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Manual do Professor

Físicaem sala de aulaMódulo 1 Elementos e descrição dos movimentosConteúdo analítico 3

Objetivos do módulo e de seus capítulos 3

Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais 4

Estratégias para a ação docente 4

Abertura 4

Capítulo1–Relaçõesdedependênciaentregrandezas 5

Capítulo2–Observandoomovimento 5

Capítulo3–Velocidadeeaceleração 6

Capítulo4–Movimentouniforme(MU) 7

Avaliação do aprendizado 7

Enriqueça sua aula 8

Resolução de exercícios propostos 8

Gabarito 23

MANUAL_FIS_MOD_01.indd 1 06.10.08 17:07:47

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Editor executivo: Marco Antônio Costa Fioravante

Edição: Alexandre da Silva Sanchez

Preparação: Geraldo Fantin, Temas e Variações Editoriais

Revisão: Lara Milani (coord.), Adriana B. dos Santos, Alexandre Sansone, Amanda Ramos, Anderson Félix, André Annes Araujo, Aparecida Maffei, David Medeiros, Greice Furini, Maria Fernanda Neves, Renata Tavares

Colaboração: Ana Luiza Sério

Coordenação de arte: Aderson Oliveira

Edição de arte: Benedito Minotti, Fabio Ventura, Marina C. Nievas, Raquel Bortoletto, Ricardo Yorio, Roberto Figueirinha, Tyago Bonifácio

Iconografia: Ana Lúcia S. Buendia (coord.), Fabio Matsuura, Flávia Aline Morais

Projeto gráfico: Signorini Produção Gráfica

Diagramação: Christof Gunkel, Exata Editoração, Formato Comunicação, Grapho Editoração, Sammartes

Ilustrações: Adilson Secco, Alexandre Jubran, Carlos Estevão Simonka, Cecília Iwashita, Daniela Weil, DuoVentura Editorial, Edilson Antônio da Silva, Estúdio Manga, Fabiano Lucio, Fernando J. Ferreira, Gilberto Rodrigues Martho, Infografe, Irineu Paulini, Jótah Ilustrações, Jurandir Ribeiro, Keila Grandis, Levi Ciobotariu, Luigi Rocco, Maurício Antônio de Souza, Osni de Oliveira, Osvaldo Sequetin, Paulo César, Paulo Manzi, Ricardo Yorio, Rogério Borges, Sattu, Sérgio Furlani, Studio Caparroz, Vagner Coelho, Vanessa Teixeira, Vicente Mendonça

Cartografia: Lucinei Normandia

Foto de capa: Seridec Photoimagene/CID

Pré-impressão: Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto

Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque

Impressão e acabamento:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados

GRUPO SANTILLANARua Padre Adelino, 758 - Belenzinho

São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904Vendas e Atendimento: Tel. (11) 2790-1500

Fax (11) 2790-1501www.sistemauno.com.br

2009Impresso no Brasil

AUTORES

Blaidi Sant’Anna

Licenciado em Física pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

Hugo Carneiro Reis

Doutor em Ciências pela USP

Professor de Física do Ensino Médio

Maria da Glória Martini

Mestre em Ensino de Física pela USP

Professora de Física do Ensino Médio

Walter Spinelli

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

Sistema de Ensino Sistema de Ensino

Sistema de Ensino


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Conteúdo analíticoO módulo 1 inicia, já no capítulo 1, com uma preparação matemática que será base para

todo o curso de física. No primeiro capítulo, são apresentadas e discutidas as habilidades

necessárias para trabalhar com as grandezas físicas (estabelecimento de relações, elabo-

ração de gráficos e tabelas, elaboração de equações matemáticas).

Os capítulos seguintes (capítulos 2, 3 e 4) são dedicados a uma introdução ao curso

de mecânica e apresentam os conceitos fundamentais para compreensão dessa área da

física. Nesses capítulos serão trabalhados os conceitos de referencial e movimento (capítu-

lo 2), velocidade média, velocidade instantânea e aceleração (capítulo 3). O capítulo 4 faz

um estudo mais detalhado do movimento retilíneo uniforme.

3

Objetivos do módulo e de seus capítulosEspera-se, ao final do módulo, que os alunos sejam capazes de:

n iniciar o estudo da mecânica;

n discutir a importância de relacionar grandezas e como essas relações podem ser esta-

belecidas a partir de elementos da matemática, tais como proporcionalidade e gráficos

cartesianos;

n iniciar o estudo do movimento a partir da discussão sobre referencial e trajetória;

n apresentar os conceitos de posição, deslocamento e distância percorrida e, ainda, ponto

material (ou partícula);

n definir as principais grandezas que serão trabalhadas no livro: velocidade e aceleração;

n aprofundar o estudo do movimento para velocidade constante;

n apresentar a função horária no MU e os gráficos.

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Estratégias para a ação docenteAbertura

O texto e a imagem da página de abertura, e também a imagem da capa, compõem um conjunto que permite levantar questões interessantes. Aproveite para verificar os conheci-mentos prévios dos alunos.

No caso específico do módulo 1, a ideia é deslocar o foco da observação rotineira, ligada à Terra, e fazer com que o aluno reflita sobre situações em que não é tão fácil esta-belecer movimentos.

O astronauta tem uma visão privilegiada e não está associado, obrigatoriamente, à Terra. Aliás, existe aí um questionamento interessante para iniciar a discussão sobre a im-portância de estabelecer um referencial para determinar um movimento. Quem se afasta de quem? O que está a girar, a Terra ou o Sol? Se a nave e, consequentemente, o astronauta estiverem na órbita da Terra, como o astronauta verá os movimentos do Sol e da Terra?

Destaque a importância de ir além das aparências comuns para construir um saber científico. Os alunos precisam entender que o que está em jogo é sua capacidade de sair do senso comum e, através de novos enfoques, buscar uma visão mais ampla da realidade que os cercam.

Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais

Conteúdos conceituais Conteúdos procedimentais Conteúdos atitudinais

Capít

ulo

1 n Proporcionalidades entre grandezas.

n Representação cartesiana.n Dependência linear.

n Descrever as relações entre grandezas a partir de ferramentas da matemática (proporcionalidades, gráficos cartesianos, funções).

n Representar grandezas que se relacionam através de gráficos cartesianos.

n Reconhecer as relações existentes entre as grandezas físicas.

n Reconhecer relações lineares entre grandezas em diversas situações.

n Reconhecer que o movimento depende da escolha do referencial.

n Identificar como essas grandezas se comportam conforme o tempo passa.

n Ser capaz de utilizar o conceito de referencial em situações do cotidiano.

n Ser capaz de utilizar os conhecimentos adquiridos sobre medidas de grandezas, proporcionalidades entre grandezas e suas representações em situações que extrapolem o ambiente escolar.

Capít

ulo

2

n Referencial.n Trajetória.n Posição e deslocamento.n Relações entre tempo e

espaço.n Funções horárias.

n Discutir como a escolha do referencial interfere na descrição do movimento.

n Estabelecer funções que descrevam as relações entre a posição e o tempo em um corpo.

Capít

ulo

3 n Taxas de variação do espaço em relação ao tempo.

n Velocidade.n Aceleração.

n Escrever as funções horárias.n Construir gráficos dessas

funções.

Capít

ulo

4

n Uniformidade no movimento.

n Descrever matematicamente o movimento retilíneo uniforme.

n Utilizar as propriedades dos movimentos uniformes nas resoluções de problemas que envolvam esses movimentos.


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Capítulo 1Relações de dependência entre grandezas

A física é uma ciência que tenta descrever o que chamamos de realidade. Para isso, procura encontrar as regularidades nos fenômenos naturais como, por exemplo, o Sol, que nasce e se põe todos os dias. Para compreender essas regularidades é preciso estabelecer relações entre os eventos ou entre as variáveis, o que implica entender como uma grandeza se relaciona com outra, ou seja, como determinado aspecto da realidade influencia outro. Para relacionar essas grandezas é necessário antes quantificar ou medir.

