (dt) até este ponto, será igual às deflexões parciais do primei-

ro arco (da1), do segundo arco (da2) e do terceiro arco (da3), ou seja:

3da2da1dadt ++=

Generalizando para um ponto ‘n’qualquer, pode-se escrever que:

∑=∴++++=n

0dadtdan3da2da1dadt K

As deflexões parciais tomadas a partir do PC, referente a dois pontos quaisquer (Pc e 1), (1 e 2) e (2

e 3), são as mesmas que tomadas a partir das tangentes destes pontos, (Figura 8.29).

Figura 8.29: Deflexão acumulada II.

A deflexão da2, tomada a partir do PC, é o ângulo formado entre os alinhamentos PC 1 e o ali-

nhamento PC 2. Porém a deflexão tomada no ponto 1, é o ângulo formado entre a tangente do ponto 1 e o

alinhamento 1 2, que também é a deflexão da2.

Para comprovar esta afirmativa, e como estes conceitos são muito importantes no estudo das defle-

xões das curvas circulares, tem-se a seguir, a demonstração destes conceitos, com base na figura 8.30:

Os triângulos (A B C), (A D E) e (D B F), são eqüiláteros, pois são formados com as tangentes

de uma circunferência.

A soma dos Ângulos internos de um triângulo é 180°.

Considerando o triângulo (ABC), tem-se:

α−θ+β=γ⇒θ+β=γ+α (1)

236

Considerando o triângulo ADB, o ângulo interno no vértice D, será:

β−α−º180

A soma dos ângulos internos do triângulo ADB, será:

( ) °=θ+β−α−+γ 180180 γ−β+α=θ∴ (2)


β=γ+γ⇒γ−β+α+α−β=γ .2

β=γ∴ (3) Ok!


β−β+α=θ α=θ Ok!

237


Figura 8.30: Deflexão acumulada III.

j) Cálculo das cordas

Para o cálculo da corda do PC PT, referente ao desenvolvimento (D) da curva, de ângulo central

de AC, (Figura 8.31), tem-se:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2ACsenR2c

R.2c

2ACsen

Figura 8.31: Cálculo das cordas I.

Analogamente, tem-se:

Para o cálculo de uma corda (c) qualquer, referente à um arco (a) da curva, de ângulo central Ga,

(Figura 8.32), tem-se:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2GasenR2c

R.2c

2Gasen mas, dasenR2c

2Gada ×=∴=

238

Figura 8.32: Cálculo das cordas II.

Exemplos de diferença entre a corda e o arco para alguns raios.

R.90dm,eadmda,ondedasenR2cπ

=×=×=

Raio = 600,00 m

Arco (a) 5,00 m 10,00 m 20,00 m Corda (c) 4,999986 m 9,999884 m 19,999074 m

Diferença em mm 0 0 1

Raio = 200,00 m

Arco (a) 5,00 m 10,00 m 20,00 m Corda (c) 4,99870 m 9,998958 m 19,991668 m


Raio = 50,00 m Arco (a) 5,00 m 10,00 m 20,00 m Corda (c) 4,997917 m 9,983342 m 19,866933 m


Pode-se concluir que raios menores exigem cordas menores, pois têm um grau de curvatura maior.

Na prática de locação de curvas em estradas, adota-se a corda igual ao arco, de acordo com a tabela:

m00,20cam600Rm00,10cam600Rm100

m00,5cam100R

=≅⇒>=≅⇒<<

=≅⇒≥

Para raios menores que 30,00 m, pode-se adotar cordas menores, para uma melhor representação da

curva. Pode-se citar como exemplos de raios pequenos: praças, trevos, rotatórias, pista de corrida, etc. A lo-

cação nestes casos deve ser feita com cordas de 1 ou 2 metros, para que se tenha uma melhor visualização da

curvatura da curva no terreno.

Exemplo 3: Calcule a planilha de locação, considerando os dados abaixo:

Raio = 450,00 m

AC = 26° 38’ 12’’

Estaca do PI = 277 + 15,40 m

239


Solução:

a) Definição do arco => a = 10,00 m , pois 10 m < R < 600 m

b) Desenvolvimento => m204,209D180

AC.R.D =⇒°

π=

c) Tangente externa => m528,106T2

ACtg.RT =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

d) Estaca do PC => m872,8272PC.estTPI.estPC.est +=⇒−=

e) Estaca do PT=> m076,18282PT.estDPC.EstPT.est +=⇒+=

f) Cálculo de dm=> ...3670636619772,0dmR.

