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LIVRO 3 - 2013

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

MATEMÁTICA

1. (Espcex (Aman) 2011) Considerando a função real f(x) = (x - 1)

. |x - 2|, o intervalo real para o qual f(x) 2 é

(A) { x R | x 3}

(B) { x R | x 0 ou x 3}

(C) { x R | 1 x 2}

(D) { x R | x 2}

(E) { x R | x 1}

COMENTÁRIO: Aplicando a definição de módulo, obtemos:

2

2

(x 1) (x 2), se x 2f(x) (x 1) | x 2 |

(x 1) (x 2), se x 2

x 3x 2, se x 2.

x x 2, se x 2

Para que f(x) 2,

devemos ter:

2 2

x 2 x 2

i)

x 3x 2 2 x 3x 0

x 2

x 0 x 3

x 3 ou

2 2

x 2 x 2

ii)

x x 2 2 x x 0

x 2

1 x 0

1 x 0 Portanto, o conjunto de valores de x para os quais f(x) 2 é

{x | 1 x 0 x 3}. Observação: Esboçando o gráfico da função f, teríamos:

Resposta: A

2. (Upe 2011) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao gráfico da função f(x) = || x + 2 | - 2|no intervalo -5 < x < 5 é

COMENTÁRIO:

Resposta: C

3. (Ufrs-2011) Para cada número real x, tal que 0 x 3, definimos a função f tal que f(x) = A(x), sendo A(x) a área da superfície sombreada dos retângulos da figura abaixo, limitada pelos eixos coordenados e pela reta vertical de abscissa x.

Então, f(x) 5se e somente se

2

(A) 0 x 1

(B) 1 x 2

(C) 1 x 3

(D) 4/3 x 1

(E) 2 x 3

COMENTÁRIO:

Para temos q

Portanto, ou seja, se, e

somente se,

Resposta: E

4. (Udesc-2009) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) = | x + 1 |+ 2 é:

COMENTÁRIO:

x 3, se x³ -1f(x) | x 1| 2

-x 1, se x -1

Resposta: A

5. (PUC-RS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:

O número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho é: (A) 40 (B) 200 (C) 1000 (D) 1200 (E) 2200

COMENTÁRIO:

Resposta: B

6. (Mackenzie-SP) Uma empresa de telefonia faz, junto a seus clientes, a seguinte promoção: a cada dois minutos de conversação, o minuto seguinte, na mesma ligação, e gratuito. Se o custo de cada segundo de ligação é R$ 0,01, o valor, em reais, de uma ligação de 16 minutos, durante a promoção, é: (A) 6,40 (B) 7,20 (C) 5,80 (D) 6,60 (E) 6,00

COMENTÁRIO:

Resposta: D

7. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da equação |x|2 - |x| - 6

= 0 são raízes da equação x2 - ax - b = 0, podemos afirmar que:

(A) a = 1 e b = 6 (B) a = 0 e b = - 6 (C) a = 1 e b = - 6 (D) a = 0 e b = - 9 (E) não existem a e b tais que x

2 - ax + b = 0 contenha todas

as raízes da equação dada.

COMENTÁRIO:

1 x 3, f(x) 1 2 (x 1) 3 3x 1.

f(x) 5 3x 1 5 x 2, f(x) 5

2 x 3.

3

Resposta: D

8. (Mackenzie-SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x

2 - x - 2| = 2x + 2 é:

(A) 1 (B) 3 (C) -2 (D) 2 (E) -3

COMENTÁRIO:

Resposta: B

9. (UFU-MG) A soma das soluções reais da equação |x2 + 3x + 2|-

|6x| = 0, é igual a: (A) 3. (B) -6. (C) -3. (D) 6. (E) 10

COMENTÁRIO:

Resposta: B

10. (U. F. Juiz de Fora - MG) O número de soluções negativas da equação |5x - 6| = x

2 é:

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

COMENTÁRIO:

Resposta: B

11. (U. E. Londrina-PR) Seja p o produto das soluções reais da equação ||x+1| - 2| = 2. Então p é tal que: (A) p < -4

(B) -2 < p < 0 (C) 4 < p < 16 (D) 0 < p < 4 (E) p >16

COMENTÁRIO:

Resposta: C

12. (PUC-MG) A soma das raízes da equação x2 - x - |x| - 4 = 0 é:

COMENTÁRIO:

Resposta: E

13. (UF-PI) Seja f uma função real de variável real dada por f(x) = |x - 3| + 5x. Podemos afirmar corretamente que: (A) f é uma função par. (B) f é uma função ímpar. (C) f é uma função crescente. (D) f é uma função decrescente. (E) f(x) ³ 0 para todo número real x.

COMENTÁRIO:

Resposta: C

14. (UF-CE) Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado a seguir.

4

Se g(x) = 2f(x) - 1, assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa |g(x)|.

COMENTÁRIO:

Resposta: E

15. (Ufla-MG) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4, é dado por:

COMENTÁRIO:

Resposta: A

16. (FGV-SP) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem

simultaneamente as desigualdades |x - 5| < 3 e |x - 1| 1 é: (A) 25. (B) 13. (C) 16. (D) 18. (E) 21.

COMENTÁRIO:

Resposta: E

5

17. (UF-MG) Quantos números inteiros satisfazem a desigualdade

(A) 8 (B) 11 (C) 9 (D) 10 (E) 12

COMENTÁRIO:

Resposta: C

18. (UFCG-PB) Considere os seguintes subconjuntos da reta:

A = {x IR | - 1 < 3 - 2x < 3}

B = {x IR | x2 - 4x + 3 < 0}

C = {x IR | |3x| 3} Então, podemos afirmar que:

(A) (A C) B

(B) C (A B).

(C) A (B C).

(D) C B = {1}.

(E) (A - B) C.

COMENTÁRIO:

Resposta: C

19. (Mackenzie-SP) Seja S o conjunto solução da inequação x . |x|

< x. Então IR- S é o conjunto:

(A) ]- , -1[ (B) S (C) IR-

(D) (E) {-1}

COMENTÁRIO:

Resposta: A

20. (Espcex (Aman) 2011) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real

em que N(t) é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contados a partir do início do período chuvoso. Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é (A) 40 (B) 41 (C) 53 (D) 56 (E) 60

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COMENTÁRIO:

21. (Mackenzie 2011) Dadas as funções reais definidas por f(x) = |x|

2 - 4|x| e g(x) = |x

2 - 4x| considere I, II, III e IV abaixo.

I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em

relação ao eixo das ordenadas.

II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.

III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.

IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x).

O número de afirmações corretas é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

COMENTÁRIO:

.

Resposta: B

22. (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que representa um esboço do gráfico da função real f

Sabe-se que g x f x 3u, h x g x u e

j x h x .

Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é .

(A)

(B)

(C)

(D)

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COMENTÁRIO: f(x) sofre uma translação vertical

g(x) sofre uma translação horizontal

A parte negativa de h(x) é multiplicada por –1.

Resposta: A

23. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que

satisfazem a equação x y 2 determinam um polígono

cujo perímetro é:

(A) 2 2

(B) 4 2 2

(C) 4 2

(D) 8 4 2

(E) 8 2

COMENTÁRIO:

Se x 0 e y 0x y 2.

Se x 0 e y < 0x y 2.

Se x < 0 e y < 0x y 2.

Se x < 0 e y 0x y 2.

Calculando o lado d do quadrado, temos: d

2 = 2

2 + 2

2

d 2 2.

Logo, o perímetro P será dado por P = 4 d = 8 2.

Resposta: E

24. (Insper 2012) Sendo p uma constante real positiva, considere a função f, dada pela lei

x 9, se x p

f x ,p 4

px 2p, se x p

e cujo gráfico está desenhado a seguir, fora de escala.

Nessas condições, o valor de p é igual a

(A) 1

.2

(B) 1.