Toda descrição é feita a partir de uma linguagem. No caso da física, a linguagem é matemática. Assim, relacionar as grandezas implica estabelecer equações matemáticas que as representem. Essas relações estabelecidas podem ser apresentadas na forma de gráficos e tabelas. Portanto, compreender e saber manipular as ferramentas matemáticas é imprescindível para a compreensão dos fenômenos físicos.

O primeiro capítulo do módulo mostra a importância de estabelecer relações entre gran-dezas e encontrar a representação matemática mais adequada (equações, gráficos ou ta-belas). O texto fornece condições para o desenvolvimento de um conjunto de habilidades envolvidas no domínio da manipulação de grandezas e na construção e leitura de gráficos e tabelas. Este módulo é, portanto, bastante “matemático”. Isso não significa que seja menos importante, pelo contrário! Sem ele, todo o resto não fará sentido. O professor deve tomar o cuidado de explicar ao aluno que a habilidade matemática é indispensável para a compreensão de todo o curso de física.

As seções Para saber mais, na página 6, e Reflita, na página 7, permitem que o aluno perceba que a matemática pode ajudá-lo a compreender fenômenos de diversas naturezas e até melhorar sua visão do mundo no cotidiano extraescolar.

Sugerimos que o professor enfatize, na seção Exercícios dos conceitos, a letra e do exercício 1 e o exercício 2, a fim de saber se o aluno realmente entendeu o conceito de proporcionalidade.

Se necessário, gaste mais tempo na construção e interpretação de gráficos e na relação entre a aparência destes e os parâmetros que constituem a equação do 1o grau. Lembre que demorar um pouco mais aqui pode representar uma economia de tempo no decorrer do curso. A seção Você precisa saber!, na página 17, o ajudará nessa tarefa; não deixe de trabalhá-la com seus alunos.

Capítulo 2Observando o movimento

O capítulo 2 trabalha com conceitos importantes para o estudo da mecânica, tais como trajetória, deslocamento e, principalmente, movimento, que acompanhará todo o curso.

Referenciais do movimento“É possível subir caindo?” A pergunta de abertura do capítulo deve deixar o aluno bas-

tante intrigado, pois, a princípio, não tem sentido, por abordar algo, aparentemente, impos-sível. Como algo pode subir se estiver caindo? “Cair” e “subir” parecem acontecimentos opostos, de forma que a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Mas o conceito físico – de referencial – por trás dessa indagação é fundamental. O professor pode aprovei-


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Capítulo 3Velocidade e aceleração

Nesse capítulo são apresentados os conceitos de velocidade (média e instantânea) e aceleração.

Deslocamento versus distância percorrida

Outro aspecto importante é a diferença entre deslocamento e distância percorrida. Isso geralmente causa confusão entre os estudantes, porque são conceitos bastante similares. O caráter vetorial do deslocamento (que depende do sentido) deve ser enfatizado.

Funções horárias

O último tópico (funções horárias) será mais bem trabalhado nos capítulos seguintes (sobre os movimentos uniforme e uniformemente variado). Neste primeiro momento, o pro-fessor pode, apenas, salientar que uma das preocupações da física é descrever os movi-mentos e que, para isso, é preciso entender como o espaço se relaciona com o tempo (o que significa estabelecer relações entre essas duas grandezas).

Velocidade

O primeiro ponto importante é diferenciar velocidade média de velocidade instantânea. Uma atividade interessante é fazer uma corrida com os alunos e colocar vários deles em pontos distintos da trajetória para medir o tempo do corredor ao passar por eles. Feito isso, é possível calcular várias velocidades médias utilizando diferentes pontos de marcação. Por exemplo: calcula-se, primeiro, uma velocidade média com o tempo inicial e o tempo marca-do pelo último aluno; depois, uma velocidade média utilizando mais um aluno intermediário e assim por diante. Então, com esses dados, o professor pode discutir a diferença encon-trada em cada uma das situações. Qual desses casos é melhor representativo de uma velocidade instantânea? O que deveria ser feito para melhorar o resultado?

tar o estranhamento que a pergunta deve gerar para retomar a discussão sobre referenciais mais interessantes.

A partir do entendimento do conceito de referencial estabelecem-se todos os outros con-ceitos, como o do relativismo do movimento (que é o grande tema de estudo da mecânica), e isso deve ficar bem claro para o aluno. Para dizer que algo está em movimento precisamos do conceito de referencial. Seria interessante propor outros exemplos que mostrem essa ideia; sugira, ainda, aos alunos que indiquem outras situações nas quais se perceba a im-portância da escolha do referencial. Por exemplo, duas pessoas em um carro e uma terceira na estrada. Para quem está no carro, a pessoa ao seu lado está parada e, para quem está na estrada, os dois no carro estão em movimento.

Sinais da velocidade e da aceleração

Como complemento à leitura do texto Você precisa saber! – O que significa uma acele-ração negativa?, pode ser feita outra discussão fundamental: a respeito do significado dos sinais da velocidade e da aceleração. O importante é deixar claro que a grandeza velocidade

mede quão rápido acontece determinado deslocamento e, portanto, o sinal indica apenas


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.o sentido desse deslocamento. O aluno deve perceber que duas velocidades de, por exem-plo, 260 m/s e 60 m/s são equivalentes com relação à “rapidez” do deslocamento. O que diferencia uma da outra, nesse caso, é que a primeira é contrária à orientação da trajetória e a segunda, a favor. Esse aspecto deve ser retomado durante o estudo do movimento uni-forme no capítulo 4.

Já a aceleração representa a taxa de variação da velocidade. E, assim, o sinal da acele-ração está ligado ao sinal da velocidade. O professor pode apresentar exemplos nos quais a aceleração é positiva e o movimento, acelerado (quando o módulo da velocidade aumen-ta) e outros em que a aceleração também é positiva mas o movimento, retardado (quando o módulo da velocidade diminui).

Capítulo 4Movimento uniforme (MU)

Depois da escolha do referencial, estudar o movimento implica observar o comportamen-to do espaço em relação ao tempo. No caso do movimento uniforme (tema do capítulo 4) é preciso entender o que significa a velocidade constante com relação ao deslocamento no espaço, ou seja, o que acontece com o deslocamento no espaço conforme o tempo passa. Esse capítulo retoma as discussões apresentadas no capítulo 3 a respeito dos sinais da velocidade e das funções horárias do espaço.

Movimento uniforme 5 velocidade constante

A velocidade constante implica uma variação uniforme do espaço, ou seja, a cada ins-tante o deslocamento é o mesmo do instante anterior. Fazer isso é relacionar duas grande-zas (velocidade ou espaço e tempo). Como no capítulo 1 (Relações de dependência entre grandezas), relacionar grandezas significa identificar as equações matemáticas que tradu-zem essa relação. Nesse caso, espaço e tempo se traduzem por uma equação do 1o grau: a função horária do espaço. Cabe, nesse momento, uma retomada da discussão sobre o significado dos sinais da velocidade, iniciada no capítulo 3. Agora, é possível acrescentar e construir os gráficos.

Uma sugestão de atividade de laboratório é observar o movimento de gotas de água num cilindro graduado preenchido com óleo. O movimento de queda da gota de água num fluido viscoso, como o óleo, é um movimento uniforme. A resistência do fluido equilibra a força peso, e a água desce com velocidade constante. Com esse experimento é possível tomar dados do tempo em função do espaço (fornecidos pela graduação do cilindro). Com os dados, os alunos podem construir gráficos e, com base neles, estudar o comportamento de um movimento uniforme.

Avaliação do aprendizadoConsidere os objetivos apresentados na página 2 deste módulo e peça aos alunos que

façam uma autoavaliação.

Saliente que as informações e conceitos abordados lhes darão condições para prosse-guir e conseguir êxito diante dos próximos desafios. Por isso é importante que eles avaliem o que realmente aprenderam.


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Considerando o que você aprendeu, marque com um X.

Este módulo: Muito Parcialmente Pouco• ajudou-me a perceber como as relações de proporcionalidade

entre grandezas físicas podem ser classificadas.

