Fundamentos matematicos

Captulo II - Fundamentos Matematicos

PRINCIPIOS DE CONTROLE E

SERVOMECANISMO

JOSE C. GEROMEL e RUBENS H. KOROGUI

DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,

[email protected]

Campinas, Janeiro de 2007

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NOTA AO LEITOR

Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto, em fase de redacao :

Jose C. Geromel e Rubens H. Korogui, Controle Linear deSistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exerccios,2007.

onde o leitor devera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados. Sugestoes, de qualquernatureza, que permitam o aprimoramento deste texto seraomuito apreciadas e desde ja agradecidas.

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Conteudo

1 Captulo II - Fundamentos MatematicosPrincpio da variacao do argumento

Exemplo

Matrizes simetricasCriterios de estabilidade

CaracterizacaoCriterio de Routh-HurwitzCriterio de NyquistCriterio de Lyapunov

Lugar das razesReducao de modelos via polos dominantes

Exemplo

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Princpio da variacao do argumento


Um resultado bastante importante e de largo uso no estudo deestabilidade de sistemas dinamicos e o chamado Princpio davariacao do argumento, que se aplica a funcoes de variaveiscomplexas. Antes, porem, alguns resultados intermediariossao necessarios. Considere uma funcao de variavel complexaf (z) : C C, definida em um domnio D C.

Funcao analtica : A funcao f (z) e analtica em z0 D se elafor diferenciavel em z0 e em todos os pontos de umavizinhanca de z0. Ela e analtica no domnio D sempre quef (z) existir em todo z D.Ponto singular isolado : O ponto z0 D e um ponto singularisolado de f (z) se f (z) for analtica em todo ponto de umavizinhanca de z0 excetuando-se o proprio z0. Seus polos sao osunicos ponto singulares isolados de qualquer funcao racional.

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Uma funcao f (z) pode ser desenvolvida em serie de Laurentem um ponto onde ela nao e analtica como, por exemplo, emum ponto singular isolado.

f (z) =

i=

ci (z z0)i

Resduo : O resduo de f (z) em z0 D e dado por

R(f , z0) := c1

=1

2j

C

f (z)dz

onde C C e um contorno fechado contendo o ponto z0 noseu interior.

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O Teorema dos resduos de Cauchy estabelece que

1

2j

C

f (z)dz =

r

k=1

R(f , zk)

onde :

z1, , zn sao pontos singulares isolados de f (z).o contorno fechado C C contem os pontos singularesz1, , zr no seu interior.

Os resduos podem ser calculados atraves da decomposicao emfracoes parciais de f (z)

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O Teorema dos resduos de Cauchy pode ser aplicado paraestabelecer a seguinte igualdade

1

2j

C

g (z)

g(z)dz = Nz Np

onde Nz e o numero de zeros de g(z) que se encontram nointerior do contorno C C e Np e o numero de polos de g(z)que se encontram no interior do mesmo contorno.

Fato importante : Os pontos singulares da funcao

f (z) :=g (z)

g(z)

sao os polos e os zeros de g(z). Assim sendo, a funcao f (z)deixa de ser analtica nos zeros e polos de g(z) que seencontram no interior de C .

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De fato, assumindo que z0 seja um zero de g(z) commultiplicidade m0, localizado no interior do contorno fechadoC . Podemos entao escrever

g(z) = (z z0)m0p(z)

onde p(z) e uma funcao analtica em z0 e p(z0) 6= 0 e, assim

f (z) =m0

z z0+

p(z)

p(z)

Entretanto, como p(z)/p(z) e analtica em z0 ela pode serdesenvolvida em serie de Taylor, permitindo a conclusao deque R(f , z0) = m0. Adotando o mesmo procedimento paratodos os polos e zeros que estao localizados no interior de Cobtemos a igualdade anteriormente introduzida.

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A integral de linha indicada pode ser calculada de maneiradiversa, isto e

C

g (z)

g(z)dz =

C

d ln(g(z))

= jarg (g(z))|Cque permite estabelecer o resultado final

Fato (Princpio da variacao do argumento)

1

2C arg(g(z)) = Nz Np

A variacao do argumento de g(z) quando z percorre C e igual adiferenca entre o numero de zeros e o numero de polos de g(z)que se encontram no interior de C.

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Considere a funcao racional g(z) = 1(z+0.5)(z2) e oscontornos fechados A, B and C como mostrados na figuraabaixo. Os polos de g(z) sao indicados por enquanto que indica os zeros de h(z) = 0.6 + g(z).

4 3 2 1 0 1 2 34

3

2

1

0

1

2

3

4

Im

Re

AB

C

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Exemplo

A figura abaixo mostra os contornos fechados obtidos pelomapeamento dos contornos A, B and C atraves da funcaog(z). Note os pontos (0, 0) e (0.6, 0) colocados emevidencia.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.81

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Im

Re

A

B

C

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Exemplo

A funcao g(z) tem dois polos {0.5, 2} e nenhum zero.Portanto, para os contornos A, B e C considerados temos{Nz = 0,Np = 1}, {Nz = 0,Np = 1} e {Nz = 0,Np = 2}respectivamente.

