Função do 2º grau Questões Extras Prof. Hugo...

www.radixmatematica.com Prof. Hugo Gomes

1. (Uemg 2016) O lucro de uma empresa é dado

pela expressão matemática L R C, onde L é

o lucro, C o custo da produção e R a receita

do produto.

Uma fábrica de tratores produziu n unidades e

verificou que o custo de produção era dado

pela função 2C(n) n 1000n e a receita

representada por 2R(n) 5000n 2n .

Com base nas informações acima, a

quantidade n de peças a serem produzidas

para que o lucro seja máximo corresponde a um

número do intervalo

a) 580 n 720

b) 860 n 940

c) 980 n 1300

d) 1350 n 1800

2. (Imed 2016) Em um determinado mês, o lucro

de uma indústria de cosméticos é expresso por 2L(x) x 10x 11, em que x representa a

quantidade de cosméticos vendidos e L(x), o

valor do lucro em reais. Nessas condições, o lucro

máximo, em reais, atingido por essa indústria

corresponde a:

a) 24. b) 36. c) 48. d) 56. e) 64.

3. (Pucsp 2016) Para abastecer seu estoque, um

comerciante comprou um lote de camisetas ao

custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um

mês, no qual vendeu (40 x) unidades dessas

camisetas ao preço unitário de x reais, o seu

lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de

tais camisetas nesse mês, o percentual de

aumento repassado aos clientes, calculado

sobre o preço unitário que o comerciante pagou

na compra do lote, foi de:

a) 80% b) 75% c) 60% d) 45%

4. (Fepar 2016) O número de atendimentos N(d)

num pronto-socorro, num dia d da semana, é

dado pela função 2N(d) 2d 16d 14,

conforme o gráfico a seguir.

(Considere 0 d 7)

Analise os dados e avalie as afirmativas.

( ) No segundo dia da semana não houve

nenhum atendimento.

( ) O maior número de atendimentos ocorreu

no quarto dia da semana.

( ) O maior número de atendimentos num dia

foi 12.

( ) Em dois dias da semana não ocorreram

quaisquer atendimentos.

( ) A frequência de atendimento foi maior nos

fins de semana.

5. (Epcar (Afa) 2016) Uma fábrica produz

casacos de determinado modelo. O preço de

venda de um desses casacos é de R$ 200,00,

quando são vendidos 200 casacos. O gerente

da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou

que, para cada desconto de R$ 2,00 no preço

de cada casaco, o número de casacos

vendidos aumenta de 5.

A maior arrecadação possível com a venda dos

casacos acontecerá se a fábrica vender cada

casaco por um valor, em reais, pertencente ao

intervalo

a) [105 , 125[ b) [125 , 145[

c) [145 , 165[ d) [165 , 185[

6. (Uece 2015) Um objeto é lançado

verticalmente, para cima, de forma que a altura

alcançada h, medida em metros, e o tempo

decorrido após o lançamento t, medido em

segundos, estão relacionados pela equação 2h 120t 5t 0. Considerando h 0 e t 0 no

instante do lançamento, então o tempo

decorrido desde o lançamento até alcançar a

altura máxima, e a altura máxima atingida são

respectivamente

a) 10 seg e 700 m.

b) 12 seg e 720 m.

c) 12 seg e 800 m.

d) 10 seg e 820 m.

7. (Espcex (Aman) 2015) Um fabricante de

poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais,

este fabricante venderá por mês (600 x)

unidades, em que 0 x 600.

Assinale a alternativa que representa o número

de unidades vendidas mensalmente que

corresponde ao lucro máximo.

a) 150 b) 250 c) 350 d) 450 e) 550

8. (Insper 2015) O número n de pessoas

presentes em uma festa varia ao longo do

Função do 2º grau – Questões Extras Prof. Hugo Gomes


tempo t de duração da festa, em horas,

conforme mostra o gráfico a seguir.

