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LIVRO 4

MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS

MATEMTICA I

1. (Enem 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formao das figuras est representada a seguir.

Que expresso fornece a quantidade de canudos em funo da quantidade de quadrados de cada figura? (A) C = 4Q (B) C = 3Q + 1 (C) C = 4Q 1 (D) C = Q + 3 (E) C = 4Q 2 RESPOSTA: B COMENTARIO: P.A.( 4,7,10,...) r = 3 Sendo Q a quantia de quadrados e C a quantia de canudos, temos: C = Q1 + (Q 1).r C = 4 + (Q 1).3 C = 3.Q + 1

2. (Enem 2011) O nmero mensal de passagens de uma

determinada empresa area aumentou no ano passado nas seguintes condies: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em maro, 36 000. Esse padro de crescimento se mantm para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? (A) 38 000 (B) 40 500 (C) 41 000 (D) 42 000 (E) 48 000 RESPOSTA: D COMENTARIO: P.A, onde a1= 33 000 e razo r = 1500. a7 = nmero de passagens vendidas em julho do ano passado. Logo, a7 = a1 + 6. r a7 = 33 000 + 6.1500 a7 = 42 000.

3. (Uesc 2011) Dois cidados, C1 e C2, devem a uma instituio

financeira R$14580,00 e R$12460,00, respectivamente. Aps uma negociao dessa dvida, os valores foram parcelados de modo que C1 dever pagar prestaes mensais de R$480,00 e C2dever pagar prestaes mensais de R$390,00. Se ambos comearem a pagar hoje, o saldo devedor de C1 ficar menor do que o de C1em (A) dez meses.

(B) um ano. (C) um ano e trs meses. (D) um ano e meio. (E) dois anos. RESPOSTA: E COMENTARIO: Sendo n o nmero de prestaes pagas por C1 e C2, para que o saldo devedor de C1 fique menor do que o de C2 devemos ter

14580 480 n 12460 390 n 90 n 2120

n 23,56.

Portanto, em dois anos a condio do enunciado ser satisfeita. 4. (Ufpb 2012) Um produtor rural teve problema em sua lavoura

devido ao de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrnomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendaes:

No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.

A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros dosagem anterior e, assim, sucessivamente.

Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante: (A) 18 dias (B) 19 dias (C) 20 dias (D) 21 dias (E) 22 dias

RESPOSTA: D COMENTARIO: Considerando um P.A. de razo 3: (3, 5, 7, ...) , sendo n o nmero de dias de aplicao. Termo geral: an = 3+(n-1).2 na 2n 1

Soma dos n primeiros termos: 2n n(3 2n 1) n

S S n 2 n2

Fazendo Sn = 483, temos a equao:

n2 + 2n = 483 n

2 +2n 483 = 0 n = 21 ou n = - 23 (no

convm) Portanto, o produto foi aplicado durante 21 dias.

5. (Ufrgs 2010) Considere o padro de construo representado

pelos desenhos a seguir.

Na Etapa 1, h um nico quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.

Nessas condies, a rea restante na Etapa 6 ser de

2

(A) 5

1100 .

4

(B) 6

1100 .

3

(C) 5

1100 .

3

(D) 6

3100 .

4

(E) 5

3100 .

4

RESPOSTA: E COMENTARIO: Na primeira etapa: 10.10 = 100 Na segunda etapa: (3/4).100 Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4)

2.100

Temos, ento uma P.G. de razo q = Portanto o sexto termos ser (3/4)

5. 100

6. (Uel 2012) A figura a seguir representa um modelo plano do

desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificaes da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificaes e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificao, dado pela distncia vertical reta do incio ao fim da mesma, sempre a metade do comprimento da ramificao anterior.

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificao de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, at h10?

(A) 10

1 11

2 2

(B) 9

1 11

2 2

(C) 10

12 1

2

(D) 10

12 1

10

(E) 9

12 1

2

RESPOSTA: C COMENTARIO: Os comprimentos das ramificaes, em metros, constituem a progresso geomtrica

2

1 11, , , ,

2 2

cujo primeiro termo 1 e a razo vale 1

.2

Queremos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa sequncia, ou seja,

10

10 10

10 1 10

1 11 1

1 q 12 2S a 1 2 1 .1 11 q 212 2

7. (Uesc 2011) Um colgio promoveu uma Olimpada Interna de

Matemtica cuja prova consistiu de dez questes, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e que foram pontuadas de acordo com as seguintes regras: a) a cada questo no resolvida, resolvida de forma parcial ou

totalmente incorreta foi atribudo valor 0; b) resoluo correta da questo um foi atribudo o valor 1; c) resoluo correta da questo dois foi atribudo o valor 2; d) resoluo correta da questo trs foi atribudo o valor 4; e) resoluo correta da questo quatro foi atribudo o valor 8,

e assim sucessivamente, at a questo dez.

Nessas condies, pode-se afirmar que um participante da Olimpada que obteve um total de 213 pontos resolveu corretamente (A) seis questes, das quais apenas uma de numerao mpar. (B) seis questes, das quais apenas uma de numerao par. (C) cinco questes, das quais apenas uma de numerao mpar. (D) cinco questes, das quais apenas uma de numerao par. (E) trs questes de numerao par e trs questes de

numerao mpar. RESPOSTA: D COMENTARIO: O valor de cada uma das questes, em ordem crescente, : 2

0, 2

1, 2

2, 2

3, 2

4, 2

5, 2

6, 2

7 ,2

8 e 2

9.

Portanto, se um participante obteve 213 pontos, ento ele acertou as questes 1,3,5,7 e 8.

8. (Unicamp simulado 2011) Considere a sucesso de figuras apresentada a seguir, em que cada figura formada por um conjunto de palitos de fsforo.

Suponha que essas figuras representam os trs primeiros termos de uma sucesso de figuras que seguem a mesma lei de formao. Nesse caso, o nmero de fsforos necessrios para que seja possvel exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo igual a (A) 200. (B) 1000. (C) 2000. (D) 10000. (E) 20000. RESPOSTA: D COMENTARIO: A quantidade de palitos em cada figura varia de acordo com uma P.A de razo r = 8 P.A.( 4, 12, 30, 28, ...) Na figura 50 temos a50 qpalitos: a50 = 4 + 49.8 = 396. Calculando a soma de todos os palitos.

S50=(4 396).50

10.0002

9. (Ufpb 2011) Na organizao de um determinado rali, quanto

quilometragem diria a ser percorrida pelas equipes participantes

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durante os 20 dias da competio, ficou estabelecida a seguinte regra. No primeiro dia, as equipes deveriam percorrer 500 km e, nos dias subsequentes, deveriam percorrer 20 km a mais que no dia anterior. A partir dos dados apresentados, correto afirmar que uma equipe, para completar a prova, dever percorrer no mnimo: (A) 14.000 km (B) 13.800 km (C) 13.600 km (D) 13.400 km (E) 13.200 km RESPOSTA: B COMENTARIO: Temos ento a P.A. ( 500, 520, 540, ... an) No vigsimo dia a quilometragem percorrida ser: a

20 = 500 +

19.20 = 880km Calculando o total percorrido:

1 2020

a a (500 880).20S 13800

2 2

10. (Uff 2011) Ao se fazer um exame histrico da presena africana

no desenvolvimento do pensamento matemtico, os indcios e os vestgios nos remetem matemtica egpcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa histria. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: Divida 100 pes entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progresso aritmtica e que um stimo da soma das trs partes maiores seja igual soma das duas menores.

Coube ao homem que recebeu a parte maior da diviso acima a quantidade de

(A) 115

3 pes.

(B) 55

6 pes.

(C) 20 pes.

(D) 65

6 pes.

(E) 35 pes. RESPOSTA: A COMENTARIO: Sejam x - 2r, x - r, x, x, + r e x + 2r o nmero de pes que cada homem recebeu, com x, r > 0. Desse modo,

x 2r x r x x r x 2r 100

x x r x 2rx 2r x r

7

x 20x 205x 100 x 20

.5511 203x 3r 14x 21r 24r 11x rr

624

Portanto, coube ao homem que recebeu a parte maior da diviso a quantidade de

55 55 60 55 115x 2r 20 2 20

6 3 3 3

pes.

11. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado apenas por

pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos

brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10 camada de ladrilhos cinza contm

(A) 76 ladrilhos. (B) 156 ladrilhos. (C) 112 ladrilhos. (D) 148 ladrilhos. (E) 158 ladrilhos. RESPOSTA: D COMENTARIO: O nmero de ladrilhos em cada lado das camadas cinza constitui a progresso aritmtica (2, 6, 10, ...). Desse modo, o lado da 10 camada ter

10 1a a (n 1)r

2 (10 1) 4

2 36

38 ladrilhos.

Portanto, a 10 camada de ladrilhos cinza contm 4 . (38 - 2) + 4 = 148 ladrilhos.

12. (Uel 2011) Voc tem um dinheiro a receber em pagamentos

mensais. Se voc recebesse R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, voc recebesse R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. Porm, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento, voc recebesse o dobro do que recebeu no ms anterior, em quantos pagamentos receberia todo o dinheiro? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 RESPOSTA: B COMENTARIO: Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos:

9

9

a 100 8.150 1300

(100 1300).9S 6.300

2

Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:

n

n

n

2 1100. 6300

2 1

2 1 63

2 64

n 6

Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses. 13. (Fgv 2010) Roberto obtm um financiamento na compra de um

apartamento. O emprstimo dever ser pago em 100 prestaes mensais, de modo que uma parte de cada prestao e o juro pago. Junto com a 1 prestao, o juro pago de R$ 2 000,00; com a 2 prestao, o juro pago R$ 1 980,00 e, genericamente, em cada

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ms, o juro pago R$ 20,00 inferior ao juro pago na prestao anterior. Nessas condies, a soma dos juros pagos desde a 1 at a 100 prestao vale: (A) R$ 100 000,00 (B) R$ 101 000,00 (C) R$ 102 000,00 (D) R$ 103 000,00 (E) R$ 104 000,00 RESPOSTA: B COMENTARIO: (2000, 1980, 1960, ...) PA de razo r = -20 a100 = 2000 + 99.(-20) a100 = 20

100

100

(2000 20).100S

2S 101000

14. (Ufpb 2010) Uma empresa de reflorestamento fez um plantio de

mudas de rvores nativas em uma grande rea desmatada. Para essa tarefa, empregou operrios, que plantaram, cada um, 100 mudas por dia. No primeiro dia de plantio, trabalharam 50 operrios e, nos dias subsequentes at o 15 dia, o nmero de operrios em cada dia foi 50 a mais do que no dia anterior. A partir do 16 dia, o nmero de operrios, em cada dia, foi igual ao do 15 dia. Sabendo-se que esses operrios plantaram 1.200.000 mudas, correto afirmar que esse plantio foi feito em: (A) 21 dias (B) 22 dias (C) 23 dias (D) 24 dias (E) 25 dias RESPOSTA: C COMENTARIO: No primeiro dia: 50 operrios -------5.000 mudas No segundo dia: 100 operrios ------10.000 mudas No terceiro dia: 150 operrios --------15:000 mudas No dcimo quinto dia, nmero de operrios = 5000 + 14.500 = 75.000 mudas

Soma dos 15 primeiros dias = 5000 75000

.15 6000002

x = nmero de dias a partir do dcimo sexto dia. 600.000 + x.75.000 = 1.200000 x = 8 dias Logo, o nmero de dias 15 + 8 = 23.