Olhando para o ponto (0, 0) temos (1/2)A = 1,(1/2)B = 1 e (1/2)C = 2 respectivamente.

A funcao h(z) tem dois polos {0.5, 2} e dois zeros{0.75 j0.3227}. Portanto, para os contornos A, B and Cconsiderados temos {Nz = 2,Np = 1}, {Nz = 0,Np = 1} e{Nz = 2,Np = 2} respectivamente.

Olhando para o ponto (0.6, 0) temos (1/2)A = 1,(1/2)B = 1 e (1/2)C = 0 respectivamente.

Verifique a validade do Princpio da variacao do argumento

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Matrizes simetricas

Matrizes simetricas

Uma importante classe de matrizes e a classe das matrizessimetricas. Uma matriz quadrada e real Q Rnn e ditasimetrica se os elementos situados nas posicoes simetricas, emrelacao a diagonal principal, forem iguais. Isto e, se

Qij = Qji , i 6= j = 1, , n

entao Q e uma matriz simetrica.

Fato (Matrizes simetricas)

As seguintes propriedades sao validas para as matrizes simetricas :

Todos os seus autovalores 1, , n sao reais.Todos os seus autovetores v1, . . . , vn sao reais. Autovetoresassociados a autovalores distintos sao ortogonais.

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Matrizes simetricas

Matrizes simetricas

Mesmo se houver coincidencia de alguns autovalores podemosdeterminar os autovetores associados mantendo aortogonalidade entre eles. Portanto, podemos determinar osautovetores vi Rn, com i = 1, , n de tal forma que

v i vj =

{1, i = j0, i 6= j

e formar a matriz V = [v1, , vn] Rnn, denominadamatriz unitaria pois

V V = I = V1 = V

Para determinar a inversa de uma matriz unitaria bastacalcular a sua transposta !

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Matrizes simetricas

Matrizes simetricas

Uma matriz simetrica e definida positiva (Q > 0) se

x Qx > 0 , x 6= 0 Rn

de maneira similar podemos definir Q 0, Q < 0 e Q 0. Oteste a seguir permite verificar se uma dada matriz satisfazalguma destas definicoes.

Fato (Matrizes simetricas)

Seja Q Rnn uma matriz simetrica com autovalores 1, , n.Q > 0 se somente se 1 > 0, , n > 0Q 0 se somente se 1 0, , n 0De maneira similar para Q < 0 e Q 0.

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Matrizes simetricas

Matrizes simetricas

A prova deste fato nao e difcil. Note que

V QV = V [Qv1 Qvn]= V V diag(1, , n)= diag(1, , n)

o que leva a Q = VV . Portanto

x Qx = x VV x = (V x

y

)(V x

y

) =

n

i=1

iy2i

e como x 6= 0 y 6= 0, a matriz sera definida negativa se esomente se todos os seus autovalores forem negativos. Osdemais casos decorrem de forma similar.

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Matrizes simetricas

Matrizes simetricas

As seguintes consideracoes sao pertinentes :

Uma matriz simetrica com autovalores positivos e negativosnao se encaixa em nenhuma das definicoes anteriores. Trata-sede um matriz indefinida.Com uma matriz simetrica Q > 0 podemos definir a distanciaentre dois pontos quaisquer x , y Rn na forma

d(x , y) =

(x y)Q(x y)

onde nota-se que d(x , y) = 0 apenas se x = y e d(x , y) > 0para todo x 6= y Rn. Para Q = I obtemos a chamadadistancia Euclidiana caracterizada pelo fato de que o lugargeometrico dos pontos equidistantes da origem x = 0 e umasuperfcie esferica. No caso geral Q 6= I o referido lugargeometrico e uma superfcie elptica.

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Criterios de estabilidade

Caracterizacao

Anteriormente, para a estrutura de controle em malha fechadadeterminamos y = F r , para a qual introduzimos a seguintedefinicao:

Fato (Estabilidade)

Um sistema a tempo contnuo e assintoticamente estavel se F (s) eanaltica em Re(s) 0. De forma equivalente, todos os polos deF (s) estao localizados na regiao Re(s) < 0.

E importante notar que os polos de F (s) sao razes daequacao caracterstica 1 + C (s)G (s)H(s) = 0 que pode serescrita na forma

1 + N(s)

D(s)= 0

onde N(s) e D(s) sao polinomios com coeficientes reais e R.

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Caracterizacao

Portanto, os polos de F (s) sao razes de uma equacaoalgebrica com coeficientes reais

(s) =

n

i=1

aisi = 0 , an = 1

Como ja sabemos, com a representacao de estado mnima deF (s) definida pelas matrizes (A,B ,C ,D) podemos determinar(s) = det(sI A). Assim, o estudo de estabilidade seresume a:

testar se todas as razes de (s) = 0 estao localizadas naregiao Re(s) < 0. Note que nao e requerido saber aslocalizacoes exatas destas razes no plano complexo.