90dm =⇒π°

=

É importante que se coloque o valor de dm, na memória da calculadora, para os cálculos futuros

da deflexão ‘da’, assim trabalhando com todas as casas decimais.

g) Cálculo da deflexão para um arco

admda ×=

Os valores da deflexão parcial ‘da’, são colocados na planilha e calculada para cada arco ‘a’.

Os valores da deflexão acumulada ‘dt’, são calculados na planilha, acumulando-se para cada de-

flexão parcial.

h) Cálculo da corda

dasen.R.2c =

Os valores das cordas, serão colocados na planilha para o arco e a deflexão correspondentes.

Com a planilha calculada, só falta a locação em campo, onde serão implantados os pontos para a

definição da curva.

240

241

PLANILHA DE LOCAÇÃO DE CURVA CIRCULAR SIMPLES

LOCAÇÃO POR DEFLEXÃO

ENTRADA DE DADOS Estaca do PI Dados da Curva Curva

Inteira Intermediária RAIO A.C. "D ou E" 277 15,400 450,000 26°38'12'' Direita

RESPOSTA PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA

Estaca do PC Estaca do PT Dados da Curva Inteira Intermediária Inteira Intermediária Tangente (T) Desenv. (D)

272 8,872 282 18,076 106,528 209,204

CADERNETA DE LOCAÇÃO ESTACAS DISTÂNCIAS DEFLEXÕES

Inteira Intermediária Arco (a) Corda (c) Parcial (da) Acumulada (dt) 272 8,872 - - 00° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 272 10,000 1,128 1,1275 00° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 273 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 00° 42' 30,24'' 273 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 01° 20' 42,07'' 274 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 01° 58' 53,90'' 274 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 02° 37' 05,73'' 275 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 03° 15' 17,56'' 275 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 03° 53' 29,40'' 276 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 04° 31' 41,23'' 276 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 05° 09' 53,06'' 277 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 05° 48' 04,89'' 277 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 06° 26' 16,72'' 278 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 07° 04' 28,55'' 278 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 07° 42' 40,38'' 279 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 08° 20' 52,21'' 279 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 08° 59' 04,04'' 280 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 09° 37' 15,88'' 280 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 10° 15' 27,71'' 281 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 10° 53' 39,54'' 281 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 11° 31' 51,37'' 282 0,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 12° 10' 03,20'' 282 10,000 10,000 9,9998 00° 38' 11,83'' 12° 48' 15,03'' 282 18,076 8,076 8,0762 00° 30' 50,96'' 13° 19' 06,00''


k) Cálculo das coordenadas

O cálculo de coordenadas para locação dos pontos do eixo de uma curva, segue o mesmo procedi-

mento de cálculo de coordenadas visto no capítulo 2, e relembrando:

Coordenadas parciais:

BABABA

BABABA

AZcos.dy

AZsen.dx

−−−

−−−

=

=

Coordenadas Totais:

BAAB

BAAB

yYY

xXX

−

−

+=

+=

Para o cálculo específico de curvas, o procedimento de cálculo das coordenadas parciais será por-

tanto o mesmo, onde a distância dAB será a corda “c” e o azimuteAB será o azimute da direção da deflexão,

referente ao ponto a ser determinado.

O cálculo das coordenadas totais será a soma das coordenadas do último ponto com as coordenadas

parciais do ponto considerado.

Como mostra a figura 8.33, as coordenadas totais, X1 e Y1 do ponto 1, serão iguais à soma das co-

ordenadas totais do último ponto, XPC e YPC, com as coordenadas parciais de PC ao ponto 1, x PC-1 e y PC-1 ,

respectivamente.

Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva.

242

O cálculo da coordenada parcial depende do azimute da direção de cada corda, e será calculado

conforme a figura 8.34, como o azimute da direção da corda anterior, somado à deflexão parcial da corda an-

terior e a deflexão da corda em estudo, ou seja:

CBBABACB ddAZAZ −−−− ++=

Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos.

Um modo prático para o cálculo de azimute na planilha poderá ser feito seguindo-se o esquema abaixo (Fi-

gura 8.35):

DEFLEXÕESParciais (da)

45° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00''

45° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41''

45° 46' 48,66'' 00° 38' 11,83''

47° 03' 12,32'' 00° 38' 11,83''

AZIMUTES

+

+

+

A B

C D

E F

G H

Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes.

