FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

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FACULDADE MAX PLANCK

JOSEITA MARIA TEIXEIRA

FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

Indaiatuba 2013

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JOSEITA MARIA TEIXEIRA

FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

Resenha apresentada a Profª.

Sheila Salles Mendes da disciplina

Fundamentos e métodos do Ensino de

Matemática do curso de Pedagogia.

Indaiatuba 2013

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SUMÁRIO

1. A CONSTITUIÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO.......................................................................5 2. OS OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DE MATEMÁTICA.........................................................................7 3. CLASSIFICAÇÃO, SERIAÇÃO E INCLUSÃO...........................................................................................13

3.1 Ensinando Classificação...........................................................................................................14 3.2 Seriação e Sequência...............................................................................................................14 3.3 Jogos de seriação, classificação e sequência...........................................................................16

4. NÚMEROS NATURAIS........................................................................................................................17

4.1 A criança e o número natural...................................................................................................19 4.1.1 Atividades de contagem...........................................................................................19 4.1.2 Atividades estabelecendo relações entre coleções diferentes................................19 4.1.3 Atividades Lúdicas....................................................................................................20

4.2 O sistema de numeração decimal............................................................................................21 4.3 Ordenação dos números naturais............................................................................................23 4.4 A reta numérica.......................................................................................................................24 4.5 Material dourado.....................................................................................................................24 4.6 QVL - Quadro Valor de Lugar...................................................................................................25 4.7 Ábaco.......................................................................................................................................26

5. OPERAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS............................................................................................26

5.1 Conceitos de adição e subtração.............................................................................................26 5.1.1 As ideias da adição...................................................................................................27 5.1.2 Algorítmo.................................................................................................................27 5.1.3 O algorítmo da adição..............................................................................................28 5.1.4 Jogos de adição........................................................................................................30

5.1.4.1 Adivinhe a carta escondida......................................................................30 5.1.5 Material Cuisenaire..................................................................................................31

5.1.5.1 Atividades com material Cuisenaire........................................................32 5.2 Subtração................................................................................................................................35

5.2.1 As ideias da subtração..............................................................................................36 5.2.3 Algorítmo da subtração............................................................................................36 5.2.3 Subtração com QVL..................................................................................................37

5.3 Operações de Multiplicação e divisão.....................................................................................38 5.3.1 Multiplicação............................................................................................................38 5.3.2 As ideias de multiplicação........................................................................................38 5.3.3 Algoritmo da multiplicação......................................................................................39

5.4 Divisão......................................................................................................................................41 5.4.1 As ideias da divisão..................................................................................................42 5.4.2 O algoritmo da divisão.............................................................................................42

6. TABUADA ....................................................................................................................................... 42

7. GEOMETRIA ....................................................................................................................................... 34 7.1 A importância do ensino da Geometria nos anos iniciais........................................................43 7.2 Atividades de Locação e Orientação........................................................................................44 7.3 Representações com diferentes vistas....................................................................................45

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7.4 Mudança de direção de ângulo...............................................................................................46 7.5 Trabalhando com figuras geométricas.....................................................................................47 7.6 Explorando figuras planas........................................................................................................48 7.7 Polígonos..................................................................................................................................48 7.7.1 Construindo o conceito de Polígonos...................................................................................48

7.7.2 Polígonos no dia a dia e na natureza........................................................................49 7.8 Triângulos.................................................................................................................................50 7.9Quadriáteros.............................................................................................................................50

7.9.1 Classificação dos quadriláteros................................................................................51 7.10 Simetria..................................................................................................................................53 7.11 Paralelismo.............................................................................................................................54 7.12 Geometria e Arte...................................................................................................................54 7.13 Prismas para recortar e montar.............................................................................................55

8. GRANDEZAS E MEDIDAS....................................................................................................................56

8.1 Conteúdo.................................................................................................................................57 8.1.1 Padrões usados para avaliar grandezas físicas.........................................................57 8.1.2 Sistemas consuetudinários.......................................................................................57 8.1.3 Primeiros sistemas...................................................................................................58 8.1.4 Primeiras grandezas.................................................................................................58 8.1.5 Comprimento...........................................................................................................58 8.1.6 Área..........................................................................................................................59 8.1.7 Volume.....................................................................................................................59 8.1.8 Massa.......................................................................................................................59 8.1.9 Tempo......................................................................................................................59 8.1.10 Informática............................................................................................................60

9. FRAÇÕES ........................................................................................................................................... 60

9.1 Construindo Tangran...............................................................................................................61 9.2 Introdução a Frações...............................................................................................................62 9.3 Como ler frações......................................................................................................................63 9.4 Para que servem as frações.....................................................................................................65 9.5 As frações nas séries iniciais...................................................................................................67

10. CONTEXTUALIZAÇÃO DOS PROBLEMAS CONVENCIONAIS APRESENTADOS NOS LIVROS

DIDÁTICOS.....................................................................................................................................71 10.1Discutindo a contextualização..........................................................................................72 11.HABILIDADES OPERATÓRIAS A SEREM DESENVOLVIDAS NO PROCESSO DA MATEMÁTICA............73

12. PRINCÍPIOS DE CONTAGE................................................................................................................75

13. CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO........................................................................................76

14. PLANEJAMENTO ANUAL 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I......................................................77 14.1 Programação curricular..........................................................................................................83 14.2 Quadro de Horário.................................................................................................................84 14.3 Conteúdo Anual.....................................................................................................................85

15. ATIVIDADES PARA O 3º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I............................................................94 16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................................................98

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1. A CONSTITUIÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO

A história da constituição do conhecimento matemático se desenvolve

juntamente com a história da humanidade, definindo estratégias de ação, buscando

explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza, permitindo a chegada na lua, o

progresso tecnológico. É um produto cultural e social, que assume diferentes visões

conforme a época e o contexto, esses conhecimentos foram se constituindo de uma

época para a outra, de um povo para o outro.

Os primeiros indícios de construção de conhecimentos matemáticos são

heranças dos povos egípcios e babilônios (2500 a.c). Esses povos a usavam para

resolver problemas práticos, geralmente ligados ao comércio, cálculo de impostos,

construções de habitações, monumentos funerários e medidas de terras.

Na Antiguidade até meados da Idade Média, parte do conhecimento

produzido era resultado das necessidades práticas da vida diária. Na Grécia, a

Matemática era vista como uma fonte rica de conhecimento que ajudava os

pensadores, filósofos da época, no desenvolvimento da inteligência. Era uma visão

que não se relacionava com questões práticas e sim à contemplação divina do

conhecimento, pois se acreditava em uma Matemática teórica, abstrata, a qual

servia para formar os mais bem-dotados, aqueles que tinham maior facilidade de

aprender, ou seja, de memorizar. Para os demais restava a Matemática prática,

utilitária, ensinada por mestres de ofícios em suas próprias oficinas e que resultava

em uma aprendizagem mecânica a respeito dos elementos técnicos necessários às

várias profissões.

Já, na Idade Média, o conhecimento matemático considerado inadequado

aos princípios cristãos, praticamente não se propagou devido ao poder que a Igreja

Católica exercia sobre a sociedade da época. Tal situação não favoreceu para que

houvesse, na Europa, uma evolução significativa do conhecimento produzido na

Antiguidade. Porém, com a organização das Cruzadas em direção ao Império

Islâmico, por volta do ano 1000, propiciou-se que a sociedade européia entrasse em

contato com novos conhecimentos, vindo a contribuir para a modernização da

Europa. As grandes navegações, o estudo da astronomia e da lógica foram fatos

importantes para que, no século XV, o conhecimento começasse a ser organizado

por especialidades, ou seja, em aritmética, álgebra e geometria.

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É nesse período que a Matemática começa a ser estruturada nos termos

como hoje é conhecida, ou seja, uma área de conhecimento específica.

“A matemática desenvolve o raciocínio lógico, a

capacidade de abstrair, generalizar, projetar, transcender o que

é imediatamente sensível”.

A construção da matemática, pág.10

A partir da década de 60, a matemática ficou conhecida como Matemática

moderna, como resultado desse movimento, incorporaram-se ao trabalho em sala de

aula o uso exagerado da linguagem dos conjuntos e a formalização precoce de

ideias matemáticas que ainda não estavam ao alcance e a compreensão dos

alunos.

O movimento também trouxe também a pesquisa de novos métodos de

ensino e de recursos didáticos que levam em conta que o aprendiz precisa participar

de forma ativa na construção de seu conhecimento.

A partir da década de 80 os educadores matemáticos passaram a se

preocupar em estabelecer uma proposta de educação que desse à todos os alunos

do ensino fundamental a oportunidade de desenvolver as competências básicas

necessárias para o exercício da cidadania.

Essa preocupação se concretizou em diferentes propostas, cujas

características principais foram:

O ensino da Matemática com base em problemas do cotidiano e das

demais áreas de conhecimento;

A exploração de um diversificado rol de conteúdos, ocupando-se de forma

equilibrada e articulada de números e operações, espaço e forma,

grandezas e medidas, além do tratamento de informação, que inclui

elementos de estatística, probabilidade e combinatória;

A utilização responsável dos recursos tecnológicos disponíveis como

vídeo, calculadora, computador, etc., como instrumentos de

aprendizagem.

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2. OS OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

As regras de dedução que caracterizam o raciocínio matemático do

adulto, são construídas aos poucos, à medida que a criança interage com seu meio

e com as pessoas que a cercam.

Um dos objetivos explícitos do ensino da matemática é preparar o

estudante para lidar com atividades práticas que envolvam aspectos quantitativos da

realidade, mas, isso acaba não acontecendo, exceto por alguns problemas de

compras, pagamentos e troco, a questão continuaria válida, porque grande parte do

conteúdo, na maioria das vezes, continua sendo tratada de modo totalmente

desligado do que ocorre no dia a dias da escola e da vida dos alunos.

Seria importante que professores e alunos estivessem voltados para os

aspectos matemáticos das situações cotidianas, estabelecendo os vínculos

necessários entre a teoria e a prática e cada uma dessas situações.

O cotidiano está repleto de situações matemáticas como soma na compra

do mercado, receitas de bolo, temperatura do estado febril, aferimento de pressão,

porcentagens de produtos, quantidades, etc., com isso, pode-se notar que a

matemática é parte essencial da bagagem de todo cidadão com atuação crítica na

sociedade. Num mundo cada vez mais complexo é preciso estimular e desenvolver

habilidades que permitam resolver problemas, lidar com informações numéricas para

tomar decisões, fazer inferências, opinar sobre temas diversos, desenvolvendo

capacidades de comunicação e de trabalho coletivo, sempre de forma crítica e

independente.

Em qualquer atividade, o cidadão vai encontrar situações nas quais

necessitará compreender, utilizar e reconstruir conceitos e procedimentos

matemáticos. Assim, a Matemática escolar tem um papel formativo, ajudando a

estruturar o pensamento e o raciocínio lógico.

Além disso é uma ferramenta útil e com uma linguagem de expressão

própria, necessária a diversas áreas do conhecimento.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais, os PCN’s, criado pelo Ministério

da Educação e do Desporto foi elaborado com o intuito para que os alunos sejam

capazes de:

Compreender a cidadania como participação social e política, assim como

exercício d direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando no dia a

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dia , atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças,

repeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito;

Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes

situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e

de tomar decisões coletivas;

Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais,

materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção

de identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinência ao País;

“Identificar os conhecimentos matemáticos como

meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e

perceber o caráter de jogo intelectual, característico da

matemática, como aspecto que estimula o interesse, a

curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da

capacidade para resolver problemas”.

(PCN: Matemática, p.51, 1997).

É essencial que o aluno do ensino fundamental perceba o caráter prático

da Matemática, ou seja, que ela permite às pessoas resolver problemas do

cotidiano. No entanto, a aprendizagem da Matemática deve também contribuir para

o desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da coerência, o que transcende os

aspectos práticos.

"Fazer observações sistemáticas de aspectos

quantitativos e qualitativos da realidade do ponto de vista do

conhecimento e estabelecer o maior número possível de

relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático

(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico,

combinatório, probabilístico)".


A matemática deve interagir, de forma articulada, às atividades e

experiências matemáticas que serão desenvolvidas pelos alunos do ensino

fundamental. Não apenas as questões aritméticas e algébricas devem merecer

atenção, mas também são fundamentais os trabalhos geométricos e métricos e,

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além destes, os trabalhos que envolvem o raciocínio combinatório e o probabilístico

e as análises estatísticas.

"selecionar, organizar e produzir informações

relevantes, para interpretá-la e avaliá-las criticamente".


Atualmente a seleção e a organização de informações são aspectos

centrais do trabalho com Matemática. Em um mundo em que há uma grande massa

de informações, algumas contraditórias, outras pouco importantes, é necessário que

o cidadão consiga fazer triagens e avaliações constantes. A Matemática oferece

inúmeras ferramentas para lidar com as informações que chegam.

"estabelecer conexões entre temas matemáticos de

diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de

outras áreas curriculares".


O conhecimento matemático é apresentado em muitos livros didáticos de

forma bastante descontextualizada e isolada. Ele é tratado como se fosse um

conhecimento à parte, sem qualquer relação com outras áreas das ciências ou com

temáticas sociais urgentes (que muitas vezes são destacadas nos projetos

pedagógicos das escolas).

"resolver situações-problema, sabendo validar

estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e

processos, como dedução, indução, intuição, analogia,

estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos

matemáticos, bem como os instrumentos tecnológicos

disponíveis".


Frequentemente a Matemática tem sido trabalhada de forma bastante

empobrecedora, uma vez que fórmulas e regras são apresentadas para serem

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mecanicamente aplicadas em exercícios que seguem um dado modelo. Assim, a

potencialidade que ela tem de estimular o desenvolvimento de capacidades

importantes não é aproveitada. O aprendiz precisa conjecturar, intuir, propor

soluções para problemas apresentados.

"comunicar-se matematicamente, ou seja,

descrever, representar e apresentar resultados com precisão e

argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem

oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes

representações matemáticas".


Raramente se faz bom uso da linguagem oral ou se buscam relações

entre ela e as representações matemáticas. Os textos matemáticos são, geralmente,

os grandes ausentes nas aulas dessa disciplina. É importante que os alunos do

ensino fundamental sejam estimulados a ler e a escrever pequenos textos relatando

suas conclusões ou justificando suas hipóteses.

"sentir-se seguro da própria capacidade de construir

conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a

perseverança na busca de soluções".


O trabalho com a Matemática deve possibilitar ao aluno do ensino

fundamental a percepção de que é capaz de resolver problemas e de raciocinar,

como ele o faz no dia - a- dia. O professor tem papel decisivo nessa tarefa.

"Interagir com seus pares de forma cooperativa,

trabalhando coletivamente na busca de soluções para

problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou

não na discussão de um assunto, respeitando o modo de

pensar dos colegas e aprendendo com eles".


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Aprender matemática se dá em um contexto de interações, de troca de

ideias e de saberes, de construção coletiva de novos conhecimentos. Evidentemente

o professor tem um papel muito importante como mediador e orientador dessas

interações. No entanto, é preciso que os alunos percebam que podem aprender com

seus colegas e também que podem ensina-los. A cooperação na busca de soluções

de problemas é um objetivo da mais alta relevância.

Em relação aos conceitos e procedimentos, sabemos que estão

interligados e na construção do conhecimento não há só "saberes"(teóricos), mas

também "fazeres" (práticos). A construção de conceitos e de procedimentos não

acontece em um dado momento por meio de uma única explicação do professor, é

preciso que o aluno tenha acesso a informações e vivencie situações em que esses

conceitos estão em jogo, para poder construir generalizações parciais que, ao longo

de suas experiências, lhe possibilitarão atingir conceitualizações cada vez mais

abrangentes.

A aprendizagem não deve ser apenas de conceitos e procedimentos mas

também de atitudes. As atitudes devem sempre ser explicitadas aos alunos pelo

professor, que segundo o PCN de Matemática, página 75, destacará a importância

do (a):

Desenvolvimento de atitudes favoráveis para a aprendizagem de

Matemática;

Confiança na própria capacidade para elaborar estratégias pessoais

diante de situações-problema;

Valorização da troca de experiências com seus pares como forma de

aprendizagem;

Curiosidade por questionar, explorar e interpretar os diferentes usos dos

números, reconhecendo sua utilidade na vida cotidiana;

Interesse e da curiosidade em conhecer diferentes estratégias de cálculo;

Valorização da utilidade dos elementos de referência para localizar-se e

identificar a localização de objetos no espaço;

Sensibilidade para a observação das formas geométricas na natureza,

nas artes, nas edificações;

Valorização da importância do uso de medidas e estimativas para resolver

problemas cotidianos;

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Interesse por conhecer, interpretar e produzir informações, que se utilizam

de formas gráficas para apresentar informações;

Apreciação da organização na elaboração e apresentação dos trabalhos.

Outro fator importante no ensino de Matemática é a “Resolução de

Problemas”:

"Para a grande maioria dos alunos, resolver um

problema significa fazer cálculos com os números do

enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas".


Em função disso, o saber matemático não se apresenta ao aluno como

um conjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver um conjunto

de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e

incompreensível.

O aluno passa a aprender apenas, por reprodução e imitação.