(C) 3

.2

(D) 2.

(E) 5

.2

COMENTÁRIO: Fazendo x = p e igualando as duas sentenças para determinar p, temos:

2 2p 9 5 5 1p p 2p p 2 p 4p 8p 5 0 x ou x .

p 4 4 2 2

Na figura p > 0, então,

5p .

2

Resposta: E

25. (Pucsp 2012) Sabe-se que, em certo posto de combustível, as bombas de gasolina despejam o líquido à vazão constante de 3 litros por minuto. Certo dia, Lia parou nesse posto para abastecer seu carro quando ainda havia 10 litros de gasolina no tanque e foram gastos 5 minutos para colocar em seu interior mais alguns litros da gasolina, após o que ela seguiu sua viagem. Imediatamente após ter saído do posto, sabe-se que o carro de Lia: – rodou ininterruptamente por 95 minutos, quando, então,

esgotou-se toda a gasolina do tanque e ele teve que parar;

– ao longo desses 95 minutos, o volume de combustível no tanque, em litros, pode ser descrito como uma função do tempo t, em minutos, cujo gráfico é parte do ramo de uma parábola cujo vértice é o ponto (100; 0).

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Considerando o intervalo 0 t 100, em que t = 0 é o

instante em que Lia parou no posto para colocar gasolina, então, se V(t) é o volume de gasolina no tanque, em função do tempo t, em minutos, a expressão de V(t), em litros, é

(A) 2

10 3t se 0 t 5

V(t) 1(t 100) se 5 t 100

350

(B) 2

3 10t se 0 t 5

V(t) 1(t 100) se 5 t 100

350

(C) 2

10 3t se 0 t 5

V(t) 1(t 100) se 5 t 100

361

(D) 2

3 10t se 0 t 5

V(t) 1(t 100) se 5 t 100

361

(E) 2

10 5t se 0 t 5

V(t) 1(t 100) se 5 t 100

361

COMENTÁRIO: Como a vazão das bombas de gasolina é constante, segue que

para 0 t 5 a lei da função V é da forma V(t) at b.

Daí, como o tanque tinha 10 litros no instante t 0, e a

vazão das bombas é de 3L min, concluímos que

V(t) 3t 10.

Sabendo que nos próximos 95 minutos o gráfico de V é

parte do ramo de uma parábola cujo vértice é o ponto

(100, 0), temos que a lei de V, para 5 t 100, é da

forma 2V(t) a (t 100) . Assim, como

V(5) 3 5 10 25 L, vem

2 25 1V(5) a (5 100) a .

95 95 361 Portanto,

2

10 3t, se 0 t 5

V(t) .1(t 100) , se 5 t 100

361 Resposta: C

26. (Espm 2012) Sejam x e y números naturais e F(x,y) uma função tal que

y se x 0

F x,y = x se y 0

F x 1, y 1 se x 0 e y 0

O valor de F(52,70) é: (A) 24

(B) 18

(C) 15

(D) 6

(E) 11

COMETÁRIO:

Pela lei de F, segue que

F(52, 70) F(51, 69) F(1,19) F(0,18) 18.

Resposta: B

27. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano determinado pela

relação 3x 4y 12 tem área igual a

(A) 6.

(B) 12.

(C) 16.

(D) 24.

(E) 25.

COMENTÁRIO:

Sabendo que , se 0

| | ,, se 0

φ φφ

φ φ para todo φ real,

segue que a relação | 3x | | 4y | 12 determina o losango

de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo.

Portanto, a área pedida é dada por 6 8

24 u.a.2

Resposta: D

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.

28. (Pucrs 2012) Num circuito elétrico em série contendo um resistor R e um indutor L, a força eletromotriz E(t) é

definida por 110, 0 t 30

E(t) .0, t 30

O gráfico que representa corretamente essa função é (A)

(B)

9

(C)

(D)

(E)

COMENTÁRIO:

Como E(0) E(30) 110, o único gráfico que pode

representar a função E é o da alternativa [B]. Note que na

alternativa [A] temos E(30) 110 e E(30) 0, fato que

contraria a definição de função. Resposta: B

29. (Insper 2012) No gráfico abaixo estão representadas duas funções polinomiais do segundo grau f(x) e g(x), ou seja, as curvas são duas parábolas.

O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

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COMENTÁRIO: Admitindo que a função f seja aquela cujo gráfico possui concavidade para baixo, temos: I. f(x) = a.( x+2).(x-7) 1 = a(-1+2)(-1-7) a = -1/8 e f(x) = -1/8.(x+2);(x-7) II. g(x) = a.x.(x-5) - 4 = a.1. (1 - 5) - 4 = a.(- 4) a = 1 e g(x) = x.(x-5) de modo que h(x) = -1/8.(x+2); (x-7) + x.(x-5)

h(x) = 27 35 7x x

8 8 4 Portanto, o gráfico que melhor representa a função h(x) é o da Resposta: E

30. (Fgv 2011) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características: · O vértice é o ponto (4,-1). · Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0). O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: (A) (0,14)

(B) (0,15)

(C) (0,16)

(D) (0,17)

(E) (0,18)

COMENTÁRIO:

Seja f : a função quadrática definida por 2f(x) a(x p) q, em que (p, q) é o vértice do gráfico de

f. Logo,

2f(5) a(5 4) ( 1)

0 a 1 a 1.

Assim, como (p, q) (4, 1),

segue que 2f(x) (x 4) 1.

O ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é dado por:

2f(0) (0 4) 1 16 1 15 (0,15). Resposta: B

31. (G1 - cftmg 2011) O menor valor inteiro do parâmetro m, para que a função h(x) = (m + 1)x

2 + (3m – 2)x + 1

2h(x) (m 1)x (3m 2)x 1assuma valores positivos para

todo x real, é (A) -1

(B) 0

(C) 1

(D) 2

(E) 3

COMENTÁRIO:

2

2

0

3m 2 4.(m 1) 0

9m 16m 0

Δ

Portanto, m = 1. Resposta: C

32. (G1 - cftmg 2011) Um túnel, de 8m de largura, tem forma de uma parábola representada pela equação y = ax

2 + b, com a e

b R e a < 0, conforme figura abaixo.

Analisando essa figura, e correto afirmar que a distancia entre O e P, em m, vale

(A) 19

3

(B) 16

3

(C) 5,0

(D) 4,6

(E) 6

COMENTÁRIO: Utilizando a fórmula fatorada, temos: Y = a (x - 4) . (x + 4) 4 = a . (2 - 4) . (2 + 4) a = - 1/3 Portanto, y = -1/3 . (x

2 – 16)

y =

1 162x3 3

Logo, a altura do túnel é b = 16/3. Resposta: B

33. (Insper 2011) Uma função do 2º grau f : R R é tal que f(x) =

a.(x – k)2 + m, em que a 0, para todo x R tem-se f(x) = f(1 –

x) Assim, o gráfico de f é uma parábola cujo vértice é um ponto de abscissa

(A) 1

.4

(B) 1

.2

(C) 1.

(D) 2.

(E) 4.

COMENTÁRIO:

Seja a função quadrática f : , definida por

2f(x) a (x k) m, em que a 0 e V (k,m) é o

vértice de seu gráfico. Desse modo,

2f(1 x) a (1 x k) m. Portanto, como f(x) f(1 x), segue que

2 2 2 2a (x k) m a (1 x k) m (x k) (1 x k)

| x k | | 1 x k |

x k (1 x k)

k 1 k

1k .

2

Resposta: B

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34. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com α litros de combustível. O volume de

combustível no tanque, em litros, após o carro entrar em movimento, é descrito por uma função do 2º grau em função do tempo t, em minutos. O carro entra em movimento. Após 10 minutos do início do movimento, o tanque está com 36 litros de combustível e após 3 horas e 10 minutos do início do movimento, o volume de combustível no tanque se esgota.

