Geogebra Prcurso Inicial

Centro de Comptência CRIEEscola Superior de Educação de Setúbal

GEOGEBRA – UM PERCURSO INICIAL

João Torres

[email protected]

José Duarte

[email protected]

Fevereiro de 2008

Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -1-

Conteúdo

1 Sobre este documento 2

2 Soma dos ângulos internos de um triângulo 3

3 Construção de polígonos regulares 63.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpendiculares 63.2 Construção de um quadrado utilizando rotações . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Valor de π 11

5 Teorema de Pitágoras 12

6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular) 14

7 Estudo de famílias de funções 16

Tecnologias na aprendizagem da Matemática


1 Sobre este documento

Este documento não pretende ser um guia exaustivo do programa. Trata-se ape-nas de uma compilação da resolução passo-a-passo de desafios elementares de modoa explorar algumas das potencialidades e ferramentas do programa. Destina-se essen-cialmente a professores que nunca tenham utilizado nenhum programa de geometriadinâmica ou que, conhecendo outros, queiram testar o Geogebra.

A passagem pelos desafios propostos deveria permitir descobrir algumas das fun-cionalidades do programa autonomamente, de modo a possibilitar a compreensão eelaboração de desafios mais arrojados.

Cada vez que seja utilizada uma ferramenta, ou procedimento, pela primeira vezo processo será ilustrado por uma figura. Sempre que esse procedimento, ou algummuito parecido, já tenha sido ilustrado partiremos do principio que não há necessi-dade de o voltar a ser e apontaremos apenas para a figura onde foi o procedimentofoi utilizado pela primeira vez, mesmo que se trate de uma resolução anterior. Assimaconselha-se que a resolução sequencial dos desafios propostos.



2 Soma dos ângulos internos de um triângulo

1. Esconda o sistema de eixos JFig. 1I;

2. defina um triângulo traçando três segmentos de recta JFig. 2I;

3. peça as medidas dos ângulos internos do triângulo JFig. 3I. O Geogebra atribuiautomaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos.

4. calcule a soma dos três ângulos JFig. 4I. Pode ver agora a variável soma nabarra de álgebra JFig. 5I.

5. represente no ecrã, junto ao triângulo a soma dos ângulos internos JFig. 6I.

6. arraste os pontos, alterando o triângulo. Verifique que a soma dos ângulos inter-nos se mantém.

Figura 1: Esconder Eixos de coordenadas – desactive a opção real-çada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretendever ou um fundo quadriculado, a janela de álgebra, etc

Figura 2: Para traçar um segmento de recta escolha a ferramentaevidenciada e faça clique no ecrã para definir um ponto,arraste e faça um segundo clique.



Figura 3: Seleccione a ferramenta em destaque e aponte para os 3pontos que definem o ângulo

Figura 4: Para definir uma variável (soma) que escreva na linha deentrada soma=α + β + γ. Para obter as letras gregasutilize a caixa assinalada na figura.

Figura 5: Em destaque a o resultado da soma Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto najanela do Geogebra. Pode juntar várias cadeias de textoseparando-as pelo sinal de “+”. Neste caso “Soma=α +

β +γ =” será texto enquanto que a segunda vez que apa-rece a palavra soma será substituída pelo valor da variáveldefinida anteriormente, uma vez que não se encontra entre” “.



Figura 7: Para arrastar os pontos deve seleccionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrário, continuará a utilizar a última ferramentaque tinha utilizado



3 Construção de polígonos regulares

O Geogebra tem uma ferramenta que permite construir polígonos regulares, queutilizaremos adiante, bastando definir um dos lados e indicar qual o número de ladosdo polígono. Pode, no entanto, ser interessante pedir aos alunos que construam essespolígonos obedecendo às suas propriedades.

3.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpen-

diculares

1. Esconda os de eixos JFig. 1I;

2. defina um segmento de recta AB JFig. 2I

3. trace uma recta perpendicular ao segmento de recta que passe pelo ponta AJFig. 8I;

4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo ponto B JFig. 9I;

5. marque um dos pontos (C) de intersecção da circunferência com a recta JFig. 10I;

6. trace uma recta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a [AB] quepasse por B;

7. marque o ponto de intersecção das rectas traçadas no ponto anterior e defina ossegmentos BC, CD e DA JFig. 10I;

8. esconda a circunferência e as rectas auxiliares de que já não precisa JFig. 12I;

9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadradoJFig. 13I

10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas semantêm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) JFig. 7I.



