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Geometria Analítica

Licenciatura em Matemática

1° Semestre - 2010

- Introdução ao Estudo do Ponto; - Ponto médio de um segmento;

- Bissetrizes dos quadrantes;

- Estudo da reta;

- Equação da reta;

- Equação reduzida, coef. angular e linear da reta;

- Equação segmentária da reta;

- Equações paramétricas;

- Condição de colinearidade;

- Posição relativa entre retas;

- Distância entre ponto e reta;

- Triângulos no plano cartesiano;

- Baricentro, área, perímetro;

- Estudo das Cônicas;

- Circunferências; Equação Geral;

- Posições relativas;

- Elipse;

- Hipérbole;

- Parábola;

- Translação;

- Rotação.

Marcos Okamoto de Azevedo

Eng° Mecânico

11-7316-9583

marcos.okamotoaz@hotmail.com

geometriadantas@hotmail.com

geometriadantas.blogspot.com

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Introdução

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes. Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros. A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (1636 no máximo) que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica. O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabia que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz mas, Descartes superou Fermat na notação algébrica.

HYGINO H. DOMINGUES

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A geometria analítica foi um estudo realizado pelo matemático René Descartes que aliou os conhecimentos da álgebra ao estudo das figuras geométricas. No entanto, antigamente a geometria analítica era conhecida como Geometria de coordenadas e geometria cartesiana, pois com a aplicação da álgebra na geometria é possível fazer qualquer representação geométrica por meio de pares ordenados, equações e inequações. Nessa seção iremos estudar todos os elementos necessários para as representações algébricas da geometria, como: plano cartesiano, coordenadas, pares ordenados. E as suas aplicações, no ponto, na reta, na formação de equação da reta, na complementação do estudo da reta, na equação da circunferência. O estudo da geometria contribui não só para o conhecimento dos matemáticos, mas também para profissionais de outras áreas como os da construção civil, engenharia elétrica, mecatrônica, robótica, dentre outras.

- Introdução ao estudo do ponto:

Sejam os conjuntos B = {1,2} e A ={3,4}. De certo, são conjuntos finitos, de números reais e com o auxílio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos.

É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. A× B ={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. Veja que nos elementos de A× B , o primeiro número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto A× B e para isso utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. Veja!!!

Utilizando-se de retas reais podemos representar esse resultado do conjunto A× B , porém a questão é que essas retas reais estão dispostas convenientemente, uma perpendicular à outra. A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na reta que está na posição horizontal, representaremos os elementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos do conjunto A× B foram representados fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B.

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Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A ={x E R / 3 ≤ x ≤ 4} e que o conjunto B seja expresso da

forma B ={xE R /1≤ x ≤ 2}. Fazendo agora a operação A× B , chega-se em uma nova figura mostrada a seguir:

Como podemos perceber o resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo os reais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais, teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de R 2 . A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos não vazios. O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se pode representar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas com esses pontos.

B é um ponto qualquer, do plano XOY e para cada B está assossiado um par ordenado, par esse que é representado da seguinte forma: (xb ,yb) onde xb é a posição relativa ao eixo X e yb é a posição relativa ao eixo Y. Como dito acima, o ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x, denominada de abscissa e uma coordenada y, 3 chamada ordenada. Dizemos que dois pontos são iguais quando acontece a seguinte propriedade: A (xA yA ) = B(xB , yB ) xA = xB e yA = yB

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- Distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a álgebra e a geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de geometria deve ser aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos, “por dois pontos passa apenas uma reta”. Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A(xa,ya) e B(xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa. Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas. Cateto BC: yb – ya Cateto AC: xb – xa Hipotenusa AB: distância (D) Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Exemplo 1 Exemplo 2 Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9). distância entre eles: xa: 2 xb: 4 ya: -3 yb: 5 xa: -2 xb: -5 ya: 3 yb: -9

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Exemplo 3

Dado o triângulo ABC, sabe-se que: o ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Determinar o ponto A:

Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2

AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2

BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40

Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A (0,5).

- Ponto médio de um segmento:

Nestas condições, dados os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) , as coordenadas do ponto médio M (xm, ym) serão dadas por:

Exemplo:

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então qual o valor de W2 ?

Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W2 = 34.

- Baricentro de um triângulo:

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo). Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

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Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4).

Verifique com o uso direto das fórmulas.

Exemplo:

Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

Solução: Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro: 3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3 Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4). Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4), encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).

Agora resolva este:

Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto

G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.

Resposta: 850

- Equação Geral da reta, dados dois pontos: Existe um postulado da Geometria Euclidiana que afirma: Na Geometria Analítica, dois pontos podem ser interpretados como dois pares ordenados e a reta, como uma equação do 1º grau nas incógnitas x e y. Assim, conhecendo-se as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano, podemos obter a equação da reta que os contém. Observe o exemplo: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (4, –3). Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a equação da reta que os contém é obtida por: método de Sarrus: (-) (-) (-)

X1 Y1 1

X1 Y1 1 X1 Y1

X2 Y2 1 = 0 X2 Y2 1 X2 Y2

X Y 1

X Y 1 X Y temos: (+) (+) (+) ax + by + c = 0 A equação ax + by + c = 0, para a, b e c reais é dita equação geral da reta.

