Gabarito da Primeira Prova de Matemática para … da Primeira Prova de Matemática para...
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Gabarito da Primeira Prova de Matemática para Administração -Turma A
1. (a) Df = [0,+∞), Dg = R
(b) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(4− x2) =√
4− x2
Df◦g : 4− x2 ≥ 0⇔ x2 ≤ 4⇔ −2 ≤ x ≤ 2, Df◦g = [−2, 2]
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = 4− (
√x)2 = 4− x,
Dg◦f = [0,+∞) (note que, para chegar à expressão acima, usamos√x)
2.
(a) limx→3+
√x2 − 9
x− 3indeterminação do tipo
0
0
= limx→3+
√(x− 3)(x + 3)
x− 3= lim
x→3+
√x− 3
x− 3
√x + 3
= limx→3+
1√x− 3
√x + 3 =
√6
0+= +∞
(b) limx→1
x− 2
|x− 1|=−1
0+= −∞
(c) limx→−∞
5x3 − 12x + 7
4x2 − 1indeterminação do tipo
∞∞
= limx→−∞
5x− 12x + 7
x2
4− 1x2
(dividindo em cima e em baixo por x2)
=−∞+ 0 + 0
4− 0= −∞
3. (a) Para x < 0, f é contínua pois é dada por uma função polinomial. Deigual modo, para x > 0, f é contínua.
Para analisar a continuidade na origem, usamos limites laterais:
limx→0−
f(x) = limx→0−
(x2 + 1) = 1, limx→0+
f(x) = limx→0+
(x + 1) = 1,
logo limx→0 f(x) existe e é igual a 1. Como este valor é igual a f(0), f é contínuana origem.
(b) Vamos ver se f ′(0) existe, usando a definição de derivada:
lim∆x→0+
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x= lim
∆x→0+
∆x + 1− 1
∆x= 1,
lim∆x→0−
f(0 + ∆x)− f(0)
∆x= lim
∆x→0−
(∆x)2 + 1− 1
∆x= lim
∆x→0−∆x = 0.
Como os limites laterais destas taxas são diferentes, nao existe f ′(0), ou seja, f nãoé diferenciável na origem.
1
2
(c)
4. (a)(
1t2
)′=(t−2)′
= −2t−3
(b)( √
x
x2 − 15
)′=
12x− 1
2 (x2 − 15)− 2x√x
(x2 − 15)2
(c) Note que g(4) = 2 e (f ◦ g)(4) = f(2) = 14 . Temos de calcular a derivada de
f ◦ g no ponto 4. Pela Regra da Cadeia,
(f ◦ g)′(4) = f ′(g(4)) · g′(4) = f ′(2) · g′(4)
= −2
8
(1
2· 1
2− 8 · 2
)= − 1
16+ 4 =
63
16
Logo a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico de f ◦ g no ponto (4, 14 ) é
y − 1
4=
63
16(x− 4) ⇔ y =
63
16x− 31
2.
5. Derivando a equação
(1) x2y = 5
implicitamente em relação à variável t, obtemos
2xdx
dty + x2 dy
dt= 0.(2)
Quando x = 2, obtemos de (1) que y = 54 . Botando estes valores, juntamente
com dydt = 3 em (2), obtemos
5dx
dt+ 12 = 0 ⇔ dx
dt= −12
5.
6. (a) x = 2p e xp = 8 ⇒ 2p2 = 8 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = 2 pois p ≥ 0.Logo p = 2 é o preço de equilíbrio e a oferta/procura correspondente é x = 4.
curvas de oferta e procura, respectivamente, em função de p:
p =x
2e p =
8
x.
3
(b) x = 2p e xp = M ⇒ 2p2 = M . Fazendo p = 3 obtemos o orçamentoM = 18. A oferta/procura correspondente é x = 6.
novas curvas de oferta e procura, respectivamente, em função de p:
p =x
2e p =
18
x.