Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...chico/aula01.pdf · I Um Curso de...

Geometria Analıtica e Algebra Linear - 2013/1

Francisco Dutenhefner

[email protected]

www.mat.ufmg.br/˜chico

Material de Estudo

I Um Curso de Geometria Analıtica e Algebra LinearApostila do professor Reginaldo J. Santos

I Listas de exercıcios

I Slides, quando divulgados

Cronograma

Primeira Prova - 7 aulas

I Matrizes, sistemas lineares, determinantes e matriz inversa.

Segunda Prova - 10 aulas

I Vetores: norma, produto escalar, produto vetorial.

I Retas e planos no espaco.

I Angulos e distancias.

Terceira Prova - 10 aulas

I Vetores LI e LD.

I Diagonalizacao de matrizes.

I Mudancas de coordenadas.

I Identificacao de conicas: elipse, hiperbole e parabola.

PROVAS AOS SABADOS

I Primeira prova: 06/abril/2013

I Segunda prova: 11/maio/2013

I Terceira prova: 15/junho/2013

PROVAS AOS SABADOS

Horario: 08:00 - 10:00 ou 10:00 - 12:00 (a confirmar)

Monitoria ...... e provavel.

PROVAS AOS SABADOS




PROVAS AOS SABADOS


Monitoria

...... e provavel.

PROVAS AOS SABADOS




PROVAS AOS SABADOS


Monitoria ...... e provavel.

Rotacoes no plano cartesiano

Dado um ponto P = (x , y), quais sao as coordenadas do ponto Q,obtido de P por uma rotacao de um angulo θ?


cos(α) =x

r

⇒ x = r cos(α)

sen(α) =y

r⇒ y = r sen(α)


cos(α) =x

r⇒ x = r cos(α)

sen(α) =y

r⇒ y = r sen(α)


cos(α) =x

r⇒ x = r cos(α)

sen(α) =y

r

⇒ y = r sen(α)


cos(α) =x

r⇒ x = r cos(α)

sen(α) =y

r⇒ y = r sen(α)


Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.

cos(α + θ) =x ′

r⇒ x ′ = r cos(α + θ)

sen(α + θ) =y ′

r⇒ y ′ = r sen(α + θ)



cos(α + θ) =x ′

r

⇒ x ′ = r cos(α + θ)

sen(α + θ) =y ′

r⇒ y ′ = r sen(α + θ)



cos(α + θ) =x ′

r⇒ x ′ = r cos(α + θ)

sen(α + θ) =y ′

r⇒ y ′ = r sen(α + θ)



cos(α + θ) =x ′

r⇒ x ′ = r cos(α + θ)

sen(α + θ) =y ′

r

⇒ y ′ = r sen(α + θ)



cos(α + θ) =x ′

r⇒ x ′ = r cos(α + θ)

sen(α + θ) =y ′

r⇒ y ′ = r sen(α + θ)


{x = r cos(α)y = r sen(α)

{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)



{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)

Vamos relacionar P = (x , y) com Q = (x ′, y ′) atraves dasidentidades trigonometricas

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)

sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)



{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)

Temos que:

x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)

x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)

De modo analogo

y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)

y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)


Deduzimos entao as coordenadas de Q.x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)

y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)

Matricialmente[x ′

y ′

]=

[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)

] [xy

]


Em resumo, dado P = (x , y) e dado θ, calculamos Q = (x ′, y ′):[x ′

y ′

]=


] [xy

]

Matriz de Rotacao

Rθ =


]⇒ Q = Rθ P



y ′

]=


] [xy

]Matriz de Rotacao

Rθ =


]

⇒ Q = Rθ P



y ′

]=


] [xy

]Matriz de Rotacao

Rθ =


]⇒ Q = Rθ P


Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .

Q = R30o P =

[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)

] [21

]=

√3

2−1

21

2

√3

2

[ 21

]=

2√

3− 1

22 +√

3

2



Q = R30o P

=


] [21

]=

√3

2−1

21

2

√3

2

[ 21

]=

2√

3− 1

22 +√

3

2



Q = R30o P =


] [21

]

=√

3

2−1

21

2

√3

2

[ 21

]=

2√

3− 1

22 +√

3

2



Q = R30o P =


] [21

]=

√3

2−1

21

2

√3

2

[ 21

]

=

2√

3− 1

22 +√

3

2



Q = R30o P =


] [21

]=

√3

2−1

21

2

√3

2

[ 21

]=

2√

3− 1

22 +√

3

2


Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.

Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q

R−x =

[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)

]=

[cos(x) sen(x)

− sen(x) cos(x)

]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)



Q = R60o P

⇒ P = R−60o Q

R−x =


]=

[cos(x) sen(x)

− sen(x) cos(x)




Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q

R−x =


]=

[cos(x) sen(x)

− sen(x) cos(x)




Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q

R−x =


]

=

[cos(x) sen(x)

− sen(x) cos(x)




Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q

R−x =


]=

[cos(x) sen(x)

− sen(x) cos(x)


Rotacoes no plano cartesianoExemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.

P = R−60o Q

P =

[cos(60o) sen(60o)

− sen(60o) cos(60o)

] [12

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ 12

]=

1 + 2√

3

2−√

3 + 2

2


P = R−60o Q

P =

[cos(60o) sen(60o)


] [12

]

= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ 12

]=

1 + 2√

3

2−√

3 + 2

2


P = R−60o Q

P =

[cos(60o) sen(60o)


] [12

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ 12

]

=

1 + 2√

3

2−√

3 + 2

2


P = R−60o Q

P =

[cos(60o) sen(60o)


] [12

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ 12

]=

1 + 2√

3

2−√

3 + 2

2


Exemplo 3: Determine a equacao da curva obtida pela rotacao de60o da parabola y = x2.


Momento crıtico da resolucao

Um ponto P = (x , y) esta na nova curva se Q = R−60oP esta nacurva original.

Q =

[cos(60o) sen(60o)


] [xy

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ xy

]=

x + y√

3

2−x√

3 + y

2




Q =

[cos(60o) sen(60o)


] [xy

]

= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ xy

]=

x + y√

3

2−x√

3 + y

2




Q =

[cos(60o) sen(60o)


] [xy

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ xy

]

=

x + y√

3

2−x√

3 + y

2




Q =

[cos(60o) sen(60o)


] [xy

]= 1

2

√3

2

−√

3

2

1

2

[ xy

]=

x + y√

3

2−x√

3 + y

2


Q = R−60oP =

(x + y

√3

2,−x√

3 + y

2

)e P = (x , y)

Como Q esta na parabola y = x2,

−x√

3 + y

2=

(x + y

√3

2

)2


−x√

3 + y

2=

(x + y

√3

2

)2

−x√

3 + y

2=

x2 + 2xy√

3 + 3y2

4

−2x√

3 + 2y = x2 + 2xy√

3 + 3y2

x2 + 2xy√

3 + 3y2 + 2x√

3− 2y = 0


Rodando de 60o a parabola y = x2, obtemos uma nova parabolade equacao

x2 + 2xy√

3 + 3y2 + 2x√

3− 2y = 0

Objetivo: Dada uma equacao como esta, reconhecer que ela foiobtida de uma rotacao de 60o da parabola y = x2.

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