Das opções abaixo, aquela que melhor

descreve a função n(t) é

a) 2n(t) 10t 4t 50.

b) 2n(t) 10t 40t 50.

c) 2n(t) 10t 4t.

d) 2n(t) t 40t.

e) 2n(t) 10t 40t.

9. (Uern 2015) Se o ponto (k,9) representa o

vértice da parábola determinada pela função

quadrática 2y 6x bx 15, então o valor da

incógnita b é

a) 6. b) 7. c) 12. d) 13.

10. (Acafe 2015) A figura abaixo representa um

portal de entrada de uma cidade cuja forma e

um arco de parábola. A largura da base (AB) do

portal e 8 metros e sua altura é de 10 metros. A

largura MN, em metros, de um vitral colocado a

6,4 metros acima da base é:

a) 5,2.

b) 3,6.

c) 6,0.

d) 4,8.

11. (G1 - ifsul 2015) Um móvel de R$ 360, 00

deveria ser comprado por um grupo de rapazes

que contribuíram em partes iguais. Como 4

deles desistiram, os outros precisaram aumentar

a sua participação em R$ 15, 00 cada um.

Qual era a quantidade inicial de rapazes?

a) 8 b) 12 c) 15 d) 20

12. (Acafe 2014) O vazamento ocorrido em

função de uma rachadura na estrutura da

barragem de Campos Novos precisa ser

estancado. Para consertá-la, os técnicos

verificaram que o lago da barragem precisa ser

esvaziado e estimaram que, quando da

constatação da rachadura, a capacidade C de

água no lago, em milhões de metros cúbicos,

poderia ser calculada por 2C(t) 2t 12t 110,

onde t é o tempo em horas.

Com base no texto, analise as afirmações:

l. A quantidade de água restante no lago, 4

horas depois de iniciado o vazamento, é de 30

milhões de metros cúbicos.

II. A capacidade desse lago, sabendo que

estava completamente cheio no momento

em que começou o vazamento, é de 110

milhões de metros cúbicos.

III. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da

rachadura quando o lago estiver vazio, isto é,

5 horas depois do início do vazamento.

IV. Depois de 3 horas de vazamento, o lago está

com 50% de sua capacidade inicial.

Todas as afirmações corretas estão em:

a) I - II - III b) I - III - IV

c) III - IV d) I - II - III - IV

13. (Upe 2014) A empresa SKY transporta 2 400

passageiros por mês da cidade de Acrolândia a

Bienvenuto. A passagem custa 20 reais, e a

empresa deseja aumentar o seu preço. No

entanto, o departamento de pesquisa estima

que, a cada 1 real de aumento no preço da

passagem, 20 passageiros deixarão de viajar

pela empresa.

Nesse caso, qual é o preço da passagem, em

reais, que vai maximizar o faturamento da SKY?

a) 75 b) 70 c) 60 d) 55 e) 50

14. (Uea 2014) A figura mostra um quadrado de

lado igual a 10 m. A região assinalada é

constituída de dois quadrados que não se

intersecionam e cujos lados medem x metros. A

área da região não assinalada pode ser obtida

pela lei 2A 100 2x .

Desse modo, quando x assumir o maior valor

inteiro permitido, a área da região não

assinalada será igual, em metros quadrados, a

a) 84. b) 36. c) 48. d) 68. e) 64.


15. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz

mensalmente x lotes de um produto. O valor

mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x e o custo mensal da produção

é dado por 2C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o

lucro é obtido pela diferença entre o valor

resultante das vendas e o custo da produção,

então o número de lotes mensais que essa

indústria deve vender para obter lucro máximo é

igual a

a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes.

e) 8 lotes.

16. (G1 - ifce 2014) Seja f: R R uma função

quadrática dada por onde

R são constantes e cujo gráfico

(parábola) está esboçado na figura.

É correto afirmar-se

que

a)

b)

c)

d)

e)

17. (Unifor 2014) Na figura abaixo, temos a

representação geométrica do gráfico de uma

parábola, cuja equação é 2y ax bx c.

