Gabarito Prevestibular Gabarito Comentado Livro 7 Mt 2013

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    LIVRO 7

    MATEMÁTICA I

    1.  (Ita 2012) As raízes X1, X2  e X3  do polinômio2 3p(x) 16 ax (4 2)x x estão relacionadas pelas

    equações: 31 2 1 2 3x

    x 2x 2 e x 2x 2x 02

    . Então,

    o coeficiente a é igual a

    (A)  2(1 2 )  

    (B)  2 4  

    (C)  2(2 2)  

    (D)  4 2  

    (E)  4( 2 1)  

    RESPOSTA:CRESOLUÇÃO:Temos que

    3 2 1 2 3p(x) x (4 2)x ax 16 x x x 4 2  

    Portanto,

     

     

    1 2 3

    31 2

    1 2 3

    x x x 4 2

    xx 2x 2

    2

    x 2x 2x 0 

    Resolvendo o sistema por escalonamento, temos:

     

    1

    2

    3

    x 2 2

    x 2

    x 4  

    Logo, para a raiz

                3 23x 4 4 4 2 4 a 4 16 0    a 4 2 1

     2.  (G1 - cftmg 2011-MODIFICADA) O valor numérico da expressão

    3 2   x

    2x x 12  para x 3

    é

    (A) 10 3

    (B) 4 3

    (C)  4( 3 1)  

    (D) 13 3 8

    (E) 13 3 8

    RESPOSTA: D RESOLUÇÃO:

    3 2   32. 3 3 1

    2

    36 3 3 1

    2

    12 3 6 3 8

    2

    13 3 8

    2

     

    3.  (G1 - col.naval 2011) Sejam p (x) = 2x2010 - 5x2 - 13x + 7 e q (x) = x2

    + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x) por

    q(x), o valor de r(2) será(A)  -8(B)  -6(C)  -4(D)  -3(E)  -2RESPOSTA: E RESOLUÇÃO: 

    Dividindo p(x)  por q(x)  através do método da chave, obtemos:

    2010 2

    2010 2009 2008

    2009 2008 2

    2009 2008 2007

    2007 2

    2007 2006 2005

    2006 2005 2

    2006 2005 2004

    2004 2

    3 2

    2x 5x 13x 7

    2x 2x 2x

    2x 2x 5x 13x 7

    2x 2x 2x

    2x 5x 13x 7

    2x 2x 2x

    2x 2x 5x 13x 7

    2x 2x 2x

    2

     _______ 

    x 5x 13x 7

    2x 5

     ___ 

    x

     __ 

    1

    2

    2008 2007 2005 2004

    3 2

    2

    2

    x x 1

    2x 2x 2x 2x   2x 7

    3x 7

    2x 2x 2x

    7x 15x 7

    7x 7x 7

    8x 14  

    Portanto, r(x) 8x 14  e, assim, r(2) 8 2 14 2.  

    4.  (G1 - ifsc 2011) Dada a função polinominal

      3 2f x x x x 1 , o valor de f 3 f 0 f f 1 é:(A)  - 20.(B)  -18.(C)  - 16.(D)  20.(E)  16.RESPOSTA: B RESOLUÇÃO: 

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    2

     

    3 2

    3

    3 2

    f 3 ( 3) ( 3) ( 3) 1 20

    f(0) 0 0 2 0 1 0

    f( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0

    f(f ( 1) f (0)) 1

     

    Logo,             f 3 f 0 f f 1 20 1 1 18 .

    5.  (Uel 2011) Para que o polinômio   3 2f x x 6x mx n  

    seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma 3

    f x x b ,os valores de m e n devem ser, respectivamente:(A)  3 e −1(B)  −6 e 8(C)  −4 e 27(D)  12 e −8(E)  10 e −27RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: 

     

     

    3 2 3 2 2 3

    22

    33

    x 6x mx n x 3bx 3b x b

    3b 6 b 2

    m 3.b 3. 2 12

    n b 2 8

     

    6.  (Epcar (Afa) 2011) Sobre o polinômio  A x   expresso pelo

    determinante da matriz

    x 1 1

    1 x 2

    1 x x

    , é incorreto afirmar que

    (A)  não possui raízes comuns com B(x) = x2 -1.

    (B)  não possui raízes imaginárias.(C)  a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes.(D)  é divisível por P(x) = x + 2.RESPOSTA: A RESOLUÇÃO: Desenvolvendo o determinante, temos:

    3 2

    3 2

    2

    2

     A(x) x x 2 x x 2x

     A(x) x 2x x 2

     A(x) x (x 2) 1(x 2)

     A(x) (x 2) (x 1)

     

    A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns com

    B(x), já que possui o fator x2  – 1.

    7.  (Uel 2011) O polinômio   3 2p x x x 3ax 4a é

    divisível pelo polinômio   2q x x x 4 . Qual o valor de a?(A)  a = −2(B)  a = −1(C)  a = 0(D)  a = 1(E)  a = 2RESPOSTA: E RESOLUÇÃO:

    Fazendo a divisão, temos:

    3 a 6 0 a 2

    4 a 8 0 a 2 

    Portanto, a = 2.

    8.  (Ufjf 2011) Dados dois polinômios  A(x) e B(x) , sabe-se que

    S(x) A(x) B(x)   é um polinômio de grau 8 e que

    D(x) A(x) B(x)   é um polinômio de grau 5 . É correto 

    afirmar:

    (A)  O polinômio W(x) B(x) A(x)  tem grau 8 .

    (B)  Os polinômios A(x)

    eB(x)

    têm o mesmo grau.

    (C)  O polinômio C(x) A(x) B(x)  tem grau 13.(D)  O polinômio  A(x) tem grau 5.

    (E)  O grau do polinômio B(x) é menor que 7.

    RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    Como o grau de S  é 8  e o grau de D  é 5,  segue que  A  e B  

    só podem ter grau 8.  

    9.  (Ufsm 2011) Três lâmpadas com resistências R1, R2  e R3  sãoligadas num circuito em paralelo. Sabe-se que a resistência total R

    do circuito é 1 2 3

    1 2 1 3 2 3

    R R R

    R R R R R R

    .

    Suponha que cada uma dessas lâmpadas teve sua resistênciaalterada para R1+x, R2+x e R3+x. Assim, a resistência total é função

    de x. Sendo

    3 23 2 1 0

    22 1 0

    a x a x a x aR(x)

    b x b x b

    a expressão da

    resistência total de x, é possível afirmar:

    I. a3 = b2II. a1 = b0

    III. 2 11

    a b2

     

    Está (ão) correta(s)(A)  apenas I.(B)  apenas I e II.(C)  apenas III.(D)  apenas II e III.(E)  I, II e III.RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: Desenvolvendo a expressão:

    1 2 3

    1 2 1 3 2 3

    3 2

    1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 321 2 3 1 2 1 3 2 3

    (R x)(R x)(R x)

    (R x)(R x) (R x)(R x) (R x)(R x)

    x (R R R )x (R .R R .R R .R ).x R .R .R

    3x 2.(R R R ) R .R R .R R .R

     

    Portanto, 2 11

    a b2

     e a1 = b0 estão corretas.

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    3

    10.  (Fgv 2010) Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dadoa seguir:

    Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são ( –1, 0), (1,0) e (3,0) .O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0,2).Portanto o valor de P(5) é:(A)  24(B)  26(C)  28

    (D)  30(E)  32RESPOSTA: E RESOLUÇÃO: P(x) = a(x - (-1)).(x - 1).(x -3)P(x) = a(x + 1).(x – 1).(x – 3)

    Como P(0) = 2 temos:a.(1).(-1).(-3) = 23.a = 2

    a =2

    e P(x) =

    2

    3 . (x + 1).( x - 1).(x – 3)

    logo P(5) =2

    3. (5 + 1).( 5 - 1).(5 – 3)

    P(5) = 32

    11.  (Ita 2010) Considere o polinômio p(x) =

    15

    n 0   an xn  com

    coeficientes a0  =  –  1 e an = 1 + ian  –  l, n = 1, 2, ..., 15. Dasafirmações:

    I. p( – 1) ,

    II. p(x) ≤ 4 (3 +   2 5 ), x [ – 1, 1],III. a8 = a4,

    é (são) verdadeira(s) apenas(A)  I.(B)  II.(C)  III.(D)  I e II.(E)  II e III.RESPOSTA: E 

    RESOLUÇÃO: ao = -1a1 = 1 – ia2 = 1 + i(1 – i )= 2 + ia3 = 1 + i(2 + i) = 2i

    a4 = 1 + i.2i = -1

    A sequência é periódica.

    A afirmação I é falsa.

    P(x) = (ao + a1x + a2x2 + a3x

    3 ) + (a4x

    4 + a5x

    5 + a6x

    6 + a7x

    7 ) + (a8x

    8 +

    a9x9 + a10x

    10 + a11x

    11 )+ (a12x

    12 + a13x

    13 + a14x

    14 + a15x

    15 )

    Como ao - a1 + a2 - a3 = -1 – (1 - i)+ 2 + i – 2i = 0Podemos escrever que P(-1) = (ao - a1 + a2 - a3 ) + (a4  – a5 + a6 - a7)+ (a8  – a9 + a10 - a11 ) + (a12 - a13 + a14 - a15 ) = 0 R  A afirmação II é verdadeira

    4 8 12 2 3p(x) (1 x x x ).( 1 (1 i)x (2 i)x 2ix ) .  

    2 34 8 12p(x) 1 x x x .( 1 1 i . x 2 i . x 2i x  

    2 34 6 12p(x) 1 x x x .(1 2 x 5 x 2 x )  

    p(x) 4(1 2 5 2)  

    P(x) 4.(3 2 5)  

    A afirmação III é verdadeira

    a4 = a8 = -1(sequência Periódica)

    12.  (G1 - cftmg 2010-MODIFICADA) Para um polinômioP, sabe-se queP(k) = 0 se, e somente se, P(x) for divisível por (x – k). Sendo a, b e –3 as raízes do polinômio de Q(x) = x

    3 + 5x

    2 + 4x – 6, então, a + b

    vale(A)   – 5(B)   – 4(C)   – 3(D)   – 2

    (E)  - 1RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: Utilizando a soma das raízes (Girard):

    a + b + (-3) = 5

    a + b – 3 = -5a + b = -2 

    13.  (Ufpe 2010) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais, comcoeficiente líder 1, de grau 4, satisfazendo: p(x) = p(-x) para todo xreal, p(0) = 4 e p(1) = -1. Parte do gráfico de p(x) está esboçado aseguir.