Sabe-se que o gráfico dessa função toca o eixo OX num único

ponto de coordenadas (190, 0) Dessa forma, o númeroα está compreendido entre

(A) 40 e 42 (B) 42 e 44 (C) 44 e 46 (D) 46 e 48 (E) E) 48 e 49

COMENTÁRIO:

De acordo com o gráfico, podemos escrever que:

2f(x) a.(x 190)

36 = a.2(10 190)

a =

1

900 Logo, fazendo x = 0, temos:

21f(0) (0 190) 40,111

900α α α

Portanto, 40 42α . Resposta: A

35. (Mackenzie 2011) Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x

2 + mx + (8 – m). O valor de k + p é

(A) –2

(B) 2

(C) –1

(D) 1 (E) 3

COMENTÁRIO: Como a função apresenta raiz dupla, temos:

2

2

0

m 4.1(8 m) 0

m 4m 32 0 m 4 ou m = -8

Δ

Logo y = x

2 + 4m + 4 (raiz m = -2) ou y = x

2 – 8m + 16 (raiz m =

4) (não convém, segundo o gráfico a raiz é negativa) m = -2 e p = 4, portanto m + p = 2 Resposta: B

36. (Uesc 2011) No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, uma loja de departamentos fez uma promoção de determinados produtos, vendendo todos a um mesmo

preço unitário. Além disso, a cada n unidades adquiridas, n 60, o cliente teria n%de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto máximo de 60%. Um cliente comprou x unidades de produtos nessa promoção e, ao calcular o valor V a ser pago, constatou que, dentro da faixa das 60 unidades, poderia comprar mais produtos pagando o mesmo valor V. De acordo com essas informações, pode-se concluir que x pertence ao intervalo (A) [10, 19] (B) [20, 29] (C) [30. 39] (D) [40, 49] (E) [50, 59]

COMENTÁRIO: Seja p o preço unitário dos produtos, sem desconto. De

acordo com o enunciado, o valor V a ser pago pela aquisição

de n produtos, com 0 n 60, n , é dado pela função

2

2

2

pV(n) (100 n)% n p (n 100 n)

100

p[(n 50) 2500]

100

p25 p (n 50) .

100

Como a função V é quadrática e o eixo de simetria de seu

gráfico é a reta n 50, segue que o intervalo pedido é

[40, 49].

Resposta: D

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37. (Ufpb 2011) Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou 1,20 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura abaixo.

Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de: (A) 12,8 m (B) 12 m (C) 11,2 m (D) 10,4 m (E) 9,6 m

COMENTÁRIO:

Considerando o sistema cartesiano na figura acima, temos a função do segundo grau fatorada: h(x) = a(x – 32).(x + 32) e o ponto ( -28,2)

3 = a.(-28 – 32).(-28 + 32) 1

a80

Portanto h(x) = 1

80.(x - 32).(x + 32)

A altura máxima será quando x for zero.

Portanto h(0) = 1

80.(0 - 32).(0 + 32) = 12,8m

Resposta: A

38. (Espcex (Aman) 2011) Na figura abaixo, estão representados um sistema de eixos coordenados com origem O, o gráfico de uma função real do tipo f(x) = ax

2 + bx + c e o quadrado OMNP

com 16 unidades de área. Sabe-se que o gráfico de f(x) passa pelos pontos P e N vértices do quadrado, e pelo ponto de encontro das diagonais desse quadrado. Assim, o valor de a + b + c é

(A)

1

2

(B) 3

2

(C) 5

2

(D) 2

2

(E) 5 2

2

COMENTÁRIO:

Como a área do quadrado OMNP mede 16 unidades,

segue que 2

(OMNP) 16 OP 16 OP 4 u.c.

Logo, M (4, 0),

N (4, 4)

e P (0, 4) c 4.

O ponto de encontro das diagonais do quadrado é dado por

M O P Ox x y y 4 0 4 0, , (2, 2).

2 2 2 2

Desse modo, 2f(2) 2 2 a 2 b 2 4 2a b 1.

Além disso, como a parábola passa pelo ponto N, vem

2f(4) 4 4 a 4 b 4 4 b 4a.

Portanto,

12a b 1 2a 4a 1 a

,2b 4a b 4a

b 2

e a soma pedida é

1 5a b c 2 4 .

2 2

Resposta: C

39. (Ufsm 2011) Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função do tempo t.

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Admitindo que a concentração y seja dada por uma função quadrática y = at

2 + bt + c, é correto afirmar que

(A) a > 0 e b2 - 4ac > 0.

(B) a > 0 e b2 - 4ac < 0.

(C) a < 0 e b2- 4ac > 0.

(D) a < 0 e b2 - 4ac < 0.

(E) a 0 e b2 - 4ac = 0.

COMENTÁRIO: Concavidade para baixo: a < 0 Intercepta o eixo horizontal em dois pontos distintos.

2b 4ac 0

Resposta: C

40. (Fuvest 2010) A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

(A)

11

6

(B)

7

6

(C)

5

6 (D) 0

(E)

5

6

COMENTÁRIO: f(x) = ax

2 + bx + c

f(x+1) - f(x) = 6x – 2 a(x+1)

2 + b(x+1) + c – ax

2 – bx – c = 6x – 2

ax2 + 2ax + a + bx + b + c – ax

2 – bx – c = 6x – 2

2ax + a + b = 6x – 2 (para todo x, conceito de identidade), logo:

2a = 6 a = 3 a + b = -2

3 + b = -2 b = -5 Então f(x) = 3x

2 - 5x + c

xv=

b ( 5) 5

2a 2.3 6 ( x do vértice) Resposta: C

41. (Ufc 2010) João escreveu o número 10 como soma de duas parcelas inteiras positivas, cujo produto é o maior possível. O valor desse produto é: (A) 9. (B) 16. (C) 21. (D) 25. (E) 27.

COMENTÁRIO: P = x.(10 - x) P = -x

2 + 10x

ayv

4 = 254

100

)1.(4

102

Resposta: D

42. (G1 - cftmg 2010) A circunferência C1, de comprimento igual a 16π, tangencia o eixo x no ponto médio de A e B, e a

circunferência C2 possui 1 / 4 do comprimento de C1, conforme figura a seguir.

Sabendo-se que a área do retângulo é 32, uma possível equação para a parábola será

(A) y = x2

– 10x + 3

(B) y = –2x2 + 20x – 18

(C) y = –x2 + 6x + 7

(D) y = –x2 + 10x – 9

(E) y = -x2 + 5x -9

COMENTÁRIO: De acordo com as informações do problema, conclui-se que: O diâmetro da circunferência maior é 16 (y do vértice) e o diâmetro da menor é 4. 4.AB = 32 logo AB = 8 (distância entre as raízes). A função y = –x

2 + 10x – 9 apresenta y do vértice =16 e a

distância entre suas raízes positivas (1 e 9) igual a 8 e também concavidade para baixo. Resposta: D

43. (Ufpb 2010) Em seus trabalhos de campo, os botânicos necessitam demarcar áreas de mata onde farão observações. Essas áreas são denominadas parcelas e, geralmente, usa-se corda para demarcá-las. Nesse contexto, se uma parcela retangular for demarcada com 60m de corda, sua área será, no máximo, de: (A) 100m

2

(B) 175m2

(C) 200m2

(D) 225m2

(E) 300m2

COMENTÁRIO:

2

máxima

A (30 x).x

A x 30x

900A 225

4.a 4.( 1)

Δ

Resposta: D

44. (Uerj 2010) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:

14

Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.

A equação de uma dessas parábolas é 2x 2x

y .75 5

Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: (A) 38

(B) 40

(C) 45

(D) 50

(E) 55

COMENTÁRIO:

Queremos calcular BOB x .

Como a parábola de vértice C intersecta o eixo das

ordenadas na origem, segue que a sua equação é 2x 2x

y .75 5

Logo,

22

A

x 2x 1 1y (x 30x) x (x 30) x 30.