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- Cálculo do Coeficiente Angular (m) e equação reduzida da reta:

A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta só

poderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a

0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.

Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angular

de uma reta.

Considere os pontos A(xA, yA) e B(yB, yB), esses formam uma reta t no plano cartesiano de

inclinação α:

Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.

Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como cateto oposto a yB – yA e cateto adjacente xB – xA. Sabendo que: • O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação. • A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente. Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através da seguinte fórmula: m = tg α = yB – yA xB – xA

ou

m = ∆y ∆x

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- Equação Geral de retas perpendiculares:

Em um plano cartesiano as retas podem ser paralelas ou coincidentes, se no ponto comum as duas retas formarem um ângulo de 90° graus podemos dizer que são perpendiculares, para que isso seja verdade os seus coeficientes deverão ser o oposto do inverso um do outro. Veja alguns exemplos onde aplicamos essa comparação dos coeficientes de duas retas coincidentes e perpendiculares. Exemplo 1: obtenha a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(9,-1) e é perpendicular à reta s: y = x/5 + 2. Resolução: A reta s tem equação reduzida igual a y = x/5 + 2, nela podemos identificar o coeficiente angular de s: ms = 1/5. Como foi dito no enunciado que as retas s e t são perpendiculares, podemos considerar as seguintes informações pertencentes à reta t: t: P(9,-1) e seu coeficiente será o oposto do inverso do coeficiente da reta s: mt = -5. Com essas informações e utilizando a definição de equação fundamental da reta podemos encontrar a equação geral da reta t. y – y0 = m(x – x0) y – (-1) = -5(x – 9) y + 1 = - 5x + 45 5x + y – 45 = 0 é a equação geral da reta t.

Exemplo 2: Considerando o gráfico:

Responda: a) Obtenha uma equação da reta r. Com os pontos pertencentes à reta r, podemos calcular seu coeficiente que será igual à mr = -2, com esse valor mais um dos dois pontos e utilizando a definição de equação fundamental da reta, a reta r terá a seguinte equação: y – y0 = m(x – x0) y – 0 = - 2(x + 1) 2x + y + 2 = 0 b) Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r. Como as retas r e s são perpendiculares e o coeficiente da reta r é mr = -2, podemos concluir pela definição de coeficiente de retas paralelas que o coeficiente da reta s será ms = 1/2, como o ponto P pertence à reta s, concluímos pela definição da equação fundamental da reta, que a reta s terá equação igual a: y – y0 = m(x – x0) y + 2 = 1/2 (x – 5)

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y + 2 = x/2 – 5/2 y - x/2 + 2 + 5/2 = 0 x – 2y – 9 = 0 c) Determinar o ponto A (x,y) de interseção de r com a reta s obtida no item b. Se é intersecção deve satisfazer as duas equações, logo é só resolver o sistema formado pelas equações: 2x + y + 2 = 0 x – 2y – 9 = 0 Com essas duas equações podemos formar um sistema que terá como solução o par ordenado (1,-4) que corresponde ao ponto A. Notemos que o ponto A encontrado satisfaz as duas equações.

- Bissetriz dos quadrantes:

. Bissetriz de um quadrante é uma reta com extremidade no ponto (0,0) que divide o ângulo dos quadrantes pares e ímpares em dois ângulos congruentes. • Bissetrizes dos quadrantes ímpares. A bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) divide-os em dois ângulos congruentes, cada um medindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 45° e coeficiente angular igual a m = tg45° = 1.

Aplicando a regra da equação fundamental, iremos concluir que: y – y0 = m (x – x0) y – 0 = 1 (x – 0) y = x A equação da bissetriz dos quadrantes ímpares será sempre representada por y = x, pois todos os valores do eixo Ox serão iguais aos do eixo Oy. Veja alguns dos possíveis pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares: (1,1), (-4,-4), (1/2,1/2). Genericamante podemos dizer que os pontos serão iguais a (x,x). • Bissetriz dos quadrantes pares A bissetriz dos quadrantes pares (II e IV) divide-os em dois ângulos congruentes, cada um medindo 45°. Dessa forma, essa reta (bissetriz) terá ponto (0,0), inclinação da reta igual a 135° e coeficiente angular igual a m = tg135º= -1.

Aplicando a regra da equação fundamental iremos concluir que: y – y0 = m (x – x0) y – 0 = -1 (x – 0) y = -x

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A equação da bissetriz dos quadrantes pares será sempre representada por y = -x, pois todos os valores do eixo Oy serão opostos aos do eixo Ox. Veja alguns dos possíveis pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares: (1,-1), (-4,+4), (1/2,-1/2). Genericamente podemos dizer que os pontos serão iguais a (x,-x).

