FUV – limitesContinuidade e o Teorema do Valor Intermediário

Rodrigo Hausen

v. 2015-2-19 1/15

Função contínua em aInformalmente: no gráfico, não apresenta “quebra” ou “furo”

para x = a.

f (a)

x0

y

a

y = f(x)

v. 2015-2-19 2/15

Função descontínua em aNão é contínua em a pois apresenta “furo.”

.

f (a)

x0

y

a

y = f(x)

L

f (a) existe, mas limx→a

f (x) ≠ f (a).

v. 2015-2-19 3/15

Função descontínua em aNão é contínua em a pois apresenta “quebra.”

.

x0

y

a

y = f(x)

f (a) existe, mas limx→a

f (x) indeterminado

v. 2015-2-19 4/15

Função descontínua em aNão é contínua em a pois apresenta “quebra.”

.

x0

y

a

y = f(x)

f (a) não existe e limx→a

f (x) indeterminado

v. 2015-2-19 5/15

Função contínua em aDefinição. Uma função real é dita contínua em a se

todas as 3 condições abaixo são verdadeiras.

f (a)

x0

y

a

y = f(x)

1) f (a) está definido; 2) limx→a

f (x) existe; e 3) limx→a

f (x) = f (a)

v. 2015-2-19 6/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 1. Para quais valores de a a função

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

é contínua? Para quais é descontínua?

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

=(x + 1)(x − 2)(x − 1)

(x + 1)(x − 2)Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então

f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)

= x − 1.

Logo, limx→a

f (x) = limx→a

(x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2)

= limx→a

(x − 1) = a − 1.

Note que o limx→a

f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:

Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim

x→af (x) = f (a) (contínua)

v. 2015-2-19 7/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 1. Para quais valores de a a função

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

é contínua? Para quais é descontínua?

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

=(x + 1)(x − 2)(x − 1)

(x + 1)(x − 2)

Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então

f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)

= x − 1.

Logo, limx→a

f (x) = limx→a

(x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2)

= limx→a

(x − 1) = a − 1.

Note que o limx→a

f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:

Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim

x→af (x) = f (a) (contínua)

v. 2015-2-19 7/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 1. Para quais valores de a a função

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

é contínua? Para quais é descontínua?

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

=(x + 1)(x − 2)(x − 1)

(x + 1)(x − 2)Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então

f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)

= x − 1.

Logo, limx→a

f (x) = limx→a

(x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2)

= limx→a

(x − 1) = a − 1.

Note que o limx→a

f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:

Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim

x→af (x) = f (a) (contínua)

v. 2015-2-19 7/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 1. Para quais valores de a a função

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

é contínua? Para quais é descontínua?

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

=(x + 1)(x − 2)(x − 1)

(x + 1)(x − 2)Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então

f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)

= x − 1.

Logo, limx→a

f (x) = limx→a

(x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2)

= limx→a

(x − 1) = a − 1.

Note que o limx→a

f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:

Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim

x→af (x) = f (a) (contínua)

v. 2015-2-19 7/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 1. Para quais valores de a a função

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

é contínua? Para quais é descontínua?

f (x) = x3 − 2x2 − x + 2x2 − x − 2

=(x + 1)(x − 2)(x − 1)

(x + 1)(x − 2)Se x ≠ −1 e x ≠ 2, então

f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 2)

= x − 1.

Logo, limx→a

f (x) = limx→a

(x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1) ∗ (x − 2)

= limx→a

(x − 1) = a − 1.

Note que o limx→a

f (x) = a − 1 está definido para todo a ∈ R, mas:

Se a ∈ {−1,2}, f (a) indefinido (não é contínua)Se a ∈ R ∖ {−1,2}, lim

x→af (x) = f (a) (contínua)

v. 2015-2-19 7/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 2. Seja g(x) = {sen(x)

x , se x ≠ 01, se x = 0

.

Demonstramos anteriormente:

limx→0

sen (x)x

= 1 (limite fundamental)

limx→a

sen (x) = sen (a) (exercício para casa)

Logo, limx→a

sen (x)x

= {sen(a)

a , se x ≠ 01, se x = 0

.

Veja que limx→a

sen (x)x

= g(a), logo g é contínua em a para todoa ∈ R.

v. 2015-2-19 8/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 2. Seja g(x) = {sen(x)

x , se x ≠ 01, se x = 0

.

Demonstramos anteriormente:

limx→0

sen (x)x

= 1 (limite fundamental)

limx→a

sen (x) = sen (a) (exercício para casa)

Logo, limx→a

sen (x)x

= {sen(a)

a , se x ≠ 01, se x = 0

.

Veja que limx→a

sen (x)x

= g(a), logo g é contínua em a para todoa ∈ R.

v. 2015-2-19 8/15

Continuidade: exemplos

Exemplo 2. Seja g(x) = {sen(x)

x , se x ≠ 01, se x = 0

.

Demonstramos anteriormente:

limx→0

sen (x)x

= 1 (limite fundamental)

limx→a

sen (x) = sen (a) (exercício para casa)

Logo, limx→a

sen (x)x

= {sen(a)

a , se x ≠ 01, se x = 0

.

