Geometria Algébrica

IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática( Universidade Estadual de Maringá – PR )

Cleber Haubrichs dos Santos( CEFET Química de Nilópolis – RJ )

apresentam

&

Uma IntroduUma IntroduUma IntroduUma Introduçççção Ilustrada ão Ilustrada ão Ilustrada ão Ilustrada

àààà Geometria AlgGeometria AlgGeometria AlgGeometria Algéééébrica Clbrica Clbrica Clbrica Cláááássicassicassicassica

# 29 de Setembro a 03 de Outubro de 2008 #

O belo do infinito é que não existe um adjetivo sequer que

se possa usar para defini-lo. Ele é, apenas isso: é.

(...)

Que pena eu não entender de física e matemática para

poder, nessa minha divagação gratuita, pensar melhor e

ter vocabulário adequado para transmissão do que sinto.

(...)

Qual a forma mais adequada para que

o consciente açambarque o infinito?

Clarice Lispector – “Divagando Sobre Tolices”Publicado no Jornal do Brasil, 13 de Junho de 1970

Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ

Parte IV: A Geometria Projetiva mostra os pontos que estavam faltando

Parte III: A Geometria Complexa ainda não resolve tudo

Parte II: A Geometria Analítica Real é boa mas tem seus defeitos

Parte I: Uma Introdução Histórica

Neste mini curso estudaremos alguns conceitos básicos da Geometria Algébrica Clássica, tendo como motivação o TEOREMA DE BEZOUT

IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica



RESUMO do CURSO

Para entender o Teorema de Bezout em sua versão

projetiva, vamos introduzir e trabalhar os seguintes

conceitos: curvas algébricas, interseção de curvas,

multiplicidade de interseção, plano projetivo,

coordenadas homogêneas, entre outros.



CARACTERÍSTICAS

Deseja-se que esta apresentação alcance e

seduza o maior número possível de alunos. Para

tanto, as características pretendidas para este curso são:

•Poucos pré-requisitos

•Conexões com a História da Geometria

•Resolução detalhada de exemplos

•Ênfase em gráficos e figuras significativas



PRÉ-REQUISITOS

Noções de Geometria Analítica no R2,

vetores no R3 e um pouco de

habilidade com equações polinomiais.


IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica

Parte I: Uma Introdução Histórica



+Geometria

Projetiva

Geometria

Analítica

GEOMETRIA ALGÉBRICA

Para começar: o que é Geometria Algébrica?



Um pouco de Geometria Projetiva ...



A novidade da Geometria Projetiva em relação àGeometria Euclidiana é o acréscimo de pontos no

infinito.

Retas concorrentes



Posições relativas entre duas retas distintas no plano euclidiano.

Retas paralelas



O encontro de retas paralelas no infinito.



Linha do Tempo

RevoluçãoFrancesa(1789)

Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)

Descartes(1596-1650)

Bezout(1730-1783)

Renascimento(séc XV e XVI)

Discurso do Método(1637)

Desargues(1591-1661)



Santíssim

a Trindade

por Masaccio

(1401-1427)



Escola de Atenas por Raffaello Santi (1483-1520)



Mulher Ensinando Geometria – Uma figura tipicamente medieval



Linha do Tempo


Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)


Bezout(1730-1783)






Girard Desargues (1591-1661)

� Arquiteto e Engenheiro.

� 100 anos depois dos pintores renascentistas, descobre a perspectiva na Matemática.

�Não foi entendido pelos seus contemporâneos matemáticos.

� Suas obras ficaram perdidas por cerca de 200 anos.



Teorema de Desargues: Considere dois triângulos...

A B

C

A'

B'

C'



Teorema de Desargues: ... tais que vale a configuração abaixo.

A B

C

A'

B'

C'

O



Teorema de Desargues: Construa os pontos P, Q e R.

A B

C

A'

B'

C'

O

P

Q

R



Teorema de Desargues: Estes pontos estão alinhados.

A B

C

A'

B'

C'

O

P

Q

R



Linha do Tempo


Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)


Bezout(1730-1783)






Jean Victor Poncelet (1788-1867)

�Tenente do exército na mal sucedida campanha de Napoleão contra a Rússia.

�Na gelada prisão russa, escreveu, 100 anos depois de Desargues, e sem conhecer a obra dele, o livro que inaugurou a Geometria Projetiva: Traité des

Proprietés Projetives des

Figures.



