Geogebra Algumas Atividades

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Curso de Especialização para Professores do Ensino Médio de Matemática Matem@tica na Pr@tica Tópicos sobre Funções Trigonométricas Paulo Antonio Silvani Caetano

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Curso de Especialização para Professores do

Ensino Médio de Matemática

Matem@tica na Pr@tica

Tópicos sobre

Funções Trigonométricas

Paulo Antonio Silvani Caetano

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Seja bem-vindo a esta última etapa da disciplina de Funções Elementares do

Matem@tica na Pr@tica, em que vamos utilizar um software de geometria

dinâmica para trabalhar com gráficos de funções.

Para começar, pense nas seguintes questões:

Você se preocupa com a visualização de gráficos ou objetos

geométricos em suas aulas?

Usa giz colorido, régua, compasso, barbantes ou qualquer outro recurso

no dia a dia de sua sala de aula?

Você já usou o computador para construir gráficos ou objetos

geométricos?

Conhece algum software de geometria dinâmica?

Você conseguiria elaborar uma atividade com esse software que

auxiliasse o aluno na compreensão de um determinado conceito?

Page 3: Geogebra Algumas Atividades

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1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. Mas como?

Pensar em uma aula de Matemática no Ensino

Médio geralmente nos leva a imaginar uma sala

com carteiras enfileiradas, de frente a uma

grande mesa do professor, que se encontra em

pé escrevendo fórmulas no quadro negro.

Enquanto isso, os alunos o observam atentos,

tentando copiar tudo em seus cadernos, numa

velocidade que lhes permita acompanhar o

raciocínio do professor.

Essa cena tradicional aos poucos tem dado lugar

a uma nova imagem nas salas de aula de

Matemática, principalmente por conta do uso de

materiais concretos e de novas ferramentas

tecnológicas.

Mas que ferramentas são essas? Como e

quando utilizá-las?

Estas são perguntas frequentes de muitos

professores. Talvez por isso muitos ainda não

lancem mão desses recursos em suas aulas.

Nesta etapa da disciplina de Funções

Elementares, vamos apresentar a construção de

uma dessas ferramentas, com todos os detalhes

necessários para que você se sinta um artesão

dessa nova tecnologia, com segurança para usá-

la em suas aulas.

Fonte: www.flickr.com/photos/buson/3990571036 - Foto: Izaias Buson (Lousa)

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/990536 - Foto: Sigurd Decroos (ilustração da sala de aula)

Fonte: www.flickr.com/photos/ewout/2821470868 - Foto: Ewout (Sala de aula digital)

Fonte: www.sxc.hu/photo/286892 - Foto: Rajesh Sundaram (preocupado)

http://www.sxc.hu/photo/1238452 - Foto: Chris Baker

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Vamos agora entrar no mundo do ensino informatizado da Matemática. E,

então, está animado?

2. GeoGebra, um programa de matemática dinâmica

O GeoGebra (o nome é uma mistura de GEOmetria e

álGEBRA) é um programa de computador que reúne

ferramentas de aritmética, geometria, álgebra e cálculo

num mesmo programa, para uso em todos os níveis

educacionais. Ele apresenta a Matemática de forma

dinâmica através da manipulação simultânea de objetos geométricos e de suas

respectivas equações algébricas. Do ponto de vista da geometria, permite

trabalhar com os objetos a partir de pontos, segmentos, retas, circunferências,

curvas e gráficos de funções. Do ponto de vista da álgebra, permite trabalhar

com os objetos a partir de suas equações e coordenadas. No GeoGebra, cada

expressão em sua janela algébrica corresponde a um objeto em sua janela

geométrica e vice-versa. Essa cumplicidade entre geometria e álgebra faz do

GeoGebra um ótimo recurso para realizar variadas atividades de Matemática

na escola. Você já teve contato com este programa? Isso está parecendo muito

confuso? Calma! Vamos aos poucos conhecer melhor o GeoGebra…

Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GeoGebra_icon_geogebra.gif

Saiba Mais

O programa GeoGebra foi Idealizado em 2001, pelo jovem austríaco Markus

Hohenwarter, baseado no princípio de software livre, que permite a sua

instalação e uso sem fins lucrativos. Este princípio também garante o seu

desenvolvimento e atualização permanente, sem custos, através de uma

comunidade virtual mundial, que está sempre enriquecendo e melhorando o

GeoGebra.

Fim do Saiba Mais

E, então, que tal experimentar o GeoGebra? Mãos à obra?

Vamos começar instalando este programa em seu computador...

Page 5: Geogebra Algumas Atividades

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Atividade 1 – Instalando o GeoGebra

Instale a versão mais recente do GeoGebra em seu

computador a partir do sítio oficial www.geogebra.org,

seguindo os passos a seguir. Se você nunca instalou um

programa em seu computador ou sentir dificuldades durante a

instalação, peça ajuda a alguém com mais experiência neste

tipo de tarefa.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/763632 - Foto: Josep Altarriba

1. Após acessar o endereço www.geogebra.org, escolha a opção para

exibição da página na Língua Portuguesa.

2. Escolha a opção Download no topo da página.

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3. Escolha a opção Instalações na parte superior direita da página, para ter

acesso aos programas instaladores do GeoGebra.

4. Escolha e salve o arquivo de instalação correspondente ao sistema

operacional de seu computador.

5. Execute o arquivo de instalação salvo em seu computador.

Fim da Atividade 1

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Após finalizar a instalação, o ícone de acesso rápido ao GeoGebra fica

disponível na área de trabalho de seu computador. Ao clicar neste ícone, o

programa é iniciado com a seguinte janela padrão:

Figura 1: Janela padrão do GeoGebra

Observe, na parte superior da janela padrão, a barra de menu geral (Arquivo,

Editar, Exibir, Opções, ...) seguida da barra de menu de construções

geométricas.