Para esta parábola representada no gráfico

abaixo, os sinais dos produtos a b, a c e b c

são, respectivamente

a) negativo, negativo e positivo.

b) negativo, positivo e negativo.

c) negativo, negativo e negativo.

d) positivo, positivo e positivo.

e) positivo, negativo e negativo.

18. (Ufsm 2014) Ao descartar detritos orgânicos

nos lagos, o homem está contribuindo para a

redução da quantidade de oxigênio destes.

Porém, com o passar do tempo, a natureza vai

restaurar a quantidade de oxigênio até o seu

nível natural.

Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias

após os detritos orgânicos serem despejados no

lago, é expressa por 2

2

t 20t 198f(t) 100

t 1

por

cento (%) de seu nível normal.

Se 1t e 2t , com 1 2t t , representam o número de

dias para que a quantidade de oxigênio seja

50% de seu nível normal, então 2 1t t é igual a

a) 4 5.

b) 2 5.

c) 2 5 .

d) 4 5 .

e) 40.

19. (Upe 2014) Num terreno, na forma de

triângulo retângulo, com catetos de medidas 60

metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa

retangular com a maior área possível, como na

figura a seguir:

Qual é a medida da área do terreno destinado

à construção da casa em metros quadrados?

a) 600

b) 800

c) 1 000

d) 1 200

e) 1 400

20. (Fgv 2014) Um restaurante francês oferece

um prato sofisticado ao preço de p reais por

unidade. A quantidade mensal x de pratos que

é vendida relaciona-se com o preço cobrado

através da função p 0,4x 200.

Sejam 1k e 2k os números de pratos vendidos

mensalmente, para os quais a receita é igual a

R$21.000,00. O valor de 1 2k k é:

a) 450

b) 500

c) 550

d) 600

e) 650

2f(x) ax bx c,

a, b, c

a 0.

b 0.

c 0.

2b 4ac.

2f(a bc) 0.


Gabarito:

Resposta da questão 1:

[C]

Tem-se que

2 2 2L 5000n 2n (n 1000n) 3000000 3(n 1000) .

Portanto, deverão ser produzidas 1.000 peças

para que o lucro seja máximo.


[B]

O lucro da indústria é expresso por uma função

do segundo grau. O lucro máximo é dado pela

ordenada do vértice, isto é:

2

v

b 4acy ,

4a 4a

Δ onde:

a 1

b 10

c 11

Logo:

2

max max

10 4( 1)(11)L L 36 reais

4( 1)


[B]

O lucro L(x) será a diferença entre a receita e o

custo. Temos, então, a seguinte equação:

2

2

L(x) (40 x) x 16 (40 x)

L(x) 40x x 640 16x

L(x) x 56x 640

Determinando o valor de x (preço) para que o

lucro seja máximo;

V56

x 282 ( 1)

Portanto, o percentual de aumento será dado

por:

28 16 12 375%

16 16 4


F – V – F – V – F.

Vamos supor que N : {d |1 d 7} , sendo

d 1 o primeiro dia, d 2 o segundo dia, e

assim por diante, até d 7, o último dia.

No segundo dia da semana houve 10

atendimentos, pois

2N(2) 2 2 16 2 14 10.

O maior número de atendimentos ocorreu no

quarto dia da semana, pois

y16

d 4.2 ( 2)

O maior número de atendimentos num dia foi

18, pois

2N(4) 2 4 16 4 14 18.

Nos dias d 1 e d 7 não ocorreram quaisquer

atendimentos, pois N(1) N(7) 0.

Não foi informado quais são os dias que

correspondem ao final de semana.


[B]

Pode-se deduzir duas funções em x :

- Função do preço 1f (x) 200 2x, sendo x o

número de vezes que o desconto será dado.

- Função do quantidade 2f (x) 200 5x, sendo

x o número de vezes que o desconto será

dado.

