Funções Logarítmicas e Exponenciais. Aula 13 · Aula 13 22 de Abril de 2020 Primeiro Semestre de...

Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas

Funcoes Logarıtmicas e Exponenciais.Aula 13

22 de Abril de 2020

Primeiro Semestre de 2020

SMA 0353 Calculo I



Vamos introduzir as funcoes exponenciais e logarıtmicas usandoapenas o que ja aprendemos no calculo.

Se a>0, a funcao f (x)= ax e chamada exponencial de base a.

Vejamos o que isso significa para x ∈ Q.

◮ Se x = n, um inteiro positivo, entao an =

n−vezes︷︸︸︷a · a · · · a.

◮ a0 = 1.

◮ Se x = −n, onde n e um inteiro positivo, entao a−n = 1an.

◮ Como, para b 6=0, (bp)q=(bq)p, se x= pq, 0 6=p∈Z, 0<q∈Z,

y = (ap)1q ⇔ yq = ap = ((a

1q )q)p = ((a

1q )p)q ⇔ y = (a

1q )p .

Definimos ap/q := (ap)1q = (a

1q )p.

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Ja temos que, para 0 < a, ax esta definida para todo x ∈ Q. Noteque, 1r = 1 para todo r ∈ Q.

Vamos estudar algumas propriedades da funcao Q ∋ r 7→ ar ∈ R

antes de defini-la para todo x ∈ R.

Proposicao (Propriedades)

Se a e b sao numeros reais positivos e r , s ∈ Q, entao

(a) ar+s = ar · as ,(b) (ar )s = ars ,

(c) (ab)r = ar · br ,(d) Para a > 1, r , s ∈ Q, r>s ⇒ ar >as , ou seja, Q∋ r 7→ar∈R

e estritamente crescente.

(e) Para 0<a<1, r , s∈Q, r>s ⇒ar<as , ou seja, Q∋ r 7→ar ∈R

e estritamente decrescente.

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De fato: Se r = pq, s = n

mcom p, n ∈ Z e q,m ∈ Z\{0},

(a) Note que,

(

ar ·as)qm

=(

ap

q ·a nm

)qm

=(

(ap)1q

)qm

·(

(an)1m

)qm

=(ap)m ·(an)q

= apm ·anq = apm+nq=(

apm+nq

qm

)qm

=(

ar+s)qm

.

Portanto ar+s = ar · as para todo r , s ∈ Q.

(b) Como (a1q )

1n = a

1qn , temos

(ap

q )mn = ((a

1q )p)

mn = (((a

1q )p)m)

1n = ((a

1q )pm)

1n

= (a1q )

pm

n = ((a1q )

1n )pm = (a

1qn )pm = a

pm

qn

Portanto (ar )s = ars para todo r , s ∈ Q.

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(c) Como (ab)1q = a

1q b

1q , temos

(ab)p

q = ((ab)1q )p = (a

1q b

1q )p = (a

1q )p(b

1q )p = a

p

q bp

q

(d) Se a > 1 e r , s ∈ Q, r > s, entao r − s = pqcom p e q

inteiros positivos. Segue que ap

q = (ap)1q > 1 e

ar = as · ar−s = as · ap

q > as .

(e) O resultado 0 < a < 1 segue da mesma forma.

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Exemplo

Se 0<a, considere a funcao f :N→R definida por f (n) = a1n .

Entao limn→∞

a1n = 1, ou seja, dado ǫ > 0, existe N ∈ N tal que, se

n ≥ N, entao |a 1n − 1| < ǫ.

De fato: Note que, se a > 1, da Propriedade Arquimediana daReta, dado ǫ > 0, existe N ∈ N tal que a−1<N ·ǫ. Para n≥N,

n·ǫ>a − 1=(a1n −1)(a

n−1n +a

n−2n + · · · +a

1n +1)>n·(a 1

n −1).

Aqui usamos bn− 1=(b−1)(bn−1+bn−2+ · · ·+b+1), com b=a1n .

Consequentemente, 0<a1n −1< a−1

n<ǫ, para n≥N. Provando o

resultado para a>1.

Se 1a> 1, dado ǫ > 0, existe N ∈ N tal que, n ≥ N implica que

0<(1a

) 1n −1= 1−a

1n

a1n

<ǫ. Logo, n ≥ N implica 1−a1n <a

1n ǫ<ǫ.

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Exemplo

Para 0 < a, a funcao Q ∋ r 7→ ar ∈ R e contınua.

De fato: Sejam n0∈N e r , s∈Q∩ [−n0, n0]. Se c=max{an0, a−n0}|ar − as | = |as(ar−s − 1)| ≤ c |ar−s − 1|.

Agora, do exemplo anteior, dado ǫ > 0, existe N ∈ N tal que

|a 1n − 1| < ǫ

ce |a− 1

n − 1| < ǫ

c, sempre que n ≥ N.

Desta forma, da monotonicidade de ax , se |r − s| < 1N

temos que

|ar−s − 1| < ǫ

c.