Pontos “impróprios” em retas

P

P

P

P

P



O Plano Projetivo

O plano projetivo é o plano que contém os pontos finitos e os pontos “impróprios” (isto é, os pontos no infinitos).



O Plano Projetivo


O plano projetivo foi definido com toda clareza por Poncelet em 1822.



O Plano Projetivo



Desargues (1639) chegou perto de uma definição correta.



O Plano Projetivo



Desargues (1639) chegou perto de uma definição correta.

Suspeita-se de que num dos três livros perdidos de Euclides há alguma tentativa de estudo da Geometria Projetiva.



Parábola euclidiana e parábola projetiva

P



E agora, um pouco de Geometria Analítica ...



A novidade da Geometria Analítica em relação àGeometria Euclidiana é a introdução de um sistema de

coordenadas.



Linha do Tempo


Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)


Bezout(1730-1783)






René Descartes (1596-1650)

�Considerado o filósofo pai do racionalismo moderno.

�Publicou vários livros em francês, sua língua natal, uma novidade na época.



Discurso do Método (1637)

� Foi num apêndice de uma publicação posterior do Discurso do Métodoque Descartes introduziu as idéias básicas da Geometria Analítica.

� No entanto não desenvolveu a Geometria Analítica tal como a conhecemos hoje.



Linha do Tempo


Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)


Bezout(1730-1783)






Gaspar Monge (1746-1818)

� Trabalhou no Departamento de Pesos e Medidas da Assembléia Constituinte da Revolução Francesa.

� Fundador, administrador e professor da ÉcolePolytechnique.

� Sistematizou e escreveu os primeiros livros didáticos sobre a Geometria Analítica.



Plano Cartesiano

eixo x

eixo y

P=(a,b)

{ }RR ∈= baba ,|),(2



Espaço Cartesiano

eixo x eixo y

eixo z

P = (a,b,c)

{ }RR ∈= cbacba ,,|),,(3



Chegamos então àGeometria Algébrica ...



+Geometria

Projetiva:

Pontos no Infinito

Geometria

Analítica:

Sistema de Coordenadas

GEOMETRIA ALGÉBRICA



Linha do Tempo


Monge(1746-1818)

Poncelet(1788-1867)

Plücker(1801-1868)

Raffaello(séc XVI)

Masaccio(séc XV)


Bezout(1730-1783)






Etienne Bezout (1730-1783)

�Escreveu uma obra monumental em 6 volumes que cobria toda a Matemática superior conhecida na época (que era basicamente Cálculo, Equações Diferenciais e Geometrias).

�Trabalhava nas escolas da marinha francesa como professor de Matemática.



O Teorema de Bezout

O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.



O Teorema de Bezout


Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.



O Teorema de Bezout



Maclaurin (1720), a partir de generalizações de trabalhos de Newton, enunciou o teorema sem, no entanto, prová-lo.



O Teorema de Bezout




Bezout (1770) desenvolveu muita teoria da eliminação e provou o teorema que leva seu nome.



O Teorema de Bezout





Liouville (1841) descobriu falhas na prova de Bezout, mas não conseguiu consertá-la.



O Teorema de Bezout



Liouville (1841) descobriu falhas na prova de Bezout, mas não conseguiu consertá-la.

A primeira prova correta é atribuída a Mertens (1899).




IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real

Parte II: A Geometria Analítica Realé boa mas tem seu defeitos



Equações de 1º grau representam retas

0=++ cbyax



Equações de 2º grau representam cônicas

022 =+++++ feydxcxybyax



(Só para lembrar de onde vêm as cônicas...)



Curvas algébricas em R2

Dado um polinômio de duas variáveis f(x,y) com coeficientes reais chamamos de curva algébricaao conjunto de todos os pontos

(a,b) de R2 que satisfazem a equação f(x,y)=0.



Interseções entre duas retas no plano

Sistema Linear 2x2:

=+

=+

rqypx

cbyax

Retas concorrentes: Sistema possível e determinado

Retas paralelas: Sistema impossível



Uma pergunta...

O que podemos dizer sobre um sistema de equações não lineares?



Uma pergunta...


ou seja



Uma pergunta...


ou seja

E quando as equações de um sistema não representarem duas retas?