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Caracterizacao

Consequencias importantes:Como F (s) e analtica em Re(s) 0 entao o seu domniocontem esta regiao e assim, s = 0 D(F ). Neste caso, oteorema do valor final fornece

limt

f (t) = lims0

sF (s) = 0

Uma entrada limitada no tempo que, portanto, satisfaz|r(t)| R para todo t 0,

|y(t)| =

0

f ()r(t )d

R

0

|f ()|d

valor limitado

sempre produz uma sada limitada no tempo.

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Caracterizacao

A seguir vamos estudar alguns criterios classicos deestabilidade de sistemas LIT. Na verdade sao condicoesnecessarias e suficientes (e, portanto, equivalentes) queasseguram que todas as razes da equacao caractersticaestejam localizadas na regiao Re(s) < 0. Uma condicaoapenas necessaria mas nao suficiente e a seguinte:

Fato (Condicao necessaria)

Se todas as razes de (s) = 0 estao localizadas na regiaoRe(s) < 0 entao an1 > 0, , a1 > 0, a0 > 0.

A prova e simples. Um polinomio de ordem qualquer pode serdecomposto no produto de polinomios de 1a ordem (razesreais) e de polinomios de 2a (razes complexas) cujoscoeficientes devem ser positivos.

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Criterio de Routh-Hurwitz

O criterio de Routh-Hurwitz e baseado na chamada tabela deRouth:

sn an an2 an4 sn1 an1 an3 an5 sn2 b1 b2 b3 s1 s0

As duas primeiras linhas sao construdas com os coeficientesde (s) e qualquer linha subsequente e determinada a partirdas duas anteriores com a regra :

b1 = (an1an2 anan3)/an1b2 = (an1an4 anan5)/an1b3 = 22 / 73




Resultado importante : O numero de trocas de sinal noselementos da 1a coluna da tabela de Routh e igual ao numerode razes de (s) = 0 situadas na regiao Re(s) > 0.

A construcao da tabela requer que todos os elementos da 1a

coluna sejam nao nulos. Dois casos especiais, que precisamser tratados separadamente, podem ocorrer:

todos os elementos de uma linha sao nulos : Neste caso, opolinomio (s) e divisvel pelo polinomio gerador da linhaanterior A(s). A linha nula deve ser substituda pela linhagerada por A(s).apenas o primeiro elemento de uma linha e nulo : Neste caso,substitui-se o elemento nulo por > 0 e determina-se a tabelalimite para 0.

Qualquer linha da tabela pode ser multiplicada por umnumero positivo sem que o resultado final se altere.

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Outro resultado importante, lembrando que sem perda degeneralidade consideramos an = 1, e o seguinte:

Fato (Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz)

Todas as razes da equacao algebrica (s) = 0 estao localizadasna regiao Re(s) < 0 se e somente se a 1a coluna da tabela deRouth for positiva.

Se (s) possuir algum coeficiente negativo ou nulo, nao epreciso construir a tabela de Routh para concluir que algumaraz de (s) = 0 estara fora do lado esquerdo de C.Se algum dos dois casos especiais ocorrer tambem nao epreciso continuar a construcao da tabela de Routh paraconcluir que alguma raz de (s) = 0 estara fora do ladoesquerdo de C.

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Exemplos

Exemplo 1 : Aplique o criterio de Routh-Hurwitz em

(s) = s3 + 4s2 + 5s + 2

A tabela de Routh fica na forma

s3 1 5s2 4 2s1 9/2s0 2

Todos os elementos da primeira coluna sao positivos. Todas asrazes estao situadas no semi-plano esquerdo complexo.

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Exemplos


(s) = s3 3s + 2


s3 1 3s2 0 2s1 2/s0 2

Duas trocas de sinal na primeira coluna. Duas razes estao situadasno semi-plano direito complexo.

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Exemplos


(s) = s4 + 3s3 + 3s2 + 3s + 2


s4 1 3 2s3 3 3s2 2 2 A(s) = 2s2 + 2s1 0 4s0 2

Nenhuma troca de sinal na primeira coluna. Nenhuma raiz estasituada no semi-plano direito complexo. Aquelas de A(s) = 0 estaolocalizadas sobre o eixo imaginario.

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Exemplos


(s) = s4 + 6s3 + (13 + )s2 + (12 2)s + (4 + )


s4 1 13 + 4 + s3 3 6 s2 33 + 4 12 + 3s1 81 9 22s0 4 +

Impondo nenhuma troca de sinal na primeira coluna obtemos4 < < 4.5. Para = 4.5 a linha s1 e nula e, portanto,A(s) = 51s2 + 25.5 = 0 = s j0.7.