15. (Enem 2 aplicao 2010) Nos ltimos anos, a corrida de rua

cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inmeros benefcios para a sade fsica e mental, alm de ser um esporte que no exige um alto investimento financeiro.

Disponvel em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.

Um corredor estipulou um plano de treinamento dirio, correndo 3 quilmetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu mdico cardiologista autorizou essa atividade at que o corredor atingisse, no mximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendao mdica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino s poder ser executado em, exatamente, (A) 12 dias. (B) 13 dias. (C) 14 dias. (D) 15 dias. (E) 16 dias. RESPOSTA: D

COMENTARIO: As distncias percorridas pelo corredor constituem a progresso aritmtica (3; 3, 5; 4; ...; 10). Se n denota o nmero de dias para que o planejamento seja

executado, temos que 10 = 3 + (n - 1) . 0,5 7 . 2 = n 1 n = 15.

16. (Enem 2 aplicao 2010) O trabalho em empresas de exige dos

profissionais conhecimentos de diferentes reas. Na semana passada, todos os funcionrios de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confeco de um painel de Natal. Um dos funcionrios apresentou um esboo das primeiras cinco linhas do painel, que ter, no total, 150 linhas.

Aps avaliar o esboo, cada um dos funcionrios esboou sua resposta: Funcionrio I: aproximadamente 200 estrelas. Funcionrio II: aproximadamente 6 000 estrelas. Funcionrio III: aproximadamente 12 000 estrelas. Funcionrio IV: aproximadamente 22 500 estrelas. Funcionrio V: aproximadamente 22 800 estrelas.

Qual funcionrio apresentou um resultado mais prximo da quantidade de estrelas necessria? (A) I (B) II (C) III (D) IV (E) V RESPOSTA: C COMENTARIO: O nmero de estrelas em cada linha constitui uma progresso aritmtica em que o termo geral dado por an = n,

sendo n (n 1) o nmero da linha. A soma dos 150 primeiros termos da progresso dada por

1 150150

(a a ) (1 150)S 150 150 11.325.

2 2

Portanto, como 12.000 o nmero mais prximo de 11.325, segue que o funcionrio III apresentou o melhor palpite.

17. (Fgv 2010) Um capital de R$ 1 000,00 aplicado a juro simples,

taxa de 10% ao ano; os montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n anos, formam a sequncia (a1, a2, a3, an). Outro capital de R$ 2 000,00 aplicado a juro composto, taxa de 10% ao ano gerando a sequncia de montantes (b1, b2, b3, bn) daqui a 1, 2, 3, ... n anos. As sequencias (a1, a2, a3, an) e (b1, b2, b3, bn) formam, respectivamente, (A) uma progresso aritmtica de razo 1,1 e uma progresso

geomtrica de razo 10%. (B) uma progresso aritmtica de razo 100 e uma progresso

geomtrica de razo 0,1. (C) uma progresso aritmtica de razo 10% e uma progresso

geomtrica de razo 1,10. (D) uma progresso aritmtica de razo 1,10 e uma progresso

geomtrica de razo 1,10. (E) uma progresso aritmtica de razo 100 e uma progresso

geomtrica de razo 1,10. RESPOSTA: E COMENTARIO: O primeiro capital ter um reajuste constante a cada ms, ou seja: 10% de 1000 = 100 reais. Portanto, temos uma P.A de razo 100 O segundo capital aplicado a juros compostos ser multiplicado pelo coeficiente (1 + 0,10) para cada ms de aplicao. Temos, ento, uma P.G de razo 1,1.

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18. Carlos tem oito anos de idade. um aluno brilhante, porm

comportou-se mal na aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros nmeros mpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi: (A) 1.000.000 (B) 512.000 (C) 1.210.020 (D) 780.324 (E) 2.048.000

RESPOSTA: A COMENTARIO:

19. Em 05 de junho de 2008, foi inaugurada uma pizzaria que s abre

aos sbados. No dia da inaugurao, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir da, o nmero de fregueses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em progresso aritmtica de razo 6, at que atingiu a cota mxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O nmero de sbados que se passaram, excluindo-se o sbado de inaugurao, para que a cota mxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: (A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18 (E) 26

RESPOSTA: B COMENTARIO:

20. 3.100 jovens disputam as vagas oferecidas por uma empresa. Como a empresa exige exame mdico, 3 jovens foram convocados no 1 dia, 6 no 2 dia, 12 no 3 dia, e assim por diante. Quantos jovens faltam ser convocados para o exame aps o 10 dia de convocaes? (A) 35 (B) 34 (C) 33 (D) 32 (E) 31

RESPOSTA: E

COMENTARIO:

21. Numa festa encontram-se 28 pessoas, entre moas e rapazes. A

moa nmero 1 danou com 3 rapazes, a moa nmero 2 danou com 4 rapazes, a moa nmero 3 danou com 5 rapazes e assim sucessivamente. Se a ltima moa danou com todos os rapazes, ento, o nmero de moas presentes festa igual a: (A) 14 (B) 15 (C) 13 (D) 16 (E) 12 RESPOSTA: C COMENTARIO:

22. Uma indstria consome mensalmente 150 m3 de um certo

reagente. Uma unidade dessa indstria passou a produzir esse reagente e, no primeiro ms de produo, produziu 10% do seu consumo mensal. Se a unidade aumenta a produo do reagente em 3 m

3 por ms, quantos meses sero necessrios, a partir do

incio da produo, para que a unidade produza, em um nico ms, 70% do volume mensal desse reagente consumido pela indstria? (A) 21 (B) 24 (C) 28 (D) 31 (E) 36

RESPOSTA: D COMENTARIO:

23. Do dia primeiro ao dia vinte e um de junho do ano passado, o

nmero de pessoas com gripe socorridas num posto mdico aumentou segundo uma progresso aritmtica. S nos 10 primeiros dias do ms, 290 pessoas gripadas foram atendidas e,

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no dia vinte e um, o nmero de atendimentos dirio alcanou seu valor mximo de 91 pacientes gripados. Entretanto, no dia vinte e dois, o nmero de atendimentos diminuiu de 10 pacientes gripados em relao ao dia anterior e, dessa forma prosseguiu a diminuio diria dos atendimentos de pacientes gripados, at o final de junho. Nessas condies, correto afirmar que o total de pacientes com gripe, que foram atendidos nesse posto mdico durante todo o ms de junho, foi de: (A) 1.220 (B) 1.440 (C) 1.520 (D) 1.560 (E) 1.660

RESPOSTA: B COMENTARIO:

24. (Unesp 2011) Aps o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupana, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, at o ms em que o valor do depsito atingisse R$ 2.048,00. No ms seguinte o pai recomearia os depsitos como de incio e assim o faria at o 21 aniversrio do filho. No tendo ocorrido falha de depsito ao longo do perodo, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos depsitos, em reais, feitos em caderneta de poupana foi de (A) 42.947,50. (B) 49.142,00. (C) 57.330,00. (D) 85.995,00. (E) 114.660,00.

RESPOSTA: D

COMENTARIO: (1,2,4,8,.. 2048) Considerando a P.G., temos: 2048 = 1.2

n-1

2n -1

= 211

n = 12 (12 meses = 1 ano)

Soma dos montantes S = 121.(2 1)

40952 1

(por ano)

No 21o aniversrio, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.

25. (Uerj-2012-MODIFICADA) Um cliente, ao chegar a uma agncia

bancria, retirou a ltima senha de atendimento do dia, com o nmero 49. Verificou que havia 12 pessoas sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progresso aritmtica de nmeros naturais consecutivos, comeando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saram do banco. Com isso, os nmeros das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progresso aritmtica. Se os clientes com as senhas de nmeros 37 e 49 no saram do banco, o nmero mximo de pessoas que pode ter permanecido na fila : (A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 12 (E) 15

Resposta: B COMENTARIO: Se os clientes com as senhas de nmeros 37 e 49

no saram do banco, ento 49 = 37 + (n - 1) . r 12 = (n - 1) + r , em que n o nmero de pessoas que ficaram na fila e r a razo da progresso aritmtica formada pelas senhas remanescentes. Sabendo que mais de 4 pessoas desistiram do atendimento, segue

que 3 n 8. Como r divisor de 12, para que n seja mximo, deve-se ter r = 2. Portanto, n = 6 + 1 = 7.

26. (Udesc 2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu

com o vrus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vrus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: (A) 9 dia. (B) 10 dia. (C) 8 dia. (D) 5 dia. (E) 6 dia.

RESPOSTA: B COMENTARIO: O nmero de alunos contaminados no n-simo dia dado por 2

n-1.

Queremos calcular n, tal que 2n-1

= 512. Desse modo,

2n-1

= 512 2n-1

= 29 n = 10.

Portanto, todos os alunos teriam sarampo no 10 dia. 27. (Espcex (Aman) 2011) Um menino, de posse de uma poro de

gros de arroz, brincando com um tabuleiro de xadrez, colocou um gro na primeira casa, dois gros na segunda casa, quatro gros na terceira casa, oito gros na quarta casa e continuou procedendo desta forma at que os gros acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a dcima casa. A partir dessas informaes, podemos afirmar que a quantidade mnima de gros de arroz que o menino utilizou na brincadeira (A) 480 (B) 511

7

(C) 512 (D) 1023 (E) 1024

RESPOSTA: C COMENTARIO: A quantidade de gros colocados pelo menino em cada casa constitui uma progresso geomtrica cujo primeiro termo 1 e cuja razo vale 2. Logo, segue que a quantidade de gros colocados at a nona casa foi de

92 11 511.

2 1

Como os gros s acabaram na dcima casa, temos que a quantidade mnima de gros que o menino utilizou na brincadeira 511 + 1 = 512.

28. (Ufsm 2011) A natureza tem sua prpria maneira de manter o

equilbrio. Se uma comunidade fica grande demais, , muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doena ou incndios. Uma certa reserva florestal sofreu um incndio. Na primeira hora, teve 1 km

2 e, a cada hora subsequente, foi destrudo pelo fogo o

triplo da rea em relao hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, quantos km

2 da reserva sero queimados

decorridas k horas do incio do incndio?