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    Analise as afirmações a seguir, acerca de p(x).(A)  p(x) = x4 + 6x2 + 4

    (B)  As raízes de p(x) são ±   3 5 , para qualquer escolha dos

    sinais positivos e negativos.

    (C)  As raízes de p(x) são10 2

    2

    , para qualquer escolha

    dos sinais positivos e negativos.

    (D)  p(x) = (x

    2

      – 3)

    2

     + 5(E)  O valor mínimo de p(x) ocorre em x = ± 3  RESPOSTA: F V V F V RESOLUÇÃO: 

    (F)     4 3 2P x 1x b.x c.x d.x e   e

      4 3 2P x x –bx cx – dx e   são iguais para todo xtemos b = d = 0

    Logo, P(x) = x2 + cx

    2 + e, como p(0) = 4 temos e = 4 e P(x) = x

    2 +cx

    + 4.Sabendo que p(1) = -1, temos:1 + c + 4 = -1 com c = -6. Temos agora P(x) = x

    4 -6x

    2 + 4

    (V) determinando as raízes temos:

    p(x) = (x2 -3)

    2  – 5 = 0 logo x 3 5  

    p(x) = (x2  + 2)

    2  -10x

    2, se 2x 2 10 x   e

      x 10 2 2 .(F) Pois p(x) = x

    4  – 6x

    2 + 9 – 5 = (x

    2  – 3)

    2  – 5

    (V) p(x) = (x2  –  3)

    2  – 5, segue que o valor mínimo de p(x) é -5 e

    ocorre para x 3 .

    14.  (Unemat 2010) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P( x )= x 

    4 -1 pelo polinômio D( x ) = x -1, é correto afirmar.

    (A)  Q(0) = 0(B)  Q(0) < 0(C)  Q(1) = 0(D)  Q(-1) = 0(E)  Q(1) = 2RESPOSTA: D RESOLUÇÃO: Utilizando o teorema do resto, temo, vamos encontrar o resto dadivisão de P(x) por D(x)Resto = P(1)Resto = 1

    4  – 1 = 0

    Logo, P(x) = D(x).Q(x) + restoX

    4  – 1 = (x -1) . Q(x) + 0

    Logo, Q(x) =4

    x 1x 1

     

    Concluindo q (-1) = 0

    15.  (Ibmecrj 2010) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 + ax +

    b pelo polinômio Q(x) = x2  + x + 2 é igual a 4, então podemos

    afirmar que a + b vale:(A)  2(B)  -2(C)  3(D)  -3(E)  4RESPOSTA: C 

    RESOLUÇÃO: 

    a – 1 = 0, logo: a = 1b+2 = 4, logo: b = 2Portanto, a + b = 3

    16.  Para que o polinômio P(x) = a(X2

      – x + 2) + b(x – 1) + x(2x – 3) + c – 1 seja nulo, os valores de a, b e c devem ser, respectivamente:(A)  1; -2; 6(B)  -2; 5; 6(C)  1; 6; -2(D)  6; -2; 1(E)  -2; 1; 6RESOLUÇÃO:RESOLUÇÃO:

    17.  Sejam p = (a – 1)x4 + ax

    5 + 1 e q = (a – 3)x

    5 + a

    2   x 2 polinômios em x

    com coeficientes reais. É correto afirmar que o grau do produtoentre os polinômios p e q é: (A)  7(B)  6 ou 7(C)  5 ou 7(D)  6(E)  2 ou 6RESPOSTA: BRESOLUÇÃO:

    18.  É dado a seguir o gráfico da função f(x) = 3x3 – x3 – x – 4 .

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    5

    O valor numérico da expressão1xx

    4xx3x

    2

    23

      para

    3

    2008x  , será:

    (A)  1998.(B)  2002.(C)  2004.(D)  2006.(E)  2010.

    RESPOSTA: CRESOLUÇÃO

    19.  Seja P(x) um polinômio que, quando dividido por (x – 1) e (x – 2),deixa restos 1 e 2, respectivamente. Nessas condições, quando

    P(x) é dividido por (x – 1)  (x – 2), deixa resto:(A)  R(x) = x(B)  R(x) = x – 3(C)  R(x) = 2x

    (D)  R(x) = 1(E)  R(X) = x + 3RESPOSTA: ARESOLUÇÃO

    20.  O polinômio P(x) = x3 + ax

    2 + bx, com a e b reais, tem restos 2 e 4

    quando dividido por x  – 2 e por x – 1, respectivamente. Assim, o

    valor de a é:(A)  -6(B)  -7(C)  -8(D)  -9(E)  -10RESPOSTA: ARESOLUÇÃO:

    21.  Dividindo P(x) = x3  – 2x

    2  – 15x+ 36 por D(x) =x – 3, obtemos

    quociente Q(x) e um resto R(x). Com relação a essa divisão, écorreto afirmar que:

    (A)  o polinômio Q(x) é do 10 grau.

    (B)  o polinômio R(x) = 10.(C)  a soma das raízes do polinÔmio Q(x) vale 1.(D)  as raízes do polinômio Q(x) são 4 e 3.(E)  o polinômio P(x) é divisível por x – 3.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    22.  O polinômio P(x) = ax3  – bx

    2 + (2a – b)x + a – 1 é divisível por (x

    2  – 

    1). O valor de a – b é:(A)  0(B)  2(C)  -2(D)  1(E)  -1RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

     

    23.  Sejam a e b números reais tais que o polinômio P(x) = x4 + 2ax + b

    seja divisível pelo polinômio (x  –  1)2. O resto da divisão de P(x)

    pelo monômio D(x) = x é:(A)  -2(B)  -1(C)  1(D)  3(E)  4RESPOSTA:Resolução

    24.  (Upe 2011) Para que o polinômio3 26x 4x 2mx (m 1)   seja divisível por x  –  3, o valor

    da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual a(A)  0(B)  1(C)  2(D)  3(E)  5RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: Se o polinômio é divisível por (x  –  3), pelo teorema do resto,concluímos que:

    6.33  – 4.3

    2 + 2m.3 – (m + 1) = 0 5m = 125 m = - 25

    Logo, 25 5 .

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    6

    25.  (G1 - ifal 2011) Dividindo o polinômio p(x)   pelo polinômio

    (x 2)(x 4)(x 5)   obtém-se resto x 3.   Se os restos das

    divisões de p(x)   por x 2, x 4   e x 5   são,

    respectivamente, os números  A,B  e C,  então  ABC  vale

    (A)  100.(B)  180.(C)  200.

    (D)  280.(E)  360.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    Se q(x)   é o quociente da divisão de p   por

    (x 2)(x 4)(x 5)  e x 3  é o resto, então p(x) q(x) (x 2)(x 4)(x 5) x 3.  

    Desse modo,

     A p(2) 2 3 5,  

    B p(4) 4 3 7  

    e

    C p(5) 5 3 8.  Portanto,

     ABC 5 7 8 280.  

    26.  (Udesc 2012) Seja r ( x ) o resto da divisão do polinômio

      2p x 4x 3x 5   por   2q x 2x x 1.   Se

    f x 2x k  e   f g x r x ,  então o valor da constante k

    para que o conjunto solução da inequação g x 10   seja

    x | x 3  é:(A)   –12(B)   –2

    (C)  12(D)  2

    (E)  e)

    32 –

    5  RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: Dividindo p por q, obtemos

    2 2

    2

    4x 3x 5 2x x 1

    4x 2x 2 2

    5x 7

     

    Assim, r(x) 5x 7.  

    Desse modo, temos que

    f(g(x)) r(x) 2 g(x) k 5x 7

    5x 7 kg(x) .

    2

     

    Sabendo que o conjunto solução da inequação g(x) 10   é

    {x   | x 3},  vem

    5x 7 k10 5x k 13

    2

    k 13x ,

    5

     

    ou seja,

    k 133 k 2.5  

    27.  (Upe 2012) Sobre os polinômios 3 A(x) x x  e B(x) x 1

    , são feitas as seguintes afirmações: I. Em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos A(x) e B(x) seinterceptam em três pontos.II. Os dois polinômios não possuem raízes em comum.III. O resto da divisão de A(x) por B(x) é zero.IV. A soma das raízes dos dois polinômios vale 1.

    Associando V para as afirmações verdadeiras ou F para as falsasobtemos, respectivamente,(A)  I - F ; II - F ; III - V e IV – V.(B)  I - F ; II - V ; III - F e IV – V.(C)  I - F ; II - F ; III - V e IV – F.(D)  I - V ; II - F ; III - V e IV – V.(E)  I - V ; II - F ; III - V e IV – F.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: I. Verdadeiro  – Os gráficos se interceptam nos pontos resultanteda solução da equação:

     A(x) B(x)    3x x x 1 

     

    1

    32

    3

    x 1

    1 5x 2x 1 0 x

    2

    1 5x

    2

     

    II. Falso  –  3 A(x) x x     Raízes  

    13

    2

    3

    x 0

    x x 0 x 1

    x 1

    B(x) x 1   Raízes  

    x 1 0 x 1 Portanto, possuem a raiz x = 1 comum.III. Verdadeiro  – 

           

    232

    x x 1 x x 1 x 1 A(x) x xx x

    B(x) x 1 x 1 x 1,

    portanto, divisão exata e resto nulo.IV. Verdadeiro – Basta somar os valores encontrados no item (II).

