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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 1

VETORES

A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua

formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e

início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje

foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feito

para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foi

professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamente

dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas

dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu

trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre

análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados

Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na

Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se

seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na

Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemática

aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco.

1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial

Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas

escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são

utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar

com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições,

também chamado de Cálculo Vetorial.

Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário

caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.

Exemplos de grandezas escalares:

1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado

corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o

módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.

2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado

ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde,

36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida.

Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário

caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido.

2

Exemplos de grandezas vetoriais:

1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa

intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido.

Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com

sentido para direita.

2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo

possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa

velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo:

uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido

para cima.

2 Vetor

Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço

e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B

(a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo

(A,A) é chamado segmento orientado nulo.

Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento

orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade.

Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos:

módulo, direção e sentido.

20N

12 m/s

B

A

B

A

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(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B)

que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB .

(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se

prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade

através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção.

(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flecha

que o representa.

Definição:

(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os

segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais.

(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem a

mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas.

Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos:

- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (são

paralelos) e o mesmo sentido;

- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes

(não são paralelos) e sentidos diferentes;

- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (são

paralelos) e sentidos opostos.

"seta": sentido de (A,B)

reta suporte: direção de

(A,B)

módulo:AB

B

A

A

B

C

D

E

F

G

H

4

Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de

mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre

(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D).

OBS: Decorre da definição que:

(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes;

(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado

nulo.

Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja,

quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F):

(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva)

(b) (A,B)~(C,D)⇒(C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica)

(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F)⇒(A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva)

Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se

(A,B)~(C,D)⇒(A,C)~(B,D).

Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é

o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento

orientado (A,B) é o representante da classe.

OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue:

(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são

equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva;

(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à

classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa

duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e

vice-versa, pela propriedade transitiva;

(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu

representante.

A

B D

C

5

Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se

(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será

indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v�

. Logo,

vAB�

= .

OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são

equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a

expressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre segmentos

orientados, não entre vetores;

Portanto, o vetor vAB�

= , com um significado geométrico, nada mais é que um

objeto matemático representado por um segmento orientado.

Assim, o vetor v�

, tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outras

notações são usadas para denotar o vetor v�

, como: AB (sempre a origem primeiro e

depois a extremidade) ou a notação: AB − (a extremidade menos a origem). Logo,

podermos escrever: ABABv −==�

. O vetor representado pelo segmento orientado

(A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0 .

Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção e

sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas

noções já foram introduzidas. Então:

Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado

(A,B), e será denotado por |AB|v|v| ==�

.

Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor.

Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado.

reta suporte que indica a direção do vetor v

�

v�

sentido do vetor

a�

B

A

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Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores

paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os

representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têm

módulos (tamanhos) diferentes, a�

e c�

têm o mesmo sentido e b�

tem sentido oposto

dos vetores a�

e c�

.

Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmo

sentido são chamados de vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais.

OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não

necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos

matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais,

etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido acima.

3 Operações com vetores

3.1 Adição: Considere os vetores u�

e v�

, cuja soma vu��

+ , é determinada da

seguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmento

orientado (A,B) que representa o vetor ABu =�

. Utilizar a extremidade B para traçar o

segmento orientado (B,C) que representa o vetor BCv =�

. O vetor representado pelo

segmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u�

com v�

, isto é,

ACvu =+��

, ou seja, ACBCAB =+ .

Note que, a ordem em que se somam os vetores não altera o resultado, pois:

Este método para somar dois vetores é conhecido como "método da poligonal", o

qual pode ser aplicado para a soma de mais de dois vetores. Veja o exemplo a seguir.

c�

b�

a�

d�

c�

b�

a�

u�

v�

ACvu =+

��

v�

u�

C

B

A ACuv =+

��

A

v�

u�

C

B

7

Exemplo (1): Considere os vetores wev,u���

dados abaixo. Determinar wvu���

++ e

uwv���

++ .

OBS: Uma variação do método da poligonal e o que chamamos de "método do

paralelogramo" (muito usado na soma de dois vetores). O método do

paralelogramo consiste em: dados dois vetores veu��

, adotamos um ponto O

qualquer, transportamos as origens dos dois vetores para este ponto O. Pela

extremidade do vetor u�

traçamos uma reta paralela ao vetor v�

e, pela extremidade

do vetor v�

traçamos uma reta paralela ao vetor u�

. Estas duas retas se interceptam

num ponto O'. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal determinada pelos

pontos OO' é o vetor soma 'OOvu =+��

.

Propriedades da Adição.

1) Comutativa: uvvu����

+=+

2) Associativa: w)vu()wv(u������

++=++

u�

v�

w�

ADwvu =++���

D

C

B A

w�

v�

u�

ADuwv =++���

B

C D

A w�

u�

v�

u�

v�

'OOvu =+

��

O'

O

u�

v�

O'

uv��

+ vu��

+

v�

u�

O

u�

v�

w)vu()wv(u������

++=++

wv��

+ vu��

+ w�

v�

u�

8

3) Elemento Neutro: 0,u ∃∀�

(o vetor nulo) tal que uu00u���

=+=+ .