(A) k3 1

2

(B) 3k

(C) 3k-1

(D) k3

2

(E) k 13 1

2

RESPOSTA: A COMENTARIO: (1,3,9, ...) temos uma P.G de razo 3. A soma das reas na hora k ser:

k k1.(3 1) 3 1S

3 1 2

.

29. (Uesc 2011) No sendo paga quantia alguma relativa a um

emprstimo feito por uma pessoa, sero a ele incorporados juros compostos de 2,5% a.m. Assim, o montante desse emprstimo, considerado ms a ms, crescer segundo uma progresso (A) aritmtica de razo 0,25. (B) geomtrica de razo 1,025. (C) aritmtica de razo 1,205. (D) geomtrica de razo 10,25. (E) aritmtica de razo 12,05.

RESPOSTA: B COMENTARIO: Se C o capital emprestado, n o nmero de meses aps a concesso e a taxa de juros 2,5% = 0,025 a.m., segue que o montante dado por C . (1 + 0,025)

n = C . (1,025)

n.

Portanto, o montante desse emprstimo, considerado ms a ms, crescer segundo uma progresso geomtrica de razo 1,025.

30. (Unemat 2010) Lana-se uma bola, verticalmente de cima para

baixo, da altura de 4 metros. Aps cada choque com o solo, ela recupera apenas da altura anterior. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola at o momento de repouso : (A) 12 m (B) 6 m (C) 8 m

(D) 4 m (E) 16 m

RESPOSTA: A COMENTARIO: S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + +1/2 + ... S = 4 + 4 + 2 + 1 + + ...( P.G. infinita de razo )

S = 4 + 4

11

2

(soma dos termos da P.G. Infinita)

S = 4 + 8 S = 12m

31. (Unesp 2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milho de

reais. Para isso, fao uma aplicao financeira, que rende 1% de juros ao ms, j descontados o imposto de renda e as taxas bancrias recorrentes. Se desejo me aposentar aps 30 anos com aplicaes mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente : Dado: 1,01

361 36

(A) 290,00. (B) 286,00. (C) 282,00. (D) 278,00. (E) 274,00.

RESPOSTA: B COMENTARIO: 30 anos = 360 meses 1.01x + 1,01

2x + 1,01

3x + 1,01

4x + . . . +1,01

360x = 1 000 000 (Soma

dos termos de uma P.G) 360 3611,01x(1.01 1) x(1,01 1,01)

10000001,01 1 0,01

1000000 x(36 1,01) 10000 x R$286,00

32. (G1 - cftmg 2010) Na manh de segunda-feira uma empresa

comeou sua produo de iogurte do seguinte modo: adicionou a um litro de iogurte, j pronto, trs litros de leite. Aps 24 horas, havia 4 litros de iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para dar sequencia produo. Se a empresa continuou esse processo, ento, na manh de sexta-feira, o total de litros de iogurte obtidos foi de (A) 4

5

(B) 46

(C) 28

(D) 29

(E) 210

RESPOSTA: C COMENTARIO: Tera ----------------- 1 + 3 = 4 L de iogurte. Quarta ----------------4 + 3.4 = 16 L de iogurte. Quinta ----------------16 + 3.16 = 64 L de iogurte. Sexta ------------------64 + 64.3 = 256 L = 2

8 L de iogurte.

33. (Espm 2012) A figura abaixo mostra uma srie de painis

formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em uma moldura de ladrilhos escuros.

8

Num desses painis, o nmero de ladrilhos escuros excede o nmero de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade total de ladrilhos desse painel igual a: (A) 126 (B) 172 (C) 156 (D) 224 (E) 138

RESPOSTA: E COMENTARIO: As diferenas entre os nmeros de ladrilhos escuros e claros formam uma P.A de razo 1. (7, 8, 9, ..., 50) 50 = 7 + (n-1).1 n = 44, logo, a 44

a figura ter 44 ladrilhos claros e 50 + 44 ladrilhos

escuros, portanto, um total de 44 + 50 + 44 = 138 ladrilhos. 34. (Uepa 2012) Em 2004, o diabetes atingiu 150 milhes de pessoas

no mundo. (Fonte: Revista Isto gente, 05/07/2004).

Se, a partir de 2004, a cada 4 anos o nmero de diabticos aumentar em 30 milhes de pessoas, o mundo ter 300 milhes de pessoas com diabetes no ano de: (A) 2020 (B) 2022 (C) 2024 (D) 2026 (E) 2028

RESPOSTA: C COMENTARIO: De acordo com as informaes, temos que a evoluo do nmero de diabticos corresponde sequncia (150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, ...). Portanto, o mundo ter 300 milhes de pessoas com diabetes no ano de 2004 + 5 . 4 = 2024.

35. (Uespi 2012) No quadrado a seguir, so iguais as somas dos

elementos de cada uma das linhas, de cada uma das colunas e das diagonais. Alm disso, os nmeros que aparecem nos quadrados so os naturais de 1 at 16.

7 12 A 14

2 B 8 11

16 3 10 D

C 6 15 4

Quanto vale A + B + C + D? (A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 34 (E) 36

RESPOSTA: A

A soma dos naturais de 1 a 16 dada por 1 16

16 136.2

Alm

disso, como a soma de todos os elementos de uma linha, coluna

ou diagonal constante, segue que essa soma vale 136

34.4

Da,

vem que A = 1, B = 13, C = 9 e D = 5. Portanto, A + B +C + D = 28

36. (Enem 2012) Jogar baralho uma atividade que estimula o

raciocnio. Um jogo tradicional a Pacincia, que utiliza 52 cartas. Inicialmente so formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem trs cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente at a stima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que so as cartas no utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte

(A) 21. (B) 24. (C) 26. (D) 28. (E) 31.

RESPOSTA: B COMENTARIO: A quantidade de cartas que forma o monte dada por 52 (1 + 2 + + 4 + 5 + 6 + 7) = 24.

37. (Ufpb 2012) Um produtor rural teve problema em sua lavoura

devido ao de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrnomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendaes:

No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.

A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros dosagem anterior e, assim, sucessivamente.

Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante: (A) 18 dias (B) 19 dias (C) 20 dias (D) 21 dias (E) 22 dias

RESPOSTA: D COMENTARIO: Considerando um P.A. de razo 3: (3, 5, 7, ...) , sendo n o nmero de dias de aplicao.

Termo geral: an = 3+(n-1).2 an = 2n + 1 Soma dos n primeiros termos:

2n n

(3 2n 1) nS S n 2 n

2

Fazendo Sn = 483, temos a equao:

n2 + 2n = 483 n

2 +2n 483 = 0 n = 21 ou n = - 23 (no

convm) Portanto, o produto foi aplicado durante 21 dias.

38. (Pucsp 2012) O fio de um rolo de arame tem X metros de

comprimento. Sabe-se que, usando todo o fio desse rolo, pode-se construir uma sucesso de 21 circunferncias tais que, a partir da segunda, a medida do raio de cada uma tem 2,5 cm a mais do que a medida do raio da circunferncia anterior. Se a rea da regio limitada pela terceira circunferncia da sucesso igual a 192 cm

2,

ento, considerando a aproximao = 3, correto afirmar que (A) X < 25

(B) 25 X < 30

(C) 30 X < 35

(D) 35 X < 40

(E) X 40

RESPOSTA: D COMENTARIO: Se r o raio da menor circunferncia, ento o raio da terceira r = 5. Logo,

2 2(r 5) 192 3 (r 5) 192

r 5 64

r 3cm.

Ento, como X a soma dos comprimentos das circunferncias, vem que

9

20 2,5x 2 3 21

2

2 3 28 21

3528cm

35,28 m

Portanto, 35 X < 40. 39. (Upe 2012) Em uma tabela com quatro colunas e um nmero

ilimitado de linhas, esto arrumados os mltiplos de 3.

Coluna 0 Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3

Linha 0 0 3 6 9

Linha 1 12 15 18 21

Linha 2 24 27 30 33

Linha 3 36 ... ... ...

... ... ... ... ...

Linha n ... ... ... ...

... ... ... ... ...

Qual o nmero que se encontra na linha 32 e na coluna 2? (A) 192 (B) 390 (C) 393 (D) 402 (E) 405

Resposta:[B]

COMENTARIO: Linha 32 e na coluna 2 Progresso Aritmtica

a33 = a1 + 32r a33 = 6 + 32 x (12) a33 = 390. 40. (Uftm 2012) Os valores das prestaes mensais de certo

financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1 prestao R$ 500,00 e o da 12 R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10 prestao ser igual a (A) R$ 1.750,00. (B) R$ 1.800,00. (C) R$ 1.850,00. (D) R$ 1.900,00. (E) R$ 1.950,00.

Resposta:[C] COMENTARIO: Seja r a razo da progresso aritmtica. Se o valor da 1 prestao R$ 500,00 e o da 12 R$ 2.150,00, ento

16502150 500 11 r r 150.

11

Portanto, o valor da 10 prestao 500 + 9 . 150 = R$ 1.850,00. 41. (Fgv 2012) Uma bobina cilndrica de papel possui raio interno

igual a 4 cm e raio externo igual a 8 cm. A espessura do papel 0,2 mm.

Adotando nos clculos = 3, o papel da bobina, quando completamente desenrolado, corresponde a um retngulo cuja maior dimenso, em metros, aproximadamente igual a (A) 20. (B) 30.

(C) 50. (D) 70. (E) 90.

RESPOSTA: D COMENTARIO: Sabendo que a espessura do papel 0,2 mm,

temos que todo o papel enrolado corresponde a 40 mm

2000,2mm

circunferncias concntricas, de tal modo que os raios dessas circunferncias crescem, de dentro para fora, segundo uma progresso aritmtica de razo 0,2 mm. Portanto, a maior dimenso do retngulo dada pela soma dos comprimentos das circunferncias, ou seja,

40,2 802 (40,2 40,4 80) 2 3 200

26 12020

72120mm

70 m.

42. (Espcex (Aman) 2013) Um fractal um objeto geomtrico que

pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal gerado pela repetio indefinida de um padro. A figura abaixo segue esse princpio. Para constru-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m dividida em trs partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira anloga para a obteno das demais linhas, conforme indicado na figura.

Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas (A) 3 m (B) 4 m (C) 5 m (D) 6 m (E) 7 m

RESPOSTA: A COMENTARIO: Os comprimentos das faixas constituem uma progresso geomtrica infinita, sendo a1 = m o primeiro termo

2q

3 a razo.

Portanto, a soma dos comprimentos de todas as faixas dada por

nx

mlim S 3m.