Na parte inferior, vemos um campo para digitação de fórmulas seguido de

itens de seleção para escolha de operações matemáticas, letras gregas e

comandos específicos do GeoGebra.

Na parte central da janela padrão do GeoGebra, vemos ainda, à direita, uma

grande janela de geometria com um sistema de coordenadas; à esquerda

vemos uma janela de álgebra para armazenamento de objetos construídos.

Page 8: Geogebra Algumas Atividades

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Figura 2: Janela padrão do GeoGebra e seus componentes

Início do Saiba Mais

Além do GeoGebra, existem muitos outros

softwares de geometria dinâmica que

podem ser usados em aulas de

Matemática, como o Cabri-Géomètre

(www.cabri.com.br), Calques 3D

(www.uff.br/calques3d) e Régua e

Compasso (www.professores.uff.br/hjbortol/car). Alguns são mais conhecidos

e utilizados, outros nem tanto. Na verdade, não existe um software padrão que

seja considerado o mais adequado para uso em sala de aula. Escolhemos o

GeoGebra por ele ter sido idealizado tanto para uso no Ensino Médio, quanto

para uso no Ensino Superior. Mas fique à vontade para conhecer melhor

outros softwares!

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/987822 - Foto: Jay Lopez

Fim do Saiba Mais

Agora que você já foi apresentado ao GeoGebra, podemos iniciar os

trabalhos...

Barra de menu geral e barra de menu de construções geométricas

Entrada para expressões algébricas

Janela de

álgebra

Janela de

geometria

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Você irá construir vários gráficos e utilizar o dinamismo do GeoGebra para

visualizar o efeito da mudança de parâmetros nesses gráficos.

Caso você seja uma pessoa com

dificuldades na manipulação de

programas computacionais, fique

tranquilo. As construções no GeoGebra

serão explicadas passo a passo, nos

mínimos detalhes, com imagens de tudo

o que está acontecendo, para facilitar

seu estudo ao máximo.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1260785 - Foto: Jakub Krechowicz

É muito importante que você faça as construções. Por isso, este material deve

ser estudado ao lado do seu computador, com o GeoGebra na tela, para que

você possa ler, fazer e verificar cada passo das construções solicitadas.

Vamos começar?

Page 10: Geogebra Algumas Atividades

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2. A dança dos gráficos

Você gosta de dançar? Que tal

convidarmos os gráficos das funções

elementares para uma dança no

GeoGebra. Você sabia que os

gráficos podem dançar? Pelo menos

no GeoGebra eles podem... Como

assim?

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1100360 - Foto: Samir Admane

Vamos construir gráficos de funções elementares introduzindo os parâmetros

a , b , c e visualizar a dança desses gráficos provocada pela mudança de

valores nos parâmetros. Vamos perceber como os parâmetros conduzem o

gráfico nesta dança, cada um com seus passos característicos. Fizemos algo

parecido na sequência didática que apresentamos para estudo das funções

quadráticas na Etapa 2 desta disciplina, lembra? Porém, desta vez, vamos

perceber no computador as mudanças provocadas pelos parâmetros sobre

gráficos de funções elementares. No computador, perceberemos estas

mudanças muito mais rapidamente, como em uma dança...

Mas, para isso, precisamos inicialmente aprender como construir um

parâmetro no Geogebra, não é mesmo?

Verbete

Parâmetro é todo elemento de um problema cuja alteração de valor modifica a

solução sem modificar a natureza do problema. Por exemplo, uma função

quadrática tem a forma geral 2( )f x ax bx c , onde os parâmetros são a , b

e c com 0a . Os gráficos das funções quadráticas são parábolas, e a

alteração de valores dos parâmetros muda o aspecto gráfico dessas

parábolas.

Fim do Verbete

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Os parâmetros serão construídos à parte, porque o nosso interesse é que eles

possam ser alterados depois.

Utilizaremos o comando Seletor do GeoGebra, que permite a introdução e

seleção de valores para um parâmetro, como em uma barra de rolagem. Para

habilitar o comando Seletor, basta clicar sobre o ícone na barra de menu

do GeoGebra, que fica na parte superior da tela, como mostramos

anteriormente.

Figura 3: Ícone Seletor na barra de menu do Geogebra

Ao clicar neste ícone, a barra de menu irá mudar e aparecerá a seguinte

Figura:

Figura 4: Barra de menu do GeoGebra com a função Seletor habilitada

Observe que o entorno do ícone selecionado fica evidenciado em azul e é

exibida uma mensagem sobre a utilização do comando habilitado. No caso do

comando Seletor, a mensagem exibida é: Clique na área de trabalho para

especificar a posição do seletor. Isso permitirá que você finalmente crie um

parâmetro com a possibilidade de modificar seus valores na área de trabalho!

E aí? Já conseguiu chegar até aqui? Depois que você já tiver habilitado a

função Seletor na barra de

menu do GeoGebra, clique na área

de trabalho (janela com o sistema

de coordenadas) próxima do canto

superior esquerdo, para criar um

seletor neste canto da janela.

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Irá, então, aparecer a janela de formatação de seletores, mostrada a seguir.

Nesta janela, é possível definir o nome do parâmetro, bem como se o mesmo

é um número ou um ângulo; na aba Intervalo, é possível definir seu valor

mínimo, máximo e incremento de variação, isto é, de quanto em quanto o valor

do seletor irá mudar; na aba Seletor, é possível fixar sua posição na janela de

visualização, definir seu tamanho, bem como sua disposição horizontal ou

vertical; na aba Animação, é possível definir a velocidade e a forma

(crescente, decrescente ou oscilante) de sua variação em uma animação.

