Projecções Cartográficas

João MatosDepartamento de Engenharia Civil e Arquitectura

(Versão 2.1) – 7 Março 2007

Motivação

Embora seja actualmente possível realizar cálculos sobre umasuperfície elipsoidal, e até mesmo a sua representação paravisualização, é mais prática a utilização de representações planasda superfície terrestre e das características geográficas sobre eladistribuídas.

A uma projecção cartográfica corresponde um sistema de coordenadas no plano cartográfico.

O mais antigo mapa conhecidoBabilónia (700-500 ac)

Cláudio Ptolomeu(87-150)

Ptolomeu é considerado o primeiro cartógrafo moderno. Activo no século II, compila um mapa com mais de 8000 nomes de locais em função da latitude e da longitude. Os erros cometidos, principalmente na medição de longitude, deram origem a erros de escala que reduziram a dimensãoda Terra a cerca de ¾ da dimensão real. O seu mapa foi utilizado até ao início da época dos descobrimentos e o problema da dimensão da Terra terá induzido Colombo a fazer a viagem para o Oriente dirigindo-se para Ocidente.

Mapa de Hereford (se. XIII)

Mapa do tipo T em O, preenchidoprincipalmente com referências bíblicase outras referências mitológicas

ÁSIA

EUROPA ÁFRICA

Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569)

Gerardus Mercator e Pedro Nunes

Projecção Cartográfica

Uma projecção cartográfica é uma função que transformacoordenadas geodésicas elipsoidais em coordenadas cartográficas

Deformação

O elipsóide, assim como a esfera, não é uma superfície planificável. De um modo simplificado, pode dizer-se que o princípio genérico de uma projecção cartográfica é a aplicação do elipsóide (ou da esfera) numa superfície plana ou planificável (cilindro e cone).

A projecção implica necessariamente a existência de deformação da geometria. Os valores de ângulos, distâncias e áreas surgem alterados relativamente aos valores correspondentes no elipsóide.

As deformações têm valores que podem ser calculados, não se tratam de erros, e por uma adequadaescolha da função de projecção e dos respectivos parâmetros é possível manter os valores de deformação dentro de limites toleráveis.

As projecções cartográficas classificam-se em conformes (quando preservam os ângulos de figurasinfinitesimais), equivalentes (quando preservam as áreas de figuras infinitesimais) e equidistantes(quando preservam as distâncias a um ponto).

Projecções da Esfera

, R = ) - ( R = P , R = ) - ( R = M 00 ϕϕϕλλλ ΔΔ

onde R é o raio da esfera e (ϕ0,λ0) são as coordenadas do ponto central.

. RP + = ,

RM + = 00 ϕϕλλ

Inversa da Projecção de Eratóstenes

Projecção de Eratóstenes

Projecções Gnomónica, Estereográficae Ortográfica

Gnomónica

Estereográfica

Ortográfica

, Cos Cos Cos + Sen Sen = C, ) Cos Cos Sen - Sen Cos ( R = B

, Sen Cos R =A

00

00

λϕϕϕϕλϕϕϕϕ

λϕ

Δ

ΔΔ

, CB = P ,

CA = M Gnomónica

, C + 1

B 2 = P , C + 1

A 2 = M

B = P ,A = M

Estereográfica

Ortográfica

Projecção de Mercator

Projecções do Elipsóide

Dado um ponto central (fo, lo), o ponto de coordenadas geodésicas (f, l) é transformado pela projecção de Bonne no ponto de coordenadas cartográficas:

),(cos)()(sen)(

ϕθϕββϕθϕβ

−==

oPM

,)(

))(()(

;)()()(;)cotg()(

0

00

000

ϕβλλϕ

ϕθ

ϕσϕσβϕβϕϕβ

−=

−+==

p

M

R

R

sendo s(f), RM(f), e Rp(f) respectivamente o comprimento do arco de meridiano do equador até à latitude , o raio de curvatura do meridiano e o raio de curvatura do paralelo.

em que

A projecção de Bonne é uma projecção pseudo cónica equivalente.

[

] ,...)cos

coscos1(cossen2

66

6

44

4

22

22

0

20160

36012

++

++++=

k

kkRkP N

ϕλ

ϕλϕλϕϕλσ

...),coscoscos1(cos 56

6

34

4

12

2

0 50401206++++= kkkRkM N ϕλϕλϕλϕλ

( )

( ) ( )

( )

.tgtg543tg31111385

,tgtg179tg47961

,tgtg2tg321

tg6128tg2411

,9tgtg40tg5814

,tg4

,tg

6426

6425

422

2

322

4

4

42

223

22

2

21

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

−+−=

−+−=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−=

k

k

RR

RR

RR

RR

k

RR

RR

k

RR

RR

k

RR

k

M

N

M

N

M

N

M

N

M

N

M

N

M

N

M

N

M

N

Dado um ponto central (fo, lo), o ponto de coordenadas geodésicas (f, l) é transformado pela projecção de Gauss-Kruger no ponto de coordenadas cartográficas:

Polo NortePolo Norte

EquadorEquador

MM

PP

Ponto CentralPonto Central

PROJECÇÃO CARTOGRÁFICA

coord. cartográficas

coord. geodésicas

Projecções Cartográficas em Portugal

Projecção Gauss-Kruger sobre datum 73 com falsa origemDX=180,598m ; DY=-86,990

Ponto CentralLatitude: 39º 40’Longitude: 1º Leste do Castelo de S. Jorge (correspondia a -8º 7’ 54,862”)

Projecção Gauss-Kruger sobre datum Lisboa

Projecção Gauss-Kruger sobre datum Lisboa com falsa origem DX=200km; DY=300km

Projecção Gauss-Kruger / UTM ED50Meridiano Central: 9º E; Factor de Escala=0,9996; Falsa Origem: DX=500km,DY=0

