Gabaritos das provas

Click here to load reader

  • date post

    07-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    249
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Gabaritos das provas

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DEJANEIRO

    Departamento de Cincia da ComputaoUFRJ

    21 de julho de 2016

    Nmeros inteiros e criptografia

    S. C. Coutinho

    Provas e gabaritos

    At a pgina 25 voc encontrar as provas do curso de lgebra para a informticaqueera basicamente uma verso anterior do mesmo curso.

    Lembre-se: Nas provas no so aceitas respostas sem justificativa. Voc deve saberexplicar tudo o que fizer.

    1

  • Prova 1: segundo semestre de 1995

    1a Questo. Determine:

    1. o mximo divisor comum d de a = 272828282 e b = 3242 e inteiros e tais quea+ b = d.

    2. um fator de 6883901 pelo algoritmo de Fermat.

    3. um fator primo de 23965157 1.

    4. as solues de x2 7 (mod 43).

    5. o resto da diviso de 3950! por 2251.

    6. uma seqncia de 5646345 inteiros consecutivos que sejam todos compostos.

    2a Questo. Chamamos de hexagonais os nmeros definidos pela frmula hn = 1 +3n(n 1) para n = 1, 2, . . . . O nome vem do fato de que estes nmeros podem serdispostos em hexgonos regulares concntricos.

    1. Calcule a soma dos n primeiros nmeros hexagonais quando n = 1, 2, 3 , 5, 6 e7. Use estes dados numricos para advinhar a frmula da soma dos n primeirosnmeros hexagonais.

    2. Prove a frmula obtida no item anterior usando o mtodo de induo finita.

    Page 2

  • Prova 2: segundo semestre de 1995

    1a Questo. Determine:

    1. Um fator primo de M(37).

    2. Dois inteiros positivos que sejam soluo de (n) = 136.

    2a Questo. Verifique se 703 :

    1. um nmero de Carmichael;

    2. um pseudoprimo forte para a base 7.

    3. um pseudoprimo para a base 7;

    3a Questo. Trs satlites passaro sobre o Rio esta noite. O primeiro passar 1 horada madrugada, o segundo s 4 horas e o terceiro s 8 horas da manh. Cada satlite temum perodo diferente. O primeiro leva 13 horas para completar uma volta em torno daTerra, o segundo leva 15 horas e o terceiro 19 horas. Determine quantas horas tero quese passar, a partir da meia-noite, at que os trs satlites passem ao mesmo tempo sobreo Rio.

    4a Questo. Seja G um grupo finito provido de uma operao ?. Suponha que um primop divide a ordem de G e considere o subconjunto Hp de G formado pelo elemento neutroe pelos elementos de ordem p contidos em G.

    1. Mostre que se G abeliano ento Hp um subgrupo de G.

    2. Determine H3 quando G = U(28).

    3. D um exemplo de um grupo no abeliano G para o qual H2 no um subgrupode G.

    Page 3

  • Prova Final: segundo semestre de 1995

    1a Questo. Determine:

    1. O resto da diviso de 278654 por 137.

    2. O menor inteiro positivo que deixa resto 2 na diviso por 5, resto 4 na diviso por7 e resto 5 na diviso por 11.

    3. As solues da equao (n) = 22.

    4. O inverso de 137 mdulo 2887.

    5. Todas as solues da equao 8x 9 (mod 37).

    6. Se 825265 um nmero de Carmichael.

    2a Questo. O objetivo desta questo mostrar que os grupos U(3n) so sempre cclicos.

    1. Mostre que 2 um gerador de U(9).

    2. Prove por induo em n que se n 2, ento 23n2 3n1 1 (mod 3n).

    3. Mostre, usando (2), que U(3n) gerado por 2.

    Page 4

  • Prova 1: primeiro semestre de 1996

    1. Determine:

    1. Um mltiplo de 330 e um mltiplo de 240 cuja soma seja 210.

    2. Um fator primo de 21067 1.

    3. Um fator de 13886959 pelo mtodo de Fermat.

    4. todos os possveis algarismos x e y de modo que o nmero cuja representao nabase 10 yx5y seja divisvel por 7.

    5. o resto da diviso de 310342 por 1033.

    6. O maior nmero possvel de fatores primos de um inteiro n que no tem nenhumfator n1/3.

    2. O objetivo desta questo obter e provar uma frmula para a soma dos cubos dos nprimeiros inteiros positivos. Seja, ento,

    Sn = 13 + 23 + 33 + + n3.

    1. Tabele os valores de Sn para n de 1 a 6 e compare-os com os valores cor-respondentespara a soma dos n primeiros inteiros positivos. Use isto para advinhar qual deveser a frmula para Sn.

    2. Prove a frmula obtida em (1) por induo finita.

    Page 5

  • Prova 2: primeiro semestre de 1996

    1. Seja n = 15841.

    1. Verifique se n um nmero de Carmichael.

    2. Calcule o resto da diviso de 2495 por n pelo teorema chins do resto.

    3. Determine se n um pseudoprimo forte para a base 2.

    2. Em seu primeiro contato com um planeta com que a Federao deseja estabelecerrelaes diplomticas, os oficiais da Enterprise foram convidados para um banquete.Infelizmente h um grupo dissidente no planeta que deseja apoiar os Klingons e no aFederao. Um espio desta faco instrudo a envenenar um dos oficiais da Enterprise.O traidor descoberto, mas foge a tempo. Em seu alojamento encontrada a mensagemcodificada 24511830 que contm o nome do oficial envenado e um pedao de papel comos nmeros 5893 e 3827, usados na codificao. Como o veneno seu prprio antdoto preciso saber exatamente quem foi envenenado. Trabalhando contra o tempo, Spockverificou que se tratava de um cdigo primitivo, utilizado na terra no sculo XX, quandoera conhecido por RSA. Quem foi o oficial envenenado?Lembretes: no RSA n > (n) > e. A correspondncia entre letras e nmeros

    A B C D E F G H I J K L M10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

    N O P Q R S T U V W X Y Z23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

    3. Determine os subgrupos de ordem 4 de U(21). Indique quais so cclicos e quais noso.

    4. Seja p 6= 2 um nmero primo e n = 10p 1. Seja q > 3 um fator primo de n.

    1. Calcule a ordem de 10 em U(q).

    2. Mostre que q tem que ser da forma q = 2pk + 1 onde k 1 um inteiro.

    3. Use a frmula de (2) para achar todos os fatores primos de

    11111 = (105 1)/9.

