Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão I Daniel Marçal de Queiroz DEA/UFV.
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Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão I Daniel Marçal de Queiroz DEA/UFV
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Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão I
Daniel Marçal de Queiroz
DEA/UFV
Geoestatística
Maneira de descrever a continuidade espacial
Técnica importante para análise de muitos fenômenos naturais
Adaptação de técnicas de regressão clássica para tomar vantagem da continuidade espacial
Geoestatística
Aplicações na agricultura de precisão:– geração de mapas - produtividade, modelo digital de
elevação, incidência de pragas e doenças, e outros
– análise da variabilidade espacial
– análise da correlação entre fatores que afetam a produtividade e a qualidade do café
– definição de zonas de manejo
Descrição em termos de uma variável
Dados dão boa idéia do fenômeno apenas quando organizados adequadamente
Muitas técnicas usadas em estatística cuida da organização, apresentação e representação resumida dos dados
Descrição em termos de uma variável
Dados analisados representarão uma área de 10m por 10m
Variáveis U e V foram aredondadas para o número inteiro mais próximo
Localização relativa dos 100 pontos da variável V
81 +
77 +
103 +
112 +
123 +
19 +
40 +
111 +
114 +
120 +
82 +
61 +
110 +
121 +
119 +
77 +
52 +
111 +
117 +
124 +
82 +
74 +
97 +
105 +
112 +
91 +
73 +
115 +
118 +
129 +
88 +
70 +
103 +
111 +
122 +
64 +
84 +
105 +
113 +
123 +
89 +
88 +
94 +
110 +
116 +
108 +
73 +
107 +
118 +
127 +
77 +
82 +
86 +
101 +
109 +
113 +
79 +
102 +
120 +
121 +
74 +
80 +
85 +
90 +
97 +
101 +
96 +
72 +
128 +
130 +
75 +
80 +
83 +
87 +
94 +
99 +
95 +
48 +
139 +
145 +
77 +
84 +
74 +
108 +
121 +
143 +
91 +
52 +
136 +
144 +
87 +
100 +
47 +
111 +
124 +
109 +
0 +
98 +
134 +
144 +
Histograma para os 100 valores da variável V
0
2
4
6
8
10
12
14
16
180
-9
10
-19
20
-29
30
-39
40
-49
50
-59
60
-69
70
-79
80
-89
90
-99
10
0-1
09
11
0-1
19
12
0-1
29
13
0-1
39
14
0-1
49
Faixa de valores da variável V (ppm)
Fre
qu
ên
cia
, %
Frequência dos 100 valores selecionados da variável V com largura de classe de 10 ppm.
Classe Número Percentagem 0 V < 10 1 1 10 V < 20 1 1 20 V < 30 0 0 30 V < 40 0 0 40 V < 50 3 3 50 V < 60 2 2 60 V < 70 2 2 70 V < 80 13 13 80 V < 90 16 16 90 V < 100 11 11 100 V < 110 13 13 110 V < 120 17 17 120 V < 130 13 13 130 V < 140 4 4 140 V < 4 4
Frequência acumulada dos 100 valores da variável V usando classes de 10 ppm
Classe Número Porcentagem V < 10 1 1 V < 20 2 2 V < 30 2 2 V < 40 2 2 V < 50 5 5 V < 60 7 7 V < 70 9 9 V < 80 22 22 V < 90 38 38 V < 100 49 49 V < 110 62 62 V < 120 79 79 V < 130 92 92 V < 140 96 96 V < 100 100
Histograma acumulativo para os 100 valores selecionados da variável V
0
20
40
60
80
100
120
< 1
0
< 2
0
< 3
0
< 4
0
< 5
0
< 6
0
< 7
0
< 8
0
< 9
0
< 1
00
< 1
10
< 1
20
< 1
30
< 1
40
< 1
50
V (ppm)
Fre
qu
ên
cia
acu
mu
lad
a (
%)
Gráfico de probabilidade normal para os 100 valores selecionados da variável V
A escala no eixo Y é tal que a curva de frequência será uma reta se os valores de V tiverem uma distribuição normal
Gráfico de probabilidade lognormal dos 100 valores selecionados da variável V
A escala do eixo Y é tal que a curva de frequência acumulada será uma reta se o logarítmo de V seguir a distribuição lognormal
Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Algumas ferramentas de estimativa trabalham melhor se a variável apresenta distribuição Gaussiana ou normal.
