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Gab Cub o Paralel e Pipe Do 2010
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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU LISTA DE CUBO E PARALELEPÍPEDO - GABARITO 1. (PUCCAMP-SP) Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo com volume de 8dm 3 . A área da folha utilizada para isso será, no mínimo: a) 20cm 2 b) 40cm 2 c) 240cm 2 d) 2000cm 2 e) 2400cm 2 Solução. A área utilizada para cobrir o cubo é total dada pela fórmula A t = 6a 2 , onde a é aresta. O volume do cubo é calculado por V = a 3 . Temos: 2 8 8 8 3 3 3 = = ⇒ = ⇒ = = a a a V V . Logo a área será 2 2 2 2 2400 24 ) 2 .( 6 6 cm dm A a A t t = = ⇒ = = . 2. (PUC-PR) As três dimensões de um paralelepípedo reto retângulo de volume 405m 3 , são proporcionais a 1, 3 e 5. A soma do comprimento de todas as arestas é: a) 108m b) 36m c) 180m d) 144m e) 72m Solução. As dimensões são proporcionais a 1,3 e 5. Logo, = = = ⇒ = = = k c k b k a k c b a 5 3 5 3 1 .O volume do paralelepípedo é V = abc. Igualando ao valor indicado no problema, temos: 3 27 k 27 15 405 k 405 k 15 405 V k 15 ) k 5 )( k 3 )( k ( abc V 3 3 3 3 = = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = = = .As arestas são 3, 9 e 15. Há quatro arestas para cada dimensão. A soma dos comprimentos é: 4(3 + 9 +15 3. (ACAFE-SC) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8dm e 6dm e a altura mede 4dm. C área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta la a) 20dm 2 b) 24dm 2 c) 32dm 2 d) 40dm 2 e) 48dm 2 Solução. A área pedida está sombreada na figura. É um triângulo retângulo com ba e altura (cateto) 4dm. A base “d” é a diagonal da base: 10 100 8 6 2 2 = = + = d . Logo a área é 2 20 2 40 2 ) 4 )( 10 ( 2 . dm h b A = = = = . 4. (UDESCO-SC) Aumentando-se de 1m a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164m 2 . Então, o volume do cubo original em metros cúbicos era: a) 1000 b) 8000 c) 27000 d) 3375 e) 9261 Solução. A área total do cubo menor vale A = 6a 2 e a do maior A = 6(a + 1) 2 . As áreas laterais só contemplam quatro faces, excluindo as bases (superior e inferior). A diferença e é 164m 2 . Expressando essa informação, temos: ( ) 20 160 8 164 4 4 8 6 164 4 1 4 2 2 1 2 2 2 1 2 = ⇒ = ⇒ = − + + ⇒ = − − + = − a a a a a A A a a A A A aresta do cubo original (menor) mede a = 20m. Logo seu volume mede V = a 3 = (20) 3 = 8000m 3 .
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COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III 3 SRIE MATEMTICA II PROF WALTER TADEU www.professorwal tertadeu.mat.brLISTA DE CUBO E PARALELEPPEDO -GABARITO 1. (PUCCAMP-SP) Usando uma folha de lato, deseja-se construir um cubo com volume de 8dm3. A rea da folha utilizada para isso ser, no mnimo:a) 20cm2b) 40cm2c) 240cm2d) 2000cm2e) 2400cm2Soluo. A rea utilizada para cobrir o cubo total dada pela frmula At = 6a2, onde a aresta. O volume do cubo calculado por V = a3. Temos:2 8 883 33 'a aa VV. Logo a rea ser 2 2 2 22400 24 ) 2 .( 6 6 cm dm A a At t .2. (PUC-PR) As trs dimenses de um paraleleppedo reto retngulo de volume 405m3, so proporcionais a 1, 3 e 5. A soma do comprimento de todas as arestas :a) 108mb) 36mc) 180md) 144m e) 72mSoluo. As dimenses so proporcionais a 1,3 e 5. Logo,' k ck bk akc b a535 3 1.O volume do paraleleppedo V = abc. Igualando ao valor indicado no problema, temos:3 27 k 2715405k 405 k 15405 Vk 15 ) k 5 )( k 3 )( k ( abc V3 3 33 ' .As arestas so 3, 9 e 15. H quatro arestas para cada dimenso. A soma dos comprimentos : 4(3 + 9 +15) = 4(27) = 108m. 3. (ACAFE-SC) Num paraleleppedo reto, as arestas da base medem 8dm e 6dm e a altura mede 4dm. Calcule a rea da figura determinada pela diagonal do paraleleppedo, com a diagonal da base e a aresta lateral.a) 20dm2 b) 24dm2c) 32dm2d) 40dm2e) 48dm2Soluo. A rea pedida est sombreada na figura. um tringulo retngulo com base d e altura (cateto) 4dm. A base d a diagonal da base:10 100 8 62 2 + d .Logo a rea 2202402) 4 )( 10 (2.dmh bA .4.(UDESCO-SC) Aumentando-se de 1m a aresta de um cubo, sua rea lateralaumenta de 164m2. Ento, o volume do cubo original em metros cbicos era:a) 1000b) 8000 c) 27000 d) 3375 e) 9261Soluo.Areatotal docubomenorvaleA=6a2eadomaiorA=6(a+1)2. Asreaslateraiss contemplam quatro faces, excluindo as bases (superior e inferior). A diferena entre essas reas laterais 164m2. Expressando essa informao, temos:( )20 160 8 164 4 4 8 61644 1 42 21 22 21 2 + + ' + a a a a aA Aa a A AA aresta do cubo original (menor) mede a = 20m. Logo seu volume mede V = a3 = (20)3 = 8000m3.5. (PUC-SP) Uma caixa dgua em forma de prisma reto tem aresta igual a 6m e por base um losango cujas diagonais medem 7m e 10m. O volume dessa caixa em litros : a) 42000 b) 70000c) 200000d) 210000e) 420000Soluo. O volume do prisma ser dado pela rea da base multiplicado pela altura. Como o prisma reto, sua altura a prpria aresta.i) rea da base (losango): 2352702) 7 )( 10 (2.md DA ii) Volume do prisma: ( )l dmdm m h A Vbase1 1210000 210 ) 6 .( 35 .33 3 6. (PUC-PR) Se a razo entre os volumes de dois cubos 31, a medida da aresta maior igual medida da menor multiplicada por:a) 31b) 33c) 32 d) 3 e) 3Soluo. Ovolumepossui dimensotridimensional eaaresta, unidimensional. Utilizandoumadas propriedadesdasrazesepropores, temos:3 3 3. . . .