Figura 5: Janela de criação do seletor do GeoGebra

Não estamos interessados em analisar todas as potencialidades do

GeoGebra, deixando esta tarefa a cargo da sua curiosidade. No momento,

queremos apenas verificar como o Seletor, ou o parâmetro, influencia uma

função. Por isso, vamos finalizar a construção do seletor clicando no botão

Aplicar, sem nos preocuparmos com a sua formatação.

Observe na Figura 6 que os seletores são considerados objetos livres do

GeoGebra. Isto significa que o valor do seletor não depende de nenhum outro

valor ou objeto criado no aplicativo em construção.

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Figura 6: Janela do GeoGebra após a construção do primeiro seletor

Para alterar o valor de um seletor, basta habilitar o comando Mover no ícone

mais à esquerda da barra de menu e arrastar, via mouse, a “bolinha” do

seletor ao longo de seu segmento de variação. Viu o ícone e a “bolinha” na

figura acima? E na tela de seu computador?

Altere o valor do seletor criado. Conseguiu? Veja que ele só assume valores

dentro do intervalo de sua definição. Para continuar a construção, coloque o

valor do seletor em 1a , como inicialmente.

Vamos agora construir mais dois seletores. Habilite novamente a função

seletor na barra de menu do GeoGebra, clique na área de trabalho logo

abaixo do último seletor construído e finalize a construção no botão Aplicar,

sem se preocupar com a formatação dos seletores. Você deverá ver três

seletores na tela do seu computador, como na figura a seguir.

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Figura 7: Janela do GeoGebra após a construção dos seletores

Se necessário, podemos reposicionar os seletores na janela geométrica via

arrasto de mouse. Para isso, habilite o comando Mover no ícone da barra

de menu e arraste o segmento do seletor para movimentá-lo. Muita atenção

nesta hora, pois você deve arrastar o segmento de reta do seletor e não sua

“bolinha”. Com o comando Mover habilitado, se você arrastar a “bolinha” do

seletor, o valor do seletor é alterado e se você arrastar o segmento do seletor,

então sua posição na janela é alterada.

Tendo criado os seletores, vamos criar o gráfico de uma função tendo estes

seletores como parâmetros. Assim, iremos estudar como os valores destes

seletores irão influenciar a forma deste gráfico. Vamos construir o gráfico da

função ( ) cosf x a b x c . Para isso, basta digitar no campo de entrada, lá na

parte inferior da janela do GeoGebra, a expressão algébrica dessa função,

conforme ilustrado a seguir.

Page 15: Geogebra Algumas Atividades

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Figura 8: Expressão ( ) cosf x a b x c digitada no campo de entrada

Note que, após introduzir a expressão, o gráfico é perfeitamente esboçado no

sistema de coordenadas.

Figura 9: Gráfico da função ( ) cosf x a b x c

Page 16: Geogebra Algumas Atividades

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Experimente alterar os valores dos parâmetros a , b e c habilitando o

comando Mover no ícone e arrastando as “bolinhas” dos seletores.

Perceba como a alteração dos parâmetros conduz o gráfico da função para

uma majestosa dança e como cada parâmetro possui passos bem

característicos. Divertido e bonito, não é mesmo?

Atividade 2 – Bailando com as funções elementares

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1155010 - Moi Cody

Vamos bailar com as funções elementares? Digite cada

uma das expressões abaixo no campo de entrada do

GeoGebra e altere os parâmetros a , b e c para visualizar

a dança dos gráficos dessas. Preste atenção na forma como essas funções

devem ser escritas no campo de entrada, conforme ilustramos nas imagens a

seguir. Perceba o que acontece em cada função quando os parâmetros

assumem valores positivos, nulos ou negativos. Não se esqueça de salvar

arquivos GeoGebra para cada uma das funções elementares da atividade, pois

esses arquivos deverão ser postados no ambiente virtual do Matem@tica na

Pr@tica para avaliação. Dê nome aos arquivos, de forma a identificar qual é a

função elementar em questão (por exemplo: cosseno.ggb. quadratica.ggb,

raiz.ggb, seno.ggb, exponencial.ggb, tangente.ggb, logaritmo.ggb).

2( )f x a x b x c

( )f x a b x c

( ) sen( )f x a b x c

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( ) eb xf x a c

( ) tg( )f x a b x c

( ) ln( )f x a b x c

Resposta Comentada

Esta atividade será avaliada no ambiente virtual. Você deve salvar arquivos

GeoGebra para cada uma das funções elementares da atividade e enviar

esses arquivos em tarefa específica do ambiente virtual.

Fim da Resposta Comentada

Fim da Atividade 2

Esperamos que você tenha apreciado a atividade anterior e tenha conseguido

perceber como os parâmetros influenciam os gráficos de diferentes funções.

Atividades como essas podem ser realizadas em escolas que possuem

laboratório de informática, sendo muito interessantes para os estudantes

perceberem e entenderem o significado matemático dos parâmetros das

funções elementares.

Page 18: Geogebra Algumas Atividades

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Janela pedagógica – O uso da informática na escola.

O uso do laboratório de informática da

escola ou de computadores na sala de aula

é bastante atrativo para os estudantes.

Porém, uma aula com o auxílio da

informática necessita de um cuidado maior

em seu planejamento. O professor precisa

ter domínio dos recursos computacionais

que serão utilizados e planejar bem como os estudantes irão trabalhar no

computador. O computador pode servir para muitas coisas, inclusive para tirar

a concentração do estudante na análise e no aprendizado do conteúdo que se

quer trabalhar. Uma dica interessante é realizar avaliações frequentes ao longo

da aula, solicitando a realização de alguma atividade após cada etapa do

trabalho que está sendo feito. Isso aumenta a probabilidade da aula ser

produtiva e de todos aprenderem mais.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/311477 - Foto: Charis Tsevis

Fim da Janela pedagógica

Na próxima seção, vamos construir um aplicativo no GeoGebra um pouco mais

elaborado do que um simples gráfico com parâmetros. Vamos literalmente

desenrolar arcos em uma circunferência de raio unitário para obter o gráfico do

seno. Preparado para este desafio?