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Motor de corrente contnua

Deseja-se controlar a velocidade angular de um motor decorrente contnua com funcao de transferencia

G (s) =1

14s2 + 15s + 2

com um controlador PI. Quais sao os ganhos kp 0 e ki 0do controlador que asseguram a estabilidade assintotica dosistema em malha fechada? Considerando um sensor develocidade ideal com H(s) = 1, os polos em malha fechadasao dados por

1 +

(

kp +ki

s

)1

14s2 + 15s + 2= 0

ou seja

(s) = 14s3 + 15s2 + (2 + kp)s + ki = 0

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Motor de corrente contnua

Neste caso, a tabela de Routh fica na forma

s3 14 2 + kps2 15 kis1 30 + 15kp 14kis0 ki

e conclumos que, na regiao de interesse, a estabilidadeassintotica e assegurada para

kp 0 , 0 < ki < 1.0714kp + 2.1429

Anteriormente, controlamos a velocidade deste motor com umcontrolador PI definido pelos parametros kp = 0 e ki = 0.25.Como sabemos, este controlador estabiliza o sistema emmalha fechada.

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Para sistemas a tempo discreto com a mesma estrutura decontrole em malha fechada determinamos y = F r , para a qualintroduzimos a seguinte definicao:

Fato (Estabilidade)

Um sistema a tempo discreto e assintoticamente estavel se F (z) eanaltica em |z | 1. De forma equivalente, todos os polos de F (z)estao localizados na regiao |z | < 1.

Novamente, e importante notar que os polos de F (z) saorazes da equacao caracterstica 1 + C (z)G (z)H(z) = 0 quepode ser escrita na forma

1 + N(z)

D(z)= 0

onde N(z) e D(z) sao polinomios com coeficientes reais e R. 31 / 73




Portanto, os polos de F (z) sao razes de uma equacaoalgebrica com coeficientes reais

(z) =

n

i=1

aizi = 0 , an = 1

Como ja sabemos, com a representacao de estado mnima deF (z) definida pelas matrizes (A,B ,C ,D) podemos determinar(z) = det(zI A). Assim, o estudo de estabilidade seresume a:

testar se todas as razes de (z) = 0 estao localizadas naregiao |z | < 1. Note que nao e requerido saber as localizacoesexatas destas razes no plano complexo.

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Consequencias importantes:Como F (z) e analtica em |z | 1 entao o seu domnio contemesta regiao e assim, z = 1 D(F ). Neste caso, o teorema dovalor final fornece

limk

f (k) = limz1

(z 1)F (z) = 0

Uma entrada limitada no tempo que, portanto, satisfaz|r(k)| R para todo k N,

|y(k)| =

i=0

f (i)r(k i)

R

i=0

|f (i)|

valor limitado

sempre produz uma sada limitada no tempo.

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A estabilidade de sistemas a tempo discreto e estudada apartir da transformacao bilinear definida por

z =1 + s

1 s

que mapeia todos os pontos da regiao Re(s) 0 na regiao|z | 1. Com esta transformacao, determinamos

mod (s) = 0 (z) = 0

e aplicamos o criterio de Routh-Hurwitz em mod (s) = 0. Asconclusoes obtidas para as razes de mod (s) = 0 em relacaoa regiao Re(s) 0, sao validas para as razes de (z) = 0 emrelacao a regiao |z | 1.

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Criterio de Nyquist

O criterio de estabilidade de Nyquist baseia-se no Princpio davariacao do argumento e, assim sendo, algumas manipulacoespreliminares sao necessarias. Considere a equacaocaracterstica escrita na forma

1 + N(s)

D(s)= 0

onde R e um escalar nao nulo. Dada uma curva fechadaC no plano complexo, desejamos determinar o numero derazes que estao situadas no seu interior. Observe quereescrevendo de forma alternativa

D(s) + N(s)

D(s)=

(s)

D(s)= 0

notamos que os valores de s C de interesse sao razes daequacao algebrica (s) = 0.

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Criterio de Nyquist

Definido a funcao

g(s) =D(s) + N(s)

D(s)

e determinando o mapeamento de C , a variacao do seuargumento fornece o numero de voltas entorno da origem doplano complexo

Ncrit =1

2C arg(g(s))

Porem, pelo Princpio da variacao do argumentoNcrit = Nz Np onde Nz e o numero de zeros de g(s) (e,portanto razes de (s) = 0) e Np e o numero de polos deg(s) (e, portanto razes de D(s) = 0) que se encontram nointerior de C .

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Criterio de Nyquist

Devemos observar que :Como g(s) = 1 + N(s)/D(s) o valor de Ncrit poder seralternativamente determinado pelo mapeamento deN(s)/D(s), contadas as voltas entorno ao ponto crtico1/+ j0.O valor de Ncrit tem sinal! E positivo se o sentido de percursode C e o do seu mapeamento forem concordantes e negativose forem discordantes.Como as razes de D(s) = 0 sao conhecidas, o valor de Np edeterminado por mera verificacao daquelas que se encontramno interior da curva fechada C escolhida.Pelo Princpio da variacao do argumento determinamos

Nz = Ncrit + Np

que e o numero de razes de (s) = 0 que se encontram nointerior de C .