A função da arrecadação será dada pela

multiplicação do preço pela quantidade de

casacos vendidos. Assim:

3

23

23

f (x) 200 2x 200 5x

f (x) 40.000 1.000x 400x 10x

f (x) x 60x 4.000

Logo, percebe-se que a função de

arrecadação é uma função do 2º grau,

representada graficamente por uma parábola

com concavidade para baixo. O vértice da

parábola representa a arrecadação máxima. A

coordenada x do vértice da parábola será

igual ao número máximo de vezes que o

desconto poderá ser concedido para conseguir

a arrecadação máxima.

Da fórmula para encontrar a coordenada x do

vértice, tem-se:

vértice

vértice

b 60x

2a 2 ( 1)

x 30

Para se descobrir por qual valor será vendido

cada casaco na arrecadação máxima, basta

substituir o valor de x na função do preço:


1f (x) 200 2 30 140, que pertence ao

intervalo [145 ,165[.


[B]

Pode-se reescrever a função dada no

enunciado: 2 2h 120t 5t 0 h 5t 120t

Sabendo que trata-se de uma função do

segundo grau, seu gráfico será uma parábola

cujo vértice (ponto máximo) representa a altura

máxima atingida e o tempo decorrido desde o

lançamento. Assim, a altura máxima máxh será

dada pelo vértice da parábola, calculado pela

fórmula: 2 2

máx máxb 4 a c 120 4 ( 5) 0

h h 720 m4a 4a 4 ( 5)

De forma análoga, substituindo o valor de máxh

e calculando a coordenada x do vértice, tem-

se: 2 2 2720 5t 120t 5t 120t 720 0 t 24t 144

b 24x x 12 s

2a 2


[A]

O lucro L(x) será dado por (600 x) (300 x). As

raízes da função são 300 e 600, o valor de x

para que o lucro seja máximo é a média

aritmética das raízes, portanto

vx (300 600) : 2 450. Logo, o número de

peças para que o lucro seja máximo, é:

600 450 150.


[E]

Seja n : a função dada por

1 2n(t) a (t t ) (t t ), com 1t e 2t sendo os

zeros da função n. Logo, sabendo que 1t 0,

2t 4 e (2, 40) pertence ao gráfico de n, vem

40 a (2 0)(2 4) a 10.

Portanto, a lei de n é 2n(t) 10 (t 0)(t 4) 10t 40t.


[C]

Se o ponto (k,9) representa o vértice da

parábola descrita no enunciado, então k é

igual a coordenada x do vértice, que é dada

por:

v vb b b

x x k2a 12 12

Substituindo o ponto dado (k,9) e o valor de k

na equação da parábola, tem-se: 2

2

2 22 2

9 6k bk 15

b b9 6 b 15

12 12

6b b6 0 b 144 0 b 144 b 12

144 12


[D]

Supondo um eixo vertical y dividindo a

parábola verticalmente e um eixo x passando

por A e B, pode-se deduzir que as

coordenadas do vértice serão (0, 10) e as

coordenadas dos pontos A e B serão ( 4, 0) e

(4, 0), respectivamente.

A equação geral da parábola é dada por: 2ax bx c y.

Sabendo que a coordenada x do vértice é

zero, então b 0, pois vérticex b 2a 0 b 0.

Assim, a equação da parábola em questão

terá a forma 2ax c y.

Substituindo os pontos conhecidos da parábola

na equação, tem-se: 2

2

V(0,10) a 0 c 10 c 10

5B(4, 0) a 4 c 0 16a c a

8

A equação final da parábola será:

25x 10 y.

8

Os pontos M e N têm coordenadas y

conhecidas: M( x, 6,4) e N(x, 6,4). Substituindo

os valores do ponto N na equação da

parábola, tem-se: 2 2 2 25 5 5

x 10 6,4 x 6,4 10 x 3,6 x 5,76 x 2,48 8 8

A distância entre M e N é o dobro do valor de

x, ou seja, 4,8 metros.