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1258336 - Foto: Jon Fletcher

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3. Desenrolando o seno

Vamos começar esta seção com uma pergunta para você refletir:

Será que seus estudantes sabem trabalhar com ângulos em graus e em

radianos?

Faça o seguinte teste em sua sala de aula. Peça para a classe abrir os braços

formando um ângulo de 90º. Provavelmente a grande maioria irá abrir os

braços corretamente. O mesmo deverá ocorrer para 180º, 60º e 120º. Peça

agora para eles abrirem os braços formando um ângulo de 1 radiano. Será que

eles possuem a noção de quanto é essa abertura?

Pois bem, vamos ver como o GeoGebra pode ajudar você e seus estudantes

nessa questão. Vamos construir um aplicativo que permite relacionar graus

com radianos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para traçar o

gráfico do seno, como ilustrado a seguir.

Figura 10: Aplicativo Desenrolando arcos para traçar o gráfico do seno.

Page 20: Geogebra Algumas Atividades

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Imagine você, em sua sala de aula, movimentando o ponto P no aplicativo da

Figura 10 e observando, em movimento contínuo, a sequência de imagens a

seguir:

Imagine seus alunos observando o desenrolar do arco de circunferência no

eixo horizontal juntamente com o traçado do gráfico do seno. Quantos

aspectos interessantes sobre a trigonometria poderiam ser abordados na

visualização desse movimento, não acha?

Então, vamos aprender a construir o aplicativo da Figura 10?

Page 21: Geogebra Algumas Atividades

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Durante o processo, precisaremos construir e formatar doze objetos:

1. ponto (0,0)O : origem do sistema de coordenadas;

2. ponto ( 1,0)C : centro da circunferência de raio unitário;

3. circunferência 2 2: ( 1) 1c x y : centrada em C com raio unitário;

4. ponto P : ponto qualquer na circunferência c ;

5. ângulo a OCP

: ângulo com vértice em C enxergando o arco no

sentido anti-horário com origem O e extremidade em P ;

6. arco cc : arco no sentido anti-horário com origem P e extremidade em

O ;

7. ponto ( ,0)X a : ponto do eixo horizontal com distância à origem igual

ao comprimento do arco enxergado pelo ângulo a OCP

;

8. segmento s : com extremidades O e X ;

9. reta h : reta paralela ao eixo horizontal passando por P ;

10. reta v : reta perpendicular ao eixo horizontal passando por P ;

11. vetor u : vetor no eixo vertical com origem em O e extremidade

determinada pela ordenada de P ;

12. gráfico da função seno desde O até X .

Faremos a construção passo a passo, em 26

passos. Assim você pode indicar exatamente

o passo em que encontrou dificuldade, caso

necessite de ajuda.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/974922 - Foto: Zsuzsanna Kilián

Passo 1.1. Inicialize o GeoGebra clicando no ícone de acesso rápido

disponível na área de trabalho de seu computador. Este ícone ficou disponível

depois que você instalou o programa na Atividade 1, certo?

Page 22: Geogebra Algumas Atividades

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Passo 1.2. Antes mesmo de começar a montar o

aplicativo, salve-o na opção Gravar, disponível no

menu de Arquivo da barra de menu. Escolha um

nome de sua preferência; nós escolhemos o

nome desenrolando para este aplicativo.

Passo 1.3. Construa o ponto )0,0(O , via campo de entrada, digitando:

O = (0,0).

Atenção

Cuidado para não digitar “0” (zero) em vez da letra “O” para o nome do

ponto!

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos

Fim do Atenção

Passo 1.4. Clique com o botão direito do mouse

sobre o ponto , na pasta de Objetos

Livres, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto. Nessa janela,

clique na opção , (a última opção)

para habilitar a janela de alteração das

propriedades do ponto.

Irá aparecer uma tela semelhante a

esta imagem ao lado. Viu? Nesta

janela de alteração das propriedades

do ponto O , você deve fixar o ponto,

habilitando a opção , e

finalizar a formatação desse ponto

no botão , como indicam as marcações em vermelho na imagem.

Page 23: Geogebra Algumas Atividades

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Após a realização desse passo, a sua área de trabalho no GeoGebra deverá

estar idêntica à da Figura 11 a seguir:

Figura 11: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.4

Passo 1.5. Construa o ponto )0,1(C , via campo de entrada, digitando:

C=(-1,0)

Passo 1.6. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto

na pasta de Objetos Livres, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto. Nessa janela clique na opção ,

para habilitar a janela de alteração das propriedades do ponto, da mesma

forma que foi feito para o ponto O . Procedendo como anteriormente, na janela

de alteração das propriedades do ponto C você deve fixar o ponto, habilitando

a opção , e finalizar a formatação desse ponto no botão .

Repare que na área de trabalho aparecem agora os pontos C e O .

Page 24: Geogebra Algumas Atividades

24

Figura 12: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.6

Passo 1.7. Construa a circunferência c centrada no ponto C com raio unitário,

via campo de entrada, digitando c = círculo[C,1]

Atenção

Para funcionar, “C,1” deve ser digitado entre colchetes.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos

Fim do Atenção

Page 25: Geogebra Algumas Atividades

25

Passo 1.8. Clique com o botão direito do

mouse sobre a circunferência

na pasta de Objetos

Dependentes, para habilitar a janela com

as propriedades básicas desse objeto.

Nessa janela, clique na opção

, para habilitar a janela de alteração das

propriedades da circunferência.

Na janela de alteração das propriedades da

circunferência c, na aba Básico, desabilite a

opção Exibir Rótulo, clicando no quadradinho

ao lado desta opção

para desfazer a marcação desse quadrinho.