• permitiu-me compreender a importância de estabelecer um referencial para descrever um movimento.

• auxiliou-me a compreender como as variações das posições de um corpo se relacionam com o tempo.

• ajudou-me a conhecer os principais parâmetros necessários para poder descrever um movimento.

• permitiu-me entender as diferentes formas de representação de um movimento.

Resolução dos exercícios propostosExercícios dos conceitos

Enriqueça sua aulaLivros

nGrupo de Reelaboração do Ensino de Física – GREF. Física 1: mecânica. 7. ed. São Paulo:

Edusp, 2007.

nGLEICK, James. Newton. São Paulo: Companhia das Letras, 2004.

Nessa biografia, os predicados de Newton dividem espaço com o estudioso incansável

de teologia, do movimento, de alquimia, do cálculo, entre outros estudos, como o da na-

tureza da luz.

nBERLINSKI, David. O dom de Newton. São Paulo: Globo, 2002.

O dom de Newton era mais que uma habilidade ou destreza, era algo na sua alma que o

fez capaz de aproveitar o fluxo de energia e trabalho das coisas a sua volta.

Textos sobre movimento uniforme e variado.

Sites

n<http://www.colegioweb.com.br/fisica/o-que-e-movimento-uniforme-variado-muv>

O Colégio Web é mais um projeto do grupo iPED voltado para disseminar a educação em

nosso país.

n<www.youtube.com/watch?v=1TiXB5-q9OY> (Acesso: 22 set. 2008)

Vídeo sobre movimento no Youtube, com professor Flávio. Muito interessante porque alia o

conceito à perspectiva da realidade, tratando de espaço, velocidade etc.

CAPÍTULO 1

1 a) A medida da altura de uma pessoa e sua idade não são grandezas diretamente proporcionais.

Por exemplo, um senhor de 60 anos não tem, obrigatoriamente, o dobro da altura de um rapaz de 30 anos.


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Portanto, são grandezas diretamente pro-porcionais.

Lado a 2a

Perímetro 4a 8a

# 2

# 2

Lado a 2a

Diagonal a dll 2 2a dll 2 # 2

# 2

Pitágoras:

a2 1 a2 5 @ a dll 2 # 2 e (2a)2 1 (2a)2 5 @ 2a dll 2 # 2

Portanto, são diretamente proporcionais.

C1 5 2sR C2 5 2s 3 (3R) 5 6sR

Portanto, são diretamente proporcionais.

Lado a 2a

Área a2 16a2

# 16

# 4

Percebe-se que a área do quadrado é dire-tamente proporcional ao quadrado de seu lado. Ou seja, área ∝c2.

Y 5 120 3 34 ] Y 5 R$ 4.080,00

Preço R$ 120 y

Área pintada 10 m2 340 m2

# 34

# 342

3 Se K e L são grandezas proporcionais, temos:

K __ L

5 constante ] 4 __ 2

5 2, logo K __ L

5 2 ] K 5 2L

4 a) Sabemos que d 5 K 3 t2 Se em 1 s a pedra percorre 4,9 m:

4,9 5 K 3 12 ] K 5 4,9

5 a) A e Q são inversamente proporcionais. Quanto maior a área de cada unidade, me-nor a quantidade de unidades necessárias para revestir os 90 m2.

b) A ∝ 1 __ Q

] A 3 Q 5 90 m2

f)

Área 5 a2 Área 5 16a2

a

a

4a

4a

L 2 4 y 8 t

M x 36 54 z 108

6 e

c)

A 5 0,2 3 0,15 ] A 5 0,03 m2

Substituindo: A 3 Q 5 90 ] 0,003 3 Q ] Q 5 3.000 unidades

Sabemos que L ∝ M, ou seja: M 5 K 3 L; pela tabela, quando L 5 4 ] M 5 36,

ou seja: 36 5 K 3 4 ] K 5 9 Então: x 5 9 3 2 ] x 5 18 54 5 9 3 y ] y 5 6 z 5 9 3 8 ] z 5 72 108 5 9 3 t ] t 5 12 x 1 y 1 z 1 t 5 18 1 6 1 72 1 12 5 108

0,15 m

0,2 m

b) d 5 kt2 ] d 5 4,9 3 42 ] d 5 4,9 3 16 ]

d 5 78,4 m

c) d 5 kt2 ] 44,1 5 4,9t2 ] t2 5 44,1

____ 4,9

]

t2 5 9 ] t 5 3 s

a2

a

a a

a

2a2

2a

2a

2a 2a

d)

a

a

a

a 2a 2a

2a

2a

c)

R 3R

e)

R 3R

b) O preço a pagar e a metragem de fio são grandezas diretamente proporcionais. Por exemplo, 8 metros de fio custarão o dobro do preço de apenas 4 metros.


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Área sr2 0,64s

Preço P 0,64P# 0,64

# 0,64

9 a) Sabemos que: C 5 1.000 1 a 3 x

parcela variável

parcela fixa

Se x 5 100 unidades e C 5 R$ 2.000,00; substituindo:

2.000 5 1.000 1 a 3 100 ] a 5 1.000 _____ 100

]

a 5 10 então:

C 5 1.000 1 10 3 x

b) Parcela variável a 3 x 5 10 3 1.000 ]

Parcela variável 5 R$ 10.000,00

Custo total (C): C 5 1.000 1 10.000 ] C 5 11.000,00

c) C 5 1.000 1 10x

Para que a parcela variável seja igual ao custo fixo:

10x 5 1.000 ] x 5 100 unidades

d) O gráfico que relaciona C e x é um conjun-to de pontos alinhados. C e x são grandezas diretamente proporcionais, por isso o con-junto de pontos de C e x formam uma reta. Essa reta, no entanto, não passa pela origem devido ao preço fixo.

10 a) Pela tabela é fácil ver que a cada 10 placas vendidas o vendedor ganha R$ 400,00; en-tão, a cada placa, a remuneração do vende-dor é R$ 40,00.

b) Pela tabela, vemos que existe uma remunera-ção fixa de R$ 500,00 e, no item a, calculamos que existe um acréscimo de R$ 40,00 a cada unidade. A equação que relaciona Q e R é:

R 5 500 1 40 3 Q

c) Substituindo na equação: R 5 500 1 40Q ] 300 5 500 1 40 3 Q ]

2.800 5 40 3 Q ] Q 5 70 placas

11 Observando o gráfico, vemos que as retas cru-zam o eixo Y nos pontos 3 e 1, respectivamente. Ou seja, b1 5 3 e b2 5 1. Observando a primeira tabela, vemos que a variação em Y correspon-dente à variação de uma unidade em X é de uma unidade, ou seja, a1 5 1.

Seguindo o mesmo raciocínio para a segunda tabela, vemos que a variação em Y para a va-riação de uma unidade em X é de 22, ou seja, a2 5 22.

Sabemos que a equação de reta é dada por: Y 5 ax 1 b1

Substituindo os valores já encontrados:

Y1 5 1 3 x1 1 3 e Y2 5 22x2 1 1

12 a Sabemos que: 32 anos cristãos p 33 anos muçulmanos e

C 2 622 anos cristãos p M anos muçulmanos, Como essas grandezas são proporcionais:

32 _______ C 2 622

5 33 ___ M

] C 2 622 5 32 ___ 33

3 M ]

C 5 622 1 32 ___ 33

M 5 M 1 622 2 @ M ___ 33

# 13 d Analisando a tabela e o gráfico, vemos que o

carro a gasolina roda 14 km com R$ 1,50. O car-ro a álcool roda 10 km com R$ 0,75, ou seja, o carro a álcool roda 20 km com R$ 1,50. Custo

por km do carro a álcool 5 1,50

____ 20

e custo por km

do carro a gasolina 5 1,50

____ 14

.

64% do preço da pizza grande.