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Criterio de Nyquist

Desde que seja fechada, nao ha nenhuma restricao adicionalpara a escolha de C . Para a curva C ilustrada na figuraabaixo e importante observar que o seu interior e a regiaoRe(s) > 0. Portanto, a condicao Nz = 0 assegura que todasas razes de (s) = 0 estejam localizadas fora desta regiao.

Re(s)

Im(s)

C

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Criterio de Nyquist

Para a curva C escolhida podemos enunciar :

Fato (Criterio de estabilidade de Nyquist)

Todas as razes da equacao algebrica (s) = 0 estao localizadasna regiao Re(s) < 0 se e somente se Ncrit + Np = 0.

Se uma ou mais razes de (s) = 0 estiverem localizadas noeixo imaginario (nem dentro e nem fora de C ), o valor de Ncrittorna-se indefinido, ou seja, o mapeamento de N(s)/D(s)passa sobre o ponto crtico 1/+ j0.A curva C e composta por um segmento de reta e por umsemi-crculo. O mapeamento do segmento de reta e feitoatraves do calculo de N(s)/D(s) para s = j , R, quenada mais e que a sua resposta em frequencia. O mapeamentodo semi-crculo com raio |s| e um ponto no eixo real(geralmente a origem).

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Exemplos

Exemplo 1 : Aplique o criterio de Nyquist em

s3 + 4s2 + 5s + 4 = 0 1 + 2(s + 2)(s + 1)2

= 0

As razes de D(s) = (s + 2)(s + 1)2 estao fora de C e assimNp = 0. O mapeamento de C e o ponto crtico 1/2 + j0indicam que Ncrit = 0. Todas as razes estao situadas nosemi-plano esquerdo complexo (Nz = 0).

1 0.5 0 0.5 10.5

0

0.5

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Exemplos


1 +(s + 5)

(s2 + s + 1)(s + 2)(s + 1)2= 0

As razes de D(s) estao fora de C e assim Np = 0. Omapeamento de C e o ponto crtico 1 + j0 indicam queNcrit = 2. Duas razes estao situadas no semi-plano direitocomplexo (Nz = 2).

3 2 1 0 1 2 32.5

0

2.5

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Exemplos


1 (20s2 + 10)

(s + 2)2(s 1)2 = 0

Duas razes de D(s) estao no interior de C e assim Np = 2. Omapeamento de C e o ponto crtico 1 + j0 indicam queNcrit = 1. Uma raz esta situada no semi-plano direitocomplexo (Nz = 1).

3 2 1 0 1 2 31.5

0

1.5

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Criterio de Nyquist

Para sistemas a tempo discreto com equacao caracterstica

1 + N(z)

D(z)= 0

adotamos a curva C ilustrada na figura abaixo cujo interior ea regiao |z | < 1. Portanto, a condicao Nz = n assegura quetodas as razes de (s) = 0, de grau n, estejam localizadasdentro desta regiao.

Re(z)

Im(z)

C

1

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Criterio de Nyquist

Para a curva C escolhida podemos enunciar :

Fato (Criterio de estabilidade de Nyquist)

Todas as razes da equacao algebrica (z) = 0, de grau n, estaolocalizadas na regiao |z | < 1 se e somente se Ncrit + Np = n.

Se uma ou mais razes de (z) = 0 estiverem localizadas sobreo crculo unitario, (nem dentro e nem fora de C ), o valor deNcrit torna-se indefinido, ou seja, o mapeamento deN(z)/D(z) passa sobre o ponto crtico 1/+ j0.Como a curva C e o crculo unitario, o seu mapeamento e feitoatraves do calculo de N(z)/D(z) para z = e j, [0, 2]que nada mais e que a sua resposta em frequencia.Uma outra possibilidade e a aplicacao da versao contnua docriterio de Nyquist na equacao mod(s).

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Exemplo

Aplique o criterio de Nyquist na seguinte equacaocaracterstica de um sistema a tempo discreto

1 +(z + 4)

(z 1/2)(z + 1/2)(z + 3/2) = 0

Duas razes de D(z) estao no interior de C e assim Np = 2. Omapeamento de C e o ponto crtico 1 + j0 indicam queNcrit = 2. Nenhuma raz esta situada no interior do crculounitario (Nz = 0).

2 0 2 4 6 8 104

2

0

2

4

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Criterio de Lyapunov

O criterio de Lyapunov e bastante geral e se aplica a sistemasdinamicos lineares ou nao lineares, a tempo contnuo oudiscreto, descritos atraves de suas equacoes de estado. A ideiacentral, simples e intuitiva, e a seguinte:

O ponto xe Rn no espaco de estado de um sistema dinamicoe denominado ponto de equilbrio se

x(0) = xe = x(t) = xe t 0

Sendo v(x) uma funcao que mede a distancia de um pontogenerico x Rn no espaco de estado ate um ponto deequilbrio xe , se para toda condicao inicial x(0) = x0 a funcaov(x(t)) diminui e tende para zero no decorrer do tempo, entaoxe e globalmente assintoticamente estavel.

O criterio de Lyapunov baseia-se na escolha da funcaodistancia v(x) e na imposicao de que v(x(t)) seja uma funcaodecrescente em relacao a t 0.