75 5 75 75

Por outro lado, se Dx 35 é a abscissa do vértice D, então:

A B BD B

x x 30 xx 35 x 40.

2 2

Por conseguinte, OB 40 m. Resposta: B

45. (Espm 2010) Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m

2 a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele

dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura abaixo:

Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de: (A) 15 metros

(B) 16 metros

(C) 17 metros

(D) 18 metros

(E) 19 metros

COMENTÁRIO:

A + A + 40 = (60 – 3X) . X 2.A + 40 = -3x

2 + 60x

10)3.(2

60Vx

(x do vértice) Substituindo na função, temos: 2.10.(30 - d) + 40 = -3.10

2 + 60.10

600 – 20d + 40 = -300 + 600 -20d = 300 – 600 -40 -20d = -340 d = 17 Um corpo A desloca-se em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado de modo que a sua posição, em relação a uma origem previamente determinada, é dada pela

função horária2

A7t t

S 2 .4 4

Um corpo B desloca-se em

Movimento Retilíneo e Uniforme, na mesma direção do movimento de A, de forma que a sua posição, em relação à

mesma origem, é dada pela função horáriaB

tS 2 .

2 A e B

iniciaram seus movimentos no mesmo instante. Em ambas as funções, t está em segundos e S, em metros. Depois de certo tempo, os corpos chocam-se frontalmente. Resposta: C

46. (Cesgranrio 2010) O maior afastamento, em metros, entre os corpos A e B é (A) 25/4 (B) 25/8 (C) 25/16 (D) 81/8 (E) 81/16

COMENTÁRIO:

SA - SB =

2

52 tt , vamos agora calcular o y do vértice desta

função:

yv = 16

25

1)4.(

2

5

4a

Δ

2

(distância máxima entre A e B

antes do choque. Resposta: C

A A + 40 xxx

A

B

C

D

E

F

60 - 3x

d=?

15

47. (FGV-SP) Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) = ax2 + bx +

c. Sabe-se que o gráfico de g é simétrico ao de f em relação ao eixo y, como mostra a figura:

Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das funções f e g, e o ponto R é o interceptor de f e g com o eixo y. Portanto, a área do triângulo PQR, em função dos parâmetros a, b e c da função f, é:

COMENTÁRIO:

Resposta: D

48. (UVA-RJ) Se a função f: IR A definida por f(x) = x2 - 4x + 6 é

sobrejetora, então:

(A) A = {y IR | y ³ 2}.

(B) A = {y IR | y > 2}.

(C) A = {y IR | y 2}.

(D) A = {y IR | y < 2}. (E) nda

COMENTÁRIO:

Resposta: A

49. Seja f : IR IR uma função definida por f(x) = ax2 + bx + c, com

a IR*, b IR e c IR. Se 4a + 2b + c = 0, então:

COMENTÁRIO:

Resposta : E

50. (PUC-Campinas-SP) A trajetória de um projétil foi

representada no plano cartesiano por,

2x xy

64 16 com

uma unidade representando um quilômetro. A altura máxima que o projétil atingiu foi: (A) 40m (B) 64m (C) 16,5m (D) 32m (E) 62, 5m

COMENTÁRIO:

Resposta: E

51. (UFPR) O lucro diário L, é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e

16

o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x - x

2 e C(x) = 10(x + 40), sendo x o número de itens

produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas: I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia para que fabrica não tenha prejuízo, é 10. II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia. V. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá

prejuízo.

Assinale a alternativa correta. (A) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. (B) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. (C) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. (D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

COMENTÁRIO:

Resposta: C

52. (UFSM-RS) Algumas placas de advertência para o trânsito têm a forma de um quadrado de lado 1 m, que possui, no seu interior, retângulos destinados a mensagens, conforme exemplifica a figura.

Dentre esses possíveis retângulos, o de área máxima terá área, em m

2, igual a:

COMENTÁRIO:

Resposta: C

17

53. (UFMG) A função do 2º grau y = f(x), cujo gráfico passa pelo ponto (-1, 3) e tangencia o eixo das abscissas no ponto (-2;0), é:

COMENTÁRIO:

Resposta: C

54. (FATEC-SP) A função f do 2º grau, definida por f(x) = 3x2 + mx +

1, não admite raízes reais se, e somente se, o número real m for tal que:

COMENTÁRIO:

Resposta: C

55. (UFBA) O intervalo de crescimento da função quadrática

f(x) = ax2 + 7x - 15, na qual a IR*, é

7,

4 A menor raiz

dessa função é: (A) 7 (B) 2

(C) 3

2

(D) -5 (E) -15

COMETÁRIO:

Resposta: D

56. (FGV-SP) Entre as representações gráficas, a que melhor descreve a área A de um triângulo equilátero em função do comprimento L do seu lado é:

COMENTÁRIO:

18

Resposta: E

57. (UFRS) Considerando a função linear f(x) = -2x e a função quadrática g(x) = -x

2 + 4, para quais valores de x a função g

satisfaz as relações g(x) f(x) e g(x) > 1?

COMENTÁRIO:

Resposta: A

58. (PGV-SP) Dedo o sistema e Inequações

2

2

2x 3x 2 0

x x 2 0

O intervalo que satisfaz essas inequações tem amplitude:

COMENTÁRIO:

Resposta: A

59. (FGV-SP) O custo diário de produção de um artigo C = 50 + 2x + 0,1x

2, onde x é a quantidade diária produzida. Cada unidade

do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?

(A) 19 x 24

(B) 20 x 25

(C) 21 x 26

(D) 22 x 27

(E) 23 x 28

COMENTÁRIO:

Resposta: B

60. (UFSM-RS) O conjunto solução da inequação

19

COMENTÁRIO:

Resposta: C

61. (UFV-MG) O conjunto imagem da função 22f x x x 4

é: (A) IR+ (B) {2} (C) {2, 0, -2}

(D) ]- , 2] (E) {-2, 2}

COMENTÁRIO:

Resposta: E

62. (CESGRANRIO)

As figuras acima nos mostram as funções f(x) e g(x) representadas pelos seus gráficos cartesianos. A solução da

Inequação f x0

g x é:

(A) x 1 ou 2 < x 3

(B) 1 x < 2 ou x 3

(C) x < 2 ou x 3

(D) 1 x 3 e x 2

(E) x 1 e x 2

COMENTÁRIO:

Resposta: A

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento.

O trecho correspondente ao intervalo [0,t1] pode ser

representado pela expressão 2y 0,05x e o trecho

correspondente ao intervalo ]t1,t2] por 2y 0,05x 4x 40.

63. (Insper 2013) O valor de t1 é (A) 5.

(B) 10.

(C) 15.

(D) 20.

(E) 25.

COMENTÁRIO: 2

1

21

1 1

1

20 0,05 t

t 400

t   20 como t 0

t 20 meses. Resposta: D

64. (Insper 2013) Considere que o ponto (t2,V) corresponde ao

vértice da parábola de equação 2y 0,05x 4x 40. Nos

últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em milhares de unidades, foram iguais a (A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

(E) 5.

20

COMENTÁRIO:

2t   b 2a 4 2 0,05 40

Nos últimos 10 meses as vendas totais serão dadas por:

2 2

y 40 – y 30

0,05 40 4 40 – 40 – 0,05 30 4 30 – 40

5 milhares de unidades. Resposta: E

65. (Ufpa 2012) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 centímetros de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento x, que será a largura da pipa, e outra de comprimento y, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura a seguir, de

modo que a altura da região retangular seja 1

y4

, enquanto a

da triangular seja 3

y4

. Para garantir maior captação de vente,

ele necessita que a área da superfície da pipa seja a maior possível.