    28.  (UEPB) Seja P(x) = (x2  - x + 1)

    4  + (x + 1)

    3  + 2. A soma dos

    coeficientes de P(x) e o seu termo independente de x são,respectivamente:(A) 11 e 4

    (B) 11 e 2(C) 2 e 4(D) 2 e 11(E) 4 e 11RESPOSTA: ARESOLUÇÃO:

    29.  (UNIFOR-CE) P = x - 3, Q = x2 + 3x + 9 e R = (a + b) x

    3 + (a - b)x

    2 + cx

    + d. Sabendo que o polinômio P · Q é idêntico aR, conclui-se que a+ b + c + d é igual a:

    (A) 28(B) 13

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    7

    (C)25

    (D) 3

    (E) -26RESPOSTA: E

    RESOLUÇÃO:

    30.  (UFC-CE) Se a expressão

    22x 5 a b

    ,2 x 1 2 x 14x 1

    onde a  e b  são constantes, é

    verdadeira para todo número real  1

    x ,2

      então o valor de

    a + b é:0(A) -2

    (B) -1(C) 1(D) 2(E) 3RESPOSTA: CRESOLUÇÃO:

    31.  (MACK) -

    P(x)4

    x - 2Q(x)

    Q(x)1

    x - 6Q (x)1  

    Considerando as divisões de polinômios acima, podemosafirmar que o resto da divisão de P(x) por x

    2 - 8x + 12 é:

    (A) 3x - 2

    (B) x + 1(C) 2x + 2(D) 2x + 1(E) x + 2RESPOSTA: E

    RESOLUÇÃO:

    32.  (PUC-SP) Os valores de m, n  e  p  de modo que sejamidênticos os polinômios:P1(x) = (m + n + p)x

    4 - (p + 1)x

    3 + mx

    2 + (n - p)x + n e

    P2(x) = 2mx3 + (2p + 7)x

    2 + 5mx + 2m são, respectivamente:

    (A) 1, 2, -3(B) 2, 3, 1(C) -1, 2, 2

    (D) 2, 1, -3(E) 1, -3, 2RESPOSTA: ARESOLUÇÃO:

    33.  (MACKENZIE-SP) O polinômioP(x) = (m - 4)x

    3 + (m

    2 - 16)x

    2 + (m + 4)x + 4 é de grau 2:

    (A) Se, e somente se, m = 4 ou m = - 4.

    (B) Se, e somente se, m 4.(C) Se, e somente se, m -4.(D) Se, e somente se, m 4 e m  -4.(E) Para nenhum valor de m.RESPOSTA: ERESOLUÇÃO:

    34.  (UNESP) - Se a, b, c são números reais tais que ax2

    + b(x +1)

    2 + c(x + 2)

    2 = (x + 3)

    2 para todo x real, então o valor de a  – 

    b + c é:(A)   – 5.

    (B)   – 1.(C)  1.(D)  3.(E)  7.RESPOSTA: E

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    8

    RESOLUÇÃO:

    35.  (UFPA) Dos polinômios abaixo, qual é o único que pode seridenticamente nulo?(A) a

    3x

    3 + (a - 1)x

    2 - (7 - b)x

    (B) (a + 1)x2 + (b2 - 1)x + a - 1(C) (a

    2 + 1)x

    3 - (a - 1)x

    (D) (a - 1)x3 - (b + 3)x

    2 + (a

    2 - 1)

    (E) a2x

    3 - (3 + b)x

    2 - 5x

    RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    36.  (MACKENZIE-SP) Uma das raízes do polinômioP(x) = x

    4  - x

    3  + ax

    2  - x - 6 é o número complexo i. O valor do

    número real a é:(A) 6(B) - 6(C) 5(D) -5(E) Impossível de ser determinado por falta de dados.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    37.  (ESAN-SP) Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz deP(x) e 1 é raiz de Q(x), então P(1) - Q(2) vale:(A) 0(B) 2(C) 3(D) 6(E) 10RESPOSTA: ERESOLUÇÃO:

    38.  (PUC-SP) Os valores de A e B tais que

      21 x A B

    ,x 1 xx x

    São, respectivamente:

    (A) 2 e 1(B) 3 e 2(C) 1 e 2(D) 2 e 3(E) 1 e 3

    RESPOSTA: CRESOLUÇÃO:

    39.  (ITA-SP) Dividindo o polinômio P(x)  x3 + x2 + x + 1 pelo polinômio

    Q(x), obtemos o quociente S(x)  1 + x e o resto R(x)   x + 1 . Opolinômio Q(x) satisfaz:(A) Q(2) = 0(B) Q(3) = 0

    (C) Q(0)  0(D) Q(1) 0(E) n.d.a.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    40.  (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 - x resulta noquociente 6x

    2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x)

    por 2x + 1 é igual a:(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 5RESPOSTA: ERESOLUÇÃO:

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    9

    41.  (ACAFE-SC) O polinômio P(x) = (2a2 + a - 3)x

    3 + (a

    2 - 1)x

    2 + (a + 1)x -

    3, tem grau:(A) 2, se a = 1

    (B) 3, se a = 3

    ,2

     

    (C) 3, para todo a  (D) 0, para todo a  

    (E) 1, se a = 1RESPOSTA: ERESOLUÇÃO:

    42.  (UNIFOR-CE) Sejam os polinômios f = (3a + 2)x + 2 e g = 2ax - 3a +1, nos quais a é uma constante. O polinômio f · g terá grau 2 se, esomente se:

    (A) a  0 e a 1

    (B) a 1

    3  e a

     2

    (C) a  0

    (D) a 2

    (E) a  0 e a   2

    RESPOSTA: ERESOLUÇÃO:

    43.  (UERN) Na decomposição:

    28x 4 k m

    x 2 x 2x 4 

    Encontram-se, nessa ordem, os valores de k e m:(A) 3 e 7(B) 4 e 2(C) 5 e 3(D) 5 e 4(E) 3 e 4RESPOSTA: CRESOLUÇÃO:

    44.  (Mackenzie-SP) A função f polinomial e seu gráfico passa pelospontos de coordenadas ( –2;  –1), (0;  –3), (1;  –2), (2; 0) e (3; 1). Otermo independente de x no polinômio que define f é:(A)  –1(B)  –2(C)  –3(D) 0(E) 1

    RESPOSTA: C

    45.  (FGV-SP) Seja o polinômio: (pq – 2)x3+ (p

    2+ q

    2 – 5)x

    2 + (p + q – 3)x +

    2p  –  5p + 1 Se p e q são tais que o polinômio é identicamentenulo, então p

    3 + q

    3 é:

    (A) 8(B) 54(C) 72(D) 9(E) 35RESPOSTA: D

    MATEMÁTICA II

    46.  (Uerj 2012-MODIFICADA) A tabela abaixo apresenta os critériosadotados por dois países para a formação de placas deautomóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquerdos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano.

    Paí  

    Descrição Exemplo de placa

    3 letras e 3 algarismos,em qualquer

    ordem

    um bloco de 3 letras,em qualquer

    ordem,à esquerda de outro

    bloco de 4algarismos,também em

    qualquerordem

    Considere o número máximo de placas distintas que podem serconfeccionadas no país X

    igual a n e no país Y igual a p. A n

    p razão corresponde a:

    (A)  1(B)  2(C)  3(D)  6(E)  9RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    Escolhendo 3 lugares para as letras 6,3C 20  

    x = 6,3C .26.26.26.10.10.10= 20.26.26.26.10.10.10y = 26.26.26.10.10.10.10

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    10

    Logo, x 20.26.26.26.10.10.10

    2y 26.26.26.10.10.10.10

    .

    47.  (Unicamp 2012-MODIFICADA) O grêmio estudantil do ColégioAlvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reuniãodo grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantosmodos diferentes pode-se formar essa comissão?

    (A)  6720.(B)  100800.(C)  806400.(D)  1120.(E)  10800RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    6,3 8,56! 8!

    C .C 20.56 11203!.3! 5!.3!

     

    48.  (Espm 2012) ADRIANE e ARIADNE são permutações de um mesmonome. A quantidade de inversões de letras que ocorreram de umnome para o outro é igual a:

    (A)  2(B)  3(C)  4(D)  5(E)  6RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Ocorreram três inversões da letra D com as letras R, I e A.

    49.  (Espm 2012) Para x N   e x > 2, a expressão

     

    2

    2

    x 1 ! . x!

    x 2 ! . x 1 !

     é equivalente a:

    (A)  x – 2(B)  (x – 2)!(C)  (x – 1)!(D)  x(E)  x – 1RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

       

       

    2 2 2

    2 2

    2

    x 1 ! . x! x 1 . x 2 ! . x!

    x 2 ! . x 1 ! x 2 ! . x 1 .x!

    x 1 (x 1).(x 1)x 1

    x 1 (x 1)

     

    50.  (G1 - ifpe 2012) Por questão de segurança os bancos instalaramao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás doscaixas, um teclado como o da figura abaixo.

    Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha.Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitosdistintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usadosapenas os números primos que aparecem no teclado?(A)  6(B)  24(C)  80(D)  120(E)  720RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7.Número de senhas: 4.3.2.1 = 24.

    51.  (Upe 2012) Rita tem três dados: um branco, um azul e umvermelho. Quantas são as formas de ela obter soma seis nolançamento simultâneo dos três dados?(A)  9(B)  10(C)  12(D)  18(E)  24RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Construindo a solução com todos os resultados possíveis, temos:

    Branco Azul Vermelho

    1 1 41 2 3

    1 3 2

    1 4 1

    2 1 3

    2 2 2

    2 3 1

    3 1 2

    3 2 1

    2 1 1

    Temos um total de 10 possibilidades.

    52.  (Unisinos 2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos decarne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de sobremesa.De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeiçãocomposta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa?(A)  23.(B)  24.(C)  401.(D)  572.(E)  960.RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: 4.5.8.6 =960.

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    11

    53.  (Uftm 2011) A prova da primeira fase de um vestibular terá 8questões objetivas de Matemática, com 5 alternativas. Pretende-se que apenas duas dessas questões tenham a resposta corretaindicada na alternativa E. O número de formas de se escolheressas duas questões é(A)  28.(B)  36.(C)  48.(D)  56.(E)  68.RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: Utilizando combinação simples, temos:

    8,28!

    C 282!.6!

     

    54.  (Unesp 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas epossíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se

    a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00 , uma aposta em

    6 dezenas deve custar:

    (A)  R$15,00 .(B)  R$30,00 .

    (C)  R$ 35,00 .

    (D)  R$ 70,00 .

    (E)  R$ 140,00 .RESPOSTA: B

    RESOLUÇÃO: Uma aposta em 6   dezenas abrange

    6   6!15

    4   4!2!  apostas mínimas de 4   dezenas. Portanto, o

    custo dessa aposta deve ser de R$ 2,00 15 R$30,00. 

    55.  (Uel 2011) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 númerosdistintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos

    e faz todos os 20,6C   jogos possíveis de serem realizados com os

    20 números. Se ele acertar os seis números sorteados, entre osvinte escolhidos, além da aposta sorteada com a sena, quantasapostas premiadas com a quina (cinco números corretos) eleconseguirá?(A)  75 apostas(B)  84 apostas

    (C)  c) 20,5C  apostas

    (D)  d) 6,5C  apostas

    (E)  e) 70 apostas

    RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    Escolhendo jogos de 5 números na cartela premiada: 6,5C 6 .