Na aba Estilo, movimente o seletor da

Espessura da Linha para a posição 3

; escolha o Estilo da Linha

como pontilhado ; finalize

a formatação da circunferência no botão

.

Após fechar a formatação, aparecerá uma tela como esta a seguir. Observe a

circunferência que acabamos de criar!

Page 26: Geogebra Algumas Atividades

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Figura 13: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.8

Passo 1.9. Construa um ponto P na circunferência c , via campo de entrada,

digitando P=ponto[c].

Atenção, também “c” deve ser digitado entre colchetes.

Passo 1.10. Clique com o botão direito do mouse

sobre o ponto na pasta de Objetos

Dependentes, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto. Nessa janela,

clique na opção , para habilitar a

janela de alteração das propriedades do ponto.

Page 27: Geogebra Algumas Atividades

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Na janela de alteração das propriedades do

ponto P , na aba Cor, escolha a cor

vermelha para o ponto

e finalize a

formatação do ponto no botão .

Experimente habilitar o comando Mover no ícone e movimentar o ponto

vermelho P via arrasto de mouse. Note que o ponto se movimenta sobre a

circunferência c . Para continuar, posicione o ponto P como na Figura a seguir.

Figura 14: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.10

Passo 1.11. Construa o ângulo a OCP

, via campo de entrada, digitando:

a = ângulo[O,C,P]

Atenção, “O,C,P” também deve ser digitado entre colchetes.

Page 28: Geogebra Algumas Atividades

28

Passo 1.12. Clique, com o botão direito do mouse,

sobre o ângulo na pasta de Objetos

Dependentes, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto (não se

preocupe se o valor para o ângulo que apareceu no

seu computador é diferente deste que mostramos).

Nessa janela, clique na opção , para

habilitar a janela de alteração das propriedades do ângulo.

Na janela de alteração das propriedades do

ângulo a , na aba Básico, escolha em

Exibir Rótulo: a opção Valor

e finalize a

formatação do ângulo no botão .

Agora deve aparecer uma janela como a que está mostrada a seguir:

Figura 15: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.12

Page 29: Geogebra Algumas Atividades

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Passo 1.13. Construa o arco cc , desde P até O no sentido anti-horário, via

campo de entrada digitando cc=arco[c,P,O]

Atenção, “c,P,O” deve ser digitado entre colchetes e não se esqueça de que

você deve digitar a letra O e não o número zero.

Passo 1.14. Clique, com o botão direito do

mouse, sobre o arco na pasta de

Objetos Dependentes, para habilitar a janela com

as propriedades básicas desse objeto (não se

preocupe se o seu valor para o arco for diferente

do que colocamos aqui como exemplo). Nessa

janela, clique na opção , para

habilitar a janela de alteração das propriedades

do arco.

Na janela de alteração das propriedades

do arco cc , na aba Básico, desabilite a

opção Exibir Rótulo: clicando no

quadradinho ao lado desta opção.

Na aba Cor, escolha uma cor verde

escuro ;

Page 30: Geogebra Algumas Atividades

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Na aba Estilo, posicione o seletor da

Espessura da Linha em 9

; finalize a

formatação do arco cc ângulo no botão

.

Após ter realizado todos estes procedimentos do passo 1.14 e ter formatado o

arco, deve aparecer uma janela como a que está mostrada a seguir. Note que

agora, na área de trabalho, temos os pontos P, C e O; a circunferência, o

ângulo e o arco da circunferência representados.

Figura 16: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.14

Page 31: Geogebra Algumas Atividades

31

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1278080 - Foto: Robert Linder

Depois de tudo isso, ainda há alguns passos para

chegarmos ao final do caminho e finalmente desenrolar

arcos no eixo horizontal, traçando o gráfico do seno...

Falta construirmos os eixos, novos pontos e os

segmentos de reta sobre os quais a circunferência irá se

desenrolar e formar o gráfico. Você já está cansado?

Calma, agora falta só um pouquinho...

O resultado, com certeza, valerá a pena!

Então, vamos aos próximos passos.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1278080 - Foto: Robert Linder

Passo 1.15. Construa o ponto )0,(aX no eixo horizontal, via campo de

entrada, digitando a expressão X = (a,0).

Atenção

Observe que o GeoGebra interpreta o valor do ângulo em radianos,

construindo um ponto no eixo horizontal, cuja distância à origem

corresponde à conversão do ângulo em radianos. Este é o ponto X que

aparecerá na área de trabalho do GeoGebra.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos

Fim do Atenção

Passo 1.16. Clique com o botão direito do mouse

sobre o ponto na pasta de Objetos

Dependentes, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto (não se

preocupe, provavelmente o seu valor para a

abscissa do ponto será diferente). Nessa janela,

Page 32: Geogebra Algumas Atividades

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clique na opção , para habilitar a janela de alteração das

propriedades do ponto.

Na janela de alteração das

propriedades do ponto X , na aba Cor,

escolha uma cor verde escuro

; finalize a

formatação do ponto X no botão

.

Observe o ponto X na imagem a seguir, deve ser parecido com o que

apareceu na tela do seu computador.

Figura 17: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.16

Page 33: Geogebra Algumas Atividades

33

Passo 1.17. Construa o segmento s com extremidades no ponto O e no ponto

X , via campo de entrada, digitando a expressão s = segmento [O,X].

E lembre-se que “O,X” deve ser digitado entre colchetes e que O não é o

número zero, e sim uma vogal maiúscula.

Passo 1.18. Clique, com o botão direito do

mouse, sobre o segmento na pasta

de Objetos Dependentes, para habilitar a janela

com as propriedades básicas desse objeto

(provavelmente o seu valor para o tamanho do

segmento será diferente). Nessa janela, clique na

opção , para habilitar a janela de

alteração das propriedades do segmento. Como

fizemos para os demais objetos, vamos formatar agora o segmento de reta.