A resolução de problemas, segundo o PCN de matemática, página 43,

nos apresenta como organizador do processo ensino/aprendizagem de Matemática:

O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o

problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e

métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de

problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver

algum tipo de estratégia para resolvê-las;

O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de

forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há

problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que

lhe é proposta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um

certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que

aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,

rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na

história da Matemática;

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O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas

constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de

problema. Um conceito matemático se constrói articulado com outros

conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;

A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em

paralelo ou como a aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para

a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender

conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Na resolução de um problema matemático, requer uma situação que

demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para se chegar a

um resultado, é preciso construí-la, portanto é muito importante discutir com os

alunos os procedimentos envolvidos na resolução de problemas, desde a leitura e a

análise cuidadosa da situação até a elaboração de procedimentos de resolução que

envolvem, segundo o PCN de matemática, página 44, a realização de simulações,

tentativas, hipóteses, comparação de resultados, além de habilidades que permitam

pôr à prova os resultados.

3. CLASSIFICAÇÃO, SERIAÇÃO E INCLUSÃO

Classificar é uma operação lógica de importância fundamental em nossa

vida, pois nos ajuda a organizar a realidade que nos cerca. Estamos sempre

classificando; às vezes concretamente no manipular materiais (como discos, roupas,

compras de supermercados, etc.); outras vezes apenas mentalmente, como quando

nos referimos aos deputados da oposição, aos países da Europa às palavras

paroxítonas, aos animais mamíferos, etc.

Consideramos que foi feita uma classificação dos elementos em coleção

de objetos quando separamos em classes, de tal modo que:

Cada classe tem pelo menos um objeto;

Cada objeto só pode estar em uma das classes;

Ao reunir todas as classes, obtemos novamente a coleção inicial.

Relações:

Pertinência: pertence à algum grupo;

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Inclusão de classes: está incluída nas classes.

3.1 Ensinando classificação

Iniciamos o trabalho com classificação utilizando brinquedos, sucatas,

objetos escolares, ou blocos lógicos e outros materiais isoformos1 a eles. Desse

modo a criança irá se familiarizar com a observação dos atributos de cada peça e o

levantamento das semelhanças e diferenças entre os objetos de uma coleção.

Os blocos lógicos, na maioria das vezes, não são aproveitados como

deveriam, servindo apenas para ensinar os atributos de suas peças como, cor,

forma, tamanho e espessura para as crianças da educação infantil.

Eles constituem um excelente material para trabalhar as noções de

pertinência, inclusão, interseção, reunião e complementação, da teoria dos

conjuntos, bem como o uso dos conectivos lógicos, e, ou, são, então, da lógica

matemática.

3.2 Seriação e sequência

Seriação é quando estabelecemos entre os elementos de uma coleção,

uma relação de diferença que possa ser quantificada, permitindo que os elementos

sejam colocados em ordem crescente ou decrescente.

Enquanto a classificação enfatiza as semelhanças entre os elementos da

coleção, a seriação trabalha mais com as diferenças entre eles.

O ser humano desde que nasce está em contato com o número, a

começar pela própria idade, onde uma criança pequena sem saber quanto é, mostra

com o dedos os anos que tem. Nesta situação, ela não está fazendo a conservação

do número, pois ainda não associa a quantidade, este processo, não ocorre antes

dos cinco anos.

O trabalho com o número na maioria das escolas infantis, baseiam-se no

reconhecimento dos algarismos e escritas do mesmo; é importante a exploração da

variedade de ideias matemáticas existentes, referentes a classificação e seriação.

Toda criança passa por descobertas, ela precisa mexer, experimentar,

tocar para poder assim conhecer o novo. Necessita do concreto para poder

organizar seus conhecimentos, o qual é adquirido naturalmente através do contato 1 Materiais Isoformos são aqueles que, embora de aspecto exterior bastante diferente têm a mesma estrutura

do material que lhes serviu de inspiração.

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com outras pessoas, das interações com o grupo de amigos. Ou seja, é uma

construção resultante das ações da criança com o mundo. A criança da faixa estaria

entre 2 e 7 anos está construindo a conservação do número, e para isto necessita

do contato com materiais concretos, precisa tocar, manipular e experimentar. Se

dermos a uma criança pequena vários cubinhos de madeira, a primeira reação será

pegar, virar de um lado para o outro, bater um com o outro, e por fim, atirá-lo longe.

Nesta situação, ela pode reconhecer o objeto, construiu um novo conhecimento,

necessitou perceber a singularidade o objeto para agir sobre ele, organizando suas

percepções e relações entre formas, peso, tamanho, espessuras.

Uma criança um pouco maior, a qual

já fez este tipo de relação parte para um novo

conhecimento, o da classificação, a qual já é

capaz de perceber semelhanças e diferenças.

Um exemplo é o trabalho com os blocos

lógicos, o importante é deixá-lo ao alcance da

criança para que explore o material. Assim que

manteve um bom contato podemos lançar desafios para que formule hipóteses:

Dê uma peça como esta.

Dê mais uma como esta.

Agora separe os parecidos.

Existe outra maneira de separar os parecidos?

Podemos separar os parecidos de

outra forma ainda?

O importante é que a criança crie

estratégias, ela deverá perceber que existem

os grupos das cores, do tamanho, das formas,

das espessuras.

A próxima etapa é a da seriação, a

qual é explorado a construção de série. Exemplo de atividades:

Formar fila por tamanho dos alunos (do maior para o menor);

Propor atividades com diversos tamanhos de cabo de vassoura para

ordená-los.

Ordenar brinquedos da sala de aula.

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3.3 Jogos de seriação, classificação e sequência

Jogo com centopeias coloridas divididas em

várias partes. Os jogadores devem completar suas

centopeias de acordo com as cores determinadas pelo

dado. Estímulos: visual, coordenação motora,

concentração e atenção, interação social pelo respeito

às regras ou pelo objetivo comum de formar uma centopeia em conjunto com outros

jogadores.

O jogo consiste em um saquinho com vários de círculos de cartolina nas

cores azuis, amarelas e vermelhas, e de um tabuleiro com o desenho da centopeia.

No tabuleiro está o desenho da centopeia com alguns círculos do corpo

colorido, a criança retira do saco um circulo ( é importante que não veja qual a cor

escolhida), se fizer parte da sequencia ela

completa o corpo, se for uma outra cor que não

a da ordem dada, coloca o círculo de volta e

espera a sua próxima jogada. Neste jogo a

criança estabeleceu uma sequencia de cores

que deve ser seguida.

O trabalho com a classificação, seriação e quantificação são decorrentes

das relações que a criança faz entre os objetos.

Estas atividades iniciais auxiliam a criança a construção de número, a

relacionar o numeral à quantidade. Através da atividade lúdica a criança constrói

símbolos. Elas devem ter a oportunidade de inventar (construir) as relações

matemáticas em vez de simplesmente entrar em contato com o pensamento pronto,

formular suas hipóteses a partir de ensaio e erro, para confirmá-las ou refutá-las.

A criança está se preparando para formar esta estrutura (relacionar

quantidade a escrita do número) nos jogos e brincadeiras. Por isso a atividade

lúdica, o contato com diferentes materiais é tão importante na educação Infantil.

As brincadeiras, construções e jogos que fazem espontaneamente com

eles, levam as trocas, comparações, descobertas estratégicas. Através dos jogos

construirão um pensamento produtivo e raciocínio lógico, bem como terão melhores

condições para enfrentarem situações novas e envolver-se com aplicações

matemáticas.

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4. NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais estão presentes em nosso cotidiano e são utilizados

com os mais diversos propósitos. Utilizamos os números para realizar contagens, ou

seja, para responder a perguntas do tipo “quantos?” (“35 alunos”, “meu álbum já tem

148 figurinhas”, “tenho 7 reais a mais que você”, etc.). O conceito de número ajuda

ainda a identificar um objeto de uma coleção ordenada, respondendo a perguntas do

tipo “qual?” (“o quinto andar”, “o décimo quarto na fila de espera”, etc.).

A criança entra em contato com os números desde muito cedo, no

contexto familiar e social, relatando sua idade, número de sua casa ou do telefone,

número do canal da televisão preferido, etc.

Esse contato oferece condições de familiarização com o conceito, e a

criança começa a estabelecer suas primeiras hipóteses a respeito do processo de

representação de quantidades.

Muitas vezes, quando pedimos para uma criança que conte alguns

objetos, o que ela faz é reproduzir a sequência numérica decorada, sem se

preocupar se contou mesmo todos os objetos. Ao contar ela recita os nomes dos

números, assim depois de contar cinco brinquedos, se lhe pedirmos que indique o

cinco ela mostrará o quinto brinquedo contado, como se cinco fosse o nome dele.

“A atividade matemática escolar não é um olhar para

as coisas prontas e definidas, mas a construção e a

apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servira

dele para compreender e transformar sua realidade”,


Antes de chegar ao conceito de número, a criança precisa compreender a

quantidade, e isso é um processo que ocorre de modo gradual. A criança que já

construiu o conhecimento lógico-matemático é capaz de representar esta ideia com

símbolos ou com signos. Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no

sentido de que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos

representados e são criados pela criança.

O objetivo para ensinar o número e o da construção que a criança faz da

estrutura mental de número uma vez que esta não pode ser ensinada diretamente, o

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professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar ativa e

autonomamente em todos os tipos de situações. Uma criança que pensa

ativamente, constrói o número. A tarefa do professor a encorajar o pensamento

espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nos foi treinada

para obter das crianças a produção de respostas certas. As relações são criadas

pelas crianças a partir de seu interior e não lhe são ensinadas por outrem. No

entanto, o professor tem um papel crucial na criação de ambiente material e social

que encoraje a autonomia e o pensamento.

As crianças podem saber como recitar números numa sequência correta,

não escolhem necessariamente usar esta aptidão como ferramenta confiável.

Quando a criança constrói a estrutura mental do número e assimila as palavras e

esta estrutura a contagem torna-se um instrumento confiável. No entanto, antes dos

sete anos de idade, a correspondência um a um, a copia da configuração espacial,

ou mesmo estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais

viáveis. As crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos. Tampouco

aprendem conceitos numéricos meramente pela manipulação de objetos. Elas

constroem esses conceitos pela abstração reflexiva a medida em que atuam

(mentalmente) sobre os objetos.

Atualmente, os educadores da educação infantil frequentemente definem

seus objetivos dizendo que as crianças devem aprender os chamados conceitos,

tais como os de números, letras, cores, formas geométricas, em cima, embaixo,

entre, da esquerda, mais cumprido, primeiro, segundo terceiro e etc.

Algumas habilidades matemáticas que a criança da educação infantil até

a idade de 8 anos apresenta antes mesmo de ser formalmente instruída sobre

conceitos matemáticos. Essas habilidades referem-se aos conceitos espontâneos

que a criança constrói a partir de suas experiências e ações sobre o mundo.

Desse modo, segundo o PCN de matemática, p.97, 1997, as atividades

de leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas devem tomar

como ponto de partida os números que a criança conhece. Esse trabalho pode ser

feito por meio de atividades em que, por exemplo, o professor:

• elabora, junto com os alunos, um repertório de situações em que usam números;

• pede aos alunos que recortem números em jornais e revistas e façam a leitura

deles (do jeito que sabem);

19

• elabora, com a classe, listas com números de linhas de ônibus da cidade, números

de telefones úteis, números de placas de carros, e solicita a leitura deles;

• orienta os alunos para que elaborem fichas onde cada um vai anotar os números

referentes a si próprio, tais como: idade, data de nascimento, número do calçado,

peso, altura, número de irmãos, número de amigos, etc.;

• trabalha diariamente com o calendário para identificar o dia do mês e registrar a

data;

• solicita aos alunos que façam aparecer, no visor de uma calculadora, números

escritos no quadro ou indicados oralmente;

• pede aos alunos que observem a numeração da rua onde moram, onde começa e

onde termina, e registrem o número de suas casas e de seus vizinhos;

• verifica como os alunos fazem contagens e como fazem a leitura de números com

dois ou mais dígitos e que hipóteses possuem acerca das escritas desses números.

O recurso à história da numeração e aos instrumentos como ábaco e

calculadoras pode contribuir para um trabalho interessante com os números e, em

especial, com o sistema de numeração.

4.1 A criança e o número natural:

Juliana tenta escrever vinte e um, número ditado por sua professora. “o dois é usado no vinte porque depois de um vem dois. O

17, 16 e 19 são com um, então o vinte é com dois”.

Juliana escreve errado o número 21, mas justifica, por comparação com

outros números, o uso do algarismo dois para escrever o vinte.

“O zero – ele que dá o mil. O um – se ele não for

companheiro do zero, não fica mil – fica um”

4.1.1 Atividades de contagem Da mesma forma que uma criança aprende a falar enquanto fala

(corretamente ou não), ela deve aprender a contar enquanto conta. Sempre que for

significativo para os alunos, contar (e pedir para que as crianças contem) alunos,

lápis, brinquedos, etc.

Se elas só contam até 10, introduzir contagens com 15 ou 20 elementos.

Não se deve esperar que o aluno tenha o conceito pronto para fazer contagens (isso

20

seria como pedir que uma criança só falasse quando já soubesse falar

corretamente).

4.1.2 Atividades estabelecendo relações entre coleções diferentes

Estas atividades - correspondência um a um entre os elementos de duas

coleções - conduzem à comparação de quantidades e preparam para o conceito de

igualdade e desigualdade entre números.

Por exemplo:

Distribuir para cada aluno 6 canetas e 6 tampas de caneta.

Perguntar: “Há mais canetas do que tampas?”

Observar as estratégias utilizadas pelos alunos para comparar, pois

algumas disposições espaciais podem causar dificuldades nos primeiros estágios.

Pedir que os alunos retirem e coloquem as tampas nas canetas. Em

seguida, repetir a pergunta.

Repetir este tipo de atividade, variando os materiais e as quantidades

envolvidas, sempre permitindo que os alunos desenvolvam suas próprias estratégias

de comparação. Você poderá usar também pires e xícaras, os próprios alunos e

suas carteiras, pedras pequenas e pedras grandes, etc.

Aos poucos, os alunos devem concluir que a quantidade de objetos é

independente da forma e do tamanho (por exemplo: podem existir menos pedras

grandes que pedras pequenas, embora, quando amontoadas, as pedras grandes

ocupem um volume maior do que as pequenas).

4.1.2 Atividades lúdicas

Explore o gosto das crianças por jogos e brincadeiras para criar situações

de aprendizagem.

Por exemplo: Jogo MAIOR LEVA

Para este jogo são utilizados

40 cartões, como ilustrado ao lado, que

apresentam a representação numérica e

pictórica dos números de 1 até 10

(podemos também usar as cartas de um

21

a dez de um baralho). Os cartões são divididos por duas crianças.

Cada criança abre um cartão de seu monte e os valores são comparados.

Quem tiver o maior valor, fica com os dois cartões. Em caso de empate, novos

cartões são abertos e o aluno que tiver o maior número nesta nova rodada ganha os

quatro cartões. Ao final do jogo, ganha quem tiver mais cartões.

Crie variações deste jogo, usando novos cartões com números e

representações pictóricas de cada valor para ampliar o limite numérico (até 20, por

exemplo).

4.2 O sistema de numeração decimal

Para a criança compreender esse processo de compreender como

representamos os números, há a necessidade de passar por várias etapas, a

primeira é para contar e representar, chamado agrupamento.

Formar grupos organiza o que deve ser contado, tornando mais fácil não

esquecer objetos e evitando que um mesmo objeto seja contado mais de uma vez.

A figura ao lado ilustra a importância desta estratégia.

Nosso sistema de numeração está baseado em uma estratégia de

agrupamento: juntamos dez unidades para formar uma dezena, dez dezenas para

formar uma centena, dez centenas para formar um milhar, e

assim por diante. Esse sistema é chamado decimal exatamente pela escolha de

agrupar de dez em dez.

O fato de que o mesmo símbolo pode representar quantidades diferentes

é uma grande vantagem de um sistema posicional. Utilizando apenas dez símbolos

(os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) somos capazes de representar qualquer

número natural.

O valor representado por um algarismo vai depender de sua posição na

representação, por isso, o sistema é chamado posicional. Para desenvolver um

sistema posicional, o algarismo para representar o zero (0) é de importância

fundamental.

Exemplo:

Examinando o sistema de numeração decimal, vemos que o significado

de um símbolo depende da posição que ele ocupa.

22

Observe o número trezentos

e cinquenta e quatro: 354.

O símbolo colocado mais à

direita da representação significa

quatro unidades ou quatro.

O algarismo 5, colocado

imediatamente à sua esquerda,

significa:

cinco dezenas, ou

cinco grupos de dez unidades cada ou ainda

cinquenta unidades

O próximo algarismo à esquerda do cinco é o 3, que significa:

três centenas ou

3 grupos de uma centena cada, ou

30 grupos de uma dezena cada, ou ainda

trezentas unidades

O quatro, o cinquenta e o trezentos somam trezentos e cinquenta e

quatro, e isto é o que o 354 representa.

Para escrever o número duzentos

e três, não poderia escrever 23, pois estaria

usando a mesma representação para duas

quantidades diferentes.

Esta é a representação que

usamos para o número vinte e três (isto é: dois grupos de uma dezena e mais três

unidades).

O número a seguir tem 2 centenas, ou 20 dezenas (não sobram outras

dezenas além daquelas que foram agrupadas em centenas) e tem ainda 3 unidades.

Precisa-se usar um símbolo para representar o “nada”, a ausência de

dezenas não agrupadas em centenas. Quando se escreve 203 acaba-se com

qualquer ambiguidade que pudesse existir entre a representação para duzentos e

três e a representação de vinte e três.

23

A figura ilustra como um material

concreto (no caso, o material dourado) pode

ajudar os alunos a compreender estas ideias.