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Para um sistema linear a tempo contnuo com representacaode estado

x = Ax

onde x Rn, a origem e um ponto de equilbrio. Escolhendov(x) = x Px com P > 0 e derivando em relacao ao tempoobtemos

v = x Px + x Px = x (AP + PA)x

Dada Q > 0, se for possvel determinar P > 0 solucao dachamada equacao de Lyapunov

AP + PA = Q

entao v = x Qx < 0 para todo x 6= 0 Rn, fazendo comque v(x(t)) seja uma funcao decrescente em relacao aotempo.

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Ademais, como Q e P sao matrizes definidas positivas, existe > 0 suficientemente pequeno tal que P < Q. Portanto

v v v(t) etv(0)

ou seja v(t) tende a zero e, da mesma forma, x(t) tende aoponto de equilbrio xe = 0 assintoticamente. Observe quequanto maior , maior e a velocidade com que x(t) seaproxima da origem.

Lema (Criterio de Lyapunov)

O sistema a tempo contnuo x = Ax e assintoticamente estavel see somente se para Q > 0 dada, existir P > 0 solucao da equacaomatricial AP + PA = Q.

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Considere um sistema dinamico assintoticamente estavel

x = Ax , x(0) = x0

y = Cx

o qual, a partir da condicao inicial x0 Rn, produz uma saday(t) 0 quando t . Desejamos avaliar a qualidade dotransitorio atraves do calculo do ndice

J =

0y(t)y(t)dt

Com a solucao P 0 de AP + PA = C C , temos

J =

0vdt = v(x0) v(x())

=0

= x 0Px0

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De maneira analoga podemos obter os resultados validos parasistemas a tempo discreto, com representacao de estado

x(k + 1) = Ax(k)

onde x(k) Rn. Como a origem e um ponto de equilbrio,escolhendo novamente v(x) = x Px com P > 0, obtemos

v(x(k + 1)) v(x(k)) = x(k)(APA P)x(k)Dada Q > 0, se for possvel determinar P > 0 solucao dachamada equacao de Lyapunov discreta

APA P = Qentao v(x(k + 1)) v(x(k)) = x(k)Qx(k) < 0 para todox(k) 6= 0 Rn, fazendo com que v(x(k)) seja uma funcaodecrescente em relacao ao tempo.

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Ademais, como Q e P sao matrizes definidas positivas, existe > 0 suficientemente pequeno tal que P < Q. Portanto

v(k + 1) (1 )v(k) v(k) (1 )kv(0)

ou seja v(k) tende a zero e, da mesma forma, x(k) tende aoponto de equilbrio xe = 0 assintoticamente. Observe quequanto mais 1, maior e a velocidade com que x(k) seaproxima da origem.

Lema (Criterio de Lyapunov)

O sistema a tempo discreto x(k + 1) = Ax(k) e assintoticamenteestavel se e somente se para Q > 0 dada, existir P > 0 solucao daequacao matricial APA P = Q.

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Considere um sistema dinamico assintoticamente estavel

x(k + 1) = Ax(k), x(0) = x0

y(k) = Cx(k)

o qual, a partir da condicao inicial x0 Rn, produz uma saday(k) 0 quando k . Desejamos avaliar a qualidade dotransitorio atraves do calculo do ndice

J =

k=0

y(k)y(k)

Com a solucao P 0 de APA P = C C , temos

J =

k=0

(v(x(k)) v(x(k + 1))) = v(x0) v(x())

=0

= x 0Px0

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Lugar das razes

Lugar das razes

Considere a equacao caracterstica de um sistema a tempocontnuo escrita na forma

1 + N(s)

D(s)= 0

onde N(s) e um polinomio de grau m com coeficientes reais,D(s) e um polinomio de grau n m com coeficientes reais e e um numero positivo arbitrario. Lugar das razes e adenominacao do lugar geometrico das n razes desta equacaoparametrizadas em relacao a > 0. Devemos notar que :

O lugar das razes pode ser obtido resolvendo-seD(s) + N(s) = 0 para todo > 0.O lugar das razes tem n ramos, cada um deles correspondentea uma das razes da equacao.Um tracado aproximado do lugar das razes pode ser feito apartir de algumas regras simples dadas a seguir.

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Lugar das razes

Lugar das razes

Assumindo que N(s) e D(s) possam ser fatorados como

N(s) =

m

i=1

(s zi) , D(s) =n

i=1

(s pi )

onde zi sao os zeros e pi sao os polos, para um ponto genericos C podemos determinar as formas polares

s zi = |s zi |e ji , i = 1, ,m

s pi = |s pi |e ji , i = 1, , ne, portanto, para que um ponto s C pertenca ao lugar dasrazes, duas condicoes devem ser satisfeitas simultaneamentepara algum > 0.