Na janela de alteração das propriedades

do segmento s , na aba Básico, escolha

em Exibir Rótulo: a opção Valor

;

Na aba Cor, escolha uma cor verde

escuro ;

Page 34: Geogebra Algumas Atividades

34

Na aba Estilo, posicione o seletor da

Espessura da Linha em 9

; finalize a formatação

do segmento s no botão .

Agora o segmento de reta entre o O e X apareceu, como você pode ver na

imagem a seguir.

Figura 18: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.18

Passo 1.19. Construa a reta horizontal h passando por P , via campo de

entrada, digitando a sua expressão h = reta[P,EixoX].

Novamente, repare que “P,EixoX” deve ser digitado entre colchetes.

Page 35: Geogebra Algumas Atividades

35

Passo 1.20. Clique, com o botão direito do

mouse, sobre a reta na pasta de

Objetos Dependentes, para habilitar a janela

com as propriedades básicas desse objeto

(provavelmente o seu valor para a equação da

reta será diferente). Nessa janela, clique na

opção , para habilitar a janela de

alteração das propriedades da reta.

Na janela de alteração das propriedades

da reta h , na aba Básico, desabilite a

opção Exibir Rótulo:

;

Na aba Estilo, escolha o Estilo da Linha

como pontilhado ;

finalize a formatação do segmento s no

botão .

Veja na imagem a seguir e na tela de seu computador a reta horizontal bem

clara que está passando pelo ponto P . A interseção dessa reta com o eixo

vertical determina o valor do seno do ângulo a , certo?

Page 36: Geogebra Algumas Atividades

36

Figura 19: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.20

Passo 1.21. Construa a reta vertical v passando por X , via campo de entrada,

digitando sua expressão v = reta[X,EixoY].

Atenção, “X,EixoY” deve ser digitado entre colchetes.

Passo 1.22. Clique com o botão direito do

mouse sobre a reta , na pasta de

Objetos Dependentes, para habilitar a janela

com as propriedades básicas desse objeto

(provavelmente o seu valor para a equação da

reta será diferente). Nessa janela, clique na

opção para habilitar a janela de

alteração das propriedades da reta.

Page 37: Geogebra Algumas Atividades

37

Na janela de alteração das propriedades da

reta v , na aba Básico, desabilite a opção

Exibir Rótulo: ;

na aba Estilo, e escolha

Na aba Estilo, escolha o Estilo da Linha

como pontilhado ;

finalize a formatação do segmento s no

botão .

Aparecerá outra linha bem clara, mas desta vez na vertical, conforme a

imagem a seguir. A interseção destas linhas demarcará os pontos do gráfico do

seno ao mexermos no ponto P da circunferência.

Figura 20: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.22

Page 38: Geogebra Algumas Atividades

38

Passo 1.23. Construa o vetor u no eixo vertical, com origem no ponto O e

extremidade no ponto ),0( Py , digitando u = vetor[O, (0,y(P))].

Atenção, “O,(0,y(P))” deve ser digitado entre colchetes.

Atenção

No GeoGebra, os comandos que determinam a abscissa e ordenada de

um ponto P são “x(P)” e “y(P)”, respectivamente.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/997219 - Foto: Sigurd Decroos

Fim do Boxe de Atenção

Page 39: Geogebra Algumas Atividades

39

Passo 1.24. Agora que o vetor foi criado, vamos

(como sempre) alterar sua formatação. Para

isso, clique com o botão direito do mouse sobre

o vetor , na pasta de Objetos

Dependentes, para habilitar a janela com as

propriedades básicas desse objeto

(provavelmente o seu valor para a segunda

coordenada do vetor será diferente). Nessa

janela, clique na opção para

habilitar a janela de alteração das propriedades

do vetor.

Na janela de alteração das propriedades

do vetor u , na aba Básico, desabilite a

opção Exibir Rótulo:

;

Na aba Cor, escolha a cor vermelha

para o vetor ;

Page 40: Geogebra Algumas Atividades

40

Na aba Estilo, posicione o seletor de

Espessura da Linha em 5

; finalize a

formatação do vetor no botão .

Viu o vetor vermelho sobre o eixo vertical?

Figura 21: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.24

Agora estamos quase terminando... Vamos finalmente à construção do gráfico

do seno!

Passo 1.25. Construa o gráfico da função seno no intervalo ],0[ a , digitando a

expressão g = função[sin(x),0,a].

Atenção, “sin(x),0,a” deve ser digitado entre colchetes.

Page 41: Geogebra Algumas Atividades

41

Passo 1.26. Clique com o botão direito do

mouse sobre a função , na

pasta de Objetos Dependentes, para

habilitar a janela com as propriedades

básicas desse objeto. Nessa janela, clique

na opção , para habilitar a

janela de alteração das propriedades da

função.

Na janela de alteração das propriedades

da função g , na aba Básico, desabilite a

opção Exibir Rótulo:

;

Na aba Cor, escolha a cor vermelha para

o vetor ;

Na aba Estilo, posicione o seletor de

Espessura da Linha em 9

; finalize a formatação

do segmento s no botão .

Page 42: Geogebra Algumas Atividades

42

Agora você deve estar visualizando parte do gráfico do seno na área de

trabalho do GeoGebra.

Figura 22: Janela de trabalho após a realização do Passo 1.26

Pronto! Conseguimos!

Após esta longa trajetória,

finalizamos a construção do

aplicativo.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1218723 - Foto: Shilder

Agora que já terminamos a construção do aplicativo, experimente habilitar o

comando Mover no ícone e movimentar o ponto vermelho P via arrasto de

mouse. Viu que divertido?