Figura 8: Traçar uma recta que passa por um ponto dado e é per-pendicular a um segmento. Seleccione a ferramenta emevidência na figura, depois, faça clique no segmento e noponto.

Figura 9: Traçar uma circunferência definida pelo centro e umponto. Seleccione a ferramenta em destaque, depois façaclique no Centro, arraste e faça clique no ponto que per-tence à circunferência

Figura 10: Marcar um pontos de intersecção. Seleccione a ferra-menta destacada, aponte para o ponto de intersecção dosobjectos e faça clique quando estiverem ambos selecciona-dos (ficam ligeiramente mais escuros)

Figura 11: Definir uma recta paralela ao segmento AB que passapelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faça cliquesobre o segmento AB e depois sobre o ponto C



Figura 12: Esconder objectos. Para esconder um objecto faça clique,com o botão do lado direito, sobre o objecto e escolha aopção “Exibir objecto” de modo a desactivar a sua visibi-lidade

Figura 13: Ferramentas para obter comprimentos, distâncias e am-plitudes de ângulos. Para medir comprimentos basta se-leccionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmentoou circunferência. Pode também obter a distância entredois pontos fazendo clique num e depois no outro. Paraas amplitudes dos ângulos, seleccione a ferramenta des-tacada e, de seguida, três pontos de modo a que o vérticeseja o segundo ponto a ser apontado.



Figura 14: Quadrado



3.2 Construção de um quadrado utilizando rotações

1. Definina um segmento de recta AB JFig. 2I;

2. obtenha um ponto (C) através de um rotação de 90o do ponto B em torno doponto A JFig. 15I;

3. obtenha o último vértice do quadrado (D) por rotação, no sentido inverso, doponto A em torno do ponto B;

4. una os vértices obtidos e verifique que se trata de um quadrado que mantém aspropriedades quando arrasta os pontos A ou B JFig. 7I.

Estes processo pode ser utilizado para obter qualquer polígono regular. Os alu-nos podem ser desafiados investigar o ângulo da rotação para cada um dos polígonosregulares, relacionando-o com o número de lados.

Podemos também fazer as construções partir de uma circunferência, encontrandoas imagens da rotação de um ponto em torno do centro.

Figura 15: Rodar um objecto com centro num ponto. Seleccione aferramenta em destaque na e depois faça clique no pontoa rodar e no centro da rotação. Na caixa que surge escrevao número de graus que o ponto deve rodar e termine com“aplicar”;

Figura 16: Definir os parâmetros e sentido da rotação



4 Valor de π

1. Comece por representar uma circunferência JFig. 9I;

2. represente o seu diâmetro

• trace uma semi-recta que passe por um ponto da circunferência e pelo seuCentro JFig. 17I;

• Marque o segundo ponto de intersecção da semi-recta com a circunferênciaJFig. 10I;

• represente o diâmetro da circunferência e esconda a semi-recta de que já nãoprecisa JFig. 12I;

3. peça as medidas do perímetro e do diâmetro da circunferência JFig. 13I

4. calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência, definindo umavariável de nome “razao” JFig. 18I;

5. a variável “razao” aparece agora na janela álgebra e, como seria de esperar, o seuvalor é igual a π. Pode aumentar o número de casas decimais no menu opções.

Figura 17: Definir uma semi-recta. Com a ferramenta em destaqueseleccionada, faça clique no ponto que define a extremi-dade da semi-recta e depois num outro ponto por onde eladeverá passar

Figura 18: Na linha de entrada escreva “ra-zao=Circunferencia[c]/b”. Circunferência é umdos comandos do Geogebra que nos devolve o perímetrode uma circunferência. Repare o programa completa onome do comando quando escrevemos as três primeirasletras.



5 Teorema de Pitágoras

1. Esconda os eixos JFig. 1I;

2. desenhe um triângulo rectângulo.Um processo possível é começar por definir um segmento de recta AB; JFig. 2Idepois trace uma recta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto B.Para isso, depois de escolher a ferramenta em evidência na JFig. 8I faça cliqueno ponto B e no segmento de recta AB.