243


O primeiro azimute (A) é da direção PC PI. O segundo azimute (C) será da direção de PC 1, e dado

por (A) + (B) + (D). O terceiro azimute (E) será da direção 1 2 e dado por (C) + (D) + (F) e sendo o quarto azi-

mute (G), da direção 2 3, dado por (E) + (F) + (H).

A planilha abaixo exemplifica o cálculo de uma curva circular com os dados da curva vista anteriormente

(exemplo 3), porém com o cálculo de azimutes e coordenadas. O azimute inicial, ou seja, o azimute da direção PC

PI é de 45° 00’ 00’’ e as coordenadas de PC: (1.000,00; 5.000,00).

Azimute CurvaInteira Interm. RAIO A.C. PC - PI "D ou E"

277 15,400 450,000 26°38'12'' 45°00'00'' D 1.000,000 5.000,000

Distância AzimuteInteira Interm. Inteira Intermediária Tangente (m) Desenv.(m) PC - PT (m) PC - PT

272 8,872 282 18,076 106,528 209,204 207,325 58° 19' 06,00''

AZIMUTESInteira Interm. Corda Arco Parciais Parcial (da) Acumulada (dt) X Y

272 8,872 - - 45° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 00° 00' 00,00'' 1.000,000 5.000,000272 10,000 1,1275 1,128 45° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 00° 04' 18,41'' 1.000,798 5.000,796273 - 9,9998 10,000 45° 46' 48,66'' 00° 38' 11,83'' 00° 42' 30,24'' 1.007,965 5.007,770273 10,000 9,9998 10,000 47° 03' 12,32'' 00° 38' 11,83'' 01° 20' 42,07'' 1.015,285 5.014,583274 - 9,9998 10,000 48° 19' 35,98'' 00° 38' 11,83'' 01° 58' 53,90'' 1.022,754 5.021,232274 10,000 9,9998 10,000 49° 35' 59,64'' 00° 38' 11,83'' 02° 37' 05,73'' 1.030,369 5.027,713275 - 9,9998 10,000 50° 52' 23,31'' 00° 38' 11,83'' 03° 15' 17,56'' 1.038,126 5.034,023275 10,000 9,9998 10,000 52° 08' 46,97'' 00° 38' 11,83'' 03° 53' 29,40'' 1.046,022 5.040,160276 - 9,9998 10,000 53° 25' 10,63'' 00° 38' 11,83'' 04° 31' 41,23'' 1.054,052 5.046,119276 10,000 9,9998 10,000 54° 41' 34,29'' 00° 38' 11,83'' 05° 09' 53,06'' 1.062,213 5.051,899277 - 9,9998 10,000 55° 57' 57,96'' 00° 38' 11,83'' 05° 48' 04,89'' 1.070,500 5.057,495277 10,000 9,9998 10,000 57° 14' 21,62'' 00° 38' 11,83'' 06° 26' 16,72'' 1.078,909 5.062,906278 - 9,9998 10,000 58° 30' 45,28'' 00° 38' 11,83'' 07° 04' 28,56'' 1.087,436 5.068,129278 10,000 9,9998 10,000 59° 47' 08,94'' 00° 38' 11,83'' 07° 42' 40,39'' 1.096,077 5.073,162279 - 9,9998 10,000 61° 03' 32,61'' 00° 38' 11,83'' 08° 20' 52,22'' 1.104,828 5.078,001279 10,000 9,9998 10,000 62° 19' 56,27'' 00° 38' 11,83'' 08° 59' 04,05'' 1.113,685 5.082,644280 - 9,9998 10,000 63° 36' 19,93'' 00° 38' 11,83'' 09° 37' 15,88'' 1.122,642 5.087,089280 10,000 9,9998 10,000 64° 52' 43,59'' 00° 38' 11,83'' 10° 15' 27,71'' 1.131,696 5.091,335281 - 9,9998 10,000 66° 09' 07,26'' 00° 38' 11,83'' 10° 53' 39,54'' 1.140,842 5.095,378281 10,000 9,9998 10,000 67° 25' 30,92'' 00° 38' 11,83'' 11° 31' 51,37'' 1.150,076 5.099,216282 - 9,9998 10,000 68° 41' 54,58'' 00° 38' 11,83'' 12° 10' 03,21'' 1.159,392 5.102,849282 10,000 9,9998 10,000 69° 58' 18,24'' 00° 38' 11,83'' 12° 48' 15,04'' 1.168,787 5.106,274282 18,076 8,076 8,076 71° 07' 21,04'' 00° 30' 50,96'' 13° 19' 06,00'' 1.176,429 5.108,887