Page 43: Geogebra Algumas Atividades

43

Atividade 3 – Usando o aplicativo em sala de aula

Visualizar o “desenrolar” do arco de circunferência no eixo horizontal e o

traçado simultâneo do gráfico do seno pode proporcionar uma aprendizagem

de trigonometria muito mais significativa. Faça um breve relato de como você

poderia usar este aplicativo em uma aula sobre trigonometria.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/488483 - Foto: Andrzej Pobiedziński

Resposta comentada

Uma primeira possibilidade seria você projetar o aplicativo em sala de aula

para exploração durante a aula; nesse caso, o aplicativo funcionaria como uma

lousa animada. Uma segunda possibilidade, e muito mais interessante, seria

utilizar o aplicativo em um laboratório de informática, para exploração de seus

alunos. Nesse caso, você poderia preparar, a priori, uma folha de atividades

para serem respondidas pelos alunos, com procedimentos a serem realizados

no Geogebra, perguntas relacionadas a uma determinada situação gráfica,

etc...

Fim da Resposta comentada

Fim da atividade 3

4. Um ajuste trigonométrico

Vamos finalizar esta última etapa da disciplina de funções elementares com

uma atividade para ser realizada no GeoGebra, envolvendo as

temperaturas médias mensais das capitais dos Estados brasileiros.

Fonte: http://www.sxc.hu/photo/733419 - Foto: Ove Topfer

Nós, da equipe do Matem@tica na Pr@tica, vamos usar as temperaturas

médias mensais da cidade de Brasília, enquanto você irá usar os dados da

capital de seu Estado. Se você é professor de Brasília, use os dados de

Goiânia, capital de Goiás.

Page 44: Geogebra Algumas Atividades

44

Vamos recorrer à internet para buscar

os dados. Uma boa fonte de busca é o

Banco de Dados Climáticos da

Embrapa. Lá é possível resgatar as

temperaturas médias mensais de

várias cidades brasileiras, nas décadas

de 60 a 90.

Fonte: ww.bdclima.cnpm.embrapa.br

Atividade 4 – Pesquisando dados sobre temperaturas médias

Acesse o Banco de Dados Climáticos do Brasil da Embrapa, no endereço

eletrônico www.bdclima.cnpm.embrapa.br/resultados/index.php. Clique no

mapa do Brasil sobre o seu Estado e escolha, dentre os municípios

disponíveis, a capital do Estado. Processe a busca e resgate para a tabela

abaixo as temperaturas médias mensais correspondentes à coluna T (oC).

Lembre-se que nós fizemos a atividade com a cidade de Brasília.

JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

Sua capital

Brasília 21,6 21,8 22,0 21,4 20,2 19,1 19,1 21,2 22,5 22,1 21,7 21,5

Fim da atividade

De posse dos dados das temperaturas médias mensais, é hora de pôr a mão

na massa novamente.

Vamos construir juntos um aplicativo GeoGebra para ajustar uma curva

trigonométrica aos pontos tabelados. Nós vamos fazer o ajuste com os dados

da cidade de Brasília, enquanto você fará com os dados da capital de seu

Estado, certo? Novamente faremos a construção do aplicativo passo a passo,

em 13 passos, para que você possa indicar exatamente o passo onde

encontrou dificuldade no caso de necessidade de ajuda.

Page 45: Geogebra Algumas Atividades

45

Passo 2.1. Inicialize o GeoGebra clicando no ícone de acesso rápido,

disponível na área de trabalho de seu computador;

Passo 2.2. Salve o aplicativo na opção Gravar

disponível no menu de Arquivo da barra de menus.

Escolha um nome de sua preferência; nós

escolhemos o nome brasilia para este aplicativo.

Passo 2.3. Habilite o ajuste da janela de trabalho

na opção Janela de Visualização disponível no

menu de Opções da barra de menus. Irá aparecer

a caixa de diálogo “Janela de Visualização” a

seguir.

Nesta caixa de diálogo, você deve definir a variação do eixo horizontal (EixoX)

de -1 a 13 e do eixo vertical (EixoY) de -2 a 50, conforme ilustrado aqui.

Page 46: Geogebra Algumas Atividades

46

Passo 2.4. Construa pontos relacionados às temperaturas médias mensais

tabeladas para a capital de seu Estado, digitando cada um deles na caixa de

entrada de expressões algébricas do GeoGebra. No caso de Brasília, foi

preciso digitar M01 = (1,21.6) para janeiro, M02 = (2,21.8) para fevereiro, e

assim por diante, até M12 = (12,21.5) para dezembro, conforme ilustramos a

seguir:

e, assim por diante, até

Após construir estes pontos, clique com o botão direito do mouse sobre cada

um deles na pasta de Objetos Livres, em seguida, clique sobre

para habilitar a janela com as propriedades básicas de ponto, fixe a posição de

cada ponto construído habilitando a opção e finalize a formatação no

botão . Procedimentos parecidos com o que já fizemos antes. Agora

você é capaz de fazê-los bem mais rápido, não é mesmo? Já está se

acostumando com o uso do GeoGebra.

A área de trabalho que aparecerá na sua tela é semelhante à ilustrada na

Figura 23.

Page 47: Geogebra Algumas Atividades

47

Figura 23: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.4

Passo 2.5. Construa um seletor “T”,

habilitando a função seletor na barra de

menu do GeoGebra e depois clicando na

área de trabalho. Você se lembra que a

primeira coisa que aprendemos foi construir

e configurar seletores para bailar com as

funções elementares? Agora é a sua vez de

construir e configurar o seletor como ilustrado ao lado.

Passo 2.6. Agora construa e configure um seletor “a” como ilustrado a seguir.

Page 48: Geogebra Algumas Atividades

48

Passo 2.7. Construa e configure um seletor “b” como ilustrado a seguir.

Passo 2.8. Construa e configure um seletor “c” como ilustrado a seguir.