Algumas interseções entre uma reta e uma cônica no plano

=++

=+++++

0

022

rqypx

feydxcxybyax



Algumas interseções entre duas cônicas no plano

=+++++

=+++++

0

022

22

sryqxpxynymx

feydxcxybyax



O Teorema de Bezout

O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos em comum entre duas curvas algébricas no plano, desde que essa quantidade de pontos de interseção seja um número finito.




O Teorema de Bezout




O Teorema de Bezout

1

2

3

4

0

11 1

22




O Teorema de Bezout

Neste curso vamos aprender onde e comocontar esses pontos de interseção entre duas curvas

1

2

3

4

0

11 1

22



Sistema de Equações e Eliminação de Variáveis

Para calcular os pontos que estejam na interseção de uma curva f(x,y)=0 com uma curva g(x,y)=0, basta resolver o sistema de equações simultâneas.




Uma estratégia possível é a seguinte: numa das equações, isolamos uma das variáveis e a seguir substituímos na outra equação.






Outra estratégia: Multiplicamos as equações por constantes não nulas adequadas para, após somá-las, eliminar uma das variáveis.






Outra estratégia: Multiplicamos as equações por constantes não nulas adequadas para, após somá-las, eliminar uma das variáveis.

Estratégias semelhantes a essas são a origem do que mais tarde veio a se chamar de Teoria das Eliminações.




Duas curvas podem ter uma quantidade infinita de pontos em comum?

Mais uma pergunta...



A resposta é SIM quando uma das curvas for componente da outra.





A resposta é SIM quando uma das curvas for componente da outra.

Dito mais claramente: A curva algébrica g(x,y) = 0 é componente da curva f(x,y) = 0

quando o polinômio g(x,y) faz parte da fatoração do polinômio f(x,y).





Por exemplo...

04 42 =− xy

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y



Por exemplo...

04 42 =− xy 02 2 =+ xy

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y



Por exemplo...

04 42 =− xy 02 2 =+ xy

)2()2()4(queNote 2242 xyxyxy +⋅−=−

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y



Então vamos combinar o seguinte...

Neste curso, em cada exemplo e a cada vez que uma versão do Teorema de Bezout for enunciado, estaremos desconsiderando a hipótese de que as curvas algébricas mencionadas sejam componentes uma da outra.



Exemplos e Exercícios

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

x

y


04844 22 =+−−+ yxyx 022 =+− yx

Interseções reais simples em (0, 1) e (2, 2)


−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y


3659 22 =− xy 635 =− yx

Interseções reais simples em (0, -2) e (3, 3)


−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1

2

3

4

x

y


0171664 22 =+−−+ yxyx

32 =+ yx

Uma interseção real dupla em (1, 1)


−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

x

y


06515018259 22 =+−++ yxyx011396216 22 =+−++ yxyx

Interseções reais simples em (-5, 2), (-5, 4), (3, 2) e (3, 4)


−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x

y


yyx 122 22 =+

yyx 1022 =+

Interseções reais simples em (-4, 8) e (4, 8)

e uma interseção real dupla em (0, 0)


−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


84 2 += yx

422 =− yx

Uma interseção real quádrupla em (2,0)


−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y


7538 23 −−+= xxxy

052 =+− yx

Uma interseção real simples em (3, 4) e uma interseção real dupla em (-3, 1)


−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


51239 23 +−−= xxxy

235 =+ yx

Interseção real tripla em (1, -1)


−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


xxy 1551184 3 −=

5573 22 =+ yx

Interseções reais simples em (-4, -1), (-3, 2), (3, -2), (4, 1) e outros dois pontos.


−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


xxxy 1893 23 ++=

0530124 22 =−++ yxyx

Interseção real dupla em (0, 0)

e interseções reais simples em outros quatro pontos.


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Uma interseção real simples em (1, 1)

01266222 =+−−−+ yxxyyx

0=− yx


−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y


0225409049 22 =+−−+ yxyxyyx 1022 =+

Interseções reais simples em (3, 1) e (3, 9)


−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


05442 =+−+ yxy

5=+ yx

Não há interseções reais


−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y


093095 2 =−−− yxy03632 =+−+ yxy

Interseções reais simples em (-1, 0) e (-1, 6)


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

x

y


122 =− xyx

02 =− yx



−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y


03612822 =+−++ yxyx

Uma interseção real dupla em (0, 6)

036121022 =+−++ yxyx


−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


232 3xxy +=3=+ yx

Interseção real simples em (1, 2)


−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


443 2 +−= xxy

Cada par de curvas tem interseção real dupla em (2, 0)

442 +−= xxy

442 2 +−=− xxy


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

x

y


xyyx 333 =+01=++ yx

Não há interseção real


−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


0962 =+−+ xxy

24 xy =



−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y


223 2 −+= xxy

Uma interseção real simples em (-4, 2) e uma interseção real dupla em (-1, -1)

21173 23 +++= xxxy




Podemos enunciar uma versão parcial do Teorema de Bezout



Teorema de Bezout(Versão para Geometria Analítica Real)

Suponha que:

Duas curvas no plano cartesiano são

representadas uma por um polinômio de grau m

e outra por um polinômio de grau n.

