Polígonos

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Geometria planaGeometria plana

Índice

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Semelhança de triângulos

Triângulos

Congruência de triângulos

Quadriláteros

Teorema de Tales

Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

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PolPol íígonosgonos

DefiniDefini ççãoão

Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha

determina.

As figuras a seguir são polígonos

As figuras a seguir não são polígonos

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Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está

sempre contido nela.

PolPol íígonos convexos e polgonos convexos e pol íígonos côncavosgonos côncavos

Polígonos convexos Polígonos côncavosUm polígono se diz côncavo quando

existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.

A

B

A

B

São polígonos convexos São polígonos côncavos

PolPol íígonosgonos

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PolPol íígonosgonos

Elementos de um polElementos de um pol íígonogono

No polígono ABCDE ao lado temos que:

A

B

CD

E

• Os segmentos são os lados do polígono;

, , , ,AB BC CD DE EA

• Os pontos A, B, C, D, E são os vérticesdo polígono;

• Os segmentos são as diagonais do polígono;

, , , ,AC AD BD BE CE

• são os ângulosdo polígono;

ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB

Nota:Diagonal de um polígono é o segmento de

reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.

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PolPol íígonosgonos

Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos

congruentes (ângulos que possuem a mesma medida).

PolPol íígonos regularesgonos regulares

A

B

CD

E Num polígono regular destacamos:

• O centroÉ o ponto que dista igualmente de todos

os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.)

M

O

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Nome dos polNome dos pol íígonosgonos

De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:

Número de lados

Nome Número de lados

Nome

3 Triângulo 9 Eneágono4 Quadrilátero 10 Decágono5 Pentágono 11 Undecágono6 Hexágono 12 Dodecágono7 Heptágono 15 Pentadecágono

8 Octógono 20 Icoságono

PolPol íígonosgonos

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PolPol íígonosgonos

Soma das medidas dos ângulos internos:

( )180º 2iS n= −

Soma das medidas dos ângulos externos: 360ºeS =

Ângulos internos de um polígono regular:

( )180º 2 ou i

i i

nSa a

n n

−= =

Ângulos externos de um polígono regular:

360º ou e

e e

Sa a

n n= =

Número de diagonais de um polígono:

( )3

2

n nd

−=

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Triângulos Triângulos ―― classificaclassifica ççãoão

Quanto aos ângulos Quanto aos lados

Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.

Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras:

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

Isósceles: dois lados de mesma medida.Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida.

Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.

Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.

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Triângulos Triângulos -- medidas de seus ângulosmedidas de seus ângulos

Soma das medidas dos Soma das medidas dos ângulos internosângulos internos

Teorema do ângulo externoTeorema do ângulo externo

CondiCondi çção de existência de um triânguloão de existência de um triângulo

α + β + γ = 180º α + x = 180º β + γ = x

A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior.

b + c > a

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Triângulos Triângulos –– cevianas e pontos notcevianas e pontos not ááveisveis

Ceviana Definição Ponto notável Figura

MedianaÉ o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo.

BissetrizÉ o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.

Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados.

AlturaÉ o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.

Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo.

MediatrizReta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e éperpendicular a ele.

Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices.

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Congruência de triângulosCongruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão amesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.

1o caso: LALDois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente

3o caso: ALADois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente

4o caso: LAAoUm lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente

2o caso: LLLTrês lados congruentes

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SemelhanSemelhan çça de triângulosa de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes.

1o caso: AASe dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.

3o caso: LALDois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais.

2o caso: LLLDois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

Casos de semelhanCasos de semelhan çça:a:Assim teremos:

= = =AB BC ACconstante

DE EF DF

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RelaRelaçções mões m éétricas no triângulo retângulotricas no triângulo retângulo

Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em .

ADBC BC

Definições dos segmentos:

=

=

=

=

=

=

BC hipotenusa (medida "a")

AB cateto (medida "c")

AC cateto (medida "b")

BD projeção do cateto AB

sobre a hipotenusa (medida "m")

DC projeção do cateto AC

sobre a hipotenusa (medida "n")

AD altura relativa à

hipotenusa (medida "h")

Assim teremos: 2 2 2

2

2

2

= +⋅ = ⋅

= ⋅= ⋅= ⋅

a b c

a h b c

b m a

c n a

h m n

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QuadrilQuadril ááterosteros

Quanto aos ângulos

Quanto às diagonais

Quanto aos lados

ParalelogramoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

Encontram-se no seu ponto médio.

Lados opostos congruentes.

RetânguloQuatro ângulos retos.

São congruentes. Lados opostos congruentes.

LosangoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.

São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Quatro lados congruentes.

QuadradoQuatro ângulos retos.

Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.

Quatro lados congruentes.

São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.

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QuadrilQuadril ááterosteros

Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.

Trapézio retânguloÉ todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base éperpendicular às duas bases.

Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.

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Teorema de TalesTeorema de Tales

Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer determinam segmentos proporcionais.

Assim teremos:

= =AB BC ACDE EF DF

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Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um tri ânguloTeorema da bissetriz de um ângulo interno de um tri ângulo

Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo.

Assim teremos:

=BD ABDC AC