Veja que limx→a

sen (x)x

= g(a), logo g é contínua em a para todoa ∈ R.

v. 2015-2-19 8/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)

Racionais f (x) = p(x)q(x) , p,q polinomiais

(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})

Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)

Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)

Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))

Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas

Teorema. São funções contínuas para todo a no seu domínio:Polinomiais p(x) = cnxn + . . . + c1x + c0 (Dom p = R)Racionais f (x) = p(x)

q(x) , p,q polinomiais(Dom f = R ∖ {x ∈ R ∣q(x) = 0})Raízes f (x) = n√x(se n par, Dom f = [0,+∞); se n ímpar, Dom f = R)Exponenciais f (x) = cx , c > 0 e c ≠ 1 (Dom f = R)Logarítmicas f (x) = logc(x), c > 0 e c ≠ 1(Dom logc = (0,+∞))Trigonométricas: sen, cos, tan, sec, cosec(cuidado com o domínio de cada uma!)Trigonométricas inversas: asen, acos, atan, asec, acosec(cuidado com o domínio de cada uma!)

v. 2015-2-19 9/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

=

limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

=

12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Antes de demonstrar o teorema, um exemplo de aplicação.

Exemplo 3. Avalie limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x)

Primeiramente, veja que limx→1

1 −√

x1 − x

= limx→1

1 −√

x(1 −

√x)(1 +

√x)

=

limx→1

11 +

√x

= 12 .

Sabemos que arcsen é contínua em seu domínio, que é [−1,1].

Como limx→1

1 −√

x1 − x

=12esté no domínio de arcsen, então

limx→1

arcsen(1 −

√x

1 − x) = arcsen(

12). ∎

v. 2015-2-19 10/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2.

Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1.

Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1.

Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1

= δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2

⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Demonstração. Para todos ε1 > 0, ε2 > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0tais que

∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣g(x) − b∣ < ε1∣x − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (x) − f (b)∣ < ε2.

Seja y = g(x) e reescrevamos a segunda implicação

∣y − b∣ < δ2 ⇒ ∣f (y) − f (b)∣ < ε2.

Dado ε > 0, faça ε2 = ε e obtenha δ2. Agora, faça ε1 = δ2 e obtenhaδ1. Por último, faça δ = δ1. Assim, temos

∣x − a∣ < δ ⇒ ∣y − b∣ < ε1 = δ2 ⇒ ∣f (g(x)) − f (b)∣ < ε ∎

v. 2015-2-19 11/15

Funções contínuas e limites

Teorema. se f é contínua em b e limx→a

g(x) = b, entãolimx→a

f (g(x)) = f (b).

Consequência imediata do teorema:Sejam f , g tais que g é contínua em a, f contínua em g(a).Então, a função composta f ○ g é contínua em a.

Obs.: (f ○ g)(x) = f (g(x))

v. 2015-2-19 12/15

Teorema do Valor Intermediário

Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se fé contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.

Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], eseja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c b

y = f

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c 1 c 2 c 3

y = f

b

A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de umconceito chamado supremo de um conjunto.

v. 2015-2-19 13/15

Teorema do Valor Intermediário

Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se fé contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.

Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], eseja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c b

y = f

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c 1 c 2 c 3

y = f

b

A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de umconceito chamado supremo de um conjunto.

v. 2015-2-19 13/15

Teorema do Valor Intermediário

Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo [a,b] se fé contínua para todo x tal que a ≤ x ≤ b.

Teorema do Valor Intermediário. Seja f contínua em [a,b], eseja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), onde f (a) ≠ f (b).Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal que f (c) = y .

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c b

y = f

0 x

y

f (b)

N

f (a)

a c 1 c 2 c 3

y = f

b

A sua demonstração depende do Axioma da Completude e de umconceito chamado supremo de um conjunto.

v. 2015-2-19 13/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R.

Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) =

4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 =

− 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) =

32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 =

12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎

v. 2015-2-19 14/15

Teorema do Valor Intermediário: consequência

Teorema do Valor Intermediário (TVI). Seja f contínua em[a,b], e seja y um valor qualquer entre f (a) e f (b), ondef (a) ≠ f (b). Então, existe pelo menos um c ∈ (a,b) tal quef (c) = y .

Exemplo 4. Demonstre que há uma raiz de 4x3 − 6x2 + 3x = 2entre 1 e 2.

Solução: seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Como f é uma funçãopolinomial, ela é contínua para todo x ∈ R. Em particular, écontínua em [1,2].

Calcule: f (1) = 4 − 6 + 3 − 2 = − 1f (2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12

Veja que f (1) < 0 < f (2) (ou seja, 0 é um valor entre f (1) e f (2),onde f (1) ≠ f (2)).

Pelo TVI, existe c ∈ (1,2) tal que f (c) = 0, ou seja c é raiz de f . ∎v. 2015-2-19 14/15

Para casa

Stewart: Seção 2.5 (continuidade).Ler seção 2.6 para familiarizar com assunto da semana quevem (derivadas)Terminar a lista 1 e lista 2 toda.

v. 2015-2-19 15/15