A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a (A) 350 cm

2

(B) 400 cm2

(C) 450 cm2

(D) 500 cm2

(E) 550 cm2

COMENTÁRIO: Sabemos que

2x y 80 y 2 (x 40). Podemos dividir a pipa em um retângulo de base x e altura

y,

4 e um triângulo de base x e altura

3y.

4 Assim sendo,

temos que a área da pipa, em cm2, é dada por:

2

y 1 3yA x x

4 2 4

5x y

8

5x (x 40)

4

5500 (x 20) .

4 Portanto, a pipa de área máxima que pode ser construída é

obtida quando x 20cm, e sua medida é 2500cm .

Resposta: D

66. (Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n

2, onde

C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? (A) – 625.

(B) 125.

(C) 1245.

(D) 625.

(E) 315.

COMENTÁRIO: O número de unidades a serem produzidas para se obter o

custo mínimo é 250125.

2 1

Resposta: B

67. (Ufpb 2012) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de

C(p) 0,5p 1 partes por milhão, para uma quantidade de

(p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a

população nessa região será de 2p(t) 2t t 110 milhares

de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: (A) 2 anos

(B) 2 anos e 6 meses

(C) 3 anos

(D) 3 anos e 6 meses

(E) 4 anos

COMENTÁRIO: De acordo com as informações do problema, podemos escrever:

61=0,5 p + 1 p = 120 mil habitantes.

Fazendo p(t) = 120 na segunda função, temos:

120 = 2t2 – t + 110 2t

2 – t – 10 = 0 t = 2,5 ou t = - 2 (não

convém). Logo, t é, no mínimo, 2 anos e 6 meses. Resposta: B

68. (Unisc 2012) O gráfico da parábola cuja função é 2f x 40x 10x 50 mostra a velocidade, em quilômetros

horários, de um automóvel num intervalo ( x) de 0 até 5

segundos. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a

velocidade inicial em 40 km h.

II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro

indicava x 2,5 segundos.

III. O automóvel estava parado quando o cronômetro

indicava x 5 segundos.

(A) Todas as afirmativas estão corretas. (B) Somente as afirmativas II e III estão corretas. (C) Somente as afirmativas I e III estão corretas. (D) Somente as afirmativas I e II estão corretas. (E) Apenas uma das afirmativas está correta.

21

COMENTÁRIO:

Correta. A forma canônica da lei de f é 2f(x) 90 10 (x 2) . Logo, como a velocidade inicial é

f(0) 50km h e a maior velocidade que o automóvel

atingiu foi 90km h, segue que 90 50 40km h.

Incorreta. De (I), temos que a maior velocidade ocorreu

quando o cronômetro indicava x 2 2,5 segundos.

Correta. Para x 5 segundos, vem que 2f(5) 90 10 (5 2) 90 10 9 0.

Resposta: C

69. (G1 - ifsc 2012) A receita obtida pela venda de um determinado produto é representada pela função R(x) = – x

2 +

100x, onde x é a quantidade desse produto. O gráfico da referida função é apresentado abaixo.

É CORRETO afirmar que as quantidades a serem comercializadas para atingir a receita máxima e o valor máximo da receita são, respectivamente,

(A) 50 e 2.000. (B) 25 e 2.000. (C) 100 e 2.100. (D) 100 e 2.500. (E) 50 e 2.500.

COMENTÁRIO: A quantidade comercializada para se ter a receita máxima é o x do vértice e a receita máxima corresponde ao y do vértice.

V

2

100bx 50.

2 a 2 ( 1)

100y 2500.

4a 4 ( 1)

Δ

Resposta: E

70. (Uff 2012) Um modelo matemático simplificado para o formato de um vaso sanguíneo é o de um tubo cilíndrico circular reto. Nesse modelo, devido ao atrito com as paredes

do vaso, a velocidade v do sangue em um ponto P no tubo

depende da distância r do ponto P ao eixo do tubo. O médico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869) propôs a seguinte lei que descreve a velocidade v em função de r :

2 2v v(r) k(R r ),

Onde R é o raio do tubo cilíndrico e k é um parâmetro que depende da diferença de pressão nos extremos do tubo, do comprimento do tubo e da viscosidade do sangue.

Considerando que k é constante e positivo, assinale a alternativa que contém uma representação possível para o

gráfico da função v v(r).

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

COMENTÁRIO: Considerando K e R como constantes, concluí-se que

2 2v v(r) k(R r ), é uma função do segundo grau na

incógnita r ( 0 r R ) e que seu gráfico é uma parábola de

concavidade para baixo. Esta função pode ser representada pelo gráfico:

Resposta: A

71. (Insper 2012) A área da região sombreada na Figura 1,

limitada pelo gráfico da função 2f x 9 x e pelos eixos

coordenados, é igual a 18.

22

Assim, a área da região sombreada na Figura 2, limitada pelo

gráfico da função 2g x x , pelo eixo x e pela reta de

equação x 3, é igual a

(A) 4,5. (B) 6. (C) 9. (D) 12. (E) 13,5.

COMENTÁRIO:

Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por:

A = 3 9 – 18 = 9. Resposta: C

72. (Ueg 2012) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo.

Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível serão, respectivamente, (A) 2,0 m e 4,5 m. (B) 3,0 m e 4,0 m. (C) 3,5 m e 5,0 m. (D) 2,5 m e 7,0 m. (E) 3,0 m e 5,5 m

COMENTÁRIO:

Resposta: A

73. (Ufpb 2012) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + 1 partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t) = 2t

2 - t + 110 milhares de habitantes. Nesse

contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos, no mínimo, (A) 2 anos. (B) 2 anos e 6 meses. (C) 3 anos. (D) 3 anos e 6 meses. (E) 4 anos.

COMENTÁRIO:

Resposta: B

74. (Uft 2011) Um jogador de futebol, ao bater uma falta com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola para chegar ao gol.

Sabe-se que a bola estava parada no local da falta no momento do chute, isto é, com tempo e altura iguais a zero. Sabe-se ainda que, no primeiro segundo após o chute, a bola atingiu uma altura de 6 metros e, cinco segundos após o

23

chute, ela atingiu altura de 10 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a (A) 3 segundos. (B) 3,5 segundos. (C) 4 segundos. (D) 4,5 segundos. (E) 5 segundos.

COMENTÁRIO:

Resposta: B

75. (UFPR/2010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função

t365

2sen3,18,18)t(f

sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:

1. O período da função acima é 2 . 2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu

mais cedo. 3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi

17h30. Assinale a alternativa correta. (A) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. (B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. (C) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. (D) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. (E) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

COMENTÁRIO:

Dados: f(t) = 18,8 – 1,3 sen2

t365

Resolução:

1 – P = 2 b

b| | P = 365 (falso)

2 – Para ocorrer mais cedo, o valor do sen 2

t365

Será 1,

tomando a função mínima, logo:

sen 2

t365

= 1 sen 2

t365

= sen 2

2

t365 2

t = 365

4 = 91,25 dias, ou seja, 91 dias e 6 horas (mês de

abril). (verdadeiro)

3 – Horário: f365

4 = 18,8 – 1,3. Sen

2 365

365 4

f365

4 = 18,8 – 1,3 1 f

365

4 = 17,5, ou seja, 17h 30min.

(verdadeiro) Resposta: D

76. (UFPE/2009-MODIFICADA) A ilustração a seguir é parte do

gráfico da função cx)(b sen.ay , com a, b e c sendo

constantes reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com coordenadas (0,3) e (1/2,5).

Determine a, b e c e indique (a + b + c)

2.

