notas de aula

de

funes de vrias variveis

cincias uema

Elaborada por :

Raimundo Merval Morais Gonalves Licenciado em Matemtica/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Cincias/UEMA

So Lus MaAGOSTO / 2011

NDICE

p.

1. Funes de vrias variveis ......................................................... 03

2. Limites e Continuidade ................................................................. 07

3. Derivadas Parciais ....................................................................... 10

4. Regra da Cadeia ............................................................................ 15

5. Derivadas Parciais Direcionais ..................................................... 20

6. Plano Tangente e Reta Normal ..................................................... 24

7. Pontos Extremos Mximos e Mnimos ....................................... 26

8. Mximos e Mnimos Restritos ....................................................... 29

9. Integrais Duplas ........................................................................... 32

10. Integrais Triplas ............................................................................ 46

11. Coordenadas Polares .................................................................. 44

2

FUNES DE VRIAS VARIVEIS

1. INTRODUO Vamos estender o conceito de funo a funes de mais de uma varivel independente. Tais funes ocorrem frequentemente em situaes prticas. Por exemplo, a rea aproximada da su-perfcie do corpo de uma pessoa depende do seu peso e altura. O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e a altura. De acordo com a lei do gs ideal, o volume ocupado por um gs confi-nado diretamente proporcional sua temperatura e inversamente proporcional sua presso. O custo de um determinado produto pode depender do custo do trabalho, preo de materiais e despesas gerais. Para ampliar o conceito de funo a funes de um nmero qualquer de variveis, precisa-mos primeiro considerar pontos num espao numrico n-dimensional. Da mesma forma que denota-mos um ponto em R por um nmero real x, um ponto em R 2 por um par ordenado de nmeros reais ( x, y ) e um ponto em R 3 por um tripla ordenada de nmeros reais ( x, y, z ), um ponto do espao n-dimensional, R n , representado por uma nupla de nmeros reais, sendo comumente denotado por P = ( x 1, x 2, x 3, . . . , x n )

2. FUNES DE DUAS VARIVEIS DEFINIO : Uma funo de duas variveis reais a valores reais uma funo : A B, onde A

R 2. Uma tal funo associa a cada par ( x, y ) A, um nico nmero ( x, y ) R. O domnio todo o plano xy ou parte dele.

EXEMPLOS :a) ( x, y ) = x2 2xy b) g( x, y ) = x y 2 c) z = x2 + y2

OBSERVAO : Quando os valores de uma funo so dados por uma frmula e no descrevemos ex-plicitamente o Domnio da funo, admitimos que o domnio consista de todos os pontos ( x, y ) para os quais a frmula definida.

2. 1 GRFICO O grfico de uma funo ( x, y ) uma superfcie que representa o conjunto de pontos ( x, y, z ) R 3 para os quais ( x, y) R 2 ( domnio) e z = ( x, y ).

3

2.2 CURVAS DE NVEL A representao geomtrica de uma funo de duas variveis no tarefa fcil. Ento quando se pretende ter viso geomtrica da funo, utiliza-se as suas curvas de nvel, por ser mais fcil de se obter a sua representao geomtrica. Uma curva de nvel de uma funo ( x, y ) a curva ( x, y ) = c ( c = cte ) no plano xy, logo a curva de nvel consiste dos pontos ( x, y ) R 2 onde a funo tem valor c .

3. FUNES DE TRS VARIVEIS DEFINIO : Uma funo de trs variveis reais, definida em A R 3, uma funo que associa, a

cada terno ( x, y, z ) A, um nico nmero real w = ( x, y, z ) R. O domnio todo o R 3 ou parte dele.

EXEMPLOS :

a) ( x, y, z ) = x 2 + 2xy z b) g( x, y, z ) = 2x2 + y2 z3 c) w = x2 3z2 + y

3. 1 SUPERFCIES DE NVEL O grfico de uma funo de trs variveis um subconjunto do espao de quatro di -menses e, como tal, no temos a possibilidade de represent-lo em um desenho. Dizemos que se trata de uma hipersuperfcie de R 4 . De modo geral, o grfico de uma funo : A R , onde A R n uma hipersuperf-cie do espoco R n + 1 . Como j foi dito no possvel visualizar o grfico de uma funo de trs variveis, pois o grfico em 4 dimenses. Em vez disso, consideramos suas Superfcies de Nvel. Uma superfcie de nvel de ( x, y, z ) uma superfcie ( x, y, z ) = c no R 3, onde a funo tem valor constante.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Seja a funo definida por ( x , y ) = 1 + 3x2 y . Determine :

a) Domnio de ; b) ( 1, 4 ) c) ( 0, 9 ) d) ( 1, 1 )

2. Determinar as superfcies de nvel da funo w = 2 2 2x y z+ + . Dar exemplos de trs pontos per-tencentes ao grfico de w .