Estaca do PI

COORDENADAS

Dados da Curva

Estaca do PTEstaca do PC Dados da Curva

DISTÂNCIAS DEFLEXÕESCADERNETA DE LOCACAO

RESPOSTAS PARA CURVA CIRCULAR À DIREITA

ESTACAS

Cordenadas "PC, PI ou PT"PC

ENTRADA DE DADOS

Com os elementos da planilha calculada, falta apenas sair para campo e locar a curva, que poderá ser por

deflexão ou por coordenada.

244

l) Locação em campo das curvas

l.1) Através do processo por deflexões

A locação de uma curva, normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada, ponto a

ponto, com o teodolito instalado no PC (Figura 8.36). O processo de locação segue as seguintes etapas:

Instala-se o teodolito no PC;

Visa-se a direção do PI e com ângulo “zero”;

Mede-se o ângulo da 1a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a distância da corda PC

1, marca-se o ponto 1;

Mede-se o ângulo da 2a deflexão acumulada, e com este alinhamento e a distância da corda 1

2, marca-se o ponto 2, a partir do ponto 1;

Repete-se este processo, até chegar ao PT, com a marcação das deflexões totais sempre a partir

do PC e a marcação das cordas a partir do último ponto locado.

Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões.

PC

PI

PT

Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão.

245


l.2) Através do processo por coordenadas

A locação de uma curva por coordenadas geralmente é executada por equipamento eletrônico. Este

deve ter uma visão abrangente da curva a locar, podendo estar posicionado em qualquer local, de forma a ob-

ter necessariamente as coordenadas desta estação, através de visadas a três pontos coordenados no mínimo.

Normalmente é feita implantando-se piquetes no eixo da estrada, ponto a ponto, com a tomada da

distância e ângulo de forma eletrônica, onde o operador orienta o auxiliar na implantação dos pontos.

O processo de locação segue as seguintes etapas:

Programar a estação total com as coordenadas dos pontos a locar (Planilha de coordenadas);

Instala-se a estação total em ponto de ampla visão para a locação;

Visa-se no mínimo, três pontos de coordenadas conhecidas (por exemplo, PC, PI, PT) e a esta-

ção reconhecerá as coordenadas do ponto instalado;

Com referência das coordenada da estação e do PC, o operador orienta o auxiliar a marcar ângu-

los e distâncias, a partir desta origem;

Segue este procedimento até o PT.

PC

PI

PT

X

Y

YP

XP

Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas.

246

247

OObbsseerrvvaaççõõeess ee aannoottaaççõõeess -- CCaapp.. 88 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


248

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


A equipe de topografia é a primeira a chegar em uma obra de implantação, portanto será a primeira a

explorar a região e ter contato com o terreno virgem, das mais variadas características como: brejos, matas, rios,

lagos, serrado, capinzal, bosque, etc.

Uma equipe que trabalha no mato, normalmente em situações de vegetação densa, áreas alagadas e ter-

renos acidentados de difícil acesso, está sujeita à acidentes com animais peçonhentos.

A dificuldade de acesso e comunicação, gera condições desfavoráveis ao atendimento, aumentando a

responsabilidade de tomada de decisão do chefe desta equipe. Uma ação rápida na prestação de socorro e co-

nhecimento do assunto pode ser a diferença para se salvar uma vida ou evitar perda de tempo no caso do aciden-

te ser provocado por um animal não venenoso.

Espera-se que estas decisões sejam tomadas pelo chefe da equipe, que provavelmente é um profissio-

nal da área da topografia. Porém sabemos que a sua formação técnica acadêmica ou prática é específica para sua

área, não tendo estudado de maneira aprofundada ou até correta sobre animais peçonhentos, prevenção de aci-

dentes e primeiros socorros.