21

3

43. (Ufsm 2012) Um piano tem 88 teclas, includas as brancas e as

pretas. Cada tecla faz soar uma nota musical com uma frequncia determinada. Numerando as teclas da esquerda para a direita na ordem em que esto dispostas no teclado e sendo f(k) a frequncia, em Hz, da tecla de nmero k, tem-se:

10

- a razo das frequncias de duas teclas consecutivas sempre constante, isto , f(n+1)/f(n) sempre igual, para n = 1, 2, 3, ..., 87; - a frequncia dobra a cada doze teclas consecutivas, isto , f(n+12) = 2f(n), para n = 1, 2, 3, ..., 75; - a frequncia da tecla 49 440, isto , f(49) = 440.

Sobre o exposto, afirma-se: I. As frequncias das teclas do piano formam uma progresso

aritmtica (PA) de razo 1

.6

II. As frequncias das teclas do piano formam uma progresso geomtrica (PG) de razo 2.

III. As frequncias das teclas do piano formam uma progresso

geomtrica (PG) de razo

1

122 .

IV. A frequncia da tecla 1 27,5 Hz.

Est(o) correta(s) (A) apenas I. (B) apenas III. (C) apenas IV. (D) apenas II e IV. (E) apenas III e IV.

RESPOSTA: E COMENTARIO: A sequncia uma P.G., pois f(n+1)/f(n) sempre igual, para n = 1, 2, 3, ..., 87; Como a frequncia dobra a cada 12 teclas, sua razo ser dada

por:

1

122 .

f(49) = 440 49 1

12f(1).2 440 f(1).16 440 f(1) 27,5.

Logo, as afirmaes 3 e 4 esto corretas. 44. (Udesc 2012) Quando o quinto termo da progresso (972, 324,

108,...) for colocado, simultaneamente, ao lado esquerdo do vigsimo segundo termo da sequncia (51, 44, 37,...) e ao lado direito do segundo termo (denotado por x) da progresso

1, x, 9, 54,... ,

4

ter sido formada uma nova progresso:

(A) aritmtica, de razo 1

8

(B) geomtrica, de razo 1

8

(C) aritmtica, de razo -8 (D) geomtrica, de razo -8 (E) geomtrica, de razo 8

RESPOSTA: E COMENTARIO: A progresso geomtrica (972, 324, 108,...) tem

razo 108 1

.324 3

Logo, seu quinto termo

21

108 12.3

A progresso aritmtica (51, 44, 37,...) tem razo igual a -44 - (-51) = 7. Desse modo, seu vigsimo segundo termo -51 + 21 . 7 = 96

Supondo que 1

, x, 9, 54,... ,4

uma progresso geomtrica, vem

2 1 3x 9 x .4 2

Portanto, se colocarmos 12 direita de 3

2 e esquerda de 96,

obteremos a progresso geomtrica 3

,12, 96, ,2

cuja razo

8. 45. (Uespi 2012) Em outubro de 2011, o preo do dlar aumentou

18%. Se admitirmos o mesmo aumento, mensal e cumulativo, nos meses subsequentes, em quantos meses, a partir de outubro, o preo do dlar ficar multiplicado por doze?

Dado: use a aproximao 12 1,1815

. (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16

RESPOSTA: D COMENTARIO: Seja p o preo do dlar, em outubro de 2011, antes do aumento. Queremos calcular aps quantos meses o preo do dlar ser 12p.

Como o preo do dlar n meses aps outubro dado por p . (1,18)

n,

temos que

46. (Mackenzie 2012) Maria fez um emprstimo bancrio a juros

compostos de 5% ao ms. Alguns meses aps ela quitou a sua dvida, toda de uma s vez, pagando ao banco a quantia de R$10.584,00. Se Maria tivesse pago a sua dvida dois meses antes, ela teria pago ao banco a quantia de (A) R$10.200,00 (B) R$9.800,00 (C) R$9.600,00 (D) R$9.200,00 (E) R$9.000,00 RESPOSTA: C

COMENTARIO: Se x a quantia procurada, ento

2 1058410584 x (1 0,05) x1,1025

x R$ 9.600,00.

47. (Ucs 2012) O vazamento dos dutos de uma plataforma de

perfurao de petrleo provocou, no mar, uma mancha de leo, em forma circular, cujo dimetro, no primeiro dia, atingiu 2 metros. Os tcnicos s conseguiram tomar providncias aps um ms,

tendo por dia o raio da mancha aumentado 1 5 do aumento

verificado no dia anterior. No final do dcimo dia aps o incio do processo, qual era a medida, em metros, do raio da mancha?

Dado: n1

n

a 1 qS

1 q

(A) 9

8

5 1

4 5

(B) 10

9

5 1

4 5

n n

n 15

p (1,18) 12p (1,18) 12

(1,18) 1,18

n 15.

11

(C) 10

9

5 1

2 5

(D) 9

8

5 1

2 5

(E)

101

25

RESPOSTA: B COMENTARIO: Sabemos que no primeiro dia o raio da mancha era

de 2

1m.2

Se o aumento verificado no 1 dia de 1m, ento o aumento no

2 dia ser de 1

m.5

Assim, o raio da mancha, a cada dia, dado

pelos termos da srie 1 1 1

1, 1 ,1 ,5 5 25

Portanto, a medida do raio da mancha no 10 dia foi de

1010

1010

9

5 111

5 15 51 m.1 4 4 515 5

48. (Upe 2012) O quadrado mgico abaixo foi construdo de maneira

que os nmeros em cada linha formam uma progresso aritmtica de razo x, e, em cada coluna, uma progresso aritmtica de razo y, como indicado pelas setas.

Sendo x e y positivos, qual o valor de N? (A) 14 (B) 19 (C) 20 (D) 23 (E) 25 RESPOSTA: B COMENTARIO: Cada linha forma uma progresso aritmtica de razo X = 2. Cada coluna, uma progresso aritmtica de razo Y = 3. Portanto, temos:

49. (Ulbra 2012) Carlos aplicou R$ 500,00 num banco a uma taxa de

juros compostos de 20% ao ano. Sabendo que a frmula de clculo do montante M = C(1+i)

n, onde M o montante, i a taxa

de juros, C o valor da aplicao e n o perodo da aplicao, qual o tempo necessrio aproximado para que o montante da aplicao seja R$ 8.000,00? Dados: log 2 = 0,301 e log 12 = 1,079 (A) 20 meses e 14 dias.

(B) 12 anos, 6 meses e 10 dias. (C) 15 anos, 2 meses e 27 dias. (D) 15 anos e 10 dias. (E) 12 anos.

RESPOSTA: C COMENTARIO: O tempo necessrio aproximado para que o

montante da aplicao seja R$ 8.000,00 tal que

n n

n4

n4

8000 500 (1 0,2) 16 1,2

122

10

12log2 log

10

4 log2 n (log12 log10)

4 0,301 n (1,079 1)

1,204n

0,079

n 15,24 anos.

Efetuando as converses indicadas, obtemos:

15 a 0,24 12 m 15 a 2,88 m

15 a 2 m 0,88 30 d

15 a 2 m 26,4 d.

50. (Ufpa 2012) Um dos moluscos transmissores da esquistossomose

o biomphalaria amazonica paraense. Sua concha tem forma de uma espiral plana, como na figura:

A interseo do dimetro 0 0A B com a concha determina pontos

0 0 1 1 2 2A , B , A , B , A , B , etc. A cada meia volta da espiral, a

largura do dimetro do canal da concha reduz na proporo de 2

,3

isto

,

0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 3 1 22 2 2 2

B B A A , A A B B , B B A A , A A B B ,3 3 3 3

e

assim sucessivamente. Seja o ponto C o limite da espiral, se 0 0A B

mede 6 mm, a medida de 0B C , em mm, igual a

(A) 6/5 (B) 12/5 (C) 3 (D) 11/5 (E) 7/2

RESPOSTA: B COMENTARIO: Os comprimentos do dimetro do canal a cada meia volta constituem uma progresso geomtrica de primeiro

termo 0 1A A e razo igual a 2

.3

Desse modo, vem que

12

0 10 1 0 1 0 1 0 1

A A2 4A A A A A A 6 6 A A 2mm.

23 91

3

Portanto, a medida de 0B C dada por

44 16 64 123 mm.

43 27 243 51

9

51. (Ulbra 2012) Joo percebeu que, ao abrir a torneira ligada ao

reservatrio de gua, por 5 minutos, o volume diminua para 1/5 da sua capacidade remanescente. Depois de 20 minutos com a torneira aberta, o volume do reservatrio era de 0,12 m

3. Qual a

capacidade total da caixa dgua? (A) 15 000 litros. (B) 50 000 litros. (C) 30 000 litros. (D) 75 000 litros. (E) 60 000 litros. RESPOSTA:D

COMENTARIO: Seja V a capacidade da caixa dgua. Supondo que o reservatrio encontra-se inicialmente cheio, segue que:

431 V 0,12 V 625 0,12 75 m 75.000 L.

5

52. (G1 - cftmg 2010-MODIFICADA) O nmero y de pessoas

contaminadas pela nova gripe H1N1, em funo do nmero de meses x, pode ser expresso por y = y0. 2

x, em que y0 o nmero

de casos reportados em setembro de 2009, isto , 200.000 infectados. O tempo necessrio, em meses, para que 819.200.000 pessoas sejam afetadas pela nova doena (A) 12. (B) 13. (C) 14. (D) 15. (E) 16. RESPOSTA: A COMENTARIO: y = y0. 2

x

y = 20.000 .2x

819.200.000 = 200.000.2x

4096 = 2x

212

= 2x

x = 12 53. (Fgv 2010) O valor de um carro decresce exponencialmente, de

modo que seu valor, daqui a x anos, ser dado por V = Aekx

, em que em que e = 2,7182 . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valera R$ 30 000,00. Nessas condies, o valor do carro daqui a 4 anos ser: (A) R$ 17 500,00 (B) R$ 20 000,00 (C) R$ 22 500,00 (D) R$ 25 000,00 (E) R$ 27 500,00

RESPOSTA: C

COMENTARIO: Se x = 0 temos V = 40.000 40.000 =0kAe A = 40

000

Se x = 1 temos V = 30.000 30.000 = 2kAe 30.000 = 40.000 .

2ke 2ke =

34

Daqui a quaro anos:

v = 40.000. 4ke V = 40.000. 2

2ke V = 40.000.