(A) 36 (B) 37 (C) 38 (D) 39 (E) 40

COMENTÁRIO:

Dados: y = a sen (b x) + c; P = 2; (0;3) e (1/2; 5) y Resolução:

P = 22

2 = 2 b = 1

f(0) = 3 3 = a sen( o) + c c = 3

f1

2 = 5 5 = a sen

1

3+3 a sen

2 = 2 a = 2

(a+ b + c)2 = (2 + 1 + 3)

2 = 36

Resposta: A

77. (UCS RS/2009) Em certa região a temperatura média mensal varia periodicamente entre a média mínima de 14 °C e a máxima de 38 °C. Das fórmulas a seguir, qual é a que descreve melhor a relação entre a temperatura média mensal (T) nessa região e o tempo (t), em meses decorridos desde o início de cada ano?

(A) t6

cos 12 26T(t)

(B) t6

cos 14 )t(T

(C) t6

cos 26 - 12 )t(T

(D) t6

cos 26 12 )t(T

(E) t6

cos 38 )t(T

COMENTÁRIO: Dados: valor mínimo = 14°C e valor máximo = 38°C Resolução: Observamos a variação em todas as alternativas.

Vmínimo = 26 + 12(–1) = 14°C e Vmáximo = 26 + 12 1 = 38°C

24

Vmínimo =14 (–1) = –14°C e Vmáximo = 14 1 = 14°C

Vmínimo = 12 – 26 1 = –14°C e Vmáximo = 12 – 26(–1) = 38°C

Vmínimo = 12 + 26 ( –1) = –14°C e Vmáximo = 12+ 26 1 = 38°C Vmínimo = 38 + (–1) = 37° C e Vmáximo = 38 + 1 = 39°C Alogo, a resposta será a alternativa (A) Resposta: A

78. (FGV /2009) Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel seja dada (em milhares de reais) por

)6

tcos( 15003000)t(R , em que t = 1 representa o mês

de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro e assim por diante. A receita de março será inferior à de fevereiro em: (A) R$ 800 000,00 (B) R$ 750 000,00 (C) R$ 700 000,00 (D) R$ 650 000,00 (E) R$ 850 000,00

COMENTÁRIO:

Dados: R(t) = 3000 + 1.500 cost

6

Resolução: Receita de março R(3) 3000 + 1.500 cos3

6

R(3) 3000 + 1.500 0 R(3) = 3.000.000

Receita de fevereiro R(2) = 3000 + 1.500 cos 2

6 R(2)

= 3000 + 1.500 1

2 R(2) = 3.750.000

– 3.000.000 = 750.000 Resposta: B

79. (PUC RS/2009) Em uma animação, um mosquitinho aparece voando, e sua trajetória é representada em um plano onde está localizado um referencial cartesiano. A curva que fornece

o trajeto tem equação )cbxcos(3y . O período é 6 , o

movimento parte da origem e desenvolve-se no sentido positivo do eixo das abscissas. Nessas condições, podemos afirmar que o produto 3.b.c é

(A) 18

(B) 9

(C)

(D) 2

2

(E) 2

COMENTÁRIO:

Dados: y = 3 cos(bx + c) P = 6 (0; 0) y

Resolução: P = 2 2

6b b| |

b = 1

3

f(0) = 0 3 cos 1

0 c 03

cos c = 0 cos c = cos

2c =

2

logo: 3 b c = 3 1

3 2 2

Resposta: E

80. (UCS RS/2009) A temperatura média diária em determinada

cidade é dada por 11)]95x(360

2sen[ 14)x(T , em que T

é a temperatura em graus centígrados e x é o número de dias decorridos desde o início do ano. De acordo com essa função, a temperatura média diária nessa cidade oscila entre __________ e __________ graus centígrados, sendo que a temperatura média mais alta ocorre no mês de __________. Assinale a alternativa que preenche correta e respectivamente as lacunas acima. (A) -3 25 julho

(B) -3 25 janeiro

(C) 0 11 janeiro

(D) 11 14 dezembro

(E) 0 11 dezembro

COMENTÁRIO:

Dados: T(x) = 14 sen2

x 95 11360

Resolução: T(x)máxima = 14 1 + 11 = 25°C T(x)mínimo = 14 (–1) 11 = – 3°C

Para ocorrer T(x)máxima teremos sen 2

x 95 1360

, ou

seja:

sen 2

x 95360

= sen 2

2

x 95360 2

x – 95

= 90 x = 185 dias, ou seja, mês de julho. Resposta: A

81. (UFPA/2009) Se y = a + cos (x+b) tem como gráfico

podemos afirmar que

(A) 2

b 2,a

(B) 2

-b 1,a

(C) 2

-b 2,a

(D) 2

b 1,a

(E) 0b 0,a

COMENTÁRIO:

Dados: y = a + cos (x +b) Im = [0; 2] P = 2 (0; 1) y

Resolução: Im = [a – 1; a + 1] a – 1 = 0 a = 1

25

f(0) = 1 1 + cos (0 + b) = 1 cos b = 0 cos b = cos 2

b

= 2

ou b = 2

como a função deslocou da esquerda para a

direita, temos b = 2

Resposta: B

82. (UPE/2009) O gráfico abaixo representa uma função

trigonométrica definida por x)sen(m BA)x(f .

É CORRETO afirmar que (A) A = 2, B = 3 e m = 2

(B) A = 3, B = 2 e m = 4

(C) A = 3, B = - 2 e m = 3

(D) A = 3, B = - 2 e m = 2

(E) A = -3, B = 1 e m = 4

COMENTÁRIO:

Dados: f(x) A + B sem (mx); Im = [1; 5]; P =

Resolução: Im = [A – B; A + B]

A B A B A B 1 B 2

A B 5

2A 6 A 3

;

Como a função faz a variação contrária de sua função de origem, o sinal de B será negativo.

B = –2

P = 2

m m = 2

Resposta: D

83. (ESPCEX/2009) As funções y = sen x e y = cos x estão representadas no gráfico abaixo. Então, a medida da área do triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é:

Desenho fora de escala

(A) )22(8

(B) 8

(C) )22(16

(D) 16

2

(E) )21(16

COMENTÁRIO: Dados: y = sem x; y = cos x Rasolução: A área do triângulo ABC será dada através da fórmula:

produto dos catetos AC ABA

2 2

C A C CAC x x x 0 X (Abscissa do ponto de

interserção entre sem x e cos x)

AC4

B A AAB y y 1 y (yA é a ordenada do ponto de

interseção entre sem x e cos x) yA = 2

2

2 2 2AB 1 AB

2 2, logo:

2 2

2 2 2 24 2AC AB 1A

2 2 2 2 16

Resposta: C

84. (Ufsm 2011)

O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) é igual a (A) 100. (B) 97. (C) 95. (D) 92. (E) 90.

COMENTÁRIO:

De acordo com o gráfico, temos a = 120 20

502

D = 120 – 50 = 70

212 c

c 6

π π

Logo, Q(t) =50. sen(b + .t6

π) + 70, substituindo o ponto (

2,120) na função, temos:

26

.2120 50.sen(b ) 70 b

6 6

π π

Resposta: C

85. (UNESP SP/2009-MODIFICADA) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, através da função

3

4

3 cos)50x(200)x(f ,

onde f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida

na cidade no mês x, com 12x1 , x inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em

um dos valores de x no qual a função 3

4x

3cos atinge

seu máximo, determine o mês x para o qual a produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês. (A) 10; 206 toneladas (B) 15; 216 toneladas (C) 12; 226 toneladas (D) 20; 206 toneladas (E) 10; 216 toneladas

COMENTÁRIO:

Como 1 x 12, temos x = 4 ou x = 10. f(4) = 200 + (4 + 50) · 1 = 254 e f(10) = 200 + (10 + 50) · 1 = 260. Assim, a produção de lixo foi máxima para x = 10 e foram produzidas 260 toneladas de lixo. Resposta: A

86. (UNESP SP/2009-MPDIFICADA) Há famílias que sobrevivem trabalhando na coleta de material para reciclagem, principalmente em cidades turísticas. Numa tal cidade, uma família trabalha diariamente na coleta de latas de alumínio. A quantidade (em quilogramas) que essa família coleta por dia varia, aumentando em finais de semana e feriados. Um matemático observou a quantidade de alumínio coletada por essa família durante dez dias consecutivos e modelou essa situação através da seguinte função

3

2x

3cos)1x(10)x(f ,

onde f(x) indica a quantidade de alumínio, em quilogramas,

coletada pela família no dia x, com 10x1 , x inteiro

positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em

um dos valores de x no qual a função 3

2x

3cos atinge

seu máximo, determine o valor de x para o qual a quantidade coletada nesse período foi máxima e quantos quilos de alumínio foram coletados pela família nesse dia. (A) 8; 10 quilogramas (B) 8; 19 quilogramas (C) 9; 19 quilogramas (D) 9; 19 quilogramas (E) 9; 20 quilogramas

COMENTÁRIO:

f(x) = 10 + (x + 1) · cos2

x3 3

, 1 x 10

f(x) é máximo para cos2

x3 3

= 1.