    Para cada jogo com exatamente 5 números premiados(quina),temos 14(20 – 6) opções para o sexto número.

    Logo,   14 6 84 .

    56.  (Ufu 2011-MODIFICADA) Uma fábrica de tintas necessitacontratar uma equipe para desenvolver e produzir um novo tipode produto. A equipe deve ser formada por 4 químicos, 1engenheiro ambiental e 2 engenheiros de produção. Se noprocesso final de seleção compareceram 6 químicos, 3engenheiros ambientais e 4 engenheiros de produção, o númerode maneiras que a equipe poderá ser formada é igual a (nos itensabaixo, x denota multiplicação numérica):

    (A)  6! 3  

    (B)  6! 18  

    (C) 3

    6!8

     

    (D) 3

    6!4

     

    (E)  3

    6!2

     

    RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    6   6!

    4 4!2!  modos de selecionar 4   químicos,

    33

    modos de selecionar 1   engenheiro ambiental e

    4   4!

    2 2!2! 

    modos de selecionar 2  engenheiros de produção. Portanto, peloPFC, podemos formar uma equipe de

    6! 4! 3 33 6! 6!

    4!2! 2!2! 2 2 2 8maneiras.

    57.  (Fgv 2011) As saladas de frutas de um restaurante são feitasmisturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana,laranja, maçã, abacaxi e melão.Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitosconsiderando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?(A)  26(B)  24(C)  22(D)  30(E)  28RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: Seja n  a quantidade de saladas de frutas que podem ser feitasconsiderando apenas os tipos de frutas. Segue que

    5 5 5 5n .

    2 3 4 5 

    Segue pelo teorema das linhas do triângulo de Pascal que

    5

    n

    5 5 5 5 5 52

    0 1 2 3 4 5 

    1 5 n 32 n 26.  

    58.  (Ufpel 2011-MODIFICADA) Sendo 15 pontos distintospertencentes a uma circunferência, o número de retas, distintas,

    determinadas por esses pontos, é(A)  14(B)  91(C)  105(D)  210(E)  250RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    O número de retas distintas determinadas por 15   pontospertencentes a uma circunferência é dado por

    15   15!105.

    2 2!13! 

    59.  (Epcar (Afa) 2011-MODIFICADA) Um colecionador deixou sua casaprovido de R$5,00 , disposto a gastar tudo na loja deminiaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções quehavia na loja, conforme a seguir.

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    12

    • 5 diferentes miniaturas de carros, custandoR$4,00 cadaminiatura;

    • 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$1,00 cadaminiatura;

    • 2 diferentes miniaturas de bichos, custando R$3,00 cadaminiatura.

    O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar acompra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é

    (A)  15(B)  21(C)  42(D)  90(E)  100RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Só poderá comprar:

    1 carro e 1 livro ----------------------------- 5,1 3,1C C 5 3 15  

    2 livros e 1 bicho--------------------------- 3,1 2,1C C 3 2 6  

    Somando: 15 + 6 = 21.

    60.  (Uerj 2011-MODIFICADA) Uma fábrica produz sucos com osseguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixacom 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor.

    Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade deque ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a:

    a) 9,1%(A)  b) 18,2%(B)  c) 27,3%(C)  d) 36,4%(D)  e) 38,4%RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: C4,2 = escolhendo dois sucos de mesmo sabor.C12,2 = escolhendo dois sucos aleatoriamente.

    4,2

    12,6

    3.C 3.6 3P 0,273 27,3%

    C 66 11  

    61.  (Espcex (Aman) 2011) Os alunos de uma escola realizam

    experiências no laboratório de Química utilizando 8  substânciasdiferentes. O experimento consiste em misturar quantidadesiguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido.

    O professor recomenda, entretanto, que as substâncias 1 2S ,S  e

    3S   não devem ser misturadas entre si, pois produzem como

    resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o númeropossível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir ogás metano é(A)  16(B)  24(C)  25(D)  28(E)  56RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    8   8!28

    2   2!6!  modos de escolher duas substâncias

    dentre as 8   disponíveis. Por outro lado,

    33

    2  dessas

    escolhas recaem em duas das três substâncias 1 2S , S   e 3S .  

    Portanto, o número possível de misturas diferentes que se pode

    obter, sem produzir o gás metano, é 28 3 25.  

    62.  (Udesc 2011) Um tanque de um pesque-pague contém apenas

    15   peixes, sendo 40%   destes carpas. Um usuário do pesque-

    pague lança uma rede no tanque e pesca 10  peixes. O número deformas distintas possíveis para que o usuário pesque exatamente

    4  carpas é:(A)  151200(B)  720(C)  210(D)  185(E)  1260RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    O tanque possui 4

    40% 15 15 610

      carpas. Logo, o

    resultado pedido é dado por

    6 15 6 6 9

    4 10 4 4 6

    6! 9!

    4!2! 6!3!

    6 5 9 8 7

    2 3 2

    1260.

     

    63.  (Uesc 2011) A cobrança do pedágio na BR-116, principal rodoviabrasileira, foi iniciada na primeira semana de dezembro 2010, compostos autorizados pela Agência Nacional de TransportesTerrestres (ANTT).Suponha que entre as cidades A e B existem cinco postos deabastecimento, além de dois postos de pedágio — o primeiro comquatro cabines e o segundo, com três. É possível fazer o percursode A até B, passando pelos dois pedágios e parando três vezespara abastecimento, de n formas distintas (variando as cabines eos postos de abastecimento). O valor de n é(A)  12(B)  22(C)  31

    (D)  120(E)  210RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    44

    1  modos de passar pelo primeiro pedágio,

    5   5!10

    3   3!2!  maneiras de escolher 3   postos para

    abastecer e

    33

    1 modos de passar pelo segundo pedágio.

    Portanto, pelo PFC, n 4 10 3 120.  

    64.  (Eewb 2011-MODIFICADA) Uma equipe de saúde tem 4 médicos e6 enfermeiras. Quantas comissões de cinco profissionais, médicose enfermeiras, podem ser formadas contendo, exatamente, doismédicos e três enfermeiras?

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    13

    (A)  10(B)  20(C)  60(D)  120(E)  160RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    4,2 6,34.3 6.5.4

    C .C . 6.20 120

    2! 3!

     

    65.  (Uel 2011) Um grupo de 6 alunos decide escrever todos osanagramas da palavra PERGUNTA. Esta tarefa será feita em váriosturnos de trabalho. Em cada turno 3 alunos escrevem e os outrosdescansam. Para serem justos, decidiram escrever o mesmonúmero de anagramas em cada turno.

    Qual deve ser o número mínimo de anagramas, escrito por turno,de modo que não se repitam grupos de trabalho?(A)  23(B)  720(C)  2016(D)  5040

    (E)  35000RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: Total de anagramas da palavra PERGUNTA: 8! = 40320.

    Número de grupos com 3 alunos(turnos): 6,36!

    C 203!.3!

    .

    Número de anagramas escrito por turno: 40320 : 20 = 2016.

    66.  (Ufjf 2011) Para uma viagem, seis amigos alugaram trêsmotocicletas distintas, com capacidade para duas pessoas cada.Sabe-se que apenas quatro desses amigos são habilitados parapilotar motocicletas e que não haverá troca de posições ao longodo percurso. De quantas maneiras distintas esses amigos podemse dispor nas motocicletas para realizar a viagem?(A)  24(B)  72(C)  120(D)  144(E)  720RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    4,3

    4! A 24

    (4 3)!  maneiras de definir os pilotos e

    3P 3! 6   modos de ocupar os lugares restantes. Portanto,

    pelo PFC, existem 24 6 144  maneiras distintas de acomodar

    os seis amigos nas motocicletas.

    67.  (Ufpb 2011) A prefeitura de certo município solicitou ao GovernoFederal uma verba para a execução das seguintes obras:• saneamento básico; • calçamento de ruas; • construção de uma escola;• construção de uma creche; • construção de casas populares. 

    O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, nacondição de que fosse estabelecida uma ordem na execução dasobras, de modo que, tendo sido liberada a verba para a primeira

    obra, a verba para a segunda só seria liberada após a conclusãoda primeira, e assim sucessivamente até a execução da últimaobra. Nesse contexto, considere o planejamento feito pelaprefeitura:• a primeira obra escolhida foi a construção das casas populares; 

    • o calçamento das ruas só poderá ser executado com osaneamento básico concluído.

    Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e aoplanejamento da prefeitura, é correto afirmar que o número demaneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5 obras é:

    (A)  8(B)  10(C)  12(D)  14(E)  16RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    4!

    122

      (foi divido por 2 pois o saneamento básico deve

    aparecer antes do calçamento)

    68.  (Uerj 2011-MODIFICADA) Uma rede é formada de triângulosequiláteros congruentes, conforme a representação abaixo.

    Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os ladosdos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujoscomprimentos totais são todos iguais a d .Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os

    comprimentos desses caminhos, X equivale a:(A)  20(B)  15(C)  12(D)  10(E)  16RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    O menor caminho será formado por dois lados inclinados(decidas) e quatro lados horizontais.

    2,4

    6

    6!P

    2!.4! = 15

    69.  (Pucsp 2011) Na sala de reuniões de certa empresa há uma mesa

    retangular com 10 poltronas dispostas da forma como é mostradona figura abaixo.

  • 8/20/2019 Gabarito Prevestibular Gabarito Comentado Livro 7 Mt 2013

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    14

    Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar de umareunião a ser realizada nessa sala: o presidente, o vice-presidente, um secretário e quatro membros da diretoria. Sabe-se que: o presidente e o vice-presidente deverão ocuparexclusivamente as poltronas das cabeceiras da mesa; o secretáriodeverá ocupar uma poltrona ao lado do presidente.Considerando que tais poltronas são fixas no piso da sala, dequantos modos as sete pessoas podem nelas se acomodar paraparticipar de tal reunião?(A)  3.360(B)  2.480(C)  1.680(D)  1.240

    (E)  840RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    2 1 2 7 6 5 4 3360  

    70.  (Unesp 2011) Um grafo é uma figura constituída de um númerofinito de arestas ou arcos, cujas extremidades são chamadasvértices. Em um grafo, a “ordem de um vértice” é o número de

    extremidades de arestas ou arcos que se apoiam naquele vértice.A figura 1 é um grafo cujos vértices A e C possuem ordem 3 (ovértice A é o apoio de um arco cujas extremidades coincidem) eos demais vértices possuem ordem 2.

