COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III2 SRIE MATEMTICA I PROF WALTER TADEUwww.professorwaltertadeu.mat.br

Lista Geral de Combinatria - GABARITO

1) Resolva as equaes:

a) b) c) Soluo. Aplicando as propriedades dos fatoriais, temos;

a)

b)

c) 2) Ao planejar uma prova de Matemtica contendo 5 questes, um professor dispe de 5 questes de lgebra e 6 de Trigonometria. Calcule o nmero de provas diferentes que possvel elaborar, usando em cada prova 2 questes de lgebra e 3 de Trigonometria.

Soluo. As questes so todas diferentes. A ordem das questes no importa. Trata-se, ento de escolher duas questes de lgebra dentre as cinco e trs de Trigonometria dentre as seis disponveis.

4) Numa reunio de professores, cada participante cumprimentou todos os seus colegas, registrando-se 210 apertos de mo. Determine o nmero de professores presentes reunio.

Soluo. Repare que um aperto de mo envolve duas pessoas. Alm disso, se X aperta a mo de Y, Y aperta a mo de X. Logo cada aperto deve ser contado apenas uma vez e no importa a ordem da informao. Se h N pessoas numa sala, os apertos de mos entre todos uma combinao de apertos dois a dois.

5) Trs ingleses, quatro americanos e cinco franceses sero dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poder ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francs?

Soluo. Identificando os indivduos pela inicial maiscula da nacionalidade e considerando que ficam juntos alm de os franceses serem os primeiros, podemos ter uma das formaes dessa forma:(F1F2F3F4F5)(I1I2I3)(A1A2A3A4) ou (F1F2F3F4F5) (A1A2A3A4)(I1I2I3) Os elementos de mesma nacionalidade podem trocar (permutar) os lugares entre si. Logo, temos: i) 1 formao: 5!.3!.4! = (120).(6).(24) = 17280 ii) 2 formao: 5!.4!.3! = (120).(24).(6) = 17280Logo, h (2).(17280 = 34.560 maneiras.

6) (UNESP-SP) A diretoria de uma empresa compe-se de n dirigentes, contando o presidente, considere todas as comisses de trs membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o nmero de comisses que incluem o presidente igual ao nmero daqueles que no o incluem, calcule o valor de n.

Soluo. Observe que h duas comisses em questo.i) Comisses que incluem o presidente. Ele j est escolhido. Logo, restam (n 1) dirigentes e deve-se escolher 2.

ii) Comisses que no incluem o presidente. Se ele est fora, de novo s h (n 1) dirigentes para a escolha de 3.

Igualando as quantidades, temos:

7) Um chaveiro foi contratado para fazer cpias das chaves de 10 salas; ele, entretanto, no as etiquetou e se viu obrigado a repor as chaves por tentativas. Quantas tentativas, no mximo, dever fazer?

Soluo. Observe que o problema consiste em uma soma de tentativas, onde uma vez descoberta a chave certa, o nmero de possibilidades diminui. i) 1 sala: Supondo que ele teste somente as erradas, descobre a certa na 9, pois a que sobra a correta.ii) 2 sala: Mesmo procedimento com acerto na ltima. Logo 8 tentativas....iv) 10 sala: No haver tentativas, pois s restar a correta. Logo 0 tentativas.Total: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 tentativas.

8) Sobre uma circunferncia so marcados 6 pontos distintos. Quantos quadrilteros podemos traar com vrtices nesses pontos?

Soluo. Um quadriltero a unio de quatro vrtices. Considerando que o lado AB e BA so os mesmos formados com os vrtices A e B, ento basta combinarmos os seis vrtices quatro a quatro:

9) (Unicamp-SP) De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 nmeros naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par? Justifique sua resposta. (2030)

Soluo. As possibilidades de uma soma de trs nmeros ser par : P + P + P ou I + I + P em qualquer ordem. H 15 nmeros pares e 15 mpares. Logo fazendo as combinaes indicadas, temos:

10) (UFCE) Considere os nmeros inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que no contem os dgitos 3 e 8. A quantidade desses nmeros : Soluo. Se no aparecem os dgitos 3 e 8, ento o conjunto utilizado ser {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}. Os nmeros devem ser maiores que 64000, logo este ser o menor. Calculando por intervalos, sem repetir, temos:i) 64000 a 70000: Repare que 6 j foi utilizado. A unidade de milhar pode ser ocupada pelo 4, 5, 7 ou 9. H portanto 4p x 6p x 5p x 4p = 480 nmeros.ii) 70000 a 99999: A dezena de milhar pode ser ocupada pelo 7 ou 9. H 2p x 7p x 6p x 5p x 4p = 1680 nmeros.Logo, h 480 + 1680 = 2160 nmeros.11) Quantos so os nmeros compreendidos entre 2000 e 3000, compostos por algarismos distintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?Soluo. Os nmeros sero maiores que 2000 e menores que 3000. Logo so nmeros de 4 algarismos distintos. Na unidade de milhar o algarismo dever ser 2. Nas trs ordens restantes temos 8p x 7p x 6p = 336 nmeros.

12) O sistema de segurana de uma casa utiliza um teclado numrico, conforme ilustrado na figura. Um ladro observa de longe e percebe que: a senha utilizada possui 4 dgitos; o primeiro e o ltimo dgitos encontram-se numa mesma linha; o segundo e o terceiro dgitos encontram-se na linha imediatamente superior. Calcule o nmero de senhas que devero ser experimentadas pelo ladro para que com certeza ele consiga entrar na casa.

Soluo. A informao de relacionar a senha com linha imediatamente superior, exclui a 1 linha, pois no h linha acima dela. Logo as possibilidades sero nas demais:i) 1 e ltimo dgito na 2 linha: 3p x 3p x 3p x 3p (pode haver repetio e h 3 opes tanto na 2 como na 1 linha.ii) 1 e ltimo dgito na 3 linha: 3p x 3p x 3p x 3p (mesma situao anterior).iii) 1 e ltimo dgito na 4 linha: 1p x 1p x 3p x 3p (1 e ltimo s podem ser 0 e h 3 opes na linha acima).O total de experimentaes : (34 x 2) + 32 = 162 + 9 = 171.

13) Quantos anagramas da palavra MATEMTICA no apresentam nem vogais, nem consoantes juntas?

Soluo. Observando a palavra repara-se que as letras j esto separadas. Basta portanto calcular as permutaes das consoantes e vogais na posio em que esto. Considera-se tambm que a palavra comea com consoante, mas tambm poderia iniciar com a vogal. Temos:

14) Quantos anagramas da palavra EDITORA que: a) comeam por A? b) comeam por A e terminam por E? Soluo. H sete letras e cada caso calculado iniciando pela restrio.a) Fixando a letra A, restam 6 posies de permutao. Logo h 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 anagramas.b) Fixando a letra A e a letra E, restam 5 posies de permutao. Logo h 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas.

15) A figura representa parte do mapa de uma cidade onde esto assinalados as casas de Joo (A), Maria (B), a escola (C) e um possvel caminho que Joo percorre para, passando pela casa de Maria, chegar escola. Qual o nmero total de caminhos distintos que Joo poder percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa escola, passando pela casa de Maria?Soluo. Repare que qualquer caminho escolhido ser uma permutao das letras representadas: (N L N L L L) (L N N L). Basta calcular a permutao com repetio em AB e BC.