23

4 v =

22.500 reais 54. (Uneb-BA) Uma populao de bactrias no instante t definida

pela funo kt4C)t(f , em que t dado em minutos. Se a

populao depois de 1 minuto era de 64 bactrias e depois de 3 minutos, de 256, conclui-se que a populao inicial era de: (A) 32 bactrias. (B) 16 bactrias. (C) 8 bactrias. (D) 2 bactrias. (E) 1 bactria. RESPOSTA COMENTARIO:

55. As leis seguintes representam as estimativas de valores (em mil

reais) de dois apartamentos A e B (adquiridos na mesma data), passados t anos da data de compra: apartamento A: v = 2

t + 1 + 120

apartamento B: v = 6 2t 2 + 248

Qual o tempo necessrio (a partir da data de aquisio) para que ambos tenham iguais valores? (A) 7 anos (B) 8 anos (C) 8,5 anos (D) 9 anos (E) 10 anos RESPOSTA: B COMENTARIO:

56. (Espcex (Aman) 2013) Um jogo pedaggico foi desenvolvido com

as seguintes regras:

Os alunos iniciam a primeira rodada com 256 pontos; Faz-se uma pergunta a um aluno. Se acertar, ele ganha a metade dos pontos que tem. Se errar, perde metade dos pontos que tem; Ao final de 8 rodadas, cada aluno subtrai dos pontos que tem os 256 iniciais, para ver se lucrou ou ficou devendo.

13

O desempenho de um aluno que, ao final dessas oito rodadas, ficou devendo 13 pontos foi de (A) 6 acertos e 2 erros. (B) 5 acertos e 3 erros. (C) 4 acertos e 4 erros. (D) 3 acertos e 5 erros. (E) 2 acertos e 6 erros. RESPOSTA: B COMENTARIO: Seja n o nmero de acertos do aluno.

A cada acerto, o aluno fica com seus pontos multiplicados por 3

;2

e a cada erro, fica com seus pontos multiplicados por 1

.2

Desse modo, sabendo que o aluno ficou devendo 13 pontos,

temos que

n 8 nn 53 1 256 243 3 3 n 5.

2 2

Portanto, o aluno acertou 5 perguntas e errou 8 5 3.

57. (Fuvest 2013) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de

um pas pela sua populao, obtm-se a renda per capita desse pas. Suponha que a populao de um pas cresa taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente taxa constante de, aproximadamente,

Dado: 20 2 1,035.

(A) 4,2% (B) 5,2% (C) 6,4% (D) 7,5% (E) 8,9%

RESPOSTA: B

COMENTARIO: Sejam 0 0r , PIB e 0P , respectivamente, a renda

per capita, o PIB e a populao do pas hoje. Assim, o PIB e a populao, daqui a 20 anos, so dados, respectivamente, por

20 0(1 i) PIB e 20

0(1,02) P ,

em que i a taxa pedida. Portanto,

200 0

0 2000

20 20

2020

20

(1 i) PIB PIBr 2 r 2

P(1,02) P

(1 i) 2 (1,02)

i 2 (1,02) 1

i 1,02 2 1

i 1,02 1,035 1

i 5,6%

58. (Ufrgs 2012) Considere a funo f tal que

2x 15

f(x) k ,4

com k > 0. Assinale a alternativa correspondente ao grfico que pode representar a funo f.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

RESPOSTA: A COMENTARIO: Sendo k > 0, Suponha k = 2. Ento,

2x 15

f(x) 24

.

Logo:

2( 2) 1

2( 1) 1

2(0) 1

2(1) 1

5 7274Para x 2 f( 2) 2 f( 2) 2,32.

4 3125

5 314Para x 1 f( 1) 2 f( 2) 2,51.

4 125

5 14Para x 0 f(0) 2 f(0) 2,8.

4 5

5 13Para x 1 f(1) 2 f(1) 3,25.

4 4

Para x 2 f

2(2) 15 253

(2) 2 f(2) 3,95.4 64

.

Portanto, a funo f(x) crescente e seus valores esto acima de k unidades acima.

14

59. (Insper 2012) Considerando x uma varivel real positiva, a

equao 2x 6x 9x x possui trs razes, que nomearemos a, b e

c. Nessas condies, o valor da expresso 2 2 2a b c (A) 20. (B) 21. (C) 27. (D) 34. (E) 35. RESPOSTA: B COMENTARIO:

2x 6x 9

2

x 1

x x x 0 (no convm)

x 6x 9 1 x 2 ou x 4

Portanto, 12 + 2

2 + 4

2 = 21.

60. (Espm 2012) A figura abaixo mostra o grfico da funo f(x) = 2

x. A

rea da regio sombreada, formada por retngulos, igual a:

(A) 3,0 (B) 3,5 (C) 4,0 (D) 4,5 (E) 5,0 RESPOSTA: B COMENTARIO:

A = A1 + A2 + A3

1A 1. 1.1 1.2

2

A 3,5

Hemcias de um animal foram colocadas em meio de cultura em vrios frascos com diferentes concentraes das substncias A e B, marcadas com istopo de hidrognio. Dessa forma os pesquisadores puderam acompanhar a entrada dessas substncias nas hemcias, como mostra o grfico apresentado a seguir.

61. (Unicamp 2012-MODIFICADA) Seja x a concentrao de

substncia B no meio extracelular e y a velocidade de transporte. Observando-se o formato da curva B e os valores de x e y em determinados pontos, podemos concluir que a funo que melhor relaciona essas duas grandezas

(A)

24 log (x)y2

(B) 2y 1 log (x 1)

(C)

2x8y (1 2 )3

(D) xy 3 1

(E) y = 3

X

RESPOSTA: C COMENTARIO: Na figura, percebemos que a curva B passa pela origem (0,0). Isto nos leva a considerar como possveis respostas as alternativas [C] e [D].

A curva B tambm passa pelo ponto

52,

2, o que nos permite

eliminar a alternativa [D]. Portanto, a funo que melhor representa a curva B

2x8

y (1 2 )3

.

62. (Espm 2011) O valor de y no sistema 5x y

2x y

(0,2) 5

(0,5) 2

igual a:

(A)

5

2

(B)

2

7

(C)

2

5

(D)

3

5

(E)

3

7

RESPOSTA: E COMENTARIO: Temos que

15

5x y 1 5x y 1

2x y 1 2x y 1

(0,2) 5 (5 ) 5

(0,5) 2 (2 ) 2

5x y 1

2x y 1

2x

7.

3y

7

Portanto, o valor de y no sistema 3

7.

63. (Epcar (Afa) 2011) Dada a expresso

24x x1

3

, em que x um

nmero real qualquer, podemos afirmar que (A) o maior valor que a expresso pode assumir 3. (B) o menor valor que a expresso pode assumir 3.

(C) o menor valor que a expresso pode assumir 1

81.

(D) o maior valor que a expresso pode assumir 1

27.

(E) o menor valor que a expresso pode assumir 1

9.

RESPOSTA: C

COMENTARIO: Como 1

1,3

a expresso

24x x1

3 assume seu

menor valor quando 24x x assume seu valor mximo. Desse

modo, segue que para x 2 a expresso

2 24x x 4 (x 2)

assume valor mximo igual a 4 e, portanto,

41 1

3 81 o

valor mnimo procurado.

64. (Udesc 2011) Sejam f e g as funes definidas por

x xf(x) (25) 2 (5) 15 e 235

g(x) x x .4

A o

conjunto que representa o domnio da funo f e

B {x | g(x) 0}, ento o conjunto cA B :

(A)

5 7x | x

2 2

(B)

7x | x

2

(C)

5 7x | x ou x

2 2

(D)

5x | x 1

2

(E) {x | x 3 ou x 5}

RESPOSTA: [D] COMENTARIO: Os valores reais de X para os quais a funo f definida so tais que

x x x x

x

x

(25) 2 (5) 15 0 (5 5) (5 3) 0

5 5 0

5 5

x 1.

Desse modo, cA ] ,1[.

Por outro lado,

2 35 5 7g(x) x x 0 x x 04 2 2

5 7x .

2 2

Da,

5 7B ,

2 2 e, portanto,

c 5 7 5A B ] ,1[ , ,1 .2 2 2

65. (Pucrs 2010) A funo exponencial usada para representar as

frequncias das notas musicais. Dentre os grficos a seguir, o que melhor representa a funo f (x) = e

x + 2 :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) RESPOSTA: A COMENTARIO: Basta fazer a translao vertical do grfico de f(x) = e

x em 2 unidades.

16

66. Considere as funes definidas por 1x22y e y = 8. Sendo A

um ponto comum aos seus grficos e sendo B e C os pontos de interseco de seus grficos com o eixo das ordenadas, tem- seque a rea do tringulo ABC :

(A) 2

(B) 22

(C) 23

(D) 25

(E) 26 RESPOSTA: C COMENTARIO:

67. (Pucpr 2009) O prazo de validade, V, medido em uma escala de

0% (vencido) a 100% (fresco), de um produto em conserva, segue a seguinte funo de tempo, t, em meses. V = e

-t, t 0

Onde: e = 2,7183 CORRETO afirmar: I. Um ms aps a produo, t = 1, a validade corresponde a

36,79%. II. Seis meses aps a produo, t = 6, a validade corresponde a

0,25%. III. Quanto mais prximo do dia da produo maior o frescor. (A) Somente a alternativa III est correta. (B) As alternativas I e III esto corretas. (C) As trs alternativas, I, II e III, esto corretas. (D) As alternativas II e III esto corretas. (E) Nenhuma das alternativas est correta. RESPOSTA: C COMENTARIO: I. Verdadeira.

1 1V(1) e 0,3679 36,79%.e

II. Verdadeira.

6

6

1V(2) e 0,0025 0,25%.e

III. Verdadeira. V decresce com o tempo.

68. (Unifesp) Sob determinadas condies, o antibitico gentamicina, quando ingerido, eliminado pelo organismo razo de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Da, se K o volume da substncia no organismo, pode-se utilizar a funo

para estimar a sua eliminao depois de um tempo t, em horas. Neste caso, o tempo mnimo necessrio para que uma pessoa conserve no mximo 2 mg desse antibitico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa nica dose, de: (A) 12 horas e meia. (B) 12 horas. (C) 10 horas e meia. (D) 8 horas. (E) 6 horas. RESPOSTA: B

"Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a populao no fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progresso geomtrica, ao passo que, dadas as condies mdias da terra disponveis em seu tempo, os meios de subsistncia s poderiam aumentar, no mximo, em progresso aritmtica".

69. (Uel) Analise os grficos e assinale a alternativa em que a lei de

Malthus est representada.

Resposta: C

A populao mundial est ficando mais velha, os ndices de natalidade diminuram e a expectativa de vida aumentou. No grfico seguinte, so apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organizao das Naes Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os nmeros da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhes de pessoas com 60 anos ou mais nos pases desenvolvidos, nmero entre 10% e 15% da populao total nos pases desenvolvidos.

17

70. (Enem) Suponha que o modelo exponencial y = 363 e

0,03x, em que

x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y a populao em milhes de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa populao com 60 anos ou mais de idade nos pases em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e

0,3 = 1,35, estima-se que

a populao com 60 anos ou mais estar, em 2030, entre (A) 490 e 510 milhes. (B) 550 e 620 milhes. (C) 780 e 800 milhes. (D) 810 e 860 milhes. (E) 870 e 910 milhes. Resposta: [E]

y = 363.e0,03.30

y = 363.e0,9 y = 363.