Distribuição Gaussiana é um dos muitos tipos de distribuição para o qual existe todo um tratamento matemático já desenvolvido.
Portanto é importante determinar se a distribuição em estudo se aproxima da distribuição de Gauss.
O gráfico de probabilidade normal é um dos tipos de gráfico de frequência acumulada que ajuda a verificar se a distribuição é Gaussiana
Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Em gráficos de probabilidade normal a escala do eixo Y é tal que se a curva descrita pelos dados for uma reta, a distribuição é gaussiana.
Para a V variável em estudo embora boa parte da curva de frequência acumulada se aproxima de uma reta, para pequenos valores de V forge dessa tendência.
Muitas variáveis da Ciências da Terra têm distribuição que não se aproximam da distribuição normal.
É muito comum ter muitos valores que bem baixos e poucos outros que são muito altos.
Gráficos de probabilidade normal e lognormal
Uma variável tem distribuição lognormal se a distribuição dos valores dos logarítmos da variável segue a distribuição normal.
Usando uma escala logarítmica no eixo X de um gráfico de distribuição normal pode-se verificar a lognormalidade.
Se a curva resultar em uma linha reta, é dito que os dados seguem um distribuição lognormal.
Para a variável V em estudo pode-se verificar que os dados claramente não seguem uma distribuição lognormal.
Análise Estatística Descritiva
Fornece informações sobre a variável em estudo por exemplo:– qual é a produtividade média da área?– qual foi a máxima e a mínima produtividade obtida?
É facilmente obtida Permite avaliar a qualidade dos dados obtidos
Análise Estatística Descritiva
Importantes comportamentos de muitos histogramas podem ser obtidos por meio de certas análises estatísticas.
A estatística descritiva é classificada em três categorias: mede a localização, mede a dispersão e mede a forma.
Análise Estatística Descritiva
Primeiro grupo: localização da distribuição– A média, a mediana e a moda pode dar uma idéia de onde o
centro da distribuição cai.
– A localização de outras partes é fornecida pelos quantis (quantiles).
Análise Estatística Descritiva
O segundo grupo inclui a variância, o desvio padrão e a faixa dos interquantis (interquantiles range)
Esse grupo é usado para medir a dispersão dos dados.
Análise Estatística Descritiva
A forma da distribuição é medida por meio do coeficiente de simetria (coefficient of skewness) e do coeficiente de variação.
O coeficiente de simetria mede a informação associada à simetria da distribuição.
O coeficiente de variação fornece informação a respeito do comportamento do final da curva de certas distribuição.
Medidas de localização
A media, m, é a média aritmética dos valores:
n
iixn
m1
1
• O valor médio dos 100 valores da variável V é 97,55 ppm.
Medidas de localização
A mediana, M, é o ponto médio dos valores observados, se eles estão dispostos em ordem crescente.
parfornse
xx
imparfornsex
Mnn
n
2
122
2
1
• O valor da mediana pode ser facilmente lida no gráfico de probabilidade.• Para os 100 valores da variável V a mediana é 100,50 ppm.
Lendo a mediana num gráfico de probabilidade
Medidas de localização
A moda é o valor que ocorre com maior frequência.
Em um gráfico de barras com os valores de frequência para cada classe a moda é representada pela barra mais alta.
Para a variável V a classe 110-120 ppm é a classe com mais valores.
O valor 111 ppm é o que ocorre com maior frequência.
Um dos pontos negativos da moda é que ela é afetada pela precisão dos dados.
Medidas de localização
Valor mínimo: é o valor mais baixo do conjunto de dados.
Muitas vezes é gravado apenas como um valor abaixo de qualquer um limite detectável.