- Equação reduzida da reta:

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma

equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes

formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma

equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.

Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q(x1, y1), com coeficiente angular

a, observe:

y – y1 = a * (x – x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y – b = a * (x – 0)

y – b = a * x – a * 0

y – b = ax

y = ax + b

Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:

y = ax +b

Dados P1(2,7) e P2(-1 ,-5), temos:

1ª situação:

Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y1 = a * (x – x1)

y – 7 = 4 * (x – 2)

y – 7 = 4x – 8

y = 4x – 8 + 7

y = 4x – 1

2ª situação:

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto

P1(2, 7), temos:

y = ax + b 7 = a * 2 + b 2a + b = 7

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Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:

–5 = a * (–1) + b

–5 = –a + b

–a + b = –5

Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:

y = ax + b

y = 4x – 1

3ª situação:

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O

determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(–1, –5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da

diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0

[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0

7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0

12x – 3y – 3 = 0

–3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3)

y = 4x – 1 y = ax + b

a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção da reta com o eixo y) Note que a equação reduzida da reta se apresenta fornecendo a coordenada y em função de x.

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- Equações paramétricas: As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos: Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x – 9 = t y = 2t – 1 y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s. Da equação geral da reta é possível chegar às suas paramétricas. Considerando a mesma equação geral encontrada acima, veja como chegar às equações paramétricas da reta s. É preciso fazer as seguintes transformações na equação geral da reta, seguindo sempre os passos abaixo: 2x – y – 19 = 0 → 2x – y – 1 – 18 = 0 → →2x – 18 = y + 1 → 2(x – 9) = 1(y + 1) → → x – 9 = y + 1 1 2 Para qualquer valor que atribuirmos para x e y teremos um único valor t R, assim: x – 9 = t → x = t + 9 1 y + 1 = t → y = 2t - 1 2 Portanto, as equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as equações paramétricas da reta s. Com as equações paramétricas é possível representar a reta no plano cartesiano, basta escolher valores aleatoriamente para o parâmetro, determinando dois pontos distintos pertencentes à reta.

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- Condição de alinhamento de três pontos (Colinearidade):

Sabemos que com dois pontos formamos uma reta, mas três pontos só irão formar uma reta se estiverem alinhados, ou seja, deverão ser colineares. Uma das formas de verificar a condição de alinhamento de três pontos é graficamente, mas não é tão precisa, pois um dos pontos pode estar fora da reta a uma distância mínima que não seja detectada pelo gráfico, assim teremos que utilizar outros recursos para encontrar a condição de alinhamento de três pontos. Considere os pontos A (2,5), B (3,7) e C (5,11). Para verificar se eles pertencem a uma mesma reta é preciso levar em consideração dois teoremas. Um deles é a propriedade que diz: se duas retas são paralelas e têm um ponto em comum, então são paralelas coincidentes. O outro é a fórmula para calcular o coeficiente angular de uma reta. Considerando as retas AB e BC, o ponto B é comum, as duas retas e os seus coeficientes angulares são iguais a: mAB = 2 e mBC = 2, como são iguais podemos dizer que os três pontos pertencem a uma mesma reta. Com esse exemplo podemos concluir que três pontos quaisquer A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) serão colineares se o coeficiente angular de AB for igual ao coeficiente angular de BC. Exemplo 1: Verifique se os três pontos são colineares: A (3,6) B (1,4) C (4,1). MAB = 6-4 = 2 = 1 3-1 2 MBC = 4-1 = 3 = -1 1-4 -3 Como os coeficientes são diferentes, os três pontos não são colineares. Exemplo 2: O valor de x para que os pontos A(1,3), B(-2,4) e C(x,0) no plano sejam colineares, deverá ser? MAB = MBC 4 - 3 = 0 – 4 1 = -4 x +2 = 12 x = 10 -2 - 1 x - (-2) -3 x + 2 x = 12- 2 Portanto, para que A, B e C sejam colineares, x deverá ser igual a 10. Aproveitando o exemplo 2, podemos descobrir se os pontos são colineares, pelo cálculo do determinante, formado pelos três pontos. 1 3 1 4+30-(40-6)=0 34-34=0 -2 4 1 = 0 ou seja, toda vez que o determinante formado pelos três pontos 10 0 1 resultar em zero, prova-se a colinearidade dos pontos.

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- Resumo das Equações da Reta:

R.1- Equação fundamental da reta:

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamenta da reta é:

R.2- Equação geral da reta:

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que: • a, b, e c são números reais; • a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

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R.3- Equação reduzida da reta:

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

R.4- Equação segmentária da reta:

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

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- Posições relativas de duas Retas:

Considere duas retas distintas do plano cartesiano:

Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.

- Retas Paralelas:

As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.

Assim para r//s, temos:

- Retas Concorrentes:

As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.

