FACULDADE DE ENGENHARIA SÃO PAULO – PROVA A1– dia 07/05/2012– 85 minutos ☺Boa Prova (D) PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA – BM5 – Prof. NORIYOSHI KAKUDA

GABARITO .Questão 1 – valor 3,5 a) Determine o Coeficiente de Variação e mediana da seguinte amostra: X ={ 3,2 ; 2,6 ; 0,75 ; 5,5 ; - 2,13 ; 4,65 ;-0,34 ; 3,85 ; - 1,25 ; 1,72} Dados : ∑Xi =18,55 ∑Xi2 = 93,4309 n =10 Valor( 1,0) 𝑋� = 18,55

10 = 1,855 → 𝑋� = 1,855

S2 = 19 [ 93,4309 –

(18,55)2

10 ] = 6,5579→ S = 2,5608

C.V. =

2,56081,855

(100%) = 138,0485% → C.V. = 138,0485 % εmd ↓ Ordenando : { -2,13; - 1,25 ; - 0,34 ; 0,75 ; 1,72 ; 2,6 ; 3,2 ; 3,85 ; 4,65 ; 5,5} n = 10 εmd =

10+12

= 5,5 º (posição) → Md = 1,72+2,62

→ Md = 2,16 b) Os dados abaixo são referentes a seguinte distribuição de notas em uma prova de Estatística: Notas 10 - 25 25 - 40 40 - 55 55 - 70 70 - 85 85 - 100 ∑ Nº de alunos 34 73 95 144 118 36 500 fac 34 107 202 346 464 500 Dados: ∑ fiXi = 28.955 ∑ fiXi2 = 1.881.125 ∑fi = 500

Calcular: a) nota mediana b ) a nota modal c) o coeficiente de variação d) o percentil 35 Valor (2,5)

a) εMd = 𝟓𝟎𝟎𝟐

= 250 º ( posição) → classe mediana : 55 – 70 Md = 55 + 15 ( 250−202)

144 = 60 → Md = 60

b) classe da Moda : 55 – 70 Mo = 55 + 15 ( 144−95)

2(144)− (95+118)= 55 + 735

75 = 64,8 → Mo = 64,8

c) 𝑋� = 28.955

500 = 57,91→ 𝑋�= 57,91

S2 = 1

499 [ 1.881.125 – (28.955)2

500 ] = 409,5010 → S = 20,2361

C.V. = 20,2361

57,91 ( 100%) = 34,9441 % → C.V. = 34,9441 %

d) εP35 =

35 𝑥500100 = 175º (posição) classe 40 –55

P35 = 40+ 15 ( 175−107 )

95 = 50,7368→ P35 = 50,7368

Questão 2 – valor 3,5 a) Os dados da tabela abaixo,resumem os resultados de uma pesquisa realizado com 1050 telespectadores de uma grande cidade,quanto a preferência do tipo de programa:

Tipo de Programa ∑ Novela (N) Telejornal (T) Esporte (E) Homem (H) 115 270 180 565 Mulher (M) 45 130 120 295 Criança (C) 30 120 40 190 ∑ 190 520 340 1050

Selecionando-se aleatoriamente 1 telespectador, determine a probabilidade: i) Se tratar de um telespectador com preferência por novela se é uma mulher ii) Obter alguém que tenha preferência por esporte ou seja criança iii) Uma que seja mulher e que tenha preferência por telejornal iv) Sabendo que se trata de que tenha preferência por esporte seja uma mulher v) Escolhidas duas pessoas qual a probabilidade de que ambos tenham preferência por esporte valor ( 2,5)

i) P( N / M ) = 𝑃( 𝑁 ∩𝑀 )𝑃(𝑀)

= 45295

= 0,1525

ii) P ( E U C ) = P( E) + P( C ) – P(E ∩C) = 3401050

+ 1901050

- 401050

= 4901050

= 0,4667

iii) P( M ∩T) = 1301050

= 0,1238

iv) P( M / E) = 𝑃(𝑀 ∩𝐸)𝑃(𝐸)