7 d y ∝ 1 __

x2 ] y 3 x2 5 k

Se x 5 3 e y 5 15, então: y 3 x2 5 k ] 15 3 32 5 k ] k 5 135 Se x 5 4, temos: y 3 x2 5 k ] y 3 42 5 135 ] y 5 135 ____

16

8 b

Pizza grandeA 5 sr2

A = π r2 A = • 0,64Pizza grande Pizza média

0,8RR

Pizza médiaA 5 s 3 0,64


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x 2 4 6

y 6,5 4,5 2,5

Pela tabela, vemos facilmente que x e y são grandezas inversamente proporcionais.

CAPÍTULO 2

1 A trajetória observada por uma pessoa em ter-ra será uma parábola:

2 a) O observador em B avista A descrevendo um movimento circular ao seu redor.

b) O observador em A também observa B des-crever um movimento circular em torno de si, porém no outro sentido.

a) O deslocamento nos primeiros 4 s foi de: Ss 5 s 2 s0 5 40 2 8 ] Ss 5 32 m

4 a) Analisando a tabela, vemos que os dados crescem de maneira linear: o móvel percorre 5 m a cada minuto, ou seja, desenvolve ve-locidade constante. Ainda pela tabela é fácil ver que a posição inicial do móvel é 210 m. Então, sua equação horária é:

s 5 210 1 5t, na qual s em metros e t em minutos.

b) Substituindo na equação: s 5 210 1 5t ] 32 5 210 1 5t ]

5t 5 42 ] t 5 8,4 min

14 a)

x x

y

y

Perímetro 5 17 5 x 1 y 1 x 1 y ]

2x 1 2y 5 17

b) Área 5 16,5 ] x 3 y 5 16,5

c) Sim, x e y são inversamente proporcionais.

x 5 16,5 3 1 __ y

Quanto maior for um dos lados do terreno (x ou y), menor será a medida do outro lado.

d) A equação do perímetro é: 2x 1 2y 5 17 ] 2(x 1 y) 5 17 ] x 1 y 5 8,5

v

3 4s 5s

s0 = 8 m s1 = 40 m s2 = 44 m s (m)

5 a) A posição inicial do corpo, quando t 5 0, é de 12 m. Também observando o gráfico, ve-mos que a cada 3 segundos o corpo percor-re 6 m no sentido contrário da orientação do eixo, ou seja 22 m/s. A equação horária do movimento é: s 5 12 2 2t.

b) Substituindo s 5 0 na equação: 0 5 12 2 2t ] 2t 5 12 ] t 5 6 s

c) Substituindo t 5 10 s na equação: s 512 2 2 3 10 ] s 5 12 2 10 ] s 5 28 m

6 a) Observando os dados da tabela, vemos que o móvel B se aproxima da origem com o pas-sar do tempo; então, percorre a trajetória no sentido contrário ao da orientação.

b) O móvel A percorre 4 metros a cada segun-do; já o móvel B percorre 5 metros a cada segundo (no sentido contrário ao da orien-tação). Portanto o móvel B percorre uma dis-tância maior a cada segundo.

t (s)10 2 43

s (m)

8

54

15

12

20

16

10

sB

sA

d) Para t 5 0 temos:

posição inicial A 5 0 mposição inicial B 5 20 m

b) O deslocamento nos últimos 5 s foi de: Atenção p Ss 5 s2 2 s1 5 44 2 40 ]

Ss 5 4 m

Então a razão entre os custos é:

R 5 1,50

____ 20

____

1,50

____ 14

5 14 ___

20 5 7 ___

10

c)


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t(s) 0 1 2 3 4

s(m) 0 25 28 29 28

b)

Logo, a distância entre eles será de:

Ss 5 24 2 (10) ] Ss 5 34 m

7 a)

Substituindo na equação, vem: n s 5 t2 2 6t ] s 5 02 2 6 3 0 ] s 5 0 m

n s 5 t2 2 6t ] s 5 12 2 6 3 1 ] s 5 25 m

n s 5 t2 2 6t ] s 5 22 2 6 3 2 ] s 5 28 m

n s 5 t2 2 6t ] s 5 32 2 6 3 3 ] s 5 29 m

n s 5 t2 2 6t ] s 5 42 2 6 3 4 ] s 5 28 m

c) Entre 0 e 3 s, o móvel se desloca, a partir da origem, num sentindo contrário ao da orientação. Aos 3 s o móvel para, instan-taneamente, e a partir daí muda o sentido de sua trajetória, passando a descrever um movimento no sentido de orientação.

8 a)sA ∝ tsB ∝ t2

]sA 5 8t

sB 5 2t2

pois a posição inicial de ambos é 0 m.

b) Substituindo t 5 3 s nas equações: sA 5 8 3 3 ] sA 5 24 m sB 5 2 3 32 ] sB 5 18 m

–10

sB sA

0 24 x (m)

t (s)410 2 3

-5

-8

-9

s (m)

1

CAPÍTULO 3

Para que a velocidade média em todo o cami-nho seja 80 km/min, temos:

vm 5 Ss

___ St

] 80 5 40 ___ St

]

St 5 0,5 h 5 30 min. Ou seja, o percurso total deve ser percorrido

em 30 min. Primeiros 15 min:

vm1 5 Ss1

___ St1

] 40 5 Ss1

___ 1 __ 4

] Ss1 5 10 km

Temos, então, que a velocidade do segundo percurso deverá ser:

vm2 5 Ss2

___ St2

] vm2 5 30 ___

1 __ 4

] vm 5 vm 5 120 km/h

2 vm1 5 Ss1

___ St1

] 15 5 5 ___ St1

] St1 5 1 __ 3

h

Como o tempo total da corrida é de

1 h ] 1 5 1 __ 3

1 St2 ]

St2 5 2 __ 3

ou St2 5 40 min

3 d Entre as estações Vila Maria e Felicidade, temos:

vm 5 Ss

___ St

] vm 5 2 __ 4

] vm 5 0,5 km/h

Considerando todo o trajeto do trem até o ter-minal, vem:

vm 5 Ss

___ St

] 0,5 5 15 ___ St

] St 5 30 min

Temos agora que considerar o tempo que o trem fica parado em cada uma das cinco esta-ções intermediárias:

St 5 30 1 6 3 1 ] St 5 35 mintempo de

uma parada

0

15 minΔs1

15 minΔs2

10 km 40 km

c) Substituindo T 5 4 s nas equações: sA 5 8 3 4 ] sA 5 32 m sB 5 2 3 42 ] sB 5 32 m Significa que, no instante 4 s, os móveis A e

B se encontram na posição 32 m.

Como vimos no item a, o móvel A percorre 4 metros a cada segundo, e o móvel B percor-re 5 metros a cada segundo, contra a orien-tação; então:

sA 5 0 1 4t e sB 5 20 2 5t

e) Mantendo o movimento, as equações horá-rias não vão se alterar; então:

sA 5 4 3 6 5 24 m e sA 5 20 2 5 3 6 5 210 m


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.4 Som pelo ar:

vm 5 Ss

___ St

] 340 5 c __

tar ] tar 5

c ____

340

onde c é o comprimento do trilho. Som pelo trilho:

vm 5 Ss

___ St

] 3.400 5 c ____

ttrilho ] ttrilho 5

c _____

3.400

Do enunciado, vem: tar 2 ttrilho 5 0,18, substituindo:

c ____

340 2

c _____

3.400 5 0,18 ]

] 10c 2 c _______ 3.400

5 0,18 2 3.400

___________ 3.400

] 9c 5 612 ]

c 5 68 m

5 Calculando o deslocamento da partícula entre 0 s e 4 s:

x0 2 2 2 4 3 0 1 2 3 02 ] x0 5 22 m x1 2 2 2 4 3 4 1 2 3 42 ] x1 5 14 m Sx 5 14 2 (22) ] Sx 5 16 m Pela definição de velocidade média, vem:

vm 5 Ss

___ St

] vm 5 16 ___ 4

] vm 5 4 m/s

6 a

vm 5 36 km/h $ 3,6

vm 5 10 m/s O deslocamento total percorrido pelo trem en-

quanto a cancela está fechada é: Ss 5 100 1 200 1 20 ] Ss 5 320 m

Pela definição de velocidade média, temos:

vm 5 Ss

___ St

] 10 5 320 ____ St

] St 5 32 s

a cancela é fechada antes do início do cruzamento

comprimento do trem

largura da rua

7 e Chamando de C a distância percorrida a cada

salto do cão e de c a distância percorrida a cada salto da lebre, temos que:

2 3 C 5 5c ] C __ c 5 5 __

2 (I)

Do enunciado, sabemos que em um mesmo in-tervalo de tempo o cão dá 3 saltos enquanto a lebre dá 7 saltos, isto é:

vmC 5 3 3 C ____ t e vmC 5 7 3 c ____

t

Como o intervalo de tempo, t, é o mesmo, vem:

Pela definição de velocidade média:

vmC 5 s __ t1

e vmC 5 d __ t1

, em que d 5 s 2 25c e tem-

po t1, que é o tempo de encontro, é o mesmo para os dois, então:

t1 5 t1 ] s ___ vmC 2 s 2 25c _______ vmc

]

vmC ___ vmc

5 s _______ s 2 25c

(IV)

Substituindo (III) em (IV), temos:

15 ___ 14

5 s _______ s 2 25c

] 15 3 s 2 375 5 14 3 s ]

s 2 375c pela equação (I), sabemos que

c 5 2C ___ 5

então:

s 5 375 3 2 3 C ____ 5

] s 5 150 3 C

ou seja, 150 saltos até o encontro.

8 a

0

Cão LebrePosição doencontro

25 t d

s

0

vm1 = 70 km/h t = 20 min

7 km 6 km

vm1 5 Ss1

___ St1

] 70 5 7 ___ St1

] St1 5 1 ___ 10

h ]

St1 5 6 min

Portanto, o estudante demorou 26 min @ 26 h ____ 60

# para atravessar a ponte na ida.

vm 5 Sst

___ Stt

] vm 5 13 ___

26 ___ 60

] vm 5 16 3 60 ______

26 ]

vm 5 30 km/h

Na volta o estudante gasta 10 min @ 1 __ 6

h # para

percorrer os mesmos 13 km; então:

vm 5 Ss

___ St

] vm 5 13 ___

1 __ 6

] vm 5 78 km/h

3C ___ vmC 5 7c ___ vmc

] vmC ___ vmc

5 3 __ 7

3 C __ c (II)

Substituindo a equação (I) em (II):

vmC ___ vmc

5 3 __ 7

3 5 __ 2

] vmC ___ vmc

5 15 ___ 14

(III)


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Sim, a velocidade média de todo o trecho é igual a média aritmética das velocidades.

como St1 5 St2, vem: vmTotal 5 Ss1 1 Ss2

_________ St1 1 St1

5

5 80 St1 1 60 St1 _____________

2 St1

] vmTotal 5 70 km/h

vm1 5 80 km/h ] St1

vm2 5 60 km/h ] St2

10 A variação da velocidade instantânea do auto-móvel foi de:

Sv 5 96 2 60 ] Sv 5 36 km/h ] Sv 5 10 m/s

a 5 Ss

___ St

] a 5 10 ___ 5

] a 5 2 m/s2

11 a 5 Sv

___ St

] 1,5 5 20 2 0 ______ St

]

St 5 13,333 s

12 Pela definição de aceleração média temos:

a 5 Sv

___ St

] 1,5 5 20 ___ St

] St 5 20 ___ 1,5

]

St 5 21,5 s

n Automóvel: Sv 5 90 km/h$ 3,6 S 5 25 m/s ]

Sv ___

St ]

a 5 25 ___ 10

] a 5 2,5 m/s2

n Avião: Sv 5 198 km/h$ 3,6 Sv 5 55 m/s ]

a 5 Sv

___ St

] a 5 55 ___ 12

] a 7 4,6 m/s2

Portanto, a aceleração do avião monomotor é maior do que a aceleração do automóvel.

13 Sv 5 30 2 120 ] Sv 5 290 km/h ]

Sv 5 225 m/s

a 5 Sv

___ St

] a 5 225

____ 10

] a 5 22,5 m/s2

14 Aceleração:

a 5 Sv

___ St

] a 5 100 2 0 _______ 10

]a 5 10(km/h)/s

a 7 25,6 m/s2

a 7 5,6 m/s2

a 5 10(km/h)/s Desaceleração:

a 5 Sv

___ St

] a 5 0 2 80 ______ 4

]

Em módulo, o valor da desaceleração é o dobro do valor da aceleração. A desaceleração é, en-tão, 100% maior do que a aceleração.

15 O deslocamento do corpo é numericamente igual à área sob a curva do gráfico; então:

Ss 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

] Ss 5 (10 1 5) 3 10

___________ 2

]

Ss 5 75 m

16 a) A distância percorrida é numericamente igual à área; então:

Ss 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

] Ss 5 (20 1 10) 3 10

____________ 2

]

Ss 5 150 m

b) Ss 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

] Ss 5 (30 1 10) 3 20

____________ 2

]

Ss 5 400 m

c) vm 5 Ss

___ St

] vm 5 150 1 400 _________ 40

]

vm 5 13,75 m/s

d) n entre 0 e 10 s:

a 5 Sv

___ St

] a 5 10 2 0 ______ 10

] a 5 m/s2

n entre 10 e 20 s:

Nesse trecho temos uma velocidade cons-tante de 10 m/s, ou seja Sv 5 0, então a aceleração também é nula.

a 5 0 m/s2

17 Primeiro vamos calcular a velocidade final vf do atleta.

Sabendo que o deslocamento do atleta é nu-mericamente igual à área sob a curva, ou seja:

SsT 5N A ] SsT 5 (B 1 b)

______ 2

3 h ]

100 5 (10 1 6)

_______ 2

3 vf ]

vf 5 12,5 m/s

então, o deslocamento nos primeiros 4 s é:

Ss 5N A ] Ss 5 b 3 h ____ 2

] Ss 5 4 3 12,5

_______ 2

]

Ss 5 25 m


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.18 Pelo gráfico, é fácil ver que:

a 5 Sv

___ St

] a 5 12 2 4 ______ 4

] a 5 2 m/s2

A velocidade do ciclista no instante 7 s será de:

a 5 Sv

___ St

] 2 5 vf 2 4

_____ 7

] vf 5 18 m/s

Então, o gráfico de v # t até o instante 7 s será:

Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b)

______ 2

3 h ]

Ss 5 (18 1 4) 3 7

__________ 2

] Ss 5 77 m

19 O deslocamento do veículo de 0 h a 1 h é:

Ss1 5 b 3 h ] Ss1 5 15 km

O deslocamento do veículo de 1 h a 2 h é nulo, pois o veículo está parado.

O deslocamento do veículo entre 2 h e 4 h é:

Ss2 5 3 3 (220) ] Ss 5 260 km

o sinal negativo indica que o deslocamento nesse intervalo é no sentido contrário ao da orientação. A posição do veículo no instante t 5 4 h é:

s 5 50 1 15 2 60 ] s 5 5 km

20 a) De 0 s a 2 s: a 5 Sv

___ St

] a 5 12 2 0 ______ 2

]

a 5 6 m/s2

De 2 s a 18 s: a 5 Sv

___ St

] a 5 8 2 12 ______ 16

]

a 5 20,25 m/s2

b) Ss 5N A ] Ss 5 b 3 h ____ 2

] Ss 5 2 3 12 _____ 2

]

Ss 5 12 m

21 a) Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 h) 3 h

_________ 2

] Ss 5 sf 2 s ]

75 5 sf 2(220) ] sf 5 55 m

b) a 5 Sv

___ St

] a 5 20 2 10 _______ 5

] a 5 2 m/s2

22 c Deslocamento entre 4 s e 6 s: Ss1 5 (b 1 B) 3 h ] Ss1 5 (10 1 20) 3 1 ]

Ss1 5 30 m

Deslocamento entre 6 s e 10 s: Ss2 5 b 3 h ] 4 3 20 ] Ss2 5 80 m SsT 5 Ss1 ] SsT 5 30 5 150 ]

SsT 5 110 m

v (m/s)

4

t (s)0

18

A

7

CAPÍTULO 4

1 a) Do enunciado, sabemos que vA 5 28 m/s; então, podemos determinar no gráfico a posição em que os dois corpos estão no instante t 5 2 s.