3. defina um ponto sobre essa recta e defina os segmentos de recta [AC] e [BC].Podemos agora esconder a recta auxiliar b, que serviu apenas para garantir oângulo ABC é recto e assim o triângulo ABC rectângulo.

4. construa quadrados sobre cada um dos lados do triângulo rectângulo utilizandoa ferramenta em evidência na JFig. 19I.

5. torne visível a área dos quadrados (Ferramenta em evidência na JFig. 20I).

6. defina uma nova variável que some as áreas dos dois quadrados construídos so-bre os catetos.Repare, na janela de álgebra, que o valor de cada área foi associado a uma va-riável de nome polyn em que n varia de 1 a 3. Assim temos a variável poly1,poly2 e poly3 correspondentes às áreas dos três polígonos (no nosso caso quadra-dos) que pedimos. Para somarmos as duas áreas escrevemos na linha de entradaSoma=poly2+poly3 JFig. 21I.

Podemos agora comparar o valor obtido com o correspondente à área do quadradomaior construído sobre a hipótenusa. Tente a construção com outros polígonos regu-lares como triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Experimente também comsemi-cículos.



Figura 19: Construção de polígonos regulares. Para construir po-lígonos regulares com esta ferramenta basta definir umsegmento de recta apontando para dois pontos e depoisindicar o número de lados polígono.

Figura 20: Mostrando áreas. Seleccione a ferramenta em destaque eaponte para objecto de que quer calcular a área

Figura 21: Somando duas áreas. Na linha de entrada de comandos escreva “soma=poly2+poly3”, supondo que são estas as variáveis querepresentam as áreas dos dois quadrados mais pequenos



6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular)

. O João tenciona mandar construir uma casa numa ilha com a forma de um tri-ângulo equilátero. Cada lado do triângulo é uma praia espectacular: numa delas aondulação é a ideal para a prática de surf, outra é uma praia de águas calmas, formi-dável para nadar, e a terceira costuma ser frequentada por umas miúdas muitos giras.

Ora o João, que é um surfista de primeira água, um exímio nadador e um amantede boas vistas, pretende que a sua casa fique num sítio tal que a soma das distâncias àspraias seja a menor possível. Onde deve o João mandar construir a casa?

Investigue o problema com um programa de geometria dinâmica. . .

1. “Construa” uma ilha (com a forma de triângulo equilátero) e marque a casa (umponto) no seu interior. Obtenha as distâncias da casa a cada um dos lados da ilha(incluindo as respectivas medidas).

2. Desloque a casa no interior da ilha e tente descobrir o que acontece à soma dastrês distâncias. Observe, em particular, o que acontece quando coloca a casa numdos lados da ilha ou num dos vértices.

3. Some as três distâncias e afixe esse resultado no ecrã. Calcule também a alturado triângulo e afixea igualmente no ecrã. Encontra alguma relação? No cadernodesenhe uma tabela com cinco colunas e seis linhas. Nas células da 1a linha intro-duza, sucessivamente, as três distâncias, a respectiva soma e a altura. Desloqueoutra vez a casa no interior da ilha, e, noutra linha da tabela, introduza o novoconjunto de valores. Repita este procedimento mais três vezes. Modifique tam-bém o lado do triângulo.

4. Estabeleça uma conjectura sobre o que observou. Já consegue indicar qual é omelhor sítio para o João construir a casa?

Adaptado de Educação e Matemática no 37, 1996

Nota: Tente elaborar uma prova geometricamente. Para o efeito una o ponto querepresenta a casa aos vértices do triângulo obtendo assim 3 novos triângulos. Atravésde rotações e translações, alinhe os três triângulos sobre a linha que representa a alturada ilha, de acordo com a figura abaixo.



Figura 22: Prova geométrica



7 Estudo de famílias de funções

1. Comece por definir dois parâmetros (a e b) utilizando a ferramenta selector;

2. defina uma função afim que dependa destes dois parâmetros escrevendo na linhade entrada y=a*x+b

3. altere os valores de a e b arrastando os pontos sobre a linha.Note que pode alterar as propriedades dos parâmetros para, por exemplo, toma-rem só valores inteiros.

Figura 23: Estudo de uma família de funções


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