Não se pode negar que a situação descrita é possível de acontecer, portanto o chefe da equipe deve ter

conhecimentos que possam ajudar na identificação de animais e de procedimentos ao atendimento à vítima. Por-

tanto deve buscar conhecimentos extras para que possa apoiar, dar segurança e socorrer os membros de sua e-

quipe quando necessário. É na pessoa do chefe que a equipe confia, e será ele que deverá tomar decisões corre-

tas para assegurar a integridade de seu pessoal.

Quando o acidente for provocado por animais não venenosos, a decisão de dispensa de socorro somen-

te poderá ser tomada por uma pessoa que tenha absoluta certeza na identificação do animal, pois uma decisão

errada poderá causar sérias conseqüências.

Devemos aqui ressaltar a utilização dos termos: “Venenoso” e “Peçonhento”.

249


Biologicamente, existe diferença entre os termos, mas para nossos estudos mais práticos, usaremos os

dois termos sem distinção. Porém para informação rápida, pode-se definir:

Um animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso, mas que não têm mecanismos de

injeção deste veneno em uma vítima, é considerado venenoso, mas não é peçonhento.

Outro animal que possui glândulas de veneno potencialmente perigoso, e ainda têm mecanismos de in-

jeção (quelíceras, presas, ferrões ou cerdas), é um animal peçonhento.

E ainda podemos considerar, o animal que não possui glândula de veneno, ou que possui glândulas de

veneno e tem mecanismos de injeção, mas seu veneno é potencialmente inofensivo ao homem. Então podemos

considera-lo não venenoso.

22 –– AAnniimmaaiiss PPeerriiggoossooss

O Brasil por estar situado em uma região tropical possui uma fauna numerosa e diversificada. Entre as

várias espécies de animais alguns são venenosos e podem causar danos à saúde humana ou até mesmo levar à

morte. Os animais venenosos do Brasil estão distribuídos em todas as regiões e em vários habitat. São cobras,

aranhas, escorpiões, taturanas, lacraias e abelhas. Alguns, como as cobras, possuem venenos muito ativos e ou-

tros, como as lacraias e algumas vespas, possuem venenos mais fracos, ou toxicamente menos ativo.

Portanto a gravidade dos acidentes depende do animal, mas também de outros fatores.

Os acidentes podem ser leves, moderados ou graves. Vários fatores influenciam na gravidade do enve-

nenamento. Pode-se citar como os principais:

A espécie do animal;

A toxidade do veneno;

A quantidade de veneno injetado;

A saúde da vítima;

O tempo de socorro ao acidentado.

Outros fatores ligados à biologia dos animais também influenciam, como:

Saúde do animal;

Idade do animal (adultos ou jovens);

Tamanho do animal;

Tipo de alimentação.

Além disso a época do ano também influencia na toxidade do veneno, pois nas épocas mais quentes do

ano os animais estão mais ativos, caçando com mais freqüência, portanto seu veneno estará mais tóxico.

250

Os acidentes com cobras peçonhentas sempre são graves, devendo a pessoa acidentada ser medicada o

mais rápido possível e apenas com aplicação do soro específico, porém nem todas as cobras são peçonhentas e

estes não causarão danos graves às pessoas, às vezes os sintomas não passam de um leve ferimento com dor lo-

cal, não devendo a pessoa tomar qualquer tipo de soro antiofídico. Mas na dúvida a pessoa deve ser encaminha-

da ao hospital. As cobras por provocarem os acidentes mais graves entre os animais peçonhentos, serão estuda-

das com mais detalhes durante este capítulo. O quadro a seguir mostra de forma resumida e esquemática os principais animais causadores de acidentes no

Brasil (Figura 9.1).

F A M ÍL IA S A T U R N IID A E

F A M ÍL IA M EG A L O P YG ID A E

F A M ÍL IA A R C T I ID A E

TA TU R A N A S

SER PEN TES

PR ESA S

G ÊN ER O C R O T A L U S

G ÊN ER O L A Q U ES IS

G ÊN ER O M IC R U R U S

G ÊN ER O B O T H R O P S

A R A N H A S

Q U ELÍ CERA S

ESCO R PI Õ ESFER R Ã O

T ityu s serru latu s T ityu s b ah ien sis T ityu s stig m u ru s

G ÊN ER O P H O N EU T R IA

G ÊN ER O L O X O S C EL ES

G ÊN ER O L A T R O D EC T U S

G ÊN ER O L YC O S A

LA CR A I A S VESPA S - A B ELH A S - M A R I M B O N D O S

"ANIMAIS DE IMPORT ÂNCIA MÉDICA"

Figura 9.1: Animais perigosos.