O nível negativo de vA significa que o corpo A está se deslocando no sentido contrário ao da orientação:

vA 5 SsA

___ St

] 28 5 s 2 40 ______ 2

] s 5 24 m

Então:

vB 5 SsB

___ St

] vB 5 24 2 0 ______ 2

] vB 5 12 m/s

b) Corpo A:

sA 2 s0A 1 vAt ] sA 5 40 2 8t

Corpo B:

sB 5 s0B 1 vBt ] sB 5 0 1 12 t

c) A distância entre os corpos no instante 3 s é dada pela subtração entre a posição do cor-po B e a posição do corpo A, no instante 3 s.

Ss 5 sB 2 sA ] Ss 5 (12 3 3) 2 (40 2 8 3 3) ]

Ss 5 20 m

2 a) Automóvel Y: sy 5 s0y 1 vyt ] sy 5 0 1 15t

Automóvel X: sx 5 s0x 1 vxt ] sx 5 90 1 9t


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3 c

Quando João atinge o ponto P, seu amigo per-correu uma distância em relação ao mesmo ponto P de:

vA 5 Ss

___ St

] 60 5 Ss

___ 4 ___ 60

] Ss 5 4km

Considerando o instante inicial, o instante em que João passa pelo ponto P, as equações ho-rárias ficam:

sA 5 s0A 1 vAt ] sA 5 4 1 60 3 t

e

sJ 5 s0J 1 vJtt ] sJ 5 0 1 80 3 t

O instante do encontro é dado quando sA 5 sJ; então:

sA 5 sJ ] 4 1 60t 5 80t ] 4 5 20t ]

t 5 0,2 h ] t 5 12 min

4

110 t (s)

s (m)“A” inicialmente atrás de “B”.

88

A

B

t (s)

s (m)“A” inicialmente a frente de “B”.

0

88

A

B

110 t (s)


88

A

B

110 t (s)


88

A

B

b)

5 Primeiro vamos calcular a velocidade do torpe-do em relação ao navio, que está parado:

vm1 5 Ss

___ St

] vm1 5 4.200 _____ 120

] vm1 5 35 m/s

Porém v, é a velocidade do torpedo em relação submarino, que se move com velocidade de 14 m/s no mesmo sentido do torpedo.

v1 5 35 m/s v 5 14 m/s

Então, a velocidade v, do torpedo em relação ao submarino, é:

v1 5 v1 5 v ] v1 5 35 2 14 ] v1 5 21 m/s

6 O veículo leve completará o trecho de 20 km em:

vc 5 Ss

___ St

] 80 5 20 ___ St

] St 5 1 __ 4

h

Em 1 __ 4

h o veículo pesado estará na posição:

vP 5 SsP

___ St

] 70 5 SsP

___ 1 __ 4

] SsP 5 17,5 km

Então: Ss 5 SsL 2 SsP ] Ss 5 20 2 17,5 ]

Ss 5 2,5 km

b) Os dois automóveis vão se encontrar quando: sx 5 sy ] 90 1 9t 5 15t ] 90 5 6t ]

t 5 15 s

Substituindo o instante do encontro (t 5 15 s) em qualquer uma das duas equações:

sy 5 15 3 15 ] s 5 225 m

a)

ou

ou


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.7 d Pela tabela, vemos que a posição inicial do au-

tomóvel é 200 km e que o automóvel percorre 30 km a cada 2 h, no sentido contrário ao da orientação, ou seja v 5 215 km/h.

A equação horária é:

s 5 s 1 vt ] s 5 200 2 15t

8 c v 5 288 km/h ] v 5 80 m/s Em 2 h, o carro com velocidade de 80 m/s per-

corre:

vm 5 Ss

___ St

] 80 5 Ss

___ 2

]

Ss 5 160 m

Retomada dos conceitos

1 d Sabemos, pelo enunciado, que só podemos

considerar a variação de temperatura linear no intervalo entre duas medições. Então, vamos analisar o comportamento das duas grandezas apenas no intervalo que contém os 400 m.

CAPÍTULO 1

t (0C)

x (m)0 100

(100; 21)

(500; 7)

500

21

7

Podemos montar o seguinte sistema:

]y1 5 ax1 1 by2 5 ax2 1 b

21 5 a 100 1 b (I)7 5 a 500 1 b (II)

De (I) 2 (II), temos:

21 2 7 5 100a 2 500a ] a 5 14 ____ 400

Substituindo em (I):

21 5 2 14 ____ 400

100 1 b ] b 5 24,5

Então, a equação da reta que corresponde ao intervalo de 100 m até 50 m é:

y 5 2 14 ____ 400

3 x 1 24,5

Para x 5 400 m, temos:

y 5 2 14 ____ 400

3 400 1 24,5 ]

y 5 10,5 wC

b) Para m 5 6, temos:

R 5 6.000 2 250 3 6 ]

R 5 6.000 2 1.500 ]

R 5 R$ 4.500,00

c) a terça parte do valor inicial é:

1 __ 3

3 6.000 5 R$ 2.000,00

Substituindo na equação:

2.000 5 6.000 2 250m ]

250m 5 4.000 ]

m 5 16 meses

3 a) 80 km

b) 80 km por hora

c) D 5 40 1 80 t

d) 40 km

e) D 5 40 1 80 t ] 110 5 40 1 80 t ]

t 5 70 ___ 80

] t 5 0,875 ] t 5 52min30s

4 a) A cada minuto, a temperatura da água au-menta 2,5 wC. Como a temperatura inicial era de 200 wC, podemos escrever T da seguinte forma:

T 5 20 1 2,5t

b) T 5 20 1 2,5t, após 10 min, temos:

T 5 20 1 2,5 3 10 ] T 5 20 1 25 ]

T 5 45 wC

c) como T 5 20 1 2,5t, temos:

100 5 20 1 2,5t ] t 5 32 min

2 a) a cada mês R$ 250,00 são retirados da quan-tia total; então:

R 5 6.000 2 250 m


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.

2 a) Pelo gráfico: Posição inicial A 5 0 Posição inicial B 5 20 Ainda pelo gráfico, vemos que o móvel A

percorre 12 metros a cada 4 segundos, ou 3 m/s. Já o móvel B percorre 8 metros a cada 4 segundos, porém no sentido contrário ao da orientação, ou seja, 22 m/s. Então, as equa-ções horárias foram:

sA 5 0 1 3t e sB 5 20 2 2t

b) Substituindo t 5 2 s nas equações: sA 5 3 3 2 ] sA 5 6 m e sB 5 20 2 2 3 2 ] sB 5 16 m

c) Substituindo t 5 7 s nas equações: sA 5 3 3 7 ] sA 5 21 m e sB 5 20 2 2 3 7 ] sB 5 6 m

d) A distância inicial entre eles era de 20 m. O enunciado pede o tempo necessário para:

sA 2 sB 5 40 ] 3t 2 20 1 2t 5 40 ]

5t 5 60 ] t 5 12 s

3 O observador dentro do elevador vê a bolinha se aproximando até o instante em que ela atin-ge a máxima altura em relação ao solo; a partir desse instante, o observador vê a bolinha se afastando (caindo) até retornar ao solo. Para esse observador, o movimento da bolinha será sempre retilíneo.

4 a) Considerando que o movimento da bicicle-ta é para a esquerda, temos:

sA sB

x (m)0 6 16

sB sA

x (m)0 6 21

Ss 5 sB 2 sA ] 16 2 6 5 Ss ]

Ss 5 10 m

Ss 5 sB 2 sA ] 21 2 6 5 15 ]

Ss 5 15 m

5 b F ∝ L 3 L 3 H2; então, substituindo os dados da

tabela: F 5 K 3 L 3 H2 ]

Como a constante da proporcionalidade não muda, temos:

2.000 _____ 3 3 42

5 3.000 _____ 2 3 x2

] x2 5 3 3 16 3 3.000 ___________ 2 3 2.000

]

x2 5 36 ] x 5 6

2.000 5 K 3 3 3 42

3.000 5 K 3 2 3 x2

CAPÍTULO 2

6 d

Do enunciado, temos que: y 5 k 3 1 __ x .