Então:

O número de pontos de interseção das duas

curvas, contados com suas multiplicidades,

será no máximo m.n.



Teorema de Bezout(Como gostaríamos que fosse...)

Suponha que:

Duas curvas no plano cartesiano são

representadas uma por um polinômio de grau m

e outra por um polinômio de grau n.

Então:

O número de pontos de interseção das duas

curvas, contados com suas multiplicidades,

será exatamente m.n.



Possíveis “correções” ao Teorema de Bezout

Trabalhar num “plano cartesiano” formado

de pares de números complexos

ao invés de pares de números reais.

Trabalhar num “plano cartesiano”

onde seja possível descrever

algebricamente os pontos no infinito.

e / ou


IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa

Parte III: A Geometria Complexa ainda não resolve tudo



Números Complexos

Unidade Imaginária

Número complexo:

Adição: Multiplicação:

R∈+ baiba ,com,

CR ⊂{ }RC ∈+= baiba ,com,

ibpaqbqapqipbia )()()()( ++−=+⋅+iqbpaqipbia )()()()( +++=+++

1−=i



O plano afim: uma versão complexa do plano cartesiano

{ }),(2 qipbia ++=×= CCC



Curvas algébricas afins

Dado um polinômio de duas variáveis f(x,y)

(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica afim ao

conjunto de todos os pontos do plano afim C2 que satisfazem a equação f(x,y)=0.



Equações polinomiais à uma variável

0... 012

21

1 =+++++ −− axaxaxaxa n

n

n

n




Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de grau n admite pelo menos uma raiz complexa.

0... 012

21


n

n

n





0... 012

21


n

n

n

Corolário: Toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas.





0... 012

21


n

n

n


(as raízes podem ser reais puras ou não e devem ser contadas com suas multiplicidades)





0... 012

21


n

n

n


(as raízes podem ser reais puras ou não e devem ser contadas com suas multiplicidades)

Teorema: Quando o número complexo a+bi é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais então o número complexo conjugado a-bi também o é.



Uma esperança...

=

=

0),(

0),(

yxg

yxfFazendo a eliminação de variáveis, podemos tentar transformar um sistema de equações simultâneas numa equação polinomial à uma variável



Uma esperança...

0... 012

21


n

n

n

=

=

0),(

0),(

yxg




Uma esperança...

0... 012

21


n

n

n

=

=

0),(

0),(

yxg


O Teorema Fundamental da Álgebra garante a existência de todas as raízes!




Observação: Nos exemplos a seguir, embora se pretenda “fazer as contas” com as curvas algébricas na versão afim (isto é, complexa),

suas imagens aparecerão na versão cartesiana (isto é, real)

−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Não há interseções reais, mas há interseções complexas simples em (1+3i, 4-3i) e (1-3i, 4+3i)

05442 =+−+ yxy

5=+ yx


−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y


Interseções reais simples em (3, 1) e (3, 9) e interseções complexas simples em (15, 5+..... ) e (15, 5- .....) )2105,15(e)2105,15( ii −+

0225409049 22 =+−−+ yxyxyyx 1022 =+


−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


Uma interseção real simples em (1, 2) e interseções complexas simples em ..........( ) ( )2

3392

3332339

2333 ,e, iiii +−−−+−

232 3xxy +=

3=+ yx


−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


Não há interseções reais. Temos interseções complexas simples em ....................( ) ( )25

362756i12

253627

56i12 ,e, ii −−++

0962 =+−+ xxy

24 xy =




Novamente vamos ler o enunciado do Teorema de Bezout



Teorema de Bezout(Versão para Geometria Afim)

Suponha que:

Duas curvas algébricas afins são dadas uma por um

polinômio de grau m e outra por um polinômio de grau n.