    Além disso, dizemos que um grafo admite um “passeio de Euler”se existir um caminho do qual façam parte todas as arestas ouarcos desse grafo, sendo possível desenhá-lo sem tirar o lápis dopapel e passando-o uma única vez em cada aresta ou arco. Nafigura 1 é possível fazer um “passeio de Euler” partindo-se apenasdos vértices “A” ou “C”. Por exemplo, um possível “passeio” podeser representado pela sequência de vértices dada por:AABCDEFC.Consideres os grafos:

    Os que admitem um “passeio de Euler” são apenas:(A)  I e III.(B)  I e IV.(C)  I, II e V.(D)  I, III e IV.(E)  I, IV e V.RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: Os únicos grafos que admitem um passeio de Euler são o I

    (ABCDEFA),  o IV (CDEFDACBB)  e o V (DEFDABCA). 

    71.  (Mackenzie 2011) Cada um dos círculos da figura deverá ser

    pintado com uma cor, escolhida dentre três disponíveis. Sabendoque dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesmacor, o número de formas de se pintar os círculos é

    (A)  72(B)  68(C)  60(D)  54

    (E)  48RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: Temos três possíveis cores para o primeiro círculo e duas paracada um dos demais.

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    15

    72.  (Uff 2011) Muitos consideram a Internet como um novocontinente que transpassa fronteiras geográficas e conectacomputadores dos diversos países do globo. Atualmente, para queas informações migrem de um computador para outro, umsistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet ProtocolVersion 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituídopor quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por suavez, é um número inteiro no intervalo [0, 2

    8  - 1]. Por exemplo, o

    endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novosistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cadaendereço é constituído por oito campos e cada campo é umnúmero inteiro no intervalo [0, 216 - 1].

    Com base nessas informações, é correto afirmar que(A)  o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o

    quádruplo do número de endereços diferentes do sistemaIPv4.

    (B)  existem exatamente 4.(28  - 1) endereços diferentes no

    sistema IPv4.(C)  existem exatamente 2

    32  endereços diferentes no sistema

    IPv4.(D)  o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro

    do número de endereços diferentes do sistema IPv4.(E)  existem exatamente (28 - 1)4 endereços diferentes no sistema

    IPv4.RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    Há 8 8(2 1) 0 1 2   números inteiros no intervalo

    8[0, 2 1].   Logo, pelo PFC, existem exatamente

    8 8 8 8 322 2 2 2 2  endereços diferentes no sistema IPv4.

    73.  (Insper 2011) No aniversário de 20 anos de uma escola, seufundador fez a seguinte declaração:

    “Nesses 20 anos, formamos 25 alunos que hoje são professoresdesta casa e 30 alunos que hoje são médicos. Entretanto, emnenhum ano formamos mais do que dois desses médicos e nemmais do que três desses professores.” 

    É correto afirmar que, certamente,(A)  em todos os anos formou-se pelo menos um dos professores.(B)  em todos os anos formou-se pelo menos um dos médicos.(C)  em pelo menos um ano não se formou nenhum médico e

    nenhum professor.(D)  em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e

    pelo menos um professor.(E)  em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e

    nenhum professor.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    Como em nenhum ano a escola formou mais do que 3  professores, em pelo menos 9 anos foram formados professores.

    Por outro lado, em nenhum ano a escola formou mais do que 2  médicos. Logo, em pelo menos 15 anos foram formados médicos.

    Portanto, como 9 15 24 20,   temos que em pelo menosum ano formou-se pelo menos um médico e pelo menos umprofessor.

    74.  (G1 - cps 2011) Dois times de basquete, cada um delesrepresentando uma Etec, vão disputar um torneio. As regras dotorneio são as seguintes: o primeiro que ganhar dois jogosseguidos ou um total de três jogos vence o torneio.Por exemplo, considerando as Etecs A e B, tem-se que:  se A vence o primeiro e o segundo jogos, então A vence o

    torneio ou  se B vence o primeiro; A, o segundo; B, o terceiro; A, o quarto

    e B, o quinto jogo; então B vence o torneio.

    Supondo que não haja empates, o número de modos distintospelos quais o torneio pode se desenvolver até a final é(A)  12.(B)

     10.

    (C)  6.(D)  5.(E)  3.RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Há 10 modos distintos pelos quais o torneio pode se desenvolver:

    AABBBAAABBBABBABAA

    BABABABABAABABBBABAA

    75.  (Uerj 2011-MODIFICADA) Uma máquina contém pequenasbolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cadacor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida aoacaso.Observe a ilustração:

    Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor

    número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a:(A)  5(B)  13(C)  31(D)  40

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    16

    (E)  45RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    Inserindo 3 10 30  moedas ainda teríamos a possibilidade deobtermos exatamente 3 bolas de cada cor. Logo, para garantir aretirada de 4 bolas de uma mesma cor, deverão ser inseridas

    30 1 31 moedas.

    76.  (Insper 2011) Um país possui 1.000.000 de eleitores, divididosigualmente entre 10 estados. A tabela a seguir mostra o resultadofinal da votação para a escolha do novo presidente, quando todosos eleitores votaram.

    Candidato Percentual dos eleitores

    X 52%

    Y 25%Z 20%

    Votos brancos e nulos 3%

    Analisando o percentual de votos recebidos pelo candidato X  naeleição, é correto afirmar que

    (A)  os votos recebidos por ele foram dados em pelo menos 6  estados diferentes.

    (B)  ele foi necessariamente o mais votado em todos os estadosdo país.

    (C)  ele necessariamente recebeu votos em todos os estados dopaís.

    (D)  é possível que ele não tenha sido primeiro colocado em

    nenhum dos 10 estados.

    (E)  é possível que ele não tenha recebido votos em 5  estadosdiferentes.

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: De acordo com o enunciado, cada estado do país possui

    1000000 100.00010

      eleitores. Logo, como o candidato X  

    obteve 0,52 1000000 520.000   votos, pelo Princípio dasGavetas de Dirichlet, temos que ele recebeu votos em pelo menos

    520000 11 6

    100000 estados.

    Obs.: [x]  é o maior inteiro menor do que ou igual a x.  

    TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

    Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones deemergência localizados de 4 em 4 quilômetros. Indo de X até Y

    por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de gasolina,nesta ordem: P1, P2, P3  e P4. Júlio observou ainda que os quatropostos estavam localizados a 2 km de distância de um telefone deemergência. Sabe-se que:• para ir de P1 até P4 passa-se por 15 telefones de emergência;• para ir de P1 até P3 passa-se por 11 telefones de emergência;• para ir de P2 até P4 passa-se por 7 telefones de emergência.

    77.  (Insper 2011) A distância, em quilômetros, entre os postos 2P  e

    3P  é igual a

    (A)  20.  

    (B) 18.

     (C)  16.  (D)  12.  

    (E)  8.  RESPOSTA: D

    RESOLUÇÃO: 

    Supondo que cada posto esteja a 2km  de distância do telefonemais próximo, considere a figura abaixo.

    Assim, 2P  dista 2 2 2 4 12km  de 3P .  

    78.  (Insper 2011) Um funcionário da companhia responsável pelamanutenção dos telefones de emergência viajará do posto 2P  até

    o posto 4P .   Nesse trajeto, ele irá escolher dois telefones para

    fazer manutenção preventiva. Na volta, indo de 4P   até 2P ,   ele

    escolherá outros dois telefones para fazer manutençãopreventiva. O número de maneiras distintas que esse funcionáriotem para escolher como fará essa inspeção é igual a

    (A)  35.  

    (B)  105.  

    (C)  210.  

    (D)  420.  

    (E)  840.  RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    Supondo que cada posto esteja a 2km  de distância do telefonemais próximo, considere a figura abaixo.

    De 2P   a 4P   o funcionário poderá escolher dois telefones de

    7

    2  maneiras. De 4P  a 2P  ele terá cinco telefones para fazer a

    manutenção. Logo, essa escolha poderá ser feita de

    5

    2 modos.

    Portanto, no trajeto de ida e volta, a manutenção poderá ser feita

    de

    7 5   7! 5!21 10 210

    2 2   5!2! 3!2!  maneiras

    distintas.

    79.  (Unb 2011-MODIFICADA) Toda vez que uma pessoa usa o caixaeletrônico do banco ou efetua uma transação comercial pela

    Internet, a segurança da transação depende da teoria matemáticados números primos. A partir do momento em que as pessoascomeçaram a mandar mensagens umas para as outras, surgiu oseguinte problema: como evitar que alguém não autorizado, quevenha a se apoderar da mensagem, compreenda o que ela diz? Aresposta é um processo sofisticado em que se criptografa amensagem, usando uma “chave” para codificá-la — multiplicaçãode dois números primos grandes, por exemplo de 100 dígitoscada, escolhidos com o auxílio de um computador — e outra paradecodificá-la — decomposição de um número em fatores primos.

    Keith J. Devlin. Os problemas do milênio. Rio de Janeiro: Record, 2004, p.69-73 (com adaptações).

    Suponha que a “chave” de codificação de uma mensagem seja o

    produto de dois números primos distintos, maiores que 10 emenores que 30. Nesse caso, a quantidade de “chaves” diferentesque o receptor da mensagem, conhecedor apenas dessa regra deformação, deve testar é igual a

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    17

    (A)  15.(B)  21.(C)  30.(D)  42.(E)  50RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: Os primos maiores do que 10 e menores do que 30 são 11, 13, 17,19, 23 e 29. Portanto, como a multiplicação de números inteiros écomutativa, segue que a quantidade de chaves que o receptor da

    mensagem deve testar é

     

    6   6!15.

    2   2! 4! 

    80.  (Ita 2010) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certoinstante de um espetáculo moderno os refletores são acionadosaleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de

    2

    3 a probabilidade de ser aceso.

    Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletoressejam acesos simultaneamente, é igual a

    (A) 

    16

    27 .

    (B) 

    49.

    81  

    (C) 

    151.

    243  

    (D) 

    479.

    729  

    (E) 

    4 5

    4 5

    2 2.