4) Elemento Oposto (ou simétrico): u�

∀ , com ABu =�

, u�

−∃ (o vetor oposto do vetor

u�

), com BAu =−�

tal que 0u)u()u(u�

����

=+−=−+ .

3.2 Subtração: Considere os vetores veu��

. O vetor diferença entre veu��

, indicado

por vu��

− , é a soma do vetor u�

com o oposto do vetor v�

, ou seja, )v(uvu����

−+=− .

Cuidado! Não vale a propriedade comutativa, isto é, uvvu����

−≠− . Note que,

)uv(vu����

−−=− . Esta propriedade é chamada de anti-comutativa. Considerando que

sempre se interpreta a subtração )v(uvu����

−+=− , neste caso as propriedades são as

mesmas da adição.

Exemplo (2): Considere os vetores veu��

, como abaixo, determinar vu��

− .

OBS: Dados dois vetores veu��

, vamos determinar adição vu��

+ e a subtração vu��

− ,

usando o método do paralelogramo.

Assim, dados dois vetores quaisquer, não paralelos, eles determinam um

paralelogramo onde uma diagonal é vu��

+ e a outra vu��

− . Isso é muito útil na

resolução de problemas.

uv��

−

u�

−

vu��

+

vu��

−

u�

v�

−

v�

u�

ACvu =−��

C

B A

v�

−

u�

v�

v�

−

u�

v�

vu��

−

vu��

−

u�

v�

−

v�

vu��

+

9

3.3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor ℜ∈α∀ev�

. Então a

multiplicação do número real α pelo vetor v�

, denotado por v�

⋅α , ou simplesmente

por v�

α , é um vetor que satisfaz:

a) Se 0ventão,0vou0�

�

�

�

=α==α

b) Se vvetoro,0ve0�

�

�

α≠≠α caracteriza-se por:

• v�

α é paralelo a v�

;

• vev��

α são de mesmo sentido se 0>α , e de sentidos contrários se 0<α ;

• |v||||v|��

⋅α=α .

Exemplo (3): Seja v�

um vetor qualquer. Note que os vetores v21

ev2,v2���

− ,

representados abaixo, são todos paralelos, ou seja, têm a mesma direção.

Propriedades da Multiplicação por escalar:

1) ℜ∈β∀ℜ∈α∀βα=αβ e,v)()v(��

3) ℜ∈β∀ℜ∈α∀β±α=β±α e,vvv)(���

2) ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv(����

4) vv1��

=⋅

3.4 Soma de um ponto com um vetor: Dados um ponto P e um vetor u�

, o ponto Q

tal que o segmento orientado (P,Q) é representante de u�

é chamado soma de P com

u�

e indicado por uP�

+ (figura abaixo). Em símbolos: PQuPQuQuP =⇔−=⇔=+���

Decorre da definição que, quaisquer que sejam os pontos P e Q, QPQP =+ .

Intuitivamente, podemos entender uP�

+ como o resultado do deslocamento de um

ponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. Usaremos a

notação uP�

− para indicar a soma do ponto P com o oposto de u�

, ou seja,

)u(PuP��

−+=− .

u�

P

uPQ�

+=

v21 �

v2�

− v2�

v�

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Propriedades: Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores veu��

, valem:

1) )vu(Av)uA(����

++=++

2) vuvAuA����

=⇔+=+ (lei do cancelamento de pontos)

3) BAuBuA =⇔+=+��

(lei do cancelamento de vetores)

4) Au)uA( =+−��

Definição: O versor de um vetor v�

, diferente do vetor nulo, denotado por ov�

, é um

vetor unitário, ou seja, 1|v| o =�

, como mesma direção e sentido do vetor v�

, definido

por |v|

vvo �

�

�

= .

Por exemplo: se o vetor v�

tem módulo 3|v| =�

e o vetor u�

tem módulo 21

|u| =�

, então

seus versores são, respectivamente, v31

vo��

= e u2uo��

= . Assim:

4 Ângulo entre dois vetores

O ângulo entre dois vetores veu��

, não nulos, denotado por CAB)v,u(ang ==θ��

,

é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a

restrição oo 1800 ≤θ≤ , quando as origens dos vetores são transportadas para um

mesmo ponto A.

Da geometria plana sabemos que α−+= cosuv2vuw 222 , chamada de Lei dos

cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um ângulo

interno ao triângulo, oposto ao lado w.

u�

ov�

v�

ou�

α v

w

u

u�

v�

C

B

v�

u�

A θ

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Vetorialmente vuw���

+= .