Assim, além dos nove símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, foi precis-se acrescentar um símbolo

para “nada”, para o zero (0). E, com apenas

estes dez símbolos, qualquer número natural, por maior que seja, pode ser escrito

em nosso sistema decimal e posicional.

A compreensão do sistema de numeração, para o registro consciente de

quantidades maiores do que 10, faz parte da construção do conceito dos números. A

criança deve relacionar os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... 9 às quantidades que

representam, ser capaz de ordenar estas quantidades, observando que o sucessor

de um número tem sempre uma unidade a mais e compreender que estes mesmos

algarismos são utilizados para representar todos os números naturais.

Para isso, faz-se necessário um longo trabalho com material de contagem

(palitos, canudinhos, pedrinhas, chapinhas, fichas, elásticos, caixinhas de vários

tamanhos), com o qual ela possa fazer seus próprios agrupamentos e identificar os

diferentes valores que um algarismo pode ter, dependendo da posição que ele

ocupa em um número.

4.3 A ordenação dos números naturais

O trabalho com material concreto contribui para a descoberta de critérios

de comparação e ordenação de quantidades. Fazendo corresponder a cada

elemento de um grupo de objetos um elemento de outro grupo, o aluno se torna

capaz de ordenar as duas coleções pela quantidade de objetos, decidindo se em

uma delas há mais do que na outra, ou se ambas têm quantidades iguais.

Desta forma, os alunos darão significado a relações importantes:

“... há mais que ...”, “... há menos que ...”,

“... há tantos quanto ...”.

Por exemplo:

Dê uma certa quantidade de

lápis e outra de borrachas para uma

dupla de alunos e pergunte se há mais

24

lápis do que borrachas. A estratégia de emparelhar os objetos ajuda o aluno a

responder a esta pergunta.

Ao associar a quantidade de objetos de cada uma das coleções a um

número natural, o aluno estará construindo significado para a ordenação dos

números. Outras relações importantes podem ser construídas:

“qual vem antes de ...”,

“qual vem depois de ...”,

“qual vem imediatamente antes de ...”.

Também é importante explorar perguntas tais como: “quantos a mais”,

“quantos a menos”, etc. , que serão importantes para dar significado às operações

com números naturais.

4.4 A reta numérica

A representação dos números em uma reta é um recurso valioso em

Matemática. Experiências com este modelo podem se iniciar bem cedo, utilizando

recursos concretos, como barbantes, passos sobre uma linha desenhada no chão,

etc. Observe que a reta numérica ajuda

a visualizar a ordenação dos números

naturais.

Nas primeiras experiências, é

importante iniciar sempre do zero e os

alunos devem perceber que se deve usar espaços iguais entre as marcas que

representam intervalos iguais.

A reta numérica é um excelente apoio visual para as atividades de

ordenação de números naturais.

Por exemplo:

Pedir que os alunos marquem

na reta os números 4, 7 e 11.

4.5 Material Dourado

Um cubo pequeno, de 1 cm x 1cm x 1 cm, representa a

unidade.

25

uma barra, com 10 cubos unidos,

representa 1 dezena.

uma placa com 100 cubos unidos (ou 10 barras unidas)

representa a centena.

um cubo grande, com 1.000 cubos pequenos (ou

10 placas unidas ou 100 barras unidas) representa o milhar.

as crianças podem

também passar a representar este

material na forma de desenhos.

4.6 Quadro Valor de Lugar (QVL)

O Quadro Valor de Lugar (QVL), mostrado na

ilustração ao lado, é um recurso que reforça o significado da

representação posicional decimal.

Ao montar uma tabela na qual estão indicadas

claramente as ordens decimais (unidade, dezena, centena,

etc.) o aluno pode fazer e desfazer agrupamentos,

representar com desenho estes agrupamentos e dar

significado aos números escritos no sistema decimal de numeração.

O QVL deve acompanhar os alunos durante todo o aprendizado do

sistema decimal de numeração e dos algoritmos das operações com números

naturais. Ele ainda poderá voltar a ser utilizado quando este sistema for ampliado no

estudo de decimais, para incluir as ordens menores que a unidade (décimos,

centésimos, etc.).

Não se deve incentivar os alunos a não usar materiais concretos, tais

recursos serão úteis toda vez que for introduzida uma nova ordem decimal, ou

quando os alunos demonstrarem dificuldades na compreensão do valor posicional.

26

4.7 Ábaco

O ábaco é um dos mais antigos instrumentos de contar e efetuar

operações comuns da aritmética que se conhece. Ele traz em sua estrutura o valor

posicional, ou seja, cada conta ou pedra de seu tabuleiro representa um valor de

acordo com a sua posição nas hastes. A compreensão deste princípio posicional,

através do manuseio de um instrumento concreto, pode auxiliar o estudante a

entender melhor o sistema de numeração e suas técnicas operatórias.

O ábaco japonês, soroban, consiste em um modelo de ábaco mais

prático, pois é composto por apenas cinco contas

em cada haste, agilizando assim o cálculo.

Cada conta representa um valor

(unidade, dezena, centena...) de acordo com a

haste ocupada. Cada conta da haste superior vale

cinco e da inferior um. Por isso o seu uso foi mais

difundido ao longo do tempo e ainda hoje perdura em diversos ramos da sociedade

como educação, asilos, casas de repouso e sendo adaptado na inclusão de

deficientes visuais.

5. OPERAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS

5.1 Conceitos de adição e subtração

“A construção dos diferentes significados leva tempo

e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de

solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser

proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo

dos números e com o desenvolvimento do procedimentos de

cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada

tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os

alunos dispõem”.


27

A conceituação da operação de adição serve de base para boa parte de

aprendizagens futuras em Matemática. A criança deve passar por várias

experiências concretas envolvendo o conceito da adição para que ela possa

interiorizá-lo e transferi-lo para a aprendizagem do algoritmo, que vem a ser um

mecanismo de cálculo. A conceituação da operação de subtração deve ser feita

paralelamente, já que em atividades concretas a exploração dos dois tipos de

conceitos é muito natural.

Além disso, não podemos deixar escapar a oportunidade que o aluno tem

de ver, na prática, que a subtração e a adição são operações inversas. Por exemplo,

quando reúne objetos para desenvolver o significado da adição, a criança sente que

pode também separá-los. Assim, ela vê que se 4 + 2 = 6, vale também que 6 – 2 = 4.

Quando desenvolve o conceito de número, a criança verifica, por

exemplo, que pode arrumar cinco palitos como “quatro e um” ou “três e dois”. Tais

experiências devem ser enriquecidas, para que a criança possa registrá-las mais

tarde, em linguagem matemática como: 4 + 1 = 5 e 3 + 2 = 5.

A professora ou o professor terá de oferecer inúmeras oportunidades

concretas para que a criança comece a exprimir experiências em linguagem

matemática. Assim, quando ela escreve 4 + 3 = 7, esta ação deve refletir uma

experiência e não uma simples informação transmitida pela professora ou pelo

professor.

5.2 As ideias da adição

Muitas vezes, precisamos juntar quantidades. Outras vezes, precisamos

acrescentar uma quantidade à outra.

Juntar

Acrescentar

Somar

Ganhar

5.3 Algoritmo

Um algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução

de uma certa tarefa. Convivemos com vários tipos de algoritmos – alguns são muito

simples, como ligar uma televisão (basta achar o botão correto e pressioná-lo);

outros mais elaborados, como uma receita culinária (devemos organizar os

28

ingredientes e, em ordem, executar as etapas); há outros, ainda, que exigem um

bom tempo de treinamento até que nos sintamos seguros para poder executá-los

independentemente, como dirigir um automóvel.

Quando nos deparamos com um algoritmo em nosso cotidiano, é comum

precisar de ajuda nas primeiras tentativas de utilizá-lo. Além disso, se não

compreendermos o algoritmo, vamos acabar usando-o mecanicamente, sem

nenhuma autonomia, apenas seguindo instruções (pense, por exemplo, no

formulário da declaração do Imposto de Renda).

De forma similar, quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa

por dificuldades em inúmeras situações do dia-a-dia, que exigem autonomia de

decisões sobre “que cálculo fazer” e “como fazê-lo”.

Dentre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações

ocupam lugar de destaque. Explorando as vantagens do Sistema Decimal de

Numeração, eles foram idealizados para permitir a realização dos cálculos com

exatidão e com razoável velocidade.

5.4 O Algoritmo da Adição

A adição está presente nas experiências infantis desde muito cedo.

Envolve apenas uma situação, a de juntar ou acrescentar.

Primeira etapa, trabalha-se com atividades de juntar, pode-se utilizar

materiais concretos como chapinhas, palitos, botões, grãos e pedrinhas e uma folha

de papel para cada aluno, na qual estão desenhados três círculos de cores

diferentes (azul, vermelho e verde, por exemplo).

Pedir às crianças que coloquem 3 lápis no círculo vermelho e 2 no círculo

azul. Feito isto, pedir que juntem todos os lápis no círculo verde e pergunte: “quantos

lápis estão reunidos no círculo verde?”.

Explorar atividades lúdicas, como o “jogo de esconder”. Neste jogo,

distribua um certo número de objetos do mesmo tipo para cada dupla de alunos

(podem ser 9 no primeiro momento, e mais tarde uma quantidade maior). Dizer às

crianças que o jogo tem as seguintes regras:

a) um aluno apresenta ao seu colega uma certa quantidade de fichas (ou do objeto

que estiver sendo utilizando) arrumadas em dois grupos – as fichas não utilizadas

permanecem escondidas da vista do outro jogador.

29

b) Depois que o colega observar, junta as fichas e cobre-as com uma folha de papel.

c) O outro aluno que joga deve dizer o total de fichas que ficou embaixo da folha.

d) Em seguida, os dois alunos levantam a folha e conferem o resultado. Para cada

resultado correto será marcado um ponto para o jogador.

e) A turma faz 10 jogadas, revezando sempre o aluno jogador. Depois os pontos são

contados para se determinar o vencedor da partida.

A segunda etapa é a de acrescentar. Uma forma interessante de se

trabalhar é contar histórias, usando flanelogravuras.

Por exemplo: “Havia 5 patinhos no lago”. Peça que um aluno venha à

frente e prenda cinco patinhos no flanelógrafo, de forma que as outras crianças

acompanhem a tarefa. Continue contando: “Chegaram mais dois patinhos”. Outro

aluno deve fazer a ação de acrescentar os novos patinhos ao flanelógrafo. Pergunte

então, no final: “quantos patinhos estão agora no lago?”.

Ações de acrescentar são também bastante comuns em situações que

ocorrem no cotidiano da sala de aula. A professora ou o professor atento pode

registrar estas ocorrências e fazer perguntas.

Na terceira etapa devem ser utilizadas situações práticas que contribuam

para que o aluno construa os resultados das adições com todas as combinações

possíveis dos números naturais de zero a 9.

As operações apresentadas devem fazer parte de uma situação de classe

ou do cotidiano das crianças – colecionar materiais, organizar os livros do cantinho

da leitura, formar grupos com um certo número de participantes, contar pontos em

jogos, etc. Pode ser usada a seguinte sequência:

Parcelas até 4;

Parcelas até 6;

Parcelas iguais;

Somas já conhecidas e o total auxiliar 10;

Uso intuitivo da ropriedade associativa da adição, isto é, para encontrar o

resultado de 7 + 6, por exemplo, os alunos fazem primeiro 7 + 3 = 10 e depois

10 + 3 = 13, pois sabem que 6 = 3 +3; logo 7 + 6 = 7 + ( 3 + 3 ).

A criança só incorpora a ideia de comutatividade por volta dos 7 ou 8 anos.

5 + 3 é igual a 3 + 5

30

5.5 Jogos de adição

5.5.1 Dominó de adição:

A professora ou o professor pode

confeccionar o material em cartolina. Um

primeiro dominó pode incluir apenas os fatos

básicos de soma até 5, para as crianças se

familiarizarem com o jogo.

Um segundo dominó, que inclua

todas as somas até 9 terá muito mais peças e pode ser oferecido quando as

estratégias de jogo já não oferecerem qualquer dificuldade.

5.5.2 Adivinhe a carta escondida

Usar uma coleção de cartões com números e figuras (apenas cartões até

5, no primeiro momento, e até 10 em seguida) dividindo-a entre dois alunos – A e B.

Você pode também utilizar as cartas não figuradas de um baralho para esta

atividade. Em turnos, o aluno A abre um

cartão na mesa e olha a carta seguinte do

seu monte, sem mostrá-la a seu colega, o

aluno B. Então, A anuncia o resultado da

adição do valor das duas cartas – a que está

à vista e a que está virada para baixo - para

seu colega B que deve, então, descobrir o

valor da carta escondida.

Se A enunciar errado o resultado da adição que realizou (Por exemplo:

14, com os cartões acima), ele impediu, com seu erro, que B acertasse qual o cartão

escondido. Neste caso, ele perde os cartões para o colega B (que os guarda em um

monte separado).

Se A enunciar corretamente o resultado (no nosso exemplo: 15) podem

acontecer duas hipóteses: (a) B errar a resposta (por exemplo: achar que o cartão

escondido é 7). Neste caso, o colega A, que propôs a adivinhação, ganha os

cartões, ou (b) B descobre corretamente o valor do cartão escondido (no nosso

exemplo: 6). Neste caso, ele ganha os dois cartões.

Ganha o jogo o aluno que tiver conseguido mais cartões ao final do jogo.

31

A figura ao lado mostra a

utilização de materiais concretos e do QVL

para registro do algoritmo da adição.

A figura ao lado mostra o

material dourado e o QVL, usados de

forma integrada, para adicionar 87 a

161.

5.6 Material CUISENAIRE

O Material Cuisenaire tem mais de 50 anos de utilização em todo o

mundo.

Foi criado pelo professor belga Georges

Cuisenaire Hottelet (1891-1980) depois de ter observado

o desespero de um aluno, numa das suas aulas.

Decidiu criar um material que ajudasse no

ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então

cortou algumas réguas de madeira em 10 tamanhos

diferentes e pintou cada peça de uma cor tendo assim

surgido a Escala de Cuisenaire.

Durante 23 anos, Cuisenaire estudou e experimentou o material que

criara na aldeia belga de Thuin.

Só 23 anos depois da sua criação (a partir de um encontro com outro

professor – o egípcio Caleb Gattegno), é que o seu uso se difundiu com enorme

êxito. O egípcio, radicado na Inglaterra, passou a divulgar o trabalho de Cuisenaire –

a quem chamava de Senhor Barrinhas.

32

Levou apenas 13 anos para passar a ser conhecido nas escolas de quase

todo o mundo.

Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos

de prismas quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do

número 1 – em 10 cores diferentes e 10 alturas proporcionais.

COR NÚMERO

REPRESENTADO

Branco (ou cor de madeira) 1

Vermelho 2

Verde-claro 3

Rosa (ou lilás) 4

Amarelo 5

Verde-escuro 6

Preto 7

Castanho 8

Azul 9

Cor de laranja (ou cor de madeira 10

5.6.1 Atividades com material Cuisenaire.

1. Pintar da cor correspondente as barras que faltam pintar:

2. Pegar uma barra de cada cor.

3. Colocar na mesa essas barras pela ordem de tamanho, da menor até a maior.

4. Responder:

a. De que cor é a barra menor?

33

b. De que cor é a barra maior?

c. De que cor são as barras menores que a amarela?

d. Qual a barra imediatamente menor que a amarela?

e. Quais são as barras maiores que a preta?

f. Qual a barra que é imediatamente maior que a preta?

g. Qual a barra que está entre a verde-escuro e a castanha?

h. Quais são as barras que estão entre a amarela e a verde-escura?

i. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho

que a vermelha?

j. quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho

que a verde-clara?

k. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho

que a cor-de-rosa?

l. Quantas barras brancas são necessárias para formar uma barra do mesmo tamanho

que a amarela?

5. Considere a barra branca como unidade de medida (a barra branca vale 1).

a. Quanto vale a barra vermelha?

b. Quanto vale a barra amarela?

c. Quanto vale a barra castanha?

6. Representação de números a. Construir o número 7 com duas barras. Registrar.

34

b. Sem repetir as barras da mesma cor, de quantas maneiras diferentes

podemos representar o número 9. Represente-as na folha.

c. Formar o número 8, só com barras vermelhas e brancas.

7. O muro do pai do Afonso

a. O pai do Afonso quer construir um muro usando tijolos “Cuisenaire”. Escolha

um tijolo, para iniciar a construção, e construa com ele um muro da mesma

largura. Registrar o muro no quadriculado.

35

b. O pai do Afonso quer construir o muro ao lado. Quais as adições

representadas no muro?

8. Com o material Cuisenaire cobre a superfície ocupada pela girafa da figura.

5.2 Subtração

Assim como vimos na adição, é importante que sejam apresentadas à

criança situações em que ela possa agir sobre os objetos para realizar cálculos.

Portanto, quanto mais trabalhar concretamente com situações de subtração antes de

se preocupar com sua representação formal, maior possibilidade o aluno terá de

superar as dificuldades.

O uso de material de manipulação ajuda o aluno a lidar com ideias

associadas à subtração.

36

5.2.1 As ideias da subtração

A subtração pode significar, tirar uma quantidade de outra. Comparar

duas quantidades, verificando quanto uma tem a mais ou a menos do que a outra

e quanto faltam para elas se igualarem.

Tirar

Comparar

Restar

Quanto a mais?

Quanto a menos?

Qual a diferença?

Quanto falta?