Assim para r e s concorrentes, temos:

- Retas Perpendiculares:

É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:

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-Distância entre ponto e reta:

Considere um ponto A (x0, y0) e uma reta s: ax + by + c = 0 pertencente a um mesmo plano, a

distância desses pontos poderá ser calculada através da fórmula:

Exemplo 1:

Calcule a distância da reta P à reta r, em cada um dos casos:

• P(1,3) e r: 5x + 12y – 2 = 0

Iremos substituir 1 = x0; 3 = y0; a = 5; b = 12; c = -2.

d = 39

13

• P(-2,-4) e r: y = x – 8

Nesse caso a reta está na forma reduzida, portanto é preciso transformá-la para a forma geral.

y = x – 8 → x – y – 8 = 0

Assim, iremos substituir -2 = x0; -4 = y0; a = 1; b = -1; c = -8.

d = |-6|

√2

d = 6 . √2 = 6√2 = 6√2 = 3 √2

√2 . √2 (√2)2 2

Exemplo 2:

- Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda:

a) Qual é a equação geral da reta AB?

19

Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente

angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental.

mAB = 0 – 3 = - 3

5 – 1 4

y – y0 = m (x – x0)

y – 0 = -3/4 (x – 5)

y = -3/4x + 15/4

4y = - 3x + 15

4

3x + 4y – 15 = 0

b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C.

Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x0; 5 = y0; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula:.

d = |20 – 15| d = 5 = 1 √25 5 c) Encontre agora a equação geral da reta CB e a intersecção com a reta AB.

Resolução: B(5,0) e C(0,5)

5 0 1 5 0 5x + 5y - 25 = 0

0 5 1 0 5 = 0 x + y - 5 = 0 x = 5 - y

x y 1 x y 3x + 4y - 15 = 0 3(5-y) + 4y - 15= 0

y = 0 x = 5 - 0 x = 5

y=0 e x=5 ou seja o ponto B (5,0) é solução das duas equações

20

- Área de um Triângulo pela geometria analítica:

Na geometria plana encontramos a área de um triângulo fazendo uma relação com o valor de

suas dimensões, e na trigonometria, com o valor do seno de um ângulo interno relacionado com

os lados do triângulo é possível também encontrar a sua área.

A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse

caso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa

ser representado em um plano cartesiano.

Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um

plano cartesiano:

A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através

dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por

dois.

A = |D| Onde D = .

2

Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual

será o possível valor de k?

Sabemos que a área A = |D|, portanto é preciso que encontremos o valor de D.

2

D = D = -7 + 2k + 28 -2

D = 2k + 19

Substituindo a fórmula teremos:

A = |D| 25 - 19 = 2k

2 6 = 2k

25= 2k + 19 6=k

2 2 2

25 = 2k + 19 k = 3

21

A (0,0)B (-2,4)C (0,8)D (2,7)E (1,4)F (6,7)G(6,-1)

- Exercícios de Fixação: 1- Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente a quais quadrantes: 2- O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3º quadrante, quais os possíveis valores de m e n: 3- Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox com AC = BC. O ponto C tem como coordenadas? 4- Qual a distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 )? 5- O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) estejam alinhados. 6- Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. Pede-se: - o comprimento da mediana AM; - a área do triângulo; - o perímetro do triângulo. - a equação da reta que passa pelos pontos A e B. - a equação da reta que passa pelos pontos B e C. - provar que o ponto B é intersecção das duas retas. - o baricentro do triângulo. 7- O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,2) e B = (3,6). 8- A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem coeficiente angular -1. 9- Equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1). 10- O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y – 5 = 0 11- O valor de “a” para que as retas r: ax + y – 4 = 0 e s: 3x + 3y – 7 = 0 sejam paralelas. 12- Calcule a área e o respectivo perímetro das figuras: y y B C D A C B x A (0,0) B (2,2) D C (4,0) D (-2,-2) A E x A (1,0) B (0,3) C (4,6) D (8,4) E ( 6,0)

22

- Estudo das Cônicas: Nesse capítulo vamos estudar alguns tipos particulares de lugares geométricos. Esse nome cônicas, realmente, não vem à toa, ele surge pois as figuras que vamos estudar são resultados de cortes de planos em cones duplos. Veja as figuras abaixo:

Veja que quando se toma um cone duplo e se faz um corte através de um plano paralelo à base desse cone, a figura resultante é o que chamamos de circunferência. Ao inclinarmos esse plano de secção, o corte resultante gera outra figura que é chamada de elipse. No caso de se fazer um corte nesse mesmo cone através de um plano paralelo à geratriz do cone obtém-se como figura resultante uma parábola. No último caso, faz-se um corte usando um plano perpendicular ao plano da base do cone, assim se obtém dois ramos de hipérbole.