Passo 2.9. Habilite a função Mover no ícone da barra de menu do

GeoGebra e alinhe todos os seletores na parte superior do aplicativo, como

aparece na imagem a seguir.

Figura 24: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.9

Page 49: Geogebra Algumas Atividades

49

Passo 2.10. Construa o gráfico da função cxbaTxf sen)( , via campo

de entrada, digitando f(x) = T + sin(bx+c).

Atenção, a função seno no GeoGebra é reconhecida pela expressão “sin(...)”.

Figura 25: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.10

Passo 2.11. Construa um segmento vertical d01, ligando M01 ao gráfico de

)(xf , via campo de entrada. Observe que este segmento liga os pontos M01 e

(1,f(1)). Para criar este segmento, digite d01 = segmento [M01,(1,f(1))].

Após construir este segmento, clique sobre ele na pasta de Objetos

Livres, clique sobre para habilitar a janela com as propriedades

básicas de ponto, desabilite a opção Exibir Rótulo na aba Básico

e escolha a cor

na aba Cor, finalizando a formatação do segmento no botão .

Page 50: Geogebra Algumas Atividades

50

Veja como ficará a área de trabalho do GeoGebra.

Figura 26: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.11

Passo 2.12. Construa os segmentos verticais d02,...,d12 ligando M02,...,M12

ao gráfico de )(xf , via campo de entrada, repetindo o passo anterior.

Depois de realizar este passo, todos os pontos da temperatura estarão ligados

verticalmente ao gráfico, como mostra a imagem abaixo.

Figura 27: Janela de trabalho após a realização do Passo 2.12

Page 51: Geogebra Algumas Atividades

51

Passo 2.13. Vamos agora construir a soma das distâncias verticais dos pontos

M01, M02,...,M12 ao gráfico de )(xf . Para isso, digite na caixa de entrada a

expressão D=d01+d02+d03+d04+d05+d06+d07+d08+d09+d10+d11+d12

Observe que o valor da soma D irá

aparecer na pasta de Objetos Dependentes

da janela de trabalho do GeoGebra.

(Certamente o valor que vai aparecer na

tela de seu computador é diferente do valor

ilustrado na figura).

Pronto! Já temos um aplicativo que permite ajustar o gráfico de uma curva

trigonométrica do tipo cxbaTxf sen)( aos pontos indicativos das

temperaturas mensais médias da capital de seu Estado. A melhor curva nesse

tipo de ajuste é aquela que se aproxima mais desses pontos, no sentido de

tornar o valor da distância da curva aos pontos em questão no menor valor

possível.

Tudo o que temos a fazer para ajustar a curva no aplicativo é habilitar a função

Mover no ícone da barra de menu do GeoGebra e movimentar as

“bolinhas” nos seletores “T”, “a”, “b” e “c” até obter um valor mínimo para a

distância na pasta de Objetos Dependentes. Experimente!

Atividade 5 – Ajustando os valores dos parâmetros

Use o aplicativo para ajustar os valores dos parâmetros “T”, “a”, “b” e “c”, de

forma a obter uma curva cxbaTxf sen)( mais próxima possível das

temperaturas médias mensais da capital de seu Estado. Você deve ajustar

cada um dos parâmetros do aplicativo observando a variação do valor da soma

das distâncias desses pontos à curva, dada pela variável D na pasta de objetos

dependentes. Tente encontrar os valores para esses parâmetros que tornam

essa distância D a menor possível.

Page 52: Geogebra Algumas Atividades

52

T a b c Dmin

Sua capital

Brasília 20,8 1,5 0,81 6,03 3,87

Figura 28: Valores encontrados para a cidade de Brasília

Início da resposta comentada

Os valores que mais aproximaram a curva dos dados de Brasília foram

8.20T , 5.1a , 81.0b , 03.6c , 87.3d . Esses valores foram obtidos

movimentando os respectivos seletores no aplicativo e observando a variação

do número D , correspondente à soma das distâncias dos pontos ao gráfico,

até encontrar um valor mínimo para D .

Fim da Resposta Comentada

Fim da Atividade 5

Chegamos ao final desta etapa da disciplina de Funções Elementares.

Esperamos que você tenha gostado de conhecer e de explorar o GeoGebra!

Fique à vontade para brincar e descobrir ainda mais as potencialidades desse

software de geometria dinâmica!

Page 53: Geogebra Algumas Atividades

53

5. Conclusão

Nesta etapa, você foi apresentado ao GeoGebra, um software de geometria

dinâmica, e viu como é possível construir aplicativos específicos para

determinados conteúdos matemáticos nesse software. Nosso objetivo principal

neste momento foi que você se familiarizasse com este software, se sentindo

seguro para refletir sobre o potencial de seu uso na escola.

Esperamos que o GeoGebra possa fazer parte do ferramental de suas aulas de

Matemática a partir de agora. É mais uma metodologia que pode ajudar você a

pensar em aulas diferentes e em novas formas de desenvolver um

ensino/aprendizagem de Matemática mais significativo, especialmente sobre o

conteúdo de funções elementares.

Porém, é importante que você não pare por aqui. O uso do GeoGebra e de

outros recursos computacionais pode enriquecer muito suas aulas e

proporcionar um “upgrade” em sua prática docente. Que tal tentar?

6. Resumo

Nesta etapa, vimos:

Como instalar o GeoGebra, um software de geometria dinâmica;

Como construir aplicativos no GeoGebra para explorar a visualização dos

gráficos das funções elementares de forma dinâmica, a partir da modificação

dos valores dos parâmetros dessas funções;

Como construir um modelo de aplicativo no GeoGebra para ser utilizado no

ensino de trigonometria;

Como construir um modelo de aplicativo no GeoGebra para ser utilizado em

atividades exploratórias envolvendo ajuste de pontos.

Page 54: Geogebra Algumas Atividades

54

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