Em algumas análises é conveniente usar um valor mínimo diferente de zero.
Para os valores da variável V o valor mínimo é zero.
Medidas de localização
Valor máximo: é o maior valor no conjunto de dados.
Para os valores de V o valor máximo é 145.
Medida de localização
Quartil inferior e superior (Lower and Upper Quartile)
A mediana divide os dados em duas metades, os quartis dividem os dados em quartos.
Se os dados estão colocados em ordem crescente, um quarto dos dados caem abaixo do quartil mais baixo ou primeiro quartil e um quarto dos dados caem acima do quartil mais alto ou terceiro quartil.
Quartis de um gráfico de probabilidade normal
Medidas de localização
Decis, percentis e quantis
Decis: dividem os dados em décimos (10 partes) Um décimo dos dados caem abaixo do primeiro decil
Percentis: dividem os dados em centésimos (100 partes)
Quantis: servem para expressar qualquer fração.
Medidas de dispersão
Variância (2 ) calculada por:
n
ii mx
n 1
22 1
• A variância dos 100 valores da variável V é de 688 ppm2
Medidas de dispersão
Desvio padrão: raiz quadrada da variância
Para os 100 valores da variável V o desvio padrão é de 26,23 ppm
Medidas de dispersão
Faixa entre os quartis: Diferença entre o maior e o menor quartil
Não utiliza da média como centro da distribuição
Geralmente preferível se poucos valores erradamente elevados influenciam fortemente a média
O faixa entre os quartis para os 100 valores da variável V é de 35,50 ppm.
Medidas da forma
Coeficiente de simetria, Ca (coefficient of skewness): o histograma não dá idéia da simetria dos dados.
3
1
31
n
ii mx
nCa
• Coeficiente de simetria sofre mais influência que a média e a variância de valores erroneamente elevados• Geralmente o sinal do momento de ordem 3 é mais usado que o próprio valor nas análises.
Medidas da forma
Coeficiente de simetria:
– positivo significa que a curva é longa com altos valores do lado direito.
– próximo de zero, o histograma é aproximadamente simétrico e a mediana é próxima da média
Para os 100 valores da variável V, o coeficiente de simetria é próximo de zero (igual a –0,779), indicando que a distribuição apenas ligeiramente assimétrica.
Medidas de forma
Coeficiente de variação: usado alternativamente ao coeficiente de simetria para descrever a forma da distribuição.
Usado para distribuições em que todos valores são positivos e com coeficiente de simetria também positivo.
Embora possa ser calculado para outras situações sua utilidade como medida de forma é questionável.
Medidas de forma
Um coeficiente de variação maior que um indica a presença de alguns valores com erros podem ter tido impacto significativo nas estimativas.
O coeficiente de variação para os 100 valores da variável V é 0,269, o que signifca que o histograma não um longo trecho no final da curva com elevados valores
mCV
Descrição usando duas variáveisValores de duas
variáveis U e V
81 + 15
77 + 12
103 + 24
112 + 27
123 + 30
19 + 0
40 + 2
111 + 18
114 + 18
120 + 18
82 + 16
61 + 7
110 + 34
121 + 36
119 + 29
77 + 7
52 + 4
111 + 18
117 + 18
124 + 20
82 + 16
74 + 9
97 + 22
105 + 24
112 + 25
91 + 10
73 + 7
115 + 19
118 + 19
129 + 23
88 + 21
70 + 8
103 + 27
111 + 27
122 + 32
64 + 4
84 + 10
105 + 15
113 + 17
123 + 19
89 + 21
88 + 18
94 + 20
110 + 27
116 + 29
108 + 19
73 + 7
107 + 16
118 + 19
127 + 22
77 + 15
82 + 16
86 + 16
101 + 23
109 + 24
113 + 25
79 + 7