5.2.3 Algoritmo da Subtração

O algoritmo da subtração tem finalidade similar ao da adição, ou seja,

sistematizar e facilitar o processo de cálculo. Ele deve ser apresentado quando as

crianças já dominarem, com certa segurança, os conceitos associados à subtração,

o sistema de numeração, os fatos básicos da subtração e o algoritmo da adição.

Os alunos precisam compreender que os

termos desta linguagem ajuda a conversar, comunicar e

defender os pensamentos e a forma de resolver

problemas e cálculos.

Ao iniciar o algoritmo da subtração, deve-se usar, como na adição,

materiais de contagem como palitos, grãos de milho, pedrinhas ou botões, etc. e o

QVL. Lembrar que, dentre as ações associadas à subtração, a mais natural para a

criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da

subtração usando esta ideia.

Para representar com material concreto a ideia de retirar, a criança deve

separar, de seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o

minuendo. A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que

corresponde ao subtraendo. A ação de retirar, da coleção de objetos que representa

o minuendo, uma quantidade correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido

quando trabalhar com apenas uma mesma coleção de objetos.

37

5.2.3 Subtração com QVL

Enuncie, oralmente, uma situação–problema

envolvendo a ação de retirar. Como exemplo vamos retirar

13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um

QVL, como na figura ao lado.

Pode-se construir em papel pardo, por exemplo, quadros com apenas

duas linhas para que os alunos, ou grupos de alunos, trabalhem

independentemente.

Dizer aos alunos:

\- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.

- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a

quantidade que você precisa tirar”.

- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha?”

- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou

de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!)”.

Mostrar às crianças que a quantidade de palitos da segunda linha

representa o que foi retirado (subtraendo), e que a quantidade que sobrou na

primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–13=12.

Trabalhar com material, propor diversas situações ajuda o aluno a

perceber a sequência de ações que compõe o algoritmo. A representação, no

caderno, dos passos realizados com material concreto também é importante para

que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o registro

formal do algoritmo.

Após a representação do minuendo:

- “Vamos representar este número no caderno?”

- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos”

Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo):

- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade

de palitos que foi retirada.”

38

E para finalizar:

- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e

anotar quantos palitos sobraram depois da retirada.”

5.3 Operações de multiplicação e divisão

Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são

fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso

não domine o conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar

os fatos básicos e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente.

A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança

ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre

qual operação realizar.

Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números

naturais desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da

Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais.

Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas

em experiências concretas, nas quais os alunos terão oportunidade de construir e,

com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. O educador deve proporcionar à

criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela

chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da

operação.

5.3.1 Multiplicação

Na maioria das escolas, a multiplicação é vista apenas sob o seu aspecto

de “adição de parcelas iguais”. É necessário que o professor tenha em mente que a

multiplicação é também uma ferramenta para resolver problemas de contagem e

oferece um dos primeiros contatos com a noção de proporcionalidade.

5.3.2 As ideias da multiplicação

A multiplicação tem a função de juntar quantidades iguais.

Adição de números iguais.

Determina o número total de elementos dispostos em forma retangular.

Fornece o número total de possibilidades.

39

Exemplos:

A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob dois enfoques:

a) como adição de parcelas iguais:

3 x 2 = 2 + 2 + 2

b) como raciocínio combinatório, no qual verificamos quantas possibilidades

existem de formar pares com duas coleções

Por exemplo:

- “Se um menino tem 2 calças e 3 camisas,

de quantas maneiras ele poderá se vestir?”

2 x 3 = 6

5.3.3 O algoritmo da multiplicação

Como na adição e na subtração, enfatizar que o algoritmo (às vezes

chamado de “conta em pé”) só precisa começar a ser utilizado para multiplicações

nas quais um dos fatores tem mais do que um algarismo. Multiplicações entre

números de apenas um algarismo são fatos básicos (tabuada) e o algoritmo não

ajuda a encontrar seu resultado.

1° estágio – Observar como se pode representar a

multiplicação de 36 por 4.

Fazer a seguinte arrumação na conta:

Perguntar aos alunos:

- “Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 4 por (30+6)?”

- “O que precisamos fazer com os resultados 24 e 120 para encontrar o resultado

desta multiplicação?”

O aluno deve concluir que é preciso somar estes dois resultados parciais,

recorrendo ao algoritmo da adição.

Com apoio de material concreto, ajudar os alunos a compreenderem que

multiplicar 6 unidades por 4 e 3 dezenas também por 4 e que, depois, juntando os

resultados encontrados (120 e 24) chegamos ao resultado, 144.

40

36

36 X 4

A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao

registro formal do algoritmo da multiplicação, escrevendo os resultados

parciais de forma conveniente para o uso do algoritmo da adição.

2° estágio – Incentive o cálculo mental

Nesse estágio, a criança já deve ter fixado todo o desenvolvimento do

processo para que possa efetuar mentalmente algumas operações.

Por exemplo:

Para multiplicar 32 por 6, efetue a operação com a criança, mostrando

que ao multiplicarmos o 6 por 2, escrevemos como resultado parcial

apenas as duas unidades, guardando mentalmente a dezena do produto

12. Explicar que esta dezena será adicionada às outras dezenas do

produto, quando multiplicar as 3 dezenas por 6.

3° estágio – Multiplicação por números de dois dígitos

calcular o produto de 43 por 27.

Iniciar por fazer o produto 7 x 43.

41

Fazer essa etapa com as crianças, mostrando que está multiplicando sete unidades

por 43 e que o processo é igual ao da etapa anterior.

Efetuar o produto das duas dezenas que será adicionado ao

produto das unidades. Enfatizar o valor do 2 no número 27, ou seja,

que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação,

multiplicar o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas, que devem

ser colocadas na ordem das dezenas.

Em seguida, mostrar que ao multiplicar as duas dezenas por 4 dezenas

acharemos 8 centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas. O

desenvolvimento deste algoritmo deve ser feito através de muitos e variados

exercícios.

5.4 Divisão

A divisão está relacionada à subtração. É uma subtração reiterada de

parcelas iguais, por isso apresenta questões semelhantes à operação de subtração.

A divisão está ligada a ideia de repartir igualmente e a ideia de medir. O

resto da divisão deve ser sempre menor que o divisor. Assim, a divisão no sentido

de repartir igualmente significa que se procura o maior número possível de

elementos em cada grupo fixado (o divisor); portanto, o total de elementos que

sobram (resto) deve ser menor que o total de grupos fixados.

No caso da divisão ligada à ideia de medir, pretende-se determinar a

maior quantidade possível de grupos, com uma quantidade prefixada de elementos

que sobram (resto) deve ser menor que a quantidade prefixada para formar um novo

grupo.

As crianças têm o hábito de repartir coisas entre si, e também de fazer

agrupamentos com a mesma quantidade de objetos. Em sala de aula, há

oportunidades para o aluno vivenciar a ideia de divisão quando é preciso entregar

uma folha de sulfite para cada um, arrumando a sala colocando 5 fileiras com a

mesma quantidade, e etc.

Desse modo, as situações ligadas a divisão estão presentes dia a dia do

aluno.

42

5.4.1 As ideias da divisão

Usar a divisão para repartir ou dividir em partes iguais determinadas

quantidades.

Quantos cada um terá?

Quantos podem ser formados?

Quantos cabem?

5.4.2 O algoritmo da divisão

O processo das subtrações sucessivas é uma opção para se efetuar a

divisão, e tem como ponto de partida a relação que existe entre a subtração e a

divisão. Pode ser apresentado através dos processos longo e abreviado.

Pelo processo das subtrações sucessivas, também fica fácil convencer o

aluno que o resto de uma divisão nunca pode ser igual ou maior que o divisor, pois,

caso contrário, ainda seria possível fazer mais uma subtração. A criança pode e

deve chegar, ela mesma, a essa conclusão.

6. TABUADA

Antes de começar o trabalho com a divisão em si, o aluno deve dedicar-

se à construção em questão, para que possa consultá-las quando necessitar. O

educando, ao construir a tabuada estará defronte com situações novas de

multiplicação e aplicando seus conhecimentos.

Quando têm o divisor maior que cinco, começam as dificuldades com a

tabuada que ainda não está consolidada para os alunos.

7. GEOMETRIA

Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino

de Geometria consiste em levar o aluno a perceber e valorizar

sua presença em elementos da natureza e em criações do

homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele

possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos,

casa de abelha, teia de aranha, ou formas em obras de arte,

43

esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos

em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.

As atividades geométricas podem contribuir também

para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual,

seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades

métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de

medida. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos

com dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos, ou pela

modelagem de formas em argila ou massa.

Construir maquetes e descrever o que nelas está

sendo representado é também uma atividade muito importante,

especialmente no sentido de dar ao professor uma visão do

domínio geométrico de seus alunos.

O uso de alguns softwares disponíveis também é

uma forma de levar o aluno a raciocinar geometricamente.


7.1 A importância do ensino da Geometria nos anos iniciais

Os sentidos atribuídos ao ensino da Geometria nos anos iniciais do

Ensino Fundamental, de um modo geral, estão vinculados a aplicação de fórmulas, a

desenhos (em preto e branco) de figuras geométricas e a exploração de teoremas,

constituindo-a como um conjunto de “verdades eternas” sem relações com a cultura

dos estudantes.

Cabe assinalar que a Geometria ensinada nas escolas se sustenta, de um

modo geral, na denominada “Geometria Euclidiana”, produzida pelo matemático

grego Euclides (em 300 a.C., aproximadamente), o qual buscava sistematizar o

saber geométrico através da enunciação de definições, postulados e axiomas para a

dedução de teoremas. Este sistema constitui-se, então, no modelo capaz de gerar

e classificar os saberes geométricos, os quais, uma vez “provados”, passam a ser

considerados como “verdadeiros” e inquestionáveis.

Também passa a agregar conhecimentos tidos como universais e

absolutos, como se pré-existissem às culturas dos professores e estudantes.

44

Outra característica marcante no ensino da Geometria, influenciada

também pelo sistema euclidiano, é a linearidade. Os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997), nesta direção, destacam que a concepção linear ainda

está muito presente nas práticas pedagógicas desta área ao privilegiar o trabalho

centrado na sequência: ponto, reta, linhas, figuras planas e, posteriormente, os

sólidos geométricos. Tal sequência se contrapõe, geralmente, às experiências

vivenciadas pelos estudantes na exploração do espaço em que vivem.

Desde cedo, as crianças manipulam muitos objetos geométricos (como

bolas, caixas, latas) e, posteriormente, centram sua atenção às figuras geométricas

planas, vértices e arestas que os compõem, mostrando o quanto a sequência

estipulada pela escola caminha na direção oposta à da vida.

Uma educação geométrica deve ser capaz de auxiliar os estudantes no

entendimento do ambiente que os cerca, aguçando sua percepção para examinar e

organizar o próprio espaço que habitam.

O educador deve ampliar e sistematizar os saberes para que a

percepção espacial, visual e tátil da criança se desenvolva, além contribuir para

uma melhor apreciação das construções e dos trabalhos artísticos, tanto dos seres

humanos quanto da natureza, para a aprendizagem de números e medidas,

estimulando a criança a observar, perceber semelhanças, diferenças e identificar

regularidades, assim como também observar que uma figura geométrica é

constituída por uma, duas ou três dimensões, identificando algumas propriedades e

estabelecendo classificações. A identificação de uma localização ou deslocamento,

a percepção de relações dos objetos no espaço com a utilização do vocabulário

correto são, também, noções importantes para essa fase de aprendizagem do aluno.

7.2 Atividades de Localização e Orientação

A figura abaixo ilustra uma possível organização de uma sala de aula vista de cima.

Janela Professora Porta

Na figura, queremos localizar

onde sentam alguns alunos, conhecendo

as seguintes informações:

45

• João é o que senta mais longe da professora;

• Ana senta em frente à mesa da professora;

• André e Felipe sentam-se lado a lado;

• Carlos senta-se longe de João e ao lado da janela;

• Maria senta-se próxima à porta;

• Joana senta-se à frente de João e bem próxima de Felipe;

• Júlia senta-se atrás do Carlos;

• Rosa e Pedro sentam-se em frente ao quadro, sendo que Rosa se senta mais

perto da professora do que Pedro;

Sabendo que Camila se senta ao lado de João, onde se senta Fabiane?

Nesta atividade, além de trabalhar as ideias de perto, longe, ao lado, em

frente e atrás, algumas informações envolveram a relação com dois referenciais,

como, por exemplo, quando se afirma que Carlos se senta longe de João e ao lado

da janela.

7.3 Representações com diferentes vistas.

Iniciar com duas embalagens dispostas

conforme a figura ao lado: no papel quadriculado,

representar as vistas de cima, de frente e lateral da

figura.

Fazendo uso das vistas, é

possível distinguir as figuras

geométricas planas das

figuras geométricas

espaciais.

Com o objetivo de desenvolver a capacidade de interpretar

representações gráficas e a habilidade para representá-las de diversas maneiras,

conservando sua proporção, faz-se importante que cada aluno desenhe a sua vista

da sala de aula.

46

7.4 Mudança de direção - ângulos

Na maquete foi explorado a importância da orientação para

movimentação e localização. Ao realizar deslocamentos, dobrando à direita ou à

esquerda, pode-se introduzir um importante conceito geométrico: ângulo.

Neste caso, ângulo é tratado como mudança de direção. Esta mudança

de direção, tendo como referência o próprio corpo, pode ser expressa em meia volta,

um terço de volta, um quarto de volta. A volta completa pode ser representada por

um disco de papel e, por dobraduras, pode-se representar a meia volta e um quarto

de volta.

Confeccione o disco de papel, dobrando-o em quatro, oito ou doze partes,

conforme a figura a seguir:

7.5 Trabalhando com as figuras geométricas

Nesta atividade utiliza-se diversas embalagens, que são modelos de

representações geométricas. Estas representações tridimensionais envolvem, na

sua estrutura, figuras planas (faces) que, na continuidade, serão abordadas.

Na confecção de maquete, surgem inúmeras formas geométricas

agregando relações entre superfície, espaço, linhas, contornos e cores, entre outras.

Todos estes elementos são possibilidades para o reconhecimento e representações

destas figuras.

É fazendo, construindo e inventando que se pode criar melhores

situações para visualizar e reconhecer as formas geométricas.

Uma possibilidade é promover atividades em que os alunos – de maneira

lúdica, prazerosa, crítica e criativa – tenham acesso à arte e sejam capazes de

identificar o uso das figuras geométricas em diferentes produções artísticas. Nesse

47

sentido, neste texto, há alguns elementos que servem de mediação para fazer,

construir, pensar e criar em Geometria.

7.6 Explorando figuras planas

As manifestações culturais e artísticas estão presentes em artesanatos,

tecelagens, tapeçarias, esculturas, construções e objetos do cotidiano. A influência

indígena sobre esse tipo de produção se manifesta de forma marcante na confecção

desses objetos.

As criações dos indígenas são frequentemente ornamentadas com

desenhos de figuras geométricas.

É na cultura dos povos de diversas regiões do nosso país que

buscaremos trabalhar de forma prazerosa, o reconhecimento de figuras

geométricas. Padrões repetidos ocorrem na natureza ou podem ser criados pelas

pessoas. Alguns são feitos como decoração ou estampas de tecidos, outros são

usados na confecção de cestos, por exemplo.

Em muitos casos tais padrões caracterizam- se pelo uso de simetrias,

paralelismos e polígonos regulares, entre outros conceitos geométricos.

Ao lado está um exemplo da

utilização de formas geométricas em cestos

confeccionados por índios Wayana-Apalay

do estado do Pará com desenho de Atãta

(lagarto de duas cabeças).

Da mesma forma que as figuras

geométricas se encontram nas

manifestações artísticas e culturais, estas também podem ser identificadas em

embalagens que fazem parte de nosso cotidiano.

Isso pôde ser constatado no momento da realização e da exploração da

maquete, ao fazer uso das

embalagens.

Para representar a

geometria com maquetes,

pode-se fazer uso dos polígono

ilustrados ao lado:

48

7.7 Polígonos

A palavra Polígono é oriunda do grego e significa: Polígono = Poli (muitos)

+ gono (ângulos).

Matematicamente é denominado polígonos como sendo uma superfície

plana limitada por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é

formada apenas por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras

fechadas. O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos.

7.7.1 Construindo o conceito de polígono.

1º momento - O professor constrói quatro ou cinco

geoplanos em uma base de madeira com redes

quadrangular de pregos, organiza as crianças em

pequenos grupos e cada grupo recebe um geoplano e

linhas coloridas para formar linhas fechadas, retas.

Cada imagem formada pelo grupo é desenhada.

Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão

os principais polígonos:

Triângulo

3 lados

Quadrilátero

4 lados

Pentágono

5 lados

Hexágono

6 lados

Heptágono

7 lados

Octógono

8 lados

Decágono

10 lados

49

Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:

um polígono com 9 ângulos → eneágono

um polígono com 11 ângulos → undecágono

um polígono com 15 ângulos → pentadecágono

um polígono com 20 ângulos → icoságono

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos

internos, ângulos externos e diagonais.

7.7.2 Polígonos no dia a dia e na natureza

É comum o uso de polígonos regulares no

cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexágono regular

nas colméias.

2. Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em

polígonos regulares (pentágonos e hexágonos regulares).

3. Na engenharia, algumas formações poligonais são utilizadas.

Por exemplo, na ponte Hercílio Luz (SC) pode-se ver a formação

de triângulos e quadriláteros, formados pelas barras de aço que

ligam as torres.