251


22..11 -- AArraannhhaass

As aranhas também podem provocar acidentes com certa gravidade, principalmente em crianças e ido-

sos. Inúmeras espécies de aranhas são conhecidas, porém poucas são perigosas ao homem (Figura 9.2).

Existem aranhas que são consideradas inofensivas ao homem, até outras que podem provocar a morte.

Aranhas do gênero Latrodectus, conhecidas como Viúvas Negras e do gênero Phoneutria, que são as

armadeiras, provocam acidentes relativamente sérios. Existe soro específico para estas aranhas.

O gênero Loxoceles, popularmente chamada de Aranha “Marrom” , muito comum no sul do Brasil,

têm seu habitat principal, as residências humanas. Apesar de não serem agressivas provocam bastantes aciden-

tes, devido à sua proximidade com o homem.

As temidas aranhas caranguejeiras, grandes e peludas, não oferecem risco de vida à pessoa picada,

sendo os sintomas apenas uma dor local, sem necessidade de maiores cuidados.

O gênero Lycosa, aranhas conhecidas como tarântulas, são aranhas comuns em jardins, pastos e gra-

mados, e não oferecem perigo às pessoas. Em caso de acidentes com esta aranha, os sintomas são caracterizados

por rubor e dor local, sem maiores conseqüências.

Tarântula Caranguejeira

Armadeira Viúva negra

Figura 9.2: Espécies de aranhas.

252

22..22 -- EEssccoorrppiiõõeess

No Brasil existem várias espécies de escorpiões que podem causar danos à saúde humana, porém to-

dos pertencem ao gênero Tityus (Figura 9.3). A espécie mais importante é o escorpião amarelo (Tityus serrula-

tus) pela toxidade de seu veneno, seguida do escorpião preto (Tityus bahiensis) que causam a maioria dos aci-

dentes.

Os escorpiões têm hábitos noturnos, escondendo-se durante o dia em tocas, entulhos, dentro de resi-

dências em roupas, sapatos ou qualquer lugar protegido da claridade. Este hábito provoca o encontro com as

pessoas, principalmente quando vestem uma roupa ou calçam um sapato com escorpião dentro. A picada neste

caso é inevitável. Apesar de não atacar sem motivos, o escorpião sempre pica quando tocado.

Em caso de acidentes a dor é sempre um sintoma presente e sua intensidade dependerá da resistência

de cada pessoa e quantidade de veneno injetado. O tratamento da maioria dos casos de picadas de escorpião não

têm necessidade de se aplicar o soro específico. Os acidentes mais graves ocorrem com crianças e idosos.

É importante o acompanhamento e encaminhamento da pessoa acidentada ao hospital.

Figura 9.3: Escorpião.

22..33 –– AAbbeellhhaass,, VVeessppaass ee MMaarriimmbboonnddooss

As abelhas, vespas e marimbondos provocam intoxicações sérias somente se houver grande número de

picadas, porém há pessoas alérgicas ao veneno destes animais, neste caso, a reação do veneno no organismo po-

de ser muito ativa, devido ao fator alérgico, podendo ocorrer conseqüências mais graves.

As pessoas alérgicas devem ser levadas ao hospital, mesmo que a quantidade de picadas forem poucas.

253


Os profissionais de topografia, trabalhando em campo, estão expostos a acidentes com estes animais,

portanto toda medida de segurança deve ser adotado, para se evitar perdas de produção e danos às pessoas da

equipe. Principalmente nos desmatamentos e roçadas manuais é que acontecem estes acidentes, pois são corta-

dos galhos que podem ter a casa das abelhas ou marimbondos.

As abelhas africanizadas (abelhas brasileiras com cruzamento com abelhas africanas), têm o veneno

potente, são muito agressivas e atacam em enxame, podendo provocar graves acidentes.

22..44 –– TTaattuurraannaass ee LLaaccrraaiiaass

Algumas taturana podem “sapecar” as pessoas, causando queimaduras sérias e muito dolorosas, um

simples contato com a taturana (lagarta de algumas espécies de borboletas) é o suficiente para que ela injete seu

veneno através de pequenas agulhas muito finas (cerdas), que ficam escondidas debaixo de seu pêlo.