0,3 3( e ) y = 363.(1,35)3 893 (870 < 893 < 910)

71. (G1 cftmg-MODIFICADA) O valor de um determinado tipo de

automvel desvaloriza x% em relao ao ano anterior, conforme o grfico seguinte.

O preo inicial do veculo de R$ 30.000,00, aps 4 anos ser, aproximadamente, (A) R$ 18.000,00 (B) R$ 18.600,00 (C) R$ 19.200,00 (D) R$ 19.700,00 (E) R$ 20.000,00 RESPOSTA: D

72. (Uel) Algumas empresas utilizam uma funo matemtica,

denominada curva de aprendizagem, como parmetro de contratao de mo de obra na rea de produo. Essa funo pode ser definida como mostra a figura 1, onde a, b e c so constantes reais e x o tempo medido em dias. O processo desencadeia-se da seguinte forma: primeiramente so selecionados candidatos ao emprego; em seguida, passam por treinamento num setor espec.co da produo; finalmente, eles

exercem seu trabalho em regime de experincia nesse setor por 30 dias. Finalizado o perodo, so ajustadas as constantes a, b e c curva f para cada candidato. A empresa de.ne como curva ideal a situao em que a = 45, b = 2 e c = 0 , e a contratao ocorrer se a curva f do candidato selecionado atingir ou ultrapassar a situao ideal no regime de experincia. Os candidatos Joo e Paulo obtiveram, respectivamente, como curva de aprendizagem as funes

Com base no que foi exposto correto afirmar que: (A) Paulo no ser contratado. (B) Joo no ser contratado e Paulo ser contratado. (C) Joo ser contratado e Paulo no ser contratado. (D) Joo e Paulo no sero contratados. (E) Joo ser contratado. RESPOSTA: B

73. (Unesp) Cssia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros

compostos, pelo perodo de 10 meses e taxa de 2% a.m. (ao ms). Considerando a aproximao (1,02)

5 = 1,1, Cssia computou

o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicao. Esse valor : (A) R$ 18.750,00. (B) R$ 18.150,00. (C) R$ 17.250,00. (D) R$ 17.150,00. (E) R$ 16.500,00. RESPOSTA: B

74. (Ufscar) Para estimar a rea da figura ABDO (sombreada no

desenho), onde a curva AB parte da representao grfica da funo f(x) = 2

x, Joo demarcou o retngulo OCBD e, em seguida,

usou um programa de computador que "plota" pontos aleatoriamente no interior desse retngulo.

Sabendo que dos 1.000 pontos "plotados", apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a rea estimada dessa figura, em unidades de rea, igual a (A) 4,32. (B) 4,26. (C) 3,92. (D) 3,84. (E) 3,52. RESPOSTA: A

18

75. (Uerj-MODIFICADA) Em 1772, o astrnomo Johann Elert Bode, considerando os planetas ento conhecidos, tabelou as medidas das distncias desses planetas at o Sol.

A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a expresso a seguir, com a qual se poderia calcular, em unidades astronmicas, o valor aproximado dessas distncias:

n 23 . 2 410

Atualmente, Netuno o planeta para o qual n = 9, e a medida de sua distncia at o Sol igual a 30 unidades astronmicas. A diferena entre este valor e aquele calculado pela expresso de Bode igual a d.

O valor percentual de | d | , em relao a 30 unidades

astronmicas, aproximadamente igual a: (A) 29% (B) 32% (C) 35% (D) 38% (E) 40% RESPOSTA: A

76. (Pucmg-MODIFICADA) Uma cultura tem, inicialmente, 125

bactrias. Sabendo-se que essa populao dobra a cada 2 horas, o tempo necessrio, em horas, para que o nmero de bactrias chegue a 256.000, igual a: (A) 14 (B) 18 (C) 22 (D) 26 (E) 28 RESPOSTA: C

77. (Enem) A durao do efeito de alguns frmacos est relacionada

sua meia-vida, tempo necessrio para que a quantidade original do frmaco no organismo se reduza metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a quantidade de frmaco

existente no organismo no final do intervalo igual a 50% da

quantidade no incio desse intervalo.

O grfico anterior representa, de forma genrica, o que acontece com a quantidade de frmaco no organismo humano ao longo do tempo.

F. D. Fuchs e Cher l. Wannma. Farmacologia Clnica. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan,1992, p. 40.

A meia-vida do antibitico amoxicilina de 1 hora. Assim, se uma

dose desse antibitico for injetada s 12 h em um paciente, o

percentual dessa dose que restar em seu organismo s

13 h 30min ser aproximadamente de

(A) 10%.

(B) 15%.

(C) 25%.

(D) 35%.

(E) 50%. RESPOSTA: D

COMENTRIO: De 12 h s 13 h 30min temos 1,5 meias-vidas.

Assim, do grfico podemos concluir que s 13 h 30min o

percentual da dose que restar no organismo aproximadamente

35%.

78. (Ufsm) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de

periferia, o Sr. Jones constatou que o nmero de famlias que recebem menos de 4 salrios mnimos dado por N(x) = K . 2

2x,

onde K uma constante e x > 0. Se h 6.144 famlias nessa situao num raio de 5 km da escola, o nmero que voc encontraria delas, num raio de 2 km da escola, seria (A) 2.048 (B) 1.229 (C) 192 (D) 96 (E) 48 RESPOSTA: D

79. (Pucmg) O valor de certo tipo de automvel decresce com o

passar do tempo de acordo com a funo

sendo t o tempo medido em anos, V o valor do carro no instante t e A o preo inicial do veculo. O tempo necessrio para que esse

automvel passe a custar 1

8 de seu valor inicial, em anos, :

(A) 3,0 (B) 3,5 (C) 4,0 (D) 4,5 (E) 5,0 RESPOSTA: D

80. (Uff) Considere o seguinte modelo para o crescimento de

determinada populao de caramujos em uma regio: "A cada dia o nmero de caramujos igual a 3

2

do nmero de caramujos do

dia anterior." Suponha que a populao inicial seja de 1000 caramujos e que n seja o nmero de dias transcorridos a partir do incio da contagem dos caramujos. O grfico que melhor representa a quantidade Q de caramujos presentes na regio em funo de n o da opo:

19

RESPOSTA: A

81. (Uel) Um barco parte de um porto A com 2x passageiros e passa

pelos portos B e C, deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e recebendo, em cada um,

novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28 passageiros e se N representa o nmero de passageiros que partiram de A, correto afirmar que: (A) N mltiplo de 7 (B) N mltiplo de 13 (C) N divisor de 50 (D) N divisor de 128 (E) N primo RESPOSTA: D

82. (Pucrs) Uma substncia que se desintegra ao longo do tempo tem

sua quantidade existente, aps "t" anos, dada por

onde M0 representa a quantidade inicial. A porcentagem da quantidade existente aps 1000 anos em relao quantidade inicial M0 , aproximadamente, (A) 14% (B) 28% (C) 40% (D) 56% (E) 71% RESPOSTA: E

83. (Fgv) A posio de um objeto A num eixo numerado descrita

pela lei

onde t o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto B, de acordo com a lei 2

-t.

Os objetos A e B se encontraro num certo instante tAB. O valor de tAB, em segundos, um divisor de (A) 28. (B) 26. (C) 24. (D) 22. (E) 20. Resposta: [C]

Pesquisadores da Fundao Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar bactrias no ar em at 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rpido do que o mtodo tradicional. O equipamento, que aponta a presena de microorganismos por meio de uma ficha tica, pode se tornar um grande aliado no combate s infeces hospitalares.

(Adaptado de Karine Rodrigues. http:www.estado.com.br/cincia/notcias/2004/julho/15)

84. (Puccamp) Suponha que o crescimento de uma cultura de

bactrias obedece lei

na qual N representa o nmero de bactrias no momento t, medido em horas. Se, no momento inicial, essa cultura tinha 200 bactrias, ao fim de 8 horas o nmero delas era (A) 3 600 (B) 3 200 (C) 3 000 (D) 2 700 (E) 1 800 RESPOSTA: B

85. (Pucmg-MODIFICADA) Uma populao de bactrias comea com

100 e dobra a cada trs horas. Assim, o nmero n de bactrias aps t horas dado pela funo

Nessas condies, pode-se afirmar que a populao ser de 51.200 bactrias depois de: (A) 1 dia e 3 horas. (B) 1 dia e 9 horas. (C) 1 dia e 14 horas. (D) 1 dia e 19 horas. (E) 1 dia e 20 horas. RESPOSTA: A

86. (Uff) A populao de marlim-azul foi reduzida a 20% da existente

h cinquenta anos (em 1953). Adaptado da Revista Veja, 09 de julho de 2003.

Newsweek, 26 de maio de 2003.

Considerando que foi constante a razo anual (razo entre a populao de um ano e a do ano anterior) com que essa populao decresceu durante esse perodo, conclui-se que a populao de marlim-azul, ao final dos primeiros vinte e cinco anos (em 1978), ficou reduzida a aproximadamente: (A) 10% da populao existente em 1953 (B) 20% da populao existente em 1953 (C) 30% da populao existente em 1953 (D) 45% da populao existente em 1953 (E) 65% da populao existente em 1953 RESPOSTA: D

87. (Pucsp) Em 1996, uma indstria iniciou a fabricao de 6000

unidades de certo produto e, desde ento, sua produo tem crescido taxa de 20% ao ano. Nessas condies, em que ano a produo foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) (A) 1998 (B) 1999 (C) 2000 (D) 2001 (E) 2002 RESPOSTA: E

20

88. (Mackenzie) O grfico mostra, em funo do tempo, a evoluo do nmero de bactrias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, decorridos 30 minutos do incio das observaes, o valor mais prximo desse nmero :

(A) 18.000 (B) 20.000 (C) 32.000 (D) 14.000 (E) 40.000 RESPOSTA: D

89. (Unirio) Numa populao de bactrias, h P(t) = 10

9 . 4

3t bactrias

no instante t medido em horas (ou frao da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 10

9 bactrias, quantos minutos so

necessrios para que se tenha o dobro da populao inicial? (A) 20 (B) 12 (C) 30 (D) 15 (E) 10 RESPOSTA: E

90. (Unesp) A trajetria de um salto de um golfinho nas proximidades

de uma praia, do instante em que ele saiu da gua (t = 0) at o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um observador atravs do seguinte modelo matemtico

com t em segundos, h(t) em metros e 0 t T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da gua durante este salto foi (A) 1. (B) 2. (C) 4. (D) 8. (E) 10. RESPOSTA: E

91. (Ufpe) Suponha que, a zero hora de hoje, o nvel dos reservatrios

nas hidreltricas do Nordeste era de 20% de seu mximo e que as turbinas no funcionam se o nvel se tornar inferior a 5%. Admita uma diminuio diria, relativa ao dia anterior, de 0,7% no nvel dos reservatrios. Durante qual dia (contando hoje como o primeiro dia) as turbinas deixaro de funcionar pela primeira vez?