4. Na Calçada dos Gigantes – formação geológica de

basalto, localizada no litoral nordeste da Irlanda – torres

de rochas prismáticas foram erguidas no passado por

atividades vulcânicas.

http://www.infoescola.com/geometria/poligonos/

50

7.8Triângulos

Os triângulos podem ser classificados em:

Equilátero: possui todos os lados com tamanhos iguais.

Isósceles: possui somente dois lados com tamanhos iguais.

Escaleno: possui todos os lados com tamanhos diferentes.

7.9 Quadriláteros

Os quadriláteros são os polígonos que

possuem 4 lados, 4 vértice e 4 ângulos.

Os principais quadriláteros são: retângulo,

quadrado, losango, paralelogramo, trapézio.

Mais alguns polígonos:

Os desenhos geométricos estão presentes em diversos locais,

constituindo vários objetos. A Bandeira Nacional é o símbolo do Brasil, conhecido

em diversos locais pelo mundo. Se analisada geograficamente, notamos a presença

de alguns desenhos. Veja:

Bandeira do Brasil

É formada pela união das seguintes figuras:

1retângulo:verde

1losango:amarelo

1 circunferência: azul

51

Ao andarmos pela cidade observando os prédios, casas, monumentos,

comércios, entre outros, visualizamos

inúmeras formas geométricas, planas e

espaciais. Os arquitetos são os

responsáveis por utilizarem a

imaginação na elaboração de

construções geométricas.

Brasília é um exemplo de

cidade construída utilizando modelos e

formas geométricas. Uma cidade repleta de formas que chamam a atenção pela

beleza e ousadia das construções. Veja algumas imagens de Brasília e outras

cidades brasileiras:

Brasília: Catedral, Ponte JK, Palácio da Alvorada e

Congresso Nacional

São Paulo: Edifício Copan

Rio de Janeiro: Mirante Museu Contemporâneo

Goiânia: Centro Cultural Oscar Niemeyer

7.9.1 Classificação dos quadriláteros

Os quadriláteros classificam-se em: paralelogramos, trapézios e

quadriláteros quaisquer, também chamado de trapézios.

1-Paralelogramos -São quadrilátero de lados opostos paralelos. Os paralelogramos

classificam-se em retângulo, losango.

52

Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo

cujos lados são congruentes chama-se quadrado.

Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais.

2-Trapézios - Quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. Obs.: há

autores que definem trapézio como sendo o quadrilátero que tem pelo menos dois

lados paralelos.

Trapézio Retângulo-Trapézio que tem dois ângulos retos

Trapézio Isósceles-Trapézio que tem os lados não paralelos com a mesma

medida.

2- Quadrilátero qualquer ou Trapezóide -

Paralelogramos Trapézios

Quadriláteros

quaisquer

ou

Trapezóides

Retângulos

Trapézio

qualquer

Losango ou rombo

Trapézio

eqüilátero

53

7.10 Simetria

Simetria é a reflexo reproduzido como

em um espelho, ou pode-se dizer, duas figuras

iguais, de lado oposto ou não, como na figura ao

lado.

Na natureza também pode-se encontrar

exemplos de simetria como em uma borboleta.

Em azulejos, em

artesanatos, em obras de arte, entre outros.

Como identificar simetrias.

Pegue uma folha qualquer e desenhe um

quadrilátero, do tipo quadrado, retângulo, losango ou trapézio. Nesse quadrilátero,

verifique, por dobradura, quantos são os eixos de simetria.

Veja, por

exemplo, o que acontece

com o retângulo. Este

procedimento também

pode ser utilizado para os

outros quadriláteros.

Por meio desta construção, dê exemplo para:

a) quadrilátero que possua um eixo de simetria;

b) quadrilátero que possua dois eixos de simetria;

c) quadrilátero que possua quatro eixos de simetria.

As logomarcas também são exemplos de simetrias que poderão ser

utilizados em sala de aula.

54

7.11 Paralelismo

No nordeste e no norte do Brasil é comum encontrar esteiras de junco,

palha e fibras vegetais, usadas como tapetes ou telas de parede, peças feitas de

palha como cestarias, chapéus, bolsas, tampos de mesas, entre outras.

Nos trabalhos artesanais mostrados

a seguir, o conceito de paralelismo se faz

presente. Esse conceito é igualmente

importante quando se propõe a reconhecer

algumas figuras geométricas.

7.12 Geometria e Arte

A valorização e o estudo das trajetórias de artistas e artesãos nas

diversas regiões brasileiras é uma possibilidade de conhecimento da produção

artística e, quando inserida adequadamente no contexto escolar, pode ser

significativa na compreensão de outros conteúdos curriculares como, por exemplo,

conceitos geométricos.

A arte se manifesta de várias formas expressando sensações e

sentimentos de cada povo, registrando, com extrema criatividade e talento, a cultura

de cada região. Assim, a produção artística brasileira é diversificada, percebendo-se,

em suas representações, a realidade vivida pelo nosso povo em seus aspectos

culturais e regionais.

O Brasil é um país de artistas populares, principalmente em regiões ainda

não invadidas pela massificação dos meios de comunicação.

O desenho, a arquitetura, a escultura, as cestarias e as tecelagens são as

bases culturais de um país, cuja criatividade revela a autenticidade de seu povo.

Um exemplo disso é o escultor cearense Sérvulo

Esmeraldo (1929). Suas obras, como as apresentadas a

seguir, caracterizam formas

espaciais, com o uso de

dobraduras de planos.

Elas estão espalhadas

pela cidade de Fortaleza, no Ceará,

55

e mostram uma arte urbana possível de identificar a geometria, a simetria,

paralelismo.

7.13 Prismas para recortar e montar

56

8. GRANDEZAS E MEDIDAS

A comparação de grandezas de mesma natureza que dá origem à ideia

de medida é muito antiga. A medição tinha como referência as dimensões do corpo

humano, além de destacar aspectos curiosos como o fato de que, em determinadas

civilizações, as medidas do corpo do rei eram tomadas como padrão.

Para certas aplicações, foram utilizadas medidas que, com o tempo,

tornaram-se convencionais.

A velocidade, o tempo e a massa são exemplos de grandezas para as

quais foram convencionadas algumas medidas. Desse modo, é importante que os

alunos reconheçam as diferentes situações que os levam a lidar com grandezas

físicas, para que identifiquem que atributo será medido e o que significa a medida.

O aluno deve compreender que podem ser convencionadas medidas ou,

que podem ser utilizados sistemas convencionais para o cálculo de perímetros,

áreas, valores monetários e trocas de moedas e cédulas.

No mundo atual, o Sistema Internacional de

Unidades fundamenta-se a partir de unidades de base como:

para massa, o quilograma; para comprimento, o metro; para

tempo, o segundo; para temperatura, o kelvin; para intensidade

elétrica, o ampère, etc.

É no contexto das experiências intuitivas e informais

com a medição que o aluno constrói representações mentais

que lhe permitem, por exemplo, saber que comprimentos como

10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar numa

régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de

açúcar ou que 2 litros correspondem a uma garrafa de

refrigerante grande.


As atividades devem contemplar:

a. Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais

ou não.

57

b. Resolver os problemas significativos utilizando unidades de medida

padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.

c. Estabelecer as relações entre unidades de medida de tempo.

d. Estabelecer as relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da

duração de um evento ou acontecimento.

e. Num problema, estabelecer as trocas entre cédulas e moedas do sistema

monetário brasileiro, em função de seus valores.

f. Resolver os problemas envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas,

desenhadas em malhas quadriculadas.

8.1 Conteúdos

8.1.1 Padrões usados para avaliar grandezas físicas

São definidas arbitrariamente e têm como referência um padrão material.

As grandezas podem ser mecânicas, ópticas, geométricas, acústicas ou luminosas.

Medir significa comparar uma grandeza com uma unidade de referência

da mesma espécie e estabelecer o (inteiro ou fracionário) de vezes que a grandeza

contém a unidade.

Metrologia é a ciência que estuda, normatiza e codifica os conhecimentos

relativos a medidas, padrões e unidades de medir, métodos, técnicas e instrumentos

de medição. Estimar e avaliar grandezas diversas são capacidades e habilidades

desenvolvidas pela humanidade desde o início de sua evolução cultural.

Na pré-história, o homem apenas compara volumes e peso, sem medi-los.

Com o crescimento demográfico, o surgimento das cidades e dos sistemas de

trocas, são fixadas unidades que permitam uma comparação mais precisa entre

objetos.

8.1.2 Sistemas consuetudinários

Até o final do século XVIII, todos os sistemas de medidas existentes são

consuetudinários, ou seja, baseados nos costumes e nas tradições. Os primeiros

padrões utilizados para medir são partes do corpo humano – palma da mão,

polegada, braço ou uma passada – e utensílios de uso cotidiano, como cuias e

vasilhas.

http://www.coladaweb.com/



58

Com o tempo, cada civilização define padrões e fixa suas próprias

unidades de medidas. Daí a multiplicidade de sistemas de medição existente desde

a Antiguidade.

8.1.3 Primeiros sistemas

As diferentes civilizações começam a padronizar as unidades de medidas

já na Antiguidade. Antes disso, as medições não eram muito precisas. O côvado

egípcio, por exemplo, é uma medida de comprimento cujo padrão é a distância

entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, estando o braço e o antebraço dobrados

em ângulo reto e a mão esticada. A milha é a distância percorrida em uma

passada.

Com esses tipos de unidades, as medições podem dar resultados tão

variados quantas são as diferenças individuais do corpo humano. A padronização é

feita pela definição de unidades médias, fixadas através de padrões materiais

construídos em pedra, argila ou ligas metálicas.

8.1.4Principais grandezas

O Sistema Internacional de

Unidades (SI) é o mais aceito em todo o

mundo. No entanto, ainda são usadas

unidades tradicionais de origem

consuetudinária ou de sistemas

anteriores à elaboração do SI.

8.1.5 Comprimento

Metro (m)

Unidades de comprimento tradicionais:

Quilômetro (km): 1.000 m,

palmo: 22 cm;

braça: 2,2m;

légua: 6 km;

légua brasileira: 6,6 km.

59

8.1.6 Área

Metro quadrado (m²), unidade SI: área de um quadrado com lado igual a

um metro.

Unidades de área tradicionais:

quilômetro quadrado (km²):

1.000.000 m²;

hectare (ha): 10.000 m²;

alqueire mineiro: 48.400 m²;

alqueire paulista: 24.200 m².

Unidades de área inglesas:

polegada quadrada: 6,4516 cm²

ou 0,00064516 m²;

pé quadrado: 929,03 cm² ou

0,092903 m².

8.1.7 Volume

Metro cúbico (m³), unidade SI: cubo com arestas iguais a um metro.

Unidade de volume tradicional:

Litro (l): 0,001 m³.

8.1.8 Massa

Quilograma (kg), unidade SI: massa do protótipo internacional do

quilograma, um padrão construído com uma liga de platina e irídio.

Unidades de massa tradicionais:

quilate: 0,2 g ou 0,002 kg;

tonelada métrica (t): 1.000 kg.

Unidades de massa inglesas:

libra ou pound (lb): 453,59 g ou

0,453 kg;

tonelada inglesa: 1.016 kg;

tonelada norte-americana: 907

kg;

onça (oz): 28,35 g ou 0,028 kg;

onça troy: 31,10 g ou 0,031 kg.

8.1.9 Tempo

Segundo (s), unidade SI: tempo correspondente a 9.192. 631.770 ciclos

de radiações emitidas entre dois níveis de energia do átomo de césio 133.

60

Unidades de tempo tradicionais:

minuto (min): 60s;

hora (h): 60min ou 3.600s;

dia (d): 24h ou 1.440min ou 86.

400s;

ano sideral: 365d 6h 9min 9,5s;

ano trópico: 365d 5h 48min

45,8s.

8.1.10 Informática

Bit: menor unidade de armazenamento de informações em computadores e

sistemas informatizados.

Byte: é a unidade básica de memória de computadores, igual a 8 bits

contíguos.

Kilobit (kbit): 1.024 bits de informação. Kilobyte (kbyte): 1.024 bytes.

Megabytes: 1.048.576 bytes.

8.2 Introdução para as atividades de grandezas e medidas.

O que você já mediu hoje?

Muitas atividades cotidianas das crianças envolvem medidas, como por

exemplo, observar os tamanhos dos objetos, pesos, volumes, temperaturas

diferentes e outras. Os pais, professores, adultos em geral ou mesmo crianças mais

velhas, são as pessoas que demarcam essas diferenças para os menores: maior

que, menor que, mais longe, mais perto, mais quente, mais frio, etc.

A partir dessas práticas adquiridas da convivência social das crianças,

deve a professora ou o professor propor situações-problema, visando à ampliação,

ao aprofundamento de seus conhecimentos e à construção de novos significados.

Um exemplo simples é a preparação de um alimento.

Essa atividade possibilita um importante trabalho, envolvendo diferentes

unidades de medida, como o tempo de cozimento e a quantidade dos ingredientes:

litro, quilograma, colher, xícara, pitada, etc.

Assim, ao longo do Ensino Fundamental, as atividades propostas devem

propiciar a compreensão do processo de medição.

Medir significa comparar grandezas de mesma natureza. No processo de

medição, alguns aspectos devem ser levados em conta:

61

é necessário escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o

objeto que se deseja medir e contar o número de unidades que foram

utilizadas;

a unidade escolhida arbitrariamente deve ser da mesma natureza do atributo

que se deseja medir, e deve-se levar em conta o tamanho do objeto a ser

medido e a precisão que se pretende alcançar nessa medição;

quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que a

utilizamos para medir um objeto.

Assim, por exemplo: pode-se pedir para os alunos medirem as grandezas

comprimento e largura do tampo de suas carteiras, usando algum objeto como

unidade. Eles poderão escolher uma régua, uma borracha ou um lápis. Os

resultados encontrados serão diferentes, em razão da diferença dos objetos

escolhidos como unidade de medida. Essa constatação deve ser amplamente

discutida com as crianças.

Se pedirmos às crianças para medirem o comprimento e a largura de sua

sala de aula, provavelmente escolherão outras unidades de medida diferentes das

anteriores. Elas poderão medir com os seus pés, com os seus passos ou com uma

barra de madeira maior.

Com certeza, essas unidades de medidas são mais adequadas para essa

medição do que as do exemplo anterior. Quando as crianças usam unidades de

medidas como passo, palmo etc., é fundamental discutirmos com elas que, como

pessoas têm tamanhos diferentes, encontramos números diferentes para expressar

a mesma medida.

Portanto, perguntas do tipo:

Qual número encontrado pelos alunos nessa medição? é o mais correto?,

é respondida da seguinte forma: todos os resultados são igualmente corretos, pois

eles expressam medidas realizadas com unidades diferentes.

Embora possamos medir qualquer objeto usando padrões não-

convencionais de medida, como os pés, o passo, a borracha, etc., deve-se discutir

com as crianças a importância e a adequação de adotar-se em certas situações

unidades-padrão de medida, que constituem sistemas convencionais de medida e

facilitam a comunicação entre as pessoas.

62

Entre as grandezas, o tempo pode somente ser marcado. Para isto

utiliza-se pontos de referência e o encadeamento de várias relações, do tipo: dia e

noite, manhã, tarde e noite, passado e futuro, antes, agora e depois, os dias da

semana, o ano, e outros.

Atividades usando os calendários para localizar e marcar as datas de

aniversários das crianças, o tempo que falta para alguma festa e o seu próprio dia,

agendar a data de um passeio, localizar as fases da lua, como também a

observação das suas características e regularidades (sete dias por semana, a

quantidade de dias em cada mês etc.) propiciam a estruturação do pensamento das

crianças das primeiras séries do Ensino Fundamental.

Como o tempo, pode-se somente marcar a

temperatura. Pode-se marcar e ordenar a temperatura

segundo uma escala numérica, tomando por base um

valor estável como ponto de referência, que no caso da

temperatura é a temperatura do gelo derretendo. Sempre

que for preciso saber com precisão qual é a temperatura,

recorremos ao termômetro que é um instrumento de

marcação.

Uma das grandezas com que as crianças têm contato logo cedo é o

dinheiro. Essa grandeza relaciona os números e medidas, incentiva a contagem, o

cálculo mental e o cálculo estimativo. O uso de cédulas e moedas, verdadeiras ou

imitações, constitui-se em um material didático-pedagógico muito farto. Além de

propiciar atividades didáticas do tipo fazer trocas,

comparar valores, fazer operações, resolver

problemas, trabalhar com os números naturais e os

números decimais, pode-se explorar o valor que o

dinheiro representa em relação aos objetos e ao

trabalho, iniciando a abordagem do tema transversal

Trabalho e Consumo.

63

09. FRAÇÕES

A prática mais comum para explorar o conceito de

fração é a que recorre a situações em que está implícita a

relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um

chocolate, ou de uma pizza, em partes iguais.

A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando

um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de

superfície ou de elementos). A fração indica a relação que

existe entre um número de partes e o total de partes.


Para uma preparação ao estudo de frações, pode-se realizar atividade

lúdica com o Tangran, um quebra-cabeça chinês muito antigo composto de sete

peças, além da criatividade, com ele se explora o pensamento lógico na composição

e transformação de figuras.

Com as sete peças se pode formar uma variedade de figuras, além das

formas geométricas.

09.1 Construção de um Tangran

Utilizando alguns conceitos geométricos, o jogo pode ser facilmente

construído em papel, conforme os seguintes passos.

1- Construir um quadrado de 16cm de lado – figura 1.