De um modo geral, os acidentes não são graves, aparecendo somente uma irritação local, mas sempre

acompanhada de muita dor (dor de queimadura), sendo o tratamento sintomático, necessitando de cuidados mais

específicos em caso de complicações do envenenamento.

Porém deve-se ficar alerta com o estado físico do acidentado, pois já há registros de acidentes com

morte em algumas regiões do Brasil (principalmente região sul).

As lacraias causam geralmente acidentes leves, com sintomas locais de irritação e dor, não necessitan-

do de cuidados específicos. São animais que vivem principalmente em paus podres, cascas de árvores e debaixo

de folhas e que quando incomodados fogem (Figura 9.4).

Figura 9.4: Lacraia.

254

22..55 -- CCoobbrraass

As cobras por serem o animais que mais causam acidentes graves, será aqui estudada mais detalhada-

mente. Além de quadros estatísticos, características e métodos de identificação destes animais, aborda-se tam-

bém as medidas preventivas de acidentes em trabalhos de campo.

22..55..11 –– IIddeennttiiffiiccaaççããoo ddee CCoobbrraass

Para um leigo, ou mesmo uma pessoa com algum conhecimento no assunto é arriscado tentar desco-

brir se uma cobra é venenosa ou não. Os critérios ensinados na escola primária e secundária, geram dúvidas e

erro, como por exemplo tentar identificar cobras venenosas pela cabeça triangular e rabo curto. Na figura 9.5

mostram-se quatro espécies de cobras onde as características usuais se confundem. Somente a primeira cobra é

venenosa, apesar de não ter características acentuadas de venenosa. A segunda cobra (Tropidodryas), é uma es-

pécie não venenosa mas possui cabeça triangular. A cobra coral da figura não é venenosa, mas confunde-se

com uma coral verdadeira. Boipeva, talvez seja a cobra que mais assusta as pessoas no campo, pois achata-se no

chão e dá botes quando incomodada, apesar de não oferecer nenhum risco às pessoas, pois não têm veneno.

Jararaca – VENENOSA

Falsa coral – NÃO venenosa

Tropidodryas – NÃO venenosa

Boipeva – NÃO venenosa

Figura 9.5: Espécies de cobras.

255


Alguns conceitos para identificação são válidos, como por exemplo, a cobra que tem um furo entre o

olho e a narina chamado fosseta loreal (Figura 9.6) é venenosa. Esta informação está correta para todas as espé-

cies de cobras peçonhentas do Brasil exceto as cobras corais verdadeiras, que apesar de terem veneno não pos-

suem fosseta loreal.

Figura 9.6: Fosseta loreal.

Não se pode, então, confiar totalmente nas tabelas de identificação (Figura 9.7), pois podem induzir a

erros e falhas. São vários os exemplos de cobras não venenosa que apresentam características de serpentes pe-

çonhentas além de cobras peçonhentas que não apresentam características claras. Além disso cobras jovens são

de difícil identificação, pois suas características e dimensões não são claramente visíveis.

256

As diferenças entre as cobras peçonhentas e não peçonhentas, nem sempre são claras e devem ser tra-

tadas com cautela, pois envolve risco de vida das pessoas acidentadas. Na dúvida leve a pessoa ao hospital para

que seja avaliada através dos sintomas.

Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras.

São quatro os gêneros principais de cobras venenosas, sendo que para cada um existe um soro especí-

fico:

Bothrops (jararacas, jararacuçus e urutus);

Crotalus (cascavéis);

Lachesis (surucucu);

Micrurus (corais verdadeiras).

257


Os nomes populares devem ser usados com restrições pois podem variar com as regiões do Brasil. Po-

de-se, porém de uma maneira prática utilizar o questionário esquemático abaixo (Figura 9.8), para identificar o

gênero das cobras venenosas, e o soro específico a ser utilizado.

TEM ANÉIS COLORIDOS COMPLETOS, PONTA DO RABO CURTA E OLHOS PRETOS POUCO VISÍVEIS ?

NÃO SIM

TEM FOSSETA LOREAL ?

"Corais verdadeiras" "Gênero MICRURUS""Soro ANTIELAPÍDICO"

"Cobras NÃO peçonhentas" "Família COLUBRIDAE""Família BOIDAE""Família ANILIIDAE"

SIMNÃO

TEM CHOCALHO NA PONTA DO RABO ?