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Lugar das razes

Lugar das razes

condicao de modulo :m

i=1 |s zi |ni=1 |s pi |

=1

condicao de angulo :

m

i=1

i n

i=1

i = (2k + 1)

para algum k Z. E muito importante observar que paratestar se um determinado ponto s C pertence ao lugar dasrazes, basta verificar a condicao de angulo. Se ela forsatisfeita, o ponto em questao pertence ao lugar das razes e oganho correspondente > 0 e determinado pela condicao demodulo.

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Lugar das razes

Exemplo

A figura abaixo mostra o lugar das razes para

1 + s + 1

s(s + 2)(s + 0.5)= 0

onde observamos que o ponto s indicado nao satisfaz acondicao de angulo. Note que o lugar das razes tem tresramos, cada um correspondente a cada raz da equacao.

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 14

3

2

1

0

1

2

3

4

Re(s)

Im(s)

s

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 1 permite determinar os pontos ondecomecam e onde terminam os ramos do lugar das razes.

Regra (1)

Os n ramos do lugar das razes comecam nos polos pi , i = 1, , ncom 0 e terminam nos zeros zi , i = 1, ,m com .

Considere a equacao em estudo escrita na formaD(s) + N(s) = 0. Fazendo 0 as suas razes tendempara as razes D(s) = 0. Por outro lado, com a formaalternativa 1D(s) + N(s) = 0, fazendo as suasrazes tendem para as razes de N(s) = 0.Se n > m, existem n m ramos cujas terminacoes nao estaodefinidas pela regra 1. Este aspecto e tratado pela regra 2.

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 2 permite determinar as terminacoes den m ramos quando n > m e .

Regra (2)

Se n > m, nm ramos do lugar das razes tendem para infinitoassintoticamente a n m retas com coeficiente linear

=

ni=1 pi

mi=1 zi

n me coeficientes angulares

k =(2k 1)n m , k = 1, , (n m)

Note que todas estas (n-m) retas, desenhadas no planocomplexo, passam pelo mesmo ponto do eixo real + j0.

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Lugar das razes

Regras basicas

Observe que para n > m e |s| arbitrariamente grandepodemos adotar a aproximacao

N(s)

D(s) 1

(s )(nm)

e assim a equacao aproximada tem como razes

s = + nm nm

(1)

Por outro lado, lembrando que nm

(1) = e jk , obtemos

s = + nme jk , k = 1, , n m

No plano complexo, fazendo > 0 variar, determinamosn m retas que passam pelo ponto + j0, cada uma delascom coeficiente angular k .

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 3 permite determinar os pontos do eixo realque pertencem ao lugar das razes.

Regra (3)

Todos os pontos do eixo real que estejam localizados a esquerda de

um numero mpar de polos e zeros pertence ao lugar das razes.

De fato, considere s um ponto qualquer do eixo real. Parapolos e zeros complexos e seus conjugados temosi + j = i + j = 2. Por outro lado, para polos e zerosreais situados a esquerda de s temos p = p = 0.Finalmente, para polos e zeros reais situados a direita de stemos q = q = e, quando forem em numero mpar, acondicao de angulo sera satisfeita.

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 4 e bastante geral e consolida propriedades jaconhecidas de equacoes algebricas.

Regra (4)

Como todos os coeficientes dos polinomios N(s) e D(s) sao reais,as seguintes propriedades sao validas :

O lugar das razes e simetrico em relacao ao eixo real.

O cruzamento do lugar das razes com o eixo imaginario j podeser calculado com o criterio de Routh-Hurwitz ou de Nyquist.

A primeira propriedade decorre do fato de que se s C e razde uma equacao algebrica com coeficientes reais entao omesmo ocorre com o seu conjugado. A segunda propriedadesimplesmente indica que os criterios de estabilidademencionados permitem identificar razes imaginarias puras.

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 5 fornece uma condicao necessaria quepermite identificar pontos onde ocorrem cruzamento de ramos.

Regra (5)

Se no ponto s C um ou mais ramos se cruzam entao

N(s)D (s) D(s)N (s) = 0

Para um determinado valor de > 0, se em um ponto s Cum ou mais ramos se cruzam entao D(s) + N(s) = 0 admitesolucoes multiplas. Da mesma forma D (s) + N (s) = 0 daqual eliminado-se o valor de obtemos o resultado desejado.Observe que se trata apenas de uma condicao necessaria.Assim sendo, podem existir razes da equacao acima onde naoocorre cruzamento de ramos.

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Lugar das razes

Regras basicas

A regra numero 6 fornece um procedimento de calculo paraalguns angulos do lugar das razes.

Regra (6)

Os angulos de sada dos polos, os angulos de chegada nos zeros e

os angulos de sada nos pontos de cruzamento de ramos podem ser

determinados pela condicao de angulo.

Esta regra parece obvia mas sua aplicacao precisa ser bementendida. Por exemplo, considere um polo qualquer p1 e umponto s C arbitrariamente proximo. A reta entre s e p1 seconfunde com a reta tangente ao ramo que passa por p1.Como s e p1 estao localizados arbitrariamente proximos umdo outro, o angulos i , i 6= 1 e i sao conhecidos. Acondicao de angulo permite determinar 1 e, portanto, oangulo de sada do polo p1.