Então:

O número de pontos de interseção das duas curvas,

sejam reais ou complexos, contados com

suas multiplicidades, será no máximo m.n.


IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Projetiva

Parte IV: A Geometria Projetiva mostra os pontos que estavam faltando



Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema.

O plano projetivo P2: Sua construção a partir do espaço cartesiano





Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) intersecta o plano z = 1 em um único ponto. Esses pontos (que, na verdade, são todos os pontos do plano z = 1) serão chamados de pontos finitos do plano projetivo.





Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) intersecta o plano z = 1 em um único ponto. Esses pontos (que, na verdade, são todos os pontos do plano z = 1) serão chamados de pontos finitos do plano projetivo.

Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) determina uma única direção no plano z = 1 (tanto quanto em qualquer outro plano paralelo ao “chão”). Essas direções serão chamadas de pontos infinitos do plano projetivo.



O plano projetivo com alguns dos seus pontos finitos

x

z

yv=(a,b,c)

P= (a:b:c)



x

z

y

v=(a,b,c)

P

O plano projetivo com um dos seus pontos no infinito



Retas paralelas no plano euclidiano...

P

Exemplo importante: Duas retas paralelas distintas

... tem um ponto de interseçãono plano projetivo

x

z

y

P



Coordenadas homogêneas no plano projetivo

Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema. Cada reta determina unicamente uma direção.





Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c ≠ 0. Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c = 0.






Em qualquer caso, o ponto do plano projetivo que corresponde à reta cartesiana com vetor diretor (a,b,c) terácoordenadas descritas por (a:b:c). Essas coordenadas são chamadas de coordenadas homogêneas.






Em qualquer caso, o ponto do plano projetivo que corresponde à reta cartesiana com vetor diretor (a,b,c) terácoordenadas descritas por (a:b:c). Essas coordenadas são chamadas de coordenadas homogêneas.

Observe que em coordenadas homogêneas vale (a:b:c) = (ta:tb:tc) para qualquer t ≠ 0.



Um polinômio é chamado de homogêneo quando todos os seus monômios tem o mesmo grau.

Curvas algébricas projetivas




Dado um polinômio homogêneo de três variáveis F(x,y,z)

(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica projetiva ao conjunto de todos os pontos do plano projetivo P2 que satisfazem a equação F(x,y,z)=0.





Dado um polinômio homogêneo de três variáveis F(x,y,z)

(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica projetiva ao conjunto de todos os pontos do plano projetivo P2 que satisfazem a equação F(x,y,z)=0.

Observe que vale F(x,y,z) = 0 se e somente se F(tx,ty,tz) = 0 para qualquer t ≠ 0.




Correspondência entre curvas algébricas afins e curvas algébricas projetivas

Cada curva algébrica afim f(x,y) = 0 em C2 corresponde a uma curva algébrica projetiva F(x,y,z) = 0 em P2.





Para passar do polinômio f(x,y) para um polinômio

homogêneo de três variáveis, faça .........................................( )z

y

zxf fzzyxF ,),,( )de(grau ⋅=





Para passar do polinômio f(x,y) para um polinômio

homogêneo de três variáveis, faça .........................................

Para passar do polinômio homogêneo F(x,y,z) para um polinômio de duas variáveis, faça ..........................

( )z

y

zxf fzzyxF ,),,( )de(grau ⋅=

)1,,(),( yxFyxf =




Observação: Nos exemplos a seguir, embora se pretenda “fazer as contas” com as curvas algébricas na versão projetiva,

suas imagens aparecerão na versão cartesiana (isto é, real e finita)


Interseções entre duas retas no plano projetivo

=+

=+

2

1

cbyax

cbyaxRetas paralelas


Uma interseção real infinita simples em (b: -a: 0)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Uma interseção real finita simples em (1:1:1) e uma interseção real infinita simples em (1:1:0)

012662 222 =+−−−+ zyzxzxyyx0=− yx


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

x

y


Não há interseções reais finitas, mas há uma interseção real infinita dupla em (2:1:0)

22 2 zxyx =−

02 =− yx


−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y


Interseções reais finitas simples em (-1:0:1) e (-1:6:1)

e uma interseção real infinita dupla em (1:0:0)

093095 22 =−−− zyzxzy

0363 22 =+−+ zyzxzy


−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


Cada par de curvas tem uma interseção real finita dupla em (2:0:1) e uma interseção real infinita dupla em (0:1:0)