SIMNÃO

"Cascavéis" "Gênero CROTALUS""Soro ANTICROTÁLICO""Soro ANTIBOTRÓPICO/ CROTÁLICO"

TEM RABO COM ESCAMAS ARREPIADAS

E PONTA DE OSSO ?

SIMNÃO

"Surucucus" "Gênero LACHESIS""Soro ANTILAQUÉTICO""Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO"

"Jararacas, Urutus e Jararacuçus" "Gênero BOTHROPS""Soro ANTIBOTRÓPICO""Soro ANTIBOTRÓPICO / LAQUÉTICO"

Figura 9.8: Identificando cobras.

258

33 –– PPrreevveennççããoo ddee AAcciiddeenntteess

Para se tomar medidas de prevenção de acidentes com animais peçonhentos é necessário conhecimen-

tos sobre os hábitos destes animais e como acontecem os acidentes.

Com relação às cobras, pode-se prevenir grande parte das picadas com algumas ações sim-

ples,considerando que a grande maioria das cobras venenosas do Brasil são de hábitos terrestres, portanto esta-

tisticamente as pernas estão sujeitas a mais de 80% das picadas conforme o gráfico de percentuais de picadas

nas diversas parte do corpo (Figura 9.9).

.

Figura 9.9: Percentual de picadas de cobra nas partes do corpo.

O simples uso de calças compridas, botinas e perneiras pode-se evitar a maior parte dos acidentes. As

mãos quando em tarefas de risco, como por exemplo, cortar bambus ou limpar uma vegetação rasteira para co-

locação de um piquete, devem estar protegidas com luvas de raspa de couro (Figura 9.10).

Figura 9.10: Equipamentos de segurança.

259


Os acidentes na cabeça são raros, muito difíceis de acontecer, pois a maioria das cobras venenosas do

Brasil são de hábitos terrestres, somente em regiões de matas fechadas temos cobras venenosas arborícolas.

As cobras não têm comportamento agressivo e somente picam alguém quando são pisadas ou incomo-

dadas no seu habitat. Outro fator importante para prevenção de uma picada é ter conhecimento do alcance de um

bote da cobra, ou seja, qual o comprimento que uma cobra consegue atingir de onde ela estiver.

Experiências e estudos mostram que um bote atinge aproximadamente um terço do seu tamanho total.

Uma cobra de 1,20 m atinge uma pessoa em um raio de aproximadamente 0,40 m. As crendices, diga-se, muito

comuns no meio rural, que cobras dão botes de alguns metros, ou até mesmo voam, não têm fundamentação

técnica e podem ser comprovados na prática (Figura 9.11).

Figura 9.11: Bote.

Uma das principais atividades do profissional de topografia e sua equipe ocorre em áreas que exigem

determinados cuidados em relação aos animais peçonhentos.

A consciência atual de preservação do meio ambiente, não admite que ocorra extermínio destas espé-

cies. Portanto, cabe então a este profissional buscar o conhecimento claro dos perigos e formas de prevenção,

para que não seja necessário o abate deste animais. Desta forma, o estigma do tratamento ao profissional de To-

pografia e demais profissionais de campo, de serem "tachados" de "Mata-cobras" cairá no vazio.

Algumas medidas de prevenção em trabalhos de campo, para evitar-se acidentes com animais peço-

nhentos em geral:

Andar sempre calçado, de preferência com botas, perneiras e calças compridas;

Colocar luvas sempre que manusear entulhos, madeiras e ferramentas que estejam amontoadas;

Não colocar as mãos em buracos ou em vegetação rasteira sem proteção de luvas;

Sacudir as roupas antes de vestir, principalmente em alojamentos de obras em área rural;

Não deixar as caixas dos equipamentos abertas e no mato;

Manter as portas dos veículos da obra quando estacionados nas frentes de trabalho;

Usar blusas de manga comprida e ter muita atenção e cautela nas roçadas manuais;

Nunca manusear um animal peçonhento, mesmo que aparente morto.

260

Em caso de acidente o melhor a fazer é levar a vítima ao hospital. Não faça nenhuma improvisação,

não amarre, não corte, não dê nada a pessoa para beber, a não ser água. Mantenha a vítima calma e em repouso,

mais nada.

Quadro 9.1: Acidentes x soro. Fonte: Instituto BUTANTAN.

261


OObbsseerrvvaaççõõeess ee aannoottaaççõõeess -- CCaapp.. 99

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Fundamentos de topografia tuler & saraiva

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