2- Traçar uma das diagonais do quadrado (unir dois vértices não consecutivos) e o

segmento de reta que une os pontos médios de dois lados. – figura 2.

3- Traçar a outra diagonal até encontrar o segundo segmento de reta traçado –

figura 3.

64

4- Repartir a primeira diagonal em quatro partes iguais – figura 4.

5- Traçar o segmento de reta que se mostra na figura 5.

6- Traçar outro segmento de reta conforme a figura 6.

Recortar as peças (que podem ser coloridas) e, com elas, realizar as

atividades que seguem: Com as sete peças do

Tangran e usando a sua criatividade, procure

representar uma casa, um barco e uma pessoa,

desenhando as figuras.

Observe que é possível, por

superposição, construir a peça quadrada com os

dois triângulos pequenos.

Usando a superposição, procure obter

outras possibilidades de equivalência entre as peças do quebra-cabeças.

Identifique as peças do Tangran conforme a representação a seguir e

responda:

Quais são as maiores peças?

Quais são as menores peças?

Quantas vezes a peça A cabe no Tangran?

Que parte do Tangran corresponde à peça A?

Quantas vezes a peça G cabe na peça A?

Que parte da peça A é a peça G?

Quantas vezes a peça E cabe na peça G?

09.2 Introdução a frações

O tema das frações costuma apresentar uma dificuldade maior, do ponto

de vista do conteúdo, do que os outros temas.

65

No cotidiano das crianças (e mesmo nosso cotidiano) o que aparece de

frações é, em geral, coisa muito simples, como “meia xícara de leite” e “meia dúzia

de ovos”, porém, uso de frações está também em como comparar razões, fazer

estimativas e compreender situações simples envolvendo frações, que não

requerem técnicas complicadas.

Há duas ideias centrais, frações unitárias e as frações equivalentes.

As frações aparecem quando as pessoas querem regitrar partes de

coisas, ao invés de contá-las.

Por exemplo, o vaqueiro, conta seu gado quando sai para o campo, para

que, na volta, possa saber se todos os bois e vacas estão ali, mas se temos uma

melancia e vamos dividi-la entre seis pessoas, para indicar que quantidade cada

uma vai comer dizemos “1/6 de uma melancia”, que se lê “um sexta”. Estamos

indicando que a melancia foi dividida em seis partes – 6 é o denominador -, e cada

pessoa vai receber uma dessas partes – 1 é o numerador.

A palavra fração está relacionada com a palavra fratura, que quer dizer

quebra, e com isso pode-se pensar que frações representam quantidades que

correspondem a pedaços de coisas.

Bilhetes de loterias são vendidos em frações, quer dizer, ao invés de

comprar o bilhete inteiro, é possível comprar apenas uma ou mais partes dele.

As frações surgiram muito antes dos números decimais, como forma de

representar quantidades não inteiras, provavelmente pela inspiração de se

representar partes.

Aos poucos a ideia de fração foi se ampliando e outros significados foram

criados.

No Egito antigo, apenas as frações unitárias(aquelas que tem numerador

1) eram usadas. Muito raramente usavam 2/3 e, mais raramente ainda, ¾. Para

escrever outras frações, eles usavam somas de frações unitárias.

5/6 = 1/2 + 1/3

09.3 Como ler frações

Prestar atenção nas palavras pode ajudar a lembrar a que elas se

referem, principalmente quando se fala em frações.

66

A palavra “denominar” quer dizer “indicar nome de”, e, de fato, o

denominador de uma fração indica o seu “nome”, que “tipo” de partes são, se são

sextos ou terços, quintos ou décimos, etc.

Já o numerador , indica o número que se toma deste tipo de partes. É

como se, ao escrever a fração 1/6, estivesse querendo dizer uma parte do tipo

sexto. Para ler uma fração, fala-se o numerador e depois o denominador, mas por

tradição, ao invéz de dizer, “Um seis”, para a fração 1/6, fala-se “um sexto”.

Os denominadores de 2 a 10 são lidos assim:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono Décimo

As palavras usadas para ler denominadores de fração de 4 a 10, são as

mesmas que se usa para indicar posição, por exemplo em uma fila.

Se o denominador, é um, pode-se dizer “inteiros”: 4/1 pode ser lido

“Quatro inteiros”. Para denominadores maiores que 10, usa-se a palavra “avos”: 1/12

é lida “um doze avos”.

Esta palavra aparece quando trata-se de dinheiro, porque é ela que

aparece em “centavos”, que é uma abreviação de “cem avos”. Quando se diz 15

centavos, está se referindo a 15/100, já que um centavo é o mesmo que um

centésimo de real. Mas, ao ler frações, com o denominador 100, 1000 e assim por

diante, é comm dizer “centésimo” (ao invés de cem avos), milésimo ( ao invés de mil

avos, e assim por diante.

As frações com denominador 100, 1000, etc, as chamadas potência de

10, tem uma relação direta com os numeros da dorma decimal, os números com

virgulas. É inportante enfatizar essa relação, apresentar como fração decimal e

como número decimal, o que estimula um pesnamento mais flexível nos alunos.

Como exemplo 65%, mostrar aos alunos que isto poderia se representado

também como 0.65 ou como 65/100. Cada uma dessas representações facilita

certos modos de pensar e operar sobre ela, reconhecer sua equivalência permite

que os alunos passem de uma a outra quando estão resolvendo problemas ou

tentando entender sitauções ou textos, e esta é uma característica importante das

pessoas que pensam de forma autônoma.

67

Um outro modo de se ler frações, bastante simples, mas que não é o

“oficial”, é simplesmente ler o numerador e denominador, colocando entre eles a

palavra “sobre”, 2/3 pode ser lida “2 sobre 3”.

Voltando ao que querem dizer as palavras numerador e denominador,

pode-se perceber uma semelhança das frações com as medidas.

Quando disser que o comprimento de uma mesa é dois metros, estará

indicando o “quanto” (dois) e o de que “tipo” (metro). Se mudar o “tipo” para

centímetro, o “quanto” teria que mudar para 200 para a medida ficar certa, já que 2

m = 200 cm.

Assim, uma das formas de se entender o que é uma fração, é que elas

são o resultado de se medir alguma coisa, usando como referência uma parte da

unidade.

Exemplo: Muitos livros didáticos introduzem as

crianças às frações, usando bolos e tortas. A figura ao lado

indica a parte da torta que as pessoas comeram e o

restante.

Pela figura, temos a impressão de que a torta

havia sido cortada em oito fatias. Pode-se então, escolher 1/8 de torta como unidade

de medida. Quantas vezes esta unidade cabe na parte que foi comida?

A resposta é seis vezes. Por isto, o número correspondente à parte

comida é 6/8, são seis partes de oito partes.

Relacionar facões com medidas é importante porque ajuda a criança a

perceber frações como um número, e não apenas como um símbolo que junta dois

números.

Exemplo:

“Uma família pediu dois bolos de mesmo tamanho, ambos cortados em 8 fatias

iguais. Do primeiro comeram 5 fatias, e do segundo comeram 6 fatias. Que fração

corresponde ao total de bolo que foi comido?”

68

Para dar essa resposta a criança deve ver a fração como unidade de

medida, 1/8, um parte de um bolo, a criança comeu então 11/8

09.4 Para que servem as frações?

As frações que aparecem no dia a dia são, quase sempre, muito simples.

Medidas de canos e ferramentas às vezes são dadas em polegadas: cano de meia

polegada, chave de boca de um quarto de polegadas. Em receitas encontra-se meia

xícara de óleo, meio litro de leite, meio quilo de camarão seco. Pode-se encontrar

três quartos de xícara de leite de coco e um terço de xícara de azeite de dendê, mas

o que certamente não se encontra, é uma receita que diga 3/11 de quilo de feijão.

O desenho ao lado é

apenas ilustrativo da posição

relativa das frações, e não está

em escala.

O mais comum quando se quer registrar uma medida “quebrada” (que

não deu um número inteiro) é usar números na forma decimal, mas as frações são

úteis em vários tipos de situações, especialmente por causa dos vários significados

que se pode produzir para ela, das várias maneiras de pensar sobre ela. Isto dá mais

flexibilidade ao pensamento numérico.

Quando os alunos perguntam para que servem as frações, não é fácil

encontrar “grandes” usos no dia a dia que justifiquem todo o trabalho que se faz com

elas na escola. E a maioria das “aplicações” de frações que encontra-se nos livros

didáticos é bastante artificial.

Por exemplo, qual criança ou adulto diria, em casa: “meio quilômetro” faz

sentido no dia a dia, mas dizer “três quintos de quilômetro”, não. Neste caso

diríamos “600 metros”, ou aproximaríamos para “meio quilômetro”.

Mas em situações envolvendo, por exemplo, razões as frações são muito

úteis quando se lida com mapas.

Um outro exemplo de uso de frações são as porcentagens, como analisar

a inflação, juros e dados sobre populações. Quando se diz que “os juros são de 2%”,

indica que para cada 100 reais emprestados, paga-se 2 reais de juros.

69

Em um empréstimo de 200 reais, os juros serão de 4 reais (por mês), e

um empréstimo de 150 reais, os juros serão de 3 reais. Em cada caso, os juros

correspondem a do total emprestado, e daí a expressão “porcento - % “ .

Há alguns usos curiosos - por suas origens - de frações na linguagem

cotidiana. Por exemplo, existem as “meias três quartos”, chamadas assim porque

cobrem aproximadamente três quartos da parte inferior, entre o pé e o joelho, e a

carne de vaca é às vezes negociada em quartos, o “quarto de boi”, que é um boi

inteiro dividido em quatro partes.

As pessoas que professam a religião católica rezam o terço, assim

chamado porque corresponde a um terço de um rosário. O rosário é um colar com

165 contas, que se usa para não perder a conta das rezas; ele corresponde a 15

dezenas de ave-marias e 15 padre-nossos. Assim, o terço é um colar que

corresponde a 5 dezenas de ave-marias e 5 padre-nossos.

O uso mais curioso é o que está na expressão “vá para os quintos!”. Muito

antigamente, os colonizadores portugueses cobravam um imposto sobre todo o ouro

extraído no Brasil, correspondendo a um quinto do ouro, e este imposto era

mandado para Portugal em navios chamados, naturalmente, “o navio dos quintos”.

Daí veio a expressão, que quer dizer “vá para longe”!

09.5 As frações nas séries iniciais

Há três maneiras de se entender o que seja uma fração:

a. resultado de uma medida;

b. relação entre todo e partes;

c. indicam uma razão.

As situações mais próprias para se trabalhar nas séries iniciais são muito

simples, e envolvem frações também simples, como , Além disso, no cotidiano é

pouco comum termos que somar, subtrair, multiplicar ou dividir com frações, porém,

saber estimar, visualmente, que fração de um todo estamos pegando (por exemplo,

se numa xícara tem mais ou menos da metade), é uma habilidade bastante útil.

Exemplo de uma situação real:

70

Uma situação real, na qual a habilidade de aproximar com frações

simples é útil, é quando se está viajando. Se soubermos que a viagem toda tem

300km, e que já viajamos 110km, podemos dizer que, aproximadamente, viajamos

um terço, e que, portanto, faltam dois terços da viagem. Com esta informação

podemos estimar facilmente quanto tempo mais temos que viajar (neste caso, o

dobro do tempo que já viajamos) ou, olhando para o marcador de gasolina, estimar

se vai ser preciso parar no posto ou não.

Na compreensão de gráficos, na preparação de misturas de tintas e em

muitas outras situações, esta habilidade é útil no cotidiano, e as séries iniciais são

um ótimo tempo para ajudar nossos alunos a desenvolverem-na.

Já as contas com frações não precisam receber tanta ênfase. Podemos

trabalhar com as técnicas operatórias e suas explicações, mas não precisamos ficar

trabalhando com contas que envolvam números grandes e frações que são difíceis

de “visualizar”, como, se tivermos uma situação em que esta fração aparece, pode

ser melhor aproximá-la usando a fração. De todo modo, é melhor trabalhar a

compreensão das técnicas do que sobrecarregar as crianças com contas que não

fazem sentido para elas, quer dizer, que envolvem frações para as quais elas não

têm uma “intuição”.

É melhor concentrar o trabalho com frações, nas séries iniciais, em:

1) frações simples;

2) aproximar outras frações usando frações simples;

3) as ideias básicas sobre operações com frações;

4) as técnicas básicas de operações com frações, usando, de preferência,

frações simples.

71

10. CONTEXTUALIZAÇÃO DOS PROBLEMAS CONVENCIONAIS

APRESENTADOS NOS LIVROS DIDÁTICOS:

Os estudiosos na área de Educação de Matemática, diz que a resolução

de problemas é um caminho metodológico para ensinar esta disciplina; onde o

aluno vai combinar, na estrutura cognitiva, os conceitos, princípios, procedimentos,

técnicas, habilidades e conhecimentos previamente adquiridos.

Essa resolução de problemas constitui-se em uma capacidade

matemática transversal que precisa ser estimulada e ensinada desde os primeiros

anos de escolarização, desde a compreensão do problema até a revisão da solução

encontrada.

É constituída de quatro características básicas, a primeira é a cognitiva

onde se refere a uma atividade mental superior que envolve diferentes conceitos e

princípios; a segunda é processual, por abranger um encadeamento de ações e de

procedimentos; é dirigida porque se tem um fim, uma resposta a alcançar e é

pessoal porque os conhecimentos prévios dos alunos contribuem de maneira

significativa para sua solução.

O ensino de matemática necessita de mudanças na concepção de ensino

e de aprendizagem. O aluno precisa aprender a investigar, participar e ter

autonomia, a aprendizagem deve ser pautada na compreensão e na estrutura do

problema, a linguagem dos enunciados e as relações lógicas presentes.

Além da compreensão, temos outras etapas como a elaboração e execução

de procedimentos de solução, sua validação e checagem, o que implica avaliação do

procedimento escolhido para o alcance da resposta.

Faz-se necessário que os professores se integrem no processo formativo na

resolução dos problemas e para tal exige mudança de concepções acerca da formação

matemática, e na elaboração dos enunciados, estes precisam ser claros, coesos e

contextualizados às capacidades cognitivas das crianças.

A resolução de problemas constitui-se num campo da matemática com

grande importância da linguagem escrita, entendendo-a tanto como um instrumento que

possibilita a atribuição de significados e, deste modo, a apreensão de conceitos, quanto

como uma ferramenta alternativa de diálogo, na qual o processo de avaliação e reflexão

sobre a aprendizagem é continuamente mobilizado.

72

10.1 Discutindo a contextualização

A contextualização é outro aspecto importante na discussão dos

enunciados, visto que haja significado para os alunos.

Entende-se por contexto uma situação que faz parte de um todo, a qual

só apresenta significado quando está em contato com este mesmo todo. Assim,

contextualizar é apresentar situações que possibilitem aos seus interlocutores sentido,

sendo uma alternativa que pode auxiliar a aprendizagem significava dos discentes.

Ao dar significados as situações matemáticas, contextualizando-as, pode-se

potencializar a construção de conhecimentos dos conteúdos matemáticos, quer seja

atitudinal, conceitual e/ou procedimental.

Para que uma situação seja identificada como uma situação de

aprendizagem escolar, os profissionais de educação devem atentar para alguns fatos

relevantes como: conhecer seus alunos; conhecer seus conhecimentos prévios; planejar

as situações-problema com criatividade, de modo desafiador, com ações motivantes,

quer seja real ou fictícia, podendo usar doses de humor para instigar os discentes;

buscar desenvolver atitudes autônomas nos estudantes e que favoreçam a troca de

experiências em sala de aula.

O ensino de Matemática não pode ser reduzido a um conjunto de

procedimentos mecânicos e repetitivos. Os alunos devem aprender a realizar

hipóteses e maneiras de construir diversos caminhos para chegar aos resultados, o

importante é que durante a construção do conhecimento haja registros, discussões

e explicações sobre os caminhos encontrados.

Outras atividades que aproximam os conteúdos da Matemática dessa

vida são o cálculo mental e as estimativas.

Calculo mental é a atividade em que são desenvolvidos caminhos

próprios para chegar ao resultado de uma operação. A garotada pode fazer

estimativas, decompor, arredondar e aproximar números. A escolha entre a

calculadora e o algoritmo deve ser intencional.

Muitos dos problemas em que se usa a estimativa são vinculados a

questões do dia a dia. Por exemplo: quanto tempo se leva para chegar a algum lugar

ou quanta gasolina é necessária. No que se refere ao cálculo mental, tanto o exato

quanto o de resultado aproximado, a memória é uma ferramenta importante.

73

Deve ser proposto em sequências didáticas específicas, atividades de

sistematização e como trabalho permanente, vinculado aos conteúdos vistos em

sala. Com isso a criança aprende a construir estratégias pessoais de cálculo e a se

decidir, em várias situações, pela mais eficaz. Ela adquire ainda hábitos de reflexão

sobre os cálculos e dispõe de meios permanentes de aproximação e controle sobre

o que obtém usando técnicas como o algoritmo. Ao estimar resultados, consegue

fazer a autocorreção: se a resposta fica muito distante da estimativa, algo está

errado.

11. HABILIDADES OPERATÓRIAS A SEREM DESENVOLVIDAS NO PROCESSO

DA MATEMÁTICA.

OBSERVAR: é a habilidade de perceber a realidade. É entender um objeto,

identificando conforme seu valor conceitual.

Perceber as pessoas a sua volta identificando características pessoais, etc.