Projecção de Bonne sobre datum Lisboa (variante com elipsóide de Bessel)

UTMMadeira, Porto Santo e Selvagens (Fuso 28); Açores Grupo Central e Oriental (Fuso 26); Açores Grupo Ocidental (Fuso 25)

Projecção Gauss-Kruger / ETRF89Meridiano Central: -8º 7’ 59,19” ,Latitude do Ponto Central : 39º 40’ 05,73”; Factor de Escala=1; Falsa Origem: DX=00km,DY=0

HGDLx

Datum LX(elipsóide de Hayford)Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 39º 40’Longitude: -8º 7’ 54,862”

Falsa OrigemDX=0 m DY=0 m

X

Y

X

Y

(200,300)

HGDLxMil

Datum LX(elipsóide de Hayford)Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 39º 40’Longitude: -8º 7’ 54,862”

Falsa OrigemDX= 200 000 m DY= 300 000 m

HGD73

Datum 73(elipsóide de Hayford)Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 39º 40’Longitude: -8º 7’ 54,862”

Falsa OrigemDX=180,598m DY=-86,990

X

Y

XY BBDLx

Datum LX(elipsóide de Bessel)Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 39º 40’Longitude: -8º 7’ 54,862”

Falsa OrigemDX=0 m DY=0 m

GKETRF89

Datum ETRF89(elipsóide GRS80a = 6 378 137 mf = 1 / 298,257 222 101)

Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 39º 40’ 05,73”

Longitude: -8º 7’ 59,19”

Falsa OrigemDX=0 m DY=0 m X

Y

UTMED50

Datum ED50(elipsóide de Hayford)Projecção Gauss-Kruger

Ponto CentralLatitude: 0º 0’ 00,000”

Longitude: -9º 0’ 00,000”

Falsa OrigemDX= 500 000 m DY= 0 m

Factor de escala: 0,9996

X

Y

O Sistema UTM (Universal Transverse Mercator)

Sistema introduzido pela NATO com vista a normalizar projecções cartográficas e identificação de locais.

Consiste numa colecção de projecções, com as seguintes características:

Projecção de Gauss-Kruger, Elipsóide de Hayford, Factor de Escala: 0,9996, Falsa origem em X de 500 km e Falsa Origem em Y de 10000km aplicada no hemisfério Sul

O datum é variável até dentro de um mesmo fuso

O elipsóide é dividido em 60 fusos de 6º, sendo a cada fuso associado um meridiano central de projecção (…,-9º,-3º,3º,9º,…)

Divisão por fusos e por intervalos de latitude (a cada intervalo de 8º corresponde uma letra, a letra X corresponde a um intervalo de 12º ; não se utiliza o I e o O, as letras A,B,Y,Z são reservadas para os polos)

A utilização da quadrícula UTM, principalmente em utilizações militares, é feita com a seguinte estrutura:

<Fuso> <Zona>< Quadrado de 100 km> <Referência numérica ao canto inferior esquerdo de umquadrado um número par de algarismos em que a primeira metade representa o valor de X e a segunda o valor de Y>

Exemplo:

18S UT 92Representa um quadrado de 10km no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=90km, Y=20km

18S UT 9126Representa um quadrado de 1km no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=91km, Y=26km

18S UT 913265Representa um quadrado de 100m no fuso 18, zona S, quadrado de 100km UT, X=91,3km, Y=26,5km

Em geral é utilizada a referência a um quadrado de 100m mas pode aumentar-se o número de dígitosse necessário

Porque razão, em trabalhos topográficos, não se utiliza uma única projecção para todo o planeta ?

Tendo em conta a existência de deformação, o que significa “representação à escala 1/1000” ?

Uma mesma projecção, aplicada sobre dois data diferentes com os mesmos parâmetros e para um mesmo ponto, produz coordenadas cartográficas iguais ?

Qual a relação entre o Norte Cartográfico, o Norte Geográfico e o Norte Magnético ?

Questões de consolidação e revisão de conhecimentos

Sugestões de Pesquisa

http://www.igeoe.pthttp://www.galleryofmapprojections.com/http://www.cse.ucsc.edu/research/slvg/map.htmlhttp://www.gis.psu.edu/projection/

Understanding Maps : A Systematic history of their use and development; Alan Hodgkiss, Ed. Wm Dawson & Son, 1981

Map Projections ; Erik Grafarend; Friedrich Krumm, Ed. Springer-Verlag, 2006

Exercícios

Considerando o vértice geodésico IST (f IST = 38o 44’ 09.103”, lIST = - 9o 08’24.082’’), determine qual a diferença entre os valores das suas coordenadas cartográficas no sistema de projeccção Hayford-Gauss Datum 73 e numa projecção estereográfica, sendo esta construída com o mesmo ponto central e a mesma falsa origem que a projecção referida.

Quais as coordenadas cartográficas do vértice IST, projectadas com a projecção ortográfica aplicada a um plano tangente num ponto de coordenadas: f =39o 30’ 0,0”l =8o 10’ 20,662’’(Considere uma esfera com raio igual a 6374 km).

Casos de aplicação

O território de Timor-Leste é coberto pelos fusos 51 e 52do sistema UTM, tendo-se optado por utilizar somente a projecção no fuso 51, considerando o valor da deformação no extremo Leste comonegligenciável face à complexidade introduzida por dois sistemas de projecção.

Datum: WGS84 (ITRF 2000)Projecção: Gauss-KrugerMeridiano Central : 123o ELatitude do P.Central: 0o

Factor de escala: 0,9996 Falsa origem: DX: + 500 kmDY: +10000 km