    3 3

     RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    4 2 56 62 1 2 1 432 16

    . . . .4 53 3 3 3 729 27

     

    81.  (Unemat 2010) Em uma competição há sete candidatos, dois dosexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os doisprimeiros candidatos que irão iniciar a competição, efetuam-sedois sorteios seguidos, sem reposição, a partir de uma urnacontendo fichas com os nomes de todos os candidatos.Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados seremdo sexo feminino é de:

    (A) 

    10

    21  

    (B) 

    7

    21  

    (C) 

    2

    5  

    (D) 

    5

    7  

    (E) 

    5

    14  RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 2 do sexo masculino e 5 do sexo feminino.

    P =5,2

    7,2

    C 10

    C 21  

    82.  (Pucpr 2010) No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalarentre 6 e 15 números, de um total de 60 opções disponíveis. Ovalor da aposta é igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número desequencias de seis números que são possíveis, a partir daquelesnúmeros assinalados pelo apostador.Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas

    uma sequencia favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o

    apostador assinala 7 números, tem sete sequencias favoráveis,

    ou seja, é possível formar sete sequencias de seis números a

    partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da aposta

    é R$ 14,00.

    Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem

    apologia a qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativaCORRETA.

    (A)  A aposta máxima custará R$ 5.005,00.(B)  Uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$

    3.000,00 e R$ 3.050,00.(C)  Apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco

    cartões com nove números assinalados, são opçõesequivalentes em termos de custo e de chance de serganhador do prêmio máximo.

    (D)  O custo de uma aposta com 12 números assinalados seráinferior a R$ 1.830,00.(E)  Apostar um cartão com 13 números assinalados custará o

    dobro da aposta de um cartão com 12 números assinalados.RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: a) Errada. C15,6 = 5005, logo custará R$10.010,00

    b) Errada. C14,6 = 3003, logo custará R$ 6.006,00

    c) Correta, 2.C10,6 = 2.210 = 420, e 5.C9,6 = 5.84 = 420 (420.2 =

    840,00)

    d) Errada. C12,6 = 924, logo custará R$1848,00

    e) Errada. C13,6  = 1716, logo custará R$3432,00 (3432   2 x1848,00)

    83.  (Uerj 2010-MODIFICADA) Ao refazer seu calendário escolar para osegundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas emexatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro enovembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados4 sábados consecutivos.Para atender às condições de reposição das aulas, o número totalde conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4sábados é de:(A)  80(B)  96(C)  120(D)  126

    (E)  130RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    Sejam 1 2 9S , S , , S   os sábados de outubro e novembro de

    2009.Há exatamente seis conjuntos distintos com quatro sábadosconsecutivos:

    1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9{S , S ,S ,S }, {S ,S ,S ,S } , , {S ,S ,S ,S }.  

    Além disso, podemos formar

    9   9!126

    4   4!5! 

    conjuntos distintos com quaisquer quatro sábados.

    Portanto, o resultado pedido é: 126 6 120.  

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    18/50

     

    18

    84.  (Uerj 2010-MODIFICADA)

    Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4

    meninas  –  personagens da tirinha. A partir desse conjunto,

    podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um

    número igual de meninos e de meninas.

    O maior valor de n é equivalente a:

    (A)  45(B)  56(C)  69(D)  81(E)  90RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 8 crianças ( 4meninos e quatro meninas)

    1 menino e uma menina → C4,1. C4,1 = 4.4 = 16

    2 meninos e 2 meninas→ C4,2. C4,2 = 6.6 = 36

    3meninos e 3 meninas → C4,3. C4,3 = 4.4 = 16

    4 meninos e 4meninas → C4,4. C4,4 = 1.1 = 1

    Somando, temos: 15 + 36 + 16 + 1 = 69

    85.  (Unemat 2010) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formadosnúmeros de 5 algarismos distintos. Entre eles, são divisíveis por 5:(A)  120 números.(B)  30 números.(C)  60 números.(D)  20 números.(E)  180 números.RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: O números divisíveis por 5, utilizando os algarismos acima,deverão terminar em 5.Logo, teremos 5! números possíveis, isto é, 120.

    86.  (Uemg 2010-MODIFICADA) Observe a tirinha de quadrinhos, aseguir:

    A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo deguerra”.

    Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por

    qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado,

     junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o

    número de maneiras distintas que podem ocorrer nessabrincadeira será igual a

    (A)  60.(B)  150.(C)  600.(D)  120.(E)  140.RESPOSTA: D

    RESOLUÇÃO: Cinco crianças para cinco posições.

    P5 = 5! = 120

    87.  (Unesp 2010) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas emuma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate,morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer acompra?(A)  4.(B)  6.(C)  9.(D)  12.(E)  15.

    RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: Considere x  o número de bolas de chocolate, y  o número de bolasde morango e z o número de bolas de uva.Logo, x + y + z = 4. Agora devemos determinar o número desoluções inteiras da equação.Permutação das bolas vermelhas e barras azuis:

    O Número de soluções inteiras da equação é da por

    6.5.4.3.2.1

    154.3.2.1.2.1

     

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    19

    88.  (Ufg 2012) Uma tradicional competição entre 24 times sempre foiorganizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididosem seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vezcontra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cadagrupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, naqual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam,cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação nasegunda fase enfrentam-se, na terceira fase, em uma partida finalque define o campeão.No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatrogrupos de seis times, e os dois últimos colocados de cada gruposerão eliminados ao final da primeira fase. O restante dacompetição continuará como antes. Nessa nova organização,(A) o número de partidas da primeira fase diminuirá.(B) o número de partidas da segunda fase aumentará.(C) o número total de partidas da competição diminuirá.(D) o número de partidas que um time precisa disputar para

    sagrar-se campeão aumentará.(E) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.RESPOSTA: C

    89.  (Unesp 2010) A figura mostra a planta de um bairro de uma

    cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por umdos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nossentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. Onúmero de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer deA até B é:

    (A)  95 040.(B)  40 635.(C)  924.(D)  792.(E)  35.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: D = para direita C = para cima

    Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7vezes para direita e 5 vezes para cima, em qualquer ordem.

    Exemplo DDCDCDDCCDCD

    logo o número de percursos será dado por:

    7,5

    12

    12!P 792

    7!.5!  

    90.  (Fuvest 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para suaconta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais deuma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senhacontenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguidoimediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintasMaria pode escolher sua senha?(A)  551

    (B)  552(C)  553(D)  554(E)  555

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: Todas as senhas possíveis 5.5.5.5 = 625

    senhas com o 1 seguido pelo 3 = 74

    Senhas possíveis = 625 – 74 = 551

    91.  (Pucrs 2010) Uma melodia é uma sequência de notas musicais.Para compor um trecho de três notas musicais sem repeti-las, ummúsico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical.O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é:(A)

     3

    (B)  21(C)  35(D)  210(E)  5040RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    7 6 5 210  

    92.  (Ibmecrj 2010) Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais,sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferemsentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têmpreferência. De quantos modos eles podem sentar, respeitadas aspreferências?

    (A)  Um número inteiro maior que 40000.(B)  Um número inteiro entre 167 e 40000.(C)  Exatamente 166.(D)  Um número inteiro menor que 100.(E)  Exatamente 40000.RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    = 43200

    93.  (Fatec 2010) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma de 40alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma turma de 36 alunosde Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de umdebate serão escolhidos aleatoriamente dois alunos, um de cadaturma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam escolhidosuma moça e um rapaz é

    (A) 

    29

    60  

    (B) 

    47

    96  

    (C) 

    73

    144  

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    20

    (D) 

    81

    160  

    (E) 

    183

    360  

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    Um rapaz da logística e uma moça da análise de sistemas:18 24 3

    40 36 10  

    ou

    Uma moça da logística e um rapaz da análise de sistemas:

    22 12 11

    40 36 60  

    Regra do ou:3 11 29

    10 60 60  

    94.  (G1 - cftmg 2010-MODIFICADA) Um aparelho eletrônico é

    composto das peças A, B e C, cujos preços, em reais, nas lojas L1,L2 e L3 estão na tabela a seguir.

    A B C

    L1  100 600 1200

    L2  210 500 1100

    L3  150 x 900

    Se a loja L3 não vende a peça B, então, o número de maneiraspara montar esse aparelho com um custo máximo de R$ 1.930,00é(A)  10(B)  13(C)  16(D)  20(E)  30RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: Fazendo 3.2.3 = 18, encontramos 18 possibilidades para amontagem do aparelho.Em apenas duas situações a montagem fica mais cara que 1930(L2, L1, L1 e L3, L1, L1).Fazendo 18 – 2, temos 16 possibilidades.

    95.  (Uece 2010-MODIFICADA) A senha de um cartão eletrônico possuisete caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos e três

    letras maiúsculas, intercalando algarismos e letras, (por exemplo,5C7X2P8). Sabendo que são disponibilizados 26 letras e 10algarismos, o número de senhas distintas que podem serconfeccionadas é(A)  66 888 000.(B)  72 624 000.(C)  78 624 000.(D)  84 888 000.(E)  82 624 000.RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 10.26.9.25.8.24.7 = 78.624.000

    96.  (Ufpr 2010) Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras(V) ou falsas (F).

    ( ) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma matriz Btal que AB = BA = In, onde In é a matriz unidade de ordem n. A

    inversa da matriz

    11 73 7   2 2

     é a matriz5 11 5 3

    2 2

    .

    ( ) Um restaurante típico da região do litoral oferece as seguintesentradas: casquinha de siri, panqueca de siri, ostras, saladas,caranguejo. Os pratos principais são: peixe com gengibre,indaiá, caldeirada, filé de linguado. As sobremesas disponíveissão bolinho de polvilho, bolo de pinhão, mbojape (bolo demilho), canjica, arroz doce, milho. Com toda essa variedade,um cliente pode escolher de noventa formas diferentes umaentrada, um prato principal e uma sobremesa.

    ( ) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um pescadorpesca seis garoupas, dois robalos e dez betaras, e se um peixedestes for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele não serbetara é igual à probabilidade de ele ser robalo ou garoupa.