Segue que, dado ǫ > 0 existe 0 < δ = 1N< 1 tal que,

|r − s| < δ ⇒ |ar − as | ≤ c |ar−s − 1| < cǫ

c= ǫ.

Isto mostra a continuidade Q∋ r 7→ar ∈R. Note que, em [−n0, n0],a escolha de δ so depende de |r − s| e nao de r e s.

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Exemplo

Dado x ∈ R, se 0<a 6=1, existe o limite

limr→x

ar = ℓ.

De fato: Note que Q ∋ r 7→ ar ∈ R e estritamente monotona.

Seja ℓ=sup{ar :Q∋ r<x}, a>1 , (ℓ=inf{ar :Q∋ r<x}, a<1).

Note que, s>x ⇒ as>ℓ (as<ℓ). Assim, se r<x<s, ℓ ∈ (ar , as)

(ℓ ∈ (as , ar )) . Fixe n0∈N tal que n0> |x |+1.

Do que vimos anteriormente, dado ǫ>0 existe 1> δ =2δ′>0 tal

que se r , s ∈Q, r < x < s, |r − s| < δ, entao |as − ar | < ǫ.

Logo, x 6= t∈(x−δ′, x+δ′) ⇒ |at−ℓ|<ǫ e limr→x

ar =ℓ.

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Se x ∈ R e a > 0, definimos

ax = limr→x

ar .

E claro que a funcao R∋x 7→ ax ∈R+, definida acima, e contınua,

estritamente crescente se a>1 e estritamente decrescente se a<1.

Observacao:

◮ As propriedades provadas para Q permanecem validas para R

(a), (b) e (c), passando o limite, e (d) e (e), trivialmente.

◮ Para todo x ∈ R, 1x = 1.

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Se a e b sao numeros reais positivos e x , y ∈ R, entao

(a) ax+y = ax · ay , 1 = ax · a−x

(b) (ax)y = axy ,

(c) (ab)x = ax · bx ,(d) Para a>1, x , y ∈ R, x>y ⇒ ax >ay , ou seja, R∋x 7→ax∈R

e estritamente crescente.

(e) Para 0<a<1, x , y ∈R, x>y⇒ax<ay, ou seja, R∋ r 7→ax ∈R

e estritamente decrescente.

(f) A funcao ax :R→(0,∞) e contınua e bijetora. Se a>1 (a<1)

limx→−∞

ax = 0 (+∞) limx→+∞

ax = +∞ (0)

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A prova de (f ) segue do fato que, se a > 1, ax e estritamente

crescente, an = (1 + b)n > 1 + nb e

limn→∞

an = +∞, limn→∞

a−n = 0.

O caso a<1 segue usando o resultado para 1a>1. Segue, do

Teorema do Valor Intermediario, que Im(ax)=(0,∞).

Exercıcio: Esboce o grafico das funcoes f (x)=2x e f (x)=(12

)x.

Como, para 0 < a 6= 1, a funcao ax : R → (0,∞) e ou crescenteou decrescente, existe a funcao inversa sobre a sua imagem.

A inversa desta funcao e a funcao loga x : (0,∞) → R , chamadalogarıtimo de base a, que estudaremos na segunda parte da aula.

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Exemplo (O numero de Euler (1707-1783))

Considere o conjunto A = {en : n ∈ N} dos numeros racionais

definidos por

en =n∑

k=0

1

k!.

E claro que en+1 > en para todo n ∈ N. Note que

ek = 1 + 1 +1

2 · 1 +1

3 · 2 · 1 + · · ·+ 1

k · (k − 1) · · · 3 · 2 · 1

< 1 + 1 +1

2+

1

22+ · · · + 1

2k−1< 3 , ∀k ∈ N.

Logo A e limitado. Se e = supA, dado ǫ > 0 existe N ∈ N tal que

0<e−eN <ǫ. Logo 0<e−en<ǫ para todo n ≥ N. Escrevemos

e = limn→∞

n∑

k=0

1

k!

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Teorema

limn→∞

(

1 +1

n

)n

= e.

Prova: Seja tn =(1 + 1

n

)n. Entao

tn =

n∑

k=0

(n

k

) 1

nk

= 1 + 1 + (1− 1

n)1

2!+ · · ·+ (1− 1

n)(1− 2

n) · · · (1− n − 1

n)1

n!

≤n∑

k=0

1

k!= en.

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Por outro lado, para cada m ≤ n,

tn ≥ 1 + 1 + (1− 1

n)1

2!+ · · ·+ (1− 1

n)(1− 2

n) · · · (1− m − 1

n)1

m!

≥ (1− m − 1

n)em > em − m − 1

ne

Assim, dado ǫ > 0 fixe m ∈ N tal que em ≥ e− ǫ2 . Para este m

fixo, escolha N ∈ N tal que tn ≥ em − ǫ2 para todo n ≥ N. Logo,

se n ≥ N temos quee− ǫ ≤ tn ≤ e.

Isto prova que o resultado.

Disto obtemos

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e .

