Lista de Exercícios – Fuvest 2ª Fase Prof. Elton ValienteMatemática – Geral

1. (Fuvest – 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$10.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles?

2. (Fuvest – 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade|x2−10 x+21|≤|3x−15|.

3. (Fuvest – 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade

|log16 (1−x2 )−log4 (1+x)|< 12

4. (Fuvest – 2010) Determine a solução ( x , y ) , y>1 ,para o sistema de equações

{ log y (9 x−35 )=6

log3 y (27 x−81 )=3

5. (Fuvest – 2009) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dada por

{ 4 x+2m2 y=02mx+(2m−1 ) y=0

Desse modo:a) Resolva o sistema para m=1.b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma ( x , y )=(α ,1), sendo α um número irracional.

6. (Fuvest – 2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é ½. Além disso, a diferença entre o sétimo termos e o segundo termo da PG é igual a 3.Nessas condições, determine:a) A razão da PG;b) A soma dos três primeiros termos da PG.

7. (Fuvest – 2009) Para cada número real m, considere a função quadrática f ( x )=x2+mx+2.Nessas condições:a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f(x).b) Determine os valores de m∈R para os quais a imagem de f contém o conjunto { y∈R : y ≥1 }.c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto { y∈R : y ≥1 } e, além disso, f é crescente no conjunto {x∈ R : x≥0 }.d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y ≥2, o único valor de x≥0 tal que f(x)=y.

8. (Fuvest – 2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza

R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.

9. (Fuvest – 2013) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O ,P1e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2√10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine a) o seno e o cosseno do ângulo P2OQ entre a reta ´OP2 e o plano do chão; b) a medida do ângulo O P1P2 entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo P1OQ entre o braço ´OP1 e o plano do chão.

10. (Fuvest – 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB=2 , AD=3e AE=4.a) Qual é a área do triângulo ABD?b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?c) Qual é a área do triângulo BDE?d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?

Gabarito

1. a) 6b) R$ 1800,00

2. {x ∈ R/ 1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9}

3. {x ∈ R/ -3/5 < x < 3/5} 4. (11; 2)

5. a) V = {(k; – 2k), ∀k}b) 1, −1−√5

2 ou

−1+√52

c) −1−√5

2

ou −1+√5

26. a) -2b) 3/22 7. a) (– m2 , 8−m

224 ) 8. O preço do hambúrguer é

R$ 4,00, o do suco é R$ 2,50 e o da cocada é R$ 3,50.

9. a) sen (P2 OQ )=√1010

10. a) 3b) 4

b) m ≤ – 2 ou m ≥ 2c) m = 2d) x = √ y−1– 1

e c os (P2OQ )=3√1010

b) 90°

c) sen (P1 OQ )=35

c) √61

d) 12√61

61