22 443 zxzxyz +−=22 44 zxzxyz +−=

22 442 zxzxyz +−=−


−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Não há interseções reais. Temos interseções complexas finitas simples em .................... e uma interseção real infinita dupla em (0:1:0)


( ) ( )253627

56i12

253627

56i12 ,e, ii −−++


096 22 =+−+ zxzxyz

24 xyz =

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1

1

2

x

y


Não há interseção real finita. Temos uma interseção real infinita tripla em (1:-1:0)

xyzyx 333 =+0=++ zyx


−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


Uma interseção real finita simples em (-4:2:1),

uma interseção real finita dupla em (-1:-1:1) e uma interseção real infinita tripla em (0:1:0)

22 223 zxzxyz −+= 32232 21173 zxzzxxyz +++=



Uma interseção real finita dupla em (0:6:1) e interseções complexas infinitas simples em (i:1:0) e (-i:1:0)

036128 222 =+−++ zyzxzyx0361210 222 =+−++ zyzxzyx


−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y



Mais uma vez vamos ver o enunciado do Teorema de Bezout



Teorema de Bezout(Versão para Geometria Projetiva)

Suponha que:

Duas curvas algébricas projetivas são dadas uma por um

polinômio de grau m e outra por um polinômio de grau n.

Então:

O número de pontos de interseção das duas curvas,

sejam reais ou complexos, sejam finitos ou infinitos, contados com suas multiplicidades, será exatamente m.n.



Finalmente o Teorema de Bezoutestá bem enunciado!



Matemática para Graduação

•GARCIA, Arnaldo e LEQUAIN, Yves. Álgebra: Um Curso de Introdução.Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 1988.

•HEFEZ, Abramo. Introdução à Geometria Projetiva.Monografias de Matemática, IMPA. Rio de Janeiro, 1990.

•NASCIMENTO, Joice Santos. Interseção de Curvas Projetivas. Trabalho de Conclusão de Curso (Orientado por Juscelino Bezerra dos Santos). UERJ, 2006.

•VAINSENCHER, Israel. Curvas Algébricas Planas. Coleção Matemática Universitária, IMPA. Rio de Janeiro, 2005.

Matemática de Ensino Médio

•IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 6: Complexos, Polinômios, Equações. Atual Editora. São Paulo, 2005.

•IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 7: Geometria Analítica. Atual Editora. São Paulo, 2005.

Alguns textos para ler, estudar e consultar


Alguns textos para ler, estudar e consultar


•BOYER, Carl B. História da Matemática. Traduzido por Elza F. Gomide. Editora Edgard Blucher. São Paulo, 1996.

•HEFEZ, Abramo. Introdução à História da Geometria Projetiva. Revista Matemática Universitária, n. 6, SBM. Rio de Janeiro, 1986.

•HARTSHORNE, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. Springer Verlag.

Matemática e História

Matemática Avançada

•SHAFAREVICH, I. Basic Algebraic Geometry 1. Second Edition. SpringerVerlag, 1994.

•STOHR, Karl Otto. Curvas Algébricas. Notas de aula do curso ministrado no IMPA. Rio de Janeiro, 2000.

•STOHR, Karl Otto. Geometria Algébrica 1. Notas de aula do curso ministrado no IMPA. Rio de Janeiro, 2001.



Ao comitê científico e aos organizadores da IV Bienal da SBM por aceitarem a

minha proposta para este curso

AGRADECIMENTOS

Ao CEFET Química de Nilópolis – RJ pelo apoio na preparação e execução deste trabalho

Aos meus amigos, colegas e alunos que assistiram ou leram versões preliminares deste curso

CLEBER HAUBRICHS DOS SANTOS nasceu em São João de Meriti, no Rio de Janeiro, em dezembro de 1976.

Fez a graduação em Matemática na UERJ – Universidade do Estado do Rio de Janeiro (1998) e o Mestrado em Matemática Pura no IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (2001), tendo sua dissertação em Geometria Algébrica orientada pelo professor Karl Otto Stohr.

É professor no CEFET Química de Nilópolis desde 2005, atuando nas disciplinas de Matemática no Curso Técnico Integrado, no Ensino Superior Tecnológico e nas Licenciaturas. Também participou da equipe que implantou o curso de Licenciatura em Matemática

em sua instituição. Atualmente é o coordenador desta licenciatura.

Sobre o professor deste mini curso

Geometria Algébrica

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