Basta notar que(

1 + 1[x ]+1

)[x ]≤

(1 + 1

x

)x ≤(

1 + 1[x ]

)[x ]+1

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Definicao

A funcao inversa da funcao exponencial, loga : (0,∞) → R, e

chamada funcao logarıtmica com base a. Assim,

loga x = y ⇔ ay = x .

Observacao: Note que loga x e uma funcao contınua que estadefinido para x > 0, a > 0 e a 6= 1. Alem disso satisfaz

loga(ax) = x , x ∈ R e aloga x = x , x > 0.

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Sejam a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1. Entao sao validas as seguintes

propriedades

(a) loga xy = loga x + loga y .

(b) loga xy = y loga x.

(c) logax

y= loga x − loga y .

(d) Se a > 1 a funcao logarıtmica e estritamente crescente , ou

seja, se x < y , entao loga x < loga y .

(e) Se 0<a<1 a funcao logarıtmica e estritamente decrescente,

ou seja, se x < y , entao loga x > loga y .

(f) (Mudanca de base) loga x =logb x

logb a.

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(a) O resultado segue notando que, para cada x , y ∈ R,

aloga xy = xy = aloga xaloga y = aloga x+loga y .

(b) De (a), para n ∈ N∗, x , y , z ∈ (0,∞), loga xn = n loga x e,

fazendo xn = z , temos loga z1n = 1

nloga z . Alem disso,

aloga1x = 1

x= 1

aloga x = a− loga x . (1)

Logo, loga xr = r loga x para todo r ∈ Q. O resultado segue

por passage ao limite.

(c) Segue trivialmente do que fizemos em a e de (??).

(d) Note que, a inversa de uma funcao crescente e crescente.

(e) Note que, a inversa de uma funcao decrescente e decrescente.

(f) Note que, de (b),

loga x · logb a = logb(aloga x) = logb x .

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Exercıcio: Esboce o grafico da funcoes logarıtmicas

f (x) = log2 x e f (x) = log 12x .

Definicao

A funcao logarıtmica com base e e chamada logaritmo natural e

denotada por loge x = ln x.

Note que (escrevendo y = ex − 1)

limx→0

ex − 1

x= lim

y→0

y

ln(1 + y)= lim

y→0

1

ln((1 + y)1y )

= 1,

onde a ultima igualdade segue do fato que limy→0(1 + y)1y = e.

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Observacao

Segue tambem do calculo anterior que

limy→0

ln(1 + y)

y= 1.

Exemplo

◮ A funcao f (x) =ln x

x2 − 1e contınua em (0,+∞)\{1} =

(0, 1) ∪ (1,+∞).

◮ Calcule o limite

limx→1

exp

(1−√

x

1− x

)

[R : e1/2].

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Exemplo

Onde h(x) = ln(1 + cos x) e contınua?

Note que h(x) = f (g(x)), onde f (x) = ln x e g(x) = 1 + cos x ,que sao funcoes contınuas.

Portanto, como a composta de funcoes contınuas e contınua, h(x)sera contınua onde estiver definida.

Agora ln(1 + cos x) esta definida quando 1 + cos x > 0.

Assim, nao esta definida quando cos x = −1, ou seja, quandox = ±π,±3π, ...

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definidos por

en =n∑

k=0

1

k!.


ek = 1 + 1 +1

2 · 1 +1

3 · 2 · 1 + · · ·+ 1

k · (k − 1) · · · 3 · 2 · 1

< 1 + 1 +1

2+

1

22+ · · · + 1

2k−1< 3 , ∀k ∈ N.



e = limn→∞

n∑

k=0

1

k!

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Teorema

limn→∞

(

1 +1

n

)n

= e.


n

)n. Entao

tn =

n∑

k=0

(n

k

) 1

nk

= 1 + 1 + (1− 1

n)1

2!+ · · ·+ (1− 1

n)(1− 2

n) · · · (1− n − 1

n)1

n!

≤n∑

k=0

1

k!= en.

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tn ≥ 1 + 1 + (1− 1

n)1

2!+ · · ·+ (1− 1

n)(1− 2

n) · · · (1− m − 1

n)1

m!

≥ (1− m − 1

n)em > em − m − 1

ne





Disto obtemos

limx→∞

(

1 +1

x

)x

= e .

Basta notar que(

1 + 1[x ]+1

)[x ]≤

(1 + 1

x

)x ≤(

1 + 1[x ]

)[x ]+1

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Definicao






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propriedades



(c) logax







logb a.

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aloga1x = 1

x= 1









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f (x) = log2 x e f (x) = log 12x .

Definicao




limx→0

ex − 1

x= lim

y→0

y

ln(1 + y)= lim

y→0

1

ln((1 + y)1y )

= 1,


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Observacao


limy→0

ln(1 + y)

y= 1.

Exemplo


x2 − 1e contınua em (0,+∞)\{1} =

(0, 1) ∪ (1,+∞).


limx→1

exp

(1−√

x

1− x

)

[R : e1/2].

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Exemplo






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