Dados: use as aproximaes 0,993

196 0,252, 0,993

197 0,251,

0,993198

0,249, 0,993199

0,247 e 0,993200

0,245. (A) 196

(B) 197

(C) 198

(D) 199

(E) 200

RESPOSTA: C 92. (Uff) A automedicao considerada um risco, pois, a utilizao

desnecessria ou equivocada de um medicamento pode comprometer a sade do usurio: substncias ingeridas difundem-se pelos lquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benfico ou malfico.

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivduos, verificou-se que a concentrao (y) de certa substncia em seus organismos alterava-se em funo do tempo decorrido (t), de acordo com a expresso

em que y0 a concentrao inicial e t o tempo em hora. Nessas circunstncias, pode-se afirmar que a concentrao da substncia tornou-se a quarta parte da concentrao inicial aps:

(A)

1

4 de hora (B) meia hora (C) 1 hora (D) 2 horas (E) 4 horas RESPOSTA: E

93. (Ufc) Suponha que um corpo, com temperatura positiva, seja

inserido em um meio cuja temperatura mais baixa do que a do corpo. A tendncia natural ser a diminuio da temperatura do corpo. Newton, estudando este fenmeno, descobriu que a temperatura T do corpo decresce medida que o tempo t passa, segundo a equao mostrada adiante. Onde e a base do logaritmo natural e A, B e k so constantes positivas. Assinale a alternativa na qual consta o grfico cartesiano que melhor representa, nesse fenmeno, a temperatura T em funo do tempo t.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) RESPOSTA: E

A MQUINA A VAPOR: UM NOVO MUNDO, UMA NOVA CINCIA.

1 As primeiras utilizaes do carvo mineral verificaram-se esporadicamente at o sculo Xl; ainda que no fosse sistemtica, sua explorao ao longo dos sculos levou ao esgotamento das jazidas superficiais (e tambm a fenmenos de poluio atmosfrica, lamentados j no sculo XIII). A necessidade de se explorarem jazidas mais

1profundas levou logo, j no sculo XVII, a

uma dificuldade: 2a de ter que se esgotar a gua das galerias

profundas. O esgotamento era feito ou fora do brao humano ou mediante uma roda, movida ou por animais ou por queda-d'gua. Nem sempre se dispunha de uma queda-d'gua prxima ao poo da mina, e o uso de cavalos para este trabalho era muito dispendioso, ou melhor, ia contra um princpio que no estava ainda formulado de modo explcito, mas que era coerentemente adotado na maior parte das decises produtivas: o princpio de se empregar energia no-alimentar para obter energia alimentar,

21

evitando fazer o contrrio. O cavalo uma fonte de energia melhor do que o boi, dado que sua fora muito maior, mas so maiores tambm suas exigncias alimentares: no se contenta com a celulose - resduo da alimentao humana -, mas necessita de aveia e trevos, ou seja, cereais e leguminosas; compete, pois, com o homem, se se considera que a rea cultivada para alimentar o cavalo subtrada da cultivada para a alimentao humana; pode-se dizer, portanto, que utilizar o cavalo para extrair carvo um modo de utilizar energia alimentar para obter energia no-alimentar. Da a no-economicidade de sua utilizao, de modo que muitas jazidas de carvo que no dispunham de uma queda d'gua nas proximidades s puderam ser exploradas na superfcie. Ainda hoje existe um certo perigo de se utilizar energia alimentar para se obter energia no-alimentar: num mundo que conta com um bilho de desnutridos, h quem pense em colocar lcool em motores de automveis. Esta ser uma soluo "econmica" somente se os miserveis continuarem miserveis. 2 At a inveno da mquina a vapor, no fim do sculo XVII, o carvo vinha sendo utilizado para fornecer o calor necessrio ao aquecimento de habitaes e a determinados processos, como o trato do malte para preparao da cerveja, a forja e a fundio de metais. J o trabalho mecnico, isto , o deslocamento de massas, era obtido diretamente de um outro trabalho mecnico: do movimento de uma roda d'gua ou das ps de um moinho a vento. 3 A altura a que se pode elevar uma massa depende, num moinho a gua, de duas grandezas: o volume d'gua e a altura de queda. Uma queda d'gua de cinco metros de altura produz o mesmo efeito quer se verifique entre 100 e 95 metros de altitude, quer se verifique entre 20 e 15 metros. As primeiras consideraes sobre mquinas trmicas partiram da hiptese de que ocorresse com elas um fenmeno anlogo, ou seja, que o trabalho mecnico obtido de uma mquina a vapor dependesse exclusivamente da diferena de temperatura entre o "corpo quente" (a caldeira) e o "corpo frio" (o condensador). Somente mais tarde o estudo da termodinmica demonstrou que tal analogia com a mecnica no se verifica: nas mquinas trmicas, importa no s a diferena de temperatura, mas tambm o seu nvel; um salto trmico entre 50

C e 0

C possibilita obter um

trabalho maior do que o que se pode obter com um salto trmico entre 100

C e 50

C. Esta observao foi talvez o primeiro indcio

de que aqui se achava um mundo novo, que no se podia explorar com os instrumentos conceituais tradicionais. 4 O mundo que ento se abria cincia era marcado pela novidade prenhe de consequncias tericas: as mquinas trmicas, dado que obtinham movimento a partir do calor, exigiam que se considerasse um fator de converso entre energia trmica e trabalho mecnico. A, ao estudar a relao entre essas duas grandezas, a cincia defrontou-se no s com um princpio de conservao, que se esperava determinar, mas tambm com um princpio oposto. De fato, a energia "qualquer coisa" que torna possvel produzir trabalho - e que pode ser fornecida pelo calor, numa mquina trmica, ou pela queda d'gua, numa roda/turbina hidrulica, ou pelo trigo ou pela forragem, se so o homem e o cavalo a trabalhar - a energia se conserva, tanto quanto se conserva a matria. Mas, a cada vez que a energia se transforma, embora no se altere sua quantidade, reduz-se sua capacidade de produzir trabalho til. A descoberta foi traumtica: descortinava um universo privado de circularidade e de simetria, destinado degradao e morte. 5 Aplicada tecnologia da minerao, a mquina trmica provocou um efeito de feedback positivo: o consumo de carvo aumentava a disponibilidade de carvo. Que estranho contraste! Enquanto o segundo princpio da termodinmica colocava os cientistas frente irreversibilidade, morte, degradao, ao limite intransponvel, no mesmo perodo histrico e graas mesma mquina, a humanidade se achava em presena de um

"milagre". Vejamos como se opera este "milagre": pode-se dizer que a inveno da mquina a vapor nasceu da necessidade de explorao das jazidas profundas de carvo mineral; o acesso s grandes quantidades de carvo mineral permitiu, juntamente com um paralelo avano tecnolgico da siderurgia - este baseado na utilizao do coque (de carvo mineral) - que se construssem mquinas cada vez mais adaptveis a altas presses de vapor. Era mais carvo para produzir metais, eram mais metais para explorar carvo. Este imponente processo de desenvolvimento parecia trazer em si uma fatalidade definitiva, como se, uma vez posta a caminho, a tecnologia gerasse por si mesma tecnologias mais sofisticadas e as mquinas gerassem por si mesmas mquinas mais potentes. Uma embriaguez, um sonho louco, do qual s h dez anos comeamos a despertar. 6 "Mais carvo se consome, mais h disposio". Sob esta aparncia inebriante ocultava-se o processo de decrscimo da produtividade energtica do carvo: a extrao de uma tonelada de carvo no sculo XIX requeria, em mdia, mais energia do que havia requerido uma tonelada de carvo extrada no sculo XVIII, e esta requerera mais energia do que uma tonelada de carvo extrada no sculo XVII. Era como se a energia que se podia obter da queima de uma tonelada de carvo fosse continuamente diminuindo. 7 Comeava a revelar-se uma nova lei histrica, a lei da produtividade decrescente dos recursos no-renovveis; mas os homens ainda no estavam aptos a reconhec-la.

(Laura Conti. Questo pianeta, Cap.10. Roma: Editori Riuniti, 1983. Traduzido e adaptado por Ayde e Veiga Lopes)

94. (Puccamp) O texto descreve o crescimento na produo de

carvo, o qual foi cada vez mais acelerado, durante certo perodo. Isto , o acrscimo na produo a cada dcada no era constante e sim maior que o acrscimo havido na dcada anterior. Muitos fenmenos desse tipo podem ser descritos matematicamente por funes exponenciais. Considere a funo a seguir:

sendo k uma constante real positiva e x um nmero real no negativo que representa o tempo em anos, a partir de um certo ano zero. Nessa funo, a cada acrscimo de 10 unidades na varivel x (10 anos de acrscimo), o valor da funo (A) acrescido de um valor k. (B) acrescido de um valor 2k. (C) duplicado. (D) quadruplicado. (E) multiplicado por k. RESPOSTA: C

95. (Uerj-MODIFICADA) Pelos programas de controle de tuberculose,

sabe-se que o risco de infeco R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo R=R0 e

-yt em que R0 o risco de infeco no

incio da contagem do tempo t e y o coeficiente de declnio. O risco de infeco atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantao de um programa nesta cidade, fosse obtida uma reduo no risco de 10% ao ano, isto , y=10%. Use a tabela abaixo para os clculos necessrios:

O tempo, em anos, para que o risco de infeco se torne igual a 0,2%, de: (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24 (E) 25 RESPOSTA: C

22

96. (Fatec) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui

em funo do tempo devido desintegrao radioativa. Essa variao pode ser descrita pela funo exponencial dada por m = m0.2

-xt. Nessa sentena, mx a massa (em gramas) no tempo t (em

anos), m0 a massa inicial e x uma constante real. Sabendo-se que, aps 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor x : (A) - 3 (B) 1/3 (C) - 22 (D) 1/22 (E) 1/8 RESPOSTA: D

97. (Uel) A relao a seguir descreve o crescimento de uma

populao de microorganismos, sendo P o nmero de microorganismos, t dias aps o instante 0. O valor de P superior a 63000 se, e somente se, t satisfazer condio

(A) 2 < t < 16 (B) t > 16 (C) t < 30 (D) t > 60 (E) 32 < t < 64 RESPOSTA: D

98. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8

metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direo norte e parou. Assim, a distncia entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: (A) 8 metros (B) 10 metros (C) 12 metros (D) 14 metros (E) 16 metros RESPOSTA: B COMENTRIO: Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distncia pedida corresponde hipotenusa do tringulo retngulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitgoras, vem

2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6

BC 100

BC 10 m.

99. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser

emitido no ponto P reflete internamente trs vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB de 6 cm, o do lado AB de 3 cm, o polgono ABPQ um retngulo e os ngulos de incidncia e reflexo so congruentes, como se indica em cada ponto da reflexo interna. Qual a distncia total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

(A) 12 cm. (B) 15 cm. (C) 16 cm. (D) 18 cm. (E) 22 cm

RESPOSTA: B COMENTRIO:

o

o

22 2

2 2 2

HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ

3BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF

2

36 K2AGF~ QPF K 4

3 K

3 5No GBH : GH 2 GH

2 2

No HPQ: HQ 4 3 HQ 5

Logo, a distncia total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.

100. (Ufrn 2012) Numa projeo de filme, o projetor foi colocado a 12

m de distncia da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeo resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distncia do projetor em relao tela era de (A) 18 m. (B) 8 m. (C) 36 m. (D) 9 m. (E) 20 m RESPOSTA: B COMENTRIO:

Se d a distncia procurada, ento d 2

d 8 m.12 3

101. (Espm 2012) A figura mostra um quadrado, dois crculos claros de

raios R e dois crculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado.

A razo entre R e r igual a:

(A) 2

(B) 3

(C)

3

2 (D) 2

(E)

5

2

RESPOSTA: C COMENTRIO:

23

Observando a figura, podemos escrever que

2 22

2 2 2 2 2

2

R r R 2R r

R 2.R.r r R 4R 4Rr r

4R 6.Rr 0

R 3R 0(no convm) ou

r 2

102. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol, em

que esto representados um dos gols e a marca do pnalti (ponto P).

Considere que a marca do pnalti equidista das duas traves do gol, que so perpendiculares ao plano do campo, alm das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas. Distncia da marca do pnalti at a linha do gol: 11 metros. Largura do gol: 8 metros. Altura do gol: 2,5 metros.

Um atacante chuta a bola da marca do pnalti e ela, seguindo uma trajetria reta, choca-se contra a juno da trave esquerda com o travesso (ponto T). Nessa situao, a bola ter percorrido, do momento do chute at o choque, uma distncia, em metros, aproximadamente igual a (A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 18. (E) 20. RESPOSTA: A COMENTRIO:

Considerando x a distncia pedida, temos: y

2 = 4

2 + 11

2

y2 = 137

x2 = y

2 + 2,5

2

x2 = 137 + 6,25

x2 = 143,25

x 12m

103. (Insper 2012) Duas cidades X e Y so interligadas pela rodovia R101, que retilnea e apresenta 300 km de extenso. A 160 km de X, beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, tambm retilnea e perpendicular R101. Est sendo construda uma nova rodovia retilnea, a R103, que ligar X capital do estado. A nova rodovia interceptar a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.

O governo est planejando, aps a concluso da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y at a R103. A menor extenso, em quilmetros, que esta ligao poder ter (A) 250. (B) 240. (C) 225. (D) 200. (E) 180. RESPOSTA: E COMENTRIO:

Determinando o valor de k no tringulo XZP: K

2 = 120

2 + 160

2

K = 200 km.

XZP XDY

200 120

2d 360 d 180km300 d

104. (Ufpa 2012) Uma passarela construda em uma BR no Par tem

um vo livre de comprimento 4L. A sustentao da passarela feita a partir de 3 cabos de ao presos em uma coluna esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez presa por um cabo de ao preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distncia L da passarela, conforme representa a figura a seguir.

Supondo L=9m e D=12m, comprimento total dos quatro cabos de ao utilizados , em metros,: (A) 57 (B) 111

(C) 21 1341

(D) 30 6 13 3 97

(E) 30 2 13 97

24

RESPOSTA: D Considere a figura.

Como BC CD e AC BD, segue que AB AD.

Queremos calcular 2 AB AE AF. Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ABC, vem

2 2 2 2 2AB BC AC 9 12 225 AB 15 m.

Analogamente, para os tringulos ACE e ACF, obtemos

2 2 2 2 2AE CE AC 18 12 468 AE 6 13 m e

2 2 2 2 2AF CF AC 27 12 873 AF 3 97 m.

Portanto, o resultado pedido :

2 AB AE AF 2 15 6 13 3 97

(30 6 13 3 97) m.

105. (Udesc 2012) Quadros interativos so dispositivos de interface

humana que permitem ao usurio interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros cada vez mais comum em instituies de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interao funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem projetada, e de uma caneta eletrnica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom usado para calcular a distncia da ponta da caneta at o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ngulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor ponta da caneta. Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usurio aciona a caneta em trs pontos distintos da tela, gerando as leituras de distncia e de ngulo apresentadas na tabela:

Ponto Distncia ngulo

A 2 m 60

B 2 m 30

C 1 m 30

O tringulo com vrtices nos pontos A, B e C : (A) escaleno. (B) equiltero. (C) issceles de base BC. (D) issceles de base AB. (E) retngulo em A. RESPOSTA: A COMENTRIO: Considere a figura.

Sabendo que OA 2 m, OB 2 m e OC 1m, temos que

BC OB OC 1m. Alm disso, o tringulo OAB issceles

de base AB. Logo, OBA OAB 75 .

Aplicando a lei dos cossenos no tringulo OAB, segue que

2 2 2 2 2 2

2

3AB OA OB 2 OA OB cos30 AB 2 2 2 2 2

2

AB 8 4 3

AB ( 6 2) m.

Como AC mediana do tringulo ABO, vem

2 2 2

2 2

1AC 2 (OA AB ) OB

2

12 (2 8 4 3) 2

2

14 (5 2 3)

2

5 2 3 m.

Portanto, como AB AC BC, segue que o tringulo ABC

escaleno.

TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO: As ruas e avenidas de uma cidade so um bom exemplo de aplicao de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitrio Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Blsamo formam uma figura geomtrica que se aproxima muito de um tringulo retngulo, como representado no mapa.

Considere que a Rua Blsamo continuao da Av. Lions Clube; o ponto A a interseco da Av. Vitrio Baccan com a Av. Lions Clube; o ponto B a interseco da Rua Romeu Zerati com a Rua Blsamo; o ponto C a interseco da Av. Vitrio Baccan com a Rua Romeu Zerati; o ponto D a interseco da Rua Blsamo com a Rua Vitrio Genari; o ponto E a interseco da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitrio Genari;

a medida do segmento AC 220 m;

a medida do segmento BC 400 m e o tringulo ABC retngulo em C.

106. (G1 - cps 2012) Considere que o trecho DE da rua Vitrio Genari

paralelo ao trecho AC da Av. Vitrio Baccan. Sabendo que a

medida do segmento DE 120 m, ento a medida do trecho

CE da Rua Romeu Zerati , em metros, mais prxima de (A) 182. (B) 198. (C) 200. (D) 204.

25

(E) 216. RESPOSTA: A COMENTRIO: Como os tringulos ABC e BED so semelhantes, vem

BE DE 400 CE 120

400 220BC AC

11 (400 CE) 400 6

2000CE

11

CE 182 m.

107. (Udesc 2012) Numa praa de alimentao retangular, com

dimenses 12 m por 16 m, as mesas esto dispostas em fileiras paralelas s laterais do ambiente, conforme o esquema da figura, sendo as linhas pontilhadas os corredores entre as mesas.

Pela disposio das mesas, existem vrias maneiras de se chegar do ponto A ao ponto C, movendo-se apenas pelos corredores. Seguindo-se o caminho destacado e desprezando-se a largura dos corredores, a distncia percorrida : (A) 12 m (B) 20 m (C) 24 m (D) 28 m (E) 16 m RESPOSTA: D COMENTRIO: A distncia percorrida dada pela soma das dimenses da praa de alimentao, ou seja, 16 12 28 m.

108. (Espm 2011) Uma parede retangular cujo comprimento mede o

dobro da altura, foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peas mais escuras, como na figura exemplo abaixo.

O nmero de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de: (A) 260 (B) 246 (C) 268 (D) 312 (E) 220 RESPOSTA: E

COMENTRIO: Sejam c e h, respectivamente, o nmero de

azulejos utilizados numa fileira horizontal e numa fileira vertical.

Do enunciado, temos que c 2h. Alm disso, o nmero de

azulejos usados no contorno externo tal que

2 (c h) 4 68 .

Logo, obtemos o sistema:

c 2h c 2h c 24

2 (c h) 4 68 c h 36 h 12.

Portanto, o nmero de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de (c 2) (h 2) (24 2) (12 2) 220 .

109. (G1 - ifsp 2013) Uma pista de atletismo formada por duas raias

cujo percurso formado por duas partes retas intercaladas com duas semicircunferncias, conforme a figura.

Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II, quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse que dera 10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia maior; j, o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter dado mais voltas. Se a semicircunferncia tracejada da raia I tem raio igual a 10 metros, a da raia II tem raio de 12 metros, e as partes retas tm 100 metros de comprimento, ento o nmero mnimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr mais que o outro (A) 11. (B) 12. (C) 13. (D) 14. (E) 15. RESPOSTA: A COMENTRIO: Comprimento da raia I = 100 + 100 + 2. .10 262,8 m Comprimento da raia II = 100 + 100 + 2. .12 275,36 m De acordo com o problema, o atleta da raia II deu 10 voltas e chamaremos de v o nmero de voltas dadas pelo atleta da raia I. Logo:

v 262,8 10 275,36

2753,6v

262,8

V 10,4779

Resposta: O atleta da raia I deve completar 11 voltas para correr mais que o outro.

110. (G1 - cftmg 2012) Uma partcula descreve um arco de 1080 sobre

uma circunferncia de 15 cm de raio. A distncia percorrida por essa partcula, em cm, igual a

(A) 90 . (B) 120 . (C) 140 . (D) 160 . RESPOSTA: A COMENTRIO: Nmero de voltas: 1080:360 = 3. Distncia total percorrida: 3 2 15 90 cm.

111. (Ufrgs 2012) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta

coordenada na direo positiva, corno representado na figura abaixo.

26

Considerando-se que o ponto P est inicialmente na origem, a coordenada de P, aps 10 voltas completas, estar entre (A) 60 e 62. (B) 62 e 64. (C) 64 e 66. (D) 66 e 68. (E) 68 e 70. RESPOSTA: B COMENTRIO: Permetro da circunferncia:

C 2 R C 2 (3,14) 1 6,28.

Aps 10 voltas completas, estaremos em 62,8; portanto, entre 62 e 64.

112. (Feevale 2012) Um grupo de amigos resolveu abraar uma

rvore centenria com 4 metros de dimetro. Considere que cada

um deles consegue abraar 0,4 metros da rvore. Nessas condies, quantos amigos foram necessrios para conseguir fechar o abrao na rvore? (A) 16 amigos (B) 10 amigos (C) 6 amigos (D) 4 am