Contagem

George Darmiton da Cunha CavalcantiCIn - UFPE

Sumário

• Princípios Básicos de Contagem – A Regra do Produto– A Regra da Soma– O número de subconjuntos de um conjunto finito

• Princípio da Inclusão-Exclusão• Princípio da Casa do Pombo

A Regra do Produto

• Suponha que um procedimento pode ser quebrado em uma seqüência que duas tarefas.

• Se existem n1 maneiras de fazer a primeira tarefa e n2 maneiras de fazer a segunda tarefa após a finalização da primeira

• Então existem n1n2 maneiras de realizar o procedimento.

Exemplo

• As cadeiras de uma auditório serão rotuladas com uma letra e um inteiro positivo menor ou igual a 100.

• Qual é o maior número de cadeiras que podem ser rotuladas de maneira diferente?

Exemplo

• Quantos números binários diferentes pode-se ter com comprimento igual a 7?

Exemplo

• Quantas placas de carros diferentes pode-se ter se cada uma delas contém uma seqüência de três letras seguidas de quatro dígitos?

Exemplo

• Contando funções

– Quantas funções existem de um conjunto de melementos para um conjunto com n elementos?

– Quantas funções injetoras (one-to-one) existem de um conjunto de m elementos para um conjunto com n elementos?

Exemplo

O número de subconjuntos de um conjunto finito

– Use a regra do produto para mostrar que o número de diferentes subconjuntos de um conjunto finito S é igual a 2|S|.

– Existe uma correspondência um-para-um (uma bijeção) entre os subconjuntos de S e uma string de bits de tamanho |S|.

– Um subconjunto de S é associado a uma string com valor 1 na i-ésima posição se o i-ésimo elemento na lista encontra-se no subconjunto; e 0 caso contrário.

A Regra da Soma

• Se uma primeira tarefa pode ser realizada de n1 maneiras e a segunda tarefa pode ser realizada de n2 maneiras

• E essas tarefas não podem ser realizadas ao mesmo tempo

• Então, existem n1+n2 maneiras de realizar uma dessas tarefas.

Exemplo

• Suponha que um dos professores ou um dos alunos será escolhido como um representante de um comitê universitário.

• De quantas maneiras é possível selecionar um representante sabendo que são 37 professores e 83 alunos?

Exemplo

• Um estudante pode escolher um projeto de uma de três listas existentes.

• Cada uma das listas contém 23, 15 e 19 possíveis projetos, respectivamente.

• Qual a quantidade de possíveis escolhas de projetos?

Exemplo

• Em uma versão da linguagem BASIC, o nome de uma variável é uma string com um ou dois caracteres alfanuméricos, sabendo que caracteres maiúsculos e minúsculos não são distinguidos.

• O nome da variável deve começar por uma letra e deve ser diferente de cinco strings com dois caracteres que são palavras reservadas da linguagem.

• Quantos nomes diferentes de variáveis podem ser criados nessa versão de BASIC?

Exemplo

• Cada usuário em um sistema computacional possui uma senha de tamanho 6, 7 ou 8 caracteres.

• Cada caractere é uma letra maiúscula ou um dígito. Cada senha deve conter pelo menos um dígito.

• Quantas senhas são possíveis nesse sistema?

Princípio da Inclusão-Exclusão

• Em uma sala de aula temos 90 estudantes e 70 solteiros.

• Quantos estudantes solteiros existem nessa sala de aula?

• Sem o auxílio de mais informações não é possível responder essa pergunta.

Exemplo

• Uma classe de matemática discreta tem 25 estudantes de computação, 13 estudantes de matemática e 8 estudantes de matemática e computação.

• A classe possui quantos estudantes?

|A∪B| = |A| + |B| – |A∩B|= 25 + 13 – 8= 30

Exemplo

• Quantos inteiros positivos menor ou igual a 1000 são divisíveis por 7ou 11?

A – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 11A∩B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7 e 11A∪B – conjuntos dos inteiros ≤1000 divisíveis por 7 ou 11

Exemplo

• Suponha que existam 1807 calouros na faculdade. Do total, 453 são de computação, 567 de matemática e 299 estão fazendo dois cursos, matemática e computação.

• Quantos não estão fazendo nem computação nem matemática?

A – conjuntos dos calouros de computaçãoB – conjuntos dos calouros de matemáticaA∩B – conjuntos dos calouros que fazem matemática e computaçãoA∪B – conjuntos dos calouros que fazem matemática ou computação

A∪B = A + B – A∩B= 453 + 567 – 299 = 721

1807 – 721 = 1086 calouros não fazem nem computação nem matemática

Exemplo

1232 estudantes fazem curso de espanhol, 879 francês, 114 russo.103 fazem espanhol e francês, 23 espanhol e russo e 14 francês e russo.2092 estudantes fazem pelo menos um curso de espanhol, francês ou russo.Quantos estudantes fazem os três cursos?

|E| = 1232 – espanhol |F| = 879 – francês |R| = 114 – russo|E∩F| = 103 |E∩R| = 23 |F∩R| = 14|E∪F∪R| = 2092

|E∪F∪R| = |E| + |F| + |R| – |E∩F| – |E∩R| – |F∩R| + |E∩F∩R|

2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 + |E∩F∩R||E∩F∩R| = 7

Princípio da Inclusão-Exclusão

Teorema

Princípio da Casa do Pombo

Teorema: Princípio da Casa do Pombo

Se k+1 ou mais objetos são colocados em kcaixas, então existe pelo menos uma caixa que contém dois ou mais objetos.

Princípio da Casa do Pombo

Existem mais pombos do que casas de pombo.

Exemplo

• Dentre um grupo de 367 pessoas, deve existir pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário.

• Pois têm-se apenas 366 possíveis dias de nascimento.

Exemplo

• Em um grupo com 27 palavras em inglês, deve existir pelo menos duas que começam com a mesma letra.

• Uma vez que existem 26 letras no alfabeto da língua inglesa.

Exemplo

Quantos estudantes devem existir em uma sala de aula para garantir que pelo menos dois estudantes irão receber a mesma nota em uma prova cuja pontuação varia de 0 a 100?

101 pontuações possíveis102 estudantes são necessários para que pelo menos 2 tenham a mesma nota.

Princípio da Casa do Pombo Generalizado

Teorema: Princípio da Casa do Pombo Generalizado

Exemplo

Entre 100 pessoas existem pelo menos �100/12�=9 quem nasceram no mesmo mês.

Exemplo

Qual é o número mínimo de estudantes em uma classe de matemática discreta de forma que pelo menos seis receberão a mesma pontuação?Adote que existem cinco pontuações: A, B, C, D e F.

O número mínimo de estudantes é o menor inteiro N de forma que �N/5�=6.Assim, N = 5×5+1=26.