A solução geral é:

2x h 2 h

3 3, .

Assim, a quantidade coletada foi máxima para x = 8, e essa quantidade foi igual a 19 quilogramas. Resposta: B

87. (UFPA/2008) O gráfico da função f dada por

2tcos)t(f no intervalo 2 ,0 é

(A)

(B)

(C)

27

(D)

(E)

COMENTÁRIO:

Dados: f(t) = cos(t + 2

); t [0; 2 ]

Resolução: f(t) = cos(t + 2

) = – sen t

O gráfico que melhor representa a função corresponde a alternativa D. Resposta: D

88. (UFPA/2008) Considere a função f dada por

7xsen8)x(f . Podemos afirmar que f assume seu

valor mínimo quando

(A) 2,...,1,0,k ,k27

x

(B) 2,... 1, 0,k ,k7

8x

(C) 2,... 1,0,k ,0k,k214

23x

(D) ... 2, 1, 0,k ,k214

9x

(E) ... 2, ,1 ,0k,k27

8x

COMENTÁRIO:

Dados: f(x) = 8 + sem (x – 7

)

Resolução: f(x)mínimo quando sem (x – 7

) = –1, ou seja:

x – 7

= 3

2k 14x 2 21 28k2

14x = 23 +

28k x = 23

2k k14

,

RESPOSTA: C

89. (FFFCMPA RS/2008) Se b.senxaf(x) tem o gráfico

abaixo, então

(A) a =1 e b = −2 (B) a = −1 e b = 2 (C) a = 1 e b = −1 (D) a = 2 e b = 2 (E) a = −1 e b = −2

COMENTÁRIO: Dados: f(x) = a + b sem x Resolução: O gráfico foi colocado de forma estranha, restando analisar os sinais dos coeficientes. Observe que

f(0) = –1 a + b · sen 0 = –1 a = –1 (o valor de a é satisfatório). Já o valor de b, não foi fornecido valor no gráfico para

determiná-lo, bastando verificar apenas o sinal de b (b < 0 pois o gráfico faz a variação contrária a sua função de origem). Resposta: E (com ressalva)

Na figura abaixo tem-se o gráfico de uma função f, de IR em

IR, definida por txk.cos f(x) , em que k e t são constantes

reais.

90. (UNIFOR CE/2009) Se o período de f é 4 , então )3

16f( é

igual a

(A) 3

(B) 1

(C) 2

1

(D) –1

(E) 3

COMENTÁRIO:

Dados: P = 4 ; Im = [-2; 2] f16

3= ?

Resolução: Observando a imagem, temos:

K = –2 ( o sinal negativo refere-se a mudança da

variação da função, ou seja, como afunção cosseno decresse no 1º quadrante e o gráfico começa crescendo, o sinal de K será negativo)

P = 2 1

4 tt 2

28

x 16 16 1f x 2 f 2

2 3 3 2cos cos

8 162 2 480 f 2 120

3 3cos cos cos

16 16 1f 2 60 f 2

3 3 2cos

16f 1

3

Resposta: B

91. (Ita 2008) Sendo [- /2, /2] o contradomínio da função

arcoseno e [0, ] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de cos [arcsen (3/5) + arccos (4/5)]

(A) 1

12

(B) 7

25

(C) 4

15

(D) 1

15

(E) 1

2 5

COMENTÁRIO:

Resposta: B

92. (Fgv 2008) Sendo p = 1/2 e (p + 1) . (q + 1) = 2, então a medida de arctg p + arctg q , em radianos, é

(A) /2

(B) /3

(C) /4

(D) /5

(E) /6

COMENTÁRIO:

Dados: p =1

2 e (p + 1) · (q + 1) = 2; arctg p + arctg q = ?

Resolução: 1 4 1

1 q 1 2 q 1 q2 3 3

Arctg p + arctg q = arctg1

2 + arctg

1

3 = + = ?

tg = 1

2 e tg =

1

3 tg ( + ) =

tg tg

1 tg tg

1 1 5

2 3 6 11 1 5

12 3 6

tg ( + ) = 1 + = 45°+ = 4

Resposta: C

93. (Ufpb 2006) Em uma sala de cinema cuja tela é plana, o olho de uma espectadora vê a tela a uma distância de 10 m, segundo um ângulo de visão vertical BÂC = BÂD + DÂC, como mostra a figura a seguir.

Sabendo que os segmentos de reta CD e DB medem, respectivamente, 2 m e 1 m, e que AD e BC são perpendiculares, conclui-se que o ângulo de visão BÂC é igual a:

(A) arctg 1

10

(B) arctg 2

10

(C) arctg 3

10

(D) arctg 15

49

(E) arctg 25

49

COMENTÁRIO:

BÂC = BÂD + DÂC = +

Resolução: tg = 2 1

10 5 e tg =

1

10

tg ( + ) =

1 1 3

tg tg 3 505 10 10

1 1 491 tg tg 10 491

5 10 50

tg ( + ) =15 15 15

tg BÂC BÂC arctg49 49 49

Resposta: D

29

94. (Pucpr 2005) O conjunto domínio de f(x) = arcsen (2x - 3) está contido no intervalo: (A) [2/3, 3/4]

(B) [-1, 1]

(C) [0, 1]

(D) [1, 2]

(E) [-1/2, 3/2]

COMENTÁRIO: Dados: f(x) arcsen(2x – 3) Domínio = ?

Resolução: = arcsen (2x – 3)

Domínio: arcsen (2x – 3) –1 2x –3 1

2 2x 4 1 x 2 D = [1; 2] Resposta: D

95. (Ita 2005) O intervalo I ⊂ R que contém todas as soluções da inequação

arctan [(1 + x)/2] + arctan [(1 - x)/2] ≥ /6 é (A) [-1, 4]. (B) [-3, 1]. (C) [-2, 3]. (D) [0, 5]. (E) [4, 6].

O intervalo I R ... arctan[(1+x)/2] + arctan [(1-x)/2] /6 é COMENTÁRIO:

resposta: C

96. (Ita 2004) Considerando as funções. arc sen: [- 1, + 1] [- π/2, π/2] e

arc cos: [- 1, + 1] [0, π],

assinale o valor de cos [arcsen (3/5) + arccos (4/5)]. (A) 6/25

(B) 7/25

(C) 1/3

(D) 2/5

(E) 5/12

COMENTÁRIO:

Resposta: B

97. (Uel 2003) O jogador representado adiante vai cobrar um pênalti e decidiu chutar a bola na direção da linha central do gol. Se a altura da trave é de 2,40 m, o diâmetro da bola é de 22 cm e a distância que esta está da linha do gol é de 11 m, de

quanto deve ser, no máximo, o ângulo de elevação da bola, mostrado na figura a seguir, para que o jogador tenha possibilidade de fazer o gol?