- Circunferência:

Equações da circunferência:

- Equação reduzida: Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

23

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

- Equação geral:

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

- Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral:

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é: x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6

24

2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

- Posição de um ponto em relação a uma circunferência:

Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência

b) P pertence à circunferência

25

c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2:

se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;

se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência;

se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

- Posição de uma reta em relação a uma circunferência:

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência : (x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

26

Assim:

- Equação da circunferência a partir de três pontos que pertençam a mesma, método de Cramer:

Dados os pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) , vamos determinar a equação da circunferência. Já sabemos da Geometria Analítica que a equação geral simplificada de uma circunferência é da

forma:

x2 + y2 + D x + E y + F = 0 onde P(x;y) é um ponto qualquer pertencente à circunferência.

Substituindo os pontos dados na equação geral, fica:

Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Então:

22 + 32 + 2D + 3E + F = 0 \ 2D + 3E + F = -13

Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:

(-2)2 + 02 –2D + 0.E + F = 0 \ -2D + F = - 4

Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:

02 + (-7)2 + 0.D – 7E + F = 0 \-7E + F = - 49

Temos então o seguinte sistema de equações lineares:

2D + 3E + F = -13

-2D + F = - 4

-7E + F = - 49

27

Para resolver o sistema de equações lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.

Nota: Gabriel CRAMER - 1704 - 1752 - matemático suíço.

Observe que o sistema acima pode ser escrito como:

2D + 3E + F = -13

-2D + 0E +F = - 4

0D -7E + F = - 49

Teremos então pela Regra de Cramer:

Analogamente,

E, finalmente,

Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.

Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) - 1798 - 1861 - matemático francês.

Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valores encontrados para D,

E e F, vem:

x2 + y2 + (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que é equivalente a:

x2 + y2 – (99/17)x + (81/17)y – (266/17) = 0 , que é a equação da circunferência procurada.

28

Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros por 17,

resultando:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0 , que é equivalente à anterior e outra forma de apresentar a

equação da circunferência procurada, o que nos leva à alternativa A.

2 – Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferência do problema anterior.

Solução:

Observe que um ponto qualquer do plano em relação à uma circunferência pode ocupar três

posições possíveis: ou o ponto é interior à circunferência, ou é exterior ou pertence à

circunferência. Se você substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membro da equação

da circunferência

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence à circunferência, o

que é óbvio.

Se você obtiver um valor positivo, o ponto é obviamente exterior e se o valor obtido for negativo, o

ponto é obviamente interior. Isto parece-me por demais óbvio e, portanto, omitirei a justificativa.

Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equação da

circunferência

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0, teremos:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 17.(-5)2 + 17.02 – 99.(-5) + 81.0 – 266 = +654 > 0.

Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferência 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0.

- Posições relativas entre circunferências:

Seja dC1C2 a distância entre os centros das circunferências e r1 e r2 os seus raios. Semelhantemente ao feito com as intersecções de retas e circunferências, podemos fazer entre circunferências, ou seja, isolamos o x ou o y das equações e as igualamos. Resolvendo a nova equação podemos encontrar uma, duas ou nenhuma solução, assim, podemos dizer se são tangentes, secantes ou sem pontos em comum, respectivamente. O problema é que apenas a solução da equação não é suficiente para saber se são tangentes exteriores ou interiores, por exemplo. Assim fazemos as seguintes análises abaixo: dC1C2 > r1 + r2 dC1C2 = r1 + r2 + d , d > 0, trata-se de circunferências exteriores;

29

dC1C2 = r1 + r2 trata-se de circunferências tangentes exteriores;

dC1C2 = [ r1 - r2] , temos circunferências tangentes interiormente;

[ r1 - r2] dC1C2 < r1 + r2 , temos circunferências secantes;

dC1C2 < [ r1 - r2] , caso em que a circunferência de raio menor é interior à outra;

- Dadas as equações abaixo, determine a posição relativa entre as circunferências. Lembre-se que não é necessário desenhar as circunferências, basta calcular a distância entre os seus centros e comparar com a soma dos raios e a diferença dos raios.

a) x² + y² = 1 e ( x - 1)² + y² = 1 b) (x – 1)² + (y – 5)² = 1 e (x – 2)² + (y – 3)² = 1 c) x² + (y – 2)² = 1 e x² + y² + 6y – 2x + 6 = 0 d) x² + y² – 2y = 3 e x² + y² – 10y + 21 = 0 e) x² + y² = 121 e x² + y² – 4y – 4x = 8

30

- Elipse: A elipse é o nome dado ao LG dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto desse LG a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a. Vamos achar a equação de uma elipse. Sejam dois pontos F1 e F2 do espaço de dimensão 2, de modo que a distância entreF1 e F2 seja constante e igual a 2c, com c> 0 , ou seja: d(F1, F2) = 2 c. Seja a > c. Chama-se elipse o conjunto de todos os pontos P que satisfazem: d(P,F1) + d(P , F2) = 2a.

O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro.

A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A1 e A2 tais que a distância entre eles é 2a. O seguimento A1A2 é chamado eixo maior da elipse.

dA1A2 = 2a (eixo maior)

A reta perpendicular F1F2, pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a elipse nos pontos B1 e B2. O segmento B1B2 é chamado eixo menor da elipse e vamos representar sua medida por 2b.

dB1B2 = 2b (eixo menor)

Do triângulo retângulo OF2B2 decorre que:

a2 = b2 + c2

Chamamos excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo maior.