O professor para ajudar nesta habilidade deve:

oferecer condições das crianças manipular diferentes objetos, de maneira

que, olhe, toque, identifique a temperatura, a forma geométrica, etc.

CONHECER: diz respeito ao conhecimento de algo ou alguma coisa, de si mesmo e

do outro. É capaz de identificar, reconhecer, distinguir, avaliar.


ministrar aulas com atividades em que as crianças definam o que desejam

saber sobre determinados objetos, etc.;

dar determinadas informações sobre assuntos que não poderiam aprender

sozinhas;

permitir espaços para auto avaliação que julgam suas dificuldades e seus

progressos;

COMPREENDER: é uma habilidade que se opõe a memorização de um

conhecimento associado a outros que já possui e leva consigo por toda vida.


74

permitir que a criança utilize diversas linguagens durante o processo de

ensino aprendizagem.

COMPARAR: é a habilidade de examinar dois ou mais objetos de conhecimento,

relacionando entre si semelhanças e diferenças.


criar situações para que a criança fale o que entendeu.

RELATAR: é a habilidade de relatar fatos, vivências, descobertas.


deixar que a criança relate o que observou.

narrar como foi o desenvolvimento de algo (recontar histórias).

CLASSIFICAR: consiste em reunir em classes, determinar grupos, a ordenar os

objetos. Aproximar ou distinguir algo com base em semelhanças e diferenças.


propor atividades com materiais concretos exemplo: tampinhas coloridas de

diversos, blocos lógicos etc., em que a criança precisa classificar utilizando-se

de critérios pessoais.

as crianças possam criar associações entre os números e quantidades que

representam.

APLICAR: implica na influência de uma atividade sobre outra, subseqüente, ou seja,

aplicar um conhecimento obtido em outras situações, ou usar um conhecimento para

esclarecer outro.

Essa operação mental que requer ''transferência'' é considerada uma das mais

importantes habilidades operatórias estimuladas da inteligência.

O professor pode propor situações em que a criança possa explorar o caminho para

a escola, que ela já conhece, para que ela possa construir noções de relevo.

SERIAR: é a habilidade de ordenar, dispor segundo certos critérios, objetos grandes,

médios e pequenos.

75

LOCALIZAR NO ESPAÇO: é a habilidade de se perceber no espaço, ou de uma

situação.

O professor pode:

propor situações em que a criança adquira a percepção de sua própria

situação no espaço.

oportunize aos alunos situações que demonstrem através de desenhos; utilize

a fala; escrita; gesto que conhecem ou como pensarem.

LOCALIZAR NO ESPAÇO: habilidade de compreender passado, presente e futuro.

O professor pode:

propiciar aos alunos experiências que envolvam o passado e o futuro

próximo, o agora e o daqui a pouco, fazer perguntas do tipo: - O que fizemos

ontem?; - O que planejamos fazer amanhã?; - Quantos dias faltam para o dia

das Crianças?; etc.

SOLUCIONAR PROBLEMAS: é a habilidade de decidir-se em caso de dúvida,

coletar e organizar dados que ofereçam a possibilidade de resolver uma

determinada situação. É a condição de elaborar projetos mentais que evidenciem

hipóteses por meios de métodos científicos.

O professor pode:

propor atividades que contenham desafios e estimule a busca voluntária das

crianças em formular hipóteses e buscar soluções. Ex: “As crianças estão

correndo no recreio e podem se machucar, como podemos resolver isto?

12. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM.

PRINCÍPIO DA ADEQUAÇÃO ÚNICA; para contar a criança precisa

atribuir a cada um dos objetos uma palavra número, respeitando a ordem

convencional da série.

Na Educação Infantil é comum a criança falar mais rápido ou apontar um

objeto, não faz correspondência termo a termo entre cada objeto, deste modo a

contagem fica errada.

76

PRINCÍPIOS DA CARDINALIDADE; reconhecer que o ultimo número

enunciado indica a quantidade geral dos objetos contados.

Ex: A criança conta até 7.

A professora pergunta quanto ela tem, ela tem 1,2,3,4,5,6,7.

não reconhece o último número enunciado durante a contagem.

PRICÍPIO DA INDIFERENÇA DE ORDEM; compreender que a ordem na qual se

contam as unidades não altera a quantidade total ( esquerda para direita, direita

para esquerda, de cima para baixo).

Possibilidade de colocação dos números:

1. Número maior e menor

2. O número maior depende da posição em que os outros números se

encontram

3. O valor de um algarismo representa valores diferentes dependendo do lugar

onde se encontra como na posição de unidade, dezena, centena ou milhar,

etc.

13. CONHECIMENTO LÓGICO MATEMÁTICO

É fazer a criança refletir sobre o objeto, através da abstração das propriedades

observadas como cor, forma, textura, etc., e para isso, faz-se necessário a criança

ter o conhecimento físico do objeto, sem desprezar propriedades do mesmo. Para a

obtenção do conhecimento lógico, a criança deve construir seu próprio

conhecimento, observando e coordenando suas ações, vivenciando os fatos e

experiências.

77

14. Planejamento Anual

3º ano do Ensino Fundamental I

Livro didático: Eu Gosto – Matemática

Célia Passos e Zeneide Silva

Editora: IBEP / 2006

Bimestral

6 Aulas semanais

OBJETIVOS

O ensino de Matemática deve levar o aluno a:

ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problema e

pelo reconhecimento de relações e regularidades;

construir o significado do número racional e de suas representações (fracionária e

decimal), a partir de seus diferentes usos no contexto social;

interpretar e produzir escritas numéricas, considerando as regras do sistema de

numeração decimal e estendendo-as para a representação dos números racionais

na forma decimal;

resolver problemas, consolidando alguns significados das operações

fundamentais e construindo novos, em situações que envolvam números naturais e,

em alguns casos, racionais;

ampliar os procedimentos de cálculo - mental, exato, aproximado - pelo

conhecimento de regularidades dos fatos fundamentais, de propriedades das

operações e pela antecipação e verificação de resultados;

refletir sobre procedimentos de cálculo que levam à ampliação do significado do

número e das operações utilizando a calculadora como estratégia de verificação de

resultado;

identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e

diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,

ampliações e reduções;

78

recolher dados e informações, elaborar formas para organizá-los e expressá-los,

interpretar dados apresentados sob forma de tabelas e gráficos e valorizar essa

linguagem como forma de comunicação;

utilizar diferentes registros gráficos-desenhos, esquemas, escritas numéricas

como recurso para expressar idéias, ajudar a descobrir formas de resolução e

comunicar estratégias e resultados;

identificar características de acontecimentos previsíveis ou aleatórios a partir de

situações-problema, utilizando recursos estatísticos e probabilísticos;

construir o significado das medidas, a partir de situações-problema que

expressem seu uso no contexto social e em outras áreas do conhecimento e

possibilitem a comparação de grandezas de mesma natureza;

utilizar procedimentos e instrumentos de medida, usuais ou não, selecionando o

mais adequado em função da situação-problema e do grau de precisão do resultado;

representar resultados de medições, utilizando a terminologia convencional para

as unidades mais usuais dos sistemas de medida, comparar com estimativas prévias

e estabelecer relações entre diferentes unidades de medida;

demonstrar interesse para investigar, explorar e interpretar, em diferentes

contextos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento, os conceitos e

procedimentos matemáticos abordados neste ciclo;

vivenciar processos de resolução de problemas, percebendo que para resolvê-los

é preciso compreender, propor e executar um plano de resolução, verificar e

comunicar a resposta.

CONTEÚDOS

Números Naturais, Sistema de Numeração Decimal e números Racionais

reconhecimento de números naturais e racionais no contexto diário;

compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para

leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de

grandeza;

79

formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela observação da posição

dos algarismos na representação decimal de um número racional;

extensão das regras do sistema de numeração decimal para compreensão, leitura

e representação dos números racionais na forma decimal;

comparação e ordenação de números racionais na forma decimal;

localização na reta numérica, de números racionais na forma decimal;

leitura, escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de uso

freqüente;

reconhecimento de que os números racionais admitem diferentes (infinitas)

representações na forma fracionária;

identificação e produção de frações equivalentes, pela observação de

representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas;

exploração dos diferentes significados das frações em situações-problema: parte

– todo, quociente e razão;

observação de que os números naturais podem ser expressos na forma

fracionária;

relação entre representações fracionária e decimal de um mesmo número

racional;

reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário.

Operações com Números Naturais e Racionais

análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema,

compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais

e racionais;

reconhecimento de que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por

uma única operação e de que diferentes operações podem resolver um mesmo

problema;

80

resolução das operações com números naturais, por meio de estratégias pessoais

e do uso de técnicas operatórias convencionais, com compreensão dos processos

nelas envolvidos;

ampliação do repertório básico das operações com números naturais para o

desenvolvimento do cálculo mental e escrito;

cálculo de adição e subtração de números racionais na forma decimal, por meio

de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias convencionais;

desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de resultados pelo uso

do cálculo mental e da calculadora;

decisão sobre a adequação do uso do cálculo mental – exato ou aproximado – ou

da técnica operatória, em função do problema, dos números e das operações

envolvidas;

cálculo simples de porcentagens.

Espaço e Forma

descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no

espaço de diferentes pontos de vista;

utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma

pessoa ou objeto;

descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou

objeto no espaço e construção de itinerários;

representação do espaço por meio de maquetes;

reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos, como a

esfera, o cano, o cilindro e outros;

reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os prismas,

as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces, vértices e arestas;

81

composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando diferentes

possibilidades;

identificação da simetria em figuras tridimensionais;

exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais;

identificação de figuras poligonais e circulares nas suferfícies planas das figuras

tridimensionais;

identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como

número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc.;

exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez

triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc.;

composição e decomposição de figuras planas e identificação de que qualquer

polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares;

ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas;

percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações

artísticas;

representação de figuras geométricas.

Grandezas e Medidas

comparação de grandezas de mesma natureza, com escolha de uma unidade de

medida da mesma espécie do atributo a ser mensurado;

identificação de grandezas mensuráveis no contexto diário: comprimento, massa

capacidade, superfície, etc.;

reconhecimento e utilização de unidades usuais de medida como metro,

centímetro, quilômetro, grama, miligrama, quilograma, litro, mililitro, metro quadrado,

alqueire, etc.;

reconhecimento e utilização de unidades usuais de tempo e de temperatura;

82

estabelecimento das relações entre unidades usuais de medida de uma mesma

grandeza;

reconhecimento dos sistemas de medida que são decimais e conversões usuais,

utilizando-as nas regras desse sistema;

reconhecimento e utilização das medidas de tempo e realização de conversões

simples;

utilizações de procedimentos e instrumentos de medida, em função do problema

e da precisão do resultado;

utilização do sistema monetário brasileiro em situações-problema;

cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em malhas quadriculadas e

comparação de perímetros e áreas de duas figuras sem uso de fórmulas.

ESTRATÉGIAS

uso de material pedagógico: material dourado, cursinare, sólidos geométricos,

blocos lógicos, disco de fração;

atividades lúdicas como: jogos, brincadeiras, dominó, bingo, cartas, dados,

tangran;

ábaco;

exercícios de raciocínio, pegadinhas, situações-problemas, estimativas;

uso de caixas, palitos, barbantes, papéis;

aprender a manusear calculadora;

estimativa;

pesquisa de campo.

83

AVALIAÇÃO

A avaliação deverá levar em conta os objetivos propostos nesse plano

sem perder de vista os conteúdos desenvolvidos e a realidade do grupo.

Fazer um diagnóstico inicial a fim de saber em que nível está a classe e

propor situações que levem os alunos a avançar.

A avaliação deve ser constante e nos casos em que os alunos não

atingiram os objetivos propostos, avaliar sua prática para que possa reformular os

novos objetivos e conteúdos.

A recuperação será paralela com revisão de conteúdos trabalhados, com

ênfase nas dificuldades apresentadas pelos alunos.

Programação curricular de Matemática

1º Bimestre

Números Naturais: Dezena, centena, milhar

Números Ordinais

Ordenação de números Naturais : Maior que e menor que

Ordenação de números Naturais: Crescente e decrescente

Geometria Sólidos Geométricos

Geometria Figuras geométricas planas

Geometria Reta, semi-reta e segmento de reta

2º Bimestre

Geometria – Polígonos

Adição de números naturais

Adição com reagrupamento

Subtração de números naturais

Subtração com reagrupamento

3º Bimestre

Multiplicação de números naturais

Multiplicação de números naturais TABUADA

Multiplicação de dezenas

Multiplicação de centenas

84

Multiplicação com reagrupamento

Multiplicação com reserva na dezena e na centena

Multiplicação com dois algarismos no multiplicador

Multiplicação por 10 e por 100

Divisão de números naturais

Divisão exata e não-exata.

Divisão com dois algarismos no quociente

Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta

Divisão de centenas com um algarismo no divisor

Divisão com zero intercalado no quociente 4º Bimestre

Dobro e triplo

Dúzia e meia Dúzia

Números pares e ímpares

Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido

Números Racionais Metade ou meio

Números Racionais Terço ou terça parte

Números Racionais Quarto ou quarta-parte

Números Racionais Outras partes do inteiro

Medidas de tempo Horas

Medidas de tempo Calendário

Medidas de comprimento

Medidas de capacidade

Medidas de massa

Dinheiro no dia-a-dia

Sistema de Numeração Romano.

Simetria

Quadro de Horário

2° Feira 3° Feira 4° Feira 5° Feira 6° Feira

7h30min / 8h20min

MATEMÁTICA INGLÊS HISTÓRIA MÚSICA MATEMÁTICA

8h20min / 9h10min

PORTUGUÊS GEOGRAFIA HISTÓRIA PORTUGUÊS MATEMÁTICA

9h10min / 9h30min

INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO INTERVALO

9h30min / 10h20min

CIÊNCIAS MATEMÁTICA XADREZ MATEMÁTICA ARTES

10h20min / 11h

ED. FÍSICA MATEMÁTICA ATIV. AQUÁTICA

INFORMÁTICA PORTUGUÊS

11h / 11h30min

GEOGRAFIA PORTUGUÊS CIÊNCIAS PORTUGUÊS PORTUGUÊS

85

Planejamento Anual

1º BIMESTRE

aula dia Dia da

semana

conteúdo

01 28/01 Segunda-feira Roda de Conversa.

Apresentação dos alunos, Dinâmica em grupo

02 29/01 Terça-feira Números Naturais

Power point - História da Numeração Egípcia Página 06, 07, 08, 09, 10

03 31/01 Quinta-feira Números Naturais

Recordando os números naturais Página 11, 12 Para casa: página 13

04 01/02 Sexta-feira Números Naturais

Página 14, 15, 16 Folhas de atividades – Uma em aula e uma para casa.

05 04/02 Segunda-feira Números Naturais

Correção da folha de atividade Brincadeiras com números

06 05/02 Terça-feira Dezena Exercícios com Ábaco Página 17 e 18 Atividades página 19, 20, 21, 22 Para casa página 23, 24, 25

07 07/02 Quinta-feira Atividade para nota

Números Naturais e Dezenas

08 08/02 Sexta-feira Centenas Material dourado – aprendendo a lidar com ele, com brincadeiras e competições

11/02 Segunda-feira CARNAVAL

12/02 Terça-feira CARNAVAL

09 14/02 Quinta-feira Centenas Material dourado Páginas 26, 27, 28, 29, 30

10 15/02 Sexta-feira Centenas Atividades páginas 31 a 42

11 18/02 Segunda-feira Atividades para a nota Em dupla

Centenas e Dezenas – Utilizando àbaco e material dourado

12 19/02 Terça-feira Avaliação Números Naturais, dezenas e centenas.

13 21/02 Quinta-feira Correção da Avaliação

Correção da avaliação Dúvidas e atividades lúdicas

14 22/02 Sexta-feira Milhar Material dourado Página 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,51

15 25/02 Segunda-feira Milhar Correção das atividades dos livros e folha de atividades no caderno para casa.

86

16 26/02 Terça-feira Atividades para nota

Correção da atividade para casa e atividades para nota.

17 28/02 Quinta-feira Correção das atividades

Dúvidas e Vídeos sobre números

18 01/03 Sexta-feira Números Ordinais

Atividades lúdicas !º momento: primeiro até décimo 2º momento: 11º até 20º 3º momento: 21º até 30º

19 04/03 Segunda-feira Números Ordinais

Página: 52, 53, 54, 55, 56

20 05/03 Terça-feira Números Ordinais

Correção das atividades do livro. Folha de atividades

21 07/03 Quinta-feira Atividades para nota

Números Ordinais

22 08/03 Sexta-feira Avaliação Números Naturais, Dezena, Centena Milhar e Números Ordinais

23 11/03 Segunda-feira Correção da avaliação

Dúvidas e atividades

24 12/03 Terça-feira Ordenação de números Naturais Maior que e menor que

Atividades Lúdicas com tampinhas de garrafas – em dupla. Material coursinaire Folha de atividades

25 14/03 Quinta-feira Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente

Atividades lúdicas com tampinhas de garrafas numeradas. Folha de atividade Para casa Páginas: 57, 58, 59, 60, 61

26 15/03 Sexta-feira Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente

Correção do livro

27 18/03 Segunda-feira Atividades para nota

Ordenação de números Naturais Crescente e decrescente

28 19/03 Terça-feira Avaliação

Ordenação de números Naturais

29 21/03 Quinta-feira Correção da avaliação

Dúvidas e Atividades

30 22/03 Sexta-feira Geometria Sólidos Geométricos

Power point com imagens da geometria que faz parte do nosso dia a dia.