    Page 6

  • Prova Final: primeiro semestre de 1996

    1. Determine:.

    1. se 41041 nmero de Carmichael;

    2. o resto da diviso de 241045 por 41041;

    3. um fator primo de 222121 1;

    4. um fator de 2234047 pelo algoritmo de Fermat;

    5. o mximo divisor comum entre 200! e 283 1.

    6. duas solues da equao (n) = 30.

    2. Verifique se cada uma das afirmaes abaixo verdadeira ou falsa. Justifique cuida-dosamente suas respostas.

    1. Se p > 31 primo mpar e n = 2p+ 1 satisfaz 5p 1 (mod n) ento n primo.

    2. Existem inteiros x e y tais que x2 7y2 = 3.

    3. Se juntarmos aos elementos de ordem 2 deD4 o elemento neutro temos um subgrupode D4.

    4. Qualquer que seja n 1 inteiro, o nmero 424n+1 + 32(18n2+1) divisvel por 13.

    Page 7

  • Prova 1: segundo semestre de 1996

    1. Determine:

    1. Inteiros x e y que satisfaam a equao 12435x+ 798y = 3.

    2. A maior potncia de 2 que divide 3p 1, onde p um nmero primo. De quemaneira o resultado depende do primo p?

    3. Um fator de 1341671 pelo mtodo de Fermat.

    4. Infinitos inteiros positivos n1, n2, . . . tais que 8n2i + 1 um nmero composto.

    5. O resto da diviso de 1p1 + 2p1 + + (p 1)p1 por p, sabendo-se apenas quep > 2 primo. Verifique que o resultado que voc obteve se aplica a qualquer primop > 2.

    2. Considere o produto

    An =

    (1 +

    1

    1

    )(1 +

    1

    2

    )(1 +

    1

    3

    ) (1 +

    1

    n

    ).

    Tabele os valores de An para n = 1, . . . , 5. Use estes valores para advinhar uma frmulasimples para o produto. Prove que a sua frmula verdadeira para qualquer n usandoinduo finita.

    Page 8

  • Prova 2: segundo semestre de 1996

    1a Questo. Determine:

    1. se 2465 um nmero de Carmichael;

    2. o resto da diviso de 277 por 2465, usando o teorema chins do resto;

    3. se 2465 um pseudoprimo forte para a base 2;

    4. duas solues de (n) = 216;

    5. um fator primo de M(179);

    6. a fatorao de 13281841, sabendo-se que tem apenas dois fatores primos distintos,cada um dos quais tem multiplicidade 1, e que (13281841) = 13274212.

    3. O objetivo desta questo mostrar que se n = pq, onde p e q so primos mparesdistintos, ento U(n) no um grupo cclico.

    1. Mostre que se a um inteiro e mdc(a, n) = 1, ento

    a(n)/2 1 (mod p),

    e que a mesma congruncia vale mdulo q.

    2. Mostre, usando (1), que se mdc(a, n) = 1, ento

    a(n)/2 1 (mod n).

    3. Qual a maior ordem possvel de um elemento de U(n)?

    4. Use (3) para mostrar que U(n) no pode ser cclico.

    Page 9

  • Prova Final: segundo semestre de 1996

    1a Questo. Determine:

    1. mltiplos de 3736489 e 393307 cuja soma seja 3.

    2. o resto da diviso de 3267! por F (4) = 224 + 1.

    3. a soluo geral do sistema x 1 (mod 3), x 2 (mod 11) e x 3 (mod 13).

    4. a maior potncia de 2 que divide 3n + 1, onde n um inteiro positivo. Expliquecomo a resposta vai depender de n, justificando cuidadosamente seu argumento.

    5. um fator primo de 283 1.

    6. um fator de 970171 pelo mtodo de Fermat.

    2a Questo. Seja p > 11 um nmero primo. Determine se cada uma das afirmaesabaixo verdadeira ou falsa, justificando cuidadosamente suas respostas.

    1. Se 2p+ 1 composto, ento existe apenas um inteiro positivo tal que (n) = 2p.

    2. Se a U(2p) tem ordem (p 1)/2, ento a um gerador de U(2p).

    3. O menor divisor primo de p! + 1 maior que p.

    4. Se p > 11 e 32p 1 (mod 2p+ 1) ento 2p+ 1 primo.

    Page 10

  • Prova 1: primeiro semestre de 1997

    1. Determine:

    1. Inteiros x e y que satisfaam a equao 54317x+ 1145y = 2.

    2. O resto da diviso de 2p! 1 por 2p+1 1, sabendo-se que p um nmero primo.De que maneira o resto depende de p?

    3. Um fator de 1382963 pelo mtodo de Fermat.

    4. O resto da diviso de 2130 por 263.

    5. Todos os primos positivos p para os quais a equao

    2x+ xp + xp! 1 (mod p)

    tem soluo x 6 0 (mod p).

    2. Seja F (k) = 22k + 1 e chame de pk o menor fator primo de F (k).

    1. Mostre por