Substituindo o valor para (x; y) fornecido:

480 5 k 3 1 __

5 __ 3

] k 5 800 5 x 3 y

A área do triângulo é dada por:

PQ 3 PO

_______ 2

5 XQ 3 YQ

______ 2

; como sabemos que para essa

função o produto x 3 y é sempre 800, temos:

Área 5 800 ____ 2

5 400

1 a) O deslocamento do corpo nos primeiros 2 s é:

Ss 5 s2 2 s0 5 65 2 (220) ] Ss 5 85 m

b) O deslocamento do corpo nos primeiros 3 s é:

Ss 5 s3 2 s0 5 42 2 (220) ] Ss 5 62 m

c) A distância percorrida nos três primeiros se-gundos é de:

t = 0 s t = 1 s t = 3 s

t = 2 s

s = – 20 m s = 20 m s = 42 m

s = 65 m0

d 5 85 1 (65 2 43) ] d 5 85 1 23 ]

d 5 108 m

t (wC)

20

100

32 t (min)0

d)


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.b) Ainda consideran-

do que o movimen-to da bicicleta seja para a esquerda:

5 a) Substituindo t 5 4 s: s 5 16 2 42 ] s 5 16 2 16 ] s 5 0 mb) A posição do corpo no instante 6 s é: s 5 16 2 62 ] s 5 16 2 36 ] s 5 220 m Então, o deslocamento do corpo entre os

instantes 4 s e 6 s foi de 20 m no sentido contrário ao da orientação.

6 a) sA 5 4 3 2 ] sA 5 8 m

b) sB 5 3 3 1 ] sB 5 6 m

c)

M

6 m

sA

sB

dAB

08 m

CAPÍTULO 3

vm1 5 Ss1

___ St1

] vm1 5 100 ____

7 __ 6

] vm1 5 600 ____

7 m/s

Mantendo a velocidade nos próximos 80 km:

vm1 5 Ss1

___ St1

] 600 ____ 7

5 80 ___ St2

] St2 5 14 ___ 15

h ]

St2 5 56 min O motorista teria 110 min para percorrer o se-

gundo trecho. Como utilizará apenas 56 min,

poderá descansar 54 min .

1

1h10min 5 7 __ 6

h

1h10min = — h76

SsT 5 A1 1 A2 1 A3 ] SsT 5 6 3 10 1 10 3 5 1

1 4 3 15 ] SsT 5 170 m

3

4 a Calculando o deslocamento do ciclista:

n 0 h até 1,5 s ] Ss1 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

]

Ss1 5 (1,5 1 1) 3 20

___________ 2

Ss1 5 37,5 m

n 1,5 s até 2 s ] Ss2 5 0

n 2 h até 3 h

SsB 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

] Ss3 5 27,5 m

SsT 37,5 1 0 2 7,5 ] Ss 5 30 m ]

vm 5 Ss

___ St

] vm 5 30 ___ 3

] vm 5 10 m/s

5 c Distância percorrida em St: d1 5 1 3 1 ] d1 5 1 (em unidade arbitrária) Distância percorrida em St2

d2 5 b 3 h ____ 2

] d2 5 2 3 1 ____ 2

]

d2 5 1 (em unidade arbitrária)

Então: d1 __ d2

5 1

v (m/s)

60 2016

A3

A2

A1

15

10

5

t (s)

2 Considerando que o motorista complete a via-gem à velocidade de 120 km/h, temos:

vm 5 Ss

___ St

] 120 5 240 ____ St

] St 5 2 h

Considerando que toda viagem fosse feita em 100 km/h, temos:

vm 5 Ss

___ St

] 100 5 240 ____ St

] St 5 2,4 h

Então, ele deverá ficar parado por:

ST 5 2,4 2 2 ]

ST 5 0,4 hou

ST 5 24 min

7 a) sA 5 22 1 3t

b) em t 5 3sc) no momento da ultrapassagem

sA 5 sB ] t2 2 2 5 22 1 3t

logo: t 5 3s

Por Pitágoras: d2AB 5 62 1 82 ]

d2AB 5 36 1 64 ] d2

AB 5 100

dAB 5 10 m


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7 c n 1o trajeto:

vm1 5 Ss1

___ St1

] 15 5 s _ t ] t1 5 s ___

15

n 2o trajeto:

vm2 5 Ss2

___ St2

] 20 5 s __ t2

] t2 5 2 ___ 20

n 3o trajeto:

vm3 5 Ss3

___ St3

] vm3 5 s ______

t1 1 t2 ______

2

]

vm3 5 2 3 s ________ s ___ 15

1 s ___ 20

] vm3 5 2 3 5 _______

45 1 35 _______ 60

]

vm3 5 120 s _____ 7 s

] vm3 5 17,14 m/s

8 a) a 5 Sv

___ St

] 20 2 12 _______ 10

] a 5 8 ___ 10

]

a 5 0,8 m/s

b) a 5 Sv

___ St

] vf 2 12

_______ 15

] 12 5 vf 2 12 ]

vf 5 24 m/s

c)

Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h

_________ 2

]

Ss 5 (24 1 12) 3 15

____________ 2

] Ss 5 270 m

v (m/s)

0 1510

A

2420

12

t (s)

CAPÍTULO 4

1 a) A velocidade é constante, portanto aos 4 s a

velocidade do corpo é: v 5 5 m/s

b) Substituindo t 5 4 s na equação horária:

s 5 20 1 5 3 t ] s 5 220 1 5 3 4 ] s 5 0

2 Corpo A: sA 5 s0A 1 sAt ] sA 5 5t

Corpo B: sB 5 s0A 1 vBt ] sB 5 28 1 5t

3 a) A posição inicial dos dois móveis é a mesma: 24 m.

O móvel P percorre 18 m a cada 6 s, ou seja, 3 m/s. Já o móvel M percorre 12 metros a cada 6 s, no sentido contrário ao da orienta-ção, ou seja, 22 m/s. Então:

sP 5 24 1 3t e sm 5 24 2 2t

b) A posição do móvel P aos 2 s é:

sP 5 24 1 3 3 2 ] sP 5 30 m

A posição do móvel M aos 2 s é:

sM 5 24 2 2 3 2 ] sM 5 20 m

Ss 5 sP 5 sm ] S 5 30 2 20 ]

Ss 5 10 m

c) sP 2 sM 5 60 ] 24 1 3t 2 (24 2 2t) 5 60 ]

5t 5 60 ] t 5 12 s

4 e

Quando o segundo automóvel parte em busca do primeiro, este já ocupa a posição:

v 5 Ss

___ St

] 60 5 Ss

___

20 ___ 60

] Ss 5 20 km

Então, as equações horárias são:

s1 5 20 1 60t e s2 5 80t

Igualando, temos:

20 1 60t ] t 1 1 h; então, o tempo total é:

t 5 60 1 20 ] t 5 80 min

c) No instante inicial, o corpo estava na po-sição 220 m e, no instante 4 s, na posição 0 m; então:

Ss 5 0 2(220) ] Ss 5 20 m

d) A posição do móvel em t 5 6 s é: s 5 20 1 5t ] s 5 220 1 5 3 6 ] s 5 10 m Então: Ss 5 s 2 s ] Ss 10 2 (220) ]