    ( )É verdadeira a igualdade sen2 2

    .8 2

        

     

    Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cimapara baixo.(A)  V – F – V – F.(B)  V – F – F – F.(C)  V – F – V – V.(D)  F – V – F – F.(E)  F – V – V – V.RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    (Verdadeira)

    11 73 1 1 02 2

    5 11 5 3 0 1

    2 2

     

    (Falsa) 5.4.6 = 120(Verdadeira) eventos complementares.(Falsa)

    2 2

    2

    2

    cos cos sen4 8 8

    cos 1 2sen4 8

    21 2sen

    2 8

    2 2sen

    8 2

     

    97.  (Ufpr 2010) Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras(V) ou falsas (F).

    ( ) Dada a função

    1 x

    f x log , então f 2 f 3 log 6 .1 x

     

    ( ) As raízes do número complexo 2 i são

    2   3 3i são i .2 2

     

    ( ) Para que

    2n!   1

    ,2n ! 10 n deve ser igual a 4.

    ( ) É correta a igualdade 4 2 3 1 3.  

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    21

    Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cimapara baixo.(A)  F – V – F – V.(B)  V – F – F – V.(C)  V – F – V – V.(D)  V – V – V – F.(E)  F – V – F – F.RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    (Verdadeira)

       

    1

    1 2 1 3log log

    1 2 1 3

    1log log6 log6

    6

    -1 -2  l o g .l o g =  

    3 4  

    o gabarito oficial considerou esta questão como certa, mas nãoexiste logaritmo de número negativo. A passagem assinaladacontraria a definição.

    (Falsa)

    2

    3 i 3 3i

    2 2 2 

    (Falsa) Fazendo n = 4 temos 4! 1

    8! 1680

     

    (Verdadeira)

      2

    1 3 1 2 3 3 1 3 4 2 3  

    98.  (Ita 2010) A expressão (2   3 5 )5  – (2   3 5 )5 é igual a

    (A)  2630   5 .

    (B)  2690   5 .

    (C)  2712   5 .

    (D)  1584   15 .

    (E)  1604   15 .RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: Utilizando o Binômio de Newton, temos

    (a + b)5 = a

    5 + 5.a

    4.b+10.a

    3.b

    2 + 10.a

    2.b

    2 + 5.a.b

    4 + b

    (a - b)5 = a

    5 - 5.a

    4.b + 10.a

    3.b

    2 - 10.a

    2.b

    2 + 5.a.b

    4- b

    (a + b)5 - (a - b)

    5 = 10a

    4.b + 20.a

    2.b

    3 + 2b

    Logo:

    5 5

    3 54 2

    2 3 5 2 3 5

    10.(2 3) . 5 20.(2 3) . 5 2. 5

     

    5 5

    2 3 5 2 3 5 1440 5 1200 5 50 5  

    5 5

    2 3 5 2 3 5 2690 5  

    99.  (Cefet-PR) Se o termo médio do desenvolvimento de

    6

    21 aa

      é 20 ∙ 2−9

    , o valor de a será:

    (A)3

    2

    (B) 14

     

    (C)1

    (D) 3

    (E) 2RESPOSTA: BRESOLUÇÃO:

    100. (UF-CE) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x − 1) ∙ ( x + 3)

    5 é:

    (A) 30(B) 50(C) 100(D) 120(E) 180RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    101. (Mackenzie-SP) Conhecido o desenvolvimento de (1−x)n, vê-se

    que(A) 2n

    (B) 3n(C) 4n(D) 32n(E) 64nRESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    n

    0

    n

    1

    n

    2

    n

    3

    n

    n+ 2 + 4 + 8 + .... +2 é:

    n

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    22

    102. (U. E. Londrina-PR)  –  Se um dos termos do desenvolvimento do

    binômio (x + a)5, com a  IR, é 80x2, então o valor de a é:

    (A)  6(B)  5(C)  4(D)  3(E)  2RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    103. (U. Católica Dom Bosco-MS)  –  No desenvolvimento de6

    2x2x

      

       , o termo independente de x é:

    (A)  20(B)  32(C)  60

    (D)  64(E)  172RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    104. (Puccamp-SP) Os estúdios das obras de Isaac Newton julgam queele foi a inteligência suprema que a raça humana produziu.O binômio da forma (x + a)

    n é denominado, em sua homenagem,

    binômio de Newton. No desenvolvimento de (x + 2)8  segundo as

    potências decrescentes de x, o coeficiente do termo central é iguala:(A) 70(B) 120(C) 140(D) 280(E) 1120RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    105. (Unifor-CE) A soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimentode (5x

    2 − 3)

    n, n  N*, é 64. Se o desenvolvimento foi feito segundo

    as potências decrescentes de x, coeficiente do termo em x6 é:

    (A) 84375(B) 67500(C) − 43200(D) − 67500(E) − 84375RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    106. (Unifor-CE) Relativamente ao desenvolvimento de

    , segundo as potências decrescentes de x, é

    verdade que:(A) a soma dos coeficientes é igual a 220

    .(B) o coeficiente do termo central é igual a − 210. (C) o termo central é independente de x.(D) o número de parcelas é igual a 21.(E) o termo independente de x é igual a 252.RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    107. (Católica de Salvador-BA) No desenvolvimento do binômio8

    2

    x

    1x2  

     

      

      , segundo potências decrescentes de x, o 50  termo

    é:(A)  1(B)  448x3 

    (C)  1120x

    4

     (D)  1440x5 

    (E)  1 792x6 RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

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    23

    108.  (PUC-RJ) O coeficiente de a13 no desenvolvimento do binômio (a +2)

    15 é:

    (A)  105(B)  210(C)  360(D)  420(E)  480

    RESPOSTA: DRESOLUÇÃO

    109. (Uscal-BA) O 5º termo do desenvolvimento do binômio ,

    segundo as potências crescentes de x, é 70x4. Nessas condições,

    a soma é igual a:(A) 84(B) 210(C) 252(D) 386(E) 462RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    110. Sejam  e  números reais. Suponha que ao desenvolvermos

    (x + y)5, os coeficientes dos monômios x4y e x3y3 sejam iguais a240 e 720, respectivamente. Nestas condições, assinale a opção

    que contém o valor de

      .

    (A)1

    (B)3

    2

     

    (C)1

    (D) 3

    (E) 2

    RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    111. (Unicentro) O termo independente de x no desenvolvimento do

    binômio é:

    (A)1

    3 x2

    (B) 9(C) 15(D) 81(E) x

    RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    112. (UFPA) No binômio , a soma dos coeficientes

    binomiais do segundo e do terceiro termo é igual a 36, e o terceirotermo é sete vezes maior que o segundo; então o valor

  • 8/20/2019 Gabarito Prevestibular Gabarito Comentado Livro 7 Mt 2013

    24/50

     

    24

    de x +1

    3  é:

    (A) 10

    3

     

    (B) 5

    3

     

    (C) 3

    5  

    (D) 3

    10

     

    (E) 1

    3

     

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    113. (ITA-SP) Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes dopolinômio em x  e y , obtido pelo desenvolvimento do binômio(x + y)

    m, temos que o número de arranjos sem repetição de m

    elementos, tomando 2 a 2, é:(A) 80(B) 90(C) 70(D) 100(E) 60RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    114. (Uftm 2012) Os seis números naturais positivos marcados nasfaces de um dado são tais que:I.  não existem faces com números repetidos;II.  a soma dos números em faces opostas é sempre 20;III.  existem 4 faces com números ímpares e 2 faces com

    números pares.

    O total de conjuntos distintos com os seis números que podemcompor as faces de um dado como o descrito é(A)  20.(B)  28.

    (C)  36.(D)  38.(E)  40.RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    De acordo com as informações, temos que os números que irãofigurar nas faces opostas do dado constituem os seguintes pares:

    (1,19), (2,18), (3,17), (4,16), (5,15), (6,14), (7,13), (8,12)

     e (9,11).  

    Assim, para compor o dado, temos

     

    5   5!10

    2 2! 3!  modos

    de escolher dois pares com números ímpares e 4 maneiras deselecionar o outro par. Portanto, o resultado pedido é

    10 4 40.  

    115. (Enem 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cincoclientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajetopossível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Porexemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A,visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para acidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa ocusto do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custode deslocamento entre cada uma das cidades.

    Como João quer economizar, ele precisa determinar qual otrajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.Examinando a figura, percebe que precisa considerar somenteparte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm omesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência edescartar sua simétrica, conforme apresentado.

    O tempo mínimo necessário para João verificar todas assequências possíveis no problema é de

    (A)  60 min.(B)  90 min.(C)  120 min.

    (D)  180 min.(E)  360 min.RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades.Desconsiderando as simétricas, termos 60 sequências para visitar,logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos.

    116. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio defutebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido daseguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor oGrupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o

    primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria otime visitante.

  • 8/20/2019 Gabarito Prevestibular Gabarito Comentado Livro 7 Mt 2013

    25/50

     

    25

    A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a

    quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura

    podem ser calculadas através de

    (A)  uma combinação e um arranjo, respectivamente.(B)  um arranjo e uma combinação, respectivamente.(C)  um arranjo e uma permutação, respectivamente.(D)  duas combinações.(E)  dois arranjos.

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nosleva a pensar numa combinação.

    Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso,então temos um arranjo.

    Logo a alternativa A é a correta.

    117. (Enem 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolosno qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos emforma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relaçãoaos demais.

    Por exemplo, a letra A é representada por

    O número total de caracteres que podem ser representadosno sistema Braile é

    (A)  12.(B)  31.(C)  36.(D)  63.

    (E)  720.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais.Logo, pelo Princípio Fundamental da contagem, há

    2 2 2 2 2 2 64  conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos pontosse destaca em relação aos demais. Portanto, o número total decaracteres que podem ser representados no sistema Braile é

    64 1 63.  

    118. (Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmospeças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas comareia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão desejafazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela,mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem(casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

    O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa,

    nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou

    verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da

    palmeira, por uma questão de contraste, então o número devariações que podem ser obtidas para a paisagem é

    (A)  6.(B)  7.(C)  8.

    (D)  9.(E)  10.RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    Se o fundo for azul, teremos 2   escolhas para a casa e 2  

    escolhas para a palmeira. Se o fundo for cinza, teremos 3  

    escolhas para a casa e 1  escolha para a palmeira.

    Portanto, existem 2 2 3 1 7  variações possíveis.

    119. (Enem 2002) O código de barras, contido na maior parte dosprodutos industrializados, consiste num conjunto de várias barrasque podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando umleitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara

    é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1.Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em umsistema de código com 20 barras.

    Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler:

    01011010111010110001

    Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler:

    10001101011101011010

    No sistema de código de barras, para se organizar o processo de

    leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que

    alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual

    à da direita para a esquerda, como o código00000000111100000000, no sistema descrito acima.

    Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a

    quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita

    igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas asbarras claras ou todas as escuras, é

    (A)  14.(B)  12.(C)  8.

    (D)  6.(E)  4.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: 

    120. (Epcar (Afa) 2013-MODIFICADA) Num acampamento militar,serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10

    soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneiraque fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barracaIII.

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    Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO  deveficar na barraca III, então o número de maneiras distintas dedistribuí-los é igual a(A)  560(B)  1120(C)  1680(D)  2240(E)  2680RESPOSTA: BRESOLUAÇÃO: 1º caso: Soldados A e B na barraca IBarraca I: C8,2 = 28Barraca II: C6,3 = 20Barraca III: C3,3 = 1Total(1) = 28 20 1 = 560.2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

     

    Barraca I: C8,3 = 56Baraca II CC5,2 =10Barraca III: C3,3 = 1Total(2) = 56 10 1 = 560.Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a560 + 560 = 1120.

    121. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango,chocolate, creme e flocos.De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duasbolas nessa sorveteria?(A)  10 maneiras(B)  9 maneiras(C)  8 maneiras(D)  7 maneiras(E)  6 maneirasRESPOSTA: ARESOLUÇÃO: O número de maneiras que podemos montar uma casquinha comduas bolas corresponde ao número de combinações completasde 4 sabores tomados 2 a 2, isto é,

     

    2 24 4 2 1

    5   5! 5 4CR C 10.

    2   2! 3! 2 

    122. (Fuvest 2013) Vinte times de futebol disputam a Série A doCampeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time jogaduas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagemde jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é(A)  menor que 7%.(B)  maior que 7%, mas menor que 10%.(C)  maior que 10%, mas menor que 13%.(D)  maior que 13%, mas menor que 16%.

    (E)  maior que 16%.RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: O número total de jogos disputados é dado por

    20, 220!

     A 20 19 380.18!

     

    Logo, como o número de jogos nos quais os dois oponentes sãopaulistas é

    6, 26!

     A 6 5 30,4!

     

    segue que a porcentagem pedida é igual a

    30

    100% 7,9%.380

     

    123. (Upe 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantare sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, comomostra a figura a seguir:

    Dentre todas as configurações possíveis, quantas são aspossibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficaremsentados em frente um do outro?(A)  1 440(B)  1 920(C)  2 016(D)  4 032

    (E)  5 760RESPOSTA: ERESOLUÇÃO: 

    Existem 4   escolhas para os acentos em que sentarão Amaro eDanilo. Definidos os assentos que eles ocuparão, ainda podemos

    permutá-los de 2  maneiras. Além disso, as outras seis pessoas

    podem ser dispostas de 6!  maneiras.Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que oresultado pedido é

    4 2 6! 5.760.  

    124. (Upe 2013) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante

    tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seuscalçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 paresde sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavamdispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatropares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados foremorganizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devamocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formasdiferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras?(A)  6!(B)  2 . 6!(C)  4 . 6!(D)  6 . 6!(E)  8!

    RESPOSTA: BRESOLUÇÃO: 

    Podemos organizar as sandálias de 2!   formas diferentes, e os

    sapatos podem ser dispostos de 6!   modos. Portanto, peloPrincípio Fundamental da Contagem, os calçados podem ser

    organizados de 2! 6! 2 6!  formas distintas.

    125. (Uel 2013) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartõesnos caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica compostapor cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança dautilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes quecadastrassem senhas numéricas com seis algarismos.Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas,

    em quanto aumentou percentualmente a segurança na utilizaçãodos cartões?(A)  10%(B)  90%(C)  100%

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    27

    (D)  900%(E)  1900%RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    O número de senhas com 5 algarismos é510   e o número de

    senhas com 6 algarismos é610 .   Desse modo, o aumento

    percentual da segurança foi de

    6 5 5

    5 5

    10 10 10 (10 1)100% 100%

    10 10

    900%.

     

    MATEMÁTICA III

    126. A área da superfície de uma esfera inscrita num tetraedro regularde aresta a é igual a:

    (A) 

      2a6  

    (B)    2a4

     

    (C)    2a2

     

    (D)    2a  

    (E)    24 a  RESPOSTA: ARESOLUÇÃO

    127. A razão entre o volume de uma esfera e o volume do octaedroregular inscrito nessa esfera é igual a:

    (A) 4

    (B) 

    (C) 3

    (D)  (E) 4RESPOSTA: DRESOLUÇÃO

    128. (PUC) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema decoordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2,8), B = (4,8),C = (4,0) e D= (2,0).

    Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas,obtém-se um sólido de revolução cujo volume é:(A) 24 (B) 32 (C) 36 (D) 48 (E) 96RESPOSTA: ERESOLUÇÃO

    129. Considere o triângulo ABC representado na figura abaixo, no qualBC = 6 + 63 cm.

    Por uma rotação de 360° em torno do lado BC, obtém-se umsólido que servirá de modelo para a construção de um balão. Ovolume desse modelo, em centímetros cúbicos, será:

    (A) (3 + 3) × 72 (B) (3 + 1) × 72 

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    28

    (C) (3 + 3) × 36 (D) (3 + 1) × 36 (E) (3 + 3) × 24 RESPOSTA: BRESOLUÇÃO

    130. Na figura, os triângulos retângulos. DABC e DCDE, são isósceles;AC = 3 e CD = 1. A medida do volume do sólido gerado pelarotação do trapézio ABED, em torno do lado BC, é:

    (A)26

    (B)24

    (C) 22

    (D) 21

    (E) 22

    RESPOSTA: ARESOLUÇÃO:

    131. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de

    comprimento 2 R e lado AB de comprimento 2R. O volume dosólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que

    passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:

    (A)

    2R

    (B) R3 

    (C)4

    3R

    (D) 2R3 (E) 3 R3 RESPOSTA: C

    RESOLUÇÃO

    132. (Ita 2010) Um cilindro reto de altura6

    3 cm esta inscrito num

    tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro.Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, emcm

    3, e igual a

    (A) 

    3.

    4

    π

     

    (B) 

    3.

    6

    π

     

    (C) 

    6 .6

    π

     

    (D) 

    6.

    9

    π

     

    (E) .

    3

    π

     RESPOSTA: DRESOLUÇÃO:

    2 6

    C'D' 3 C'D' 23

    6

     

    Raio da circunferência inscrita no triângulo B’C’D’ 

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    29

    R =1 2 3 3

    .3 2 3

     

    Volume do cilindro =

    2

    33 6 6. . cm3 3 9

     

     

    133. (Uerj 2010-MODIFICADA) Uma embalagem em forma de prismaoctogonal regular contém uma  pizza circular que tangencia asfaces do prisma.

    Desprezando a espessura da  pizza e do material usado naembalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida daaresta da base do prisma é igual a:

    (A)  2 2  

    (B) 

    3 2

    4  

    (C) 

    2 1

    2

     

    (D)  2 2 1

     (E)  3

    RESPOSTA: CRESOLUÇÃO: 

    Sejam O, A   e M,  respectivamente, o centro da pizza, um vértice

    do prisma e o ponto médio de uma das arestas adjacentes aovértice A.

    Queremos calcular

    OM.

    2 MA 

    180ˆMOA 22 30'.

    2

    ˆtgMOA tg22 30'

    1 cos45

    1 cos45

    21

    2 2 (2 2 ) 2 22 2 1.22 2 2 2

    12

     

    MA MAˆtgMOA 2 1

    OM OM

    OM 1 2 12 1.

    MA   2 1 2 1

     

    Portanto,

    OM 1 OM 2 1.

    2 22MA MA 

    134. (Cesgranrio 2011) Um circuito é composto por uma bateria, cujadiferença de potencial elétrico (d.d.p.) vale V,   além de duas

    lâmpadas idênticas e duas chaves (interruptores). Todos oscomponentes do circuito estão em perfeito funcionamento. A

    probabilidade de que a chave 1C   esteja aberta é de 60%.   A

    probabilidade de que a chave 2C  esteja aberta é de 40%.  

    Qual a probabilidade de que pelo menos uma das duas lâmpadasesteja apagada?(A)  76%(B)  60%(C)  52%(D)  40%(E)  24%RESPOSTA: ARESOLUÇÃO: 

    Se a chave 1C   estiver aberta, ambas as lâmpadas ficarãoapagadas, independentemente do estado da chave 2C .  Por outro

    lado, se a chave 1C   estiver fechada e a 2C   estiver aberta, a

    lâmpada 2L  ficará apagada.

    Portanto, a probabilidade pedida é dada por:

    0,6 (1 0,6) 0,4 0,76 76%.  

    135. (Ufrgs 2012) Para a disputa da Copa do Mundo de 2014, as 32seleções que se classificarem serão divididas em 8 grupos, os quaisserão constituídos de 4 seleções cada um. Nos jogos da primeirafase, cada seleção jogará com todas as outras seleções do seugrupo. Uma empresa adquiriu um ingresso para cada jogo da

    primeira fase do mesmo grupo. Ao sortear dois ingressos entreseus funcionários, a probabilidade de que esses ingressosenvolvam uma mesma seleção é(A)  20%.(B)  25%.

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    30

    (C)  50%.(D)  80%.(E)  85%.RESPOSTA: DRESOLUÇÃO: Suponha que o grupo (01) seja formado pelas equipes A, B, C e D:Jogos que ocorrerão: AxB; AxC; AxD; BxC;BxD; CxD (6 jogos).Portanto:Primeiro sorteio: Qualquer jogo pode ocorrer.Segundo sorteio: Se foi sorteado no primeiro momento um jogocom a equipe A, o próximo sorteio deverá ser AxC; AxD; BxC;BxD,que satisfazem o enunciado.Logo:

    P(envolvam uma mesma seleção)

    48 40,80 80%.

    48 5

     

    136. (Unesp 2012) O mercado automobilístico brasileiro possui váriasmarcas de automóveis disponíveis  aos consumidores. Para cincodessas marcas (A, B, C, D e E), a matriz fornece a probabilidade deum proprietário de um carro de marca da linha i trocar para o

    carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo.Os termos da diagonal principal dessa matriz fornecem a