[B]

Sendo x igual ao número de rapazes e y igual

à quantia que cada um deve disponibilizar

inicialmente, pode-se escrever:

360xy 360 y

x


Após a desistência de 4 rapazes, a quantia que

cada um deve que disponibilizar aumentou 15

reais, ou seja:

x 4 y 15 360 xy 4y 15x 60 360

Sabendo o valor de xy e de y conforme a

relação inicial, pode-se substituir:

2

2 2

2

1 2

360xy 4y 15x 60 360 360 4 15x 60 360

x

3604 15x 60 0 1440 15x 60x 0

x

15x 60x 1440 0 x 4x 96 0

( 4) 4 1 ( 96) 400

4 20x x 12 ; x 8

2

Como é impossível ter uma quantidade

negativa de pessoas, conclui-se que o número

inicial de rapazes era 12.


[A]

[I] Correta. De fato, a quantidade de água no

lago, em milhões de metros cúbicos, após 4

horas, é dada por

2C(4) 2 4 12 4 110 30.

[II] Correta. Com efeito, tem-se que C(0) 110.

[III] Correta. Os técnicos só poderão iniciar o

conserto da rachadura quando C(t) 0, ou

seja, quando

22t 12t 110 0 2 (t 5) (t 11) 0

t 5 h.

[IV] Incorreta. A quantidade de água no lago,

em milhões de metros cúbicos, após 3

horas, é igual a

2C(3) 2 3 12 3 110 56.

Por outro lado, tem-se que 0,5 110 55 milhões

de metros cúbicos.


[B]

Seja n o número de aumentos de 1 real no

preço da passagem. Logo, se f é o

faturamento da empresa, então

f (n 20)(2400 20n) 20(n 20)(n 120).

Donde podemos concluir que o número de

aumentos de 1 real que maximiza f é

20 12050.

2

Portanto, o resultado pedido é

20 50 R$ 70,00.


[D]

O maior valor inteiro para o lado do quadrado,

de acordo com as condições acima, é 4m.

Portanto, a área da região não assinalada é: 2 2A 100 2 4 68m .


[D]

Seja L(x) o lucro obtido, então:

L(x) = V(x) – C(x) = – 2x2 + 28x + 40

O valor de x para que L(x) seja máximo será

dado por:

Vb 28

x 72 a 2 ( 2)


[D]

A concavidade da parábola voltada para

cima implica em

Desde que e tem-se

Note, no gráfico, que

Como para todo e

segue-se que

Do gráfico sabemos que a parábola não

intersecta o eixo das abscissas. Logo,


[D]

Como a parábola tem concavidade para

baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um

ponto de ordenada negativa, temos a 0 e

c 0. Além disso, a abscissa do vértice também

é negativa. Daí, só pode ser b 0. Em

consequência, a b 0, a c 0 e b c 0.


a 0.

vb

x 02a

a 0, b 0.

f(0) c 0.

f(x) 0 x 2(a bc) ,

2f(a bc) 0.

2 2b 4ac 0 b 4ac.


[C]

2

2

2

2

2 2

2 2

2

2

2 1

t 20t 198f(t) 100

t 1

100 (t 20t 198)50

t 1

2.(t 20 t 198) t 1

2 t 40 t 396 t 1 0

t 40t 395 0

( 40) 4 395 20

( 40) 20 40 2 5t 20 5

2 1 2

Portanto, t t 20 5 (20 5) 2 5

Δ


[D]

Considere a figura, em que AC 80 m e

AB 60 m.

Tomando AD y e AF x, da semelhança dos

triângulos ABC e DEC, obtemos

CD DE 80 y x

80 60CA AB

4xy 80 .

3

Logo, a medida da área do terreno destinado à

construção da casa é dada por

2

2

2

(ADEF) AF AD

4xx 80

3

4(x 60x)

3

4[(x 30) 900]

3

41200 (x 30) .

3

Portanto, a área máxima é igual a 21200 m ,

quando x 30 m.


[B]

Desde que p 0,4x 200, temos

2

p x 21000 ( 0,4x 200) x 21000

x 500x 52500 0.

Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se

que 1 2k k 500.

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