Decorre que:

e = ca

31

A propriedade característica dos pontos P da curva é

dPF1 + dPF2 = 2a

- Equação da elipse:

Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos no eixo das abscissas. Notemos que:

F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0)

A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)

B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)

Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da elipse:

dPF1 + dPF2 = 2a

(x + c)2 + y2 + (x – c)2 + y2 = 2a

( )(x + c)2 + y2 2 = (2a – (x – c)2 + y2 )2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a (x – c)2 + y2 + x2 – 2cx + c2 + y2

4a (x – c)2 + y2 = 4a2 – 4cx

(a (x – c)2 + y2 )2 = (a2 – cx)2

a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 – a2c2

(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

Como a2 – c2 = b2, vem que

b2x2 + a2y2 = a2b2

32

e dividindo por (a2b2) fica

x2

a2 + y2

b2 = 1 que é a chamada equação reduzida da elipse.

- Observações:

1) Para y = 0, na equação acima, obtemos x2 = a2; logo x = a, que são as abscissas dos pontos onde a curva corta o eixo x.

Para x = 0 obtemos y2 = b2; logo, y = b, que são as ordenadas dos pontos de intersecção

com o eixo y.

2) No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação:

x2

b2 + y2

a2 = 1

3) Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.

A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu eixo.

Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

33

Exemplo:

Obter a equação da elipse de focos F1(–3, 0) e F2(3, 0) e eixo maior 2a = 10.

Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F1F2, é a origem

O (0, 0). Então, a equação é:

x2

a2 + y2

b2 = 1

Temos a = 5 e c = dF1F2

2 = 3

Da relação a2 = b2 + c2 vem b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16

Logo, a equação é x2

25 +

y2

16 = 1 , ou ainda, 16x2 + 25y2 = 400

- Elipse com Centro fora da Origem do sistema cartesiano: Podemos obter uma equação, na forma reduzida, da elipse com centro O′(h, k) fora da origem do sistema Oxy e cujo eixo focal é paralelo a um dos eixos cartesianos. Para isso basta transladarmos o sistema Oxy para uma nova origem coincidindo com o centro O′, obtendo-se um novo sistema O′x′y′. Assim, as equações destas elipses se restringirão a um dos casos a seguir:

x′² + y′² = 1 ou x′² + y′² = 1 a² b² b² a²

Porém, pelas equações de translação temos que : x′ = x − h y′ = y − k. Logo, (x − h)² + (y − k)² = 1 ou ( x − h)² + (y − k)² = 1 a² b² b² a² .

Exemplo: Determine a equação reduzida da elipse de centro O′(−3, 2), eixo focal paralelo ao eixo das ordenadas e comprimentos dos eixos maior e menor iguais a 6 e 4, respectivamente. Solução: Como o eixo focal é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação é

x′² + y′² = 1

b² a²

O centro é O′(−3, 2). Segue que x′ = x + 3 e y′ = y − 2. 2a = 6 e 2b = 4, ou seja, a = 3 e b = 2.

Logo, a equação reduzida procurada é: (x + 3)² + ( y - 2 )² = 1 4 9

34

- Hipérbole:

Hipérbole de centro na origem (0,0)

1 – Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a

-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 Assim é que temos por definição:

PF1 - PF2 = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da hipérbole. O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole. Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade. A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação: c2 = a2 + b2 O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0) Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:

PF1 - PF2 = 2 a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c. Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

35

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = 41

Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 41 /4 = 1,60

Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1. Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito. Dada a hipérbole de equação:

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:

R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x

Veja a figura ao lado:

36

- Parábolas:

- Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo: Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde: PF = distância entre os pontos P e F PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

- Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber: y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

- Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (y - y0)

2 = 2p(x-x0)

- Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py

37

- Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)

2 = 2p(y - y0)

Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

foco: o ponto F

diretriz: a reta d

vértice: o ponto V

parâmetro: p

Então, temos que:

o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta,

o eixo de simetria e.

Assim, sempre temos .

DF =p

V é o ponto médio de

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

Como a reta d tem equação e na parábola temos:

; P(x, y); dPF = dPd ( definição);

obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

38

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

x2= - 2py

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Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 p = 4 Daí, por substituição direta, vem: y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2

2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Exercício proposto

Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2). Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0