31 25/03 Segunda-feira Geometria Recortar os sólidos geométricos

32 26/03 Terça-feira Geometria Colar os sólidos geométricos Página 63

87

33 28/03 Quinta-feira Geometria Página 64, 65, 66, 67

29/03 Sexta-feira PAIXÃO DE CRISTO

34 01/04 Segunda-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.

35 02/04 Terça-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.

36 04/04 Quinta-feira Geometria Construção de brinquedos com as figuras geométricas.

37 05/04 Sexta-feira Exposição Exposição dos brinquedos.

38 08/04 Segunda-feira Atividades Folha de atividades Para casa

39 09/04 Terça-feira Atividades Correção das atividades Pesquisar nas revistas as figuras geométricas, recortar e colar em uma cartolina

40 11/04 Quinta-feira Avaliação Sólidos geométricos

41 12/04 Sexta-feira Correção da avaliação

Dúvidas Atividades

42 15/04 Segunda-feira Geometria Figuras geométricas planas

Páginas 93, 94, 95 Recortar TANGRAM – montar figuras Para casa página 96 e 97

43 16/04 Terça-feira Atividades Com tangram e as figuras geométricas planas.

44 18/04 Quinta-feira Atividades Informática

Pesquisar na web figuras geométricas planas no dia a dia.

45 19/04 Sexta-feira Atividades informática

Cris cartazes com as figuras que pesquisou na web - Exposição

46 22/04 Segunda-feira Montagem dos painéis

Impressão da criação de quadros feitos pelo paint

47 23/04 Terça-feira Avaliação Figuras geométricas planas e Sólidos geométricos

48 25/04 Quinta-feira Geometria Reta, semi-reta e segmento de reta

Páginas 185, 186, 187 Para casa página 188 Folha de atividades

49 26/04 Sexta-feira Atividades Correção da atividades Folhas de atividades com toda a matéria do primeiro bimestre

50 29/04 Segunda-feira Revisão para Avaliação bimestral

Correção das atividades Dúvidas

51 30/04 Terça-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL

88

2º BIMESTRE

52 02/05 Quinta-feira Entrega da avaliação Geometria - Polígonos

Dúvidas Atividades Lúdicas: jogo de memória e agrupamento de figuras

53 03/05 Sexta-feira Geometria Página 189, 190, 191 Para casa 192 e 193

54 06/05 Segunda-feira Geometria Atividades

Correção das páginas 192e 193. Folha de atividades para casa


Atividades Geometria Polígonos

56 09/05 Quinta-feira Avaliação Polígonos

57 10/05 Sexta-feira Correção da avaliação

Dúvidas Folha de atividades lúdicas

58 13/05 Segunda-feira Adição de números naturais

Atividades Lúdicas: Dominó

59 14/05 Terça-feira Atividades lúdicas Adição com unidades

Dominó Tampinhas de garrafa – aprendendo a montar e efetuar as contas ( Lousa) Folha de atividades para casa

60 16/05 Quinta-feira Atividades Correção das atividades Páginas: 68, 69 Ábaco – Adição Dezenas Folha de atividades para casa

61 17/05 Sexta-feira Atividades Correção das atividades Ábaco - Adição com centena Página 70 e 71 Atividades para casa

62 20/05 Segunda-feira Avaliação Adição com unidade, dezena e centena

63 21/05 Terça-feira Correção da avaliação Adição com reagrupamento

Correção da avaliação Atividades página 72, 73 Para casa página 74, 75

64 23/05 Quinta-feira Correção Correção das atividades para casa Folhas de atividades

65 24/05 Sexta-feira Correção Correção das folhas de atividades

66 27/05 Segunda-feira Problemas Atividades Lúdicas

67 28/05 Terça-feira Problemas Página 76, 77, 78 Para casa Folha de atividades

30/05 Quinta-feira CORPUS CHRIST

89

31/05 Sexta-feira RECESSO

68 03/06 Segunda-feira Problemas Correção das folhas de atividades

69 03/06 Terça-feira Avaliação Problemas

70 06/06 Quinta-feira Correção da availação

Correção de dúvidas

71 07/06 Sexta-feira Subtração de números naturais

Atividades Lúdicas Palitos de sorvete coloridos

72 10/06 Segunda-feira Subtração de números naturais

Página 80, 81

73 11/06 Terça-feira Subtração de números naturais

Páginas 82, 83. Folha de atividades

74 13/06 Quinta-feira Subtração de números naturais

Correção da folha de atividades

75 14/06 Sexta-feira Subtração com

reagrupamento

Página 84, 85, 86

76 17/06 Segunda-feira Subtração com

reagrupamento

Correção Páginas 87, 88, 89

77 17/06 Terça-feira Subtração com

reagrupamento

Correção Páginas 90, 91, 92 Folha de atividades

78 20/06 Quinta-feira Subtração com

reagrupamento

Correção e dúvidas para availação

79 21/06 Sexta-feira Avaliação Subtração

80 24/06 Segunda-feira Correção

Dúvidas e revisão para a avaliação Bimestral

81 25/06 Terça-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL

82 27/06 Quinta-feira Correção Correção da avaliação - dúvidas

83 28/06 Sexta-feira confraternização

JULHO FÉRIAS

3º BIMESTRE

84 01/08 Quinta-feira Revisão

Adição e Subtração

Folha de atividades Ábaco Palitos de sorvete

90

Tampinhas de garrafas.

85 02/08 Sexta-feira Multiplicação de números naturais

Atividades com Tampinhas de garrafas. Página 106, 107

86 05/08 Segunda-feira Multiplicação de números naturais TABUADA

Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 2 e do 3

87 06/08 Terça-feira Multiplicação de números naturais TABUADA

Páginas 108, 109, 110 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 4 e do 5

88 08/08 Quinta-feira Multiplicação de números naturais TABUADA

Páginas 111, 112, 113 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 6 e do 7

89 09/08 Sexta-feira Multiplicação de números naturais TABUADA

Páginas 114, 115, 116 Montando as tabuadas em cartelas para futuras pesquisas. Tabuada do 8 e do 9 Para casa página 117 Folha de atividades.

90 12/08 Segunda-feira Atividades para Nota

Correção das atividades Multiplicação

91 13/08 Terça-feira Multiplicação com 3 fatores

Página 118 Folha de atividades

92 15/08 Quinta-feira Multiplicação de dezenas


93 16/08 Sexta-feira Multiplicação de centenas


94 19/08 Segunda-feira Atividades Página 120, 121,

95 20/08 Terça-feira Atividades Página 122, 123 Folhas de atividades para casa

96 22/08 Quinta-feira Multiplicação com reagrupamento

Página 124, 125,126 Folhas de atividades

97 23/08 Sexta-feira Multiplicação com reserva na dezena e na centena

Página 126, 127, 128 Folha de atividades para casa

98 26/08 Segunda-feira correção Correção das atividades

99 27/08 Terça-feira Multiplicação com dois algarismos no multiplicador

Página 129, 130, 131, 132

100 29/08 Quinta-feira correção Correção das páginas 129, 130, 131, 132

91

101 30/08 Sexta-feira Multiplicação por 10 e por 100

Página 133, 134. Para casa 135 e 136

102 02/09 Segunda-feira Correção Correção das páginas 135 e 136.

103 03/09 Terça-feira Multiplicação por 10 e por 100

Página 137, 138 – atividades com adesivos.

104 05/09 Quinta-feira avaliação Multiplicação

104 06/09 Sexta-feira Correção Correção da avaliação

106 09/09 Segunda-feira Divisão de números naturais

Página 139 140 – método longo e breve Folha de atividades

107 10/09 Terça-feira Divisão exata e não-exata.

Página 140, 141, 142, 143

108 12/09 Quinta-feira Divisão com dois algarismos no quociente

Página 144, 145, 146 Folhas de atividades

109 13/09 Sexta-feira Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta

Páginas 147, 148 e 149 Para casa: folha de atividades

110 16/09 Segunda-feira Faz e desfaz: verificando se a divisão está correta

Correção das atividades anteriores

111 17/09 Terça-feira Divisão de centenas com um algarismo no divisor

Página 149, 150, 151, Folha de atividades

112 19/09 Quinta-feira Divisão com zero intercalado no quociente

Página 152, 153, 154, 155, 156, 157

113 20/09 Sexta-feira Correção Atividades anteriores

114 23/09 Segunda-feira Revisão para avaliação

Divisão Atividades

115 24/09 Terça-feira Avaliação Divisão

116 26/09 Quinta-feira Correção da avaliação

Correção da avaliação Revisão de Adição Subtração, Multiplicação e Divisão

117 27/09 Sexta-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL

118 30/09 Segunda-feira Correção Correção da avaliação bimestral e dúvidas

4º BIMESTRE

92

119 01/10 Terça-feira Dobro e triplo Página 158, 159, 160, 161 Atividades para casa

120 03/10 Quinta-feira Dobro e triplo Correção da folha de atividades Páginas 162, 163, 164.

121 04/10 Sexta-feira Atividade para nota

Dobro e triplo

122 07/10 Segunda-feira Dúzia e meia Dúzia

Página 165, 166, 167, 168, 169

123 08/10 Terça-feira Dúzia e meia Dúzia

Páginas 169, 170, 171


Dúzia e meia Dúzia

125 11/10 Sexta-feira Números pares e ímpares

Correção da atividade Página 98, 99, 100 Folha de atividades para casa

126 14/10 Segunda-feira Números pares e ímpares

Correção da folha de atividades


Números pares e ímpares

128 17/10 Quinta-feira Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido

Página 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178

129 18/10 Sexta-feira Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido

Páginas 178, 179, 180, Para casa: página 181, 182, 183,184

130 21/10 Segunda-feira Correção Correção das atividades para casa

131 22/10 Terça-feira Atividade para nota

Sentenças matemáticas – Valor do termo desconhecido

132 24/10 Quinta-feira Números Racionais Metade ou meio

Correção e dúvidas Páginas: 194, 195, Atividades para casa

133 25/10 Sexta-feira Números Racionais Terço ou terça parte

Página, 196, 197, 198

134 28/10 Segunda-feira Números Racionais Quarto ou quarta-parte

Página 198, 199, 200, 201

135 29/10 Terça-feira Números Racionais Outras partes

Página 201, 202, 203, 204,

93

do inteiro

136 31/10 Quinta-feira Números Racionais

Páginas 205, 206

137 01/11 Sexta-feira Atividades para nota

Números Racionais

138 04/11 Segunda-feira Correção Correção das atividades

139 05/11 Terça-feira Medidas de tempo Horas

Página 207, 208, 209, 210, 211

140 07/11 Quinta-feira Medidas de tempo Calendário

Página 212, 213, 214, 215, 216 Para casa: 216, 217

141 08/11 Sexta-feira Medidas de tempo Calendário Medidas de comprimento

Correção das atividades para casa Para casa: página: 219, 220, 221, 222.

142 11/11 Segunda-feira Medidas de comprimento

Correção das atividades para casa Páginas: 222, 223

143 12/11 Terça-feira Medidas de capacidade

Página 224, 225, 226 Para casa: 227, 228.

144 14/11 Quinta-feira Medidas de massa

Correção Páginas: 229, 230, 231, 232 Para casa 233, 234 Recortar os dinheiros que estão no final do livro

15/11 Sexta-feira FERIADO

145 18/11 Segunda-feira Dinheiro no dia-a-dia

Mercadinho em sala de aula Vendedores e clientes

146 19/11 Terça-feira Dinheiro no dia-a-dia

Pàginas 235, 236, 237, 238, 239, 240


Medidas de tempo Horas, calendário, comprimento, capacidade, massa Dinheiro no dia-a-dia

148 22/11 Sexta-feira correção Correção Folha de atividades com Medidas de tempo,Horas, calendário, comprimento, capacidade, massa Dinheiro no dia-a-dia

149 25/11 Segunda-feira Correção Correção das atividades anteriores

150 26/11 Terça-feira Sistema de Numeração Romano.

Página 101, 102, 103, 104, 105

151 28/11 Quinta-feira Sistema de Numeração Romano.

Correção das atividades

94

152 29/11 Sexta-feira Atividades para nota

Atividades Sistema de Numeração Romano.

153 02/12 Segunda-feira Simetria Páginas: 241, 242

154 03/12 Terça-feira Simetria Páginas 243, 244,

155 05/12 Quinta-feira Simetria Página 245, 246.

156 06/12 Sexta-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro

157 09/12 Segunda-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro

158 10/12 Terça-feira Atividades Atividades de revisão ano inteiro

159 12/12 Quinta-feira AVALIAÇÃO BIMESTRAL

160 13/12 Sexta-feira confraternização

15. Atividades para o 3º ANO do ensino fundamental I

1. Que número está representado no ábaco abaixo?

A) 7.142

B) 2.385

C) 2.417

D) 1.742

2. A tabela abaixo mostra a altura de seis jogadores do time de vôlei Os

Vencedores:

Escrevendo-se as alturas em ordem decrescente obtemos:

(A) 1,85 – 1,87 – 1,89 – 1,90 – 1,91 – 1,92

(B) 1,87 – 1,89 – 1,92 – 1,85 – 1,90 – 1,91

(C) 1,92 – 1,91 – 1,90 – 1,89 – 1,87 – 1,85

(D) 1,91 – 1,90 – 1,85 – 1,92 – 1,89 – 1,87

4. Subtraindo 907 de 3.153, obtemos:

(A) 2.156

(B) 2.246

(C) 3.246

(D) 3.907

Nome do jogador Altura (em metros)

Paulo 1,87

Beto 1,89

Duda 1,92

Lucas 1,85

Fernando 1,90

João 1,91

95

5. O produto de 360 por 12 é:

(A) 4320

(B) 4230

(C) 4032

(D) 4231

6. A gerente de uma loja de roupas recebeu de uma cliente as seguintes notas e

moedas:

7. Quantos reais ela recebeu da cliente?

(A) R$ 184,90

(B) R$ 184,15

(C) R$ 185,05

(D) R$ 184,95

8. O gráfico ao lado mostra a

quantidade de chuva em uma

cidade de Janeiro a Junho.

Observando o gráfico, podemos

afirmar que:

(A) Janeiro foi o mês com a menor quantidade de chuva.

(B) Em fevereiro choveu mais do que abril.

(C) A diferença entre a quantidade de chuva nos meses de março e de junho foi de

500 litros.

(D) O mês de março foi o mês em que mais choveu.

96

9. Utilizei meio metro de um tecido para enfeitar a almofada. Quantos centímetros

utilizei?

10. Observe as figuras e responda:

A A B

a) Qual das figuras apresenta simetria e a linha tracejada é o eixo de

simetria? _________

b) Qual não apresenta simetria?______________

11. Utilizando o quadradinho como unidade de medida, sendo que, cada

quadradinho vale 1m. Qual é a área que a figura abaixo ocupa na malha

quadriculada?

R: A área é de _____m2

12. Quando Maria colocou um bolo para assar, o relógio marcava:

O bolo ficou pronto em 30 minutos. Que horário

o relógio estava marcando quando o bolo ficou pronto?

R: Ficou pronto as __________

14. O resultado da divisão de 381 por 3 é:

(A) 130

(B) 128

(C) 127

(D) 125

97

15. A avó de Beto mora em frente a uma praça retangular que mede 120 metros de

comprimento e 80 metros de largura. Todo dia ela dá 4 voltas na praça. Quantos

metros ela anda por dia?

R: Ela anda ________m por dia.

16. Paula foi ao mercado comprar 1 litro de

desinfetante. Ela encontrou os dois tipos de

embalagem ao lado.

Se Paula escolhesse o desinfetante Limpa Tudo ela teria que comprar:

(A) uma embalagem.

(B) duas embalagens.

(C) quatro embalagens.

(D) cinco embalagens.

17. A fração que representa a parte pintada em relação ao total é:

18. Observe os produtos abaixo e pinte aqueles que são medidos utilizando a

balança:

( ) sabão ( ) refrigerante ( ) arroz ( ) maçã ( ) álcool

( ) ovos ( ) bombom ( ) banana ( ) cenoura

19. A unidade de medida utilizada pela balança é o:

98

16. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Blocos lógicos http://www.escolacdi.com.br/2010/04/05/aula-com-blocos-logicosmaternal-i/

Blocos lógicos http://laranjeiras.miraflores.com.br/gallery/gallery3/index.php/Pr--escola-I---2010---1o-Trimestre/blocos-logicos-4-3 jogo matemático da centopeia http://dessafofs.blogspot.com.br/2008/07/centopia-matemtica.html

MATERIAL CUISENAIRE - COMO UTILIZAR

http://inclusaobrasil.blogspot.com.br/2011/05/material-cuisenaire-como-utilizar.html

Material Dourado http://www.somatematica.com.br/artigos/a14/

Polígonos file:///C:/Documents%20and%20Settings/XP/Desktop/Pol%C3%ADgonos%20-%20Matem%C3%A1tica%20e%20Geometria%20-%20InfoEscola.htm Geometria http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/indice-fundamental-1.shtml?ensino-fundamental-1.matematica.espaco-e-forma.geometria Geometria sólidos http://amigasdaedu.blogspot.com.br/2011/06/atividades-e-moldes-com-solidos.html Grandezas e medidas http://www.coladaweb.com/fisica/fisica-geral/unidades-de-medidas-e-principais-grandezas

BRASIL. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF,1997. TOLEDO, Marília e TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois. A construção da matemática. São Paulo:FTD, 1997.

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FUNDAMENTOS E MÉTODOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

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