Ss 5 30 m

6 c vm 5 72 km/h ] vm 5 20 m/s

vm 5 Ss

___ St

] 20 5 Ss

___ 4

] Ss 5 80 m


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v0 v0

vava

Início Fim

5 c

O intervalo de tempo decorrido entre o disparo do projétil e o impacto é:

vB 5 Ss

___ St

] 12 5 21,6

____ St

] St 5 1,8 s

Então:

vP 5 Ss

___ St

] vP 5 d ___ 1,8

] 275 5 d ___ 1,8

]

d 5 495 m

21,6 mv = 275 m/s

v = 12 m/s

D

6 c A distância total percorrida pelo sinal é de 2 3 d,

percorridos e 0,5 s, então:

cardume

vm 5 Ss

___ St

] 1.600 5 2 3 d ____ 0,5

] 800 ____ 2

5 d ]

d 5 400 m

7 v1 5 90 km/h 5 25 m/s e v2 5 272 km/h 5 220 m/s (pois um automóvel

está no sentido oposto ao do outro.) Após 5 min, a distância do 1o automóvel em re-

lação ao ponto X é: s1 5 25t ] s1 5 25 3 (5 3 60) ]

s1 5 7.500 m 5 7,5 km Após (5 min 2 5 s), a distância do 2o automóvel

em relação ao ponto X é: t2 5 5 min 2 5 s 5 300 s 2 5 s 5 295 s s2 5 220t ] s1 5 220 3 (295) ] s1 5 25.900 m 5 25,9 km Portanto, a distância entre os pontos é a dife-

rença entre as posições dos automóveis: D 5 7,5 2 (25,9) 5 13,4 km

d

Sonar

8 a) A: sA 5 6t (SI) B: sB 5 300 2 9t (SI)b) sA 5 sB

6t 5 300 2 9t ] 15t 5 300 ] t 5 20 s Substituindo em uma das funções horárias,

pois nesse instante ambas terão o mesmo va-lor, temos:

sA 5 6 3 20 5 120 m

Exercícios de integração

1 c

Em 40 minutos, o espaço percorrido pelo ônibus foi:

v0 5 Ss0

___ St

] Ss0 5 75 3 2 __ 3

] Ss0 5 50 km

Em 40 minutos, o espaço percorrido pelo carro seria de:

Dc 5 Ssc

___ St

] Ssc 5 100 3 2 __ 3

] Ss0 5 200 ____ 3

km

Então, o tempo em que o automóvel ficou pa-rado é dado por:

100 H 5 @ 200 ____

3 2 50 #

__________ tparado

] tparado 50 ______ 3 3 100

5 1 __ 6

]

tparado 5 10 min

2 Paulo:

V Pm 5

SsP ___

StP

] 15 5 8 ___ StP

]

StP 5 8 ___ 15

StP 5 32 min

Ônibus: O ônibus chegará à escola assim que percorrer

10 km.


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n 0 min 2 6 min ] v 5 Sv

___ St

] 30 5 ! Sv

___ 1 ___ 10

,

] Sv 5 243 km n 6 min 2 10 min ] v 5 0 ] Ss2 5 0 km

n 10 min 2 16 min ] v 5 Ss3

___ St

] 20 5 Ss

___ 1 ___ 10

]

Ss3 5 2 km n 16 min 2 20 min ] v 5 0 ] Ss4 5 0 km

n 20 min 2 30 min ] v 5 Ss5

___ St

] 30 5 Ss

___ 1 __ 6

]

Ss5 5 5 km Nesse instante (30 min) o ônibus completa

10 km de percurso. St0 5 30 min. Portanto, Paulo chega 2 min após o ônibus na

escola.

3 c Os móveis A e B atingem a mesma velocidade

no instante 2 s. O deslocamento do corpo A no intervalo de 0 s até 2 s é:

SsA 5 (B 1 b) 3 b

_________ 2

] SsA 5 (2 1 1) 3 30

__________ 2

]

SsA 5 45 m O deslocamento do corpo B no intervalo de 0 s

até 2 s é:

SsB 5 b 3 h ____ 2

] SsB 5 30 m

Então, a distância entre os dois móveis no inter-valo 2 s é:

SsT 5 45 2 30 ] SsT 5 15 m

4 a) O impulso elétrico percorreu 0,25 m em 4 3 1023 s ] SsT 5 15 m, ou seja, 0,25 m em 4 3 1023 s, ou:

v 5 0,25

______ 4 3 103

] v 5 62,5 m ]

v 5 225 km/h

5 c vm 5

Ss ___

St ] vm 5 175 ____

9 m/s

# 3,6 v 5 70 km/h

6 b Automóvel A:

Automóvel B:

vm 5 Ss

___ St

] 50 5 40 ___ tB

] tB 5 4 __ 5

h, então:

ida p vm 5 Ss

___ St

] 60 5 20 ___ St1

] St1 5 1 __ 3

h

volta p vm 5 Ss

___ St

] 40 5 20 ___ St2

] St2 5 1 __ 2

h 5 __ 6

h

tA __ tB

5 5 __ 6

__

4 __ 5

]

tA __ tB

5 25 ___ 24

7 e Observando o gráfico, vemos que entre os ins-

tantes 0,2 h e 0,8 h o móvel desenvolve velo-cidade constante de 72 km/h, ou seja, está em movimento uniforme.

8 c Analisando o gráfico, percebe-se que os veículos

A e B possuem a mesma velocidade média, porém o veículo A está à frente do veículo B.

9 d O fim da ultrapassagem se dá quando o “final” do

navio ultrapassa o barco; então as equações ho-rárias do bote e do “final” do navio são: sB 5 2t e sN 5 250 1 vt. Em t 5 20 s, a posição sB e sN são

iguais: 2 3 20 5 250 1 v 3 20 ] v 5 4,5 m/s

b) Observando a figura, vemos que o impul-so elétrico demora (11 ms 2 7 ms), ou seja, 4 ms.

vm 5 Ss

___ At

] vm 5 0,2

_______ 4 3 1023

]

] vm 5 50 m/s

A partir do gráfico podemos calcular a distân-cia percorrida nos intervalos:


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Gabarito

CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 4

CAPÍTULO 3

Retomada dos conceitos

1 d2 a) R 5 6.000 2 250 m

b) R 5 R$ 4.500,00c) m 5 16 meses

3 a) 80 kmb) 80 km por horac) D 5 40 1 80td) 40 kme) t 5 52 min30 s

4 a) J 5 20 1 2,5tb) J 5 45 wCc) t 5 32 mind)

b)

5 a) s 5 0 b) s 5 220 m

6 a) sA 5 8 m b) sB 5 6 m c) dAB 5 10 m

1 St 5 54 min2 St 5 24 min3

SsT 5 A1 1 A2 1 A3 ] SsT 5 6 3 10 1 10 3 5 1 4 3 15 ]

SsT 5 170 m4 a

5 c

6 c

7 c

8 a) a 5 0,8 m/s

b) vf 5 24 m/s

c) Ss 5 270 m

1 a) v 5 5 m/s

b) Ss 5 10 m

c) s 5 0 m

d) Ss 5 30 m

M

v (m/s)

60 2016

A3

A2

A1

15

10

5

t (s)

t (0C)

x (m)0 100

(100; 21)

(500; 7)

500

21

7

CAPÍTULO 21 a) Ss 5 85 m

b) Ss 5 62 mc) d 5 108 m

2 a) sA 5 0 1 3t e sB 5 20 2 2t

b) Ss 5 10 mc) Ss 5 15 md) t 512 s

3 O observador dentro do elevador vê a bolinha se aproximando até o instante em que ela atin-ge a máxima altura em relação ao solo; a partir desse instante, o observador vê a bolinha se afastando (caindo) até retornar ao solo. Para o observador no elevador, o movimento da boli-nha será sempre retilíneo.

4 a)

5 b6 d


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2 Corpo A: sA 5 5t

Corpo B: sB 5 28 1 5t

3 a) sP 5 24 1 3t e sm 5 24 2 2t

b) Ss 5 10 mc) t 5 12 s

4 e

Exercícios de integração

1 c2 Paulo chegará 2 min após o ônibus na escola.3 c4 a) v 5 225 km/h

b) vm 5 50 m/s

5 c

6 c

7 D 5 7,5 2 (25,9) 5 13,4 km

8 a) A: sA 5 6t (SI)

B: sB 5 300 2 9t (SI)

b) sA 5 6 3 20 5 120 m

5 c6 b7 e8 c9 d


49507702

gabarito apostila 1 uno

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