102 + 15
120 + 21
121 + 20
74 + 14
80 + 15
85 + 15
90 + 16
97 + 17
101 + 18
96 + 14
72 + 6
128 + 28
130 + 25
75 + 14
80 + 15
83 + 15
87 + 15
94 + 16
99 + 17
95 + 13
48 + 2
139 + 40
145 + 38
77 + 16
84 + 17
74 + 11
108 + 29
121 + 37
143 + 55
91 + 11
52 + 3
136 + 34
144 + 35
87 + 22
100 + 28
47 + 4
111 + 32
124 + 38
109 + 20
0 + 0
98 + 14
134 + 31
144 + 34
Descrição usando duas variáveis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0-9
10
-19
20
-29
30
-39
40
-49
50
-59
60
-69
70
-79
80
-89
90
-99
10
0-1
09
11
0-1
19
12
0-1
29
13
0-1
39
14
0-1
49
Faixa de valores da variável V (ppm)
Fre
qu
ên
cia
, %
0
5
10
15
20
25
30
35
0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59
Valores da variável U, ppm
Fre
qu
ên
cia,
%
Resultados das análises estatísticas dos valores da variáveis U e V
V U n 100 100 m 97,6 19,1 26,2 9,81 CV 0,27 0,51 min 0,0 0,0 Q1 81,3 14,0 M 100,5 18,0 Q3 116,8 25,0 max 145,0 55,0
Comparação dos quantis das variáveis V e U
Quantil Quantil Frequência Acumulada V U
Frequência Acumulada V U
0,05 48,1 3,1 0,55 104,1 19,0 0,10 70,2 7,0 0,60 108,6 20,0 0,15 74,0 8,1 0,65 111,0 21,0 0,20 77,0 11,2 0,70 112,7 22,7 0,25 81,3 14,0 0,75 116,8 25,0 0,30 84,0 15,0 0,80 120,0 27,0 0,35 87,4 15,4 0,85 122,9 29,0 0,40 91,0 16,0 0,90 127,9 33,8 0,45 96,5 17,0 0,95 138,9 37,0 0,50 100,5 18,0
Gráfico de quartis
O gráfico de quartis pode permitir uma visualização comparativa entre duas distribuições
O gráfico de quartis de duas distribuições idênticas resultará em uma linha reta do tipo y=x
Se o gráfico de quartis de duas distribuições é uma linha reta diferente de y=x, as duas distribuições têm a mesma forma mas a sua localização e dispersão podem diferir
Gráfico dos quartis das distribuições de 100 valores da variável U versus os 100 valores de V
O caso em estudo mostra que as distribuições das variáveis U e V são diferentes.
Gráficos de dispersão
Fornecem uma boa idéia qualitativa de como duas variáveis estão relacionadas.
Pode auxiliar a detectar dados completamente fora da realidade.
Nos primeiros estágios da análise de continuidade espacial é necessário checar e corrigir os erros que por ventura exista no conjunto de dados.
Os métodos de estimativa dependem em muito da confiabilidade dos dados.
O gráfico de dispersão pode ser muito útil na validação inicial dos dados e no entendimento de futuros resultados.
Gráfico de dispersão dos 100 valores de U versus os 100 valores de V
O gráfico (b) ilustra um dado erroneamente introduzido.
Correlação
Em um gráfico de dispersão é possível detectar se as variáveis são positivamente correlacionadas, negativamente correlacionadas ou se não têm correlação.
Coeficiente de correlação () é a maneira mais usada em estatística para verificar o relacionamento entre duas variáveis. É calculado por:
yx
yixi mymxn
1
Correlação
Covariância (Cxy): é o numerador do coeficiente de correlação
A covariância é usada como uma característica do gráfico de dispersão.
A covariância entre duas variáveis depende da magnitude dos valores dessas variáveis.
n
iyixiXY mymx
nC
1
1
Correlação
Se os valores de U e V são multiplicados por 10, a covariância é multiplicada por 100, embora o gráfico de dispersão pareça o mesmo.
Dividindo a covariância pelos devios padrões das duas variáveis obtem-se um valor entre –1 e +1 (coeficiente de correlação) independentee da magnitude dos dados.