= 120340

= 0,3529

v) P( E1∩ E2) = P(E1) . P( E2 / E1) = 340

1050 x 339

1049 = 0,1046

onde :E1 e E2 são E.ñ.M.E. e E.D.

b) Em uma pesquisa de trafego, observou-se que os veículos que se aproximam de um certo cruzamento os que vão reto é metade dos que viram à direita e os que viram à esquerda é metade dos que viram à direita. Qual é a probabilidade de um carro virar à direita sabendo que ele vai virar? Valor ( 1,0)

Sejam : R = evento veículo seguir reto

D = evento veículo virar à direita

E = evento veículo virar à esquerda

Dados: P(R) = 𝑃(𝐷)2

P(E) = 𝑃(𝐷)2

onde : P(D) + P(E) + P(R) = 1

𝑃(𝐷) + 𝑃(𝐷)2

+ 𝑃(𝐷)2

= 1 → 2 P(D) + P(D)+ P(D) = 2 → 4P(D) = 2 → P(D) = 0,50

P(R ) = 0,25 P(E) = 0,25 e P( virar) = P(D) + P(E) = 0,75

P( D / virar) = 𝑃( 𝐷 ∩𝑣𝑖𝑟𝑎𝑟)𝑃(𝑣𝑖𝑟𝑎𝑟)

= 𝑃(𝐷)𝑃(𝐷)+ 𝑃(𝐸)

= 0,500,75

= 2/3

Questão 3 – valor 3,5 a) Dada a tabela de distribuição conjunta de probabilidades X e Y :

Y / X 1 2 3 4 ∑ 0 0,08 0,05 0,05 0,10 0,28 1 0,12 0,03 0,03 0,14 0,32 2 0,01 0,12 0,13 0,14 0,40 ∑ 0,21 0,20 0,21 0,38 1,00

Calcule : E(X) ; E(Y) ; V(X) e V(Y) Valor ( 2,0)

X 1 2 3 4 ∑ Y 0 1 2 ∑ P(X) 0,21 0,20 0,21 0,38 1,00 P(Y) 0,28 0,32 0,40 1,0 XP(X) 0,21 0,40 0,63 1,52 2,76 YP(Y) 0 0,32 0,80 1,12 X2P(X) 0,21 0,80 1,89 6,08 8,98 Y2P(Y) 0 0,32 1,60 1,92

E(X) = µx = ∑ X P(X) = 2,76 E(Y) = µy = ∑ Y P(Y) = 1,12 V(X) = σX

2= E(X2) – [E(X)]2 V(Y) = σY2= E(Y2) – [E(Y)]2

E(X2) = ∑ X2 P(X) = 8,98 E(Y2) = ∑ Y2 P(Y) = 1,92 V(X) = 8,98 – (2,76)2 = 1,3624 V(Y) = 1,92 – (1,12)2 = 0,6656 σ x

= 1,1672 σ Y = O,8158 b )O tempo T em minutos necessário para um operário processar uma peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

T 2 3 4 5 6 7 ∑ P(T) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 1,0 T.P(T) 0,2 0,3 1,2 1,0 1,2 0,7 4,6 L 18 16 14 12 10 10 L.P(X) 1,8 1,6 4,2 2,4 2,0 1,0 13,0 L2 P(X) 32,4 25,6 58,8 28,8 20,0 10,0 175,6

a) Calcule o tempo médio de processamento b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 10,00, mas se ele processar a peça em menos de seis minutos, ganha R$ 2,00 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 4,00. Calcule a média e a variância da quantia ganha em R$ por peça. Valor (1,5)

a) E(T) = µT = ∑ T. P(T) = 4,6 minutos

b) E(L) = µL = ∑ L. P(T) = 13,00 V(L) = E(L2) – [E(L)]2 = 175,6 – 132 = 6,6

E(L2) = ∑ L2 P(X) = 175,6