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fedcbaf d be c afedcba, ondeo produto dastrs dimensesrepresentaum volumeecada antecedenteouconseqente,umaaresta. Aplicando na situao descrita temos:( )( )( ) ( ) ( )31331 23132 3231321213 . . 3 . 331) () () () (a a a a aaamaior a menor amaior V menor V
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.7. Aumentando-se a aresta de um cubo de 3m, obtm-se outro cubo, cuja diagonal mede 15m. Calcule a rea do cubo primitivo.a) 258m2b) 624m2 c) 288m2 d) 432m2e) 675m2Soluo. A diagonal do cubo dada pela frmula 3 a d , onde a aresta. Considerando a aresta do cubo primitivo como a, o cubo aumentado ter aresta valendo 3 + a, cuja diagonal vale 15. Resolvendo, temos:( )( ) 3 43 . 3 3 1231215 3 3 15 3 . 3153 . 3 + + '+ a a ada daumentadoaumentado. A rea do cubo primitivo ser ento( )222288 ) 48 ( 6 3 4 . 6 . 6 m a A .8. (FATEC-SP) Um prisma quadrangular reto, cujas arestas medem x,xe 2xpossuiuma diagonalmedindo 2 3a. A rea total desse prisma :a) 30a2b) 24a2 c) 18a2 d) 12a2e) 6a2Soluo. A rea total de um prisma dada por At = 2(ab + bc + ac), onde a, b e c so as arestas. Utilizando a frmula da diagonal temos:( ) ( ) ( )3612 362 32 3 62 36 6 22 2 2 2 2 2 2aa ax a xa dx x x x x c b a d ' + + + + Logo, ( )22230 3 10310 ) . 2 . 2 . ( 2a a Aa xx x x x x x x Att ' + + .9. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem rea total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:a) 1mb) 8m c) 4md) 6m e) 16mSoluo. A base um quadrado de aresta desconhecida x. A rea total do prisma ser expressa pela frmula: At = 2(3x + 3x + x2) = 2x2 + 12x. Igualando essa expresso a 80, temos:' + < t t + + '+ ! 42 14 6) ( 02 14 62 196 62) 80 )( 1 ( 4 36 60 40 6 80 12 28012 22 22ok xnegativo xxx x x x xAx x Att.10. (UFOP-MG) Uma caixa dgua em forma de paraleleppedo retngulo, tem dimenses 1,8m, 15dm e 80cm. Sua capacidade : (dado: 1dm3 = 1 litro)a) 2,16 Lb) 21,6 Lc) 216 Ld) 1080 Le) 2160 LSoluo. Como a capacidade pedida em litros, todas as medidas sero representadas em decmetros. O volume ser o produto das dimenses: l dm Vdm cmdmdm m2160 2160 ) 8 ).( 15 ).( 18 (8 801518 8 , 13 '.11.(MACK SP) Um paraleleppedo retngulo tem 142cm2de rea total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60cm. Sabendo que seus lados esto em progresso aritmtica, eles valem em centmetros:a) 2, 5, 8b) 1, 5, 9c) 12, 20, 28d) 4, 6, 8 e) 3,5,7Soluo. Uma progresso aritmtica com nmero mpar de termos pode ser representada de forma a facilitar clculos como: (x r), (x), (x + r) onde r a razo. Cada termo a medida de uma aresta e no paraleleppedo h quatro arestas com mesma medida num total de 12 arestas. Considerando a soma de todas as medidas como 60, temos: ( )5 60 1260 :12 ) 3 .( 4 ) ( ) ( 4 : ' + + + x xSomax x r x x r x Soma.Utilizando a frmula da rea total, temos:( ) ( ) ( )( )' ' + + + + + + + 2 4 2 44 8 2 142 2 150 142 75 2142 :75 2 25 5 25 5 25 2 ) 5 ).( 5 ( 5 ). 5 ( ) 5 ).( 5 ( 2 :2 2 2 22 2r r r r rAr r r r r r r r AttLogo, as dimenses so: (5 2) = 3, 5 e (5 + 2) = 7. OBS: Repare que se consideramos a razo negativa ainda assim teremos: (5 (-2)) = 7, 5 e (5 + (-2) = 3.12. (FUVEST-SP) Um tanque em forma de paraleleppedo tem por base um retngulo horizontal de lados 0,8m e 1,2m. Um indivduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,075m. Ento o volume do indivduo, em m3, :a) 0,066b) 0,072c) 0,096 d) 0,600 e) 1,000Soluo.A figura mostra uma representao onde o valor da altura h inicial do tanque no importa e sim a variao. A parte sombreada Corresponde ao deslocamento de gua igual ao volume do indivduo. Esse volume de gua calculado peloproduto das dimenses: ( )3072 , 0 ) 075 , 0 ).( 8 , 0 .( 2 , 1 m V