Note que o ângulo entre os vetores veu��

é θ e não o α . Temos que

o180=θ+α e θ−=α coscos . Logo, de α−+= cosuv2vuw 222 vem que:

θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222 ��

. Quando o ângulo entre dois vetores é 900, dizemos

que eles são ortogonais.

Exemplo (4): Dois vetores bea�

�

, onde 6b|b|e2a|a| ====�

�

formam entre si um

ângulo de 120o. Determine o módulo da soma de ba�

�

+ e da diferença de ab�

�

− .

Solução:

Aplicando a lei dos co-senos temos:

2821

62262)120cos(ab2ba|ba| 22o222 =

−⋅⋅⋅++=++=+

�

�

⇒ 7228|ba| ==+�

�

5221

62262)60cos(ab2ba|ab| 22o222 =

⋅⋅⋅++=++=−

�

�

⇒ 13252|ab| ==−�

�

Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento que

une os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e

metade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média do

triângulo.

Solução: Basta mostrar que: AC21

MN = . A operação produto por escalar conserva a

direção, logo, os vetores ACeMN são paralelos.

α θ

u�

v�

w�

u�

ab�

�

−

ba�

�

+

b�

a�

−

a�

120o

60o

N M

B

C A

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Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC ,

então NC2BC = . Pela figura acima temos:

=+

=++

ACBCABACNCMNAM)I( . Em (I)

multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo AM2AB =

e NC2BC = , obtém-se:

=+

=++

ACNC2AM2AC2NC2MN2AM2 . Subtraindo a segunda da primeira

equação: AC21

MNACMN2 =⇒= .

Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podem

equilibrar-se?

Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=120o. Aplicando

a lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo entre elas é

120o, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e módulo igual a F,

pois:

F|FF|FFF221

F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222 =+⇒=−=

−⋅+=++=+

Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio.

OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe um

plano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores são

coplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares.

Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não coplanares.

u�

v�

w�

u�

v�

w�

α α

α F

F

F

F

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Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado, vetores que

são coplanares com os vetores operados, ou seja, os vetores operados e os vetores

resultantes estão no mesmo plano (são coplanares).

Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC ,

respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = .

Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e

=−

=+

BDABADACABAD . Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= ⇒

( ) ND2AM2NDAN2 +=+ ⇒ AMAN = ⇒ AMAN −=− ⇒ MN =

Exercícios Propostos:

1) Sejam os vetores ceb,a�

�

�

, de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares.

Sabendo que o30)b,a(ang =�

�

e o30)c,b(ang =�

�

, determine 22 |ba||cb|R�

��

�

−−+= .

Resp: 35040R +=

2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC .

Resp: 3

AB2BCBD

−=

3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados

não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.

4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um

trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases.

5) As forças 521 f,...,f,f���

dispostas como mostra a figura, determinam um hexágono

regular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 1f�

.

Resp: 1R f6F =

M N

D

C B

A

C

B

A D

5f�

4f�

3f�

2f�

1f�

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6) Sejam os vetores bea�

�

, de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendo

bam�

��

+= , determine o módulo do vetor bmR�

�

+= . Resp: 7|R| =

7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =−=+����

, determine 22 |v||u|R��

+= . Resp: 10R =

8) Determine BA em função de u�

, sabendo que uBuA��

+=− . Resp: u2BA�

=

9) Determine a relação entre u�

e v�

, sabendo que, para um dado ponto A, temos:

Av)uA( =++��

. Resp: vu��

−=

10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações:

a) Se vu��

= , então |v||u|��

=

b) Se |v||u|��

= , então vu��

=

c) Se v//u��

, então vu��

=

d) Se vu��

= , então v//u��

e) Se vuw���

+= , então |v||u||w|���

+=

f) |v||u||w|���

+= , então wev,u���

são paralelos

g) Se CDAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo

h) |v|5|v5||v5|���

=−=

i) Os vetores v4ev3��

− são paralelos e de mesmo sentido

j) Se v//u��

, 4|v|e2|u| ==��

, então u2vouu2v����

−==

k) Se 3|v| =�

, o versor de 3v

év10�

�

−−

Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V

COMENTÁRIOS IMPORTANTES:

• Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos como

uma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, para

caracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentido

bem definidos.

• Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetores

perpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90o é mais

conveniente chamá-los de ortogonais.

• As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração e

produto por escalar. Não existe multiplicação e nem divisão entre vetores. Logo,

escrever, por exemplo: 2u�

ou uv�

�

, é um erro comum. No entanto, podemos

calcular 2|u|�

ou |u||v|�

�

, que ambos são números reais, com 0|u| ≠�

.

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• Todas as operações elementares obedecem à propriedade do fechamento, ou seja,

qualquer operação elementar realizada entre vetores o resultado será um vetor.

Em particular, observe que 0vv�

��

=− (0�

é o vetor nulo) e não 0vv =−��

(0 é o

escalar zero). Correto seria 0|v||v| =−��

.