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Lugar das razes

Exemplos

Exemplo 1 : Na figura abaixo mostramos o lugar das razes de

1 + 2

(s + 2)(s + 1)2= 0

Observe as tres assntotas para .

5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3

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Lugar das razes

Exemplos

Exemplo 2 : Na figura abaixo mostramos o lugar das razes de

1 + (s + 5)

(s2 + s + 1)(s + 2)(s + 1)2= 0

Observe as quatro (n m = 4) assntotas para .

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

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Lugar das razes

Exemplos

Exemplo 3 : Na figura abaixo mostramos o lugar das razes deum sistema a tempo discreto

1 + (z + 4)

(z 1/2)(z + 1/2)(z + 3/2) = 0

Observe as duas assntotas e dois ramos cruzando o crculounitario.

5 4 3 2 1 0 1 210

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

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Lugar das razes

Regras basicas

Conforme o leitor pode constatar, o tracado do lugar dasrazes e invariante para sistemas a tempo contnuo ou atempo discreto. Sob as hipoteses ja comentadas, as regras seaplicam para a equacao

1 + N()

D()= 0 , > 0

onde e uma variavel complexa (s ou z).

Entretanto, as regras mudam em algumas situacoes. Porexemplo, as regras para o tracado do lugar das razes para aequacao

1 N(s)D(s)

= 0 , > 0

sao diferentes daquelas apresentadas. Discuta as diferencas!

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Reducao de modelos via polos dominantes

Reducao de modelos

Sendo G (s) uma funcao de transferencia assintoticamenteestavel de ordem elevada deseja-se aproxima-la por outraGap(s) de ordem menor. A ideia e manter na funcaoaproximada os modos de G (s) mais lentos (polos dominantes)pois os demais desaparecerao mais rapidamente. DecompondoG (s) em fracoes parciais (polos distintos)

G (s) =n

i=1

is pi

com 0 > Re(p1) Re(pn), se desejarmos manter osr



Reducao de modelos

As seguintes consideracoes sao importantes :

Se um polo dominante complexo for retido em Gap(s), omesmo deve ocorrer com o seu complexo conjugado.Os coeficientes i associados a polos complexos conjugadosdevem ser complexos conjugados para que os coeficientes deGap(s) sejam reais.

E preciso determinar um criterio para escolher os coeficientesi , i = 1, , r . A escolha obvia i = i para todoi = 1, , r geralmente nao leva a uma boa aproximacao.

Como o transitorio foi levado em conta pela escolha dos rmodos mais lentos, a escolha dos coeficientes i , i = 1, , rdeve ser feita de tal forma a reduzir o erro entre a resposta deG (s) e Gap(s) em regime permanente.

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Reducao de modelos

Neste sentido, e importante notar que a decomposicao emfracoes parciais permite determinar:

resposta ao degrau unitario :

G(s)

s=

G(0)

s+ U(s)

resposta a rampa unitaria :

G(s)

s2=

G (0)

s+

G(0)

s2+ R(s)

onde as inversas de U(s) e R(s) desaparecem no decorrer dotempo. Portanto, em regime permanente, o comportamentoda resposta de G (s) depende exclusivamente de G (s) e desuas derivadas sucessivas calculadas em s = 0.

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Reducao de modelos

Assim sendo, com o criterio

G(k)ap (0) = G

(k)(0) , k = 0, , r 1

podemos determinar os coeficientes i C, i = 1, , ratraves da solucao do sistema linear de equacoes :

1p1

1pr

... ...(r1)!

pr1 (r1)!

prr

1...r

=

G (0)...

G r1(0)

Note que sendo G (0) e as derivadas sucessivas calculadas ems = 0 numeros reais a solucao do sistema acima forneceravalores complexos conjugados de i associados aos pares depolos complexos conjugados.

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Exemplo

Considere a funcao de transferencia

G (s) =150(s + 1)

(s + 2)(s2 + 2s + 2)(s2 + 6s + 18)

que tem cinco polos {1 j ,2,3 3j} e um zero {1}.Com as derivadas sucessivas de G (s) obtemos

G (0) = 2.0833, G (1)(0) = 1.7361, G (2)(0) = 0.1157

que permitem calcular aproximacoes com ate tres polosdominantes. Por exemplo, para r = 3 determinamos aaproximacao de fase nao mnima

Gap = 2.3148(s 3.445)(s + 1.045)(s + 2)(s2 + 2s + 2)

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Exemplo

Na figura abaixo mostramos as respostas ao degrau unitariopara G (s) e para as aproximacoes de ordem 2 e 3. Nota-se,como requerido, que as tres respostas tendem para o mesmovalor em regime permanente. Ademais, a aproximacao deordem 3 e melhor que a de ordem 2 em boa parte do tempode simulacao mas nao para todo t 0.

0 1 2 3 4 5 60.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]

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Captulo II - Fundamentos MatemticosPrincpio da variao do argumentoMatrizes simtricasCritrios de estabilidadeLugar das razesReduo de modelos via plos dominantes

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