Para os 100 pares de valores U-V:– a covariância é 216,1 ppm2
– o desvio padrão da variável V é 26,2 ppm
– o desvio padrão da variável U é 9,81 ppm
– o coeficiente de correlação entre U e V é 0,84
Correlação
O coeficiente de correlação e a covariância podem ser afetados por poucos pares de dados completamente fora da realidade.
O coeficiente de correlação é uma medida da proximidade que dados observados tem de uma reta.
Se =+1, o gráfico de dispersão será uma reta com declividade positiva.
Se =-1, o gráfico de dispersão será uma reta com declividade negativa
Correlação
Quando a relação entre as variáveis é não-linear o coeficiente de correlação não é uma boa medida estatística.
Ao invés do coeficiente de correlação usa-se o coeficiente de correlação de rank
Rxi = rank de xi entre os valores de x e é geralmente calculado ordenando os valores de x em ordem crescente. O valor mais baixo de x terá rank igual a 1
Ryi = rank de yi entre os valores de y. mRx = média dos ranks Rx1, Rx2, …, Rxn
Rx = desvio padrão dos ranks Rx1, Rx2, …, Rxn
RyRx
RyiRxi
rank
mRymRxn
1
Correlação
Grandes diferenças entre rank e revela a localização dos pontos extremos em um gráfico de dispersão.
O rank não é tão influenciado por valores extremos.
Altos valores de rank e baixos valores de podem significar a existência de erros nos dados tiveram efeito adverso afetando a obtenção de uma boa correlação.
Se é alto e rank é baixo pode ser que está sendo influenciado por poucos valores extremos.
Correlação
Para os pares de valores V e U com um par de ponto completamente fora (figura b):
= 0,64 rank = 0,80
Se o coeficiente de correlação dos ranks é +1 significa que os ranks das duas variáveis são iguais.
Para Y = X2 resultará em próximo de zero e rank igual a um.
Regressão linear
A dependência de uma variável em relação a outra pode ser descrita pela equação de uma linha reta
y = ax + b
A declividade “a” e a constante “b” são dadas por:
x
ya
xy mamb
Regressão linear
Usando-se os 100 pares de valores V-U para calcular os parâmetros do modelo de regressão linear obtem-se:
Portanto, a equação que prevê os valores de V a partir dos valores conhecidos de U é dada por:
24,281,9
2,2684,0 a 7,541,1924,26,97 b
7,5424,2 UV
Regressão linear
Se o interesse for pela equação que prevê U a partir de valores conhecidos de V, então:
A equação que prevê os valores de U a partir dos valores conhecidos de V é dada por:
314,02,26
81,984,0 a 5,116,97314,01,19 b
5,11314,0 VU
Gráfico mostrando a regressão linear sobreposta num gráfico de dispersão
Observando-se cuidadosamente os dois gráficos verifica-se que as duas linhas não as mesmas, ou seja,
5,11314,0 VU
não é um simples arranjo de
7,5424,2 UV
Esperança condicional
Analisando-se a Figura (a) da análise de regressão linear verifica-se que uma linha reta não representa bem a relação entre as variáveis.
Os dados mostram que uma linha curva poderiam representar melhor o relacionamento entre as variáveis.
Uma alternativa à regressão linear é calcular valores médios de y para diferentes faixas de valores de x
Os valores são chamados de condicional porque eles são bons apenas para uma certa faixa de valores de U.
Para uma classe diferente, espera-se um valor diferente.
Valor médio de V dentro das classes de valores de U definidas
Classes Número de Pares de Pontos
Valor Médio de V
0 U < 5 8 40,3 5 U < 10 8 72,4
10 U < 15 10 85,5 15 U < 20 33 97,5 20 U < 25 15 106,9 25 U < 30 12 113,5 30 U < 35 7 125,7 35 U < 7 133,9
Gráfico do valor médio de V definido dentro de cada classe de valores de U
Gráfico das curvas de esperança condicional sobrepostas nos gráficos de dispersão
Esperança condicional obtida por técnica de regressão linear dentro de uma vizinhança local. Existem algorítmos para definição do número de pontos ideal que deve compor a vizinhança.