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- Translação e Rotação no Plano, Transformação de coordenadas: Frequentemente, em Geometria Analítica, somos levados a passar de um sistema de coordenadas adotado inicialmente (antigos eixos) para outro mais conveniente (novos eixos). Essa maior conveniência pode ser devida a vários fatores, por exemplo: se o primeiro sistema não for ortogonal pode surgir à necessidade de mudar para um sistema ortogonal; outras vezes, o objetivo é simplificar os cálculos algébricos, ou explorar melhor certas simetrias, etc. O problema central será sempre estabelecer relações entre as “antigas” e as “novas” coordenadas. Esse problema se resolve pela dedução de fórmulas, denominadas fórmulas de transformação de coordenadas, que relacionam as coordenadas de um ponto qualquer do plano, referidas ao primeiro sistema, com as coordenadas do mesmo ponto referidas ao segundo sistema. A principal aplicação da transformação de coordenadas é a simplificação das equacões pela escolha conveniente dos eixos. Estudaremos dois casos de transformacão de coordenadas: - Translacão dos Eixos Coordenados; - Rotação dos Eixos Coordenados. Definição (Transformação de coordenadas). Uma transformação de coordenadas é uma operação a qual modifica uma expressão, relação ou figura e tem como objetivo simplificar equações. Uma translação é um deslocamento de figuras do plano, nos sentidos horizontal e/ou vertical. Em geral, a translação é utilizada para simplificar equações.

Por exemplo, as equações x2

+y2

=4 e x2

+y2

–6x+4y+9=0 representam circunferências de raio 2. É claro que ambas têm as mesmas propriedades geométricas e que é mais interessante trabalhar com a primeira equação, por sua simplicidade. A maneira usual de trabalhar com translação é definir um novo sistema cartesiano de forma que a

figura a ser estudada, neste novo sistema, tenha uma equação mais simples. O que se faz é

definir o novo sistema cartesiano de modo que sua origem coincida com um ponto desejado, que

pode ser o centro de uma circunferência, de uma elipse, de uma hipérbole ou o vértice de uma

parábola.

Por exemplo, dada a elipse de equação: ( x - 4 )² + ( y - 2 )² = 1

4 9

seu centro está no ponto (4,2) . Para deslocar o sistema de forma que o centro do novo sistema coincida com o centro da elipse, basta definir o novo sistema de coordenadas por u=x-4 e v=y-2. A equação da elipse, neste novo sistema será: : u² + v² = 1

4 9

Neste caso, deslocamos o centro do sistema cartesiano para o ponto (4,2). Assim, para conseguir um novo sistema com centro no ponto (a,b), basta definir o novo sistema de coordenadas por u = x–a e v = y – b pois, quando u=v=0 temos x=a e y=b.

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Teorema. Se os eixos coordenados são transladados para uma nova origem O′(h, k) e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano, antes e depois da translação de eixos são (x, y) e (x′, y′), respectivamente, então as equações de translação de coordenadas são dadas por: x = x′ + h y = y′ + k Prova: Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O′(h, k), arbitrário, e introduzamos um novo sistema x′O′y′ tal que os eixos O′x′ e O′y′ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas em relação ao sistema xOy sejam x e y e, em relação ao sistema x′O′y′, sejam x′ e y′. Desta forma, e de acordo com a figura, temos:

y y’ ----------------------------- P

o’ ( h, k ) x’ x = OC = OA + AC = x′ + h y = OD = OB + BD = y′ + k

o ( 0, 0 ) x

Estas equações de translação nos permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Exemplo 1.1. Transforme a equação: y³−x²−6y²−2x+12y = 9 por uma translação de eixos coordenados à nova origem (−1, 2). Como a origem do sistema x′O′y′ é (−1, 2), as equações de translação são x = x′ − 1 y = y′ + 2 Substituindo os valores de x e de y na equação, temos (y′+2)³−(x′−1)²−6(y′+2)²−2(x′−1)+12(y′+2) = 9. y′³+6y′²+12y′+8−x′²+2x′−1−6y′²−24y′−24−2x′+2+12y′+24 = 9 y′³ − x′² = 0 Exemplo 1.2. Por meio de uma translação de eixos transforme a equação x³ − 3x² − y² + 3x + 4y − 5 = 0 em outra mais simples `a nova origem (1, 2). Resolução: Pelo Teorema, as equações de transformação são x = x′ + 1 e y = y′ + 2. Substituindo estes valores na equação, obtemos: (x′ + 1)³ − 3(x′ + 1)² − (y′ + 2)² + 3(x′ + 1) + 4(y′ + 2) − 5 = 0 em que desenvolvendo e simplificando chegamos a x′³ − y′² = 0

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Exemplo 1.3. Por meio de uma translação de eixos transforme a equação x² − 4y² + 6x + 8y + 1 = 0 em outra desprovida de termos de 1° grau. Resolução: Pelo Teorema 1.4, as equações de transformação são; x = x′ + k e y = y′ + h. Substituindo estes valores na equação, obtemos (x′ + k)² − 4(y′ + h)² + 6(x′ + k) + 8(y′ + h) + 1 = 0 que, após desenvolvimentos e redução de termos semelhantes assume a forma

x′² − 4y′² + (2k + 6)x′ − (8h − 8)y′ + k² − 4h² + 6k + 8h + 1 = 0 Como devemos encontrar os valores de k e h tal que a equação seja desprovida dos termos de 1° grau, igualaremos a zero os coeficientes de x′ e y′ na última equação. Portanto:

2k + 6 = 0

8h − 8 = 0 ⇒ k = −3 h = 1

Dessa forma, a nova origem é o ponto (−3, 1) e substituindo esses valores obtemos a equação procurada:

x′² − 4y′² = 4 Observação. Note que nesse último exemplo, a equação foi dada sem o termo xy, e isso de certa forma facilitou nosso trabalho. No caso que equações do 2◦ grau desprovidas desse termo, é possível também, em alguns casos, efetuar a transformação pelo método de completar os quadrados.Lembre que podemos obter a partir da expressão x² + bx o trinômio quadrado perfeito ( x + b )² se adicionarmos o termo b² 2 4 Assim completando quadrado em (x² + 6x) − (4y² − 8y) + 1 = 0, temos: (x² + 6x + 9) − 4(y² − 2y + 1) + 1 − 9 + 4 = 0 ou ainda, (x+3)² −4(y−1)² = 4 substituindo x′ = x+3 e y′ = y−1 , obteremos:

x′² − 4y′² = 4 Notemos então,que a principal aplicação de Translação dos Eixos Coordenados é a remoção dos termos de 1° grau. Rotação dos eixos coordenados: Definição: A operação de mover os eixos coordenados no plano coordenado para uma posição diferente de maneira que os novos eixos e os antigos eixos possuam a mesma origem, é denominado rotação dos eixos coordenados. Consideremos o plano Oxy e seja θ o ângulo de rotação o qual é obtido um novo sistema tal que os eixos O′x′ e O′y′ tenham a mesma unidade de medida de Ox e Oy.

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Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas em relação ao sistema Oxy são x e y e, em relação aos sistemas O′x′y′ são x′ e y′. Desta forma e de acordo com a figura, temos: x′ = OA′ = rcosφ y′ = A′P = rsenφ

x = OA = rcos(θ + φ) = rcosθcosφ − rsenθsenφ y = AP = rsen(θ + φ) = rsenθcosφ + rcosθsenφ substituindo, teremos: x = x′cosθ − y′senθ y = x′senθ + y′cosθ que são as equações de rotação. Teorema. Se girarmos os eixos coordenados de um ângulo θ em torno de sua origem O e se as coordenadas de qualquer ponto P do plano antes e depois da rotação dos eixos são (x, y) e (x′, y′), respectivamente, então as equações de rotação das antigas para as novas coordenadas são dadas por:

x = x′cosθ − y′senθ y = x′senθ + y′cosθ

Exemplo . Determinar as novas coordenadas do ponto (3,−4) quando os eixos coordenados são girados em 45°. Resolucão: Pelo teorema acima, as equações de transformação são:

3 = x′cos45° − y′sen45° −4 = x′sen45° + y′cos45°

x′ = 3cos(−45°) + 4sen(−45°) = 3cos45° − 4sen45° = −√2

2

y′ = 3sen(−45°) − 4cos(−45°) = −3sen45° − 4cos45° = −7√2

2 ___

Exemplo . Transformar a equação 2x² +√3xy +y² = 4, por rotação de eixos coordenados de um ângulo de 30° As equacões de transformação são

x = x′cos30° − y′sen30° =√3 x′ − 1 y′

2 2

y = x′sen30° + y′cos30° = 1 x′ + √3 y′

2 2

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após desenvolvimentos e simplificação, obtemos a equação transformada pedida 5x′² + y′² = 8, que é uma elipse. Observação. Note que neste último exemplo, o ângulo de rotação foi dado. Geralmente, entretanto,o ângulo de rotação deve ser determinado a fim de alcançar alguma condição estabelecida. Exemplo . Por uma rotação de eixos coordenados, transformar a equação 3x² − 2xy + 3y² − 16 = 0 em outra desprovida do termo misto de grau 2 Substituindo na equação as equações de transformação, temos 3(x′cosθ − y′senθ)² − 2(x′cosθ − y′senθ)(x′senθ + y′cosθ) + 3(x′senθ + y′cosθ)² − 16 = 0

Desenvolvendo e pondo x′², y′² e x′y′ em evidência, ficamos com:

x′²(3cos²θ − 2cosθsenθ + 3sen²θ) + x′y′(−6cosθsenθ + 2sen²θ − 2cos²θ + 6cosθsenθ) +y′²(3sen²θ + 2cosθsenθ + 3cos²θ) = 16 e como queremos eliminar o termo x′y′ dessa última equação, faremos o coeficiente desse termo igual a zero, ou seja:

−6cosθsenθ + 2sen²θ − 2cos²θ + 6cosθsenθ = 0 e portanto 2sen²θ = 2cos²θ onde θ = 45°. Usando este ângulo, obtemos 2x′² + 4y′² = 16, ou simplesmente x′² + 2y′² = 8, que é uma elipse. Exercícios Propostos: Por Translação de eixos, simplifique as equações:

Por uma rotação dos eixos coordenados, transformar a equação dada em outra desprovida do termo x′y′.