Álgebra Linear e Geometria Analítica 10ª aula. Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em n.
GEOMETRIA -10º ANO Vectores: Definição Operações Propriedades Exemplos.
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GEOMETRIA -10º ANO
Vectores:
Definição Operações Propriedades Exemplos
Noções básicas Segmentos orientados equipolentes – são segmentos com a
mesma direcção, o mesmo comprimento e o mesmo sentido.
Nota: [A,B] é o segmento orientado de origem em A e extremidade em B, o que é diferente de [B,A].
Exemplo: [A,B] e [T,U] ou [B,M] e [D,O]
Não são exemplos válidos: [L,M] e [O,N]
Vector (ou vector livre)
Um vector livre é um ente matemático caracterizado por uma
direcção um sentido e um comprimento.
Colecção de segmentos equipolentes
Todos estes segmentos orientados
representam o mesmo vector
Carimbamos esta colecção
com o nome de vector
EXEMPLOOs segmentos orientados [Q,R], [S,T], [A,B], [I,J], etc,
representam o mesmo vector que podemos representar
por qualquer um dos seus representantes do seguinte
modo: ou ou por uma
letra minúscula como por exemplo:
AB
IJ
u
RESUMINDO
Para ter definido um vector interessa saber:
DIRECÇÃO SENTIDO COMPRIMENTO
Não te esqueças: não interessa o ponto de aplicação, o vector só depende daquelas três variáveis.
Termos Básicos e são vectores colineares se
Exemplos:
u
u
v
,u kv k
3u
2u
Se k<0 então os vectores têm sentidos diferentes.
Se k>0 então os vectores têm o mesmo sentido.
Se -1<k<1 então o comprimento (norma) de é superior ao de .
Se k<-1 ou k>1 então a norma de é menor que a de .
Se k=-1 os vectores são simétricos.
Se k=1 os vectores são o mesmo.
u
v
u
v
1
2u u
u
Vectores simétricos
Adição de vectores colineares
Quando os vectores têm o mesmo sentido é só adicionar os seus comprimentos e manter o sentido.
Se os sentidos forem diferentes o vector soma fica com um comprimento igual à diferença do comprimento dos dois vectores e o sentido é o do vector de maior norma.
u
v
u v
w
v
v w u
Adição de vectores – Regra do paralelogramo
u
v
u v
Atenção!!! É necessário que os vectores estejam
aplicados no mesmo ponto
Regra do triânguloCuidado, para aplicar esta regra é que necessário que a extremidade de um dos vectores coincida com a origem do outro:
A regra a utilizar depende do problema em causa, mas podes “quase sempre” aplicar as duas regras cabe-te a ti escolheres a mais adequada.
u
v u v
Exemplo de aplicação
E agora que fazer para adicionar estes dois vectores???
u
Como nos vectores não interessa o ponto de aplicação consideramos outro
representante aplicado ou na mesma origem do outro vector ou na extremidade conforme a regra que se queira aplicar!!
Regra do paralelogramo
v
v
u v
Exemplo de aplicação
O mesmo exemplo mas com a aplicação da regra do triângulo
Como nos vectores não interessa o ponto de aplicação consideramos outro
representante aplicado na extremidade do outro vector!!
Regra do triângulo
u v
u
v
v
Subtracção de vectores
Subtrair é o mesmo que adicionar com o simétrico, ou seja,
v
u v u v
u
v
v
u v
Regra do paralelogramo
Soma de um ponto com um vector
Ponto A
Ponto B
AB
Então:
A AB B
ou seja
AB B A
Transladaram a estátua do pirata do ponto A para o ponto B, ou seja, associado ao vector AB
Vectores dos eixos coordenadosNo plano:
O eixo Ox tem a direcção do vector O eixo Oy tem a direcção do vector
No espaço ocorre o mesmo com os três eixos Ox, Oy e Oz
O eixo Ox tem a direcção do vectorO eixo Oy tem a direcção do vectorO eixo Oz tem a direcção do vector
2 (0,1,0)e
1 (1,0)e
3 (0,0,1)e
2 (0,1)e
1 (1,0,0)e
Componentes de um vector
1 2 3
1
2
x
y
u
1 23 2u e e
Como o referencial em causa é ortonormado, assim neste referencial pode-se escrever
3,2u
O mesmo se pode fazer com referenciais o.n. no espaço.
1e2e
EXERCÍCIO
AB HN
2
3BD AQ
2A TU
MN OT
AB PO
AB AC
AG
BO
AD
C
RN
0
Exercício
3,0a
0, 3b
1,2c
2,5d
5, 3f
4, 4g
6,6h