3. Determinar o domnio e descrever o mesmo das funes :

a) ( x, y ) = ln ( x 2 y ) b) ( x, y ) = 2 2x y 4+

c) ( x, y, z ) = ln ( 16 4x 2 4y 2 z 2 ) d) ( x, y ) = 2

2

y x1 x

4

LISTA DE EXERCCIOS

1. Encontrar uma funo de vrias variveis que nos d :

a) O volume de gua necessrio para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.

b) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, numericamente igual a distn-cia do ponto ao centro da esfera .

2. Seja a funo g(x, y) = yx 2 . Calcule a imagem dos pontos abaixo .

a) P( 3, 5 ) b) M( 4 , 9 ) c) T( x + 2 , 4x + 4 )R. 2 ; 5

3. Esboce o grfico das funes abaixo :

a) ( x, y ) = x + y 4 b) g( x, y ) = x 2 + y 2

c) h( x, y ) = 22 yx25 d) ( x, y ) = 1 x 2 y

4. Encontre o domnio e conjunto imagem das funes de duas variveis abaixo .

a) ( x, y) = yx1 b) g( x, y) = ln ( xy 1) c) z = yx +

d) g( x, y ) = x 2 + y 2 2 e) ( x, y ) = 22 yxe + g) h( x, y ) = 2 29 x y

5. Trace algumas curvas de nvel das funes abaixo:

a) ( x, y ) = x 2y b) g( x, y ) = x 2 + y c) ( x, y ) = y . sen x

d) z = x . y e) h( x, y ) = x 2 + y 2 9

6. Encontre o domnio das funes abaixo :

a) ( x, y, z ) = 2x + y + z 2 b) g( x, y, z ) = ln (x2 + y2 4)

c) ( x, y, z ) = x1

+ y . z d) ( r, s, v, p ) = rs 2 + tg v + 4sv

e) h( x, y ) = 9yx 22 + f) h( x, y, z ) = 2x51

5

7. Dada a funo h(x, y) = 22 yx25 .

a) Determine o seu domnio e o represente no plano xy;

b) Escreva a equao da curva de nvel c = 4 e a represente no plano xy.

8. A temperatura do ponto P( x, y) de uma chapa dada por T( x, y) = 2x2 + y 2 6. Determine a equa-o da isoterma que passa pelo ponto A( 1, 4 ) e a represente no plano xy.

9. O potencial eltrico em uma regio do plano xy dado por V( x, y ) = 22 yx120

+ (V medido em

volts) .

a) Qual o lugar geomtrico dos pontos cujo potencial 30 volts?

b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto P( 1, 1 ).

10. Seja R(x, y) = 2x + 3y a receita de vendas de dois produtos de qualidades x e y. Esboce o grfico dos (x, y) para os quais R = 120, tal curva chamada em Economia de isoreceita.

11. Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preos unitrios so R$ 10,00 e R$ 30,00 respectivamente.

a) Determine a funo receita R( x, y ) ; b) Calcule R( 20, 40 ) ;

c) Represente graficamente os pares para os quais R = R$ 1200,00.R. b) R$ 1400,00

12. Seja ( x, y ) = 3x + 2y. Calcule:

a) ( 1, 1 ) b) h

)y,x(f)y,hx(f +

R . a ) 1 e b) 3

13. Considere a funo dada por ( x, y ) = 1x

y

.

a) Determine o conjunto domnio e o conjunto imagem da funo ;

b) Esboce algumas curvas de nvel da funo.

14. Hughes 299. A temperatura ajustada pelo fator vento( sensao trmica ) a temperatura que voc sente como resultado da combinao do vento e da temperatura , conforme tabela 2 .

a) Se a temperatura de 0 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?

b) Se a temperatura de 35 C e a velocidade do vento de 15 km/h, que temperatura voc sente ?

6

15. Hughes 306 . Esboce um diagrama de curvas de nvel correspondente funo C ( d, m ) = 40d + 0,15m. Inclua curvas de nvel com os valores C = 50, C = 100, C = 150 e C =200.

16. Hughes 306 . A figura abaixo representa as curvas de nvel da funo z = ( x, y ). A funo z crescente ou decrescente em relao varivel x ? E em relao varivel y ?

7

LIMITES E CONTINUIDADE

1. INTRODUO Enquanto um ponto varivel x num eixo coordenado pode se aproximar de um ponto fixo x o por apenas dois sentidos, um ponto varivel ( x, y ) num plano coordenado pode se aproximar de um ponto fixo P( x o , y o ) por um nmero infinito de caminhos.

DEFINIO : Dizemos, que o limite de ( x, y ) o nmero L e escrevemos LyxfPyx = ),(lim),(, desde que o valor de ( x, y ) da funo em ( x, y ) tende a L, quando ( x, y ) tende a ( x o , y o ) sobre todos os caminhos que esto no domnio de