(A) = arctg 2,18

11

(B) = arctg 11

2,18

(C) = arctg 2,4

11

(D) = arctg 11

2,4

(E) = arctg 2,18

11

COMENTÁRIO: Dados: Diametro da bola: 22 cm = 0,22m

Resolução: tg = 2 4 0 22 2 18 2 18

arctg11 11 11

, , , ,

Resposta: A

30

98. (Mackenzie 1997) O valor de tg [(arc sen 2 2

3)] é:

(A) 2

(B) 2

3

(C) 3 2

(D) 2 2

(E) 3 2

2

COMENTÁRIO:

Dados: tg [arc sen 2 2

3]?

Resolução: = arc sen 2 2 2 2

sen3 3

sen2 + cos

2 = 1 cos

2 = 1 –

8 1

9 3cos

tg [arcsen 2 2

3] = tg =

2 2

sen 2 23 31 3

3

cos

2 2tg arcsen 2 2

3

Resposta: D

O programa “protetor de tela” de um computador mostra um retângulo que, além de se movimentar pela tela, tem suas dimensões (comprimento e largura) alteradas ao longo do tempo, como ilustrado na figura.

As dimensões do retângulo em função do tempo, a partir do momento em que o protetor de tela é acionado, são dadas no gráfico a seguir.

99. (IBMEC SP/2010) O programa protetor de tela permite alterar

o modo como variam as dimensões do retângulo em função

do tempo. Numa das opções, a função que descreve a largura do retângulo, em cm, em função do tempo t, em segundos, tem como gráfico uma cossenóide, além de apresentar o mesmo período e a mesma imagem da função descrita pelo gráfico da largura mostrado no enunciado.

Dentre as leis abaixo, a única que pode descrever a função é

(A) t 10

cos 2 6 (t) .

(B) t 10

cos 2 4 (t) .

(C) t 5

cos 6 (t) .

(D) t 20

cos 2 4 (t) .

(E) t 5

cos 7 (t) .

COMENTÁRIO:

Resposta: A

100. (UEPB/2009) Sabendo que a figura abaixo nos mostra um mosaico onde todos os pentágonos são regulares e iguais entre si, então x + y é igual a:

(A) 240º

(B) 216º

(C) 224º

(D) 232º

(E) 220º

COMENTÁRIO:

Dados: Pentágonos regulares ai = 108° Resolução: x + y = 108 + 108 = 216° Resposta: B

101. (UEM PR/2008) Seja *Nk . Se o número de diagonais de

um polígono convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto afirmar que o número de lados do polígono é (A) 3k + 2 .

(B) 2k – 3 .

(C) k.

(D) 3k – 2 .

(E) 2k + 3.

COMENTÁRIO:

Dados: K *; d = k n

Resolução: d = k n n n 3 n 3

k n k2 2

n = 2k + 3

Resposta: E

102. (UNIFESP SP/2008) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede (A) 120º.

(B) 105º.

31

(C) 95º.

(D) 80º.

(E) 60º.

COMENTÁRIO:

Resposta: D

103. (UNCISAL/2008) Observe a figura.

Na circunferência de centro O, a corda AB é lado de um

hexágono regular inscrito, e a corda AC , medindo 2cm, é

lado de um triângulo regular inscrito. O perímetro desse hexágono é igual a (A) 12cm.

(B) cm212 .

(C) cm312 .

(D) 24cm.

(E) cm324 .

COMENTÁRIO:

Na circunferência ..., a medida 2 3 cm, é lado de um.

Dados: AB hexágono reg. Inscrito = R

AC

2 3 triângulo reg.inscrito = R 3

(2P)hexágono ref. inscrito = 6 hex. = 6 R

Resolução: R 3 2 3 R 2

(2P)hex. = 6 R = 6 2 = 12 cm Resposta: A

O Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS), instalado no Pólo Tecnológico de Campinas-SP, é o único desse gênero existente no Hemisfério Sul. O LNLS coloca o Brasil num seleto grupo de países capazes de produzir luz síncrotron. Luz síncrotron é a intensa radiação eletromagnética produzida por elétrons de alta energia num acelerador de partículas.

104. (UFES/2009) O acelerador de partículas do Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) tem a forma de um dodecágono regular inscrito em um círculo com diâmetro de 30 metros. Em cada um de seus vértices, está instalado um dipolo (eletroímã usado para defletir os elétrons de suas trajetórias nos vértices), conforme figura ao lado. A distância, em metros, entre dois dipolos adjacentes é

(A) 354

(B) 345

(C) 245

(D) 236

(E) 3215

COMENTÁRIO:

Dados: Diâmetro do círculo = 30m 2R = 30 R = 15m

Dodecágono regular inscrito = 12

Resolução:

2

2 2 3AB 15 15 2 15 15

2

2 22 2 2AB 2 15 15 3 AB 15 2 3

AB 15 2 3m

Resposta: E

105. (G1 - cftpr 2006) O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme figura.

22 2AB R R 2RR cos30

32

Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: (A) 30 cm e 50 cm.

(B) 28 cm e 56 cm.

(C) 50 cm e 30 cm.

(D) 56 cm e 28 cm.

(E) 40 cm e 20 cm.

COMENTÁRIO: Dados:

Resolução: x 35 y x y 7

20 25 40 20 40 5

x 7

20 5x = 28 cm e

y 7

40 5y = 56 cm

Resposta: B

106. (Ufsm 2003) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede

(A) 33 m

(B) 38 m

(C) 43 m

(D) 48 m

(E) 53 m

COMENTÁRIO: Dados:

Resolução: 30 24 5 1

B 2 32 B 2 8

B + 2 = 40 B = 38 m Resposta: B

107. (Uff 2002) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.

(A) 4,5 km

(B) 19,5 km

(C) 20,0 km

(D) 22,5 km

(E) 24,0 km

COMENTÁRIO: Dados: (2P)circuito = y + 4 + 2 + x + 3 = x + y + 9

Resolução: 4 2

y 3Y = 6 km

4 4 2 2 3

3 x 3 x

x = 4,5 km

Resposta: B

108. (Enem 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

33

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: (A) 144. (B) 180. (C) 210. (D) 225. (E) 240.

COMENTÁRIO: Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 degraus de 90 cm cada.

Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada

5.90225cm

2 . Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 225 cm. Resposta: D

109. (Unirio 1997)

No desenho anterior apresentado, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: (A) 160

(B) 180

(C) 200

(D) 220

(E) 240

COMENTÁRIO: Dados:

Resolução:250 200

5x 160 4x x 160m40 x x

Resposta: A

110. (Uff 2012) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir.

Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1 km, é correto afirmar que a distância d3,8 (entre as torres 3 e 8), a distância d3,5 (entre as torres 3 e 5) e a distância d5,8 (entre as torres 5 e 8) são, respectivamente, em km, iguais a

(B) d = 4, d = 3, d = 5.3,8 3,5 5,8

(E) d = 4, d = , d = .3,8 3,5 5,8

3 32

92

(D) d = 2 3, d = 3, d = 21.3,8 3,5 5,8

(C) d = 4, d = , d = 4 + .3,8 3,5 5,8

3 32

3 32

(A) d = 2 3, d = 3, d = 3 + 2 3.3,8 3,5 5,8

COMENTÁRIO:

111. (G1 - ccampos 2011) Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia a semirreta BA no ponto A e tangencia o segmento BE no ponto C. Sabendo ainda que BA é paralela à reta OF, que o segmento EF é perpendicular a OF e que o menor arco da circunferência com extremidades em A e C mede 60°, podemos afirmar que o ângulo DÊF mede:

34

(A) 20° (B) 30° (C) 50° (D) 60° (E) 80

0

COMENTÁRIO:

Resposta: B

112. (G1 - cftsc 2010) Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo AÔB. Determine o valor de x e y.

(A) x = 13 e y = 49 (B) x = 15 e y = 35 (C) x = 12 e y = 48 (D) x = 17 e y = 42 (E) x = 10 e y = 50

COMENTÁRIO:

Resposta: E